Ecuaciones de Maxwell

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Ecuaciones de Maxwell 
 
1. Introducción 
 
 En el capítulo anterior nos hemos ocupado de los problemas de electricidad y 
magnetismo en estado estacionario. Aunque las técnicas matemáticas utilizadas eran 
análogas, los fenómenos eléctricos y magnéticos fueron tratados como si fueran 
independientes: el único enlace entre ellos era el hecho de que las corrientes que producen los 
campos magnéticos tienen un carácter esencialmente eléctrico, ya que son cargas en 
movimiento. Cuando consideramos problemas dependientes del tiempo, la aparente 
independencia entre fenómenos eléctricos y magnéticos desaparece. Los campos magnéticos 
que varían con el tiempo originan campos eléctricos y viceversa. Deberemos hablar, pues, en 
términos de campos electromagnéticos más que de campos eléctricos o magnéticos. No 
obstante, el significado pleno de la interconexión entre los campos eléctricos y magnéticos y 
su identidad esencial solamente se alcanza en el marco de la relatividad especial. El conjunto 
fundamental de ecuaciones que describen todos los fenómenos electromagnéticos clásicos es 
conocido como ecuaciones de Maxwell. Estas ecuaciones están en la base de la teoría especial 
de la relatividad ya que son incompatibles con las transformaciones de Galileo 
(transformaciones de coordenadas en el ámbito de la mecánica clásica que relacionan dos 
sistemas en movimiento relativo uniforme) y, sin embargo, sí son compatibles con las 
transformaciones de la teoría de la relatividad, es decir, con las transformaciones de Lorentz. 
 En este capítulo se emprenderán las oportunas modificaciones de las leyes de la 
electrostática y la magnetostática, que se suponen ya conocidas, con el fin de dar cabida a 
campos que pueden variar con el tiempo. 
 
2. La ley de inducción de Faraday 
 
 Las primeras observaciones cuantitativas que relacionan los campos eléctricos y 
magnéticos variables con el tiempo fueron hechas por Faraday (1831) en sus experimentos 
sobre corrientes en circuitos colocados en campos magnéticos variables con el tiempo. 
Faraday observó que en un circuito A se induce una corriente transitoria, a) si se inicia o se 
detiene una corriente estacionaria en otro circuito cercano B; b) si el circuito B por el que 
circula la corriente estacionaria se mueve con respecto al circuito A; c) si introducimos o 
sacamos un imán en el circuito A. Faraday interpretó que el paso de corriente transitoria en el 
circuito A era debido a la variación temporal de flujo magnético que atraviesa dicho circuito. 
 Para interpretar de forma cuantitativa las observaciones de Faraday debemos precisar en 
primer lugar qué entendemos por flujo magnético. Así, definimos el flujo de campo 
magnético F que atraviesa un circuito C como 
 
∫ ⋅=
S
dSnBF rr
 
 
 
 
 
(2.1)
 
donde S es una superficie arbitraria delimitada por la curva C y nr es el vector unitario normal 
a S, tal como se muestra en la Figura 1. 
 
 
 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. 
 
 La definición anterior es independiente de la superficie S elegida. Esto se puede 
comprobar aplicando el teorema de la divergencia a la superficie cerrada 21 SSS ∪= 
construida a partir de dos superficies cualesquiera, 1S y 2S , delimitadas por el circuito C (ver 
Figura 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 
 
De esta manera, teniendo en cuenta que 0=⋅∇ B
r
, se deduce que 
 
∫∫∫∫ ⋅+⋅=⋅=⋅∇=
21
0
SSSV
dSnBdSnBdSnBdVB rrrrrrr
 
 
 
 
(2.2)
 
y en consecuencia 
 
∫∫∫ ′⋅=⋅−=⋅
221 SSS
dSnBdSnBdSnB rrrrrr
 
 
 
 
(2.3)
 
Por otra parte, la fuerza electromotriz (f.e.m.) se define como la integral de línea del campo 
eléctrico recorrida a lo largo del circuito C en sentido positivo (contrario a las agujas del 
reloj). 
 
∫ ⋅′=
C
ldE
rr
f.e.m 
 
 
 
 
(2.4)
 
donde E
r
′ es el campo eléctrico en el elemento de circuito ld
r
. En realidad podemos imaginar 
el circuito C como una trayectoria geométrica cerrada en el espacio sin que tenga que 
coincidir necesariamente con un circuito eléctrico. Las observaciones de Faraday se resumen 
en la expresión matemática: 
 
ld
r
2S
n′r
nr 
nr
C
B
r
S
nr
C
1S 
 3
dt
dFkldE
C
−=⋅′∫ 
rr
 
 
 
 
(2.5)
 
La fuerza electromotriz inducida en el circuito es proporcional a la velocidad con que cambia 
el flujo de campo magnético a través del mismo. El signo menos de la expresión (2.5) hace 
referencia al sentido de la f.e.m. inducida en C. Éste es determinado por la ley de Lenz, según 
la cual la f.e.m. inducida en C debe oponerse al cambio de flujo magnético que la produce. 
Así, si suponemos que el flujo que atraviesa S se va incrementando a medida que transcurre el 
tiempo, 0>dtdF , la fuerza electromotriz inducida será negativa y, por tanto, la corriente 
(que lleva la dirección del campo eléctrico) girará en sentido horario o negativo para que el 
campo magnético inducido se oponga al inductor (Figura 3.). Lo contrario ocurre si, 
0<dtdF . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3. 
 
Como se verá más adelante, la constante de proporcionalidad k depende exclusivamente de la 
elección de unidades para las magnitudes eléctricas y magnéticas. No se trata, como podría 
pensarse en un principio, de una constante empírica independiente a determinar 
experimentalmente. 
 Las variaciones de flujo magnético pueden ser debidas no sólo a un cambio temporal 
en la intensidad del campo magnético sino que también pueden estar producidas por un 
movimiento del circuito C en el seno de un campo magnético no uniforme y/o por una 
alteración del la forma del circuito que modifique la superficie S encerrada por él. 
 Para un circuito estacionario C, esto es, un circuito que no cambia en forma ni se 
desplaza, la variación temporal del flujo sólo puede ocurrir a través de la variación de B
r
 con 
el tiempo. En ese caso la ley expresión (2.5) se puede escribir como 
 
∫∫ ⋅
∂
∂
−=⋅′
SC
dSn
t
BkldE r
r
rr
 
 
 
 
(2.6)
 
Consideremos ahora que C se desplaza a una velocidad constante vr dentro de un campo 
magnético ( )trB ,r
r
 que puede depender de la posición y del tiempo. Por simplicidad 
supondremos que la forma del circuito permanece inalterada, aunque el resultado que 
obtendremos será también válido cuando se admite esta posibilidad (ver, por ejemplo, 
Choudhury). En ese caso, la variación del flujo magnético que atraviesa el circuito en 
movimiento está dada por 
I
0>
dt
dF
nr
0fem <
B inductor en el instante 
t
B
r
 
B inductor en el instante tt ∆+ 
B inducido en el instante t 
B inducido en el instante tt ∆+ 
 4
 
∫∫ ⋅=⋅
SS
dSn
dt
BddSnB
dt
d r
r
rr
 
 
 
 
(2.7)
 
Aplicando la regla de la cadena a ( )( )ttrB ,rr se obtiene 
 
( )Bv
t
B
t
z
z
B
t
y
y
B
t
x
x
B
t
B
dt
Bd rr
rrrrrr
∇⋅+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
= 
 
 
 
(2.8)
 
Aplicando la identidad vectorial ( ) ( ) ( ) ( ) ( )GFFGFGGFGF
rrrrrrrrrr
∇⋅−∇⋅+⋅∇−⋅∇=××∇ en 
(2.8) y teniendo en cuenta que 0=⋅∇ B
r
, 0=⋅∇ vr y ( ) 0=∇⋅ vB rr
 (estas dos últimas 
igualdades son debidas a que estamos considerando que vr es constante) se deduce que 
 
( )vB
t
B
dt
Bd rr
rr
××∇+
∂
∂
= 
 
 
 
(2.9)
 
y, por tanto, la derivada total del flujo con respecto al tiempo se transforma en 
 
( )∫∫∫ ⋅××∇+⋅
∂
∂
=⋅
SSS
dSnvBdSn
t
BdSnB
dt
d rrrr
r
rr
 
 
 
 
(2.10)
 
Utilizando el teorema de Stokes podemos transformar la última integral de superficie en una 
integral de línea a lo largo del circuito C, con lo que (2.10) quedaría de la forma 
 
( )∫∫∫ ⋅×+⋅
∂
∂
=⋅
CSS
ldvBdSn
t
BdSnB
dt
d rrrr
r
rr
 
 
 
 
(2.11)
 
Pasando el último sumando de (2.11) al primer miembro de (2.5) obtenemos una expresión 
equivalente a la ley de Faraday para un circuito en movimiento. 
 
( )[ ] ∫∫ ⋅
∂
∂
−=⋅×−′
SC
dSn
t
BkldBvkE r
r
rrrr
 
 
 
 
(2.12)
 
Vemos que la expresión anterior tiene la misma forma que la ley de Faraday para circuitos 
estacionarios, expresión (2.6), si admitimos que el campo eléctrico sobre el elemento de 
circuito ld
r
que se ve desde el sistema de referencia "estático"o de laboratorio, E
r
, está 
relacionado con el campo eléctrico, E ′
r
, visto desde un sistema solidario con el circuito por la 
expresión 
 
( )BvkEE
rrrr
×−′= 
 
 
 
 
(2.13)
 
 Lo que acabamos de establecer aquí forma parte de un principio general de la física, 
conocido como principio de equivalencia, según el cual todas las leyes de la física deben tener 
la misma forma (deben ser covariantes en forma) en todos los sistemas de referencia que se 
trasladen con velocidad relativa constante. 
 5
 Para determinar el valor de la constante k podemos pensar que una carga q en reposo 
respecto al sistema solidario con el circuito móvil estará sometida a una fuerza Eq ′
r
. Desde el 
punto de vista del observador en el sistema de laboratorio una carga q que se mueve a una 
velocidad vr en el seno de un campo eléctrico E
r
 y otro magnético B
r
 es, en aproximación no 
relativista y en el sistema MKSA, es igual a ( )BvEq
rrr
×+ . Como la fuerza que actúa sobre la 
carga debe ser la misma en ambos sistemas de referencia, se tiene ( )BvEqEq
rrrr
×+=′ y 
comparando con (2.13) vemos que la constante k en dicho sistema de unidades debe ser igual 
a la unidad (en el sistema gaussiano la expresión de la fuerza sería ( )cBvEq
rrr
×+ y de ahí 
que la constante k sea igual a 1−c ). 
 Así, pues, la ley de Faraday (en el sistema MKSA) queda expresada como 
 
∫∫ ⋅−=⋅′
SC
dSnB
dt
dldE rrrr
 
 
 
 
(2.14)
 
donde E ′
r
 es el campo eléctrico en ld
r
respecto de un sistema de coordenadas solidario con el 
circuito. La derivada con respecto al tiempo del segundo miembro es la derivada total dada 
por (2.8). Como subproducto de la demostración hemos encontrado que el campo eléctrico en 
un sistema de coordenadas que se mueve a una velocidad vr con respecto al laboratorio es: 
 
