Estrategias-para-la-resolucion-de-problemas-con-fracciones

•

Biológicas / Saúde

Medicina Fácil

4/8/2022

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UNIVERSIDAD NACIONAL
AUTONÓMA DE MÉXICO

FACULTAD DE PSICOLOGÍA
PROGRAMA DE MAESTRÍA Y DOCTORADO EN PSICOLOGÍA
RESIDENCIA EN PSICOLOGÍA ESCOLAR

ESTRATEGIAS PARA LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS CON FRACCIONES

REPORTE DE EXPERIENCIA PROFESIONAL
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:

MAESTRA EN PSICOLOGÍA
P R E S E N T A
ROSA MARÍA MENDOZA CERVANTES

DIRECTORA DEL REPORTE: DRA. MARÍA ESTELA JIMÉNEZ
HERNÁNDEZ
COMITÉ TUTORIAL: MTRA. HILDA PAREDES DÁVILA
DRA. ROSA DEL CARMEN FLORES
DRA. ILEANA SEDA SANTANA
DRA. LIZETH OBDULIA VEGA PÉREZ

MÉXICO, D. F. MAYO, 2010

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respectivo titular de los Derechos de Autor.

AGRADECIMIENTOS

A LA UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA
DE MÉXICO POR DARME LA OPORTUNIDAD
DE FORMARME EN ELLA.

A MI TUTORA DE DRA. ESTELA JIMÉNEZ
QUIEN ESTUVO CONMIGO Y ME APOYO PARA
CONCLUIR ESTE CICLO AL SER PACIENTE,
COSNSTANTE Y PERSISTENTE.

A MI PADRE POR DARME LA VIDA,
POR SER PARTE DE ESE MOTOR
PARA MI SUPERACIÓN.

A MI MADRE POR SU APOYO Y COMPRENSIÓN,
POR LAS CARICIAS EN EL
MOMENTO JUSTO Y NECESARIO.

A MI AMOR, QUIEN ME HA ACOMPAÑADO
EN LOS DÍAS DE SOL, EN AQUELLOS DE TEMPESTAD
EN LAS MADRUGADAS DE TRABAJO O AQUELLAS QUE
SON DE FIESTA, EL ING. ROBERTO CARLOS MEDRANO.

A MI ABUE CARLOTA VELAZQUEZ †
POR SU AMOR, SABIDURÍA Y VENDICIONES.

3
ÍNDICE
RESUMEN ...................................................................................................................................... 5
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................... 6
MARCO TEÓRICO ......................................................................................................................... 9
1. Las Matemáticas ................................................................................................................................. 9
2. Proceso de Enseñanza-Aprendizaje de las Matemáticas ............................................................ 10
3. Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas centradas en la solución de problemas ......... 15
3.1 ¿Qué es un problema matemático? ....................................................................................................... 17
3.2 Estrategias para favorecer el aprendizaje de solución de problemas ................................................ 18
4. Las fracciones y la resolución de problemas con números fraccionarios ................................ 24
MÉTODO ..................................................................................................................................... 35
Objetivo General .................................................................................................................................. 35
Objetivos Específicos ....................................................................................................................................... 35
Diseño pre-experimental ..................................................................................................................... 35
Hipótesis ................................................................................................................................................ 35
Definiciones conceptuales .................................................................................................................. 36
Participantes .......................................................................................................................................... 36
Instrumentos ......................................................................................................................................... 36
Procedimiento ...................................................................................................................................... 37
Evaluación Diagnóstica .................................................................................................................................. 38
Intervención ..................................................................................................................................................... 39
Evaluación Final ............................................................................................................................................... 43
RESULTADOS .............................................................................................................................. 44
1. Opiniones de los profesores sobre el proceso de enseñanza-aprendizaje de las
matemáticas. ......................................................................................................................................... 44
2. Opiniones de los alumnos sobre el aprendizaje de las matemáticas ........................................ 45
3. Uso de fracciones y estrategias de solución de problemas ........................................................ 47
4. Actitud de los alumnos hacia las matemáticas ............................................................................ 52
5. Utilidad del Programa de Estrategias para la Solución de Problemas con Números
Fraccionarios. Opinión de los profesores .......................................................................................... 54
DISCUSIÓN .................................................................................................................................. 55
CONCLUSIONES ......................................................................................................................... 60
Limitaciones y Sugerencias ................................................................................................................. 61
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................................. 62
REFERENCIAS ELECTRÓNICAS ................................................................................................. 65
ANEXOS ....................................................................................................................................... 67
4
ANEXO 1. CUESTIONARIO DE OPINIÓN PARA PROFESORES (AS) ............................................. 68
ANEXO 2. CUESTIONARIO PARA LOS ALUMNOS .......................................................................... 70
ANEXO 3. ESCALA DE ACTITUD HACIA LAS MATEMÁTICAS ....................................................... 72
ANEXO 4. EVALUACIÓN SOBRE EL USO DE FRACCIONES .......................................................... 78
ANEXO 5. EVALUACIÓN SOBRE EL USO DE FRACCIONES .......................................................... 82
ANEXO 6. ENTREVISTA PARA EL (LA) PROFESOR (A) .................................................................... 86
ANEXO 7. ROMPECABEZAS ............................................................................................................... 87
ANEXO 8. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS ............................................................................................ 89

RESUMEN

En el presente trabajo se describe un programa de intervención diseñado con el fin de
promover el usode estrategias para la solución de problemas con fracciones en
alumnos de quinto y sexto grados de una escuela primaria pública.

La maestra de quinto grado y la psicóloga colaboraron en la planeación y conducción
de las sesiones; en el grupo de sexto grado, la psicóloga llevaba a cabo la sesión
planeada para quinto.

Al inicio y al final de la intervención se evaluó a los estudiantes mediante una escala de
actitudes hacia las matemáticas, un cuestionario sobre conceptos y una prueba sobre el
uso de las fracciones y estrategias para la solución de problemas. Inicialmente los
profesores respondieron a un cuestionario de opinión acerca del proceso de
enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. Al final, se entrevistó a los profesores sobre
la utilidad que tuvo el programa para sus alumnos.

Los resultados de la prueba sobre el uso de fracciones y estrategias se analizaron
mediante la prueba T-Wilcoxon, que mostró diferencias estadísticamente significativas y
el resto de los datos se analizaron cualitativamente. De todo ello se puede concluir que
las estrategias son herramientas que llevan al alumno al éxito en la solución de
problemas con fracciones. Finalmente, se discute sobre la necesidad de actualización
de los profesores en el uso de estrategias que faciliten el proceso de enseñanza-
aprendizaje de las matemáticas.
6

INTRODUCCIÓN

¿Quién inventó las matemáticas?, ¿para qué aprender álgebra, trigonometría,
cálculo....?, ¿cuándo voy a usar eso?, ¿para qué me sirve saberlo? Estas son algunas de
las preguntas que hacen los niños conforme van avanzando en los grados escolares.
Posteriormente cuando los alumnos tiene que tomar la decisión sobre que van a
estudiar; a que se quieren dedicar en su trabajo, frecuentemente afirman “Yo voy a
escoger una carrera que no tenga nada que ver con matemáticas”.

La matemática es una ciencia que ha tenido una larga trayectoria histórica paralela al
progreso de la humanidad (Alsina, Burgués, Fortuny y Jiménez, 1998). Históricamente,
la matemática surgió con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la Tierra
y predecir los acontecimientos astronómicos. Muchos inventos y descubrimientos
importantes han partido de la necesidad de resolver problemas concretos en diversos
ámbitos, como son el científico, el técnico, el artístico y en la vida cotidiana.

Diversas variables contribuyen a la formación de las dificultades en matemáticas; entre
las más relevantes se encuentran: el currículo, las estrategias didácticas que emplean
los(as) profesores y las variables propias del sujeto, como son: el déficit de atención, de
memoria, de metacognición y por último, las variables sociopersonales entre las que se
encuentran las etiquetas, el autoconcepto y la historia de fracasos, entre otros
(Miranda, Fortes y Gil, 2000). Con respecto a las estrategias de enseñanza, un factor
que dificulta el aprendizaje de los alumnos es el manejo de los temas de forma
abstracta y sin relación con la vida cotidiana.

Las dificultades que presentan los alumnos para aprender matemáticas es un hecho
que constituye un problema generalizado en muchos países; es común que los
alumnos se pregunten “¿para qué sirve aprender tantos números y fórmulas?”.

Organismos como la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico
(ODCE) y el Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación (INEE) han evaluado
a los alumnos en los diferentes niveles educativos para conocer sus avances, logros y
atrasos, lo cual ha sido de gran utilidad para que los gobiernos reevalúen las políticas
educacionales.

