10 Ecuacionesdiferenciales - Bárbara Bautista Aguilar

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Ecuaciones diferenciales
Economía Matemática – 2019/1
¿Que es una ecuación diferencial?
¿Que es una ecuación diferencial ordinaria?
• En lineas generales, una ecuación diferencial ordinaria es una ecuación que
describe la relación de una variable con su derivada
• La variable desconocida es una función
• Por ejemplo, suponga que que queremos encontrar una función y : R→ R tal
que
dy
dt (t) = 0,5y(t)
I Notación: muchas veces se escribe dydt (t) = c(t)
I As veces se omite los argumentos de las funciones
• En tiempo discreto: queríamos encontrar funciones y : N0→ R
• En tiempo continuo: queremos encontrar funciones y : R+→ R
• Na mayor parte de las veces, interpretamos t ≥ 0 como tiempo
¿Que es una ecuación diferencial ordinaria?
• Una solución para
ẏ = 0,5y
• Es:
y(t) = e0,5t
• Pues
ẏ(t) = 0,5e0,5t = 0,5y(t)
• Pero y(t) = Constante · e0,5t también es una solución
• Si la ecuación involucra derivadas parciales, decimos que es una ecuación
diferencial parciales
I No en este curso
Tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias
• Decimos que una ecuación diferencial es primera orden si involucra
solamente la primera derivada
• Si involucra la segunda derivada, decimos que es de segunda orden
• Si involucra la tercera derivada, decimos que es de tercera orden, etc
• Decimos que una ecuación diferencial de primera orden es explicita si puede
ser escrita como
ẏ(t) = F (y , t)
• Decimos además que es autónoma si puede ser escrita como
ẏ(t) = F (y)
• Caso contrario, es no autónoma
Ecuaciones lineales de primera orden
Ecuaciones lineales de primera orden
• Suponga la siguiente ecuación
ẏ(t) = a(t)y(t)+b(t) (LDE)
donde a(t) y b(t) son funciones continuamente diferenciables
• Teorema 24.5 en Simon y Blume garantiza que la solución existe y es única
para un dado valor inicial y(0)
Ecuaciones lineales de primera orden: solución
• Escriba
ẏ(t)−a(t)y(t) = b(t)
• Multiplique por exp
(
−
∫ t
0 a(s)ds
)
,
ẏ(t)e−
∫ t
0
a(s)ds −a(t)y(t)e−
∫ t
0
a(s)ds = b(t)e−
∫ t
0
a(s)ds (1)
• Ahora perciba que
d
dt y(t)e
−
∫ t
0
a(s)ds = ẏ(t)e−
∫ t
0
a(s)ds − y(t)e−
∫ t
0
a(s)ds d
dt
∫ t
0
a(s)ds
• Por el teorema fundamental del Cálculo, tenemos que para cualquier escalar m
F (t) =
∫ t
m
f (s)ds ⇒ F ′(t)≡ ddt
∫ t
m
f (s)ds = f (t)
• Luego ddt
∫ t
0 a(s)ds = a(t) y
d
dt y(t)e
−
∫ t
0
a(s)ds = ẏ(t)e−
∫ t
0
a(s)ds −a(t)y(t)e−
∫ t
0
a(s)ds
• Por lo tanto, (1) es
d
dt y(t)e
−
∫ t
0
a(s)ds = b(t)e−
∫ t
0
a(s)ds
• Integrando con respecto a t, para alguna constante k̂ podemos escribir∫ d
dt y(t)e
−
∫ t
0
a(s)dsdt = k̂ +
∫
b(t)e−
∫ t
0
a(s)dsdt
donde k̂ representa la diferencia entre la constantes de integración del RHS y
LHS
• Usando el teorema fundamental del Cálculo (C es constante de integración):
y(t)e−
∫ t
0
a(s)ds +C = k̂ +
∫
b(t)e−
∫ t
0
a(s)dsdt
• Haciendo k = k̂−C
y(t) = e
∫ t
0
a(s)ds
[
k +
∫
b(t)e−
∫ t
0
a(s)dsdt
]
(SLDE)
• Obs: en Simon y Blume esta expresión esta incorrecta (la expresión solamente
se cumple si se supone que algunos limites de integración son cero)
• Por ejemplo, si a(t) = α y b(t) = β:
y(t) = eαt
[
k +β
∫
e−αtdt
]
= eαt
[
k +β
(
− 1
α
e−αt +C
)]
= eαt
(k +βC)︸ ︷︷ ︸
k′
−β
α
e−αt

= k ′eαt − β
α
Ecuaciones de primera orden separables
Ecuaciones de primera orden separables
• Suponga la siguiente ecuación diferencial
ẏ = g(y)h(t)
donde g(y) y h(t) son funciones continuamente diferenciables
• Teorema 24.5 en Simon y Blume garantiza que la solución existe y es única
para un dado valor inicial y(0)
• Una manera heurística (no tan formal) de resolver estas ecuaciones es
escribiendo
dy
dt = g(y)h(t)
dy
g(y) = h(t)dt
• Entonces, para algún k que representa diferencias en la constantes de
integración: ∫ dy
g(y) =
∫
h(t)dt +k
Ejemplo de ecuación separable
• Sea y : R+→ R+, con y(0)> 0
ẏ = t2y
• Entonces escribimos, para algún k (que representas diferencias en constantes
de integración) ∫ dy
y =
∫
t2dt +k
lny +C1 =
t3
3 +C2 +k
lny = t
3
3 + C︸︷︷︸
C2+k−C1
y = exp
{
t3
3 +C
}
= k exp
{
t3
3
}
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
Sistemas de ecuaciones lineales
• Vamos enfocar en sistemas de dos variables
• La forma general es
ẋ1 = F (x1,x2, t)
ẋ2 = G (x1,x2, t)
donde x1(t) y x2(t) son las funciones desconocidas
• En general vamos enfocar en sistema del tipo(
ẋ1
ẋ2
)
=
(
a11 a12
a21 a22
)(
x1
x2
)
(S2DE)
ẋ = Ax
• Este sistema tiene una solución única
Sistemas de ecuaciones lineales
Teorema
Suponga que la matriz A tiene 2 valores propios distintos r1 y r2, con vectores
propios v1 y v2 asociados. Entonces, la solución general de S2DE es
x(t) = c1er1tv1 + c2er2tv2
Teorema
Suponga que la matriz A tiene 2 valores complejos r1 = α+ iβ y r2 = α− iβ, con
vectores propios v1 = u + iw y v2 = u− iw asociados. Entonces, la solución
general de S2DE es
x(t) = eαt cos(βt)(C1u−C2w)− eαt sin(βt)(C2u+C1w)
Transformando ecuaciones de segunda orden
• Suponga que tengamos un sistema de segunda orden
ÿ = f (v ,y , t)
• Podemos definir v = ẏ y escribirv̇ = f (ẏ ,y , t)ẏ = v
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