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10-Radiacion1

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Electromagnetismo 2004 10-1 
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería 
Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar 
 
 
Introducción 
En los capítulos precedentes analizamos las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en un re-
cinto sin fuentes de campo, que constituyen ondas electromagnéticas. En tales casos se suponía 
que las fuentes se hallaban fuera del recinto de integración. En este capítulo analizaremos las 
soluciones de las ecuaciones de Maxwell cuando las fuentes del campo se hallan dentro del re-
cinto de integración. De esta forma se determina la relación entre el campo y sus fuentes, es de-
cir, se describe el proceso de generación de energía electromagnética radiante. 
El problema de la radiación electromagnética tiene importancia práctica a altas frecuencias. En 
sistemas de potencia es de relevancia en situaciones de sobrecarga o desbalanceo transitorios, 
caída de rayos, y como factor de interferencia electromagnética sobre otros equipos o instalacio-
nes. En comunicaciones inalámbricas, los sistemas radiantes se basan en estos principios. Final-
mente, son de interés actual las consecuencias biológicas y ambientales de los campos electro-
magnéticos, fundamentalmente en relación a los eventuales efectos perjudiciales que las instala-
ciones eléctricas puedan tener sobre la salud humana y el medio ambiente. 
Resolución de las ecuaciones de Maxwell en el vacío con fuentes 
En el vacío: 
),(),(),(
0),(),(
0),(
),(),(
0
0
0
t
t
tt
t
tt
t
tt
rjrErH
rHrE
rH
rrE
=
∂
∂
−×∇
=
∂
∂
+×∇
=•∇
=•∇
ε
µ
ε
ρ
 
Para resolver estas ecuaciones inhomogéneas, es conveniente introducir los llamados potenciales 
electrodinámicos, que surgen de las propiedades de los campos: 
Como 0),( =•∇ trH ⇒⇒⇒⇒ ),(
1),(
0
tt rArH ×∇=
µ
 
A es el llamado potencial vectorial electrodinámico1. 
Entonces: 0),(),( 0),(),( 0 =×∇∂
∂
+×∇⇒=
∂
∂
+×∇ tttt rA
t
rE
t
rHrE µ 
Luego: 0),(),( =



∂
∂
+×∇
t
rArE tt 
de modo que el campo dentro del corchete se puede escribir como el gradiente de un potencial 
escalar: ),(),(),( ttt r
t
rArE φ−∇=
∂
∂
+ ⇒⇒⇒⇒ 
t
rArrE
∂
∂
−−∇=
),(),(),( ttt φ 
φ es el llamado potencial escalar electrodinámico2. 
 
1 Nótese que este potencial vectorial electrodinámico coincide con el potencial vectorial magnético que hemos visto 
previamente en el caso estático cuando los campos no dependen del tiempo. 
2 También el potencial escalar electrodinámico coincide con el potencial electrostrático cuando los campos no de-
penden del tiempo. 
10 - Radiación Electromagnética 
Electromagnetismo 2004 10-2 
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Ejemplo 10.1: Analizar la unicidad en la selección de los potenciales electrodinámicos. 
Como se define el potencial vectorial a partir de: 0/),(),( µ×∇= tt rArH se ve que puede 
escribirse también: [ ] 0/),(),(),( µttt rrArH Ψ∇+×∇= donde ),( trΨ es un campo escalar 
diferenciable cualquiera, ya que el rotor de un gradiente siempre es cero. Entonces el poten-
cial vectorial no es único, sino que está definido a menos del gradiente de un campo escalar. 
Si tomamos entonces: ),(),(),( ttt rrArA Ψ∇+=′ 
queda para el campo eléctrico: 
t
r
t
rAr
t
rArrE
∂
Ψ∂∇
−
∂
∂
−−∇=
∂
′∂
−−∇=
),(),(),(),(),(),( tttttt φφ 
o sea: 
t
rA
t
rrrE
∂
∂
−





∂
Ψ∂
+−∇=
),(),(),(),( tttt φ 
de manera que si tomamos los potenciales electrodinámicos: 
t
rrr
rrArA
∂
Ψ∂
−=′
Ψ∇+=′
),(),(),(
),(),(),(
ttt
ttt
φφ
 
llegamos a las mismas expresiones de los campos que antes. La función Ψ es arbitraria, y 
su elección se conoce como una calibración o gauge. Las leyes físicas deben ser invariantes 
frente a una transformación de calibración. Las modernas teorías de gauge en la descripción 
de las interacciones elementales han creado una nueva visión de la física. 
Los potenciales electrodinámicos φ(r,t) y A(r,t) permiten obtener los campos. Veamos cómo 
se escriben las ecuaciones de Maxwell para estos potenciales: 
 
jAArjrErH
AArrE
=



∂
∂
+∇
∂
∂
+×∇×∇⇒=
∂
∂
−×∇
−=•∇
∂
∂
+∇⇒−=



∂
∂
+∇•∇⇒=•∇
tt
t
t
tt
tt
tt
φε
µ
ε
ε
ρφ
ε
ρφ
ε
ρ
0
0
0
0
2
00
1 ),(),(),(
 ),(),(
 
de donde: 
( ) jAAAjAAA 02
2
2
2
202
2
22
2 11 11 µφµφ =
∂
∂
+∇−





∂
∂
+•∇∇⇒=
∂
∂
+





∂
∂
∇+∇−•∇∇
tctctctc
 
Todo campo vectorial queda unívocamente definido si se dan su divergencia y su rotor. En el 
caso del potencial vectorial A se conoce el rotor (que es H) pero las ecs. de Maxwell no dan nin-
guna condición sobre su divergencia. Es así que podemos elegirla de la forma más conveniente 
para resolver el problema. Esta elección arbitraria se llama una calibración, como se mencionó 
en el Ejemplo 10.1. 
En nuestro caso, las ecuaciones diferenciales para los potenciales electrodinámicos se simplifi-
can si usamos la calibración de Lorentz: 012 =∂
∂
+•∇
tc
φA 
de donde queda: 
),(),(1),( ),(),(1),( 02
2
2
2
0
2
2
2
2 tt
tc
ttt
tc
t rjrArArrr µ
ε
ρφφ =
∂
∂
−∇=
∂
∂
−∇ 
que son ecuaciones vectoriales de D’Alembert inhomogéneas. 
La solución de estas ecuaciones inhomogéneas son las siguientes (APENDICE 7): 
∫∫
′′
=
′′
=
VV
dV
R
ttdV
R
tt ),(
4
),( ),(
4
1),( 0
0
rjrArr
π
µρ
επ
φ 
con: cRttR / −=′′−= rr 
Se ve de estas expresiones que 
los potenciales en un punto r 
del espacio y en el instante t 
dependen de lo que ocurrió en 
las fuentes en un instante ante-
rior t’. Por esta razón se lla-
man potenciales retardados. 
Electromagnetismo 2004 10-3 
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Este retardo surge del valor finito de propagación de la luz en el vacío, que da lugar a un interva-
lo entre el momento que se da un cambio en la fuente y el momento en que se observa el corres-
pondiente cambio en el campo lejano observado. Los cambios se propagan en forma ondulatoria 
con velocidad c. Estas ecuaciones representan la generación de ondas electromagnéticas a partir 
de sus fuentes. Estas ondas transportan energía desde las fuentes hacia otros sistemas. 
De la expresión de A se observa que existe generación de ondas cuando la corriente depende del 
tiempo. Si la corriente es estacionaria, no existe generación de ondas. Una corriente estacionaria 
(independiente del tiempo) implica que las cargas se hallan en movimiento uniforme. Una co-
rriente no estacionaria implica cargas aceleradas. 
Parámetros básicos de las antenas 
Su objetivo es enviar o recibir energía y/o información a distancia en forma de ondas electro-
magnéticas. Se puede pensar una antena como un dispositivo de adaptación de impedancias entre 
la línea o guía de alimentación y el espacio. En las siguientes secciones presentamos los paráme-
tros básicos que describen el comportamiento de las antenas. 
Resistencia de radiación 
Cuando la antena actúa como emisora, envía energía al espacio que la rodea. Se puede modeli-
zar esta cesión de energía con una analogía circuital donde la energía radiada se supone disipada 
por efecto Joule en una resistencia de radiación. 
Diagrama de radiación 
Un parámetro importante de una antena es la distribución espacial de la radiación que emite. 
Sabemos que mediante interferencia de radiadores coherentes podemos obtener una distribución 
no uniforme de la radiación. Esto permite lograr “guiar” ondas aún el espacio libre sin contornos. 
Las gráficas de campo o densidad de potencia radiada según las direcciones del espacio son los 
llamados diagramas de radiación. Estos diagramas también describen las propiedades anisótro-
pas de recepción de antenas receptoras, de manera que son características de gran interés en el 
diseño de un enlacede radiocomunicaciones.Habitualmente el diagrama de radiación de una an-
tena es un diagrama tridimensional o un grupo de secciones sobre planos que definan las caracte-
rísticas de la antena. 
Normalmente se trata de un diagrama en coordenadas esféricas y secciones sobre planos horizon-
tales (a ϕ constante) o verticales (a θ constante). En la figura se muestran diagramas polares 
horizontales del campo y la densidad de potencia radiados por un arreglo de radiadores ubicados 
sobre el eje vertical. 
Generador 
Onda guiada 
Antena Generador 
Onda guiada 
R Radiación 
Onda libre 
Se concluye entonces que sólo cargas aceleradas emiten ondas electromagné-
ticas, mientras que cargas en movimiento uniforme no emiten radiación. 
Una antena es un transductor entre una onda guiada y una onda en el espacio libre. 
Electromagnetismo 2004 10-4 
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También se pueden dibujar los diagramas en coordenadas cartesianas, con ordenada proporcional 
a la amplitud del campo o a la densidad media de potencia radiada, en escala normal o en escala 
logarítmica (en dB), como se ilustra en las siguientes figuras para el mismo sistema de las gráfi-
cas polares. 
Se observa que el diagrama de radiación consiste en una serie de lóbulos. Se ve además que (en 
general) el diagrama de radiación de campo revela con más detalle la estructura lobular de la 
radiación, aunque el diagrama de densidad de potencia describe en forma más realista la distri-
bución anisotrópica de la energía radiada. En lo que sigue en esta sección, nos referiremos al 
diagrama de potencia. 
Hay lóbulos principales, en las direcciones de máxima radiación, y lóbulos secundarios, que se 
hacen más evidentes en los diagramas logarítmicos. El lóbulo se define por su amplitud y su 
ancho de haz de potencia media ∆ϕ para el cual la densidad de potencia cae a la mitad del 
valor máximo para el lóbulo (y los campos a 2/1 ). 
En muchos casos la antena produce una polarización no lineal, y se pueden dar los diagramas de 
radiación para cada componente de polarización o un diagrama de potencia, que grafica el módu-
lo del vector de Poynting (para el campo completo) en función de la dirección (θ,ϕ). Habitual-
mente los diagramas de potencia se normalizan a la densidad máxima. 
Potencia media radiada 
El vector de Poynting medio emitido por la antena será: ( )*Re
2
1 HEN ×>=< 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
Diagrama de campo Diagrama de potencia 
θ (grados) θ (grados) 
∆ϕ 
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La potencia media radiada por la antena se calcula mediante el flujo del vector de Poynting a 
través de una superficie cerrada que contiene a la antena: 
∫ •= S dsP nN ˆ 
La superficie de integración es cualquiera. Supongamos, 
por ejemplo, que tomamos a S1 como superficie de inte-
gración, y obtenemos un valor 1P . Si luego tomamos 
otra superficie S2 que contiene a S1, obtendremos en prin-
cipio otro valor 2P . Pero el espacio entre S1 y S2 es va-
cío, es decir, no contiene fuentes (otros radiadores) ni su-
mideros (por ejemplo, cuerpos conductores) de energía 
electromagnética. Por lo tanto la potencia que cruza S1 
debe ser la misma que cruza S2. De esta forma demostra-
mos que la superficie de integración puede ser cualquiera y entonces se elige por conveniencia 
matemática una esfera centrada en el centro de la antena: 
∫∫ Ω><=•><>=<
π4
2ˆ drNdSP r
S
nN 
donde dΩ es el ángulo sólido elemental subtendido por el elemento dS. Definimos así el dia-
grama de radiación de potencia: 
),( 2 ϕθf
N
N
dPd
dPd
Nr
d
Pd
maxr
r
max
r =><
><
=
Ω
Ω
⇒><=
Ω
><
 