BvEE
rrrr
×+=′ 
 
 
 
 
(2.15)
 
Al haber considerado la aproximación no relativista para la ley de fuerzas experimentada por 
una carga en movimiento, la relación (2.15) es sólo una aproximación válida para velocidades 
pequeñas comparadas con la velocidad de la luz. Sin embargo, la ley de Faraday no es una 
aproximación; es perfectamente compatible con las transformaciones de Lorentz de la teoría 
especial de la relatividad. 
 La ley de Faraday (2.14) se puede escribir también en forma diferencial. Así, 
supongamos que el circuito se mantiene fijo respecto del sistema de referencia elegido (para 
que E
r
 y B
r
 estén expresados en el mismo sistema de referencia) de manera que la única 
variación temporal del flujo magnético sea la debida a la variación de B
r
 con el tiempo. 
Entonces, aplicando el teorema de Stokes a la ley de Faraday (2.6) con k igual a la unidad, 
obtenemos 
 
∫ =⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+×∇
S
dSn
t
BE 0r
r
r
 
 
 
 
(2.16)
 
donde hemos reescrito el campo eléctrico simplemente como E
r
 en vez de escribir E ′
r
. Por 
ser, tanto el circuito C como la superficie S, arbitrarios, el integrando debe ser nulo en todos 
los puntos del espacio. Por tanto, la ley de Faraday en forma diferencial es 
 
0=
∂
∂
+×∇
t
BE
r
r
 
 
 
 
(2.17)
 
 6
En el caso general, cuando hay campos variables con el tiempo, el campo eléctrico no es un 
campo conservativo. Hay que señalar que (2.17) constituye una generalización de la conocida 
ley de la electrostática 0=×∇ E
r
. 
 
3. Corriente de desplazamiento de Maxwell 
 
 Todo lo visto hasta el presente en electricidad y magnetismo se puede resumir en las 
cuatro ecuaciones diferenciales siguientes: 
 
Ley de Coulomb: ρ=⋅∇ D
r
 
Ley de Ampere: JH
rr
=×∇ 
Ley de Faraday: 0=
∂
∂
+×∇
t
BE
r
r
 
Ausencia de monopolos magnéticos: 0=⋅∇ B
r
 
 
 
 
 
(3.1)
 
Además debemos considerar la ecuación de continuidad que expresa la conservación de la 
carga eléctrica 
 
0=
∂
∂
+⋅∇
t
J ρr
 
 
 
 
(3.2)
 
El significado de esta ecuación es más claro cuando se escribe en forma integral. Así, 
integrando (3.2) sobre un volumen V limitado por una superficie S y aplicando el teorema se 
la divergencia al primer sumando, obtenemos 
 
∫∫ ∂
∂
−=
∂
∂
−=⋅
VS t
QdV
t
dSJ ρr
 
 
 
 
(3.3)
 
donde Q es la carga neta encerrada en el volumen V. La interpretación de esta ecuación es la 
siguiente: la carga total que abandona el volumen V a través de la superficie S es igual a la 
disminución de carga neta contenida en dicho volumen. 
 Todas las ecuaciones anteriores se han escrito en forma macroscópica y en el sistema 
MKSA. Recordemos que todas ellas, salvo la ley de Faraday, se dedujeron a partir de 
observaciones estáticas o estacionarias. Por ello, no es de extrañar que algunas de ellas no 
sean aplicables en situaciones en las que los campos dependan del tiempo. 
 Fue J. C. Maxwell el primero en darse cuenta de la incompatibilidad de las ecuaciones 
(3.1). En particular, vio que la ley de Ampere, deducida para corrientes estacionarias, resulta 
incompatible con la ecuación de continuidad. En efecto, tomando la divergencia en ambos 
miembros la ley de Ampere se deduce que ( ) 0=×∇⋅∇=⋅∇ HJ
rr
 por ser nula la divergencia 
de cualquier rotacional. Esto es sólo un caso particular de la ecuación de continuidad (3.2), 
correspondiente a la situación estacionaria en que no hay acumulaciones de carga variables 
con el tiempo, es decir, cuando 0=∂∂ tρ . 
 Maxwell se dio cuenta de que, haciendo uso de la ley de Coulomb, la ecuación de 
continuidad se podía expresar como 
 
 7
0=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+⋅∇=
∂
∂
+⋅∇
t
DJ
t
J
r
rr ρ 
 
 
 
(3.4)
 
y, por tanto, si reemplazaba el vector J
r
 por su generalización, tDJ ∂∂+
rr
, las ecuaciones de 
continuidad y Ampere serían compatibles. De esta manera, la ecuación de Ampere, 
denominada ahora de Ampere-Maxwell, se transforma en 
 
t
DJH
∂
∂
+=×∇
r
rr
 
 
 
 
(3.5)
 
que para fenómenos estacionarios coincide con la ley original de Ampere. A la corriente 
tD ∂∂
r
 introducida por Maxwell se la denomina corriente de desplazamiento. Ésta juega un 
papel fundamental cuando los campos varían rápidamente con el tiempo, como ocurre en los 
fenómenos de radiación electromagnética. De hecho, sin esta corriente no se podría explicar 
la existencia de ondas electromagnéticas. La predicción hecha por Maxwell de que la luz era 
un fenómeno ondulatorio electromagnético pudo confirmarse mediante el análisis de las 
ecuaciones que llevan su nombre y que reproducimos a continuación. 
 
 ρ=⋅∇ D
r
 
t
DJH
∂
∂
+=×∇
r
rr
 
 0=⋅∇ B
r
 0=
∂
∂
+×∇
t
BE
r
r
 
 
 
 
(3.6)
 
Las ecuaciones de Maxwell constituyen la base de todos los fenómenos electromagnéticos 
clásicos. En algunos casos resulta más útil tener una representación integral de las ecuaciones 
anteriores. Para ello, basta aplicar el teorema de la divergencia a las dos ecuaciones de la 
izquierda integrando sobre un volumen arbitrario V delimitado por la superficie S y, por otro 
lado, aplicar el teorema de Stokes a las dos ecuaciones de la derecha integrando sobre una 
superficie S delimitada por la curva cerrada C. De esta manera se obtiene: 
 
 ∫∫ =⋅
VS
dVSdD ρ
rr
 ∫∫∫ ⋅
∂
∂
+⋅=⋅
SSC
SdD
t
SdJldH
rrrrrr
 
 0=⋅∫S SdB
rr
 ∫∫ ⋅
∂
∂
−=⋅
SC
SdB
t
ldE
rrrr
 
 
 
 
(3.7)
 
En los puntos donde los campos presentan algún tipo de discontinuidad, como por ejemplo, 
en la entrecara entre dos dieléctricos o un dieléctrico y un conductor, las ecuaciones (3.6) 
carecen de sentido y no podrán ser aplicadas, ya que no existen las derivadas parciales de 
algunas de las componentes del campo. Sin embargo, el conjunto de ecuaciones (3.7), que es 
más general que el (3.6) por no contener derivadas espaciales, sí podrá ser aplicado. 
Precisamente, este hecho es utilizado para deducir las condiciones de contorno para los 
campos al pasar deun medio a otro. Así, si denominamos nr al vector unitario normal a la 
superficie que limita los medios "1" y "2" y que apunta en la dirección de "1" a "2", las 
condiciones de contorno para los campos son: 
 
 
 8
 ( ) σ=⋅− nDD rrr
12 ( ) 012 =⋅− nBB rrr
 
 ( ) 012 =−× EEn
rrr ( ) KHHn
rrrr
=−× 12 
 
 
 
 
(3.8)
 
donde σ y K
r
 son las densidad de carga y corriente superficiales macroscópicas, 
respectivamente. En el caso en que uno de los medios, por ejemplo el "1", sea un conductor 
perfecto, los campos en su interior son nulos y, en consecuencia, las condiciones de contorno 
anteriores se reducen a 
 
 σ=⋅ nD rr
 0=⋅ nB rr
 
 0=× En
rr KHn
rrr
=× 
 
 
 
 
(3.9)
 
donde se ha omitido el subíndice "2", ya que es el único medio presente en el que los campos 
no son nulos. 
 Se ha prescindido de las demostraciones de (3.8) y (3.9), aunque éstas se pude encontrar 
en la mayoría de textos de nivel intermedio o avanzado (ver, por ejemplo, los libros de 
Jackson o Choudhury). 
 
4. Las ecuaciones de onda para el campo eléctrico y 
magnético 
 
 Las ecuaciones de Maxwell constituyen un conjunto de ecuaciones diferenciales en 
derivadas parciales entre las componentes del campo eléctrico y magnético. Generalmente, 
cuando los campos varían con el tiempo, resulta de especial interés obtener ecuaciones 
desacopladas en las que sólo aparezca el campo eléctrico o el magnético. Para llegar a estas 
ecuaciones es necesario suponer alguna relación constitutiva que relacione los campos 
derivados D
r
 y H
r
 con los fundamentales E
r
 y B
r
. Para nuestra deducción supondremos el 
caso más sencillo en que el medio es lineal, homogéneo y sin pérdidas, de manera que 
ED
rr
ε= y BH
rr
1−= µ , siendo ε y µ constantes (no dependen de la posición). Esta situación 
será estudiada con más detalle en el apartado 11 de este tema. 
 Para eliminar B
r
 tomamos el rotacional de 0=
∂
∂
+×∇
t
BE
r
r
, obteniéndose 
 
( )
t
BE
∂
×∇∂
−=×∇×∇
r
r
 
 
 
 
(4.1)
 
Sustituyendo B
r
×∇ por su expresión en función de E
r
 proporcionada por la ecuación de 
Ampere-Maxwell ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+=×∇
t
EJB
r
rr
εµ , obtenemos la ecuación de onda vectorial 
inhomogénea 
 
t
J
t
EE
∂
∂
−=
∂
∂
+×∇×∇
rr
r
µµε 2
2
 
 
 
 
(4.2)
 
 9
Para el vector inducción magnética B
r
 se puede obtener una ecuación similar a (4.2) 
eliminando el campo eléctrico de las ecuaciones de Ampere-Maxwell y Faraday. De esta 
manera se llegaría a la ecuación 
 
J
t
BB
r
r
r
×∇=
∂
∂
+×∇×∇ µµε 2
2
 
 
 
 
(4.3)
 
Si en el medio está libre de carga, de manera que 0=⋅∇ E
r
 (puede haber cargas de 
polarización pero la densidad de carga macroscópica ρ debe ser nula.), entonces, el término 
EEE
rrr
2∇−⋅∇∇=×∇×∇ se simplifica a E
r
2∇− , con lo que la ecuación de onda para 
regiones libres de carga queda de la forma 
 
t
J
t
EE
∂
∂
=
∂
∂
−∇
rr
r
µµε 2
2
2 
 
 
 
(4.4)
 
De manera similar, teniendo en cuenta que 0=⋅∇ B
r
, se obtiene la ecuación 
 
J
t
BB
r
r
v
×∇−=
∂
∂
−∇ µµε 2
2
2 
 
 
 
(4.5)
 
En muchas situaciones de interés el medio en que se va a resolver la ecuación de onda está 
libre de fuentes. Esto quiere decir que tanto ρ como J
r
 son nulos; en ese caso las ecuaciones 
anteriores se reducen a las ecuaciones de onda homogéneas, dadas por 
 
02
2
2 =
∂
∂
−∇
t
EE
r
r
µε 
02
2
2 =
∂
∂
−∇
t
BB
r
v
µε 
 
 
 
(4.6)
 
Entre las características más notables de estas ecuaciones está el hecho de que sus soluciones, 
como veremos en el apartado 6, se propagan a una velocidad finita dada por 
εµ
1 , que en el 
caso de que el medio sea el vacío coincide con la velocidad de propagación de la luz en ese 
medio, 81099792.2 ×≈c m/s. Esto hecho tuvo gran transcendencia histórica y contribuyo a 
ratificar que la hipótesis de Maxwell, según la cual la luz era un fenómeno ondulatorio 
electromagnético, era cierta. 
 
