Problemas propuestos de Teo de Campos - Quispe Ccorahua Jose Armando (2)

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Teoría de Campos
electromagnéticos
Problemas
Propuestos
Vol. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE
SAN MARCOS
FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y ELÉCTRICA 
Wiliams Rodrigo Rodriguez De la Cruz
Régulo A. Sabrera Alvarado
Problemas propuestos
de Teoría de Campos
Electromagnéticos
Colección
Tesla
Wiliams Rodrigo
Rodriguez De la Cruz
Régulo A. Sabrera
Alvarado
Catedrático de Física,
Matemática Computación y
SocioFísica
Edición
"A los incansables académicos y
amantes del saber científico, cuya
dedicación y búsqueda constante
de conocimiento en el campo de la
física iluminan el camino hacia
nuevas fronteras del
entendimiento, en beneficio de la
humanidad."
Dedicatoria
En el vasto y fascinante mundo de la física, los campos
electromagnéticos desempeñan un papel fundamental. Desde la
teoría clásica de Maxwell hasta las aplicaciones modernas en la
tecnología y la ingeniería, comprender y dominar los conceptos
relacionados con los campos electromagnéticos es esencial para
aquellos que desean explorar las maravillas y desafíos de esta
disciplina.
Este libro de ejercicios de campos electromagnéticos se presenta como
una valiosa herramienta para aquellos estudiantes y profesionales
que buscan fortalecer su comprensión y habilidades prácticas en este
campo. A través de una cuidadosa selección de ejercicios, se abordan
temas clave que sientan las bases para un conocimiento sólido de los
campos electromagnéticos.
Comienza con el análisis vectorial, donde los lectores se
familiarizarán con las operaciones vectoriales y su aplicación en el
contexto de los campos electromagnéticos. Luego, se profundiza en la
fuerza eléctrica, explorando cómo calcular y analizarla en diversas
situaciones. El campo eléctrico es otro tema central, desafiando a los
lectores a calcular y visualizarlo en diferentes distribuciones de
carga. Por último, se explora el potencial eléctrico, permitiendo a los
lectores comprender la energía asociada a las cargas y analizar su
interacción en diversas configuraciones.
A lo largo de este libro de ejercicios, se fomenta la resolución de
problemas de manera metódica y rigurosa, guiando a los lectores a
través de una variedad de situaciones y aplicaciones prácticas. 
Prólogo
PROBLEMAS DE
ANÁLISIS VECTORIAL
CAPÍTULO I
De la Página 5 al 111 
PROBLEMAS DE
CAMPO ELÉCTRICO
CAPÍTULO III
De la Página 215 al 314 
PROBLEMAS DE
FUERZA ELÉCTRICA
CAPÍTULO II
De la Página 112 al 214 
PROBLEMAS DE
POTENCIAL ELÉCTRICO
CAPÍTULO IV
De la Página 315 al 457
ÍNDICE
APÉNDICE
Página 458
ANÁLISIS VECTORIAL
"El análisis vectorial: una brújula matemática que nos guía por los intrincados
senderos de los campos electromagnéticos. Con sus operaciones y conceptos, revela
la estructura física subyacente de las leyes naturales. Como dijo Josiah Willard
Gibbs, el análisis vectorial no solo simplifica el trabajo matemático, sino que
también destaca la conexión entre la geometría y la física. En este capítulo,
adentrémonos en este fascinante terreno, explorando cómo los vectores nos
permiten describir, analizar y resolver problemas en el vasto universo de los
campos electromagnéticos".
Página 6 - Análisis Vectorial
 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
 
01. Las coordenadas polares de un punto P son: r=5,50 m y =240o. Hallar las coordena 
das cartesianas de este punto P. 
 
 a) (2,75; 4,76) b) (2,75; -4,76) c) (-2,75; 4,76) d) (-2,75; -4,76) e) (2,75; 4,76) 
 
02. Dos puntos en un plano tienen coordenadas polares P(2,50 m, 30,0o) y Q(3,80 m, 
120,0o). 
I) Hallar las coordenadas cartesianas de estos puntos. 
II) Hallar la distancia entre estos puntos. 
 
03. Una mosca se para en la pared de un cuarto. La esquina inferior izquierda de la pared 
se selecciona como el origen de un sistema de coordenadas cartesianas en dos dimen 
siones. Si la mosca está parada en el punto que tiene coordenadas (2,00, 1,00) m. 
I) ¿Qué tan lejos está la mosca de la esquina del cuarto? 
 
 a) 2,04 m b) 2,24 m c) 2,44 m d) 2,64 m e) 2,84 m 
 
II) ¿Cuál es su posición en coordenadas polares? 
 
 a) (2,04 m; 20,6o) b) (2,64 m; 24,6o) c) (2,44 m; 22,6o) 
 d) (2,84 m; 28,6o) e) (2,24 m; 26,6o) 
 
04. Dos puntos en el plano xy tienen coordenadas cartesianas P(2,00, -4,00) m y Q(3,00, 
3,00) m. 
I) Hallar la distancia entre estos puntos P y Q. 
 
 a) 8,4 m b) 8,5 m c) 8,6 m d) 8,7 m e) 8,8 m 
 
II) Hallar las coordenadas polares de estos puntos P y Q. 
 
05. Si las coordenadas rectangulares de un punto P están dadas por (2, y) y sus coordena 
das polares son (r, 30o). Hallar y y r. 
 
 a)1,45 m; 2,41 m b) 1,35 m; 2,21 m c) 1,05 m; 2,11 m 
 d) 1,25 m; 2,31 m e) 1,15 m; 2,31 m 
 
06. Si las coordenadas polares del punto (x, y) son (r, ), hallar las coordenadas polares 
para los puntos (-x, y), (-2x, -2y), y (3x, -3y). 
 
07. En el espacio tridimensional, las coordenadas cartesianas rectangulares de un punto 
son: x=1 u, y=2 u, z=3 u. Hallar las coordenadas cilíndricas de este punto. 
 
08. En el espacio tridimensional, las coordenadas cartesianas rectangulares de un punto 
son: x=2 u, y=2 u, z=2 u. Hallar las coordenadas esféricas de este punto. 
Página 7 - Análisis Vectorial
 
09. Las coordenadas cilíndricas de un punto P son: =2 u, =30o, z=3 u. Hallar los vecto 
res unitarios ̂ , y ̂ . 
 
10. Hallar la expresión de los vectores unitarios i , ĵ , k̂ que definen las coordenadas carte 
sianas, en función de los vectores unitarios ̂ , ̂ y k̂ que definen las coordenadas cilín 
dricas. 
 
11. Las coordenadas esféricas de un punto P son: r=4 u, =37o, y =53o. Hallar los vecto 
res unitarios r̂ , ̂ y ̂ . 
 
12. Hallar la expresión de los vectores unitarios i , ĵ , k̂ que definen las coordenadas carte 
sianas, en función de los vectores unitarios r̂ , ̂ y ̂ que definen las coordenadas esfé 
ricas. 
 
13. Las coordenadas parabólicas planas (f; h) en función de las rectangulares (x; y) vienen 
dadas por: x = f – h, y = 2(f.h)1/2 donde f>0, h>0. 
I) Expresar f y h en función de x e y. 
II) Si f y ĥ son vectores unitarios, que definen el sistema de coordenadas parabólico, 
demostrar que f y ĥ son perpendiculares entre si. 
III) Demostrar que f y ĥ son funciones de f y h y hallar sus derivadas respecto de f y h. 
IV) Probar que el vector de posición de una partícula en el sistema de coordenadas para 
bólico, viene dado por : 1/2 1/2 1/2 1/2ˆ ˆr f (f h) f h (f h) h    . 
 
14. En la Fig01, una topógrafa mide la distancia a través de un río recto con el siguiente 
método. Partiendo directamente a través de un árbol en la orilla opuesta, camina d=100 
m a lo largo del margen del río para establecer una línea base. Luego observa hacia el 
árbol. El ángulo de su línea base al árbol es de =35,0o. Hallar el ancho del río. 
 
 a) 65 m b) 70 m c) 75 m d) 80 m e) 85 m 
 
15. En la Fig02, la fuerza 1F de magnitud F1=6,0 N actúa sobre el cuerpo en el origen en 
la dirección de =30,0o sobre el eje-x positivo. La segunda fuerza 2F de magnitud 
F2=5,0 N actúa sobre el cuerpo en la dirección del eje-y positivo. Hallar gráficamente 
la magnitud y dirección de la fuerza resultante 1 2F F F  . 
 
 a) 9,14 N, 59o b) 9,34 N, 55o c) 9,34 N, 51o d) 9,74 N, 53o e) 9,54 N, 57o 
 
16. El vector A tiene una magnitud de A=29 u y puntos en la dirección del eje-y positivo. 
Cuando el vector B se suma al vector A , el vector A B apunta en dirección del eje-
y negativo con una magnitud de 14 u. Hallar la magnitud y dirección de B . 
 
 a) -41 ĵ b) -43 ĵ c) -45 ĵ d) -47 ĵ e) -49 ĵ 
 
17. Un patinador se desliza a lo largo de una trayectoria circular de radio R=5,00 m. Si 
Página 8 - Análisis Vectorial
 
 avanza por inercia alrededor de la mitad del círculo. 
I) Hallar la magnitud del vector de desplazamiento. 
 
 a) 8,0 b) 8,5 m c) 9,0 m d) 9,5 m e) 10,0 m 
 
II) Hallar la distancia quepatino. 
 
 a) 15,1 m b) 15,3 m c) 15,5 m d) 15,7 m e) 15,9 m 
 
III) ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento si el patina alrededor de todo el círculo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig01 Fig02 
 
18. Tres desplazamientos son: A =150 m a 30,0o al Sur, B =250 m al Oeste y C =150 a 
30,0o al Noreste. 
I) Construya un diagrama separado para cada una de las siguientes posibles formas de 
sumar estos vectores 1R A B C   , 2R B C A   , 3R C B A   . 
II) Explique que puede concluir al comparar los diagramas. 
 
19. Un carro de montaña rusa se mueve 200 m horizontalmente y luego se eleva 135 m a 
un ángulo de 30,0o sobre la horizontal. A continuación viaja 135 m a un ángulo de 
40,0o hacia abajo. 
I) Usando técnicas gráficas, hallar el desplazamiento desde su punto de partida. 
 
 a) 420,77 m b) 422,77 m c) 424,77 m d) 426,77 m e) 428,77 m 
 
II) Hallar la dirección del vector desplazamiento d . 
 
 a) 2,63o b) -2,63o c) 3,63o d) -3,63o e) 4,63o 
 
20. Un avión vuela desde el campo base al lago A, a 280 km de distancia en la dirección 
20,0o al noreste. Después de soltar suministros vuela al lago B, que está a 190 km a 
30,0o al noreste del lago A. 
I) Hallar gráficamente la distancia recorrida. 
 
 a) 305,9 km b) 306,9 km c) 307,9 km d) 308,9 km e) 309,9 km 
 
II) Hallar la dirección desde el lago B al campo base. 
 
 a) 55,14o b) 56,14o c) 57,14o d) 58,14o e) 59,14o 
 
 
 d 
v 
 
 F1 
F2 
 
 
Página 9 - Análisis Vectorial
 
21. Indicar cuáles de las magnitudes físicas son escalares o vectoriales: peso (W), calor 
(Q), calor especifico (ce), ímpetu (I), densidad (), energía (E), volumen (V), potencia. 
Serway 
22. Las componentes de un vector A en las direcciones de los x e y son Ax=-25 u y 
Ay=40,0 u. Hallar la magnitud y dirección de este vector. 
 
 a) 48,2 u; 122o b) 46,2 u; 121o c) 45,2 u; 123o 
 d) 49,2 u; 125o e) 47,2 u; 122o 
 
23. El vector A de magnitud A=35,0 u está en la dirección de 325o en sentido antihorario 
medido desde el eje-x positivo. Hallar las componentes x e y de este vector. 
 
 a) 25,67 u; -22,08 u b) 25,67 u; -24,08 u c) 25,67 u; -23,08 u 
 d) 25,67 u; -21,08 u e) 28,67 u; -20,08 u 
 
24. Una persona camina 25,0o al noreste recorriendo 3,10 km. ¿Qué distancia tendría que 
caminar hacia el Norte y hacia el Este para llegar a la misma posición? 
 
 a) 1,11 km; 2,51 km b) 1,51 km; 2,71 km c) 1,41 km; 2,61 km 
 d) 1,21 km; 2,91 km e) 1,31 km; 2,81 km 
 
25. Obtenga expresiones en forma de componentes para los vectores de posición de coor 
denadas polares: (12,8 m, 150o), (3,30 cm, 60,0o). 
 