Area de haz 
Se define como área de haz a: πϕθ
π
4),(
4
≤Ω=Ω ∫ dfA y es el ángulo sobre el cual se 
concentraría la radiación si fuera dentro de este ángulo de valor igual al máximo. 
Se tiene que: AmaxAmaxr dPdrNP ΩΩ=Ω><>=<
2 
El área de haz mide la anisotropía de la radiación. Es menor cuanto más concentrada se halla la 
radiación en un ángulo pequeño. 
El área de haz se puede expresar en forma aproximada como el producto de los anchos de poten-
cia media sobre las dos direcciones principales ortogonales: 
ϕθ ∆∆≅ΩA 
También en ocasiones se separa la contribución de los lóbulos mayores de los lóbulos menores: 
mMA Ω+Ω≅Ω lo que lleva a definir la eficiencia del haz principal como: AMM ΩΩ= /ε 
Directividad, ganancia y eficiencia 
La directividad de una antena es la relación entre la densidad de potencia máxima y la densidad 
de potencia promediada sobre una esfera. Resulta en un número ≥ 1 que mide el grado de aniso-
tropía de la radiación. Una antena muy directiva concentra su radiación en un ángulo sólido pe-
queño. 
De acuerdo a su definición: 
A
Amax
P
P
P
dPd
D
Ω
=
Ω
=
Ω
=
π
ππ
4
4/
/
4/
 y se ve que la directi-
vidad es inversamente proporcional al área de haz. 
S1 
S2 dS dΩ 
r 
Una antena isotrópica tiene directividad unitaria. 
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Se denomina ganancia de la antena a: 
donde k es la eficiencia de la antena, que está relacionada con las pérdidas por efecto Joule en 
los conductores de la antena. Si (idealmente) la antena no presenta pérdidas óhmicas, k = 1 y la 
ganancia coincide entonces con la directividad. 
Impedancia de entrada 
La impedancia de entrada es la impedancia que la antena presenta al circuito de alimentación. En 
general es compleja: ZA = RA + i XA y la parte resistiva se puede descomponer en la parte Rj que 
representa las pérdidas óhmicas en el circuito de la antena y la resistencia de radiación Rr, 
asociada a la potencia emitida: RA = Rj + Rr. 
La impedancia de entrada de la antena es un parámetro fundamental para la adaptación de la an-
tena al circuito alimentador y es frecuente que su variación con la frecuencia sea uno de los pa-
rámetros de diseño más importantes. 
En general podemos considerar un generador de impedancia interna ZG conec-
tado a una antena de impedancia de entrada ZA. La corriente de alimentación 
de la antena es la que circula por el circuito equivalente de la figura: 
)( AGrjGAG XXiRRR
V
ZZ
VI
++++
=
+
= 
donde V es la tensión pico del generador. La potencia media de pérdidas óh-
micas en la antena es: 
22
2
2
)()(22
1
AGrjG
j
jj XXRRR
RV
RIP
++++
== 
mientras que la potencia media radiada por la antena es: 
22
2
2
)()(22
1
AGrjG
r
r XXRRR
RVRIP
++++
== 
Finalmente, la potencia media perdida en el circuito del generador es: 
22
2
2
)()(22
1
AGrjG
G
GG XXRRR
RV
RIP
++++
== 
El generador debe suministrar estas tres potencias. La condición de máxima transferencia de 
potencia del generador a la antena se da cuando la impedancia de la antena es el conjugado de la 
impedancia del generador: 
AGrjAG XXRRRR −=+== 
En este caso las potencias involucradas valen: 
)(8
 
)(8
 
)(8
2
2
2
2
2
rj
G
rj
r
rj
j
j RR
V
P
RR
RV
P
RR
RV
P
+
=
+
=
+
= 
de donde se ve que: PPPP jAG +== 
es decir la potencia perdida en el circuito interno del generador es igual a la potencia total que se 
envía a la antena, donde parte se disipa por efecto Joule y parte es emitida en forma de radiación 
electromagnética. Si la antena idealmente no tuviera pérdidas el generador debería suministrar el 
doble de la potencia que se quiere emitir en la condición de máxima transferencia de potencia. 
En casos prácticos debe suministrar más, para compensar las pérdidas óhmicas de la antena y de 
la/s líneas de transmisión de conexión. 
Abertura o área efectiva 
Cuando la antena se utiliza como receptora, recibe una dada densidad de potencia electromag-nética, que convierte en energía eléctrica en un circuito. La relación entre la potencia eléctrica 
ZA 
ZG 
V I 
G = k D 
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útil y la densidad de potencia que recibe la antena tiene dimensiones de área, y se denomina área 
o abertura efectiva de la antena: 
 
La abertura efectiva de la antena significa el área efectiva que presenta a la radiación inciden-
te, como si fuera una “abertura” por donde pasa toda la potencia recibida. La abertura efectiva de 
la antena resume dos características: la anisotropía o directividad de la antena y la eficiencia de 
conversión de energía radiante en potencia eléctrica en un circuito. Si suponemos que esta efi-
ciencia es máxima (unitaria), la abertura efectiva se denomina abertura efectiva máxima. 
Para calcular la abertura efectiva máxima de una antena receptora consideremos una antena que 
está conectada a una carga ZL, sobre la que incide 
una onda desde un transmisor lejano, que podemos 
considerar una onda plana. En tal caso, el vector de 
Poynting o densidad de potencia incidente es: 
0
2 2ηiEN >=< donde Ei es la amplitud del cam-
po incidente. Por otra parte, este campo incidente 
inducirá una fem LEV i≈ sobre la antena, don-
de L es su longitud. Se puede entonces pensar en un circuito equivalente como el de la figura, 
donde ZA es la impedancia de la antena. Por lo tanto, la potencia transmitida a la carga es: 
( ) ( ) 2
22
**
222
1
2
1
AL
LL
LL ZZ
RVRI
IIZeIVeP
+
==ℜ=ℜ>=< 
Si queremos hallar la abertura máxima no debe haber pérdidas en la antena, de modo que la parte 
real de la impedancia de antena es solamente la resistencia de radiación: ArA iXRZ += lo que 
indica que toda la potencia activa absorbida por la antena es potencia de radiación. Además, para 
máxima transferencia de potencia de la antena a la carga, la impedancia de carga debe ser conju-
gada de la de la antena: ArAL iXRZZ −==
* y entonces: 
r
i
rr
r
AL
L
R
LE
R
V
R
RV
ZZ
RV
P
88222
222
2
2
2
2
===
+
>=< 
La abertura efectiva máxima resulta así: 
ri
ri
e R
L
E
RLE
N
PA
m 42
8 20
0
2
22 η
η
==
><
><
= 
para una antena del tipo de un alambre recto. 
Cuando la antena es una espira, la fem inducida será: 
cSEiSEiSBidtdV iiim ωηµωω ==≈Φ= )/( 00
 donde S es el área de la espira. Luego: 
 
88 2
2222
⇒=>=<
r
i
r Rc
SE
R
V
P
ω
 rri
ri
e
R
S
Rc
S
E
RcSE
N
PA
m 2
2
0
2
2
22
0
0
2
2222
42
8
λ
ηπωη
η
ω
===
><
><
=
 
donde se ha usado: ω/c = 2π/λ 
Una misma antena puede utilizarse como transmisora y receptora. Por lo tanto, sus características 
de rtransmisión y recepción están ligadas. Las relaciones más importantes son3: 
Aem
A Ω=2λ ee AGAD m 22
4 4
λ
π
λ
π
=⇒= : 
 
3 Ver, por ejemplo, W.Stutzman & G.Thiele, “Antenna Theory and Design”, 2nd.Ed., Wiley, New York, 1998, p.78. 
ZL 
L ZL 
ZA 
V I 
Ae = <P>/<N> 
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Tipos básicos de radiadores 
En este capítulo veremos algunos de los tipos básicos de radiadores: el dipolo eléctrico corto, el 
dipolo magnético elemental y las ranuras radiantes. Con estos tipos podemos describir antenas de 
mayor complejidad y tamaño. 
Los diagramas de radiación y la polarización de los campos emitidos por estos radiadores se 
muestran en las figuras para comparación. Debe tenerse en cuenta que la intensidad de la poten-
cia radiada por estos elementos es diferente y los diagramas no están a escala. 
Una clasificación básica de las antenas surge de su comportamiento en frecuencia. Hay configu-
raciones de banda angosta, que emiten eficientemente sólo en un conjunto discreto de frecuen-
cias (quizás una sola) y antenas de banda ancha, que emiten con eficiencia similar en un espec-
tro importante. Cada tipo tiene aplicaciones específicas y veremos ejemplos de ambos tipos de 
antenas en este Capítulo. 
Radiación dipolar eléctrica 
Las antenas tradicionales consisten en conductores filiformes por los que circulan corrientes de-
pendientes del tiempo. El caso más simple de emisión de ondas electromagnéticas o radiación, 
se da en el caso de un hilo muy corto, que transporta una corriente uniforme variable en el tiem-
po. Este objeto no corresponde a ningún caso real, pero se trata de un caso límite que se puede 
usar luego para el análisis de antenas reales mediante superposición. 
Suponemos que por el hilo, que llamamos dipolo eléctri-
co radiante, circula una corriente armónica uniforme 
tieItI ω0)( = (en notación fasorial). El potencial vectorial 
magnético creado por el dipolo será: 
∫∫ ′
′
=′
′′
=
CV
zd
r
tIVd
R
tt zrjrA ˆ)(
4
),(
4
),( 00
π
µ
π
µ
 
donde hemos pasado de una integral de volumen a una 
integral de línea, y como r’ = 0 y la corriente no depen-
de de r’ queda: zrA ˆ
4
),( )/(00 crtie
r
LI
t −= ω
π
µ
 