5. Los potenciales electromagnéticos 
 
 Aunque en casos sencillos es posible resolver las ecuaciones de Maxwell directamente, 
tal como aparecen en (3.6), a menudo resulta conveniente introducir unos potenciales con 
objeto de obtener un número menor de ecuaciones de segundo orden que satisfagan 
idénticamente algunas de las ecuaciones de Maxwell. Estos conceptos ya nos son conocidos 
 10
de electrostática y magnetostática, donde se ha empleado el potencial escalar Φ y el potencial 
vector A
r
. 
 Dado que la ecuación 0=⋅∇ B
r
 todavía sigue siendo válida, podemos definir B
r
 en 
función de un potencial vector A
r
 de manera que: 
 
AB
rr
×∇= 
 
 
 
 
(5.1)
 
Entonces, sustituyendo esta expresión en la ley de Faraday, obtenemos 
 
0=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+×∇
t
AE
r
r
 
 
 
 
(5.2)
 
El vector que hay dentro del paréntesis tiene un rotacional nulo, lo que significa que puede ser 
expresado como el gradiente de un potencial escalar Φ . Así, tenemos 
 
Φ−∇=
∂
∂
+
t
AE
r
r
 
 
 
 
(5.3)
 
o lo que es lo mismo 
t
AE
∂
∂
−Φ−∇=
r
r
 
 
 
 
(5.4)
 
Las expresiones de E
r
 y B
r
 en función e los potenciales A
r
 y Φ han sido deducidas a partir de 
las dos ecuaciones homogéneas de Maxwell y, por tanto, las satisfacen idénticamente. Para 
establecer las ecuaciones que verifican estos potenciales y poderlos así relacionar con las 
fuentes, será necesario utilizar las otras dos ecuaciones de Maxwell, las inhomogéneas. Por 
simplicidad lo haremos considerando que el medio es lineal homogéneo y sin pérdidas, esto 
es, teniendo en cuenta que ED
rr
ε= y BH
rr
1−= µ , siendo ε y µ constantes. 
 Si sustituimos los campos E
r
 y B
r
 dados por (5.4) y (5.1) en las ecuaciones ρε =⋅∇ E
r
 
y J
t
EB
r
r
r
µµε =
∂
∂
−×∇ y tenemos en cuenta la relación vectorial AAA
vrr
2∇−⋅∇∇=×∇×∇ , 
obtenemos 
 
ε
ρ
=
∂
⋅∂∇
+Φ∇
t
A
r
2 
J
t
A
t
AA
rr
r
r
µεµεµ −=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
Φ∂
+⋅∇∇−
∂
∂
−∇ 2
2
2 
 
 
 
(5.5)
 
Hemos conseguido reducir el conjunto de cuatro ecuaciones de Maxwell a sólo dos, pero 
todavía están acopladas. Para desacoplar el sistema podemos aprovechar la arbitrariedad 
implícita en la definición de los potenciales. De la misma manera que el potencial Φ en 
electrostática era arbitrario en tanto que podíamos sumarle una constante cualquiera quedando 
inalterado el campo, ahora podemos sumarle al potencial vectorial A
r
 el gradiente de una 
 11
función escalar Λ cualquiera sin que B
r
 se altere en la transformación. Podemos representar 
esquemáticamente la transformación para A
r
 de la manera: 
 
Λ∇+=′→ AAA
rrr
 
 
 
 
 
(5.6)
 
Es inmediato comprobar que el rotacional de A
r
 es igual al de A′
r
 ya que el rotacional de un 
gradiente es siempre nulo. Ahora bien, a este cambio en el potencial magnético debe 
sucederle otro cambio en el potencial escalar, de manera que el campo eléctrico quede 
inalterado. Si denominamos Φ′ al nuevo potencial escalar, se debe cumplir que 
 
t
AE
∂
′∂
−Φ′−∇=
r
r
 
 
 
 
(5.7)
 
y, por tanto, 
t
A
t
A
∂
∂
+Φ∇=
∂
′∂
+Φ′∇
rr
. Sustituyendo A′
r
 por Λ∇+A
r
 en esta ecuación, 
obtenemos 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
Λ∂
−Φ∇=Φ′∇
t
 
 
 
 
(5.8)
 
de donde se deduce que la transformación simultánea a (5.6) que se debe realizar en el 
potencial escalar es 
 
t∂
Λ∂
−Φ=Φ′→Φ 
 
 
 
(5.9)
 
Las transformaciones (5.6) y (5.7) reciben el nombre de transformaciones de contraste. 
 El margen de libertad que introducen estas transformaciones a la hora de escoger una 
pareja de potenciales puede ser utilizado para desacoplar las ecuaciones (5.5). Así, como 
demostraremos más adelante, siempre será posible encontrar unos potenciales A
r
 y Φ que 
satisfagan la conocida como condición de contraste de Lorentz, definida por la ecuación 
 
0=
∂
Φ∂
+⋅∇
t
A εµ
r
 
 
 
 
(5.10)
 
Introduciendo esta condición en las ecuaciones (5.5) obtenemos ecuacionesde onda 
independientes para cada uno de los potenciales 
 
ε
ρεµ −=
∂
Φ∂
−Φ∇ 2
2
2
t
 
J
t
AA
r
r
r
µεµ −=
∂
∂
−∇ 2
2
2 
 
 
 
(5.11)
 
A estos potenciales se suele denominar potenciales de Lorentz por haber sido obtenidos por 
imposición de la condición de contraste de Lorentz. 
 12
 Para demostrar que siempre es posible encontrar una pareja de potenciales que cumplan 
la condición de contraste de Lorentz con una elección apropiada de Λ , consideremos que A
r
 
y Φ son unos potenciales cualesquiera que pueden o no satisfacer (5.10). Si utilizamos las 
transformaciones de contraste (5.6) y (5.9) para llegar a unos potenciales A′
r
 y Φ′ , a los que 
les exigimos que cumplan la condición (5.10), obtenemos 
 
( ) 0=
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
Λ∂
−Φ∂
+Λ∇+⋅∇=
∂
Φ′∂
+′⋅∇
t
tA
t
A εµεµ
rr
 
 
 
 
(5.12)
 
La ecuación anterior se cumple si Λ verifica la ecuación de onda inhomogénea 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
Φ∂
+⋅∇−=
∂
Λ∂
−Λ∇
t
A
t
εµεµ
r
2
2
2 
 
 
 
(5.13)
 
Dado que el segundo miembro de esta ecuación es conocido siempre será posible hallar una 
solución para Λ . 
 Existe arbitrariedad incluso en la elección de potenciales que cumplen la condición de 
contraste de Lorentz. Así, si los potenciales de partida A
r
 y Φ verificasen (5.10), la ecuación 
(5.13) se convertirá en homogénea 
 
02
2
2 =
∂
Λ∂
−Λ∇
t
εµ 
 
 
 
(5.14)
 
 y, en consecuencia, introduciendo en (5.6) y (5.9) una solución Λ de (5.14) se establecerá 
una transformación entre parejas de potenciales de Lorentz. 
 Existen otras transformaciones de contraste alternativas a la de Lorentz que no hemos 
tratado aquí, como por ejemplo la condición de Coulomb. Estas condiciones conducen a 
potenciales diferentes a los de Lorentz que pueden tener utilidad ciertas circunstancias. 
 
6. Función de Green para la ecuación de ondas 
 
 Las ecuaciones para los potenciales de Lorentz (5.11) tienen la estructura básica de la 
ecuación 
 
( )trf
tc
,1
2
2
2
2 r
=−∇
∂
ψ∂ψ 
 
 
 
(6.1)
 
donde ( )f x tr, representa la distribución de carga o corriente, que supondremos conocida en 
todo el espacio. Para hallar una solución explícita a esta ecuación supondremos que el medio 
es no dispersivo, de manera que la velocidad de la luz 
εµ
1
=c es independiente de la 
frecuencia. 
 La ecuación (6.1) puede ser resuelta por medio de la función de Green siguiendo un 
procedimiento similar al empleado en electrostática. Consideremos el problema 
 13
 ( ) ( ) ( ) ( )ttrr
t
trtrG
c
trtrG ′−′−=
∂
′′∂
−′′∇ δδ rr
rr
rr
22
2 ,,,1,,, 
 
 
 
(6.2)
 
Las soluciones de esta ecuación nos proporcionan una manera de obtener la solución de (6.1). 
Así, la función ψ dada por 
 
( ) ( ) ( ) tdVdtxtrGtrftr
R
′′′′′′= ∫ ∫
+∞
∞− 3
,,,,, rrrrψ 
 
 
 
 
(6.3)
 
constituye una solución de (6.1). Teniendo en cuenta (6.2) comprobamos 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )trftdVdttrrtrf
tdVdtxtrG
tc
trf
tc
R
R
,,
,,,1,1
3
3 2
2
2
2
2
2
2
2
rrrr
rrr
=′′′−′−′′=
=′′′′⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−∇′′=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−∇
∫ ∫
∫ ∫
∞+
∞−
∞+
∞−
δδ
∂
∂ψ
∂
∂
 
 
 
 
 
(6.3)
 
es decir, verifica la ecuación de onda inhomogénea. Por tanto, todo lo que tenemos que hacer 
es encontrar la función de Green ( )trtrG ′′,,, rr , cuyo significado es el de un potencial en rr en 
el instante t creado por una fuente puntual ( ) ( )ttrr ′−′− δδ rr situada en el punto r ′r en el 
instante ′t . En un medio que es no dispersivo, ilimitado, es decir, no tiene superficies límite 
y, además, es homogéneo e isótropo, la dependencia de la función de Green con las 
coordenadas rr y r ′r sólo puede ser a través de la distancia rrR ′−=
rr entre el punto fuente y 
el punto campo y del tiempo tt ′−=τ transcurrido desde la colocación de la fuente. La 
ecuación (6.2), en función de las variables R y τ , queda de la forma 
 
( ) ( ) ( ) ( )τδδ
τ
τ∂τ RRG
c
RG =
∂
−∇ 2
2
2
2 ,1, 
 
 
 