26. Un canillita para entregar un periódico recorre 3,00 cuadras al Oeste, 4,00 cuadras al 
Norte y luego 6,00 cuadras al Este. 
I) Hallar su desplazamiento resultante. 
 
 a) 4 cuadras b) 5 cuadras c) 6 cuadras d) 7 cuadras e) 8 cuadras 
 
II) Hallar la distancia total que recorre el canillita. 
 
 a) 10 cuadras b) 11 cuadras c) 12 cuadras d) 13 cuadras e) 14 cuadras 
 
27. Un explorador se mueve 75,0 m al Norte, 250 m al Este, 125 m a un ángulo de 30,0o al 
noreste y 150 m al Sur. Hallar la magnitud de su desplazamiento resultante. 
 
 a) 312,55 m b) 314,55 m c) 316,55 m d) 318,55 m e) 320,55 m 
 
II) Hallar la dirección del vector desplazamiento resultante. 
 
 a) 6,07o b) 6,27o c) 6,47o d) 6,67o e) 6,87o 
 
28. Dados los vectores ˆ ˆA 3i 2 j  y ˆ ˆB i 4 j   . Hallar A B , A B , A B , A B , y 
las direcciones de A B y A B . 
 
29. Un perro que corre en el parque, experimenta desplazamientos sucesivos de 3,50 m al 
Sur, 8,20 a 30o al noreste, y 15,0 m al Oeste. 
Página 10 - Análisis Vectorial
 
I) Hallar la magnitud del desplazamiento resultante. 
 
 a) 7,12 m b) 7,32 m c) 7,52 m d) 7,72 m e) 7,92 m 
 
II) Hallar la dirección del vector desplazamiento resultante. 
 
 a) 171,7o b) 173,7o c) 175,7o d) 177,7o e) 179,7o 
 
30. Dados los vectores ˆ ˆA 2,00i 6,00 j  y ˆ ˆB 3,00i 2,00 j  . 
I) Dibuje la suma vectorial C A B  y la diferencia vectorial D A B  . 
II) Calcule C y D en términos de vectores unitarios. 
III) Calcule C y D en términos de coordenadas polares, con ángulos medidos respecto del 
eje-x positivo. 
 
31. En la Fig03, cuando el esquiador se desliza por la pista de ángulo de inclinación = 
30o, un trozo de hielo se proyecta a una posición máxima de 1,50 m a =16,0o de la 
vertical. 
I) Hallar la componente de su posición máxima paralela a la pista. 
 
 a) 1,17 m b) 1,37 m c) 1,57 m d) 1,77 m e) 1,97 m 
 
II) Hallar la componente de su posición máxima perpendicular a la pista. 
 
 a) 0,54 m b) 0,64 m c) 0,74 m d) 0,84 m e) 0,94 m 
 
32. En la Fig04, sobre la caja que reposa en el piso se aplican fuerzas 1F de magnitud F1= 
120 N en la dirección 1= 60,0
o, y 2F de magnitud F2=80,0 N en la dirección 2= 75,0
o. 
I) Hallar la fuerza resultante de la suma de estas fuerzas. 
 
 a) 181,4 N b) 183,4 N c) 185,4 N d) 187,4 N e) 189,4 N 
 
II) Hallar la dirección del vector resultante de la suma de las fuerzas. 
 
 a) 71,8o b) 73,8o c) 75,8o d) 77,8o e) 79,8o 
 
III) Hallar la magnitud de la fuerza 2F , para que, la fuerza resultante sea nula. 
 
 a) 110 N b) 115 N c) 120 N d) 125 N e) 130 N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig03 Fig04 
 
 
 
g 
 
 
F1 
F2 
x 
y 
1 2 
 
Página 11 - Análisis Vectorial
 
33. Dados los tres vectores de desplazamiento ˆ ˆA (3i 3 j)m  , ˆ ˆB (i 4 j)m  , y C  
ˆ ˆ( 2i 5 j)m  
I) Hallar la magnitud y dirección del vector D A B C   . 
 
 a) 2,53 m; -41o b) 2,63 m; -42o c) 2,63 m; -43o d) 2,73 m; -44o e) 2,83 m; -45o 
 
II) Hallar la magnitud y dirección del vector E A B C    . 
 
34. Dados los vectores A ( 8,70;15,0)cm  y B (13,2; 6,60)cm  . Si A B 3C 0   . 
Hallar el vector C . 
 
 a) (7,3 i +7,2 ĵ) cm b) (7,3 i -7,2 ĵ) cm c) (-7,3 i +7,2 ĵ) cm 
 d) (-7,3 i -7,2 ĵ) cm e) (7,5 i +7,8 ĵ) cm 
 
35. Las componentes x, y, z del vector A son: 8,00 u, 12,0 u y -4,00 u, respectivamente. 
I) Exprese el vector A en notaciones de vectores unitarios. 
II) Exprese en vectores unitarios el vector B , cuya magnitud es un cuarto la de A , y que 
está en la misma dirección. 
III) Exprese en vectores unitarios el vector C , cuya magnitud es tres veces la de A , y que 
esta en dirección opuesta. 
 
36. Las componentes x, y, z del vector B son: 4,00 u, 6,00 u y 3,00 u, respectivamente. 
I) Hallar la magnitud del vector B 
 
 a) 7,51 u b) 7,61 u c) 7,71 u d) 7,81 u e) 7,91 u 
 
II) Hallar los ángulos que forma B con ejes x, y, z. 
 
 a) 55,19o; 36,80o, 65,41o b) 58,19o; 38,80o, 69,41o c) 56,19o; 35,80o, 66,41o 
 d) 57,19o; 37,80o, 68,41o e) 59,19o; 39,80o, 67,41o 
 
37. El vector A tiene una componente x negativa de 3,00 u de magnitud y un componente 
y positiva de 2,00 u de magnitud. 
I) Hallar una expresión para A en notación de vectores unitarios. 
 
 a) 3 i +2 ĵ b) -3 i +2 ĵ c) 3 i -2 ĵ d) -3 i -2 ĵ e) 2 i +3 ĵ 
 
II) Hallar la magnitud y dirección de A . 
 
 a) 3,01 u; 140,31o b) 3,21 u; 142,31o c) 3,41 u; 144,31o 
 c) 3,61 u; 146,31o e) 3,81 u; 148,31o 
Página 12 - Análisis Vectorial
 
III) Hallar un vector B , tal que, al sumarse a A da como resultante un vector con compo 
nente nula en x y componente y negativa de 4,00 u de magnitud. 
 
 a) 3 i +6 ĵ b) -3 i +6 ĵ c) 3 i -6 ĵ d) -3 i -6 ĵ e) 6 i +3 ĵ 
 
38. Dados ˆ ˆA (6,00i 8,00 j)u  , ˆ ˆB ( 8,00i 3,00 j)u   , y ˆ ˆC (26,0i 19,0 j)u  . 
I) Hallar "a" y "b" tal que a A +b B +C =0. 
 
 a) 3; 4 b) 4; 3 c) 7; 5 d) 5; 7 e) 5; 8 
 
II) Un estudiante aprendió que una sola ecuación no se puede resolver para determinarvalores para más de una incógnita en ella. ¿Como podría explicarle que tanto "a" como 
"b" se pueden determinar a partir de la ecuación que se usó en el inciso I). 
 
39. Un jardinero que empuja una podadora experimenta dos desplazamientos. El primero 
de magnitud 150 cm formando un ángulo de 120o con el eje-x positivo. Si el desplaza 
miento resultante tiene magnitud de 140 cm y dirección de 35,0o respecto del eje-x po 
sitivo, hallar el segundo desplazamiento. 
 
 a) 190 cm b) 192 cm c) 194 cm d) 196 cm e) 198 cm 
 
40. Exprese en notación de vectores unitarios los siguientes vectores. 
I) El vector E de magnitud 17,0 cm se dirige 27,0o contra las manecillas del reloj, desde 
 el eje x positivo. 
 
 a) 15,15 i +7,72 ĵ b) -15,15 i +7,72 ĵ c) 15,15 i -7,72 ĵ 
 d) -15,15 i -7,72 ĵ e) 13,15 i +5,72 ĵ 
 
II) El vector Fde magnitud 17,0 cm se dirige 27,0o contra las manecillas del reloj, desde 
el eje y positivo. 
 
 a) 7,72 i +15,15 ĵ b) -7,72 i +15,15 ĵ c) 7,72 i -15,15 ĵ 
 d) -7,72 i -15,15 ĵ e) 5,72 i +13,15 ĵ 
 
III) El vector G de magnitud 17,0 cm se dirige 27,0o en sentido de las manecillas del reloj, 
desde el eje y negativo. 
 
 a) 7,72 i +15,15 ĵ b) -7,72 i +15,15 ĵ c) 7,72 i -15,15 ĵ 
 d) -7,72 i -15,15 ĵ e) 5,72 i +13,15 ĵ 
 
41. Una estación de radar ubica un barco hundido en un intervalo de 17,3 km y orientación 
 de 136o en sentido de las manecillas del reloj desde el Norte. Desde la misma estación, 
un avión de rescate está en un intervalo horizontal de 19,6 km, 153o en sentido de las 
manecillas del reloj desde el Norte, con elevación de 2,20 km. 
Página 13 - Análisis Vectorial
 
I) Escriba el vector de posición para el barco en relación con el avión con i que represen 
ta el Este , ĵ el Norte, y k̂ hacia arriba . 
 
 a) 3,13 i +5,02 ĵ+2,20 k̂ b) -3,13 i +5,02 ĵ+2,20 k̂ c) 3,13 i +5,02 ĵ-2,20 k̂ 
 d) 3,13 i -5,02 ĵ-2,20 k̂ e) -3,13 i -5,02 ĵ+2,20 k̂ 
 
II) Hallar la distancia de separación entre el barco y el avión. 
 
 a) 6,11 km b) 6,31 km c) 6,51 km d) 6,71 km e) 6,91 km 
 
42. El ojo de un huracán se mueve en dirección 60,0o al noreste con una rapidez de 41,0 
km/h. 
I) Hallar la expresión en vector unitario del vector velocidad (en km/h) del huracán. 
 
 a) 35,5 i +20,50 ĵ b) 35,5 i -20,50 ĵ c) -35,5 i +20,50 ĵ 
 d) -35,5 i -20,50 ĵ e) 31,5 i +24,50 ĵ 
 
II) Se mantiene esta velocidad por 3,00 h, después el curso del huracán cambia súbitamen 
te al Norte y su rapidez baja a 25,0 km/h. Esta nueva velocidad se mantiene durante 
1,50 h. Hallar la expresión en vector unitario de la nueva velocidad (km/h)del huracán. 
 
 a) 21 ĵ b) 22 ĵ c) 23 ĵ d) 24 ĵ e) 25 ĵ 
 
III) Hallar la expresión de vector unitario para el desplazamiento (en km) del huracán du 
rante las primeras 3,00 h. 
 
 a) 106,5 i +61,50 ĵ b) -106,5 i +61,50 ĵ c) 106,5 i -61,50 ĵ 
 d) -106,5 i -61,50 ĵ e) 108,5 i +63,50 ĵ 
 
IV) Hallar la expresión de vector unitario para el desplazamiento (en km) del huracán du 
rante las últimas 1,50 h. 
 
 a) 35,5 ĵ b) 36,5 ĵ c) 37,5 ĵ d) 38,5 ĵ e) 39,5 ĵ 
 
V) ¿A qué distancia del punto de observación está el ojo del huracán, después que pasa so 
bre este? 
 
 a) 141,4 km b) 142,4 km c) 143,4 km d) 144,4 km e) 145,4 km 
 
43. En la Fig05, Qoqi está sobre el suelo en el origen de un sistema de coordenadas. El 
dron vuela con velocidad constante en la dirección del eje-x a una altura de h=7,60 km. 
En el instante t=0 el dron esta sobre Qiqo el vector de posición es oP =7,60 ĵ km. En 
el instante t=30,0 s, el vector de posición es 30P =(8,04 i +7,60 ĵ) km. Hallar la magni 
tud y dirección del vector de posición del dron en el instante t=45,0 s. 
Página 14 - Análisis Vectorial
 
 
 a) 13,4 km; 30,2o b) 13,8 km; 34,2o c) 14,0 km; 31,2o 
 d) 12,4 km; 33,2o e) 14,3 km; 32,2o 
 
