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ELECTROMAGNETISMO - BOLETÍN 0 
Análisis Vectorial. Operadores: Gradiente, Divergencia y Rotacional 
 
 
1- Suponiendo V= xy-2yz, encuentre en el punto P(2,3,6): 
a) La dirección y la magnitud del máximo incremento de V 
b) La razón espacial de disminución de V en la dirección hacia el origen. 
 
Sol.: a) ˆ ˆ ˆ3 10 6x y za a a− − , b) -60/7 
 
2- Dado un campo vectorial ˆ ˆ ,r zA a r a z= +
r
 
a) Encuentre el flujo de salida total a través de un cilindro circular alrededor del eje 
z con radio 2 y altura 4 centrado en el origen. 
b) Repita (a) para el mismo cilindro con la base coincidiendo con el plano xy. 
c) Encuentre la divergencia de A
r
 y verifique el teorema de la divergencia. 
 
Sol.: a) 48π, c) 3 
 
3- Dado un campo vectorial ˆ ˆ 2 ,x yF a xy a x= −
r
encuentre su 
circulación alrededor de la trayectoria 0AB0 mostrada en la 
figura. 
 
Sol.: -9(1 + )
2
π 
 
 
 
 
4- Encuentre la circulación en el sentido de las agujas del reloj del campo vectorial F
r
 
presentado en el ejercicio 3, alrededor de una trayectoria cuadrada en el plano xy, 
centrada en el origen y con cuatro unidades en cada lado (-2 ≤x ≤2 y -2≤ y ≤2). 
 
Sol.: 32 
 
5- Demuestre que 0A∇× =
rr
 si 
a) ( / )A a kφ ρ=
r r en coordenadas cilíndricas, donde k es una constante. 
b) ( )rA a f r=
r r en coordenadas esféricas, donde f(r) es cualquier función de la distancia 
radial r. 
 
 
6- Dado ( ) ( )ˆ ˆ 3cosrF a sen aφφ φ= +
r
 y la región de cuarto de círculo presentada en la 
figura del ejercicio 3, 
a) determine 
0 0AB
F dl∫
rr
Ñ 
b) calcule F∇×
r r
 y verifique el teorema de Stokes. 
 
y 
x 
B 
A 0 
r= 3 
Sol.: a) 6, b) 2ˆ cosza r
φ  
 
 
 
7- Determine si los campos vectoriales siguientes son irrotacionales, solenoidales, 
ambos o ninguno. 
( )
2ˆ ˆ ˆ)
ˆ ˆ) ( ( ) 2cos( ))
ˆ ˆ ˆ) 2
) /
x y z
r
x y z
r
a A a xy a y a xz
b B r a sen a
c C a x a y a z
d D a k r
φφ φ
= − +
= +
= − +
=
r
r
r
r
 
 
Sol.: a) ninguno, b) ninguno ,c) ambos, d) irrotacional. 
 
 
8- Para una función escalar f y una función vectorial A
r
, demuestre la siguiente 
expresión en coordenadas cartesianas: 
( )f A f A A f∇ = ∇ + ∇r r rr r r 
 
9- Dada una función vectorial 3
2
A a senφ
φ =  
 
r r , verifique el teorema de Stokes sobre la 
superficie de una semiesfera de radio 4 y su borde circular. 
 
Sol.: 48 
 
 
10- Suponga una función vectorial 25 cosrF a r sen a rφφ φ= +
r r r 
a) Calcule F dl∫
rr
Ñ a lo largo del contorno ABCDA en la 
dirección indicada en la figura. 
b) Calcule .F∇×
r r
¿ Puede expresarse F
r
 como el gradiente de un 
escalar? Explique. 
c) Calcule ( )
s
F ds∇×∫
rr r
 dentro del área que limita el camino y 
compare el resultado con el que obtuvo en la parte a). 
 
Sol.: a) 1/2, b) ( )3 5 cosza r φ− , c) 1/2 
 
y 
x 
C 
D 0 
B 
A 
1 
2