Repaso - Caleb Carballido Torres

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Algunos Conceptos a Considerar
Mauricio Ferj
Mat1610-Sección 1
Supongamos f integrable.
Cálculo de límites: La idea es llevar el límite a una suma de Riemann. En general, hay que intentar llegar a una suma proveniente de una partición aritmética, es decir:
Donde la partición a utilizar es P= {a=x0, x1, …, xn-1, xn=b}
Notar que el tamaño de cada sub intervalo es (b-a)/n. Esto corresponde al tamaño del intervalo total dividido por la cantidad de sub intervalos.
Aquí hay que tener algunas consideraciones:
El procedimiento para calcular un límite de este modo siempre requerirá poder separar un término del estilo (b-a)/n. Así, es recomendable partir aislando un término 1/n con el fin de estudiar de forma más clara el resto de la suma.
El límite anterior corresponde a la suma "derecha", es decir, la función está siendo evaluada en el extremo derecho de cada sub intervalo. En otras palabras, se evalúa f en x1…xn. Esta suma "derecha" puede ser reescrita del siguiente modo:
Notar que la suma derecha, en una función estrictamente creciente, corresponde a la suma superior (considera como altura el supremo de cada sub intervalo).
Del mismo modo, se puede considerar la suma "izquierda":
Que puede ser reescrita:
En general, se puede sumar evaluando la función en cualquier término Xk entre [xk-1, xk]
Así, una suma considerando el punto medio de cada sub intervalo sería:
Esto, dado que es el promedio entre k y (k-1)
Podemos llegar a cualquiera de estas sumas, y todas representarán la misma integral si es que existe.
Teorema fundamental del cálculo:
Siempre que necesitemos derivar una integral vamos que tener que aplicarlo. El procedimiento, en general, sería el siguiente:
Supongamos que queremos derivar: 
Para encontrar su valor, definimos F como la primitiva de f. Es decir F'(x)=f(x). Entonces:
Así, la derivada de la integral con respecto a "x" será: 
(Por regla de la cadena)
Pero F'(x)=f(x), por lo que la derivada de la integral de más arriba es: 
Teorema del valor medio para la integral
Sea F(x) / F'(x)=f(x)
Aquí es necesario recalcar lo siguiente: F es diferenciable cuando f es continua.
Para usar el teorema del valor medio de la integral necesitamos que F sea diferenciable, es decir, que f sea continua.
Si esto se cumple, entonces F cumple con el teorema del valor medio:
= F'(c)
Pero F'(x)=f(x) y . Así:
Donde c pertenece a [a, b]
Si estudiamos ambos lados de la igualdad, el lado izquierdo corresponde al área de un rectángulo de altura f(c) y base (b-a). El lado derecho corresponde al área bajo f(x) en el intervalo [a, b].
Así, f(c) corresponde a la altura promedio de f(x) en el intervalo [a, b]
Aquí es necesario enfatizar algo:
Podemos encontrar un promedio para f(x) aunque ésta no sea continua (es decir, F no diferenciable). El promedio corresponderá a: 
Promedio =
f(x) es integrable si posee una cantidad finita de discontinuidades, así que no hay problema.
Ahora, como f(x) no es continua, entonces F(x) no es diferenciable. Con ello no podemos aplicar el teorema del valor medio para la integral y asegurar que existe f(c)=Promedio. En otras palabras, el promedio existe siempre, pero no necesariamente existe un valor para la función que cumpla con el promedio.
[
]
 + 
k
(
)
 - 
k
1
2
d
ó
õ
ô
(
)
h
x
(
)
g
x
(
)
f
t
t
 = 
d
ó
õ
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(
)
h
x
(
)
g
x
(
)
f
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 - 
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)
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÷
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÷
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)
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ç
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÷
÷
d
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x
(
)
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(
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÷
d
d
x
(
)
h
x
 - 
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)
f
(
)
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÷
÷
d
d
x
(
)
g
x
(
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f
(
)
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÷
÷
d
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x
(
)
h
x
 - 
(
)
F
b
(
)
F
a
 - 
b
a
 = 
 - 
(
)
F
b
(
)
F
a
d
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ô
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)
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x
x
 = 
(
)
f
c
(
)
 - 
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d
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a
b
(
)
f
x
x
1
 - 
b
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x
x
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lim
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n
¥
å
 = 
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1
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÷
f
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(
)
 - 
b
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 - 
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0
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)
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]
 + 
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k
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2
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x