Los resultados que presenta el Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación
(INEE) sobre la evaluación de la calidad del Sistema Educativo Nacional (SEN), muestra
7

grandes deficiencias en los conocimientos y habilidades matemáticas de los alumnos de
primaria y secundaria; particularmente, se observa que en sexto de primaria los
alumnos se encuentran en un nivel básico y en tercero de primaria, obtienen un nivel
por debajo del básico (2006).
La Evaluación Internacional de los Alumnos (PISA) realizada por la Organización para la
Cooperación y el Desarrollo Económico reafirma el atraso de los alumnos mexicanos.
Dicho organismo evalúa hasta qué punto los alumnos cercanos al final de la educación
obligatoria han adquirido los conocimientos y habilidades necesarios para participar en
la sociedad del saber. Miden las capacidades para analizar, razonar y comunicarse
eficazmente en situaciones usuales de la vida cotidiana y no sólo los contenidos del
currículo. Evalúan lo que el alumno “sabe hacer”.
Los resultados de dicha evaluación muestran que alrededor del 50% de los alumnos se
encuentran por debajo del Nivel 2 y que muy pocos estudiantes alcanzan los niveles
más altos (menos de 1% en los niveles 5 y 6), lo que significa que los alumnos no están
desarrollando las competencias requeridas para ocupar puestos de alto nivel en los
diversos ámbitos de la sociedad (México - Informe PISA, 2006).
Así, los datos obtenidos por la ODCE y el INEE indican que las dificultades han
prevalecido en la comprensión y el uso de las matemáticas. lo cual subraya la necesidad
de continuar en la búsqueda de alternativas que faciliten el proceso de enseñanza-
aprendizaje de las mismas.

Ante dicha necesidad, diversas investigaciones realizadas en México en los últimos años
han demostrado que cuando el alumno emplea estrategias de aprendizaje apropiadas,
se incrementa la relación entre sus conocimientos previos y los nuevos, favoreciendo
así la comprensión, la generalización y el desarrollo de habilidades matemáticas para la
vida diaria (Albores, 2006; Parra, 2004; Flores, 2002 y García, 2002).

También se ha considerado importante favorecer en los alumnos la construcción de los
conceptos matemáticos. Se ha señalado que los conceptos matemáticos son difíciles de
comprender para la mayoría de los niños, debido a que la matemática utiliza una
gramática y un vocabulario definido y cuyo propósito es la descripción y exploración de
relaciones conceptuales y físicas (Albores, 2006).

Uno de los conceptos que es indispensable que los alumnos comprendan en la
educación básica es el de fracción, ya que frecuentemente se observa, que al no tener
8

claro el concepto, se dificulta seguir avanzando; este concepto sienta las bases para
desarrollar otros conceptos más complejos como el de partición, equivalencia, razón y
proporción, entre otros.

Por todo lo anterior, con el fin de que los niños encuentren el significado y utilidad del
concepto de fracción en su vida cotidiana, el objetivo del presente trabajo fue
desarrollar un programa de estrategias para la resolución de problemas con fracciones,
en alumnos de quinto y sexto grado de primaria.

En el primer capítulo se presenta el marco teórico que da sustento a la investigación; se
inicia con una breve historia del desarrollo de las matemáticas y su utilidad en la vida
cotidiana como herramienta teórica y práctica para la tecnología y las ciencias
naturales. Enseguida se explica el proceso de enseñanza-aprendizaje de las
matemáticas, desde su etapa inicial y se mencionan los aspectos que tienen influencia
en las dificultades para el aprendizaje de esta materia.

A continuación, se presentan las propuestas para la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas centradas en la solución de problemas, que elaboró del Consejo Nacional
de los Profesores de Matemáticas de los Estados Unidos (NCTM), y la Secretaria de
Educación Pública (SEP) en México. Más adelante se hace referencia a la definición de
problema que plantean diferentes autores y se reseñan algunas estrategias de
enseñanza-aprendizaje dirigidas a promover el aprendizaje da las matemáticas. Para
concluir este capítulo se aborda el tema de las fracciones, las dificultadesque enfrentan
los alumnos en su aprendizaje, así como diversos estudios realizados para mejorar la
comprensión y aplicación de las fracciones mediante la solución de problemas.

En el segundo capitulo se presenta el método empleado en la investigación: los
objetivos, el diseño experimental, los participantes, el ambiente en el que se llevó a
cabo, los instrumentos utilizados para la evaluación y el procedimiento que se siguió.

Por último se describen los resultados, para cuyo análisis se utilizó la modalidad
estadística intergrupo, se discuten los resultados y se presentan sugerencias para
estudios posteriores.

MARCO TEÓRICO

1. Las Matemáticas

Las matemáticas empiezan con el conteo, y cuando se puede escribir conforme a ese
conteo (llevar un registro), se obtiene una representación gráfica de los números
(Escandón, 2006).

Las explicaciones históricas muestran a las matemáticas como una herramienta para
solucionar problemas en prácticas sociales y como medio de poder social. Desde sus
inicios las matemáticas han estado inmersas en la organización social, el conocimiento,
el intercambio y el almacenamiento y el control de información, por lo que se consideró
necesario el desarrollo y la utilización de formas concretas y simbólicas para la
producción y distribución de los bienes, así como para la organización del trabajo. Ello
condujo a una estructura jerárquica, puesto que las personas que tenían acceso al
conocimiento eran personas consideradas importantes; así, la clase o grupo
gobernante dispone de las matemáticas como un instrumento alternativo para
asegurar y extender su poder y autoridad (Keitel, citado por Giménez, Santos y Ponte,
2004).

La reestructuración de la sociedad conforme a las actividades humanas permitió que las
matemáticas avanzaran de manera extraordinaria en diversos campos como la
arquitectura, la manufactura y la industria, entre otros. Es por ello que se impulsó la
aparición de la banca y para su funcionamiento se inventó el sistema de contabilidad,
que se considera la primera estructuración matemática coherente y completa (Pérez,
2000; Damerow, citado por Giménez, Santos y Ponte 2004).

Continuando con la historia, los inventos, los descubrimientos y los cambios en las
sociedades, llevaron a considerar a las matemáticas como reina y sirviente de las
ciencias, como herramienta práctica y teórica, como base para el desarrollo de la
tecnología y las ciencias naturales, con el propósito de beneficiar a la sociedad
(Giménez, Santos y Ponte, 2004; Escandón, 2006).

Descartes creía que las matemáticas en sí mismas podían convertirse en algo tan fácil,
comprensible, accesible y aceptable para todas las personas, que podrían considerarse
como parte del sentido común. Por otro lado, Leibniz uno de los inventores del cálculo,
creyó que el discurso racional y el razonamiento matemático se habían convertido en
10

algo ilimitado capaz de solucionar problemas sociales y políticos. Las matemáticas y el
razonamiento matemático se consideraron el cimiento de una mente “sabia” y una
competencia de pensamiento (Giménez, Santos y Ponte, 2004; Silvia, 2008).

Los conceptos de número y operaciones de tiempo y espacio se inventaron como
medios para gobernar y administrar. La escritura y el cálculo, se convirtieron en una
condición fundamental para el funcionamiento de la sociedad; de manera que la
adquisición de estos conocimientos se conseguía mediante la participación directa en
actividades sociales; posteriormente, en respuesta a las demandas sociales, se formalizó
la educación en estas áreas.

Hoy en día las matemáticas se consideran un instrumento muy poderoso para planear,
optimizar, dirigir, representar y comunicar en todos los ámbitos de la sociedad.
Asimismo, las matemáticas intervienen en los procesos de toma de decisiones, como un
argumento racional con base objetiva.

Así, a través de la historia, las matemáticas se han visto como una herramienta para
solucionar problemas, surgen de la necesidad de desarrollo general, científico y social
de la humanidad.