A partir del potencial vectorial podemos calcular el cam-
po magnético: H = ∇×A. Para ello nos conviene expresar A en coordenadas 
esféricas, ya que su dependencia funcional es respecto de la distancia r. 
De la figura: θ̂senˆcosˆ θθ −= rz 
y entonces: ( )θ̂senˆcos
4
),( )/(00 θθ
π
µ ω −= − rrA crtie
r
LI
t 
E 
H 
Dipolo eléctrico 
E H 
 Dipolo magnético 
Ranura radiante 
E 
H 
La combinación de estos tres tipos elementales de radiadores lleva 
a la mayoría de los tipos de antenas de uso en la técnica. 
z 
θ 
r 
r̂
θ̂
ẑ
x 
z 
y 
A(r,t) 
L 
I(t) 
r 
Electromagnetismo 2004 10-9 
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En coordenadas esféricas: 
0
0
ˆsenˆˆ
sen
1
sen
ˆsenˆˆ
sen
1
22
θφθ
θ
φθθ
θ
θ
φθ
φθθ
θ
rAA
r
rr
r
ArrAA
r
rr
r
rr
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇
rr
A 
( )
( ) φθθ
π
µ
φθ
θ
θ
π
µ
φ
θ
ω
ωθ
ˆsensen
4
 
ˆcossen
4
ˆ)(1 
00
00












+−−=












∂
∂
−
∂
∂
−=





∂
∂
−
∂
∂
=
−
−
−
−
r
eekie
r
LI
r
ee
r
e
r
LIA
r
rA
r
kri
kriti
kri
kritir
 
y finalmente: φθ
πµ
ω ˆsen1
4
1),( )(0
0





 +=×∇= −
r
kie
r
LIt krtiArH 
Se ve que H(r,t) tiene dos términos, uno que depende como 1/r y otro que depende como 1/r2. 
A partir de H(r,t) se puede calcular E(r,t) con la ecuación de Maxwell-Ampère: 
( ) ( )





∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇=⇒
∂
∂
=×∇
φφ
φ
θθθ
θθεω
θ
φθ
φθθ
θεωεω
ε
Hr
r
rHr
ri
Hr
r
rr
riit
senˆsenˆ
sen
11
sen00
ˆsenˆˆ
sen
111 
2
0
2
00
0
rE
r
HEEH
 
y finalmente: 










 −−−




 +−= − θθθ
ωεπ
ω ˆ1senˆ1cos2
4
),( 2
2)(
0
0
rr
ikk
r
ki
r
e
r
LIi
t krti rrE 
Se ve que E(r,t) tiene dos componentes, una sobre r̂ y otra sobre θ̂ . Esta última componente 
presenta un término que depende como 1/r mientras que todos los otros términos de E(r,t) de-
penden de potencias de r inversas mayores. 
Los campos creados por cargas estáticas y corrientes estacionarias contenidas en recintos acota-
dos a grandes distancias varían como 1/rn, con n ≥ 2. Este es el primer caso que hemos encon-
trado donde campos lejanos varían como 1/r. Estos términos, que predominan a grandes distan-
cias sobre los otros términos, se denominan términos de radiación. 
Para completar el análisis de su significado calculamos la potencia media que transportan las 
ondas generadas por el dipolo. Necesitamos el valor medio del vector de Poynting. En notación 
fasorial: ( ) ( )θ
φθ
φφθ
φ
θ
ˆˆRe
2
1
00
0
ˆˆˆ
Re
2
1*Re
2
1 **
*
HEHE
H
EE rr −=










=×=>< r
r
HEN 
Luego (señalamos en rojo los términos de radiación): 
( )* ( ) ( )0 022
0
1 1 1 1ReRe sen sen
2 2 4 4
i t kr i t kriI L I LikE H e e
r r r
k ik
r r
ω ω
θ φ θ θπε ω π
− − −    = − − +−        
 
 
2 2 2 2 3 22 2
20 0
2 2 2 2 3 2 2
0 0
3 sen1 1 Re sen
2 16 32
iI L I L kk k ik ik
r r r r r r
ik
r
θθ
π ε ω π ε ω
  
= + − − + − = − 
  
 
Electromagnetismo 2004 10-10 
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( )
01cossen
8
Re
2
1 
sen1
4
1cossen
4
2Re
2
1Re
2
1
2
22
2
0
2
22
0
)(0)(
0
0*
=










 +−+=











 +−




 += −−−
rr
ki
r
kik
r
LIi
r
kie
r
LI
r
ki
r
e
r
LIiHE krtikrtir
θθ
ωεπ
θ
π
θθ
ωεπ
ωω
φ
 
y finalmente: rrN ˆ
8
sen
ˆ
32
sen 2
2
22
00
2
0
2
2322
0 




==><
λ
θη
ωεπ
θ L
r
I
r
kLI
 
Se observa que sólo contribuyen al valor medio del vector de Poynting los términos de ra-
diación en el desarrollo de los campos: 
φθω
π
φθ
π
θθω
ωεπ
θθ
ωεπ
ω
ω
ˆsen)sen(
4
ˆsen
4
),(
ˆsen)sen(
4
ˆsen
4
),(
0)(0
0
2
0)(
0
2
0
krt
r
kLIe
r
kLIit
krt
r
kLIe
r
kLIit
krti
rad
krti
rad
−−==
−−==
−
−
rH
rE
 
de donde: 
0
000
0
2
0
1
4
4 η
εωε
π
ωεπ
====
c
k
r
kLI
r
kLI
rad
rad
H
E
 
Estos campos se denominan campos de radiación y son los 
que describen la emisión de energía electromagnética del 
dipolo. Se ve que los términos de radiación dependen como 
1/r , son perpendiculares entre sí y a la dirección de propaga-
ción radial, y la relación entre ellos es la impedancia intrín-
seca del vacío. Constituyen entonces una onda esférica ele-
mental. 
Ejemplo 10.2: Analizar la relación entre los campos de radiación y los potenciales electrodi-
námicos. 
Para soluciones armónicas: AE ωφ i+−∇= 
El potencial vectorial es: ( )θ̂senˆcos
4
),( )/(00 θθ
π
µ ω −= − rrA crtie
r
LI
t 
Y el campo eléctrico de radiación: θθ
ωεπ
ω ˆsen
4
),( )(
0
2
0 krti
rad e
r
kLI
t −−=rE 
Se ve que θω θ ˆ),( Aitrad =rE de donde surge que el campo de radiación está relacionado 
solamente con la componente de A transversal a la propagación. El potencial escalar no 
interviene en la definición del campo de radiación, sino que da lugar a componentes longi-
tudinales a la propagación que no son términos de radiación. 
De estas ecuaciones surge que una forma sencilla de hallar, en forma aproximada, los 
campos lejanos o campos de radiación de un radiador es: 
1) calcular A con la solución particular ecuación inhomogénea; 
2) calcular E rad = iω AT donde AT es la componente de A transversal a la propagación; 
3) calcular 0/ˆ ηradrad ErH ×= 
x 
z 
y 
N(r,t) 
Hφ(r,t) 
Eθ(r,t) 
L 
I(t) 
r 
Electromagnetismo 2004 10-11 
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z 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
z 
Los otros términos de los campos se denominan campos de inducción o términos de inducción 
y decaen más rápido que los términos de radiación. Estos términos no transportan energía 
neta (en valor medio temporal), pero definen los valores relevantes del campo en las cercanías 
del emisor. 
El diagrama de radiación para el dipolo eléctrico corto se obtiene de: 
22 2
0 0
2
22 2
0 0max
sen
8( , )
8
r
r
I L
r Nf
r N I L
η θ
λθ φ
η
λ
 
 < >  = =
< >  
 
 
 ⇒ 2( , ) senf θ φ θ= 
Este diagrama presenta un máximo o lóbulo principal para θ = π/2. El diagrama no presenta 
dependencia respecto de φ por la simetría de revolución del problema respecto del eje z, de ma-
nera que la gráfica polar 2D es una sección recta del diagrama 3D que es un toro. 
Potencia radiada 
La potencia media radiada por el dipolo es: ∫ •><=><
S
dSP nN ˆ 
donde S es una superficie cerrada cualquiera que encierra al radiador. Debido a que <N> depen-
de de r y de θ, conviene usar una superficie esférica. Se tiene: 
∫∫ ∫∫ 



=




=•><=><
ππ π
θθπ
λ
η
φθθθ
λ
η
0
3
22
002
2
0 0
2
222
00 sen2
8
sensen
8
ˆ dL
I
ddr
r
LIdSP
S
nN 
y entonces: 
22
00
3





=><
λ
ηπ LIP 
Se observa que la potencia media radiada depende del cuadrado de la corriente pico y de la rela-
ción (L/λ)2. Como para el dipolo elemental esta relación es muy pequeña, la potencia emitida por 
el dipolo radiante eléctrico también lo es. 
Podemos calcular los otros parámetros vinculados con la radiación: 
• Resistencia de radiación: rRI
LIP 20
22
00
2
1
3
=




>=<
λ
ηπ ⇒ 
2
03
2





=
λ
ηπ LRr 
• Ancho de haz de potencia media: o90/2 4/ 2/1sen 2,12 ==∆⇒±=⇒= πθπθθ 
• Area de haz y eficiencia del haz principal: 
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1 
3
8sensen
0
3
2
04
2
4
=
Ω
Ω
===Ω=Ω
><
><
=Ω ∫∫∫∫ A
M
M
maxr
r
A ddddN
N
επθθϕθ
ππ
ππ
 
