problema96[1]

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93. Una esfera conductora de radio R1 está rodeada por una corona esférica conductora de radios R2 y R3 
(R2<R3) concéntrica con la primera. Si ambos conductores se han cargado previamente con cargas Q1 y 
Q2, respectivamente: 
a) determinar la distribución de cargas en el equil ibrio en cada uno de los conductores; 
b) calcular el campo eléctrico y potencial en todas las regiones; 
c) contestar a los apartados anteriores suponiendo que la esfera de radio R1 se conecta a tierra. 
 
 
La esfera de radio R1 adquiere una carga Q1 que se reparte 
homogéneamente sobre su superficie. La densidad superficial de 
carga es igual a: 
2
1
1
1 4 R
Q
π
σ = 
La corona esférica de radios R2 y R3 adquiere la carga Q2, que se 
repartirá entre las dos superficies de radios R2 y R3. 
 
Aplicamos la ley de Gauss a una superficie esférica de radio r 
comprendido entre R2 y R3. El campo en este punto es igual a cero 
ya que estamos en el interior de un conductor. 
 
∫ =⇒==⋅ 0Q 0 int
0
int
ε
Q
SdE
��
 
En el interior de la esfera gaussiana sólo puede haber carga en las superficies R1 y R2. Sobre la superficie 
R1 ya hemos visto que se distribuye la carga Q1, así que tiene que haber la misma carga con signo opuesto 
sobre la superficie R2. La densidad superficial de carga en esta superficie es: 
2
2
1
2
4 R
Q
π
σ −= 
El resto de la carga de la corona esférica debe estar distibuida sobre la superficie R3. 
123
13232
)(
)()()(
QQRrQ
QRrQRrQRrQQ
+==
−===+==
 
La densidad superficial de carga en R3: 
2
3
21
3
4 R
QQ
π
σ
+
−= 
b) Campo eléctrico y potencial 
Calculamos los campos mediante la ley de Gauss, y los potenciales: 
1
210
1
30
21
44
21
20
1
30
21
32
0
1
3
32
30
21
22
3
0
21
12
0
21
1
11
44
0
11
444
4
0
44
Rr
RR
Q
R
QQ
VE
RrR
Rr
Q
R
QQ
V
r
Q
E
RrR
R
QQ
VE
Rr
r
QQ
V
r
QQ
E
≤





−+
+
==
≤≤





−+
+
==
≤≤
+
==
≥
+
=
+
=
πεπε
πεπεπε
πε
πεπε
 
 
c) la esfera de radio R1 se conecta a tierra, luego su potencial será cero, y su carga será diferente, Q1’ . 
La carga total de la corona esférica seguirá siendo Q2, pero se distribuirá de forma diferente entre las dos 
superficies. Como en el caso anterior, sobre la superficie R2, se distribuirá la carga - Q1’ . 
Las densidades superficieles de carga ahora son: 
 
R1 
R3 
R2 
2
1
1
1
4
'
'
R
Q
π
σ = , 
2
2
1
2
4
'
'
R
Q
π
σ −= y 
2
3
12
3
4
'
'
R
QQ
π
σ
+
= 
 
Los campos y los potenciales son: 
1
210
1
30
21
44
21
20
1
30
21
32
0
1
3
32
30
21
22
3
0
21
12
0
21
1
11
4
'
4
'
0
11
4
'
4
'
4
'
4
'
0
4
'
4
'
Rr
RR
Q
R
QQ
VE
RrR
Rr
Q
R
QQ
V
r
Q
E
RrR
R
QQ
VE
Rr
r
QQ
V
r
QQ
E
≤





−+
+
==
≤≤





−+
+
==
≤≤
+
==
≥
+
=
+
=
πεπε
πεπεπε
πε
πεπε
 
 
Sabemos que 0)( 1 == RrV , entonces: 
 
3
2
312
1
210
1
30
21
111
'
11
4
'
4
'
R
Q
RRR
Q
RR
Q
R
QQ
=





−−






−−=
+
πεπε
 
123231
212
1 ' RRRRRR
QRR
Q
−−
=