Examen 2013 II - Erick Noguéz Vera

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Examen
MAT210E: Cálculo I
Fecha: 28 de noviembre de 2013.
1. Calcule:
a)
ĺım
x→0
sen(1/x)
(1/x)
.
Solución Notar que lo anterior es:
= ĺım
x→0
x sen(1/x).
Además, que es el producto de una función que tiende a 0 ( x) por
una acotada sen(1/x). Por lo tanto el ĺımite es 0.
b)
ĺım
x→0
ex − e−x − 2x
x− senx
.
Solución Tanto el numerador como el denominador tienen ĺımite
0 (por continuidad de las funciones involucradas). Además siendo
derivables podemos aplicar L’Hospital:
= ĺım
x→0
ex + e−x − 2
1− cosx
,
si este último ĺımite existe. Otra vez, tanto el numerador co-
mo el denominador tienen ĺımite 0 (por continuidad de las fun-
ciones involucradas). Además siendo derivables nuevamente pode-
mos aplicar L’Hospital:
= ĺım
x→0
ex − e−x
senx
,
si este último ĺımite existe. Otra vez más tenemos la misma his-
toria y aplicamos L’Hospital:
= ĺım
x→0
ex + e−x
cosx
,
1
si este último ĺımite existe. Que, finalmente, es el cuociente de
funciones con ĺımites 2 y 1, por lo tanto:
=
2
1
= 2.
c)
ĺım
x→0+
(1 + 5x)1/x.
Solución Es mejor escribir la función involucrada como sigue:
(1 + 5x)1/x = e
ln(1 + 5x)
x .
Ahora,
ĺım
x→0+
ln(1 + 5x)
x
= ĺım
x→0+
1
1 + 5x
· 5
1
,
ya que tanto ln(1 + 5x) como x tienden a 0 y podemos aplicar
L’Hospital, siempre y cuando el último ĺımite exista. Se verifica,
por álgebra de ĺımites que dicho ĺımite es 5.
Ahora,
ĺım
x→0+
e
ln(1 + 5x)
x = e
ĺımx→0+
ln(1 + 5x)
x = e5.
ya que ex es continua en x = 5.
2. Considere la ecuación
x senx+ cosx− x2 = 0.
a) Demuestre que tiene al menos dos soluciones en el intervalo [−π, π].
Solución. Observar que la función
F (x) = x senx+ cosx− x2
2
es continua en [−π, π]. Evaluando, en ±π y 0:
F (−π) = −1− π2 < 0, F (0) = 1, F (π) = −1− π2.
Por el Teorema del valor intermedio, F toma el valor 0 en ]−π, 0[
ya que en los extremos de este intervalo toma valores con signos
distintos. Similarmente, F toma el valor 0 en el intervalo ]0, π[.
Conclúımos que hay a lo menos 2 soluciones de la ecuación en
[−π, π].
Observación: otra forma es usar el hecho que F es par.
b) Demuestre que a lo más tiene dos soluciones en el intervalo [−π, π].
Solución. Ahora calculemos la derivada de F
F ′(x) = senx− x cosx− senx− 2x = x(cosx− 2).
Como cos x − 2 6= 0 para todo x ∈ R, la derivada de F solo se
anula en x = 0.
Si F tuviera 3 o más ceros en [−π, π] , entonces elejimos 3 de ellos.
Por el Teorema de Rolle (o del valor medio) entre los 2 menores
habŕıa un cero de F ′ y entre los 2 mayores habŕıa otro cero de F ′.
Pero como F ′ no tiene 2 ceros, concluimos que F no tiene más de
2 ceros.
3. a) Calcule la derivada de
tan
x2 +
√
x3 + 1
e2x + 1
 .
El puntaje para este ejercicio será 0 o 3 de acuerdo a si el resultado
es incorrecto o correcto (no habrá puntaje parcial). Sin embargo,
Ud. debe cuidadosamente exhibir sus cálculos.
Solución.
= sec2
x2 +
√
x3 + 1
e2x + 1
 ·
2x+ 3x2(e2x + 1)− (x3 + 1)2e2x
2 ·
√
x3 + 1
e2x + 1
(e2x + 1)2
 .
3
b) Determine si
g(x) = |x| tanx
es derivable en x = 0. Si lo es, calcule g′(0).
Solución Notar que g(0) = 0 por lo tanto la existencia de la deriva-
da y su valor coincide con el ĺımite:
ĺım
x→0
|x| tanx
x
.