• Directividad: 2/3/4 =Ω= AD π 
• Abertura efectiva máxima: 
π
λη
8
3
4
22
0 ==
r
e R
LA
m
 (se verifica 2/4 λπ
me
AD = ) 
Ejemplo 10.3: Un dipolo eléctrico radiante de 1 cm de longitud alimentado por una corriente 
pico de 1 A y frecuencia 10 MHz. Halle la potencia radiada y la resistencia de radiación 
A 10 MHz la longitud de onda es cmLmfc 130/ =>>≈=λ de modo que podemos 
usar las aproximaciones de dipolo elemental. 
La potencia radiada es: ( ) WLIP µ≈ληπ>=< 443 2200 que es muy baja. 
La resistencia de radiación es: ( ) Ω×≈η×≈ληπ= −− 50720 1077.8103.232 LRr 
también muy baja 
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Radiación dipolar magnética 
Para el espacio vacío, las ecuaciones de Maxwell donde figura el rotor de los campos son simé-
tricas: 0),(),( 0),(),( 00 =
∂
∂
−×∇=
∂
∂
+×∇
t
tt
t
tt rErHrHrE εµ 
Nada cambia si reemplazamos E por H y µ0 por ε0 en la ley de Faraday, H por (-E) y ε0 por µ0 
en la de Maxwell-Ampère. Esta propiedad se conoce como dualidad, y lleva a que podamos 
expresar la solución de un problema con una fuente magnética a partir de la solución para un 
problema similar con una fuente eléctrica. 
Para usar esta propiedad expresamos los campos de la radiación por un dipolo eléctrico corto, no 
en términos de la corriente que circula por el elemento sino a través de su momento dipolar 
eléctrico, que podemos calcular a partir de la ecuación de continuidad aplicada dentro del ele-
mento conductor. Para variaciones armónicas: 
0 0/ =+•∇⇒=∂∂+•∇ ωρρ it jj 
Integramos sobre un volumen V que encierre un solo extremo del elemento: 
( ) ∫∫∫∫∫ =•⇒=•∇⇒=+•∇
VVVV
dVidSdVidVdVi ρωρωωρ
S
ˆ 0 njjj 
de donde: qiI ω=0 . En esta ecuación q es la carga acumulada en el extremo del 
elemento. Debido a la pequeña longitud del elemento no habrá carga acumulada 
en su interior, aunque un razonamiento similar nos demuestra que hay una carga 
acumulada (-q) en el otro extremo del elemento. Podemos pensar así al elemento 
de corriente como un dipolo, cuyo momento dipolar será: ωiLIqLp 0== 
A partir de este resultado podemos expresar los campos y otras características del dipolo eléctri-
co corto radiante en términos de este momento dipolar eléctrico4: 
En la magnetostática se define el momento dipolar magnético de una espira como nm ˆIS= , 
donde I es la corriente que circula por la espira, S su área y n̂ la normal. El campo magnético 
creado por este dipolo magnético tiene la misma forma matemática que el campo eléctrico crea-
do por el dipolo eléctrico en la electrostática. En la electrodinámica podemos, utilizando la pro-
piedad de dualidad, escribir los campos creados por un dipolo magnético radiante por el que cir-
cula una corriente armónica. Para ello usamos las siguientes relaciones duales: 
Dipolo eléctrico radiante ⇒ Dipolo magnético radiante 
Momentodipolar eléctrico ⇒ Momento dipolar magnético 
Campo E, µ0 ⇒ Campo H, ε0 
Campo H, ε0 ⇒ Campo (-E) , µ0 
zp ˆ)( 0 ωiLI= ⇒ zm ˆIS= 
de donde: 
θ
π
ω ω
φ sen
r
kie
r
pitH krti 





+= −
1
4
),( )(r ⇒ θπ
µω ω
φ sen
r
kie
r
mi
tE krti 





+−= −
1
4
),( )(0r 
θ
επ
ω cos1
2
),( )(
2
0






+= −
r
kie
r
ptE krtir r ⇒ θπ
ω cos1
2
),( )(
2






+= −
r
kie
r
mtH krtir r 
θ
επ
ω
θ sen
rr
ikke
r
ptE krti 





−−−= −
2
2)(
0
1
4
),(r ⇒ θπ
ω
θ sen
rr
ikke
r
mtH krti 





−−−= −
2
2)( 1
4
),(r 
 
4 En realidad, en la deducción original de los campos radiados por este elemento realizada por Hertz consideró efec-
tivamente un dipolo (dos cargas eléctricas) cuya carga depende del tiempo, de donde surge el nombre de este ra-
diador. 
I0 
V 
S 
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Y los campos de radiación del dipolo magnético radiante quedan entonces 
φθ
π
η ω ˆ
4
),( )(
2
0 sene
r
mk
t krtirad
−=rE θθ
π
ω ˆ
4
),( )(
2
sene
r
mkt krtirad
−−=rH 
Los campos de radiación son normales entre sí y a la dirección radial de propagación, y se hallan 
en relación de dualidad respecto de los campos radiados por el dipolo eléctrico corto. El vector 
medio de Poynting es: 
( ) rHEN ˆ
32
ˆ
4
ˆ
4
Re
2
1Re
2
1 2
22
22
00
4
)(0
2
)(0
2
0* θ
π
η
θθ
π
φθ
π
η ωω sen
r
SIk
sene
r
SIk
sene
r
SIk krtikrti =







×−=×=>< −−−
El diagrama de radiación es el mismo que para el dipolo eléctrico corto. La potencia radiada es: 
4
2
2
00
2
0
3
2
22
00
4
2
3
4sen
32
2
λ
ηπθθ
π
ηπ
π SIdSIkdSNrP
S
r ==><=>< ∫∫ 
A partir de estas expresiones se pueden calcular los otros parámetros de la antena dipolar magné-
tica. 
• Resistencia de radiación: rRI
SIP 204
2
2
00
2
2
1
3
4
=>=<
λ
ηπ ⇒ 4
2
0
2
3
8
λ
ηπ SRr = 
• Abertura efectiva máxima: 
8
3 2
2
2
0
2 λ
λ
ηπ
==
r
e R
SA
m
 
El ancho de haz de potencia media, el área de haz y la eficiencia del haz principal y la directivi-
dad coinciden con las expresiones del dipolo eléctrivo corto. 
Es interesante comparar las potencias radiadas por las dos antenas elementales en similares con-
diciones. Tomamos el mismo valor de I0, frecuencia y tamaño equivalente con: S = L2: 
( )
( )
14 222
003
1
222
00
2
3
4
<<==
><
><
λ
π
ληπ
ληπ S
LI
SI
P
P
E
M 
para dipolos pequeños frente a la longitud de onda. Por lo tanto, el dipolo magnético radiante es 
aún menos eficiente que el dipolo eléctrico de dimensiones similares. 
Radiador isotrópico 
Se ve que la radiación emitida por el dipolo eléctrico corto es anisótropa, es decir, depende de la 
dirección en el espacio. En análisis teóricos es conveniente disponer de un radiador (ideal) que 
emita en forma isótropa. Este radiador isótropo o isotrópico se puede describir mediante los 
campos y densidad de potencia: 
que representan una onda esférica elemental. 
Por otra parte, estas expresiones coinciden con las correspondientes a los campos del dipolo eléc-
trico elemental sin tener en cuenta la variación con θ. 
radiador isotrópico 1),( 
2
 2
0
2
0
)(
=⇒=><==
−
φθ
ηη
φ θ
ω
θ fr
ANEH
r
eAE r
krti
 
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Radiador fuera del origen 
Los campos de un radiador situado en el origen de coordenadas pue-
den describirse por ondas esféricas elementales, modulada por un 
factor de anisotropía debido a la geometría del radiador y la distribu-
ción de corriente dentro del radiador: 
r
efF
krti )(
),()(
−
=
ω
φθr 
En la figura se muestra esta geometría. Si se corre el origen de coor-
denadas, de modo que el radiador pase a la posición r’, la expresión 
de los campos debe modificarse a: 
R
efF
kRti )(
),()(
−
′′=
ω
φθr donde rrR ′−==R 
θ’ y φ’ son los ángulos esféricos en el sistema coordenado 
centrado en el radiador. Para distancias lejanas ( rr ′>> )el 
triángulo formado por los vectores r, r’ y R es muy delgado. 
Por el teorema del coseno y desarrollando en serie de Taylor a 
primer orden: 
rrrr ˆ222 •′−≈•′−′+= rrrR 
Podemos aproximar a orden cero en la amplitud del campo 
(el denominador de la expresión anterior), pero debemos 
mantener orden uno en la fase, ya que en general usamos la 
descripción del radiador fuera del origen de coordenadas para 
analizar la superposición coherente de los campos radiados por un conjunto de radiadores, y es el 
término de fase el que introduce el fenómeno de interferencia. Por otra parte, los ángulos esféri-
cos tienden a sus valores respecto del sistema coordenado original: θ’→ θ y φ’ → φ. 
Aproximamos así: rkrrr ′•
−
•′−
−
=≈ i
krti
ik
krti
e
r
efe
r
efF
)()(
),(),()(
ωω
φθφθ && 
ya que rkrrrk ′•−=•′−≈⇒= krrkkRk )ˆ( ˆ . En resumen: 
y 
z 
x 
θ 
φ 
r 
En la superposición de campos emitidos por radiadores elementales, 
los campos de radiación lejanos habitualmente pueden calcularse: 
• aproximando la amplitud a orden cero: rR /1/1 ≈ 
• aproximando la fase a orden uno: rk ′•−≈ krkR 
• suponiendo paralelos los campos emitidos 
φ’ y 
z 
x 
θ ' 
φ 
r R 
r’ θ 
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Dipolo eléctrico largo 
El dipolo eléctrico corto es un sistema ideal, ya que la corriente 
no puede ser constante sobre toda su extensión, porque debe 
anularse en los extremos. En el caso de una antena dipolar de 
longitud L cualquiera podemos anular la corriente en los ex-
tremos abiertos, pero entonces debemos admitir que la corrien-
te varía a lo largo de la antena. Se observa experimentalmente 
que en muchos casos de interés la distribución de corriente a lo 
largo de la antena se puede expresar aproximadamente como: 
 tiezLItzI ω
λ
π











 −=
2
2sen),( 0 
Para calcular los campos emitidos por el dipolo largo podemos 
repetir el procedimiento realizado con el dipolo corto o pode-
mos pensar que la antena está formada por una sucesión de 
dipolos eléctricos cortos de longitud dl´, cada uno de los cuales 
emitirá un campo de radiación: 
0
0
0
2
sen),(
2
sen
4
),(
η
θ
λ
η
θ
ωεπ
θ
φ
θ
dE
dH
ldetzI
R
i
lde
R
ktzIidE ikRikR
=
′′=′′= −−
 
En estas ecuaciones: 22 )( zzR ′−+=′−= ρrr 
y θ′ es el ángulo formado entre R y el eje z. 
Como la relación de fases entre las corrientes que alimentan a los distintos elementos radiantes 
es fija, dada por la expresión de la distribución de corriente sobre la antena, los radiadores emi-
ten en coherencia de fase, y se suman los campos. 
0
2/
2/
00 sen
2
2sen
2 η
θ
λ
π
λ
η θ
φ
ω
θ
EHzd
R
ezLeIiE
L
L
ikR
ti =′′










 ′−= ∫
−
−
 
Para distancias muy alejadas ( Lr >> ) aproximamos el campo generado por cada elemento como 
se ha explicado en la sección precedente y tenemos: 
ϑcosˆˆ
)ˆ(
zik
ikr
zik
ikrkriikR
e
r
ee
r
e
r
e
R
e ′−′•−′•−−− ==≈ zr
rk
 
Luego: ∫
−
′− ′




 ′−≈
2/
2/
cos)(00
2
sensen
2
L
L
zikkrti zdezkkLe
r
Ii
E θωθ θλ
η
 
En el APENDICE 8 se calcula esta integral: 






−




=′




 ′−∫
−
′
2
coscos
2
cos
sen
2
2
sen 2
2/
2/
cos kLkL
k
zdezkkL
L
L
zik θ
θ
θ 
con lo que tenemos: 
( )0 0
0
cos cos cos 
2 sen 2 2
i t kri I EkL kLE e H
r
ω θ
θ φ
η θ
π θ η
−   ≈ − ≈    
 
Podemos reescribir esta expresión como el producto entre el campo generado por un único dipo-
lo “corto” de longitud L y otro factor: 
θ 
z 
r 
r´ 
R 
L/2 
-L/2 
dl´ 
ρ 
0 
θ′ 
Electromagnetismo 2004 10-17 
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