2. Proceso de Enseñanza-Aprendizaje de las Matemáticas

Albores (2006), menciona que el conocimiento matemático no se inicia en la escuela,
sino que es un proceso lento y gradual que incorpora recursos personales para
responder a situaciones de la vida cotidiana que requieren del uso de las matemáticas.
Piaget desarrolló la teoría de la psicología genética, en la cual menciona que el
individuo construye su propia inteligencia, desde la interacción con el medio donde va
desarrollando sus capacidades básicas para subsistir. La "Epistemología Genética" de
Piaget, es de carácter interactivo, es decir, el sujeto construye el conocimiento en la
interacción con el medio. Por lo tanto la adquisición de la capacidad cognitiva y su
desarrollo dista mucho de ser en forma pasiva, sino que por el contrario es una
capacidad propia del ser como sujeto activo (Hernández, 1998; Sastre, Cancela, Rosas,
Pimienta, Ibarra, 2009).
La teoría de Piaget trata en primer lugar los esquemas. Los esquemas son
comportamientos reflejos, que posteriormente incluyen movimientos voluntarios, hasta
convertirse con el tiempo en operaciones mentales, así van surgiendo nuevos
11

esquemas y los ya existentes se reorganizan de diversos modos. Esos cambios ocurren
en secuencia y progresan de acuerdo con las etapas del desarrollo.
Piaget distinguió los procesos de pensamiento y de diferenció las etapas de desarrollo.
La primera etapa del desarrollo cognitivo es la que denomina como sensorio-motora;
en esta etapa el niño elabora un conjunto de subestructuras cognoscitivas que servirán
de punto de partida para la construcción de su percepción e intelecto posterior, así
como algunas reacciones afectivas elementales (Hernández, 1998; Santamaría, 2009).
En la etapa sensorio-motora el niño va construyendo un complejo sistema de esquemas
de asimilación y organizando de acuerdo a un sistema de estructuras espacio-
temporales y causales, esas construcciones se basan exclusivamente en percepciones y
movimientos.
La etapa siguiente identificada por Piaget es la denominada preoperacional; en ella el
niño va creando una relación entre el significante y el significado. A partir de esta etapa
el niño comienza a representar lo real a través de "significantes", de modo que el niño
mediante sus acciones y su lenguaje va representando sus esquemas y conceptos.
Es la etapa en que imita conductas, usa el juego simbólico, realiza dibujos e imágenes
mentales, y al mismo tiempo, desarrolla el lenguaje hablado. La imagen mental da
lugar a que la representación se convierta en pensamiento.
La etapa que le continúa es la de operaciones concretas; en esta etapa, los procesos de
pensamiento se vuelen lógicos y pueden aplicarse a problemas concretos o reales,
aparecen los esquemas lógicos de seriación, ordenamiento mental de conjuntos y
clasificación de los conceptos de causalidad, espacio, tiempo y velocidad.
Finalmente, esta la etapa de operaciones formales, en la cual el niño logra la
abstracción de los conocimientos concretos observados que le permiten emplear el
razonamiento lógico inductivo y deductivo.
Por otra parte, Piaget menciona que existen tres tipos de conocimiento: físico, lógico-
matemático y social.

En el conocimiento lógico-matemático, la fuente de este razonamiento está en el
sujeto y éste la construye por abstracción reflexiva que se deriva de las acciones que
realiza el sujeto con los objetos; un ejemplo es el número, ya que cuando el niño ve tres
objetos frente a él, en ningún lado ve el número "tres"; éste es más bien producto la
12

abstracción que el sujeto ha realizado, cuando se ha enfrentado a situaciones donde se
encuentren tres objetos.

El conocimiento lógico-matemático es el que construyeel niño al ir relacionando las
experiencias obtenidas mediante la manipulación de los objetos, a partir de una
reflexión que le permite adquirir las nociones fundamentales de clasificación, seriación
y la noción de número. Piaget menciona que las operaciones mentales sólo pueden
tener lugar cuando se logra a término la noción de conservación, de cantidad y
equivalencia (Hernández, 1998; Moreno, 2009).

Estudios recientes sobre el desarrollo del conocimiento matemático sostienen que el
niño conoce desde edad temprana un sistema numérico de conteo y orden para la
agrupación y clasificación de objetos; se trata de una matemática intuitiva que le
permite actuar de acuerdo con las dimensiones de espacio y organización (Sánchez,
2000). La aritmética que los niños emplean en esta etapa resulta de la experiencia con
los objetos y la necesidad de contarlos; sin embargo, cuando las dimensiones y
cualidades de los objetos cambian, surgen limitaciones y es cuando se requiere de la
intervención de expertos que enseñen procedimientos más avanzados.

Cuando el niño entra a la escuela, se dice que inicia su acceso a la matemática formal y
supera la matemática intuitiva y ordinaria. En el momento en que los niños lo
requieren, los maestros les proveen de oportunidades para que mejoren sus
conocimientos y herramientas para resolver problemas. Para ello, se han diseñado
programas de estudio y definido postulados sobre las formas más eficaces para la
enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas (Albores 2006).

Baroody (1988) menciona que las dificultades de aprendizaje en el área de
matemáticas surgen de las lagunas existentes entre el conocimiento informal y la
instrucción formal. El conocimiento informal es todo aquel conocimiento intuitivo que
el niño conoce acerca de las matemáticas, como por ejemplo, la recitación de los
números y las operaciones elementales; esta matemática, se hace más propensa al error
a medida que los números aumentan o el esfuerzo requerido para calcular de una
manera informal llega a ser inalcanzable. La instrucción formal de las matemáticas es
toda aquella parte escrita y simbólica que se imparte en las escuelas y supera todas las
limitaciones que se pueden presentar en la matemática informal.

La instrucción formal de las matemáticas es un proceso que involucra tres factores
importantes: el experto o facilitador, los conceptos matemáticos que se pretenden
lograr y el novato o aprendiz (Coll, Palacios y Marchesi, 2001). El experto busca facilitar
los conceptos de matemáticas de una manera formal al novato. Esta matemática
formal es la que instituciones educativas promueven a través de programas
curriculares. Se pretende que los alumnos adquieran conocimientos y habilidades que
puedan aplicar en la vida cotidiana.

Para que se lleve a cabo el proceso de enseñanza-aprendizaje, es necesario que el
experto planee la actividad, el modo de proponerla a los alumnos y que guíe su
realización dentro del aula (contexto de enseñanza-aprendizaje). El novato es el que
lleva a cabo la actividad propuesta por el experto.

El Consejo Nacional de los Profesores de Matemáticas de los Estados Unidos (NCTM,
por sus siglas en inglés) propuso en 1989 el currículum y los estándares de evaluación
para las matemáticas. Establecieron 5 objetivos básicos para los estudiantes:
1. Aprender a valorar las matemáticas
2. Adquirir confianza para hacer matemáticas
3. Llegar a ser solucionadores de problemas matemáticos
4. Aprender a comunicarse matemáticamente
5. Aprender a razonar matemáticamente

NCTM utiliza la investigación sobre el aprendizaje de las matemáticas para entender
cómo trabaja el cerebro humano, acentúa la necesidad de proveer a los niños de
oportunidades para construir una base matemática sólida, desde un entendimiento
intelectual, social y emocional, considerando el desarrollo del niño, por lo que se debe
manejar el currículo elemental. Desde este punto de vista se considera que los niños
necesitan interactuar continuamente con su ambiente, construyendo, modificando e
integrando ideas (Rowan y Bourne, 2001).

Para que los alumnos desarrollen confianza en sus habilidades matemáticas es
necesario que el maestro elija tareas que permitan que el alumno sea flexible al
explorar sus ideas matemáticas, que intente alternativas de solución y esté dispuesto a
perseverar.

Los maestros deben indagar sobre los intereses de los alumnos y también observar
como les dan solución a los problemas que enfrentan de manera diaria. Deben usar
14

esta información como guía para la planeación de sus clases. Esto los ayuda a planear
una enseñanza más efectiva.

De acuerdo con el NCTM, la planeación de una estrategia de enseñanza-aprendizaje
abarca: la ejecución y la atmósfera presente en el salón de clases. A los alumnos que
trabajan bajo los objetivos planteados por la NCTM se les permite:
 Solucionar problemas mediante estrategias que sean significativas para ellos
 Trabajar cooperativamente con sus pares
 Usar variaciones de aspectos manipulables
 Cuestionar al profesor y recibir una orientación directa
 Tener suficiente tiempo y oportunidad para pensar, reflexionar y discutir.

Consecuentemente el NCTM nos menciona que los niños que se forman bajo este
modelo se observan como personas activas en las actividades que realizan en esta
materia; trabajan como matemáticos. Los alumnos pueden colaborar y compartir
actividades, explicando, debatiendo, defendiendo, negociando, evaluando y
acordando en una atmósfera educativa.

En este ambiente de enseñanza-aprendizaje los niños hablan, piensan, escriben y
modelan o dibujan sus expresiones matemáticas; al mismo tiempo, deben estar atentos
a las ideas de otros compañeros, debatiendo, compartiendo y negociando soluciones.

Los niños deben ver cómo las matemáticas son aplicables en otras materias y otros
contextos. Por ello es importante balancear el programa de matemáticas y no sólo
enfatizar aspectos operacionales. Los programas deben aprovechar la tecnología para
favorecer la instrucción y el entendimiento. La enseñanza-aprendizaje de las
matemáticas debe ser dinámica y orientada a procesos.

Los maestros que trabajan bajo el modelo del NCTM han descubierto que este tipo de
programas tienen beneficios en otras áreas, ya que los alumnos incorporan
componentes receptivos y expresivos de la comunicación (hablar, escuchar, leer y
escribir), lo cual incrementa sus habilidades básicas de lenguaje.

El discutir la solución permite a los niños apropiarse de la experiencia para dar una
estructura y significado a los números y los nuevos conceptos. La construcción de
significados requiere de la conexión entre la información nueva y la previa. Los
maestros deben hacer cuestionamientos para que los niños expresen su conocimiento;
15

esto permitirá a los docentes evaluar a los alumnos, mientras estos últimos construyen
su aprendizaje.