44. En la Fig06, se muestra la trayectoria de una persona que sale a caminar, la cual, cons
 ta de cuatro trayectorias en línea recta. Hallar el desplazamiento resultante de la perso 
na, medido desde el punto de partida 0. 
 
 a) 220 m b) 225 m c) 230 m d) 235 m e) 240 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig05 Fig06 
 
45. Un controlador de tráfico aéreo observa dos aeronaves en la pantalla de su radar. La 
primera está a una altitud de 800 m, 19,2 km de distancia horizontal y 25,0o al suroes 
te. La segunda está a una altitud de 1100 m, 17,6 km de distancia horizontal y 20,0o al 
suroeste. Hallar la distancia entre estas aeronaves. 
 
 a) 2,19 km b) 2,29 km c) 2,39 km d) 2,49 km e) 2,59 km 
 
46. En la Fig07, la araña esta descansando después de haber construido su red. La fuerza 
de gravedad sobre la araña es de 0,150 N en el punto de unión 0 de los tres hilos de se 
da. La unión soporta diferentes fuerzas en los dos hilos por encima de ella de manera 
que la fuerza resultante sobre la unión es cero. La tensión Tx es de 0,127 N. 
I) Hallar el ángulo que forma el eje-x con la horizontal. 
 
 a) 55,9o b) 56,9o c) 57,9o d) 58,9o e) 59,9o 
 
II) Hallar la tensión Ty. 
 
 a) 75,8 mN b) 76,8 mN c) 77,8 mN d) 78,8 mN e) 79,8 mN 
 
III) Hallar el ángulo que forma el eje-y con la horizontal. 
 
 a) 30,1o b) 31,1o c) 32,1o d) 33,1o e) 34,1o 
 
47. En la Fig08, el rectángulo mostrado tiene lados paralelos a los ejes x e y. Los vectores 
de posición de las dos esquinas son: A =10,0 m a 50o y B =12,0 m a 30,0o. 
I) Hallar el perímetro del rectángulo. 
 
 
 
 
 
 
Po P30 
x 
y 
 
 
0 
y 
x 
300m 
100m 
150m 
200m 
60o 
30o 
 
Página 15 - Análisis Vectorial
 
 
 a) 10,4 b) 10,6 m c) 10,8 m d) 11,0 m e) 11,2 m 
 
II) Hallar la magnitud y dirección del vector desde el origen de la esquina superior dere 
cha del rectángulo. 
 
 a) 12,1 m; 33,4o b) 12,3 m; 35,4o c) 12,5 m; 34,4o 
 d) 12,7 m; 37,4o e) 12,9 m; 36,4o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig07 Fig08 
 
48. Se tiene dos vectores A y B de iguales magnitudes. Para que la magnitud de A +B 
sea cien veces mayor que la magnitud de A -B . ¿Cuál debe ser el ángulo entre ellos? 
 
 a) 1,15o b) 1,35o c) 1,55o d) 1,75o e) 1,95o 
 
49. Los vectores A y B tienen iguales magnitudes de 5,00 u. La suma de A y B es el vec 
tor 6,00 ĵ . Hallar el ángulo entre los vectores A y B . 
 
 a) 102,3o b) 104,3o c) 106,3o d) 108,3o e) 110,3o 
 
50. Checho camina 2,5 km hacia el norte y luego 1,5 km en una dirección 30o al este del 
norte. Jacinta camina directamente entre los mismos puntos inicial y final. ¿Qué distan 
cia camina Jacinta y en qué dirección? 
 
 a) 3,07 km; 76,73o b) 3,47 km; 75,73o c) 3,27 km; 79,73o 
 d) 3,67 km; 77,73o e) 3,87 km; 78,73o 
 
51. Una lancha viaja 14 km en dirección 60o al sur del este. Una segunda lancha tiene el 
mismo desplazamiento, pero viaja al este y luego al sur. ¿Qué distancia viajó la segun 
da lancha al este? ¿Qué distancia lo hizo al sur? 
 
 a) 7,4 km; 12,9 km b) 7,2 km; 12,3 km c) 7,6 km; 12,5 km 
 d) 7,8 km; 12,7 km e) 7,0 km; 12,1 km 
 
52. La resultante de dos vectores de desplazamiento tiene una magnitud de 5,0 m y una 
dirección norte. Uno de los vectores de desplazamiento tiene magnitud de 2,2 m y una 
dirección de 35o al este del norte. ¿Cuál es el otro vector desplazamiento? 
 
0 
y 
x 
A 
B 
 
 
0 
x 
y 
Tx 
Ty 
 
Página 16 - Análisis Vectorial
 
 
 a) 1,26 i +3,20 ĵ b) -1,26 i +3,20 ĵ c) 1,26 i -3,20 ĵ 
 d) -1,26 i -3,20 ĵ e) 1,46 i +3,60 ĵ 
 
53. Tanto Singapur como Quito están (aproximadamente) sobre el ecuador de la Tierra. La 
 longitud de Singapur es 104oeste y la de Quito es 78o oeste. 
I) ¿Cuál es la magnitud del vector de desplazamiento (en metros) entre estas ciudades? 
 
 a) 12 702 km b) 12 722 km c) 12 742 km d) 12 762 km e) 12 782 km 
 
II) ¿Cuál es la distancia entre ellas medida a lo largo del ecuador? 
 
 a) 19 713 km b) 19 733 km c) 19 753 km d) 19 773 km e) 19 793 km 
 
54. El operador de radar de un barco guardacostas estacionario observa que a las 10h 30m 
hay un barco no identificado a una distancia de 9,5 km con un rumbo de 60o al este de 
norte, y a las 11h 10m el barco no identificado está a una distancia de 4,2 km en un 
rumbo de 33o al este del norte. Medido desde su posición a las 10h 10m. 
I) ¿Cuál es el vector de desplazamiento del barco no identificado a las 11h 10m? 
 
 a) 6,07 km; 78,3o S-O b) 6,07 km; 78,3o O-S c) 6,27 km; 76,3o S-O 
 d) 6,27 km; 76,3o O-S e) 6,47 km; 72,3o S-O 
 
II) Suponiendo que el barco no identificado continúan en el mismo curso a la misma velo 
cidad ¿Cuál será su vector de desplazamiento a las 11h 30m. 
 
 a) 9,10 km; 78,3o S-O b) 9,10 km; 78,3o O-S c) 9,30 km; 76,3o S-O 
 d) 9,30 km; 76,3o O-S e) 9,60 km; 72,3o S-O 
 
III) ¿Cuál será su distancia y su rumbo desde el barco? 
 
 a) 3,0 km; 12,3o N-O b) 3,0 km; 12,3o O-N c) 3,2 km; 14,3o S-O 
 d) 3,2 km; 14,3o O-S e) 3,4 km; 16,3o S-O 
 
55. Un vector desplazamiento tiene una magnitud de 12,0 km en la dirección de 40o al 
oeste del norte. Hallar las componentes norte y sur de este vector. 
 
 a) 9,19 km; 7,71 km b) 9,59 km; 7,11 km c) 9,39 km; 7,91 km 
 d) 9,99 km; 7,51 km e) 9,79 km; 7,31 km 
 
56. Un vector desplazamiento tiene una magnitud de 4,0 m y una dirección vertical hacia a 
bajo. ¿Cuál es la componente de este vector a lo largo de una línea con pendiente ascen 
dente de 25o? 
 
 a) -1,3 i (m) b) 1,3 i (m) c) -1,5 i (m) d) 1,5 i (m) e) -1,7 i (m) 
 
57. Considere dos desplazamientos, la primera de magnitud 3 m y la segunda de magnitud 
4 m. Muestre como pueden combinarse estos vectores de desplazamiento para obtener 
Página 17 - Análisis Vectorial
 
 un desplazamiento resultante de magnitud I) 7 m, II) 1 m, III) 5 m. 
 
58. ¿Cuáles son las propiedades de dos vectores a y b tales que: I) a b c  y a+b=c; II) 
a b a b   ; III) a b c  y a2+b2=c2? 
 
59. Sonia camina 250 m en dirección 35o NE, y luego 170 m hacia el este. 
I) Usando métodos gráficos, halle su desplazamiento final a partir del punto de partida. 
II) Compare la magnitud de su desplazamiento con la distancia recorrida. 
 
60. Una persona camina con el siguiente esquema: 3,1 km norte, luego 2,4 km oeste, y fi 
 nalmente 5,2 km sur. 
I) Construya el diagrama vectorial que representa a este desplazamiento. 
II) ¿Qué tan lejos y en qué dirección volaría un pájaro en línea recta para llegar al mismo 
punto final? 
 
 a) 3,19 m; 41,19o O-S b) 3,19 m; 41,19o S-O c) 3,39 m; 43,19o O-S 
 d) 3,39 m; 43,19o S-O e) 3,59 m; 45,19o O-S 
 
61. Se suman dos vectores a y b . Muestre gráficamente con diagramas vectoriales que la 
magnitud de la resultante no puede ser mayor que a+b ni menor que Ia-bI, donde las ba 
rras verticales significan un valor absoluto. 
 
62. Un automóvil recorre hacia el este una distancia de 54 km, luego al norte 32 km y lue 
go en dirección 28o NE durante 27 km. Dibuje el diagrama vectorial y determine el vec 
tor desplazamiento total del automóvil desde el punto de partida. 
 
 a) 80,2 km; 13,94o N-E b) 80,2 km; 13,94o E-N c) 81,2 km; 11,94o N-E 
 d) 81,2 km; 11,94o E-N e) 83,2 km; 14,94o N-E 
 
63. El vector a tiene una magnitud de 5,2 u y está dirigido hacia el este. El vector b tiene 
una magnitud de 4,3 u y está dirigido 35o NO. Construyendo los diagramas vectoriales, 
halle las magnitudes y direcciones de I) a b , y II) a b . 
I) Hallar la magnitud y dirección del vector a b . 
 
 a) 4,25 u; 50,2o E-N b) 4,25 u; 50,2o N-E c) 4,45 u; 52,2o E-N 
 d) 4,45 u; 52,2o N-E e) 4,65 u; 54,2o E-N 
 
II) Hallar la magnitud y dirección del vector a b . 
 
 a) 8,24 u; 22,65o S-E b) 8,24 u; 22,65o E-S c) 8,44 u; 24,65o S-E 
 d) 8,44 u; 24,65o E-S e) 8,64 u; 64,65o S-E 
 
64. Un golfista ejecuta tres golpes para meter la bola en el hoyo cuando 3,6 m N, el segun 
do 1,8 m SE, y el tercero 0,9 m SO. ¿Qué desplazamiento se necesitaría para meter la 
bola en el hoyo al primer golpe? Trace el diagrama vectorial. 
Página 18 - Análisis Vectorial
 
 
 a) 2,15 m; 72,66o E-N b) 2,15 m; 72,66o N-E c) 2,35 m; 74,66o E-N 
 d) 2,35 m; 74,66o N-E e) 2,55 m; 76,66o E-N 
 
65. I) ¿Cuáles son las componentes de un vector A en el plano xy si su dirección es 252o 
a antihorario del eje-x positivo y su magnitud es de 7,34 u? 
 
 a) 2,27 u; 6,98 u b) -2,27 u; 6,98 u c) 2,27 u; -6,98 u 
 d) -2,27 u; -6,98 u e) 2,47 u; 6,78 u 
 
II) La componente x de cierto vector es de -25 u y la componente y es de +43 u. ¿Cuál es 
la magnitud del vector y el ángulo entre su dirección y el eje x positivo? 
 
 a) 49,14 m; 120,77o b) 49,74 m; 120,17o c) 49,54 m; 120,37o 
 d) 49,34 m; 120,97o e) 49,94 m; 120,57o 
 
66. En la Fig09, la pieza pesada se arrastra hacia arriba d=13 m sobre el plano inclinado 
=22o, respecto de la horizontal. 
I) ¿A qué altura de su posición inicial es levantada? 
 
 a) 4,07 m b) 4,27 m c) 4,47 m d) 4,67 m e) 4,87 m 
 
II) ¿A qué distancia se movió horizontalmente? 
 
 a) 12,05 m b) 12,25 m c) 12,45 m d) 12,65 m e) 12,85 m 
 
67. En la Fig10, la manecilla minutera de un reloj tiene una longitud de 11,3 cm del eje a 
la punta. 
I) ¿Cuál es el vector desplazamiento de su punta, desde un cuarto de hora hasta la media 
hora? 
 