−




≈ −
2
coscos
2
cos
sen2
)(00 kLkLe
r
IiE krti θ
θπ
η ω
θ 












−











= −
2
coscos
2
cos
sen
sen
2
 2
)(00 kLkL
L
e
r
LIi krti θ
θπ
λ
θ
λ
η ω 
donde el primer factor θ
λ
η
θ ωθ sen2
),( )(00 krtid e
r
LIi
rE −= es el campo que generaría un único 
dipolo “corto” de longitud L y 





−




=
2
coscos
2
cos
sen)2/(
1),(
2
kLkL
kL
LF θ
θ
θ 
es un factor de interferencia que depende de la dirección en el espacio (como en toda interfe-
rencia) y también de la longitud del dipolo. Este factor de interferencia surge de la superposición 
coherente de dipolos elementales que se ha usado en el cálculo del campo radiado. 
El diagrama de radiación generado por el dipolo largo es: 
( )


















=
><
><
=
==





×=×=><
max
max
d
d
maxr
r
d
r
LF
LF
rE
rE
Nr
Nr
f
LFrE
EE
EHEN
),(
),(
),(
),(
),(
),(),(
2
1
2
Re
2
1Re
2
1
2
2
2
2
2
2
22
00
2
0
*
*
θ
θ
θ
θ
φθ
θθ
ηηη
θ
θ
θ
θθ
θφθ
 
y se observa que se cumple la llamada regla de multiplicación de diagramas: el diagrama de 
radiación total se puede expresar como el producto del diagrama de radiación de cada elemento 
en que se divide el sistema radiante y el diagrama de radiación que surge de la interferencia entre 
los radiadores elementales independientemente de sus características individuales. Realizando 
las cuentas: 
maxr
r
Nr
Nrf
><
><
=
2
2
),( φθ pero: 
θ
λ
πθ
λ
π
π
η
2
2
2
2
002
sen
coscoscos
8











−





=><
LL
INr r 
el máximo de esta densidad de potencia depende de una forma trascendente de la relación λ/L . 
Para hallar el máximo, graficamos la siguiente expresión en función de θ para distintos valores 
de L/λ: θ
λ
πθ
λ
πθ 2
2
sencoscoscos)( 










−




=
LLg 
A la derecha se da el diagrama de radiación logarítmico (en dB) normalizado para las distintos 
valores de de L/λ. Observamos el reposicionamiento y modificación del valor de los máximos 
L/λλλλ fmax θθθθ (grados) 
1/2 1.0 90 
1 4.0 90 
3/2 1.96 42.6, 137.4 
5 11.6 35,145 
Diagrama logarítmico 
normalizado (en dB) 
Electromagnetismo 2004 10-18 
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principales con la longitud de la antena. Se ve que aumenta la intensidad de los máximos con la 
relación L/λ y aparecen lóbulos secundarios en distintas direcciones. 
En las figuras se presenta el diagrama de radiación polar normalizado5 lineal que pueden compa-
rarse con los diagramas lineales de la página previa: 
Finalmente, podemos calcular la potencia radiada por el dipolo largo: 
∫∫
















=><=><
−π
θ
π
η
π
θ
λ
π
θ
λ
π
0
2
2
00
sen
2
coscoscos
8
2 d
I
dSNP
LL
S
r 
Esta expresión se puede calcular6 en términos del llamado coseno integral: 
∫
−
=
x
dt
t
txCin
0
cos1)( 
Definimos λ/2Ln = (número de semilongitudes de onda que entran en la longitud de la antena) 
y entonces: [ ]


−
=><
 par
impar
 )2()(4
 )2(
8
2
00
nnCinnCin
nnCinIP
ππ
π
π
η 
o, en función de la resistencia de radiación: 
2
2
0 rRIP =>< ⇒ [ ]

−= par )2()(4
impar )2(
4
0
nnCinnCin
nnCinRr ππ
π
π
η
 
y la abertura efectiva máxima: [ ]

−
==
 par )2()(4/
impar )2(/
4
2
22
0
nnCinnCinL
nnCinL
R
LA
r
e πππ
ππη 
 
5 En diagramas no normalizados los máximos crecen rápidamente con la longitud de la antena, de acuerdo a los 
valores de la gráfica de la página previa. 
6 M.Bisceglia, E.Zubcov, J.C.Fernandez, “Curso de electromagnetismo”,Ed. Nueva Librería (1982), p.347. 
L/λ = 1/2 L/λ = 3/2 L/λ = 5 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
Electromagnetismo 2004 10-19 
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Ejemplo 10.4: Calcular la resistencia de radiación para dipolos eléctricos radiantes de nλ/2, 
con n =1, 10. 
Calculamos de tablas o mediante series los cosenos integrales7 para obtener: 
n Rr Comentarios n Rr 
1 0.194 η0 = 73.08Ω dipolo de media onda 6 0.785 η0 = 295.55Ω 
2 0.528 η0 = 198.95Ω dipolo de onda completa 7 0.347 η0 = 130.76Ω 
3 0.279 η0 = 105.42Ω 8 0.853 η0 = 321.29Ω 
4 0.689 η0 = 259.46Ω 9 0.367 η0 = 138.28Ω 
5 0.320 η0 = 120.68Ω 10 0.906 η0 = 341.29Ω 
Se observa que la resistencia de radiación aumenta, tendiendo a η0 con la longitud del dipo-
lo y es mayor para antenas de longitud múltiplo de onda completa. Este comportamiento es-
tá relacionado con la forma y tamaño de los lóbulos de radiación de las figuras previas, 
donde se ve cómo aumenta la radiación emitida con el tamaño de la antena. 
La antena dipolar eléctrica o dipolo largo, es una antena resonante porque en el caso ideal de 
pérdidas nulas se forma sobre ella una onda estacionaria de corriente con nodos en los extremos 
abiertos. Por lo tanto la longitud de la antena debe ser un número entero de semilongitudes de 
onda para satisfacer esta condición. De esta forma se ve que sólo se puede excitar un conjunto 
discreto de frecuencias de resonancia. Si se alimenta a la antena con una frecuencia no "permiti-
da", habrá una fuerte reflexión a la entrada de la antena, que se comporta en forma similar a una 
línea resonante. Por lo tanto la antena dipolar eléctrica es una antena de banda angosta alrededor 
de la/s frecuencia/s de resonancia. Este resultado es para un alambre de sección despreciable. 
Puede demostrarse que el ancho de banda de una antena dipolar eléctrica aumenta si se usan 
alambres de mayor sección. 
En muchas ocasiones el “dipolo” tiene una sola rama a la que se co-
necta el generador, cuya otra conexión se hace a tierra. La otra rama 
se puede considerar como la imagen en tierra de la rama verdadera. 
Así, una rama de L = λ/4 produce un “dipolo” de λ/2. Esta disposi-
ción se conoce como antena látigo y es muy usada (automóviles, telé-
fonos celulares, etc.). Para que este sistema sea eficiente la tierra de-
be acercarse al comportamiento de plano conductor perfecto, de ma-
nera que debe ser de alta conductividad y extenderse varias veces λ/4 
alrededor de la posición del látigo. 
En general, la mayoría de las antenas se diseñan y construyen sobre tierra, y el método de imá-
genes se usa extensivamente. Sin embargo, en la realidad la tierra no es un conductor perfecto, ni 
siquiera en casos un buen conductor. A partir de las investigaciones pioneras de Sommerfeld a 
principios del siglo XX, la radiación de un dipolo eléctrico sobre un plano terrestre de conducti-
vidad finita se puede describir convenientemente como la superposición de una onda espacial, 
cuyos campos decaen como 1/r (los típicos campos de radiación que hemos ya encontrado) y una 
onda de superficie cuyos campos decaen como 1/r2, de forma que estos términos dejan de tener 
importancia en la radiación lejana. Sin embargo, la presencia de conductividad finita altera los 
diagramas de radiación, de manera que los lóbulos que se dan para el plano horizontal θ = π/2 
giran sus máximos a un cierto ángulo de elevación, y la potencia emitida rasante al suelo se ve 
reducida respecto al caso ideal. 
En la figura8 se muestra la influencia en el diagrama de radiación de una antena dipolar vertical 
de 10m de longitud colocada a λ/2 por encima de tierra, con suelos de distinta conductividad, 
 
7 En el Apéndice 9 se dan las expresiones de las series que representan al coseno integral.8 Esta figura está tomada de “A ground is just a ground – unless it is a model of a ground”, L.B.CebikW4RNL, 
http://www.cebik.com/modelling.html. 
Electromagnetismo 2004 10-20 
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modelizado con el pro-
grama EZNEC/4. Se 
observa primero que el 
caso de tierra de con-
ductor perfecto los ló-
bulos, que tienen su 
máximo sobre el plano 
horizontal, se mueven 
hacia arriba. La caída 
de la conductividad del 
suelo disminuye el va-
lor del máximo de radiación y convierte el cero en un máximo secundario (Nótese que la escala 
es logarítmica, en dB). 
Antenas de onda viajera 
El dipolo eléctrico largo que hemos analizado es una antena resonante, porque las distribuciones 
de corriente y tensión a lo largo de la misma son ondas estacionarias. Podemos analizar esta an-
tena como una línea de transmisión de impedancia característica variable y abierta en el extremo. 
Sin embargo, es posible construir antenas donde la onda de corriente es una onda viajera que se 
propaga a lo largo de ella. Por ejemplo, consideremos un conductor recto de longitud L donde la 
corriente está definida por la onda progresiva: 
)(
0),(
kztieItzI −= ω 
El campo eléctrico radiado por cada elemento dz´ de la antena será, 
como en el caso del dipolo largo: 
ldetzI
R
i
lde
R
ktzIi
dE ikRikR ′′=′′= −− θ
λ
η
θ
ωεπθ
sen),(
2
sen
4
),( 0
0
2
 
y aproximando de la misma manera que en ese caso: 
∫ ′≅ ′′−−
L
zikzikkrti zdeee
r
Ii
E
0
cos)(00 sen
2
θω
θ θλ
η
 
La integral es inmediata y obtenemos: 
[ ]1
cos1
sen
4)1(cos
1sen
2
)1(cos)(00
)1(cos
)(00 −
−
=
−
−
≅ −−
−
− θω
θ
ω
θ θ
θ
π
η
θ
θ
λ
η ikLkrtiikLkrti ee
r
I
ik
ee
r
IiE 
y finalmente: 
0
)1(cos
2)(00 
cos1
sen)cos1(
2
sen
2 ηθ
θθ
π
η θ
φ
θω
θ
E
H
Lk
ee
r
I
E
L
ikkrti =
−



 −
−≅
−− 
El diagrama de radiación (no normalizado) será: 
)2/(
)cos1(sen
8)cos1(
sen)cos1(
2
sen
8
2 2
2
2
2
00
2
22
2
2
00
0
222
θ
θ
λ
π
π
η
θ
θθ
π
ηηθ tan
L
I
Lk
IErNr r