Es importante que los alumnos aprendan a exponer sus resultados, por lo que los
profesores deben ofrecer el tiempo necesario para que los niños reflexionen sobre sus
procedimientos y puedan explicarlos con claridad.

La expresión verbal de los procesos que utilizaron para llegar a un resultado, ayuda a
los niños a aclarar sus ideas, organizar pensamientos y solidificar conceptos y procesos,
de manera que establezcan las bases para futuras referencias. Asimismo, cuando los
niños explican su pensamiento tienen la oportunidad de decidir si éste es correcto o
incorrecto; el proceso de explicar habilita la capacidad para revisar los propios
pensamientos.

Por otra parte, Bandura (citado por Flores, 2005), plantea que en la medida en que el
individuo se perciba a sí mismo como eficaz, mayor será su esfuerzo para realizar una
tarea; por lo tanto, es importante la percepción que el alumnotiene de su capacidad
para llevar a cabo las acciones necesarias para el logro de una meta. Según Bandura, la
percepción de autoeficacia está relacionada con la persistencia, el interés intrínseco, las
actividades efectivas, la adquisición de habilidades y el logro académico.

De modo que en el proceso de enseñanza-aprendizaje, algunos investigadores como
Moreno, Parra, Block, al igual que algunas instancias, entre ellas la SEP y el NCTM
buscan retomar la solución de problemas de manera que los alumnos aprendan y
adquieran la capacidad para hacer matemáticas.

3. Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas centradas en la solución de problemas

En México, en el año de 1993 se puso en marcha la reforma curricular en la educación
primaria, produciendo cambios desde los programas de estudio, libros y actividades
didácticas, en donde la Secretaria de Educación Pública (SEP) señala que las
matemáticas son para el ser humano herramientas funcionales y manejables que le
permiten resolver las situaciones problemáticas que se le planteen (SEP, 1993).

Al igual que el NCTM, la propuesta de la SEP (1993) para el proceso de enseñanza-
aprendizaje de las matemáticas tiene base en la resolución de problemas. Plantea como
propósitos generales de los programas de matemáticas que los niños desarrollen: a) la
16

capacidad de utilizar las matemáticas como un instrumento para reconocer, plantear y
resolver problemas, anticipar y verificar resultados, comunicar e interpretar información,
b) la habilidad para estimar resultados y mediciones, c) la destreza en el uso de
instrumentos de medición, dibujo y cálculo, y d) un pensamiento abstracto por medio
del razonamiento, la sistematización y la generalización de procedimientos y
estrategias.

Se enfatiza que el trabajo matemático que los niños realizan en las aulas debe permitir
la construcción de conocimientos nuevos o la búsqueda de soluciones a partir de los
conocimientos que ya poseen. Tanto el NCTM, como la SEP, señalan que el aprendizaje
de los alumnos se da a partir de dos factores: la actividad que realizan y la reflexión que
efectúan en relación con la actividad.

El aprendizaje con base en problemas, aunque no necesariamente en matemáticas, es
una propuesta en la que los alumnos se enfrentan a problemas (experimentos,
observaciones, tareas, aplicación flexible y razonada de tareas, etc.) y tratan de
solucionarlos mediante el aprendizaje cooperativo, es decir, que por medio de la
interacción, la discusión e intercambio de información con otros compañeros los
alumnos construyan su conocimiento. Durante todo el proceso de solución, los
alumnos buscan comprender, seleccionan los datos y plantean estrategias o
procedimientos de solución (Torp y Sage, citado por Díaz-Barriga y Hernández, 2002).

La SEP plantea que el grado de dificultad de los problemas matemáticos se va
incrementando a lo largo de los seis grados de la escuela básica; se van usando
números de mayor valor, y se diferencian los problemas, las operaciones y las relaciones
que se establecen entre los datos y conceptos.

A pesar de los planteamientos de la SEP, Block, Moscoso, Ramírez y Solares (2007) en su
artículo “La apropiación de innovaciones para la enseñanza de las matemáticas por
maestros de educación primaria” señalan que aunque son bien conocidos los enfoques
de la propuesta, se presenta polarización y rigidez en las interpretaciones, al considerar
como ajenas las prácticas; al interior de las escuelas prevalece la enseñanza y uso de los
algoritmos de manera mecánica y aislada (sin un contexto en el que los alumnos vean
una aplicación), sin considerar que las matemáticas se desarrollaron para responder a
las necesidades de la vida cotidiana. Por otro lado, Avila, Block y Carvajal (citados por
Albores, 2006), mencionan que los profesores dan poca oportunidad al razonamiento
espontáneo de los alumnos, ya que dirigen la manera en que los alumnos deben llegar
17

a la solución, limitando su capacidad de reflexión, razonamiento y generalización de
procedimientos y estrategias para la solución de problemas matemáticos.

Considerando que el presente trabajo retoma la propuesta de la SEP para la enseñanza-
aprendizaje de las matemáticas centrada en la solución de problemas, es necesario
definir claramente el concepto de problema matemático.

3.1 ¿Qué es un problema matemático?

En el diccionario de la Real Academia Española (23ª edición) se define un problema
como el “planteamiento de una situación cuya respuesta desconocida debe obtenerse
a través de métodos. Un problema matemático es una situación que puede tener una o
más soluciones en un número fijo”. También menciona que “Puede ser aquella
situación que tiene un número indefinido de soluciones”
(http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=problema).

Por otro lado, Luceño (1999), asevera que el diccionario de la Real Academia Española
define un problema como una situación dirigida a averiguar el resultado cuando hay
datos conocidos.

Parra (1990) establece que "un problema lo es en la medida en que el sujeto al que se
le plantea (o que se plantea él mismo) dispone de los elementos para comprender la
situación que el problema describe y no dispone de un sistema de respuestas
totalmente constituido que le permita responder de manera inmediata" (pp. 22-31).

Mayer (citado por Luceño, 1999) plantea que un problema contiene los siguientes
elementos:
 Los datos o información que está presente en el problema, los cuales pueden
ser implícitos o explícitos.
 Los objetivos que constituyen el estado final o deseado del problema. El
pensamiento se encargará de transformar el problema desde el estado inicial
hasta el estado final.
 Los obstáculos o dificultades propios de las diferentes operaciones que deben
realizarse para llegar a la respuesta correcta o solución.
http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=problema
18

Moreno (recuperado 2009) analiza la resolución de problemas bajo la dinámica escolar
en donde menciona que se debe disponer de elementos para comprender la situación
que el problema describe; supone que el sujeto habrá de resolver un problema, al cual
ha tenido acceso y ha construido un conocimiento declarativo con los antecedentes
mínimos necesarios para poder comprender la información, establecer relaciones y
utilizar procedimientos con la finalidad de resolver el problema.

Para la presente investigación se concluye que un problema matemático es toda
aquella situación cuya solución es desconocida por el sujeto, que para solucionarlo
requiere de estrategias que implican la comprensión del enunciado, la identificación de
la incógnita, la manipulación de los datos, el uso del algoritmo que se requiere y la
verificación del resultado.

Una vez definido el problema matemático, se mencionarán algunas estrategias
utilizadas para favorecer el aprendizaje de las matemáticas mediante la solución de
problemas.

3.2 Estrategias para favorecer el aprendizaje de solución de problemas

Para iniciar este tema, es necesario aclarar el concepto de estrategia. Ruíz y Ríos (citados
por Puente, 1994) mencionan que la palabra estrategia es retomada de las formas de
trabajo de los militares y se refiere al plan previo que se diseña con el propósito de
alcanzar un objetivo determinado.

El diccionario de la Real Academia Española plantea que la estrategia es “el arte para
dirigir un asunto”. También señala que es “un proceso regulable, como el conjunto de
reglas que aseguran que una decisión sea óptima en su momento”.

Gagné (1975), ha definido las estrategias cognitivas como aquellas habilidades
internamente organizadas que son utilizadas por el individuo para regular los procesos
para atender, aprender y pensar.
Ruíz y Ríos (citados por Puente, 1994)definen la estrategia cognitiva como la forma de
encadenar los eventos, usando los recursos intelectuales propios en función de las
19

demandas de la tarea, para guiar los procesos de pensamiento hacia la solución de un
problema.

En el enfoque de la toma de decisiones, se amplía este concepto especificando que el
proceso de solución implica la adquisición, retención y utilización de la información que
sirve para obtener ciertos objetivos, es decir, para asegurar la presencia de
determinadas formas de resultados y la exclusión de otras.

Díaz Barriga y Hernández (2002), mencionan que una estrategia de aprendizaje es un
procedimiento o conjunto de pasos que un alumno emplea de forma intencional como
instrumento flexible para aprender significativamente y solucionar problemas, así como
demandas académicas.

Para fines de este trabajo, se entenderá por estrategia al conjunto de acciones flexibles
que, mediante el análisis previo de los eventos conocidos y desconocidos, llevan al
individuo a resolver un problema.