 a) 15,18 cm; 45o O-S b) 15,18 cm; 45o S-O c) 15,58 cm; 45o O-S 
 d) 15,58 cm; 45o S-O e) 15,98 cm; 45o O-S 
 
II) ¿Cuál es el vector desplazamiento de su punta, en la siguiente media hora? 
 
 a) 22,6 cm; 180o x+ b) 22,6 cm; 180o x- c) 24,6 cm; 180o x+ 
 d) 24,6 cm; 180o x- e) 26,6 cm; 180o x+ 
 
III) ¿Cuál es el vector desplazamiento de su punta, en la siguiente hora? 
 
 a) 0 cm; 0o x+ b) 0 cm; 0o x- c) 2 cm; 0o x+ d) 2 cm; 0o x- e) 4 cm; 0o x+ 
 
68. Una persona desea llegar a un punto que está a 3,42 km de su ubicación actual y en u 
na dirección de 35,0o NE. Sin embargo, debe caminar a lo largo de calles que van ya 
sea de norte a sur o de este a oeste. ¿Cuál es la distancia mínima que podría caminar pa 
ra llegar a su destino? 
 
 a) 4,16 km b) 4,36 km c) 4,56 km d) 4,76 km e) 4,96 km 
Página 19 - Análisis Vectorial
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig09 Fig10 
 
69. Un barco se dispone a zarpar hacia un punto situado a 124 km al norte. Una tormenta i 
nesperada empuja al barco hasta un punto a 72,6 km al norte y 31,4 km al este de su 
punto de partida. ¿Qué distancia, y en qué dirección, debe ahora navegar para llegar a 
su destino original? 
 
 a) 60,23 km; 31,42o N-O b) 60,23 km; 31,42o O-N c) 62,23 km; 33,42o N-O 
 d) 62,23 km; 33,42o O-N e) 64,23 km; 35,42o N-O 
 
70. En la Fig11, las fallas de las rocas son roturas a lo largo de las cuales se han movido 
las caras opuestas de la masa rocosa, paralelas a la superficie de fractura. Este movimi 
ento está a menudo acompañado de terremotos. En la Figura los puntos A y B coinci 
dian antes de la falla. La componente del desplazamiento neto AB paralela a una línea 
horizontal en la superficie de la falla se llama salto de la dislocación (AC). La compo 
nente del desplazamiento neto a lo largo de la línea con mayor pendiente del plano de 
la falla es la brecha de la dislocación (AD). 
I) ¿Cuál es la desviación neta si el salto de la dislocación es de 22 m y la brecha de la dis 
locación es de 17 m? 
 
 a) 25 m b) 26 m c) 27 m d) 28 m e) 29 m 
 
II) Si el planode la falla está inclinado a 52o de la horizontal, ¿Cuál es el desplazamiento 
vertical neto de B como resultado de la falla en I)? 
 
 a) 10 m b) 11 m c) 12 m d) 13 m e) 14 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig11 Fig12 
 
A 
C 
B 
D 
52o 
 
 
R R 
P 
P 
 
 
En t1 En t2 
 
g 
13m 
22o 
v 
 
 
Página 20 - Análisis Vectorial
 
71. En la Fig12, una rueda de radio R=45 cm gira sin arrastre a lo largo de un piso hori 
zontal, P es un punto pintado sobre la llanta de la rueda. En el instante t1, P está en el 
punto de contacto entre la rueda y el piso. En el instante t2 posterior, la rueda ha roda 
do a la mitad de una vuelta. ¿Cuál es el desplazamiento de P durante el intervalo de 
tiempo t2-t1. 
 
 a) 1,61 m; 31o E-N b) 1,51 m; 37o N-E c) 1,41 m; 32o N-S 
 d) 1,87 m; 37o N-S e) 1,67 m; 33o E-N 
 
72. Una habitación tienen las dimensiones de 3 m x 3,6 m x 4,2 m. Una mosca que sale de 
una esquina termina su vuelo en la esquina diametralmente superior opuesta. 
I) Hallar el vector de desplazamiento (en metros) en un marco con los ejes de coordena 
das paralelos a las aristas de la habitación. 
 
 a) 3,0 i +3,6 ĵ+4,2 k̂ b) 3,2 i +3,8 ĵ+4,0 k̂ c) 3,8 i +3,2 ĵ+4,6 k̂ 
 d) 3,6 i +3,0 ĵ+4,4 k̂ e) 3,0 i +3,4 ĵ+4,8 k̂ 
 
II) ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento? 
 
 a) 6,09 m b) 6,29 m c) 6,49 m d) 6,69 m e) 6,89 m 
 
III) ¿Podría la longitud de la trayectoria recorrida por la mosca ser menor que esta distan 
cia?¿Mayor que esta distancia?¿Igual a esta distancia? 
IV) Si la mosca caminara en lugar de volar, ¿Cuál sería la longitud de la trayectoria más 
corta que puede recorrer? 
 
 a) 7,02 m b) 7,22 m c) 7,42 m d) 7,62 m e) 7,82 m 
 
73. Dados los vectores ˆ ˆa 4i 3 j  y ˆ ˆb 6i 8 j  . 
I) Hallar la magnitud y dirección con el eje+x del vector a . 
 
 a) 3,0; 353o b) 3,5; 313o c) 4,0; 343o d) 4,5; 333o e) 5,0; 323o 
 
II) Hallar la magnitud y dirección con el eje +x del vector b . 
 
 a) 7,0; 35,9o b) 6,0; 38,9o c) 9,0; 37,9o d) 8,0; 39,9o e) 10,0; 36,9o 
 
III) Hallar la magnitud y dirección con el eje+x del vector a b . 
 
 a) 7,2; 25,6o b) 10,2; 27,6o c) 9,2; 28,6o d) 8,2; 29,6o e) 11,2; 26,6o 
 
IV) Hallar la magnitud y dirección con el eje+x del vector b a . 
 
 a) 7,2; 75,7o b) 10,2; 76,7o c) 9,2; 78,7o d) 8,2; 77,7o e) 11,2; 79,7o 
 
V) Hallar la magnitud y dirección con el eje+x del vector a b . 
 
 a) 7,2; 262o b) 10,2; 266o c) 9,2; 264o d) 8,2; 268o e) 11,2; 260o 
Página 21 - Análisis Vectorial
 
74. Un hombre sale de la puerta frontal, camina 1 400 m E, 2 100 m N, y luego saca una 
moneda de su bolsillo y lo suelta desde un acantilado de 48 m de altura. En un sistema 
de coordenadas en el cual los ejes x, y y z positivos apunten al este, al norte, y hacia a 
rriba, estando el origen en la ubicación de la moneda según el hombre sale de su puerta 
frontal. 
I) Escriba una expresión, usando vectores unitarios, para el desplazamiento (en metros) 
de la moneda. 
 
 a) -44 k̂ b) +44 k̂ c) -42 k̂ d) +42 k̂ e) -48 k̂ 
 
II) El hombre regresa a su puerta frontal, siguiendo una trayectoria diferente en el viaje de 
regreso. ¿Cuál es su desplazamiento (en metros) resultante para el viaje completo? 
 
 a) 0 k̂ b) 1 k̂ c) 2 k̂ d) 3 k̂ e) 4 k̂ 
 
75. Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue: 
4,13 m SO, 5,26 m E, y 5,94 m en una dirección de 64,0o NE. Elija el eje x apuntando 
al este y el eje y apuntando hacia el norte. 
I) Halle las componentes de cada desplazamiento. 
II) Halle las componentes del desplazamiento resultante. 
III) Halle la magnitud y la dirección del desplazamiento resultante. 
IV) Halle el desplazamiento que se requeriría para traer de nuevo a la partícula hasta el pun 
to de partida. 
 
76. En la Fig13, dos vectores a y b tienen magnitudes iguales a 12,7 u. Están orientados 
como se muestra en la Figura, y su vector suma es r . 
I) Halle las componentes x e y del vector r . 
 
 a) 2,54 i +15,29 ĵ b) 2,14 i +15,19 ĵ c) 2,34 i +15,39 ĵ 
 d) 2,24 i +15,39 ĵ e) 2,44 i +15,59 ĵ 
 
II) Halle la magnitud del vector r . 
 
 a) 15,1 b) 15,3 c) 15,5 d) 15,7 e) 15,9 
 
III) Halle el ángulo que forma el vector r con ele eje +x. 
 
 a) 80,6o b) 81,6o c) 82,6o d) 83,6o e) 84,6o 
 
77. En la Fig14, una estación de radar detecta a un cohete que se aproxima desde el este. 
En el primer contacto, la distancia al cohete es de 3 600 m a 40,0o sobre el horizonte. 
El cohete es rastreado durante otros 123o en el plano este-oeste, siendo la distancia del 
contacto final de 7 740 m. Halle el desplazamiento (en metros) del cohete durante el pe 
riodo de contacto del radar. 
 
 a) -10159,55 i -51,08 ĵ b) -10259,55 i -52,08 ĵ c) -10359,55 i -53,08 ĵ 
 d) -10459,55 i -56,08 ĵ e) -10559,55 i -55,08 ĵ 
Página 22 - Análisis Vectorial
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig13 Fig14 
 
78. Dos vectores de magnitudes "a" y "b" forman un ángulo "" entre si cuando son situa 
dos cola con cola. Pruebe, tomando componentes a lo largo de dos ejes perpendicula 
res, que la magnitud de su suma es r=[a2+b2+2abcos]1/2. 
 
79. Pruebe que dos vectores deben tener magnitudes iguales si su suma es perpendicular a 
su diferencia. 
 
80. I) Usando vectores unitarios a lo largo de tres aristas de un cubo, expresé las diago 
nales (las líneas de una esquina a otra a través del centro del cubo) de un cubo en tér 
minos de sus aristas, las cuales tienen longitud "a". 
II) Determine los ángulos formados por las diagonales con las aristas adyacentes. 
III) Determine la longitud de las diagonales. 
 
81. Un cohete enciende dos motores simultáneamente. Uno produce un empuje de 725 N 
directamente hacia delante; en tanto el otro da un empuje de 513 N 32,4o arriba de la 
dirección hacia delante. Hallar la magnitud y la dirección (relativa a la dirección hacia 
delante) de la fuerza resultante que estos motores ejercen sobre el cohete. 
 
 a) 1190 N; 13,4o b) 1150 N; 11,4o c) 1170 N; 15,4o 
 d) 1180 N; 12,4o e) 1160 N; 14,4o 
 
82. En la Fig15, para los vectores mostrados A y B de magnitudes A=8,0 m y B=15,0 m, 
=30o, use el método de componentes para obtener la magnitud y la dirección. 
I) De la resultante de la suma vectorial A +B . 
 
 a) -0,5 i +12,9 ĵ b) 0,5 i -12,9 ĵ c) +0,5 i +12,9 ĵ 
 d) -0,5 i -12,9 ĵ e) -0,3 i +10,9 ĵ 
 
II) De la resultante de la suma vectorial B +A . 
 
 a) -0,5 i +12,9 ĵ b) 0,5 i -12,9 ĵ c) +0,5 i +12,9 ĵ 
 d) -0,5 i -12,9 ĵ e) -0,3 i +10,9 ĵ 
 
b 
a 
105o 
28,2o 
y 
x 0 
 
 
 
 
O E 
40o 
123o 3600m 7740m 
 
Página 23 - Análisis Vectorial
 
III) De la resultante de la diferencia vectorial A -B . 
 
 a) -15,5 i +12,9 ĵ b) 15,5 i -12,9 ĵ c) +15,5 i +12,9 ĵ 
 d) -15,5 i -12,9 ĵ e) -13,3 i +10,9 ĵ 
 
IV) De la resultante de la diferencia vectorial B -A . 
 
 a) -15,5 i +12,9 ĵ b) 15,5 i -12,9 ĵ c) +15,5 i +12,9 ĵ 
 d) -15,5 i -12,9 ĵ e) -13,3 i +10,9 ĵ 
 
83. En la Fig16, escriba cada uno de los vectores mostrados, en términos de vectores 
unitarios i y ĵ , si A=3,60 m, B=2,4 m, =20o, y =30o. 
II) Utilice vectores unitarios para expresar el vector C 3,00A 4,00B  . 
III) Hallar la magnitud y dirección del vector C . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig15 Fig16 
 