(6.4)
 
 Podemos eliminar la dependencia temporal en esta ecuación aplicando transformada de 
Fourier. Así, si denominamos ( )ω,Rg a la transformada de Fourier de ( )τ,RG tenemos: 
 
( ) [ ] ( )∫
+∞
∞−
−== ττω ωτ deRGGRg j,, 
( ) [ ] ( )∫
+∞
∞−
− == ωω
π
τ ωτdeRggRG j,
2
1, 1 
 
 
 
(6.5)
 
La transformada de Fourier de la ecuación (6.2) es la ecuación de Helmholtz no homogénea 
 
( ) ( ) ( )RRgkRg δωω =+∇ ,, 22 
 
 
 
 
(6.6)
 
siendo k c=ω y donde se ha tenido en cuenta que Φ[ ( )τδ ] 1= . 
 Consideremos ahora el siguiente resultado 
 
jkRjkR
jkR
e
R
k
R
e
R
e ±±
±
−∇=∇
2
22 1 
 
 
 
(6.7)
 14
 
el cual puede ser obtenido fácilmente sabiendo que el laplaciano de una función que sólo 
depende de R es ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
dR
dR
dR
d
R 2
1 . Reordenando los términos de la ecuación anterior llegamos a 
 
R
e
R
ek
R
e jkR
jkRjkR 1222 ∇=+∇ ±
±±
 
 
 
 
(6.8)
 
El segundo término de (6.8) se puede relacionar con la "función" delta de Dirac. Así, según se 
vio en electrostática ( )R
R
πδ412 −=∇ , y como ( )Rδ es diferente de cero sólo en 0=R , en 
donde la función jkRe± vale la unidad, podemos escribir ( ) ( )RRe jkR δδ =± . De esto se deduce 
que la ecuación (6.8) queda finalmente como 
 
( )R
R
ek
R
e jkRjkR
πδ422 −=+∇
±±
 
 
 
 
(6.9)
 
Ahora bien, comparando esta ecuación con (6.6) deducimos que las dos soluciones de (6.9) 
deben ser 
 
( )
R
eRg
jkR±
−=
π
ω
4
1, 
 
 
 
(6.10)
 
La función de Green se obtiene haciendo la transformada inversa de Fourier de (6.10). 
 
( ) =τ,RG Φ–1[g ( )ω,R ] = ( )
R
cRmτδ
π4
1− 
 
 
 
(6.11)
 
Nótese que la dependencia de g con ω es a través del número de ondas k c=ω . Para poder 
escribir (6.11) de la manera en que se ha hecho se ha tenido en cuenta que c es independiente 
de ω . Cada una de las funciones de Green da lugar a un potencial con un significado físico 
diferente como veremos más adelente. Si escribimos la función de Green en términos de las 
variables originales rr , rr′ , t y ′t , se obtiene: 
 
( )
rr
t
c
rr
t
ttrrG
′−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
′−
′−
−
=′′ rr
rr
m
rr
δ
π4
1,,, 
 
 
 
(6.12)
 
Sustituyendo ( )ttrrG ′′ ,,, rr en (6.3) llegamos a la solución de la ecuación de ondas 
 
( ) ( ) ∫∫ ∫ ′
′−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ′−
′
−
=′′
′−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
′−
′−
′′−
=
∞+
∞− 33
,
4
1,
4
1,
RR
Vd
rr
c
rr
trf
Vdtd
rr
t
c
rr
t
trftr rr
rr
m
r
rr
rr
m
rr
π
δ
π
ψ 
 
 
 
(6.13)
 
 15
El significado del doble signo es el siguiente: el potencial ψ en el punto rr y en el instante t 
depende de la fuente f en cada punto r ′r del espacio y del instante 
c
rr
t
′−
rr
m . Por tanto, 
cuando el signo es negativo el efecto, ψ , es posterior a la causa, f , (potenciales retardados), 
mientras que cuando el signo es positivo el efecto precede a la causa (potenciales avanzados). 
Si se admite una relación de causalidad entre los potenciales y las fuentes que los producen, 
únicamente tienen significado físico los potenciales retardados; no obstante, desde el punto de 
vista especulativo, pueden utilizarse ambos tipos de potenciales. Por simplicidad utilizaremos 
el símbolo [ ] ret para referirnos a los potenciales retardados. De esta forma, los potenciales 
escalar y vector retardados están representados por: 
 
( ) ( )[ ]
∫ ′
′−
′′
=Φ
3
ret,
4
1,
R
Vd
rr
tr
tr rr
r
r ρ
πε
 
( ) ( )[ ]
∫ ′
′−
′
=
3
ret,
4
,
R
Vd
rr
trJ
trA rr
rr
rr
π
µ 
 
 
 
(6.14)
 
Aunque las integrales están extendidas a todo el espacio, sólo es significativo el dominio en el 
que están distribuidas las fuentes. 
 
7. Las ecuaciones de Maxwell en los medios materiales 
 
 En principio cabe pensar que el conocimiento exacto de las fuentes ρ y J
r
 basta para 
determinar completamente el campo electromagnético. Sin embargo, tal conocimiento es 
imposible cuando existen agregados macroscópicos de materia, ya que el número de fuentes 
individuales, las partículas cargadas de cada átomo, es enorme y, además, las fluctuaciones 
temporales de los campos que éstos producen son extraordinariamente rápidas y sus 
variaciones espacialessumamente bruscas. Además, desde un punto de vista macroscópico, 
resulta irrelevante el conocimiento puntual e instantáneo de los campos dado que cualquier 
dispositivo de medida efectúa un promedio tanto espacial como temporal de los campos 
microscópicos. Por tanto, lo que sí resulta importante es la media del campo o la fuente en un 
volumen grande comparado con el volumen que ocupa un átomo o una molécula y en un 
tiempo, también grande, comparado con el periodo orbital de los electrones alrededor del 
núcleo o con el periodo de oscilación asociado al movimiento térmico de los átomos y 
moléculas. Para dar cuenta de estos promedios se introdujeron los vectores macroscópicos 
que aparecen en las ecuaciones de Maxwell (3.6), cuyo significado exacto se adquiere cuando 
se efectúan promedios adecuados en las ecuaciones microscópicas de Maxwell 
 
 
0ε
η
=⋅∇ er j
t
eb
rrr
000 µµε =
∂
∂
−×∇ 
 0=⋅∇ b
r
 0=
∂
∂
+×∇
t
be
r
r 
 
 
 
(7.1)
 
Estas ecuaciones no son otras que las ecuaciones de Maxwell para el vacío, en donde se 
suponen perfectamente conocidas todas las fuentes microscópicas de carga, η , y corriente, j
r
, 
 16
que originan los campos y que, para distinguirlos de los campos macroscópicos, se escriben 
en minúsculas. No hay campos d
r
 y h
r
 debido a que todas las fuentes están incluidas en η y 
j
r
. Cuando se pretende llegar a un conjunto de ecuaciones macroscópicas se hace necesario 
distinguir entre las contribuciones a los campos producidas por las cargas y corrientes 
macroscópicas, detectables experimentalmente, y las debidas a la redistribución de las cargas 
y corrientes dentro de las moléculas. Además, mediante la introducción de los vectores D
r
 y 
H
r
 se consigue que las ecuaciones macroscópicas tengan una apariencia similar a las 
microscópicas, haciendo que en los segundos miembros de las dos ecuaciones no homogéneas 
aparezcan exclusivamente las densidades de carga y corriente macroscópicas. 
 Para delimitar claramente el dominio en el que podemos esperar que sirva una 
descripción macroscópica de los fenómenos electromagnéticos, observamos que la reflexión y 
refracción de la luz visible se describen de modo adecuado mediante las ecuaciones de 
Maxwell con una constante dieléctrica continua, en tanto que la difracción de rayos X pone de 
manifiesto la naturaleza atómica de la materia. Es razonable, por consiguiente, tomar la 
longitud mL 8
0 10−= (el orden de magnitud de la longitud de onda de los rayos X) como 
límite inferior absoluto del dominio macroscópico. En un volumen de 3243
0 10 mL −= existen 
todavía, en la materia ordinaria, del orden de 106 átomos. Así pues, en cualquier región de 
interés macroscópico con 0LL >> existen tantos átomos que las fluctuaciones quedarán 
completamente difuminadas cuando se haga un promedio. 
 Debe examinarse con cuidado la cuestión de cuál es el tipo de promedio apropiado. A 
primera vista podría pensarse que son necesarias medias tanto en el tiempo como en el 
espacio. Sin embargo, en ausencia de correlación en las variaciones temporales de los campos 
a distancias del orden de 0L o mayores, sólo será necesario un promedio espacial ya que éste 
difuminará las variaciones temporales que ocurren a escala microscópica. 
 Es usual definir el promedio espacial de una función ( )trF ,r con respecto a una función 
prueba ( )rf r como 
 
( ) ( ) ( ) VdtrrFrftrF ′′−′= ∫ ,, rrrr 
 
 
 
 
(7.2)
 
donde ( )rf r es una función real, no nula en cierto entorno de 0=rr que está normalizada a la 
unidad en todo el espacio, esto es 
 
( ) 1=′′∫ Vdrf r 
 
 
 
 
(7.3)
 
La región en donde ( ) 0≠rf r es grande en comparación con las dimensiones moleculares. 
Además, es lógico pensar que la influencia de las moléculas cercanas al punto en 
consideración debe ser mayor que las que están alejadas de éste. Por tanto, ( )rf r debe 
alcanzar un máximo en el origen e ir decreciendo de forma suave hacia los extremos. Sin 
especificar ninguna función peso concreta podemos pensar que la forma aproximada de ésta 
debe ser similar a la que se muestra en la figura 4. 
 
 
 
 
 
 17
 
 
 
 
 
Figura 4. 
 