A continuación se verá que diversos autores se han apoyado en el manejo de
estrategias para favorecer la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas mediante la
solución de problemas.

Labarrere (1987), menciona que los problemas tienen tres funciones principales:

a) Enseñanza, como vía para la adquisición, ejercitación y consolidación de
sistemas de conocimiento matemático.
b) Educativo, ya que permite el desarrollo de la concepción científica del mundo,
es decir, su aplicación en diversos ámbitos.
c) Desarrollo, debido a que es una influencia en el desarrollo intelectual del
individuo.

A través de los problemas también se puede fomentar el pensamiento creativo y
diverso del niño, aumentar sus habilidades y su percepción matemática, y también
enriquecer y consolidar los conocimientos básicos ya adquiridos.

El enseñar a los alumnos a resolver problemas, implica poder establecer un juicio de
relación entre los datos que se dan, dominar el significado de las operaciones y su
reversibilidad y generalización. Nieto (1987) menciona que todo ello requiere de una
20

estructura mental a nivel “operacional, concreta, y abstracta”; no obstante, no por ser la
matemática una ciencia abstracta, cuyo dominio depende del nivel del pensamiento,
podemos decir que esté alejada de la vida; por el contrario, es parte de casi todas las
actividades humanas.

Brown (citado por Díaz-Barriga y Hernández, 2002) identifica las actividades que el
alumno realiza cuando quiere aprender algo o solucionar un problema: la planeación y
la aplicación del conocimiento, el monitoreo y la supervisión que se encuentran
relacionados con la regulación, el seguimiento y la comprobación, y finalmente, se
requiere de la evaluación que relaciona a las personas, tareas y estrategias empleadas.

A continuación se definen dichas actividades:
 La planeación es el establecimiento de un plan de acción en el cual se identifica o
determina la meta, hay una predicción de los resultados y se seleccionan y
programan las estrategias. De esta manera se facilita la solución del problema
matemático, se incrementa la probabilidad del éxito y se puede lograr una
ejecución de calidad.
 La supervisión o monitoreo se efectúa durante la ejecución de la solución del
problema matemático; se hace consciente lo que se está haciendo, dónde se está
ubicado y lo que puede pasar, partiendo de la planeación. En la supervisión se
debe realizar un chequeo de los errores y obstáculos que se presentan en la
ejecución.
 La evaluación consiste de actividades de estimación de las acciones y los procesos
que se llevaron a cabo, la efectividad y la eficacia en el cumplimiento del plan, así
como el logro de las metas y actividades, durante y después de la solución del
problema.

Kluwe (Díaz-Barriga y Hernández, 2002) menciona que cuando se resuelve un
problema, las actividades se pueden concretar en una serie de preguntas: ¿qué voy
hacer?, ¿cómo lo voy hacer? (planeación), ¿qué estoy haciendo?, ¿cómo lo estoy
haciendo? (monitoreo) y ¿qué tan bien o mal lo estoy haciendo? (evaluación).

La necesidad de conocer por qué los estudiantes presentan dificultades al solucionar
problemas, llevó a Gómez-Chacón (2003), a analizar la tarea intelectual en matemáticas
considerando el afecto, meta-afecto y los sistemas de creencias (en donde el afecto y
los sistemas de creencia están considerados como componentes de la actitud de los
alumnos hacia las matemáticas). Señaló que los afectos operan como guía cognitiva,
21

facilitando o bloqueando la adquisición del conocimiento; analizó los bloqueos
afectivos en la actividad matemática, la resolución de problemas y describió episodios
emocionales de los estudiantes en el aula.

Al estudiar las reacciones afectivas de las personas en su contexto social y cultural
Gómez-Chacón (2003), consideró que este análisis no debía restringirse a situaciones
de laboratorio, sino que debía tener en cuenta la situación social y el contexto del aula
de los alumnos. Demostró que algunos de los bloqueos se pueden explicar
considerando los sentimientos y actitudes que refuerzan las estructuras de creencias y
el origen de éstas.

Dicho autor concibió el afecto como un sistema de representaciones y proyecciones de
los individuos, puesto que ellos codifican la información del contexto físico y social,
incluyendo sus propias expectativas y proyecciones. Aseveró que los afectos tienen
base fisiológica y social, y que el lenguaje juega un papel muy importante, ya que las
emociones se manifiestan en la interacción. Señaló que los descriptores básicos de
dominio afectivo son las emociones, actitudes, creencias y valores, que deben tomarse
en cuenta tanto las competencias afectivas, como las estructuras afectivas de los
individuos.

El autor mencionado usa el término meta-afecto para hacer referencia a la toma de
conciencia de las emociones y todo lo referente a las mismas. Afirma que una reacción
emocional del individuo puede afectar la codificación de la información y, por lo tanto,
influye en su respuesta (correcta, incorrecta o falta de respuesta). De tal modo que el
estudiante que tiene un control meta-afectivo, busca resolver un problema mediante
planeación, haciendo representaciones, diagramas o notas para mejorar la
comprensión y captura de la estructura del problema.

Las ideas que los estudiantes tienen acerca de sí mismos con respecto a las matemáticas
moldean su comportamiento en el trabajo matemático; si las creencias son positivas,
promueven su dedicación y habilidad para las matemáticas; cuando son limitadas,
generalmente conducen a la persona a decir “no puedo”; sin embargo, en muchos
casos es posible desarrollar creencias positivas. Por lo tanto, para poder entender el
proceso de aprendizaje de las matemáticas, es preciso conocer como es que los
estudiantes aprenden, estructuran tanto individual, como grupalmente, cuáles son las
creencias y valores que son condicionados social y culturalmente en ellos (Gómez-
Chacón, 2003).
22

El mismo autor sostiene que la interacción positiva o negativa con las matemáticas se
puede deber a diversos factores: en los primeros contactos con la tarea al leer o
comprender la actividad a realizar, los materiales a utilizar o el enunciado del problema
a resolver; durante el proceso, los resultados negativos son debidos al desconocimiento
de modos y medios para trabajar; es decir, a la falta de conocimientos, dificultad de la
tarea o a experiencias previas, criterios, método o procedimientos inadecuados.

Muchos de los estudiantes creen que los problemas se resuelven utilizando los
procedimientos, fórmulas y reglas que el maestro les ha enseñado; frecuentemente, no
están interesados en hacer conexiones entre conceptos, invierten mástiempo en
aplicar procedimientos de manera mecánica, que en reflexionar sobre el problema; sin
embargo, cuando a un estudiante se le permite explorar para descubrir y llegar a
conclusiones sobre los conceptos, buscan maneras de proceder ante los problemas. Es
necesario que el profesor se percate de este potencial de los alumnos para que cambie
sus creencias limitativas y sea flexible ante las diversas formas de proceder de los
alumnos para dar solución a los problemas.

Gómez-Chacón también asevera que muchos de los retrasos o problemas de
aprendizaje tienen una alta correspondencia con la limitación para generalizar, que es
consecuencia de las dificultades para planear y regular los procesos de conocimiento;
por lo tanto los alumnos tienen dificultad para organizar un plan de acción y llevarlo a
la práctica de modo coherente, autónomo y flexible.

Por todo lo anterior, Gómez-Chacón afirma que para que los docentes promuevan el
desarrollo intelectual de las matemáticas es necesario que reconsideren qué es el afecto
y cómo favorecerlo en el trabajo matemático.

Además considera que es importante utilizar actividades proactivas, que favorezcan la
comprensión y el aprendizaje. Una buena instrucción y el planteamiento adecuado de
los problemas pueden ampliar la concepción de las matemáticas, más allá de sólo
trabajar con cuentas y fórmulas, posibilitando el manejo de estrategias de resolución y
el establecimiento de analogías entre situaciones.

No se debe olvidar que parte de la complejidad de aprender y enseñar la resolución de
problemas se debe a la interconexión que se ha de establecer entre:
 Conocimientos previos (conceptos, hechos y procedimientos)
23

 Competencia en el uso de procesos de investigación matemática.
 Confianza en el dominio (estado emocional y psicológico).

Por lo tanto, para poder establecer la interconexión entre los procesos, el profesor
deberá seleccionar adecuadamente los contenidos, materiales, etc. y dar una dirección
clara a los alumnos. En definitiva, tiene que hacer una revisión del programa y
reestructurarlo, orientándolo hacia los procesos y contenidos.

Block, Moscoso, Ramírez y Solares (2007) realizan el análisis de los procesos de
apropiación de los programas de la SEP por parte de los maestros, mencionan la
importancia de que los alumnos comprendan los problemas y que pueden ser
disparadores de nuevos aprendizajes, aun cuando no dispongan del conocimiento
necesario para solucionarlos, señalando la conveniencia de permitirles validar sus
intentos de resolución. Una de las características principales que debe tener un
problema, es que debe plantear un reto, así como la posibilidad de aplicarse en otros
contextos tanto lúdicos, como en el área de las matemáticas. Por lo tanto, se requiere
que los maestros realicen adaptaciones y adecuaciones para responder a las
necesidades de los alumnos, despertar su interés y que se sientan capaces de
solucionar problemas.