84. I) ¿El vector ( ˆ ˆ ˆi j k  ) es unitario? Justifique su respuesta. 
II) Un vector unitario puede tener una componente con magnitud mayor a la unidad? ¿Pue 
de tener alguna componente negativa? En cada caso, justifique su respuesta. 
III) Si el vector ˆ ˆA a(3,0i 4,0 j)  ,donde "a" es una constante, hallar el valor de "a" que 
convierte a A en un vector unitario. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig17 Fig18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a 
 a 
a b 
 c 
 d 
e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
 B 
 C 
 E D 
 0 
a 
b 
c 
d 
e 
530 
 
 
A 
B 
 
y 
x 0 
 
 
A 
B 
  
 
y 
x 0 
 
Página 24 - Análisis Vectorial
 
85. En la Fig17, hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados, si c =3/5 u. 
 
 a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u 
 
86. En la Fig18, en la circunferencia de radio R=1 u, hallar el módulo de la resultante de 
los vectores mostrados. 
 
 a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u 
 
87. En la Fig19, hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados. a 4u , 
c 8u , b 8u y b 4u . 
 
 a) 2 u b) 4 u c) 6 u d) 8 u e) 10 u 
 
88. En la Fig20, en el triángulo equilátero, expresar x en función de a y b . 
 
 a) 
2b a
4

 b) 
2b a
4

 c) 
2b a
2

 d) 
2b a
4

 e) 
b 2a
4

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig19 Fig20 
 
89. En la Fig21, en la circunferencia de radio 7 u , hallar el módulo de la resultante de 
los vectores mostrados. 
 
 a) 3 u b) 5 u c) 7 u d) 9 u e) 11 u 
 
90. En la Fig22, en el triángulo equilátero de lado a=2 u, hallar el módulo de la resultante 
de los vectores mostrados. 
 
 a) 2 u b) 4 u c) 6 u d) 8 u e) 10 u 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig21 Fig22 
 
 
 
 
 
 
 
a 
c b 60
0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
 B 
C 
a 
b 
x 
d 
M 
N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
b 
c 
d 
0 
 600 
e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
 B 
 C 
 0 
 
Página 25 - Análisis Vectorial
 
91. En la Fig23, en el tetraedro de lado a= 6 u. Hallar el módulo de la resultante de los 
vectores mostrados. 
 
 a) 2 u b) 4 u c) 6 u d) 8 u e) 10 u 
 
92. En la Fig24, en el tetraedro de lado a= 10 /2u. Hallar el módulo de la resultante de 
los vectores mostrados. 
 
 a) 1 u b) 3 u c) 5 u d) 7 u e) 9 u 
 
93. En la Fig25, hallar el módulo de la resultante de los vectores contenidos en los cuadra 
dos de lados 5 u, y que son perpendiculares entre sí. 
 
 a) 1 u b) 3 u c) 5 u d) 7 u e) 9 u 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig23 Fig24 
 
94. En la Fig26, en el rectángulo de lados 6 u y 8 u, M es punto medio de la diagonal, 
hallar x en función de a y b . 
 
 a) 0,28 b 0,50 a b)1,3b 0,5a c) 0,5b 1,3a d) 10,5b 1,3a e) 1,2b 0,6a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig25 Fig26 
 
95. En la Fig27, en la semicircunferencia de radio 4 u, los puntos ABCD dividen en par 
tes iguales a la semicircunferencia. Hallar x en función de a y b . 
 a) 
4a 3b
6

 b) 
4a 3b
6

 c) 
3a 4b
6

 d) 
3a 4b
6

 e) 
6a 3b
6

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
 B 
C 
 D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 B 
 D 
C 
 A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
b 
x 
 A 
B C 
 D 
M 
 
Página 26 - Análisis Vectorial
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig27 Fig28 
 
96. En la Fig28, el tronco de cono regular de arista a= 3 /2 u tiene bases cuadradas cuya 
 diferencia de sus lados es 6 /4 u. Hallar el módulo de la resultante de los vectores 
mostrados. 
 
 a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u 
 
97. En la Fig29, en el triángulo equilátero ABC de lado 4 u y baricentro O, hallar el módu 
lo de la resultante de los vectores mostrados. 
 
 a) 0 u b) 1 u c) 2 u d) 3 u e) 4 u 
 
98. En un triángulo ABC el vector AB m y el vector AC n . Construir los siguientes 
vectores. 
 I) 
m n
2

 II) 
m n
2

 III) 
n m
2

 
 
99. Tomando como base los vectores AB b y AC c que coinciden con los lados del 
triángulo ABC, determinar la descomposición de los vectores que coinciden con sus 
medianas si éstos están aplicados en los vértices del triángulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig29 Fig30 
 
100. En la Fig30, en el paralelepípedo ABCDA'B'C'D' se dan los vectores que coinciden 
con sus aristas: AB m , AD n y AA ' p   . Construir los vectores siguientes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D' C' 
A' B' 
 D 
 A B 
 C 
m 
n 
p 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
 A 
B 
C 
 D 
x 
a 
b 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
 B 
 C 
 D 
 F 
 G 
 H 
 E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 
 A 
 B 
 C 
  
 
Página 27 - Análisis Vectorial
 
 
 I) m n p  II) 
1
m n p
2
  III) 
1 1
m n p
2 2
  IV) m n p  V) 
1
m n p
2
  
 
101. En la Fig31, en el hexágono regular de lado 5 cm, hallar el módulo del vector resultan 
te. 
 
 a) 30 u b) 35 u c) 40 u d) 45 u e) 50 u 
 
102. En la Fig32, en el hexágono regular, expresar x en función de a y b . 
 
 a) 
a b
2

 b) 
a b
2

 c) 
a b
4

 d) 
a b
4

 e) 
b a
4

 
 
103. En la Fig33, hallar el módulo de la resultante de los infinitos vectores. Si AB = 1 u y 
 BC= 3 u. 
 
 a) 6,0 u b) 6,2 u c) 6,4 u d) 6,6 u e) 6,8 u 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig31 Fig32 
 
104. En la Fig34, en el cuadrado M y N son puntos medios., hallar x en función de a y b . 
 
 a) 
a b
2

 b) 
a b
2

 c) 
a b
4

 d) 
a b
4

 e) 
b a
2

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig33 Fig34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b x 
 A D 
 F E 
0 
 B C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a 
b x 
 A D 
 F E 
0 
 B C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A1 
A2 
A3 
B1 B2 B3 
 B 
 A 
C 
600 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 N 
 M 
a 
 A 
 C 
 D 
 B 
x 
b 
 
Página 28 - Análisis Vectorial
 
105. Probar que la suma de vectores posee la propiedad conmutativa; esto es: a b b a   . 
 
106. Un avión se mueve con velocidad de 250 km/h en dirección 37o de norte a oeste res 
pecto de la Tierra, en presencia de un viento que se desplaza con velocidad de 50 km/h 
en dirección este a oeste, respecto a Tierra. Hallar el ángulo de desviación que experi 
menta la velocidad del avión. 
 
 a) 7,21 b) 7,51o c) 7,81o d) 8,11o e) 8,41o 
 
107. Probar que la suma de vectores posee la propiedad asociativa: a (b c)   (a b) +c . 
 
108. Hallar un vector unitario con la dirección y sentido de la resultante de los vectores 1r = 
ˆ ˆ ˆ2i 4 j 5k  y 2
ˆ ˆ ˆr i 2 j 3k   . 
 
109. Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. 
 
110. Determinar los ángulos ,  y  que el vector de posición ˆ ˆ ˆr x i y j zk   forma con 
los ejes de coordenadas x, y z positivos, además probar que cos2+cos2+cos2=1. 
 
111. Dados los vectores 1
ˆ ˆ ˆr 2i j k   , 2
ˆ ˆ ˆr i 3 j 2k   , 3
ˆ ˆ ˆr 2i j 3k    y 4
ˆ ˆr 3i 2 j   
ˆ5k . Hallar S=(a2+b2+c2)1/2, donde a, b y c satisfacen la ecuación, 4 1 2 3r a r b r c r   . 
 
 a) 3,14 b) 3,34 c) 3,54 d) 3,74 e) 3,94 
 
112. Sean a y b son dos vectores de distinta dirección con A (x 4y)a (2x y 1)b     y 
B  (y 2x 2)a (2x 3y 1)b     . Si se cumple la relación, 3A 2B , hallar P=x.y. 
 
 a) 1,5 b) -1,5 c) 2 d) -2 e) 3 
 
113. Sobre un punto P de un sólido actúan las fuerzas 1
ˆ ˆ ˆF 2i 3 j 5k   , 2
ˆ ˆ ˆF 5i j 3k    , 
3
ˆ ˆ ˆF i 2 j 4k   medidos en newtons. 
I) Hallar la fuerza resultante sobre el sólido. 
II) Hallar la magnitud de la fuerza resultante. 
 
114. Hallar el ángulo agudo entre las diagonales de un cuadrilátero de vértices (0, 0), (3, 2), 
(4, 6) y (1, 3). 
 
 a) 82o 41' 30" b) 82o 45' 30" c) 82o 49' 30" d) 82o 53' 30" e) 82o 57' 30" 
 
115. Hallar un vector b de magnitud 2 u, y que tenga la misma dirección que el vector 
ˆ ˆ ˆa (3i 6 j 2k)   (u). 
 
116. Hallar el producto escalar o punto de los vectoresˆ ˆ ˆa 5i 2 j k   y ˆ ˆb 2i k  . 
 
 a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 
Página 29 - Análisis Vectorial
 
117. Dados los vectores ˆ ˆ ˆa 2i j 2k    , y ˆ ˆ ˆb 3i 6 j 2k   . 
I) Hallar la razón de las magnitudes de los vectores a y b . 
 
 a) 0,33 b) 0,43 c) 0,53 d) 0,63 e) 0,73 
 
II) Hallar el ángulo entre los vectores a y b . 
 
 a) 110o 23' 34" b) 110o 23' 34" c) 110o 23' 34" d) 110o 23' 34" e) 110o 23' 34" 
 
118. Dados los vectores ˆ ˆ ˆa 4i 3 j 2k   y ˆ ˆ ˆb i 2 j k    . Hallar la razón r= axb / a b . 
 
 a) 3,14 b) 3,34 c) 3,54 d) 3,74 e) 3,94 
 
119. El producto punto de dos vectores a y b , y la magnitud de su producto vectorial son 
iguales. Hallar el ángulo entre los vectores a y b . 
 
 a) 30o b) 37o c) 45o d) 53o e) 60o 
 
120. El vector desplazamiento a tiene una longitud de 50 m y una dirección 30o al este del 
norte; el vector de desplazamiento b tiene una longitud de 35 m y una dirección 70o al 
oeste del norte. 
I) Hallar la magnitud y dirección del producto vectorial a x b . 
II) Hallar la magnitud y dirección del producto vectorial bxa . 
 
121. Hallar el producto vectorial o cruz de los vectores ˆ ˆ ˆa 2i 5 j 3k   y ˆ ˆb i 2k  . 
 
122. Suponga que, ˆ ˆa cos t i sen t j   , donde "" es una constante. Hallar d a /dt, y pro 
bar que da /dt es perpendicular al vector a . 
 
123. El vector de desplazamiento a tiene una magnitud de 30 m y una dirección de 20o al 
sur del este . El vector de desplazamiento b tiene una magnitud de 40 m y una direc 
ción 20o al oeste del norte. Hallar la componente de a a lo largo de b . 
 
 a) 19,08 b) -19,08 c) 19,28 d) -19,28 e) 19,48 
 
124. El producto vectorial de ˆ ˆ ˆA 5,0i 2,0 j 3,0k   y x z
ˆ ˆ ˆB B i 3,0 j B k   es igual al vec 
tor z
ˆ ˆC 2,0 j C k  . Hallar la expresión, E=Bx.Cz/Bz. 
 