Las dimensiones moleculares, representadas por a, son mucho menores que el intervalo en el 
que la función es claramente diferente de cero. 
 Es sencillo comprobar que las operaciones de diferenciación respecto del espacio o del 
tiempo conmutan con la operación de promediado. Así, tenemos que 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )trFVdtrrFrfVdrftrrFtrF ,,,, rrrrrrrr
∇=′′−∇′=′′′−∇=∇ ∫∫ 
 
 
 
 
(7.4)
 
y 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )trF
t
VdtrrF
t
rfVdrftrrF
t
trF
t
,,,, rrrrrrrr
∂
∂
=′′−
∂
∂′=′′′−
∂
∂
=
∂
∂
∫∫ 
 
 
 
(7.5)
 
Ahora ya estamos en condiciones de deducir las ecuaciones macroscópicas de Maxwell a 
partir de la microscópicas. En primer lugar definiremos los campos eléctrico y magnético 
macroscópicos como los promedios espaciales de los microscópicos 
 
( ) ( )tretrE ,, rrrr
= y ( ) ( )trbtrB ,, rrrr
= 
 
 
 
 
(7.6)
 
Teniendo en cuenta las relaciones de conmutabilidad y poromediando en las ecuaciones (7.1), 
obtenemos 
 
 
0ε
η
=⋅∇ E
r
 j
t
EB
r
r
r
000 µµε =
∂
∂
−×∇ 
 0=⋅∇ B
r
 0=
∂
∂
+×∇
t
BE
r
r
 
 
 
 
(7.7)
 
 Si comparamos estas ecuaciones con las macroscópicas de Maxwell (3.6), es claro que 
los campos D
r
 y H
r
 provienen de extraer ciertas contribuciones de las densidades medias de 
carga y corriente y añadírselas a los campos E
r
 y B
r
. 
 En lo que sigue vamos a analizar de forma detallada la deducción de la ley de Gauss 
macroscópica a partir de la primera de las ecuaciones (7.7). 
 Supongamos que el medio, formado por átomos o moléculas, consta de cargas libres 
(normalmente electrones) y cargas ligadas (núcleos y electrones sujetos a sus movimientos 
orbitales). Si aceptamos que tanto unas como otras pueden ser consideradas como cargas 
puntuales la densidad microscópica de carga será 
 
a
f
 18
 ( ) ( )( )∑ −=
i
ii trrqtr rrr δη , 
 
 
 
(7.8)
 
donde ( )tri
r es el vector de posición de la carga i-ésima en el instante t. 
 Separando η en una densidad de carga debida a las cargas libres, Fη , y otra debida a 
las cargas ligadas, Bη , escribimos BF ηηη += , donde 
 
 ( ) ( )( )∑ −=
libre ,
,
i
iiF trrqtr rrr δη 
 
 
 
(7.9)
 
y 
 
 ( ) ( )∑=
moléculas ,
,,
n
nB trtr rr ηη 
 
 
 
(7.10)
 
Aquí, nη representa la densidad de carga de la molécula n-ésima que, a su vez, puede 
expresarse como 
 
( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )
( )
∑∑ −−=−=
nj
jnnj
nj
jjn trtrrqtrrqtr rrrrrr δδη , 
 
 
 
(7.11)
 
donde se ha tenido en cuenta que el vector de posición de la carga j-ésima, jrr , perteneciente a 
la molécula n-ésima está dado por 
 
jnnj rrr rrr
+= 
 
 
 
 
(7.12)
 
siendo nr
r y jnrr los vectores de posición del centro de masas de la molécula n-ésima y de la 
carga j-ésima, respectivamente, tal como se muestra en la figura 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5. 
 
 El promedio de la densidad de carga de la molécula n-ésima es 
jqmolécula 
n-ésima 
jnrr
nr
r
jrr
z
x 
y
z´
y´ 
x´
 19
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
∑
∑ ∫∫
−−=
=′′−−−′=′′−′=
nj
jnnj
nj
jnnjnn
rrrfq
VdrrrrrfqVdtrrrftr
rrr
rrrrrrrrr
 
,, δηη
 
 
 
 
 
(7.13)
 
 Dado que jnrr es del orden de las dimensiones moleculares, podemos hacer un desarrollo 
en serie de Taylor de la función peso centrado en nrr rr
− , obteniéndose 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
∑ ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +−∇⋅+−∇⋅−−=
nj
njnnjnnjn rrfrrrfrrrfqtr K
rrrrrrrrr 2
2
1,η 
 
 
 
(7.14)
 
Escribiendo 
 
∑
=
=
3
1r
rruxr rr , ∑
=
=
31r
r
n
rn uxr rr , ∑
=
=
3
1r
r
jn
rjn uxr rr 
 
 
 
(7.15)
 
de manera que 
 
∑
= ∂
∂
=∇⋅
3
1r r
jn
rjn x
xrr , ( ) ∑
= ∂∂
∂
=∇⋅
3
1,
2
2
sr sr
jn
s
jn
rjn xx
xxrr 
 
 
 
(7.16)
 
e introduciendo los momentos multipolares moleculares de carga 
 
( )
( )
∑=
nj
j
n qQ , (tensor de orden cero) 
( )
( )
∑=
nj
jn
rj
n
r xqp , o en forma vectorial, ( )
( )
∑=
nj
jnj
n
r rqp rr , (tensor de orden uno) 
 ( )
( )
∑=
nj
jn
s
jn
rj
n
rs xxqQ 3ˆ , (tensor de orden dos) 
 
 
 
(7.17)
encontramos que el promedio molecular de carga se puede escribir como 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
K
rr
rrrrrr
+
∂∂
−∂
+−∇⋅−−= ∑
=
3
1,
2
ˆ
6
1,
sr sr
nn
rsn
n
n
n
n xx
rrf
QrrfprrfQtrη 
 
 
 
(7.18)
 
Ahora bien, el primer sumando de (7.18) se puede escribir como 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n
n
n
n
n
n rrQVdrrrrfQrrfQ rrrrrrrr
−=′′−−′=− ∫ δδ 
 
 
 
 
(7.19)
 
que es el promedio de una carga puntual de valor ( )nQ situada en el centro de la molécula n-
ésima. De manera similar escribimos 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
( ) ( )n
n
n
n
n
n
n
n
rrp
Vdrrrrfprrfprrfp
rrr
rrrrrrrrrrr
−⋅∇=
=′′−−′⋅∇=−⋅∇=−∇⋅ ∫
δ
δ
 
 
 
 
 
 
(7.20)
 20
 
y 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )n
n
rs
sr sr
n
n
rs
sr srsr sr
nn
rs
rrQ
xx
VdrrrrfQ
xxxx
rrf
Q
rr
rrrr
rr
−
∂∂
∂
=
=′′−−′
∂∂
∂
=
∂∂
−∂
∑
∫∑∑
=
==
δ
δ
ˆ
ˆˆ
3
1,
2
3
1,
23
1,
2
 
 
 
 
 
(7.21)
 
Los últimos términos de (7.20) y (7.21) son las divergencias de los promedios del momento 
dipolar y cuadrupolar de un dipolo y un cuadrupolo, respectivamente, situados en el centro de 
la molécula. 
 Así, el promedio de la densidad de carga molecular se puede interpretar como una suma 
de contribuciones debidas a multipolos puntuales situados en el centro de la molécula. La 
distribución en detalle de la carga molecular es importante al nivel microscópico, pero queda 
reemplazada, en sus efectos para fenómenos macroscópicos, por una suma de multipolos. 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K
rrrrrrrr
+−
∂∂
∂
+−⋅∇−−= ∑
=
n
n
rs
sr sr
n
n
n
n
n rrQ
xx
rrprrQtr δδδη ˆ
6
1,
3
1,
2
 
 
 
 
(7.22)
 
 Teniendo en cuenta (7.9) y (7.10) encontramos que el promedio de la densidad de carga 
total es 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
K
rr
K
rr
rrrrrrr
rrrrr
+
∂∂
∂
+⋅∇−=+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
∂∂
∂
+
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅∇−−+−=
=+=+=
∑∑∑
∑∑∑
∑
==
3
1,
2
moléculas 
3
1,
2
moléculas moléculas libre ,
moléculas 
,ˆ
,,ˆ
6
1
, ,,,,
sr sr
rs
n
n
n
rs
sr sr
n
n
n
n
n
n
i
ii
n
nFBF
xx
trQtrPtrrrQ
xx
rrprrQrrq
trtrtrtrtr
ρδ
δδδ
ηηηηη
 
 
 
 
 
(7.23)
 
En (7.23) se han introducido las magnitudes ( )tr ,rρ , ( )trP ,r
r
 y ( )trQrs ,r , su interpretación es la 
siguiente: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑ −+−=−+−=
moléculas libre ,moléculas libre ,
,
n
n
n
i
ii
n
n
n
i
ii rrQrrqrrQrrqtr rrrrrrrrr δδδδρ
 
 
 
 
 
(7.24)
 
La cantidad ( )tr ,rρ representa la densidad de carga macroscópica. Ésta tiene en consideración 
tanto a las carga libres como a las cargas netas de las moléculas. Debido a la operación de 
promediado que aparece en su definición, la contribución a la densidad de carga en un punto 
dado, rr , de las cargas circundantes, es mayor cuanto más próximas a rr estén dichas cargas. 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ −=−=
moléculas moléculas 
,
n
n
n
n
n
n rrprrptrP rrrrrrr
δδ 
 
 
 
(7.25)
 21
 
El vector ( )trP ,
r
 es la polarización macroscópica, su valor en un punto está influido por todos 
los dipolos puntuales circundantes. Por último, el tensor de orden 2, cuyas componentes son 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ −=−=
moléculas moléculas 
ˆ
6
1ˆ
6
1,ˆ
n
n
n
rs
n
n
n
rsrs rrQrrQtrQ rrrr δδ 
 
 
 
(7.26)
 
es el momento cuadrupolar macroscópico. De forma similar se podrían definir los momentos 
n-polares macroscópicos de orden superior, no obstante, al igual que sucede con el momento 
cuadrupolar, su contribución al campo es prácticamente despreciable en la mayoría de las 
situaciones prácticas. 
 Si introducimos la expresión obtenida en (7.23) para la densidad de carga total en la 
ecuación de Gauss (7.7), obtenemos 
 
( ) ( ) ( ) ( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∂∂
∂
+⋅∇−==⋅∇ ∑
=
K
rrrr 3
1,
2
00
,ˆ
,,1,
sr sr
rs
xx
trQ
trPtrtrE ρ
εε
η
 
 
 
 
(7.27)
 
Esta ecuación se puede escribir también como 
 
ρε =⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∂
∂
−+
∂
∂∑ ∑
= =
3
1
3
1
0
ˆ
r s s
rs
rr
s x
Q
PE
x
K 
 
 
 
(7.28)
 
Ello sugiere que definamos un nuevo vector, denominado desplazamiento, cuyas 
componentes están dadas por 
 
K+
∂
∂
−+= ∑
=
3
1
0
ˆ
s s
rs
rrr x
Q
PED ε 
 
 
 
(7.29)
 
Los dos primeros términos del desplazamiento resultan familiares. El tercero y los superiores 
están presentes en principio, pero resultan despreciables casi siempre. De hecho, si no los 
tenemos en cuenta, podremos escribir el desplazamiento en forma vectorial como 
 
PED
rrr
+= 0ε 
 
 
 
 
(7.30)
 
 Con la definición dada para el vector desplazamiento la ecuación de Coulomb 
macroscópica se escribe de la forma 
 
ρρ =⋅∇⇔=
∂
∂∑
=
D
x
D
r s
r
r3
1
 
 
 
 
(7.31)
 
El vector D
r
 se ha definido para conseguir una ecuación similar a la ecuación microscópica 
0ε
η
=⋅∇ er pero en la que sólo aparezca la densidad de carga macroscópica en el segundo 
miembro. 
 22
 Un tratamiento similar al que hemos empleado para llegar a la ecuación macroscópica 
de Coulomb, aunque más complejo debido a la naturaleza vectorial de la densidad de 
corriente j
r
, se puede llevar a cabo para establecer la ecuación macroscópica de Ampere-
Maxwell 
t
DJB
∂
∂
+=×∇
r
rr
. Una deducción detallada de ello se puede encontrar en el libro de 
Choudhury. 
 