Dichos autores señalan la necesidad de establecer en las escuelas condiciones que
faciliten que los maestros se apropien de la aproximación de solución de problemas
para la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas; es importante que ello forme parte
de proyectos escolares y la actualización de los maestros para la enseñanza de las
matemáticas.

Contreras y Del Pino (2007) también consideran que la resolución de problemas es un
eje fundamental en la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas; sin embargo, señalan
que su aplicación es pobre en las aulas. Ellos proponen que los alumnos trabajen en un
problema matemático importante y en la medida en que van programando
matemáticamente, retomarlo y resolverlo con las nuevas técnicas, de modo que los
alumnos se percaten del aumento de sus recursos para enfrentar los problemas, lo cual
incrementa su capacidad de resolución y su confianza en el ámbito de las matemáticas.

Con base en lo expuesto anteriormente, se puede señalar que la enseñanza para
promover el desarrollo de la habilidad para solucionar problemas, debe fomentar las
percepciones de competencia, favorecer la práctica de la planeación, el monitoreo y la
24

evaluación, así como la reflexión constante encaminada a descubrir y explorar maneras
de resolver los problemas.

Debido a que el presente trabajo tiene como finalidad el desarrollo de estrategias en la
resolución de problemas con números fraccionarios, en el siguiente apartado se
abarcará las fracciones de manera general, las dificultades con las que se enfrentan los
alumnos en este tema y los resultados de algunas investigaciones que han estudiado la
solución de problemas con números fraccionarios.

4. Las fracciones y la resolución de problemas con números fraccionarios

Mancera (1992) menciona que las fracciones han ocupado un lugar en el currículo de
la escuela elemental por más de un siglo, tiempo en el que ha predominado una
enseñanza rígida, en la que se presta atención a la memorización de procedimientos
relativos a las fracciones. A pesar de que ha habido reformas y modificaciones a los
planes y programas para la enseñanza de las matemáticas, el tratamiento que se da a
las fracciones sólo tiene cambios en la dosificación y expansión de la etapa de
manipulación de objetos. Se busca que el niño aprenda el significado del numerador y
el denominador, las equivalencias, la resolución de problemas de adición y sustracción
con fracciones; sin embargo, tal propuesta no se basa en el conocimiento del niño, en
lo que aprende, en lo que no puede aprender y por qué no lo puede aprender.

Como se ha señalado antes en el presente trabajo, la comprensión de los conceptos
matemáticos es esencial para poder progresar hacia niveles de mayor complejidad. Es
importante que los conceptos estén vinculados al lenguaje cotidiano que utilizan las
personas en general. Se debe considerar que en la mayoría de las ocasiones, los
términos matemáticos que se van a utilizar, no están desprovistos de significado; el
alumno está influenciado por el uso que se hace de ellos en la vida cotidiana; por
ejemplo, La palabra fracción forma parte del vocabulario relativamente familiar, pero ¿a
qué nos referimos cuando hablamos de fracción? El diccionario menciona dos
acepciones que aluden al origen del latín fractio (romper); por un lado se define como
“la división de las partes” o “las partes de un todo”, por el otro, en el significado propio
de la aritmética, la fracción se define como “número quebrado” o “expresión que indica
división”.

Para esta investigación el término fracción se refiere a una cantidad que se forma al
dividir un todo en partes iguales, de dónde se van tomar cierto número de partes.
25

Nunes y Bryant (1998) mencionan que las apariencias engañan en el caso de las
fracciones, han obtenido que los niños, hablan coherentemente acerca de las
fracciones y resuelven problemas, pero no captan varios de los conceptos cruciales de
las fracciones. Algunos estudiantes pasan de año sin dominar las dificultades de las
fracciones.

Dávila (citado por Parra, 2004), menciona que diversas investigaciones indican que los
niños no conservan el entero cuando es dividido en partes diferentes; se centran en el
número de partes en que se divide el entero, pero no toman en cuenta el tamaño de
las partes. También se ha encontrado que tienen dificultad para ordenar fracciones en
la recta numérica, lo que significa que dominan parte de los procedimientos, pero no el
concepto.

Una de las maneras en que se presentan las fracciones a los niños por primera vez, es
mostrando enteros divididos en partes, en donde la diferencia es que algunas de estas
partes están coloreadas y se les menciona que el total de las partes es el denominador y
las partes coloreadas son el numerador. Investigadores como Campos y colaboradores(citados por Nunes y Bryant, 1998) han demostrado que esta manera de enseñar las
fracciones puede conducir a los alumnos a equivocarse, ya que conduce a los alumnos
a contar el número total de partes y después las partes pintadas.

Piaget y sus colaboradores (citado por Nunes y Bryant 1998) subrayaron las relaciones
que se establecen entre dos elementos que van de lo general a lo particular, como el
punto de partida para la construcción de los conceptos de medición y parte-todo para
comprender las fracciones. Asimismo, mencionan que la comprensión de los números
racionales depende de coordinar dos tipos de relación: las relaciones parte-parte, que
son extensivas y las relaciones parte-todo, que son intensivas. Piaget y sus colegas
llegaron a concluir que la comprensión de las fracciones está relacionada con la
comprensión de la conservación del todo.

Las dificultades curriculares que enfrentan los maestros al enseñar las fracciones y los
problemas que los niños presentan en el aprendizaje de las fracciones ha llevado a los
investigadores a estudiarlos con el fin de comprenderlos y hallar mejores alternativas de
trabajo en el aula.

Balbuena y Block (1991) analizaron la experiencia de los estudiantes en la
multiplicación por una fracción “¿Qué significa multiplicar por 7/4? Reflexión sobre lo
que sucedió en una clase de matemáticas para maestros”. En primer lugar analizaron
los procedimientos usados y las dificultades que se encontraron en los estudiantes de la
licenciatura en educación indígena, y en segundo lugar las ventajas y limitaciones
didácticas que se esperarían si se plantearan a los alumnos del nivel básico. Se les
planteó un problema que consistía en construir un rompecabezas semejante a otro
pero más grande, el maestro organizó al grupo en equipos y esperaba que usaran la
fracción como operador multiplicativo de manera que emplearan la proporcionalidad,
entre otros recursos.

Dichos autores buscaron enfrentar a los alumnos a un hecho empírico en donde
observaran que un problema puede propiciar la generación de soluciones, es decir, los
posibles caminos hacia la noción de interés. Esto permitía a los alumnos validar los
procedimientos usados, ya que les daba la posibilidad de observar si embonaban las
piezas para formar el rompecabezas. Asimismo, marcaron como diferencia importante,
el que los estudiantes pudiera saber si su planteamiento era correcto o incorrecto.
Mencionaron que la validación en algunos casos dependió de la discusión entre los
propios estudiantes y en otros de la intervención del maestro.

Balbuena y Block concluyeron que la importancia de propiciar en el salón de clases el
aprendizaje de una matemática con significado, de manera que los contenidos
temáticos funcionen para solucionar problemas que impliquen retos para los alumnos.

Por otro lado Dávila (1992), realizó un estudio sobre la introducción a la noción de
fracción a partir de problemas de reparto, en el que participó un grupo de alumnos de
1er grado y otro de 2º de una escuela pública de la Ciudad de México. Los objetivos de
esta investigación fueron: 1) introducir a los alumnos a la noción de fracción, sin llegar
a la representación simbólica, 2) que los alumnos realizaran repartos tomando en
cuenta la equitatividad (que a todos les toque la misma cantidad) y la exhaustividad
(que no sobre nada), 3) la apropiación de los términos “medios”, “tercios” y “cuartos”,
interpretándolos como la manera de denominar, 4) que los alumnos descubrieran la
equivalencia, y 5) dar al maestro alternativas de situaciones didácticas para introducir al
alumno el concepto de fracción.

La consigna general para las situaciones de reparto fue: “Repartir pasteles entre niños,
que a cada quien le toque lo mismo y que no sobre nada de pastel”. Se organizaba a
27

los niños en equipos de 2, 3 o 4 niños, dependiendo del número de niños en que se
haría el reparto. Esta organización se debió a que la investigadora observó que los
niños de seis y siete años tienen dificultades para desligarse de las situaciones reales, es
decir, tienen dificultad para repartir un todo en partes iguales a cada uno de los
integrantes de un grupo.

Una vez organizados los equipos, se planteaba el problema, se daba el material y se
pedía a los alumnos que lo resolvieran. Cuando terminaban, el experimentador pedía a
los alumnos que mostraran al grupo lo que habían hecho y les preguntaba, si a cada
uno le había tocado la misma cantidad de pastel y si no había sobrado nada, de
manera que el grupo decidía si el reparto estaba bien hecho o no. Una vez mostrados
los diferentes tipos de reparto que se habían generado, el experimentador planteaba el
segundo problema, en el cual se comparaban repartos equivalentes.