 −
=
−



 −
≅=>< 
En la figura se muestran cuatro casos. Obsérvese que los máximos se hallan orientados hacia el 
sentido de propagación de la onda viajera (+z). El valor de los máximos crece con la longitud de 
la antena en forma similar a la de la antena resonante. Podemos calcular la potencia total radiada 
por esta antena: 
∫∫
−
− 



=Ω><=><
π
π
θ
π
ηπ
θ
θθ
0
2
2
00
4
2
2)cos1(
3sen)cos1(
2
2sen
8
2 dIdNrP
L
k
r 
O 
z 
L 
r 
r´ 
R 
Electromagnetismo 2004 10-21 
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Esta integral vale9: 
( ) ( ) 


 +−+=><
λπ
λπλπλ
π
η
/4
)/4sen(/4/2ln1415.1
4
2
00
L
LLCiL
I
P 
donde ∫
∞
−+=−=
x
xCinxdt
t
txCi )()ln(cos)( γ es otra va-
riante del coseno integral. La constante 577216.0≈γ es 
llamada constante de Euler. 
De aquí la resistencia de radiación resulta: 
( ) ( ) 


 +−+=
λπ
λπ
λπλ
π
η
/4
)/4sen(/4/2ln1415.1
2
0
L
LLCiLRr 
y la abertura efectiva máxima: 
( ) ( ) 


 +−+
==
λπ
λπλπλ
πη
/4
)/4sen(/4/2ln1415.1
2/
4
22
0
L
LLCiL
L
R
LA
r
e
 
Ejemplo 10.5: Calcular Rr para antenas de onda viajera de nλ/2, con n =1, 10. 
La expresión a usar es: ( ) ( ) 


 +−+=
π
ππ
π
η
n
nnCinRr 2
)2sen(2ln1415.1
2
0 
Calculamos de tablas o mediante series10 los cosenos integrales para obtener: 
n Rr n Rr 
1 0.185 η0 = 69.80Ω 6 0.467 η0 = 175.92Ω 
2 0.293 η0 = 110.37Ω 7 0.491 η0 = 185.15Ω 
3 0.357 η0 = 134.48Ω 8 0.513 η0 = 193.15Ω 
4 0.403 η0 = 151.66Ω 9 0.531 η0 = 200.20Ω 
5 0.438 η0 = 165.00Ω 10 0.548 η0 = 206.52Ω 
Se observa que la resistencia de radiación aumenta en forma monótona, tendiendo a η0 con 
la longitud de la antena. Salvo para n = 1, los valores para n impar son mayores y los valo-
res para n par menores que los de la antena resonante de igual longitud. 
Las antenas de onda viajera se pueden combinar para construir antenas V o antenas rómbicas, 
disposiciones cuyas características de radiación se pueden describir en función de las halladas. 
Como además la longitud de onda de la onda viajera no tiene que cumplir ninguna condición en 
los extremos de la antena, como en el caso de las antenas resonantes, no hay condición sobre la 
frecuencia de la corriente alimentadora y estas antenas son antenas de banda ancha, a diferen-
cia de las antenas resonantes que son de banda angosta. 
 
9 J.A.Stratton, "Electromagnetic Theory", Mc-Graw Hill, New York, (1941), p.445. 
10 En el Apéndice 9 se dan las expresiones de las series que representan al coseno integral. 
z 
L=λλλλ/2 
L=λλλλ 
L=3/2λλλλ 
L=5λλλλ 
Electromagnetismo 2004 10-22 
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Redes o arreglos de radiadores 
Las antenas individuales dan diagramas de radiación que no siempre satisfacen las necesidades. 
Es posible modificar el diagrama de radiación usando múltiples radiadores, causando interfe-
rencia entre los campos emitidos por cada uno. Para ello es necesario que los radiadores emitan 
en forma coherente, es decir, que haya una correlación de fase entre los campos, lo que se logra 
habitualmente estableciendo una correlación de fase entre las corrientes alimentadoras de los 
radiadores. 
Estas disposiciones se conocen como redes o arreglos de radiadores, y la mayoría de las antenas 
de uso actual se basa en ellas. 
Analicemos el caso más simple que consiste en un par de radiadores iso-
trópicos separados una distancia d. Como la recta que une ambos radia-
dores es un eje de simetría de revolución del sistema, tomamos un siste-
ma de referencia centrado en el par, con los radiadores sobre el eje z, de 
forma que los campos no dependan de φ. Suponemos además que las 
corrientes alimentadoras son de igual amplitud pero que puede haber un 
desfasaje ψ entre ellas. El campo emitido por el par de dipolos es, por 
superposición coherente para distancias lejanas: 






+≅
−−
ψω
θ
i
ikrikr
ti e
r
e
r
eeEE
21
0
21
 
donde r1 y r2 son las distancias desde cada radiador al punto de observa-
ción. Hemos adjudicado al segundo dipolo el desfasaje de las corrientes. 
Para puntos lejanos (r >> d): 
θcos
2
2,1
2,1
2,1 dikikri
ikrikr
e
r
ee
r
e
r
e ±−′•−− =≈ rk y tenemos: 






+=





+≈
−−−+−−− )2
cos
2
()
2
cos
2
()
2
(0cos2
cos
2)(0
ψ
θ
ψ
θ
ψ
ωψθθω
θ
d
ki
d
kikrtii
d
ik
d
ikkrti eee
r
E
eeee
r
E
E 
 




 −=
+−
2
coscos
2
 
)
2
(0 ψθ
λ
π
ψω de
r
E krti 
El vector medio de Poynting es: 





 −≅⇒><=




 −≅=><
2
coscos),( ),(
2
coscos
2
4
2
22
2
0
2
0
0
2
0 ψθ
λ
πψθψθ
ψ
θ
λ
π
ηη
dFFNd
r
EE
N
maxrr
qu
e es un factor de interferencia entre los dos radiadores, que tienen diagramas individuales esfé-
ricos. Este factor depende de θ y ψ y en las siguientes figuras se grafica para diversas relaciones 
d /λ y desfasajes ψ. 
0 
ψ = 0 
 d/λ = 1/5 d/λ = 1/2 d/λ = 1 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
x 
r1 
-d/2 
θ 
φ 
z 
r2 
r 
d/2 
Electromagnetismo 2004 10-23 
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ψ = 0 
 d/λ = 1/5 d/λ = 1/2 d/λ = 1 
ψ = π/4 
d/λ = 1/5 d/λ = 1/2 d/λ = 1 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
ψ = π/2 
d/λ = 1/5 d/λ = 1/2 d/λ = 1 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
Electromagnetismo 2004 10-24 
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Se observa la influencia que tiene la separación y el desfasaje en el diagrama de interferencia de 
los dos radiadores. En los diagramas siguientes, para d = 5λ se ve la complejidad de los diagra-
mas obtenidos aún con sistemas muy simples. 
Consideramos ahora la misma configuración pero reemplazamos los radia-
dores isotrópicos con dipolos eléctricos cortos paralelos al eje z. Repetimos 
el cálculo del campo radiado y el diagrama de radiación para obtener: 





 −=






+≈
+−
−−
2
coscossen
2
 
sen
)
2
(0
cos
2
cos
2)(0
ψθ
λ
πθ
θ
ψω
ψθθω
θ
de
r
E
eeee
r
E
E
krti
i
dikdikkrti
 
ψ = π 
d/λ = 1/5 d/λ = 1/2 d/λ = 1 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
ψ = 0 ψ = π/2 ψ = π 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
x 
r1 
-d/2 
θ 
φ 
z 
r2 
r d/2 
Electromagnetismo 2004 10-25 
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería 
Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar 
 
y el vector medio de Poynting es: 
),,(4 
2
coscossen
2
4
2
22
2
0
2
0
0
2
0
ψφθ
ψθ
λ
πθ
ηη
FN
d
r
EE
N
dipr
r
><=





 −








≅=><
 
que es un nuevo ejemplo de la: 
La anisotropía en el diagrama de radiación introducida por el elemento base se ve así multiplica-
da por la anisotropía introducida por el factor de interferencia, que depende de la dirección del 
espacio y el desfasaje entre las corrientes alimentadoras de los elementos. Este resultado es to-
talmente general y se aplica cualquiera sea el elemento base (siempre que el arreglo sea de ele-
mentos idénticos). 
En la siguiente figura se grafica el diagrama dipolar, el factor de interferencia y su producto para 
d = λ , ψ = π/2. 
Redes lineales 
Consideremos ahora N radiadores puntuales que se hallan situados sobre una línea recta. Esta es 
una red lineal. 
Analizamos primero una red vertical. Asumiremos que se trata de radiado-
res isotrópicos porque nos interesa analizar el diagrama de interferencia. 
Colocamos el sistema de coordenadas de manera que la posición del n-ésimo 
radiador de la fila sea: zr ˆ)1( dni −=′ . El campo creado por el conjunto es: 
nn
n
ikR
ti
N
n
n RR
eeEtE
n
n rrr ′−==
−
+
=
∑ ),( )(
1
0 con
ψω
θ 
donde hemos supuesto que cada radiador genera un campo de amplitud E0n 
y fase ψn. Para puntos lejanos podemos aproximar como en la sección ante-
rior, a orden uno en la fase: θcos)1( dnrR nn −−≅′−= rr y a orden cero 
en la amplitud, para obtener: 
[ ] [ ]∑∑
−
=
+−
=
+−− =≅
1
0
cos
0
)(
1
cos)1(
0
)( 11),(
N
n
nkdi
n
krti
N
n
kdni
n
krti nn eEe
r
eEe
r
tE ψθωψθωθ r con 0,1 000 == ψE . 
Consideremos primero campos de igual amplitud y en fase. Entonces podemos tomar 
 nctecteEE nn ∀==== 000 ψy . 
La suma se convierte en una serie geométrica, ya que cada término es igual al precedente multi-
X = 
d = λ ψ = π/2 
rn 
θ 
z 
r 
d 
Regla de multiplicación de diagramas 
El diagrama de radiación del conjunto es el producto del diagrama de 
radiación del elemento base por un diagrama de interferencia 
Electromagnetismo 2004 10-26 
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería 
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plicado por el factor constante θcosikde : 












=
−
−
=
−
−
=≅
−−
−
−
−−
−
−
=
− ∑
θ
θ
θω
θθ
θθ
θω
θ
θ
ωθω
θ
cos
2
sen
cos
2
sen
 
 
1
1),(
cos)1(
2
1
)(0
cos
2
1cos
2
1
cos
2
1cos
2
1
cos)1(
2
1
)(0
cos
cos
)(0
1
0
cos)(0
kd
Nkd
ee
r
E
ee
eeee
r
E
e
ee
r
Eee
r
EtE
kdNikrti
kdikdi
NkdiNkdi
kdNikrti
ikd
iNkd
krti
N
n
inkdkrtir
 
y el diagrama de interferencia será proporcional a: 












=












≅>=<
θ
λ
π
θ
λ
π
ηθ
θ
ηη
θ
cossen
cossen
2cos
2
sen
cos
2
sen
22 2
2
0
2
0
2
2
0
2
0
0
2
22
d
dNE
kd
Nkd
EE
rNr r 
que es función del tipo )(sen/)(sen 22 ββN . Esta función tiene el máximo principal para 
πθ
λ
πβ nd == cos , que vale: ( )0
2
0
2 2/ ηEN de donde el diagrama de radiación es: 












=
><
><
=
θ
λ
π
θ
λ
π
φϑ
cossen
cossen
),(
22
2
2
2
dN
dN
Nr
Nr
f
maxr
r 
Graficamos la expresión no normaliza-
da en función de β para varios valores 
de N: Los máximos principales se dan 
para β = nπ, con n entero (n = 0,1,2…). 
Como θλπβ cos)/(d= , la condición n 
= 0, β = 0 lleva a 0cos =θ , que impli-
ca un máximo sobre el plano horizontal 
θ=π/2. Este máximo siempre existe, 
aunque no siempre es el máximo 
principal. Por este motivo, estos arre-
glos con corrientes alimentadoras en 
fase se conocen como formaciones la-
terales (broadside arrays). 
Para n > 0 tenemos que: 
d
nnd λθπθ
λ
π =⇒= cos cos 
Como 1cos ≤θ , esta condición se cumple solamente para d ≥ λ. En tal caso, aparecen otros 
máximos principales en direcciones no laterales. 
En las figuras siguientes se muestran los diagramas de campo de interferencia para N = 6 y dis-
tintas relaciones d/λ. Se observa que el ancho del lóbulo principal disminuye a medida que au-
menta d/λ cuando d < λ , y que aparecen otros lóbulos para d ≥ λ. 
 