8. Ley de conservación de la energía. Teorema de Poynting 
 
La forma concreta que adquiere el principio de conservación de la energía en presencia 
de campos electromagnéticos se conoce como teorema de Poynting. Para empezar, 
consideremos el trabajo por unidad de tiempo que ejerce el campo electromagnético sobre una 
carga puntual q. Según la expresión de Lorentz, la fuerza que ejerce el campo 
electromagnético sobre una carga puntual q que se mueve con una velocidad vr es 
)( BvqEqF
rrrr
×+= . El trabajo realizado por unidad de tiempo por esta fuerza, es decir, la 
potencia absorbida por la carga es vEqvBvqvEqvF rrrrrrrrr
⋅=⋅×+⋅=⋅ )( , ya que 0)( =⋅× vBv rrr . 
Si en vez de una carga puntual tuviéramos una distribución continua de carga de densidad ρ , 
la potencia absorbida por la carga dVρ sería dVEJdVvE
rrrr
⋅=⋅ ρ , y la potencia absorbida 
por las cargas contenidas en un volumen V sería 
 
dVEJP
V∫ ⋅=
rr
 
 
 
 
 
(8.1)
 
Esta potencia representa la conversión de energía electromagnética en energía mecánica. 
Según el principio de conservación de la energía, a esta conversión debería corresponder un 
decrecimiento de la energía electromagnética almacenada en el volumen V, un aporte externo 
de energía o ambas cosas a la vez. Para analizar este balance escribiremos (8.1) en función de 
los campos exclusivamente. Eliminando la densidad de corriente J
r
 mediante la ley de 
Ampere-Maxwell 
t
DJH
∂
∂
+=×∇
r
rr
, obtenemos 
 
dV
t
DEHEdVEJ
VV ∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
⋅−×∇⋅=⋅
r
rrrrr
 
 
 
 
(8.2)
 
Utilizando la identidad vectorial ( ) HEEHHE
rrrrrr
×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇ y la ley de Faraday 
t
BE
∂
∂
−=×∇
r
r
 escribimos (8.2) de la forma 
 
( ) dV
t
BH
t
DEHEdVEJ
VV ∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅+×⋅∇−=⋅
r
r
r
rrrrr
 
 
 
 
(8.3)
 
Por último, aplicando el teorema de la divergencia a la primera integral del segundo miembro 
de (8.3), llegamos a la expresión 
 
 23
dV
t
BH
t
DEdanHEdVEJ
VSV ∫∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅−⋅×−=⋅
r
r
r
rrrrrr
 
 
 
 
(8.4)
 
en donde nr es el vector normal unitario dirigido hacia el exterior de V. Esta ecuación recibe 
el nombre de teorema de Poynting; su interpretación, como veremos seguidamente, se 
fundamenta en el principio de conservaciónde la energía. 
 En primer lugar, para analizar el significado del término dV
t
BH
t
DE
V∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅
r
r
r
r
 
vamos a considerar la situación en que el volumen V está cerrado por una superficie S infinita. 
En ese caso, dado que los campos se propagan a una velocidad finita, tanto E
r
 como H
r
 son 
nulos sobre S y, en consecuencia, también lo es la integral de superficie ∫ ⋅×
S
danHE rrr
. El 
teorema de Poynting queda de la forma 
 
dV
t
BH
t
DEdVEJ ∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅−=⋅
r
r
r
rrr
 
 
 
 
(8.5)
 
donde las integrales están extendidas a todo el espacio. Si, tal como se dijo al comienzo de 
este apartado, el primer término de (8.5) representa el trabajo por unidad de tiempo efectuado 
por los campos sobre las cargas, el segundo término deberá interpretarse como la 
disminución, por unidad de tiempo, de la energía almacenada en los campos. 
 Podemos llegar a esta misma interpretación partiendo desde un punto de vista diferente. 
Consideremos que los medios son lineales en sus propiedades eléctricas y magnéticas. En ese 
caso, se tiene: 
 
t
H
t
E
t
HH
t
EE
t
BH
t
DE
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅=
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅
22
2
1
2
1
rrr
r
r
r
r
r
r
r
µεµε 
 
 
 
(8.6)
 
con lo que 
 
dVHE
t
dV
t
BH
t
DE
VV ∫∫ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
∂
∂
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅ 22
2
1
2
1 rr
r
r
r
r
µε 
 
 
 
(8.7)
 
Sabemos que los términos dVE
V∫
2
2
1 r
ε y dVH
V∫
2
2
1 r
µ representan las energías 
electrostática y magnetostática, respectivamente, contenidas en el volumen V. Por tanto, si 
admitimos que esta interpretación es también válida para campos variables con el tiempo, el 
segundo miembro de (8.7) indicará con qué velocidad varía la energía contenida en V. Esta 
variación será negativa si, como en (8.4), la integral de volumen está precedida de un signo 
menos. 
 Finalmente, en concordancia con el principio de conservación de la energía, debemos 
interpretar que ∫ ⋅×−
S
danHE rrr
 es flujo de energía que por unidad de tiempo atraviesa la 
superficie límite S en dirección hacia V para compensar las pérdidas en las cargas y la 
disminución de la energía contenida en los campos. 
Al vector 
 
 24
HES
rrr
×= 
 
 
 
 
(8.8)
 
se le denomina vector de Poynting. En principio, cabría interpretar S
r
 como el flujo de 
energía por unidad de tiempo y superficie transportado por los campos. Sin embargo, tal 
interpretación resulta arbitraria debido a que siempre será posible construir un nuevo vector 
FSS
rrr
×∇+=′ , en donde F
r
 es un campo vectorial cualquiera, de manera que 
 
( ) ∫∫∫∫∫∫ ⋅=×∇⋅∇+⋅=⋅×∇+⋅=⋅′
SVSSSS
danSdVFdanSdanFdanSdanS rrrrrrrrrrr
 
 
 
 
 
(8.9)
 
ya que ( ) 0=×∇⋅∇ F
r
 cualquiera que sea F
r
. En vista de que tanto S
r
 como S ′
r
 contribuyen 
de igual manera al flujo total cabría preguntarse cuál de ellos debe interpretarse como flujo de 
energía por unidad de tiempo y superficie. En realidad no hay una respuesta a esta cuestión, 
cualquiera de los dos sería un candidato aceptable para tal interpretación. De hecho, lo único 
que tiene un significado claro es el flujo total a través de S, no su densidad. No obstante, por 
convenio, se suele admitir que HES
rrr
×= representa el flujo de potencia por unidad de 
superficie. 
 
9. Teorema de unicidad para las ecuaciones de Maxwell 
 
 El teorema de Poynting nos permite establecer de forma muy simple las condiciones 
que han de satisfacerse para que los campos ( )trE ,r
r
 y ( )trH ,r
r
 sean soluciones únicas a las 
ecuaciones de Maxwell dentro de una región V delimitada por la superficie S. Consideraremos 
que la densidad de corriente total proviene de la densidad de corriente de conducción, 
EJ
rr
σ= , y de la posible existencia de fuentes interiores a V, cuyo aporte a la densidad de 
corriente, ( )trJ i ,r
r
, está prescrito en el problema. Por simplicidad supondremos que el medio 
es isótropo y lineal, y está caracterizado por las constantes dieléctricas ε y µ que, en 
general, serán funciones del punto. En realidad, las conclusiones a las que lleguemos serán 
también válidas para medios más generales que los descritos anteriormente. Sean ( )trE ,1
rr
, 
( )trH ,1
rr
 y ( )trE ,2
rr
, ( )trH ,2
rr
 dos soluciones a las ecuaciones de Maxwell que son idénticas en 
todos los puntos de V en el instante 0=t . Deseamos encontrar el mínimo número de 
condiciones a imponer sobre la superficie S que nos aseguren que las dos soluciones 
permanecen siendo idénticas para todo instante 0>t . 
 En virtud de la linealidad de las ecuaciones de Maxwell (excluimos todo tipo de 
materiales no lineales, como los ferromagnéticos...) el campo obtenido por la diferencia entre 
los anteriores, 12 EEE
rrr
−= y 12 HHH
rrv
−= satisface las ecuaciones 
 
 0=⋅∇ D
r
 E
t
DH
r
r
r
σ=
∂
∂
−×∇ 
 0=⋅∇ B
r
 0
r
r
r
=
∂
∂
+×∇
t
BE 
 
 
 
(9.1)
 
La expresión del teorema de Poynting para estos campos es 
 
 25
( )∫∫∫ ⋅×−=+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
∂
∂
SVV
danHEdVEdVHE
t
rrrr
rr
2
22
22
σµε 
 
 
 
(9.2)
 
Podemos conseguir que la integral de superficie se anule si exigimos que 0
rrr
=× nE , o bien, 
0
rrr
=× nH (no necesariamente las dos). De esa manera el vector de Poynting HE
rr
× no tendrá 
componente normal sobre la superficie S. En ese caso tendremos 
 
∫∫ −=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
∂
∂
VV
dVEdVHE
t
2
22
22
r
rr
σµε 
 
 
 
(9.3)
 
El miembro de la derecha de la ecuación (9.3) es siempre negativo y, por tanto, la integral de 
volumen de la izquierda define una función decreciente en el tiempo. Como en 0=t 
habíamos exigido que 0
rrr
== HE , debe ocurrir que 
 
∫ >≤⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
V
tdVHE 0para ,0
22
22
rr
µε 
 
 
 
(9.4)
 
Evidentemente, dado que el integrando es siempre positivo o nulo, la única posibilidad es que 
0
rrr
== HE para todo instante 0>t , es decir, ( ) ( )trEtrE ,, 21
rrrr
= y ( ) ( )trHtrH ,, 21
rrrr
= . 
 En resumen, los campos eléctrico y magnético están unívocamente determinados en un 
recinto, si se conocen sus valores iniciales en todo el recinto y el valor de la componente 
tangencial del campo eléctrico o del campo magnético en toda la superficie que limita al 
recinto. 
 El recinto V podría ser el exterior a un conjunto de superficies iS aisladas, dado que 
para cerrar V siempre sería posible tomar una superficie esférica suficientemente alejada de 
las fuentes como para que los campos fueran nulos por no haber llegado a ella en cualquier 
instante finito de tiempo. En ese caso, la condición de conocer los campos eléctrico y 
magnético en todo el recinto V en 0=t y las componentes tangenciales sobre S de uno de 
ellos, es excesiva; para conocer el campo en el instante t en un punto rr bastaría con conocer 
los campos en 0=t en todos los puntos de V que están dentro de la esfera de centro en rr y 
radio ct . 
 