Notar que tan(0) = 0 y tan′(0) = 1, por lo tanto:
1 = tan′(0) = ĺım
x→0
tanx.
De donde,
ĺım
x→0
|x| tanx
x
= ĺım
x→0
|x| ĺım
x→0
tanx
x
= 0 · 1 = 0.
Otra forma:
ĺım
x→0
|x| tanx
x
= ĺım
x→0
|x|senx
x
· cosx = 0 · 1 · 1.
4. Para este ejercicio considere la función
f(x) =
x2
x− 2
.
a) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .
Solución. Primer calculamos la derivada:
f ′(x) =
2x(x− 2)− x2
(x− 2)2
=
x2 − 4x
(x− 2)2
que tiene (fuera de x = 2) el mismo signo de x(x− 4).
Por lo tanto:
f ′(x) > 0 si y sólo si x está en ]−∞, 0[∪]4,+∞[.
f ′(x) < 0 si y sólo si x está en ]0, 2[∪]2, 4[.
Sigue que:
f es creciente en los intervalos ]−∞, 0[, ]4,+∞[.
f es decreciente en los intervalos ]0, 2[, ]2, 4[.
4
b) Determine, si existen, puntos donde f alcanza un máximo y/o un
mı́nimo, local o global.
Solución. Del criterio de la primera derivada, o simplemente anal-
izando la respuesta anterior se deduce que en x = 0 hay un máxi-
mo local y en x = 4 hay un mı́nimo local, con valores f(0) = 0 y
f(4) = 8, respectivamente.
Notar que
ĺım
x→+∞
f(x) = ĺım
x→+∞
x · 1
1− 2
x
= +∞.
Similarmente
ĺım
x→−∞
f(x) = ĺım
x→−∞
x · 1
1− 2
x
= −∞.
Por lo tanto f carece de máximos y mı́nimos globales.
c) Determine, si existen, puntos de inflexión del gráfico de f .
Solución. Calculamos la segunda derivada:
f ′′(x) =
8
(x− 2)3
.
Por lo tanto, f ′′(x) < 0 si y sólo si x < 2. Similarmente, f ′′(x) > 0
si y sólo si x < 2. Es decir, f es concava hacia abajo en x < 2
y hacia arriba en x > 2, pero como x = 2 no está en el dominio
de la función no existen puntos en su gráfico donde cambie la
concavidad. Concluimos que f no tiene puntos de inflexión.
d) Determine intervalos de concavidad de f .
Solución. De la respuesta anterior,
f es concava hacia abajo en ]−∞, 2[.
f es concava hacia arriba en ]2,+∞[.
e) Esboce el gráfico de f .
5
5. Se quiere construir una caja metálica de 12000cm3 (12 litros) de base
cuadrada. El costo del metal utilizado es de $3 pesos por cm2 excepto el
utilizado en la tapa que es $6 pesos el cm2. ¿Cúales son las dimensiones
y el costo de la caja de menor costo que se puede hacer bajo estas
condiciones?
Solución. Denotamos por a el largo de cada uno de los lados de la base
y por h a la altura de la caja. El costo está dado por
Costo = 6a2 + 3(a2 + 4ah).
Como el volumen es
a2h = 12000,
tenemos que
h =
12000
a2
.
Reemplazamos en el costo para obtener
Costo(a) = 6a2 + 3(a2 + 4a
12000
a2
).
6
Es decir,
Costo(a) = 9a2 +
12 · 12000
a
.
Notar que el dominio de a es, a priori,
0 < a <∞
Notar que
ĺım
a→0+
Costo(a) = +∞
y
ĺım
a→+∞
Costo(a) = +∞.
Por lo tanto función costo tiene un mı́nimo absoluto (global).
Además, la función costo es derivable en ]0,+∞[. Por lo tanto, en el
(los) mı́nimo(s) la derivada se anula.
La derivada es
Costo′(a) = 18a− 12 · 12000
a2
,
que se anula solo si
a3 =
12 · 12000
18
= 8000.
Es decir, el único cero de la derivada está en
a = 20.
De lo anterior, el mı́nimo debe ocurrir cuando a = 20. Además,
h =
12000
202
= 30
y el costo de la caja será
6 · 400 + 3(400 + 4 · 20 · 30) = 10800.
(Un poco cara la caja!)
Tiempo: 150 minutos.
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