Esta investigación mostró los principales obstáculos que enfrentan los niños en las
situaciones de reparto, incluso utilizando material concreto. Indicó lo prematuro que
resulta introducir la noción de fracción a nivel simbólico en los primeros grados de
educación primaria y también mostró que los alumnos no tienen los elementos
indispensables para abordar este conocimiento. Por otro lado, se evidenció la
capacidad que tienen los alumnos para expresar lo que piensan y su capacidad para
argumentar, lo cual les permite reflexionar y avanzar en la elaboración de sus hipótesis.

Dávila considera conveniente que se introduzca la noción de fracciones mediante
problemas de reparto con material concreto, para que el alumno conciba la fracción
como un todo repartido, que reconozca las equivalencias poco a poco y que asocie los
resultados con las denominaciones, para posteriormente pasar a la representación
simbólica de las fracciones.

Por otro lado Valdemoros (2004), realizó un estudio de caso que buscó mostrar los
recursos intuitivos que favorecen la adición de fracciones. Para desarrollar este estudio,
aplicó un cuestionario exploratorio centrado en las fracciones a un grupo de alumnos
de cuarto grado de una escuela primaria pública. Las respuestas a este cuestionario
permitieron apreciar, la tendencia de algunos estudiantes a resolver adecuadamente
los problemas de adición cuando éstos eran expresados a través de un dibujo; sin
embargo, cuando usaban el algoritmo, los resultados eran incorrectos.

Posteriormente, se realizaron observaciones directas a una alumna de 4º grado en el
aula y una entrevista proyectada en dos tiempos: investigación exploratoria y otra
propositiva en donde la entrevistadora introdujo 10 tareas paralelas, de manera que se
evidenciaran algunos obstáculos cognitivos. Se realizó una triangulación de los
procedimientos para la validación de la investigación, de manera que los contenidos
cognitivos y didácticos fueran comunes y se constató la permanencia de los rasgos
fundamentales del caso.

Los resultados de este estudio mostraron que la alumna generalizó el conocimiento
intuitivo de las relaciones entre fracciones y operaciones de adición y sustracción,
desde un plano pictórico hacia otras formas de representación concretas. La niña
identificó adecuadamente la unidad en los diversos contextos de las tareas, efectuó
reparticipaciones correctas, resolvió correctamente los problemas de fracciones y
aprendió el manejo elemental de la equivalencia entre fracciones. Se observó que la
incorporación del dibujo como representación, se encontraba vinculada con la
experiencia que ella tenía con los contenidos instruccionales y los modelos intuitivos.
Por lo tanto, se concluyó que el dibujo y las experiencias previas deben tomarse en
cuenta como punto de partida hacia nuevas orientaciones de enseñanza.

Charles y Nason (2001), realizaron un estudio para identificar las estrategias que
utilizan los alumnos de primaria para solucionar problemas fraccionarios y evaluar
cómo estas estrategiasfacilitan la abstracción de la noción de fracción. Obtuvieron los
datos mediante la técnica de Ginsburg y colaboradores (1983), que es una
combinación de la entrevista clínica de Piaget y la explicación del procedimiento de
Ericsson y Simon (1984). De acuerdo con Ginsburg, esta técnica además de mostrar la
actividad intelectual, también permite apreciar los mecanismos simbólicos internos que
forman parte de la actividad intelectual.

En dicho estudio participaron 12 alumnos de una primaria ubicada al este de Australia,
quienes oscilaban entre los siete y los ocho años de edad. Fueron seleccionados de
manera propositiva, pidiéndoles a sus maestros que los categorizaran como bajos,
medios y altos en su desempeño. Participaron los estudiantes de todas las categorías
con el fin de poder identificar todas las posibles estrategias que empleaban; en el
momento en que los estudiantes dejaron de mostrar estrategias o salidas emergentes
para solucionar los problemas, se detuvo la colección de los datos.

Se utilizó un prototipo de 30 tareas que requerían el uso de fracciones. En cada tarea
los niños asumían el papel de meseros(as), sirviendo pizzas, pasteles, helados y otros. El
prototipo de tareas estaba organizado en cinco categorías: en la primera, se formaban
mitades; en la segunda, tercios; en la tercera, cuartos; en la cuarta, tenían que repartir
utilizando un modelo circular desde una hasta seis personas y, en la quinta y última
categoría, se exploraba sobre las estrategias que utilizan los niños en la repartición de
un modelo longitudinal (representando por el uso de líquidos) y uno rectangular. Aquí
se utilizó una variedad de tareas para explorar la construcción de cuartos, tercios,
quintos y sextos.

La investigación se llevó a cabo en un vehículo móvil de dos secciones: en un cuarto se
encontraba el entrevistador con el niño y se ubicaban dos video-cámaras; en el otro
cuarto permanecían dos observadores y había monitores y un video-miixer. Los
observadores se comunicaban con el entrevistador por medio de audífonos. Cada uno
de los observadores tenía experiencia como maestro o como experimentador con
maestría en educación matemática. Durante la sesión el entrevistador animaba a los
niños a expresar lo que pensaban en voz alta, para así identificar las estrategias que
utilizaban para resolver la tarea.

Durante el transcurso de la investigación se observó que cada niño usaba una variedad
de estrategias para la partición de un objeto. Se confirmó que los niños pequeños
seleccionan la estrategia no solamente por su conocimiento previo y experiencias, sino
también dependiendo del contexto de la tarea y el tipo de objeto a compartir.

Además se pudo apreciar que los niños utilizan diversas estrategias para dar solución a
los problemas que se les presentaban. Dichas estrategias fueron categorizadas de
acuerdo con el nivel de conceptualización generado en el niño, en donde se observó
lo siguiente: los alumnos que usan la primera estrategia (formar mitades), no hacen la
vinculación entre el número de personas y el nombre de la fracción, es decir, ellos no
saben el nombre de cada parte, por lo que se consideró que no cuantifican la acción de
cada persona. Los niños que usan la segunda estrategia (formar tercios), reconocieron
alguna clase de relación entre el número de personas y el número de partes requeridas
para un reparto equitativo.
Los niños que utilizaron el reparto usando un modelo circular fueron evaluados como
menos adelantados en el proceso de construcción y entendimiento de la fracción. Estos
niños necesitan una intervención basada en la enseñanza y experiencias pre-simbólicas
que permitan con flexibilidad llegar al concepto de la unidad y una firme
30

fundamentación para la cuantificación de las partes. Esto se puede lograr mediante el
uso de objetos análogos, fáciles de repartir.

La investigación realizada mostró que la estrategia de partición depende del contexto
de la tarea y el objeto análogo. Asimismo, se observó que los estudiantes tienden a
responder de manera diferente a las tareas relacionadas con la misma matemática o
concepto.

Sobre las estrategias para favorecer las tareas de partición, se denota que cuestionar al
niño durante se desempeño, ayuda a que enfoque su atención en el establecimiento
de vínculos entre la cantidad que se reparte, el número de partes y la cantidad en cada
parte.

Además se demostró que es importante la aplicación de la taxonomía en la ejecución
de las actividades que el niño lleva a cabo, debido a que muestra los niveles de avance
y comprensión en la construcción del concepto de fracción.

Dicha investigación preparó el camino a otros estudios en los cuales los maestros
utilizan de manera sistemática y efectiva los conocimientos y estrategias intuitivas de los
niños para desarrollar el concepto de fracción.

Levin (2001), efectuó una investigación cuyo objetivo fue determinar qué es lo que los
estudiantes de secundaria saben acerca de la relación entre las fracciones y la división,
por lo que fue importante identificar primero cuáles son los conocimientos
conceptuales que tienen los estudiantes sobre cada uno de los temas, y después los
estudiantes fueron cuestionados acerca de la relación existente entre las fracciones y
las divisiones en diferentes contextos. Las respuestas fueron categorizadas y
comparadas con los contenidos que se incluyen en el libro de texto.

Los resultados obtenidos en esta investigación mostraron que los estudiantes tienen
dificultades con los conceptos de fracciones y divisiones debido a que los libros de texto
no presentan adecuadamente estos dos temas. Por lo tanto, los maestros deben ser
sistemáticos y cuidadosos en las explicaciones para eliminar concepciones erróneas. Se
observó que los estudiantes manifiestan solamente que la relación entre los conceptos
de fracción y división existe, pero no el por qué existe esta relación. Se concluyó que si
los alumnos tuvieran más tiempo, podrían percatarse de que una fracción indica
división. Esta investigación evidencia la importancia de que los libros de texto
31

incorporen habilidades para el desarrollo de estos conceptos y su relación, que se
establezcan diferentes modelos de representación y que se planteen situaciones de
problemas fundamentadas en la división. También se propone que se organice una
estrategia de discusión en donde los alumnos discutan los conceptos de fracción y
división de manera que esto ayude al reconocimiento de la relación entre estos dos
temas.