 
 
10. Dependencia armónica con el tiempo. El teorema de 
Poynting complejo. 
 
 Una situación muy frecuente se presenta cuando la variación de los campos con el 
tiempo es de tipo armónico. En ese caso resulta útil expresar esta dependencia haciendo uso 
de la exponencial compleja tje ω , de manera que la derivada de cualquier magnitud con este 
tipo de variación temporal resulta equivalente a multiplicar a ésta por ωj . Los campos 
eléctrico y magnético reales se pueden escribir en función de tje ω como 
 
 26
( ) ( )[ ] ( ) ( )( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )( )tjtjtj
tjtjtj
erHerHerHtr
erEerEerEtr
ωωω
ωωω
−∗
−∗
+==
+==
rrrrrrrr
rrrrrrrr
2
1Re,
2
1Re,
 
 
 
 
 
(10.1)
 
 A fin de evitar confusión se ha adoptado la notación ( )tr ,r
r
, ( )tr ,r
r
, ( )tr ,r
r
 etc. para 
las magnitudes reales, dependientes de la posición y del tiempo, y ( )rE rr , ( )rH rr
, ( )rJ rr , etc. 
para las complejas, que sólo dependen de la posición. Esta diferenciación sólo se tendrá en 
cuenta cuando en el mismo contexto coexistan ambostipos de magnitudes. 
 Para las expresiones en forma de producto, tales como ( ) ( )trtr ,, rrrr
⋅ se tiene 
 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]tj
tjtjtjtj
erErJrErJ
erEerEerJerJtrtr
ω
ωωωω
2Re
2
1
4
1,,
rrrrrrrr
rrrrrrrrrrrr
⋅+⋅=
=+⋅+=⋅
∗
−∗−∗
 
 
 
 
 
(10.2)
 
El promedio temporal de esta cantidad es 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]rErJtrtr
t
rrrrrrrr
⋅=⋅ ∗Re
2
1,, 
 
 
 
(10.3)
 
ya que 02 =
t
tje ω . 
 Introduciendo las expresiones de los campos y las fuentes con dependencia temporal 
armónica en las ecuaciones macroscópicas de Maxwell (3.6) y eliminando el factor común 
tje ω (o tje ω− para las ecuaciones que relacionan los campos conjugados), se llega a las 
ecuaciones Maxwell en el dominio de la frecuencia 
 
 ρ=⋅∇ D
r
 JDjH
rrr
=−×∇ ω 
 0=⋅∇ B
r
 0=+×∇ BjE
rr
ω 
 
 
 
 
(10.4)
 
En estas expresiones, tanto los campos como las fuentes son funciones complejas que 
dependen de la posición, pero no del tiempo. 
 A continuación vamos a analizar el principio de conservación de la energía (teorema de 
Poynting) para campos de tipo armónico. En primer lugar consideraremos la cantidad 
 
dVEJ
V∫ ⋅∗
rr
2
1 
 
 
 
(10.5)
 
cuya parte real es el promedio temporal de la potencia absorbida por las cargas. Sustituyendo 
∗J
r
 por su expresión en función de los campos a través de la ecuación de Ampere-Maxwell y 
teniendo en cuenta la relación vectorial ( ) ∗∗∗ ×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇ HEEHHE
rrrrrr
 y la ecuación 
de Faraday, 0=+×∇ BjE
rr
ω , llegamos a la ecuación 
 
( ) ( )dVDEHBjdVHEdVEJ
VVV ∫∫∫ ∗∗∗∗ ⋅−⋅−×⋅∇−=⋅
rrrrrrrr
22
1
2
1 ω 
 
 
 
(10.6)
 27
 
Aplicando el teorema de la divergencia a la expresión anterior obtenemos 
 
( ) dVDEHBjdanHEdVEJ
VSV ∫∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⋅
−
⋅
−⋅×−=⋅
∗∗
∗∗
44
2
2
1
2
1
rrrr
rrrrr
ω 
 
 
 
(10.7)
 
Esta expresión es conocida como teorema de Poynting complejo. Debido a la aparición de 
términos imaginarios, su interpretación es algo más complicada que la del teorema de 
Poynting real. Para analizar su significado supondremos que el medio es lineal. 
 En primer lugar, las partes reales de las integrales 
 
dVHB
V∫
∗⋅
4
rr
 dVDE
V∫
∗⋅
4
rr
 
 
 
 
(10.8)
 
son las energías eléctrica y magnética almacenadas en el volumen V. Para convencernos de 
ello consideraremos el caso especial en el que el medio sea lineal no tenga pérdidas. En esa 
situación, según veremos en detalle en el apartado 11, las constantes dieléctricas son reales, 
de manera que ED
rr
ε= y HB
rr
µ= . Entonces, las partes reales de las integrales de (10.8) 
quedan de la forma 
 
( ) ( )
( ) ( )
t
VVVe
t
VVVm
dVtrtrdVEEdVDEW
dVtrtrdVHHdVHBW
∫∫∫
∫∫∫
⋅=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ⋅=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ ⋅
=
⋅=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ⋅=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ ⋅
=
∗
∗
∗
∗
,,
22
Re
2
1
4
Re
,,
22
Re
2
1
4
Re
rrrrrr
rr
rrrrrr
rr
εε
µµ
 
 
 
 
 
(10.9)
 
donde se ha tenido en cuenta que el promedio temporal de un producto de campos que varían 
armónicamente con el tiempo es igual a la mitad de la parte real del producto del campo por 
su conjugado (expresión (10.3)). Según vimos en el apartado 6, los términos de la derecha de 
(10.9) representan las energías magnética y eléctrica almacenadas en los campos con una 
dependencia arbitraria con el tiempo que, en particular, puede ser armónica, lo que confirma 
la suposición que hicimos anteriormente. Esta interpretación sigue siendo válida incluso 
cuando el medio presenta pérdidas, en cuyo caso las constantes dieléctricas ε y µ de (10.9), 
que ahora serían cantidades complejas de la forma εεε ′′−′= j y µµµ ′′−′= j , deben ser 
reemplazadas por sus partes reales ε ′ y µ′ . Supondremos, además, que existe una relación 
lineal entre la corriente y el campo eléctrico dada por la ley de Ohm EJ
rr
σ= , donde σ es la 
conductividad del medio. 
 Desdoblemos ahora la ecuación (10.7) en sus partes real e imaginaria. Para la parte real 
tenemos 
 
( ) ( ) dVEEdVEEHHdanHE
VVS ∫∫∫ ⋅+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⋅′′+
⋅′′=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −⋅× ∗
∗∗
∗
rr
rrrr
rrr
σεµω
2
1
4422
1Re 
 
 
 
(10.10)
 
y para la parte imaginaria 
 
 28
( ) ( ) dVEEHHdanHE
VS ∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⋅′−
⋅′=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −⋅×
∗∗
∗
44
2
2
1Im
rrrr
rrr
εµω 
 
 
 
(10.11)
 
La ecuación (10.10) establece que el promedio de la potencia electromagnética transmitida a 
través de una superficie cerrada S hacia V es igual al promedio de las pérdidas de potencia 
debidas a las fuerzas de "fricción" (introducidas fenomenológicamente para dar cuenta de 
efectos como la radiación, colisiones entre átomos, etc.) que se oponen al movimiento de las 
cargas cuando se establece una polarización alterna de los átomos o moléculas, más el 
promedio de las pérdidas producidas por la corriente EJ
rr
σ= , que se traducen en un 
calentamiento del medio por efecto Joule. Nótese que la segunda integral de volumen en 
(10.10) podría quedar integrada en la primera si considerásemos una permitividad compleja 
de la forma ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +′′−′=
ω
σεεε j . Esta ecuación muestra que para preservar el principio de 
conservación de la energía ε ′′ y µ ′′ deben ser positivas, esto es, que las partes imaginarias de 
ε µ deben ser negativas. Por su parte, la ecuación (10.11) establece un balance instantáneo 
de energía para que no se viole el principio de conservación de la misma en ningún instante 
de tiempo. Esta ecuación muestra que la parte imaginaria del flujo de energía es igual a dos 
veces la energía reactiva em WW − almacenada en los campos eléctrico y magnético en V. Al 
vector ∗×= HES
rr
 se le denomina vector de Poynting complejo. Según lo visto 
anteriormente, podemos interpretar que ( ) [ ]S
r
Re21 es el promedio temporal de la potencia 
por unidad de superficie que transportan los campos electromagnéticos. 
 Para concluir este apartado mencionaremos que es frecuente referirse a (10.4) como las 
ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia. La justificación de esta denominación 
está en que éstas son las ecuaciones que se deducen de aplicar la transformada de Fourier a las 
ecuaciones de Maxwell en el dominio del tiempo. Esto se puede comprobar fácilmente 
teniendo en cuenta que la operación t∂∂ en el dominio del tiempo equivale a una 
multiplicación por ωj en el dominio de la frecuencia. Las fuentes y campos complejos que 
aparecen en (10.4) deben ser considerados ahora como las transformadas de Fourier de las 
fuentes y campos verdaderos. 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) dtetrrJ
dtetrr
dtetrrH
dtetrrE
tj
tj
tj
tj
ω
ω
ω
ω
ω
ωρ
ω
ω
−∞+
∞−
−∞+
∞−
−∞+
∞−
−+∞
∞−
∫
∫
∫
∫
=
=
=
=
,,
,ρ,
,,
,,
rrrr
rr
rrrr
rrrr
 
 
 
 
 
(10.12)
 
Normalmente, la eliminación de la dependencia temporal simplifica notablemente la 
resolución de las ecuaciones de Maxwell, por ello suele ser preferible trabajar en el dominio 
de la frecuencia y posteriormente, si fuera necesario, hallar los campos en el dominio del 
tiempo mediante la transformada de Fourier inversa, dada por 
 
 29
( ) ( )
( ) ( ) ωω
π
ωω
π
ω
ω
derHtr
derEtr
tj
tj
∫
∫
∞+
∞−
+∞
∞−
=
=
,
2
1,
,
2
1,
rrrr
rrrr
 
 
 
 
 
(10.13)
 
Las expresiones (10.13) muestran cómo una solución arbitraria de las ecuaciones de Maxwell 
en el dominio del tiempo puede ser considerada como una suma continua de soluciones con 
dependencia temporal armónica ( ) tjerE ωω,r
r
 y ( ) tjerH ωω,r
r
, cuyos campos complejos 
dependen de la posición y de la frecuencia. Ésta es una de las razones de la importancia que 
tiene el estudio de las soluciones con este tipo de dependencia temporal. 
 