 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
125. I) Los vectores a y b están sobre el plano-xy. Demostrar que la tangente del ángulo 
"" entre estos vectores, está dada por: tg=(axby-aybx)/(axbx+ayby). 
II) Evaluar la expresión para tg , cuando ˆ ˆa 4i 3 j  y ˆ ˆb 3i 4 j  . 
Página 30 - Análisis Vectorial
 
 
 a) 16,06o b) 16,26o c) 16,46o d) 16,66o e) 16,86o 
 
126. Hallar un vector unitario que bisecte el ángulo entre los vectores ˆ ˆa j 2k  y b  
ˆ ˆ ˆ3i j k  
 
 a) ˆ ˆ ˆ0,97i 0,16 j 0,22k  b) ˆ ˆ ˆ0,91i 0,18 j 0,26k  c) ˆ ˆ ˆ0,99i 0,10 j 0,24k  
 d) ˆ ˆ ˆ0,93i 0,12 j 0,28k  e) ˆ ˆ ˆ0,95i 0,14 j 0,20k  
 
127. Hallar el ángulo entre la diagonal principal de un cubo de lados "a", y la diagonal de 
una cara adyacente. 
 
 a) 35o 15' 12" b) 35o 15' 32" c) 35o 15' 52" d) 35o 15' 72" e) 35o 15' 92" 
 
128. El producto escalar de dos vectores a y b de magnitudes a=4 u y b=6 u es cero. Hallar 
la magnitud del producto vectorial de a y b . 
 
 a) 20 u2 b) 22 u2 c) 24 u2 d) 26 u2 e) 28 u2 
 
129. Dados los vectores ˆ ˆ ˆa 2i 3 j 2k   y ˆ ˆb 3i 4k   . Hallar la expresión E=(cx.cz)/cy, 
donde cx, cy, cz son las magnitudes de las componentes de c a x b . 
 
 a) 7,1 b) 7,3 c) 7,5 d) 7,7 e) 7,9 
 
130. Dados los vectores ˆ ˆ ˆa (3i 2 j 2k)u   , ˆb 4k u , y ˆ ˆc (2i 3 j) u  . Hallar las expre 
siónes siguientes: I) a (b c) , II) a x(b c) , III) a (bx c) , IV) a (bx c) . 
 
131. Hallar un vector perpendicular tanto a ˆ ˆa 4i 3 j  como a ˆ ˆ ˆb i 3 j 2k    . 
 
132. Demuestre la relación vectorial: a x(bxc) b(a c) c(a b)  . 
 
133. Las expresiones de cuatro vectores que van del origen de coordenadas a los puntos A, 
B, C y D, son: ˆ ˆ ˆa i j k   , ˆ ˆb 2i 3 j  , ˆ ˆ ˆc 3i 5 j 2k   y ˆ ˆd k j  . Probar que el 
 vector AB es paralelo al vector CD . 
 
134. Demostrar vectorialmente que la suma de los cuadrados de las diagonales de un parale 
logramo es igual a la suma de los cuadrados de sus cuatro lados. 
 
135. Hallar el área del triángulo de vértices A=(1, 1, 3), B=(2,-1, 5) y C=(-3, 3, 1). 
 
 a) 4,04 u2 b) 4,24 u2 c) 4,44 u2 d) 4,64 u2 e) 4,84 u2 
 
136. Dados los vectores a y b , probar que, se cumple: a b a b y a b a b   . 
 
137. Exprese el vector ˆ ˆ ˆa i 2 j 3k   como una combinación lineal de ˆ ˆb i k  , ˆ ˆc i j  , 
Página 31 - Análisis Vectorial
 
 y ˆ ˆ ˆd j k  . 
 
 a) b 2d b) 2b d c) b 2c d) c d e) 2c d 
 
138. Dados los vectores ˆ ˆ ˆa i 2 j 3k   , ˆ ˆ ˆb 2i 2 j k   y ˆ ˆc 2i j 4k   , hallar la expre 
sión: E=(dx.dy.dz)/(ex.ey.ez) donde dx, dy, dz, ex, ey, ez son las magnitudes de las compo 
nentes de los productos d a x b y e bxc , respectivamente. 
 
 a) 4,40 b) 4,44 c) 4,48 d) 4,52 e) 4,56 
 
139. Dados los vectores ˆ ˆ ˆa i 2 j 3k   , ˆ ˆ ˆb 2i 2 j k   y ˆ ˆc 2i j 4k   , hallar el ángulo 
 entre los vectores d a x b y e bxc . 
 
 a) o140 34'14" b) o142 34'14" c) o144 34'14" 
 d) o146 34'14" e) o148 34'14" 
 
140. Hallar el volumen del paralelepípedo conformado por los vectores ˆ ˆ ˆa (i 2 j 3k)m   , 
ˆ ˆ ˆb ( 3i j 4k)m    , y ˆ ˆ ˆc (i 2 j k) m   . 
 
 a) 12 m3 b) 14 m3 c) 16 m3 d) 18 m3 e) 20 m3 
 
141. Dados los vectores ˆ ˆa 2i k j  y ˆ ˆb 3i 2 j  , hallar la expresión E=kIIk, donde kII y 
k, son el k para el cual a b , y a b , respectivamente. 
 
 a) 2 b) -2 c) 4 d) -4 e) 6 
 
142. En la Fig35, demuestre que a (bx c) es igual en magnitud al volumen del paralelepí 
pedo formado sobre los tres vectores a , b y c . 
 
143. En la Fig36, los tres vectores mostrados tienen magnitudes a=3, b=4 y c=10. 
I) Calcule las componentes x e y de estos vectores. 
II) Hallar los números "p" y "q" tal que c pa qb  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig35 Fig36 
 
a 
c 
b 
30o 
x 
y 
0 
i 
j 
 
 
a 
b 
c 
 
Página 32 - Análisis Vectorial
 
144. En la Fig37, un vector a de magnitud 17 m está dirigido 56o en sentido antihorario 
del eje +x. 
I) ¿Cuáles son las componentes ax y ay de este vector? 
II) Un segundo sistema de coordenadas está inclinada 18o con respecto al primero. ¿Cuá 
les son las componentes xa ' y ya ' en este sistema primado de coordenadas? 
III) Hallar el valor de la expresión, E= x y x y(a ' a ' ) / (a a ) 
 
145. En la Fig38, se muestra dos vectores a y b y dos sistemas de coordenadas que difie 
ren en que los ejes x y x' y los ejes y y y' forman cada uno un ángulo "" con el otro. 
Pruebe analíticamente que a b tiene la misma magnitud y dirección sin importar que 
sistema se haya usado para llevar a cabo el análisis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig37 Fig38 
 
146. Dado un vector ˆ ˆ ˆa i 2 j 2k    en coordenadas cartesianas. 
I) Hallar la magnitud del vector a . 
 
 a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0 
 
II) Hallar el vector unitario aû en la dirección del vector a . 
 
 a) -(1/3) i +(2/3) ĵ-(2/3) k̂ b) -(1/3) i +(2/3) ĵ+(2/3) k̂ c) -(1/3) i -(2/3) ĵ-(2/3) k̂ 
 d) +(1/3) i +(2/3) ĵ-(2/3) k̂ e) +(1/3) i +(2/3) ĵ-(2/3) k̂ 
 
III) Hallar el ángulo que forma el vector a con el eje z positivo. 
 
 a) 131,8o b) 133,8o c) 135,8o d) 137,8o e) 139,8o 
 
147. Dados los vectores ˆ ˆ ˆa 5i 2 j k   y ˆ ˆb 3i 4k   en coordenadas cartesianas. 
I) Hallar el producto escalar de a por b . 
 
 a) +11 b) -11 c) +13 d) -13 e) +15 
 
II) Hallar el producto vectorial de a por b . 
 
0 ax 
ay 
a'y 
a'x 
x 
x' 
y' 
y 
a=17m 
56o 
18o 
18o 
 
 
0 x 
x' 
y' 
y 
a 
 
b
v 
 
 
Página 33 - Análisis Vectorial
 
 
 a) ˆ ˆ ˆ8i 23j 6k   b) ˆ ˆ ˆ8i 23j 6k   c) ˆ ˆ ˆ8i 23j 6k   
 d) ˆ ˆ ˆ8i 23j 6k   e) ˆ ˆ ˆ8i 23j 6k   
 
III) Hallar el ángulo entre los vectores ay b . 
 
 a) 111,7o b) 113,7o c) 115,7o d) 117,7o e) 119,7o 
 
148. I) Escriba la expresión del vector que va desde el punto P1(1, 3, 2) hasta el punto 
P2(3,-2, 4) en coordenadas cartesianas. 
 
 a) ˆ ˆ ˆ2i 5j 2k  b) ˆ ˆ ˆ2i 5j 2k  c) ˆ ˆ ˆ2i 5j 2k   d) ˆ ˆ ˆ2i 5j 2k  e) ˆ ˆ ˆ2i 5j 2k  
 
II) Hallar la longitud del segmento de línea 1 2P P . 
 
 a) 5,14 b) 5,34 c) 5,54 d) 5,74 e) 5,94 
 
III) Hallar la distancia perpendicular desde el origen hasta esta línea. 
 
 a) 3,00 b) 3,20 c) 3,40 d) 3,60 e) 3,80 
 
149. Dado el vector ˆ ˆ ˆb 2i 6 j 3k   en coordenadas cartesianas. 
I) Hallar la magnitud del vector b . 
 
 a) 5,0 b) 5,5 c) 6,0 d) 6,5 e) 7,0 
 
II) Hallar la expresión del vector unitario bû . 
III) Hallar los ángulos que forma el vector b con los ejes x, y, z, respectivamente, y cal 
cular la suma de los cuadrados de las tangentes de estos ángulos. 
 
 a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 
 
150. Asumiendo que existe un campo vectorial en el espacio 3, dado por: ˆA (3cos )r -
ˆˆ2r zk  . 
I) ¿Cuál es el campo vectorial en el punto P(4, 60o, 5)? 
II) Exprese el campo A en coordenadas cartesianas. 
III) Determine la ubicación del punto P en coordenadas cartesianas. 
 
151. Exprese el vector 0Q desde el origen 0 hasta el punto Q(3, 4, 5) en coordenadas cilín 
dricas. 
 
 a) ˆ ˆ3i 4j b) ˆ ˆ4i 3j c) ˆ ˆ4i 4k d) ˆ ˆ5i 5k e) ˆ ˆ5i 5k 
 
152. Hallar la relación de transformación en forma matricial para las componentes de un 
vector A , expresadas en los sistemas de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 
Página 34 - Análisis Vectorial
 
153. Las coordenadas cilíndricas de dos puntos P1 y P2 son: P1(4, 60
o, 1) y P2(3, 180
o,-1). 
Hallar la distancia entre estos dos puntos. 
 
 a) 6,0 b) 6,2 c) 6,4 d) 6,6 e) 6,8 
 
154. Exprese el vector unitario k̂ en términos de los vectores r̂ y ̂ del sistema de coorde 
nadas esférico. 
 
 a) ˆˆcos r sen  b) ˆˆcos r sen  c) ˆˆsen r cos  
 d) ˆˆsen r cos  e) ˆˆcos r sen   
 
155. Una nube de electrones que está confinada en una región en forma de cascarón esféri 
co de radios interno r1=2 cm y externo r2=5 cm, tiene una densidad de carga volumé 
trica homogénea de =(-310-8)cos2/r4 C/m3. Hallar la carga contenida en esta región. 
 
 a) -1,0 C b) -1,2 C c) -1,4 C d) -1,6 C e) -1,8 C 
 
156. Hallar la fórmula para el área de la superficie de una esfera de radio "R", integrando el 
área superficial diferencial en coordenadas esféricas. 
 
157. Hallar la relación de transformación en forma matricial para las componentes de un 
vector A , expresadas en los sistemas de coordenadas cartesianas y esféricas. 
 
158. Las coordenadas cartesianas de un punto son: P(4,-6, 12). Hallar las coordenadas esfé 
ricas de este punto. 
 
 a) (12, 33o, 301,7o) b) (11, 32o, 302,7o) c) (14, 31o, 303,7o) 
 d) (15, 30o, 304,7o) e) (13, 34o, 305,7o) 
 
159. En cierta región del espacio 3 el potencial eléctrico está dada por: V=Voe
-xsen(y/4) 
donde Vo=2 voltios, y x e y están en metros. Hallar la magnitud del campo eléctrico en 
el punto P(1, 1, 0) m. 
 
 a) 0,50 V/m b) 0,54 V/m c) 0,58 V/m d) 0,62 V/m e) 0,66 V/m 
 
160. Dado un campo vectorial ˆˆE r r zk  (V/m) en coordenadas cilíndricas. Hallar el flujo 
de salida total a través de un cilindro circular de radio R=2 m y h=4 m centrado en el 
origen. El eje del cilindro es el eje z. 
 
 a) 45 b) 46 c) 47 d) 48 e) 49 
 
161. En cierta región del espacio 3 existe un campo, dado por: 2 ˆˆ ˆE r r rcos zk   . Ha 
llar el valor de la expresión P=Ey.Ez/Ex, donde Ex, Ey, Ez son las componentes del cam 
po en el punto P(4, 60o, 1). 
 
 a) 2,0 b) 2,5 c) 3,0 d) 3,5 e) 4,0 
Página 35 - Análisis Vectorial
 
162. Hallar la circulación del campo F xyi 2x j  en sentido antihorario, a lo largo de un 
cuarto de circunferencia de radio R=3, inscrita en el primer cuadrante, y centro en 0. 
 
 a) -21,1 b) +21,1 c) -23,1 d) +23,1 e) -25,1 
 
163. Hallar la circulación del campo F xyi 2x j  en sentido horario, a lo largo un cuadra 
do de lados 4 u, con centro en el origen 0, y lados paralelos a los ejes x e y. 
 
 a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38 
 
164. I) Dado el campo ˆA (k / r) en coordenadas cilíndricas con "k" constante. Demos 
trar que x A . 
II) Dado el campo ˆA f (r)r en coordenadas esféricas, donde f es función de la distancia 
radial "r". Demostrar que x A . 
 