 
N = 5 
N = 10 
N = 25 
Electromagnetismo 2004 10-27 
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Consideremos ahora que mantenemos los campos de igual amplitud pero con fases variables. 
Esto se logra desfasando las corrientes alimentadoras de cada radiador. 
Sólo podemos obtener una serie geométrica si la fase crece linealmente con la posición del dipo-
lo en el arreglo, o sea si: δψψδψ =−⇒= −1 nnn n . En tal caso: 





 +











 +
=
−
−
=≅
+−
+
+
−
−
=
+− ∑
2
cos
2
sen
2
cos
2
sen
 
1
1),(
]cos[
2)(0
)cos(
)cos(
)(0
1
0
)cos()(0
δθ
δθ
δθω
δθ
δθ
ωδθω
θ
kd
kdN
ee
r
E
e
ee
r
E
ee
r
E
tE
kdNikrti
kdi
kdiN
krti
N
n
kdinkrtir
 
y el diagrama de radiación es: 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
d/λ = 0.05 d/λ = 0.25 d/λ = 0.5 
d/λ = 1 d/λ = 2 d/λ = 5 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
Electromagnetismo 2004 10-28 
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería 
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




 +











 +
=⇒





 +











 +
=>=<
2
cossen
2
cossen
)( 
2
cos
2
sen
2
cos
2
sen
22 22
2
2
2
0
2
0
0
2
22
δθ
λ
π
δθ
λ
π
θ
δθ
δθ
ηη
θ
dN
dN
f
kd
kdN
EE
rNr r
 
La presencia del desfasaje δ varía la posición de los máximos principales del diagrama de radia-
ción. Como en el caso de desfasaje nulo, el máximo principal se da cuando: 
πδθ
λ
πβ nd =+= cos2 . 
Analizamos el caso β = 0. Como 1cos ≤θ se ve que el dominio de β es: 
λπδβλπδ dd 22 +≤≤− 
Entonces, para que exista un máximo principal, el valor β = 0 debe estar dentro del dominio de 
β. Como δ puede ser positivo o negativo, se dan dos posibilidades: 
a) δ > 0. Existe β = 0 si λπδλπδ dd ≤⇒≤− 2 02 
b) δ < 0. Existe β = 0 si λπδλπδdd ≤⇒≥+− 2 02 
O sea que en general podemos decir que existirá un máximo principal si: 
λπψλπδλπδ Ld)(N-)(N-d ≤∆⇒≤⇒≤ 2 121 2 
donde ∆ψ es el desfasaje total del arreglo (entre el primer y el último elemento). Suponiendo 
que se cumpla esta condición, el máximo principal se da para: 
d
d MM
λ
π
δθδθλπβ
2
cos 0cos2 −=⇒=+= 
Como puede verse, θM depende del desfasaje. Si δ es cero, el máximo principal se da para θM = 
±π/2, lo que nos lleva a las formaciones laterales ya vistas. 
Por otra parte, si: 
0 2
 2
M
M
=⇒−=
=⇒=
θλπδ
πθλπδ
d
d 
y se tienen las llamadas formaciones de punta (endfire arrays), donde la máxima radiación se 
da sobre la línea que contiene a los dipolos. Las siguientes gráficas muestran los diagramas de 
campo de 6 radiadores en una formación de punta: 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
d/λ = 0.05 d/λ = 0.25 d/λ = 0.5 
d/λ = 1 d/λ = 2 d/λ = 5 
Electromagnetismo 2004 10-29 
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Arreglos en fase (phased arrays) 
El análisis de las formaciones laterales y de punta indica que introduciendo un desfasaje entre las 
corrientes alimentadoras de un arreglo de radiadores se logra modificar la posición del máximo 
principal. Podemos ver que el diagrama de radiación: 
( )
( )





 +











 +
==
2
cossen
2
cossen
sen
sen)(
22
2
22
2
δθ
λ
π
δθ
λ
π
β
βθ
dN
dN
N
Nf 
que da el máximo principal para β = 0 si d < λ. Si tomamos: 0cos2 θλπδ d−= nos queda 
( )0coscos2 θθλπβ −= d que se anula con θ = θ0. Variando θ0 con el tiempo se logra que el 
máximo principal de radiación gire en el tiempo. Esta característica se usa, por ejemplo, en rada-
res de aeropuertos donde es importante el seguimiento de los aviones. En las siguientes gráficas 
se muestra el diagrama de radiación para un arreglo lineal de 5 elementos, separados en d = 
0.4λ, para distintos ángulos θ0: 
Se observa la relocación del máximo principal siguiendo el ángulo θ0, desde la formación de 
punta, para θ0 = 0, hasta la formación lateral, para θ0 = 90 y luego se repite el comportamiento 
en el otro hemisferio. 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ0 = 0 θ0 = 30 θ0 = 45 
θ0 = 60 θ0 = 90 θ0 = 120 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ 30 30 
0 
60 60 
90 90 
120 120 
150 150 
180 
θ0 = 135 θ0 = 150 θ0 = 180 
Electromagnetismo 2004 10-30 
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería 
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Redes horizontales 
Consideremos ahora N radiadores puntuales que se hallan sobre una línea 
horizontal. Asumiremos nuevamente que se trata de radiadores isotrópicos 
porque nos interesa analizar el diagrama de interferencia. Ubicamos el sis-
tema de coordenadas de forma que la posición del n-ésimo radiador de la 
fila es: xr ˆ)1( dni −=′ . 
El campo creado por el conjunto es: 
nn
n
ikR
ti
N
n
n RR
eeEtE
n
n rrr ′−==
−
+
=
∑ ),( )(
1
0 con
ψω
θ 
donde hemos supuesto que cada radiador genera un campo de amplitud E0n y fase ψn. Para 
puntos lejanos podemos aproximar nuevamente a orden uno en la fase: 
φθ cossen)1( dnrR nn −−≅′−= rr y a orden cero en la amplitud, para obtener: 
[ ]∑
=
+−−≅
N
n
kdni
n
krti neEe
r
tE
1
cossen)1(
0
)(1),( ψφθωθ r 
[ ] 0,1 1 000
1
0
cossen
0
)( === ∑
−
=
+− ψψφθω EeEe
r
N
n
nkdi
n
krti n con 
Consideremos primero campos de igual amplitud y en fase. Tomamos cteEE n == 00 y 
ncten ∀== 0ψ . La sumatoria constituye una serie geométrica, ya que cada término es 
igual a precedente multiplicado por un factor constante φθ cossenikde : 












=
−
−
=
−
−
=≅
−−
−
−
−−
−
−
=
− ∑
φθ
φθ
φθω
φθφθ
φθφθ
φθω
φθ
φθ
ωφθω
θ
cossen
2
sen
cossen
2
sen
 
 
1
1),(
cossen)1(
2
1
)(0
cossen
2
1
cossen
2
1
cossen
2
1cossen
2
1
cossen)1(
2
1
)(0
cossen
cossen
)(0
1
0
cossen)(0
kd
Nkd
ee
r
E
ee
eeee
r
E
e
ee
r
E
ee
r
E
tE
kdNikrti
kdikdi
NkdiNkdi
kdNikrti
ikd
iNkd
krti
N
n
inkdkrtir
 
y el diagrama de interferencia será proporcional a: 












=












≅>=<
φθ
λ
π
φθ
λ
π
ηφθ
φθ
ηη
θ
cossensen
cossensen
2cossen
2
sen
cossen
2
sen
22 2
2
0
2
0
2
2
0
2
0
0
2
22
d
dNE
kd
Nkd
EE
rNr r 
Para el plano horizontal 2/πθ = , esta función tiene el máximo para 0cossen =φθ
λ
π d , que vale: 
( )0
2
0
2 2/ ηEN ⇒ 












=
><
><
=
φθ
λ
π
φθ
λ
π
φϑ
cossensen
cossensen
),(
22
2
2
2
dN
dN
Nr
Nrf
maxr
r 
es el diagrama de radiación, que puede escribirse: ( )
( )β
βφϑ 22
2
sen
sen),(
N
Nf = 
Esta expresión en β es la misma que para la red vertical, de modo que son aplicables las conclu-
siones halladas en la sección precedente. Los máximos principales se dan para β = nπ. Como 
rn 
d 
x 
θ 
φ 
z 
r 
Electromagnetismo 2004 10-31 
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería 
Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar 
 
φθλπβ cossen)/(d= la condición β = 0 lleva a 0cossen =φθ . 
En el plano horizontal (θ = π/2) esto significa que los máximos principales se dan para φ = π/2, 
3π/2 (direcciones laterales a la línea de dipolos). 
La otra condición β = nπ lleva a que nd =φθλ cossen)/( . Como las funciones trigonométri-
cas tienen módulo ≤ 1, esta condición se cumple solamente para (d/λ) ≥ 1. En tal caso, aparecen 
otros máximos principales en direcciones no laterales. Estos arreglos son formaciones laterales 
como las vistas en la sección precedente. 
Consideremos ahora nuevamente campos de igual amplitud pero con fases linealmente variables 
con la posición, como antes: δψψδψ =−⇒= −1 nnn n . 
En tal caso: 
)cossen(
)cossen(
)(0
1
0
)cossen()(0
1
1),(
δφθ
δφθ
ωδφθω
θ +
+
−
−
=
+−
−
−
=≅ ∑ kdi
kdiN
krti
N
n
kdinkrti
e
ee
r
E
ee
r
E
tE r 





 +











 +
=
+−
2
cossen
2
sen
2
cossen
2
sen
 
]cossen[
2)(0
δφθ
δφθ
δφθω
kd
kdN
ee
r
E kdNikrti 
y el diagrama de radiación es proporcional a: 