11. Relaciones constitutivas 
 
 El tratamiento de los fenómenos electromagnéticos analizados hasta el momento está 
basado en las ecuaciones macroscópicas de Maxwell (3.6). Éstas constituyen un conjunto de 
ocho ecuaciones que relacionan las componentes de los cuatro campos, 
r
, 
r
, 
r
 y 
r
. Para 
poder resolver estas ecuaciones hace falta conocer las relacionesexistentes entre los campos 
derivados 
r
 y 
r
 y los campos fundamentales 
r
 y 
r
. Estas relaciones, conocidas con el 
nombre de relaciones constitutivas, deben tener en cuenta la posibilidad de que los campos 
derivados, en un instante t, dependan del los campos fundamentales en t y en instantes 
anteriores a t, es decir, que estén influidos por la historia anterior (dispersión temporal), como 
ocurre en la histéresis. Y no sólo eso, puede ocurrir también que el campo derivado, digamos, 
en un punto rr , dependa de los valores de los campos fundamentales en rr y en puntos 
adyacentes a rr (dispersión espacial). Por todo ello, las relaciones constitutivas, en el caso 
más general, no podrán ser simples funciones que liguen 
r
 y 
r
 con 
r
 y 
r
, sino que 
deberán ser funcionales. Así, escribiremos 
 
[ ]rrrr
,= y [ ]rrrr
,= 
 
 
 
 
(11.1)
 
donde se han utilizado corchetes para denotar las relaciones funcionales entre las magnitudes 
derivadas y las fundamentales. Además, para medios conductores debe considerarse la ley de 
Ohm generalizada: 
 
[ ]rrrr
,= 
 
 
 
 
(11.2)
 
Si los campos aplicados no son muy intensos muchos materiales exhiben un comportamiento 
lineal, es decir, la relación que liga el efecto (la polarización, la magnetización o la corriente) 
a la causa (los campos eléctrico y magnético) es lineal. Una relación lineal entre, por ejemplo, 
la polarización y el campo eléctrico (admitiendo que, en primera aproximación, 
rrr
+= 0ε ), establece una relación lineal entre el desplazamiento y éste último. Los 
medios lineales en los que el vector asociado al efecto siempre tiene la misma dirección que 
el campo aplicado se dice que son isótropos, en caso contrario, se dirá que el material es 
anisótropo. Muchos materiales, sobre todo cristales, manifiestan un comportamiento 
claramente anisotrópico. 
 30
 En general, salvo para sistemas con variación espacial del campo muy rápidas, los 
efectos de la dispersión espacial son de mucha menor importancia que los de la dispersión 
temporal. Por ello, analizaremos a continuación el fenómeno de la dispersión temporal para el 
campo eléctrico en medios lineales. Podemos suponer que la relación entre la componente α -
ésima (x, y o z) del desplazamiento y el campo eléctrico para un medio lineal genérico está 
dada por 
 
( ) ( ) ( )∑∫
+∞
∞−
−=
β
βα τττ drtrεtr αβ ,,, rrrrr
 
 
 
 
(11.3)
 
donde αβε son las componentes del tensor permitividad. Si el medio es isótropo el tensor 
permitividad es diagonal con todas sus componentes iguales a cierto valor ε . En ese caso 
escribiremos 
 
( ) ( ) ( ) ( )trdrtrtr ,,,, rrrrrrr
∗=−= ∫
+∞
∞−
ετττε 
 
 
 
 
(11.4)
 
Si tenemos en cuenta el principio de causalidad, según el cual el efecto en un instante t nunca 
puede depender de la causa en instantes posteriores a t, el vector desplazamiento ( )tr ,r
r
 sólo 
puede depender de la causa, el campo eléctrico, en instantes t≤τ . De aquí se desprende que 
( ) 0, =trrε para 0<t y, en consecuencia, (11.4) se reduce a 
 
( ) ( ) ( )∫ ∞−
−=
t
drtrtr τττε ,,, rrrrr
 
 
 
 
 
(11.5)
 
En el dominio de la frecuencia la relación anterior queda de la forma 
 
( ) ( ) ( )ωωεω ,,, rErrD rrrrr
= 
 
 
 
 
(11.6)
 
donde ( )ω,rD rr , ( )ω,rE rr y ( )ωε ,rr son las transformadas de Fourier de ( )tr ,r
r
, ( )tr ,r
r
 y 
( )tr ,rε , respectivamente. La forma en que ( )ωε ,rr varía con la frecuencia depende de las 
características propias del medio, sin embargo, el principio de causalidad impone ciertas 
restricciones sobre esta dependencia. En concreto, se puede demostrar (ver, por ejemplo, 
Jackson) las partes real e imaginaria de la permitividad compleja relativa, rrr jεεε ′′−′= , no 
son independientes, sino que están ligadas por lo que se conoce como relaciones de Kramers-
Krönig 
 
( ) ( )
( )∫
∞
′
−′
′′′′
+=′
0 22
,21, ω
ωω
ωεω
π
ωε d
r
r r
r
r
r 
 
 
 
(11.7)
( ) ( )
( )∫
∞
′
−′
′′−
=′′
0 22
,12, ω
ωω
ωε
π
ωωε drr r
r
r
r 
 
 
 
(11.8)
 
 De la relación (11.8) se deduce que rε ′′ es nula si y sólo si ( ) 1=′ ωε r para todo valor de 
ω . Ahora bien, la transformada de Fourier inversa de la función constante ( ) 1=′ ωε r es 
( ) ( )ttr δε = y, en ese caso, la relación (11.4) queda reducida a ( ) ( )trtr ,, 0
rrrr
ε= , que es la 
que se obtendría en ausencia de polarización, es decir, en ausencia de medio material alguno. 
 31
Vemos que, como cabría esperar, el único medio que carece totalmente de pérdidas es el 
vacío. 
 Un modelo sencillo que permite analizar las propiedades más importantes de la 
permitividad compleja supone que las moléculas o átomos que constituyen la materia forman 
pequeños dipolos cuando se les aplica un campo eléctrico. Como la masa del núcleo del 
átomo es mucho mayor que la de los electrones, podemos suponer que éste permanece 
estático y que son los electrones los que se desplazan por efecto del campo local. En general, 
el campo local, mE
r
, no coincide con el campo aplicado, E
r
, debido a la influencia que ejercen 
las moléculas cercanas al punto en consideración. No obstante, podemos suponer que el 
campo local está relacionado con el campo aplicado a través de una relación de la forma 
 
PvEEm
rrr
0ε
+= 
 
 
 
(11.9)
 
donde v es una constante que depende del tipo de dieléctrico que se considere. Así, el modelo 
de Lorentz (véase, por ejemplo, Fundamentos de la teoría electromagnética de Reitz, Milford 
y Christy) establece que en el caso de un dieléctrico no polar e isótropo 31=v . Para un 
metal, 0=v . Sin embargo, para nuestro modelo cualitativo no importa demasiado cuál sea el 
valor concreto que tome esta constante. 
 Supongamos que uno de estos electrones es sometido a un campo armónico local de la 
forma ( ) tj
m eEtE ω
0
rr
= experimentando un desplazamiento rr respecto de su posición de 
equilibrio. Como consecuencia de este desplazamiento aparece una fuerza restauradora que 
atrae al electrón hacia su posición original y que supondremos es lineal de la forma rm r
0ω− , 
donde m es la masa del electrón y πω 20 su frecuencia natural de oscilación. Además, desde 
un punto de vista fenomenológico, debemos introducir una fuerza de “fricción” dtrdm rγ− 
que dé cuenta de la pérdida de energía por efecto de las colisiones, la radiación, etc. La 
ecuación del movimiento de un electrón de carga q sometido a todas estas fuerzas es 
 
tjeEqr
dt
rd
dt
rdm ωωγ 0
2
02
2 rr
rr
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++ 
 
 
 
(11.10)
 
La solución estacionaria de esta ecuación es 
 
( )γωωω jm
Eq
r m
+−
−
= 22
0
r
r 
 
 
 
(11.11)
 
La contribución al momento dipolar debida al desplazamiento de este electrón es 
 
( )γωωω jm
Eq
rqp m
+−
=−= 22
0
2
r
rr 
 
 
 
(11.12)
 
Supongamos ahora que hay Z electrones en una molécula. Si, en vez de una única frecuencia 
de oscilación 0ω y una única constante de amortiguamiento γ , hay if electrones con 
frecuencias de oscilación iω y constantes de amortiguamiento iγ , entonces el momento 
dipolar molecular será 
 32
 
( )∑ +−
=
i ii
im
j
f
m
Eq
p
ωγωω 22
2
r
r 
 
 
 
(11.13)
 
donde Zf
i
i =∑ . 
 Consideremos ahora que N representa el número de moléculas por unidad de volumen, 
entonces, si todas ellas están igualmente polarizadas, el vector macroscópico pNP rr
= estará 
dado por 
 
( )∑ +−
=
i ii
im
j
f
m
Eq
NP
ωγωω 22
2
r
r
 
 
 
 
(11.14)
 
Admitamos ahora que existe una relación lineal entre el campo eléctrico aplicado E
r
 y la 
polarización P
r
de la forma 
 
EP
rr
χ= 
 
 
 
 
(11.15)
 
Sabiendo que ( )EPED
rrrr
χεε +=+= 00 , deducimos que permitividad compleja relativa estará 
dada por 01 εχε +=r . Comparando la expresión (11.14) con (11.15) se deduce que 
 
( )∑ +−
=
i ii
im
j
f
m
Eq
NE
ωγωω
χ 22
2
r
r
 
 
 
 
(11.16)
 
y, teniendo en cuenta (11.9) se establece la relación 
 
( )∑ +−
=
+ i ii
i
j
f
m
qN
v ωγωωεχ
χ
22
2
01
 
 
 
 
(11.17)
 
Sustituyendo ( )10 −= rεεχ en la expresiónanterior, obtenemos 
 
( ) ( )∑ +−
=
−+
−
i ii
i
r
r
j
f
m
Nq
v ωγωωεε
ε
22
0
2
11
1 
 
 
 
(11.18)
 
Escribiendo mNqp 0
22 εω = y despejando rε de la ecuación anterior, obtenemos 
 
( )
( )∑
∑
+−
−
+−
+=
i ii
i
p
i ii
i
p
r
j
fv
j
f
ωγωω
ω
ωγωω
ω
ε
22
2
22
2
1
1 
 
 
 
 
(11.19)
 
 33
Esta expresión resulta bastante complicada, sin embargo, para materiales con permitividades 
relativas cercanas a la unidad el denominador de (11.19) es casi la unidad y rε queda de la 
forma 
 
( )∑ +−
+=′′−′=
i ii
i
prrr j
fj
ωγωω
ωεεε 22
21 
 
 
 
(11.20)
 
La parte real de esta expresión es 
 
( )
( ) ( )∑
+−
−
+=′
i ii
ii
pr
f
2222
22
21
ωγωω
ωω
ωε 
 
 
 
(11.21)
 
y la parte imaginaria 
 
( ) ( )∑
+−
=′′
i ii
ii
pr
f
2222
2
ωγωω
ωγ
ωε 
 
 
 
(11.22)
 
En líneas generales podemos decir que las constantes de amortiguamiento iγ suelen ser 
pequeñas en comparación con las frecuencias de resonancia iω . Esto significa que 
ii ωγωω >>− 22 y, en consecuencia, rr εε ′′>>′ a frecuencias no demasiado cercanas a las 
frecuencias de resonancia. El comportamiento típico de las partes real e imaginaria de la 
permitividad en función de la frecuencia se muestra en la figura 4. 
 
1 2 3 4
0.5
1
1.5
2
 
 
Figura 4 
 
Las regiones en las que la inclinación de la curva representativa de rε ′ es positiva se 
denominan de dispersión normal, mientras que las de inclinación negativa son las llamadas de 
dispersión anómala. En general, vemos que la parte imaginaria de la permitividad, rε ′′ , es 
muy pequeña excepto para las frecuencias cercanas a las de resonancia, en donde alcanza 
valores comparables a los de rε ′ . Es en esos intervalos de frecuencia, llamados de absorción 
resonante, en donde se produce una absorción importante de la energía contenida en el campo 
y disipada en el medio en forma de calor. 
 
rε ′′ 
rε ′