165. Dado un campo ˆ ˆF xyi 2x j  en una región 3, verifique el teorema de Stokes sobre 
un cuadrante de círculo de radio R=3, situado en el primer cuadrante, con centro en 0. 
 
166. Hallar la circulación del campo ˆ ˆF sen r 3cos   en sentido antihorario, a lo largo 
del cuadrante de circunferencia de radio R=3, inscrita en el primer cuadrante, y centro 
en el origen 0. 
 
 a) 4,0 b) 4,5 c) 5,0 d) 5,5 e) 6,0 
 
167. Dado el campo ˆ ˆF sen r 3cos   en la región 3, hallar la magnitud del rotacional 
de F en r=0,3, =53o, y verificar el teorema de Stokes, sobre el cuadrante de circunfe 
rencia de radio R=3, en el primer cuadrante, con centro en el origen 0. 
 
 a) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 d) 4,5 e) 5,0 
 
168. Dado el campo radial A =kr r̂ en coordenadas esféricas, determine si el teorema de la 
divergencia es válido para la capa encerrada por las superficies esféricas r=R1, y r=R2 
 (R2>R1) con centro común en el origen. 
 
169. Demostrar la identidad vectorial, x A  , donde A es un campo vectorial en 3. 
 
170. Demostrar la identidad vectorial, x A 0  , donde A r es el vector de posición. 
 
171. Demostrar la identidad vectorial r r  /r, donde r es el vector de posición. 
 
172. La ecuación A (BxC) B (CxA) C (AxB)  describe los productos escalares triples 
de tres vectores A , B y C . Hay otro tipo importante de producto de tres vectores: el 
producto vectorial triple, Ax(BxC) . Demuestre la siguiente relación desarrollando en 
Página 36 - Análisis Vectorial
 
 coordenadas cartesianas: Ax(BxC) B(A C) C(A B)  . 
 
173. Hallar la componente del vector ˆ ˆA zi x j  en el punto P1(-1, 0,-2) que esté dirigida 
hacia el punto P2( 3 , 150
o, 1). 
 
 a) 1,205 b) 1,225 c) 1,245 d) 1,265 e) 1,285 
 
174. Calcule los resultados de los siguientes productos de vectores unitarios. I) ˆˆ i , II) ˆr̂ j , 
III) ˆ ˆk r , IV) ˆˆ x i , V) ˆ ˆx r , VI) ˆˆ x k . 
 
175. Exprese la componente , A de un vector A en (1, 1, z1). 
I) En función de Ax y Ay en coordenadas cartesianas. 
II) En función de Ar y A en coordenadas esféricas. 
 
176. Exprese la componente , E de un vector E en (r1, 1, 1). 
I) En función de Ex, Ey y Ez en coordenadas cartesianas. 
II) En función de Er y Ez en coordenadas esféricas. 
 
177. Dado un campo vectorial ˆ ˆE yi x j  , calcule la integral E d desde P1(2, 1,-1) 
hasta P2(8, 2,-1). A lo largo de una línea recta que une los dos puntos. 
 
178. Denote con r el vector de posición de un punto P(x, y, z). Hallar (1/r). 
I) En coordenadas cartesianas. 
II) En coordenadas esféricas. 
 
179. Dado el campo escalar V=2xy-yz+xz. 
I) Hallar el vector que representa la dirección y la magnitud de la razón de incremento 
máxima de V en el punto P(2,-1, 0). 
II) Hallar la razón de incremento de V en el punto P en la dirección hacia el punto Q(0, 2, 
6). 
 
180. En un sistema de coordenadas curvilínea, la diferenciación de un vector base puede 
producir un nuevo vector en otra dirección. 
I) Hallar  r̂ / y  ̂ / en coordenadas cilíndricas. 
II) Use los resultados obtenidos en I) para encontrar la fórmula de A en coordenadas ci 
líndricas, usando las ecuaciones =(
1 2 3u 1 1 u 2 2 u 3 3
ˆ ˆ ˆu / h u u / h u u / h u )       y A = 
r z
ˆˆˆA r A A k  . 
 
181. Calcule la divergencia de los siguientes campos radiales: I) f1(r)=r
n r̂ , I) f2(r)=(k(r
2) 
r̂ , donde k es una constante. 
 
182. Dado un campo vectorial ˆ ˆ ˆF xyi yz j zxk   . 
I) Hallar el flujo de salida total a través de la superficie de un cubo unidad en el primer 
Página 37 - Análisis Vectorial
 
 octante con un vértice en el origen. 
II) Hallar F y verifique el teorema de la divergencia. 
 
183. Para una función vectorial 2 ˆˆA r r 2zk  , verifique el teorema de la divergencia para 
la región cilíndrica circular encerrada por r=5, z=0 y z=4. 
 
184. Para una función vectorial dada por: ˆA zk . 
I) Hallar A dS sobre la superficie de una región semiesférica que es la mitad superior 
de una esfera de radio R=3 centrada en el origen, con la base plana coincidente con el 
plano xy. 
 
II) Hallar la divergencia de A , A . 
III) Verifique el teorema de la divergencia. 
 
185. Un campo vectorial A =(cos2)/r3 r̂ existe en la región comprendida entre dos capas es 
féricas definidas por R1=2 y R2=3. 
I) Calcule el flujo de A a través de la superficie S , 
S
A dS . 
II) Calcule la integral de la divergencia de A en el volumen V, 
V
( A)dV . 
 
186. Para una función escalar f y una función vectorial A , demuestre que la identidad 
A (fA) f A A f    , en coordenadas cartesianas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig39 Fig40 
 
187. En la Fig39, suponga un campo vectorial 2 2 2ˆ ˆA (2x y )i (xy y ) j    . 
I) Hallar A d a lo largo del contorno triangular mostrado en la Figura. 
II) Hallar (Axd ) dS sobre el área triangular. 
III) ¿Puede expresarse A como el gradiente de un escalar? Explique. 
 
188. En la Fig40, suponga una unción vectorial 2 ˆˆF 5rsen r r cos   . 
 
x 
y 
0 2 
2 
 
 y 
x 0 D A 
B 
C 
R2 
R1 
 
Página 38 - Análisis Vectorial
 
I) Hallar F d a lo largo del contorno ABCDA en la dirección indicada en la Figura. 
II) Hallar el rotacional de F , esto es x F . 
III) Hallar ( x F) dS sobre el área sombreada y compare el resultado con el que obtuvo 
en el inciso I). 
 
189. Dada una función vectorial ˆA 3sen( / 2)  , verifique el teorema de Stokes sobre la 
superficie de una semiesfera de radio R=4 y su borde circular. 
 
190. Para una función escalar f y una función vectorial A , demuestre que se cumple la 
identidad: x(f A) f ( xA) ( f )xA     , en coordenadas cartesianas. 
 
191. Dada la función vectorial 1 2 3 4
ˆ ˆ ˆF (x 3y c z)i (c x 5z) j (2x c y c z)k        . 
I) Hallar c1, c2 y c3, si F es irrotacional. 
II) Hallar c4 si F también es solenoidal. 
 
192. Un campo eléctrico está dado por: E =25(x i +y j )/(x2+y2) (N/C). (k=9109 Nm2/C2) 
I) Hallar en el punto P(3; 4;-2) m, un vector unitario en la dirección del campo E . 
 
 a) 0,2 i +0,4 j b) 0,6 i +0,8 j c) 0,4 i +0,6 j d) 0,8 i +0,2 j e) 0,3 i +0,4 j 
 
II) Hallar el ángulo entre el campo eléctrico E y el eje-x en el punto P(3; 4;-2). 
 
 a) 30º b) 37º c) 45º d) 53º e) 60º 
 
III) Hallar en el plano y=7, el valor de la siguiente integral doble: 
4 2
0 0
E jdzdx  . 
 
 a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28 
 
193. Dado el vector campo E =4zy2cos(2x) i +2zysen(2x) j +y2sen(2x) k para la región IxI, 
IyI y IzI es menor que 2, hallar: I) Las superficies en las que Ey=0, II) La región R en 
las que Ey=Ez, III) La región R en las que E =0. 
194. Expresar el vector campo eléctrico uniforme E =5 i (N/C) en, I) Coordenadas cilíndri 
cas. II) Coordenadas esféricas. 
 
195.Expresar el vector campo eléctrico E =8sen  ̂ (N/C) en, I) Coordenadas rectangula 
res, II) Coordenadas cilíndricas. 
 
196.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión vectorial, 
viene dado por: E =2xz2 i +2z(x2+1) k (N/C) 
I) Determinar la ecuación de la línea que pasa por el punto P(1; 3;-1) m. 
 
 a) x2=z2+2ln(z) b) x2=z2-2ln(z) c) z2=x2+2ln(x) d) z2=x2-2ln(x) e) z2=x2-4ln(x) 
Página 39 - Análisis Vectorial
 
II) El punto Q(2; z) m pertenece a una línea de campo, hallar el valor de "z". 
 
 a) 2,12 m b) 2,32 m c) 2,52 m d) 2,72 m e) 2,92 m 
 
197.En cierta región R del espacio existe un campo eléctrico, dado por la expresión: E = 
20e-5y(cos(5x) i -sen(5x) j ). En el punto P(/6; 0,1; 2): 
I) Hallar el módulo de E . 
II) Hallar un vector unitario en la dirección de E . 
III) Hallar la ecuación de la línea de campo que pasa por el punto P. 
 
198.En una región R dada del espacio existe un campo eléctrico, dado por: E =(4x-2y) i -
(2x+4y) j (N/C). Hallar la ecuación de las línea de campo que pasa a través del punto 
P(2; 3;-4) m. 
 
 a) y2=x2-4xy+19 b) y2=x2+4xy+19 c) y2=x2+4xy-19 d) y2=x2-4xy-19 e) y2=x2-xy+19 
 
199.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E =x2 i +y2 j 
(V/m). Hallar la circulación del campo E , a lo largo de la curva C: y=x2 de (0; 0) a (1; 
1) m. (k=9109 Nm2/C2) 
 
 a) 0,47 V b) 0,57 V c) 0,67 V d) 0,77 V e) 0,87 V 
 
200.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E =2xy i +(x2-
z2) j -3xz2 k (N/C). Hallar el trabajo que hace el campo al trasladarse una carga unitaria 
q=1 C de A(0; 0; 0) a B(2; 1; 3) m a lo largo de: 
I) El segmento (0; 0; 0)(0; 1; 0) (2; 1; 0) (2; 1; 3). 
 
 a) +50 J b) -50 J c) +70 J d) -70 J e) +90 J 
 
II) La línea recta (0; 0; 0) a (2; 1; 3). 
 
 a) -36,5 J b) +36,5 J c) -39,5 J d) +39,5 J e) -42,5 
 
201.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E = (x- 
 y) i +(x2+ zy) j +5yz k (N/C). Hallar el trabajo realizado por el campo, al trasladarse u 
na carga unitaria q=1 C a lo largo de la trayectorias rectas (1;0;0)  (0;0;0)  (0;0;1) 
 (0;2;0). 
 
 a) 1,0 J b) 1,5 J c) 2,0 J d) 2,5 J e) 3,0 J 
 
202.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E =x2y i -y j 
(N/C). (k=9109 Nm2/C2) 
I) Hallar la circulación CE a lo largo de los segmentos rectos (0;0)  (0;1)  (2;0) 
(0;0) 
 
 a) 5/6 b) 7/6 c) 3/4 d) 4/5 e) 2/5 
Página 40 - Análisis Vectorial
 
II) Hallar: 
S
( xE) dS , siendo "S" el área encerrada por la curva C, del inciso I) 
 
 a) 2/5 b) 4/5 c) 7/6 d) 5/6 e) 3/4 
 
III) ¿Se cumple el teorema de Stokes? 
 