Por otro lado, Parra (2004) desarrolló una propuesta para enseñar fracciones a una
comunidad formada por alumnos con problemas de aprendizaje.

El autor buscó que los alumnos discutieran, elaboraran, probaran métodos, y lo más
importante, que tuvieran la oportunidad de practicar las matemáticas para desarrollar
su pensamiento matemático, con el apoyo de compañeros y maestros. La actividad del
maestro fue: a) crear instrucciones matemáticas para que los alumnos desarrollaran
confianza, b) apoyar a los alumnos para que lograran entender conceptos y
procedimientos, para posteriormente argumentar y comunicar los resultados, c)
proveer a los estudiantes de oportunidades para explorar diversas soluciones, y d)
diseñar situaciones en las que conceptos y procedimientos fuesen útiles. Para poder
lograr los objetivos, era importante que los alumnos tuvieran claro lo que se perseguía
en cada momento.

En esta investigación se entregó a los alumnos una tarjeta auto-instruccional, el
instructor modeló el uso de esta tarjeta, encaminó a los alumnos en el uso de la misma
y se plantearon problemas relacionados al concepto de fracciones. Estos problemas
tenían que ser resueltos con el apoyo de la tarjeta.

Parra (2004), logró que los alumnos comprendieran y observaranque hay diversos
procedimientos para solucionar situaciones matemáticas fraccionarias, de tal manera
que los alumnos argumentaran sus procedimientos y comunicaran a la comunidad de
aprendizaje los resultados, generando confianza en sí mismos, al manejar el uso de
conceptos y procedimientos.

Se concluyó que no sólo el alumno desarrolla aprendizaje, sino que también el maestro
desarrolla habilidades tanto instruccionales (modelamiento, moldeamiento, entre otras)
como sociales (flexibilidad en la organización para el trabajo) para llevar a la práctica
una educación diferente.

Otra autora (Ávila, 2006) llevó a cabo una investigación con adultos con el fin de
analizar si el contacto con los lenguajes simbólicos escolares (símbolos matemáticos)
podría hacer alguna diferencia en el acercamiento a los números fraccionarios.
Participaron 17 adultos sin escolaridad, seis que recién habían terminado el curso de
alfabetización y 13 que en su infancia habían cursado hasta cuarto o quinto de
primaria. Se efectuaron entrevistas a cada uno de los participantes sobre las estrategias
que emplean ante problemas semejantes a los que enfrentan en la vida diaria. Se
incluyeron preguntas, láminas, tarjetas con fracciones no contextualizadas y situaciones
de proporcionalidad asociadas a precios y mezclas. Las entrevistas se grabaron y
transcribieron y se complementaron con notas de los entrevistadores.

Los análisis cuantitativo y cualitativo de los datos recogidos permiten afirmar que en la
vida cotidiana se desarrollan habilidades y conocimientos matemáticos relacionados
con las fracciones, que permiten delimitar, estructurar y razonar; no obstante los
cálculos que se realizan en la vida diaria son escasos a diferencia de los que se efectúan
en el contexto escolar con los números naturales, y que obedecen a objetivos distintos.

Los participantes mostraron habilidades y conocimientos que principalmente provienen
de la práctica con medidas de peso y capacidad; se observó con mayor frecuencia un
desconocimiento de los tercios, debido a que es una fracción poco utilizada en la vida
cotidiana y mayor conocimiento de los medios, cuartos y medios cuartos (octavos).
También se encontró que algunas de estas concepciones son precarias, por varias
razones: las concepciones están asociadas al contexto en que se desenvuelven las
personas, expresan sólo denominación y no relaciones, y en ocasiones las personas
pierden el orden y la equivalencia de los números fraccionarios.

Se llegó a la conclusión de que el conocimiento de las fracciones en la realización de los
repartos; no parece formar parte importante de la vida de los participantes. Los adultos
que participaron usan las fracciones con un sentido y una manera diferente de la que
se enseña en la escuela.

En el caso de los niños se puede observar que en la práctica cotidiana en algunos casos
usan las fracciones y tienen manejo de algunos términos; sin embargo, al enfrentarse a
la enseñanza formal (escuela) presentan dificultades para su comprensión y manejo.

Villareal (2006) en su artículo sobre “La enseñanza de la matemática y sus posibilidades
cuando se ha deteriorado el afán de sentido”, plantea que pocas veces se acude a la
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experiencia del niño, el cual es expuesto desde edades muy tempranas a expresiones
que van construyendo sus nociones sobre las fracciones como es el tamaño de un
trozo de pastel de cumpleaños, la noción de mitad, de medio litro, entre otras. Este
lenguaje va adquiriendo sentido conforme se va utilizando, aun cuando se hace en un
inicio como resultado de la repetición. La enseñanza matemática del aula mantiene
una escasa vinculación con la experiencia, se insiste en la memorización de
procedimientos, sin que haya un acercamiento previo hacia lo que significa un
problema y el método para su solución. De este modo, se lesionan las bases para el
desarrollo de un pensamiento matemático.

Parra (2004) reitera que uno de los principales problemas que presentan los alumnos
de nivel primaria y algunos de secundaria, es el rudimentario conocimiento que tienen
acerca de las fracciones; pareciera que las comprenden ampliamente, ya que utilizan
los términos, coherentemente y resuelven problemas con ellas; no obstante, se ha
observado que no captan varios conceptos importantes y presentan dificultades.

Nunes y Bryant (1998) afirman que existe una brecha entre la comprensión de los
números racionales (todo número que puede representarse como el cociente de dos
enteros con denominador distinto de cero) y la ejecución de tareas de forma correcta
con números racionales. Según dichos autores, esto podría deberse a que los alumnos
necesariamente tienen que razonar las situaciones. Considera que se trata de una
situación en la que los alumnos necesitan pensar qué operación hacer y cómo utilizar
lo que se les ha enseñado; por lo tanto, no se concentran en la situación del problema.
La brecha entre comprensión y realización puede deberse a que los alumnos aprenden
sólo algunos significados y no consideran otros.

Esta brecha entre la comprensión y la operacionalización, llevó a Nunes y Bryant a
tomar en cuenta dos variables para la enseñanza de las fracciones: su representación
simbólica y un contexto familiar. Estos autores afirman que involucrar a los alumnos en
problemas representados simbólicamente y en problemas similares a los que se les
presentan en contextos familiares, les ayuda a relacionar los símbolos y procedimientos
con su propio conocimiento, lo cual permite al alumno tener en mente las variables de
representación y el contexto.

Con base en la revisión de la literatura presentada se estructuró una propuesta para la
enseñanza-aprendizaje de solución de problemas con números fraccionarios. La
estrategia general consiste en presentar a los alumnos problemas con fracciones
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semejantes a los que manejan en su vida cotidiana, con el propósito de que los
alumnos desarrollen:
 Conocimiento lingüístico en donde reflexionen sobre el contexto en el que se
presentan los datos, identifiquen la incógnita y con ello manejen representaciones
simbólicas. Cabe señalar que para hacer la representación simbólica, es necesario que
los alumnos hagan uso de representaciones icónicas (imágenes, dibujos) (Valdemoros,
citado por Parra, 2004).
 Conocimiento estratégico que les permitirá seguir un procedimiento que los
lleve a la solución del problema, de modo que la percepción de sí mismo se modifique
al observarse como persona asertiva.
 Conocimiento algorítmico en donde deberán realizar la operación de manera
adecuada y verificar el resultado.
 Habilidad de comunicación, es decir, que pueda expresar la forma de trabajo,
así como comunicar los resultados obtenidos utilizando el lenguaje matemático.
 Capacidad de socialización, que se logrará por medio del conocimiento
estratégico y la habilidad de comunicación. Ello que permitirá a los alumnos observar
que existen diferentes procedimientos para solucionar un mismo problema y también
darse cuenta si el procedimiento utilizado es correcto o incorrecto.
 Actitud positiva hacia las matemáticas, al sentir que son capaces de resolver los
problemas de manera satisfactoria, así como encontrar una aplicación tanto lúdica
como académica y en la vida cotidiana.

A continuación, se describe el método utilizado para el desarrollo de este trabajo.
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MÉTODO

Objetivo General

o Promover el uso de estrategias para la solución de problemas con números fraccionarios
en alumnos de 5º y 6º grados de primaria.

Objetivos Específicos

1. Que los alumnos adquieran el concepto de fracción, sus partes, así como que
identifiquen cuál de ellas es mayor, menor o equivalente.
2. Que resuelvan problemas de suma y resta con números fraccionarios utilizando
estrategias

Estrategias-para-la-resolucion-de-problemas-con-fracciones

Biológicas / Saúde

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