 +











 +
=>=<
2
cossen
2
sen
2
cossen
2
sen
22 2
2
0
2
0
0
2
22
δφθ
δφθ
ηη
θ
kd
kdN
EE
rNr r 
Podemos realizar el mismo análisis que en el caso del arreglo vertical. 
Para que exista un máximo principal, el valor β = 0 debe estar dentro del dominio de β. Como δ 
puede ser positivo o negativo, se dan dos posibilidades: 
c) δ > 0. Existe β = 0 si 
λπ
δ
λ
πδ dd ≤⇒≤−
2
 02 
d) δ < 0. Existe β = 0 si 
λπ
δ
λ
πδ dd ≤⇒≥+−
2
 02 
O sea que en general podemos decir que existirá un máximo principal si: 
λπ
ψ
λπ
δ
λπ
δ Ld)(N-)(N-d ≤∆⇒≤⇒≤
2
 1
2
1 
2
 
donde ∆ψ es el desfasaje total del arreglo (entre el primer y el último elemento). Suponiendo que 
se cumpla esta condición, el máximo principal se da para: 
d
d
MM
λ
π
δφδφ
λ
πβ
2
cos 0cos2 −=⇒=+= 
Como puede verse, φM depende del desfasaje. Si δ es cero, el máximo principal seda para φM = 
±π/2, lo que nos lleva a las formaciones laterales ya vistas. 
Por otra parte, si: 
0 2
 2
M
M
=⇒−=
=⇒=
φ
λ
πδ
πφ
λ
πδ
d
d
 
y se tienen nuevamente las formaciones de punta, donde la máxima radiación se da sobre la 
línea que contiene a los radiadores. 
Electromagnetismo 2004 10-32 
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería 
Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar 
 
φ 
30 
210 
0 
60 
240 
90 
270 
120 
300 
150 
330 
180 
Ejemplo 10.6: No siempre los radiadores emiten campos polarizados en la misma dirección. 
Considere dos dipolos eléctricos cortos perpendiculares entre sí, situados en el mismo pun-
to. Las corrientes alimentadoras son de igual amplitud y frecuencia, pero pueden estar des-
fasadas en ψ. Se pide hallar el diagrama de radiación sobre el plano horizontal que contiene 
a los dipolos y analizar la polarización de la onda radiada. 
Elegimos un sistema de coordenadas con su origen en los 
dipolos y orientado como indica la figura. El punto campo se 
toma sobre el plano horizontal xy. El dipolo 1 (orientado 
según -z) crea el campo: 
zE ˆˆsen )(0)(01
krtikrti e
r
E
e
r
E −− =′′= ωω θθ 
porque sobre el plano xy: θ' = π/2 y ẑˆ =′θ . 
Para expresar el campo creado por el dipolo 2 debemos re-
emplazar θ por el ángulo entre el eje del dipolo (x en nues-
tro caso) y el vector posición r. Sobre el plano xy este ángulo 
es φ, y el versor θ̂ resulta el versor φ̂ . Entonces el campo 
emitido por el dipolo 2 es: 
φφ ψω ˆsen )(02
+−= krtie
r
E
E 
y el campo eléctrico total es: [ ]zEEE ˆˆsen)(021 +=+= − φφ ψω ikrti eer
E
 
El campo magnético radiado puede calcularse como: 
[ ] [ ]φφ
η
φφ
ηη
ψωψω ˆˆsenˆˆsenˆˆ )(
0
0)(
0
0
0
−=+×=
×
= −− zzrErH ikrtiikrti ee
r
E
ee
r
E 
y el vector medio de Poynting: 
( ) ( ) ( )[ ] ( )φ
η
φφφφ
η
ψψ 2
2
0
2
0
2
0
2
0 sen1
2
ˆˆsenˆˆsen
22
1
+=−×+ℜ=×ℜ= −
r
E
eee
r
E
e ii zzHEN * 
Se ve que el vector medio de Poynting es la suma de los vectores de Poynting individuales de 
cada dipolo. No hay un factor de interferencia. Esto se debe a que los campos radiados son 
perpendiculares entre sí. Además no depende del des-
fasaje entre las corrientes alimentadoras de los elemen-
tos. Las direcciones de máxima radiación corresponden 
a φ = π/2, 3π/2, para las cuales el seno vale 1. El dia-
grama de radiación sobre el plano horizontal que con-
tiene a los dipolos es entonces: 
2
sen1)(
2 φφ +=f 
y se muestra en la figura a la izquierda. Este diagrama 
es la semisuma de los diagramas horizontales de radia-
ción individuales de cada dipolo, que se muestran en 
rojo en la figura. 
Para analizar el comportamiento de la polarización de 
la onda radiada, seguimos un procedimiento similar al 
de la página 328. El campo eléctrico total es: 
( ) ( )[ ]zzE ˆ)cos(ˆ)cos(senˆˆsen 0)(0 krtkrt
r
E
ee
r
E
e ikrti −++−=


 +ℜ= − ωφψωφφφ ψω 
Entonces: )cos(0 krt
r
E
Ez −= ω 
[ ]ψωψωφψωφφ sen)sen(cos)cos(sen)cos(sen 00 krtkrtr
E
krt
r
E
E −−−=+−= 
x 
θ 
φ 
z 
r 
y 
E1 
E2 
1 
2 
θ' 
Electromagnetismo 2004 10-33 
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería 
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y podemos escribir: 
0
)cos(
E
rE
krt z=−ω 
ψφ
ψ
ψφ
ψωω φφ
sensen
cotan
sensen
cotan)cos()sen(
000 E
rE
E
rE
E
rE
krtkrt z −=−−=− 
Elevamos ambas ecuaciones al cuadrado y sumamos miembro a miembro para obtener: 
ψψ
φφ
ψφ
ψ
ψφ
ψ
ψφ
ψ
φφ
φφ
φ
2
00
2
0
2
0
2
0
22
0
2
2
0
2
00
2
0
sencos
)/sen)(/(
2
/sen/
sensen
cotan2
sensen
)cotan1(1
sensen
cotan1
=−





+





−





++





=






−+





=
rErE
EE
rE
E
rE
E
E
EEr
E
rE
E
rE
E
rE
E
rE
E
rE
zz
zz
zz
 
que podemos comparar con la ecuación de la elipse de polarización hallada en el Capítulo 6: 
φφ 2
00
2
0
2
0
sencos2 =−








+








yx
yx
y
y
x
x
EE
EE
E
E
E
E
 
Observamos que ambas ecuaciones son formalmente idénticas, de manera que el sistema de 
dos dipolos cruzados emite una onda elípticamente polarizada. 
Se observa también que los semiejes de la elipse cambian con r (por el decaimiento de la 
amplitud de los campos de una onda esférica) y con φ. 
En particular, en la dirección de mínima radiación sen φ = 0, y se tiene Eφ = 0. Entonces en 
esa dirección sólo hay Ez y la onda es linealmente polarizada. 
En la dirección de máxima radiación sen φ = 1, y el estado de polarización de la onda radia-
da depende solamente de ψ: 
ψψφφ 22
0
2
0
2
0
sencos
)/(
2
//
=−





+





rE
EE
rE
E
rE
E zz 
ψ = ±nπ. Eφ = Ez y la onda es linealmente polarizada a π/4 del plano xy. 
ψ = ±(2n+1)π/2. 
2
022 




=+
r
E
EE z φ y la onda es circularmente polarizada. 
Para valores intermedios de ψ la onda resulta elípticamente polarizada. 
En otras direcciones la onda resulta elípticamente polarizada. 
 
Ejemplo 10.7: Las antenas usan reflectores para modificar sus diagramas de radiación y me-
jorar su eficiencia. Considere un arreglo lineal de N alambres conductores de sección des-
preciable S y altura h<<λ a la frecuencia de trabajo. Una on-
da plana verticalmente polarizada incide sobre el conjunto 
formando un ángulo αi con la normal a la distribución. Esta 
onda induce corrientes variables en el tiempo sobre los 
alambres, que entonces se convierten en radiadores. Halle la 
amplitud del campo radiado por el conjunto y el diagrama de 
radiación horizontal. Analice su uso como reflector. 
Por la continuidad del campo eléctrico sobre la interfase aire-
conductor podemos suponer que el campo dentro de cada 
alambre es igual al campo incidente, de forma que la corriente que circula en el n-
ésimo alambre es inn SEI σ= donde Ein es el campo incidente sobre ese alambre. 
Pero la fase del campo incidente va cambiando de elemento a elemento, porque, co-
mo se muestra en la figura, hay una diferencia de caminos idl αsen=∆ entre los 
x 
z 
y 
h 
L 
α 
αi 
Ei 
Er 
ki 
kr 
Ei E 
Electromagnetismo 2004 10-34 
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería 
Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar 
 
campos que llegan a dos elementos adyacentes. Esta diferencia de caminos se 
traduce en una diferencia de fase ikdlk αϕ sen=∆=∆ entre los campos y, por 
lo tanto, entre las corrientes de elementos adyacentes. 
Por comodidad colocamos el origen de coordenadas en un extremo de la distri-
bución y tenemos para el elemento n-ésimo la corriente: 
)sen()( ini nkdti
o
ti
on eESeESI
αωω σσ −•− == rk 
Como la altura del elemento es mucho menor que λ podemos suponer que la 
distribución de corriente es uniforme y que el elemento se comporta como un 
dipolo radiante elemental, y emite un campo eléctrico de radiación: 
θθ
ωεπ
σ
θθ
ωεπ
φθαω ˆsen
4
ˆsen
4
),( cossensen)(
0
2
0
0
2
inkdinkdkrtiiikrn
n eeer
khESiee
r
khIit in −−−′•−− == rkrE 
El campo total emitido por la distribución es: 
θ
β
βθ
ωεπ
σ
θθ
ωεπ
σ
βω
φθαω
ˆ
]2/sen[
]2/sen[sen
4
 
ˆsen
4
),(
]2/)1([
0
2
0
1
0
)cossen(sen)(
0
2
0
Ne
r
khESi
ee
r
khESi
t
Nkrti
N
n
inkdkrti i
−+−
−
=
+−−
=
= ∑rE
 
 donde: )cossen(sen φθαβ += ikd . El diagrama de radiación es proporcional a: 
]2/[sen
]2/[sensen
162
1
2
2
2
22
0
2
422
0
22
0
2
β
βθ
ωεπ
σ
η
NkhESNr r = 
Sobre el plano horizontal 2/πθ = y tenemos: 
)cos(sen 
]2/[sen
]2/[sen
162
1
2
2
22
0
2
422
0
22
0
2 φαβ
β
β
ωεπ
σ
η
+== ir kd
NkhESNr 
El valor máximo de esta expresión se da para 0=β , de modo que el diagrama de radiación 
queda: )cos(sen 
]2/[sen
]2/[sen)( 22
2
φαβ
β
βφ +== ikdN
Nf 
La condición de máximo implica: iMikd αφφαβ sencos 0)cos(sen =⇒=+= 
Pero, de la figura: iM αααφαπφ sensen sencos 2/ =⇒=⇒−= 
y se observa que el máximo de radiación se da en la dirección

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