203.En una región R del espacio libre, existe una densidad de flujo, dado por: D = 
2z2 ̂ +cos2k . En la región definida por: 05 m, -1 m<z<1 m, 0<<2. Calcular 
el flujo =
S
D dS de la densidad D . 
 
 a) 170 C b) 172 C c) 174 C d) 176 C e) 178 C 
 
204.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en 
coorde nadas cilíndricas es: E =cos /r2 r̂ +z cos  ̂ +z k̂ (N/C). Hallar el flujo del 
rotacional del campo a través del hemisferio, definido por: r=4 m, z0. 
 
205.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en 
coorde nadas rectangulares es: E = (x2+y2+z2)1/2[(x-y) i +(x+y) j ]/(x2+y2)1/2. Calcular 
las sigui entes integrales: 
I) CE=
L
E d , donde L es el borde circular del volumen en forma de cono para helados 
de arista a=2 m, y ángulo de vértice =60º. 
 
 a)  b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
II) =
1S
( xE) dS , donde S1 es la superficie superior del cono compacto. 
 
 a)  b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
III) =
2S
( xE) dS , donde S2 es la superficie lateral del cono compacto. 
 
 a) 2 b) -2 c) 4 d) -4 e)  
 
206.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por la expresión: 
E = sen ̂+2 ̂ 
I) Hallar la circulación del campo CE a lo largo del contorno de la Fig41. 
 
 a) 10,17 V b) 10,37 V c) 10,57 V d) 10,77 V e) 10,97 V 
 
II) Hallar la circulación del campo CE a lo largo del contorno de la Fig42. 
 
 a) 4 V b) 5 V c) 6 Vd) 7 V e) 8 V 
 
207.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en coor 
denadas cilíndricas es: E =2sen ̂+zcos ̂ +z k̂ . Hallar el flujo de campo total (en 
Página 41 - Análisis Vectorial
 
 Nm /C) hacia fuera a través del cilindro hueco definido por: 2 m  3 m, 0 z  5 m. 
 
 a) 191 b) 193 c) 195 d) 197 e) 199 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig41 Fig42 
 
208.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en coor 
denadas rectangulares es: E =(16xy-z) i +8x2 ĵ-x k̂ (N/C) 
I) Indicar si el campo E es irrotacional (o conservativo). 
II) Hallar el flujo neto del campo E sobre el cubo definido por: 0 < x, y, z < 1 m. 
 
 a) 5 Nm2/C b) 6 Nm2/C c) 7 Nm2/C d) 8 Nm2/C e) 9 Nm2/C 
 
III) Hallar la circulación de E alrededor del borde del cuadrado: z=0, 0<x, y<1 m, (Tómese 
el sentido de circulación en el sentido de la manecillas del reloj) 
 
 a) 0 J/C b) 1 J/C c) 2 J/C d) 3 J/C e) 4 J/C 
 
209.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en 
coorde nadas rectangulares es: E  (xy-z3) i +(3x2-z) j +(3xz2-y) k (N/C). 
I) Determinar la expresión K=  +  + , sabiendo que el campo E es irrotacional. 
 
 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
II) Hallar la divergencia de E , y evaluar en el punto de coordenadas (2;-1; 0) m. 
 
 a) -1 N/mC b) +1 N/mC c) -2 N/mC d) +2 N/mC e) -3 N/mC 
 
210.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E = i +z2 j + 
2yz k (V/m). Hallar el trabajo realizado al desplazar una carga de q=5 C desde el punto 
P(1; 2;-4) m hasta el punto R(3;-5; 6) m. 
 
 a) 1010 J b) 1020 J c) 1030 J d) 1040 J e) 1050 J 
 
211.En coordenadas cilíndricas, la densidad de carga, viene dado por: v=12 nC/m
3, para 
 1m<<2 m, y =0 para 0<<1 m, >2 m. Hallar la densidad de flujo D en cualquier 
 
0 
y 
x 2 1 1 2 
2 
1 
 
 y 
x 0 2 
2 
 
Página 42 - Análisis Vectorial
 
 punto del espacio, y evaluar en =1,4 m. (n=10-9) 
 
 a) 4,18n ̂ b) 4,38n ̂ c) 4,58n ̂ d) 4,78n ̂ e) 4,98n ̂ 
 
212. Dados el punto P(-2; 6; 3), y el vector ˆ ˆA yi (x z) j   en coordenadas cartesianas. 
I) Hallar el punto P en coordenadas cilíndricas. 
 
 a) (6,32; 108,43o; 3) b) (6,12; 102,43o; 3) c) (6,52; 104,43o; 3) 
 d) (6,92, 100,43o; 3) e) (6,72; 106,43o; 3) 
 
II) Hallar el punto P en coordenadas esféricas. 
 
 a) (7; 64,62o; 108,43o) b) (5; 60,62o; 100,43o) c) (8; 68,62o; 104,43o) 
 d) (4; 62,62o; 102,43o) e) (6; 66,62o; 106,43o) 
 
III) Hallar el vector A en el punto P en coordenadas cilíndricas. 
 
 a) -0,95 ̂ -6,00 ̂ b) -0,95 ̂+6,00 ̂ c) +0,95 ̂ -6,00 ̂ 
 d) +0,95 ̂+6,00 ̂ e) -0,91 ̂ -6,40 ̂ 
 
IV) Hallar el vector A en el punto P en coordenadas esféricas. 
 
 a) -0,86 r̂ -0,41 ̂ -6,01 ̂ b) -0,76 r̂ -0,31 ̂ -5,01 ̂ c) -0,56 r̂ -0,51 ̂ -8,01 ̂ 
 d) -0,66 r̂ -0,61 ̂ -4,01 ̂ e) -0,46 r̂ -0,71 ̂ -5,01 ̂ 
 
213. Dado el vector ˆ ˆˆB (10 / r)r rcos    en coordenadas esféricas. 
I) Expresar el vector B en coordenadas cartesianas en el punto P(-3; 4; 0). 
 
 a) 2 i - ĵ b) -2 i - ĵ c) -2 i + ĵ d) 2 i + ĵ e) i -2 ĵ 
 
II) Expresar el vector B en coordenadas cilíndricas en el punto P(5; /2; -2). 
 
 a) 2,47 ̂+ ̂ +1,17 k̂ b) 2,37 ̂+ ̂ +1,27 k̂ c) 2,57 ̂+ ̂ +1,37 k̂ 
 d) 2,67 ̂+ ̂ +1,47 k̂ e) 2,77 ̂+ ̂ +1,57 k̂ 
 
214. Dados los campos vectoriales en el espacio R3: ˆˆˆE 5 10 3k     , y ˆF   ˆ2 -6 k̂ 
I) Hallar la magnitud del producto vectorial E x F . 
 
 a) 70,06 b) 71,06 c) 72,06 d) 73,06 e) 74,06 
 
II) Hallar la componente vectorial de E en el punto P(5; /2; 3) paralela a la línea x=2, 
z=3. 
 
 a) -3 ̂ b) -4 ̂ c) -5 ̂ d) 3 ̂ e) 4 ̂ 
 
III) Hallar el ángulo que forma E con la superficie z=3 en el punto P. 
Página 43 - Análisis Vectorial
 
 
 a) 15,02o b) 15,22o c) 15,42o d) 15,62o e) 15,82o 
 
215.Hallar la circulación del campo 2 2 2ˆ ˆ ˆA x i y j z k   a lo largo de la parábola y2=x 
definida en el plano xy, desde el origen O(0; 0; 0) hasta el punto P(2; 2 ; 0). 
 
 a) 3,01 b) 3,21 c) 3,41 d) 3,61 e) 3,81 
 
216. I) Dado el campo ˆˆˆA zsen 3 cos cos sen k         en coordenadas cilíndricas, 
exprese este campo en coordenadas cartesianas. 
II) Dado el campo 2 ˆˆB r r sen  en coordenadas esféricas, exprese este campo en coor 
denadas cartesianas. 
 
217. Dado el campo vectorial 2 ˆˆˆH zcos sen k
2

      en coordenadas cilíndricas. 
I) Hallar ˆH i en el punto P(1; /3, 0). 
 
 a) -0,413 b) -0,433 c) -0,453 d) -0,473 e) -0,493 
 
II) Hallar ˆH x i en el punto P(1; /3, 0). 
 
 a) -0,3 ̂ b) -0,5 ̂ c) -0,3 ̂ d) -0,5 ̂ e) ˆ0,4k 
 
III) Hallar la componente vectorial de H normal a la superficie =1. 
 
 a) 0 ̂ b) 0 ̂ c) ˆ2 d) ˆ2 e) ˆ5k 
 
IV) Hallar la componente escalar de H tangencial al plano z=0. 
 
 a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5 
 
218. Dado un campo vectorial, 2ˆˆD rsen r (1/ r)sen cos r      en el espacio R3. 
I) Evaluar el campo vectorial D en el punto P(10; 150o, 330o). 
 
 a) -5 r̂ +0,043 ̂+100 ̂ b) -5 r̂ +0,033 ̂ +100 ̂ c) -5 r̂ +0,053 ̂ +100 ̂ 
 d) -5 r̂ +0,023 ̂+100 ̂ e) -5 r̂ +0,063 ̂ +100 ̂ 
 
II) Hallar la componente de D tangencial a la superficie esférica r=10 en el punto P. 
 
 a) 0,043 ̂+100 ̂ b) 0,013 ̂ +100 ̂ c) 0,053 ̂ +100 ̂ 
 d) 0,033 ̂+100 ̂ e) 0,023 ̂ +100 ̂ 
 
III) Hallar un vector unitario en P perpendicular a D y tangencial al cono =150o. 
Página 44 - Análisis Vectorial
 
 a) -1,00 r̂ -0,05 ̂ b) -1,00 r̂ +0,05 ̂ c) +1,00 r̂ -0,05 ̂ 
 d) +1,00 r̂ +0,05 ̂ e) -2,00 r̂ -0,08 ̂ 
 
219. Dado los campos vectoriales, ˆ ˆˆA 3r 2 6    y ˆˆB 4r 3  en el espacio R3. 
I) Hallar el producto escalar A B . 
 
 a) -4,0 b) -4,5 c) -5,0 d) -5,5 e) -6,0 
 
II) Hallar la magnitud del producto vectorial A x B . 
 
 a) 30,48 b) 32,48 c) 34,48 d) 36,48 e) 38,48 
 
III) Hallar la componente vectorial de A a lo largo de k̂ en el punto P(1; /3; 5/4). 
 
 a) -0,116 r̂ +0,201 ̂ b) 0,116 r̂ -0,201 ̂ c) -0,136 r̂ +0,241 ̂ 
 d) 0,136 r̂ -0,241 ̂ e) 0,176 r̂ -0,281 ̂ 
 
220. Demostrar la identidad vectorial, 
C S
ˆdr xB (n x )x BdS   , donde C es el contorno 
que limita a la superficie S. 
 
221. En la Fig43, calcular 
C
(y sen x)dx cosxdy  , siendo C el triángulo mostrado. 
 
 a) -1,12 b) -1,22 c) 1,32 d) -1,42 e) -1,52 
 
222. En la Fig44, calcular 2 2
C
(xy y )dx x dy  , siendo C la curva cerrada que limita la 
región definida por y=x e y=x2. 
 
 a) -1/10 b) +1/10 c) -1/20 d) +1/20 e) -1/30 
 
223. Dada la función derivable f(r) en su dominio, hallar x( r f(r)). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig43 Fig44 
 
224. Dados, 1 2 3
ˆ ˆ ˆA A i A j A k   , y ˆ ˆ ˆr x i y j zk   , hallar (Ax r) , si xA =0. 
 y 
B 
0 
A x 
(/2;1) 
(/2;0) 
 y 
x 0 
y=x2 
y=x 
(1;1) 
 
Página 45 - Análisis Vectorial
 
225. Sabiendo que, v x r , demostrar que (1/ 2) x v  , siendo =cte. 
 
226. Dado el campo 2 ˆ ˆ ˆA x yi 2xz j 2yzk   , hallar x x A  en el punto P(1; 1; 1). 
 
 a) 3 i b) 3 ĵ c) 4 i d) 4 ĵ e) 3 k̂ 
 
227. Dado el campo 3 2 4ˆ ˆ ˆA xz i 2x yz j 2yz k   , hallar x A en el punto P(1;-1; 1). 
 
 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
 
228. Dado el campo escalar 3 2 42x y z  , hallar   en el punto P(1; 1; 1). 
 
 a) 40 b) 42 c) 44