Ecuaciones de maxwell en la invención de la relatividad especial

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Resumen –– El objetivo de este trabajo es ilustrar la forma 
como las ecuaciones de Maxwell suscitaron una serie de 
preguntas y presentaron anomalías en su comportamiento 
matemático que fueron incapaces de integrarse 
coherentemente al antiguo marco de conceptos y leyes de la 
física clásica. Este hecho ilustra elocuentemente la 
afirmación de Kuhn y de Popper, del papel dinámico que 
juegan los descubrimientos incapaces de ser asimilados en 
las teorías convencionales hasta entonces vigentes, 
incapacidad que empuja a los investigadores a crear una 
nueva teoría en que los nuevos hechos se integren 
armoniosamente. Usualmente en los cursos convencionales 
de electromagnetismo de los primeros semestres no se llega 
a discutir el papel heurístico que jugaron las ecuaciones de 
Maxwell en la invención de la Teoría Especial de la 
Relatividad, en otras palabras fueron las mismas 
ecuaciones elaboradas dentro del marco de la antigua física 
las que suscitaron, entre otros factores de tipo 
experimental, la emergencia de una nueva física. 
 
Palabras Clave – Ecuaciones de Maxwell, Relatividad 
especial 
 
Abstract: The objective of this work is to illustrate how 
Maxwell's equations raised a series of questions and 
presented anomalies in its mathematical behavior that were 
unable to coherently integrate with the ancient framework 
of concepts and laws of classical physics. This fact 
eloquently illustrates the assertion of Kuhn and Popper, of 
the dynamic role played by discoveries incapable of being 
assimilated into conventional theories hitherto in force, an 
inability that pushes researchers to create a new theory in 
which new facts are harmoniously integrated. Usually, in 
the conventional electromagnetism courses of the first 
semesters, the heuristic role played by Maxwell's equations 
in the invention of the Special Theory of Relativity was not 
discussed, in other words, they were the same equations 
elaborated within the framework of the old Physics that 
caused, among other experimental factors, the emergence of 
a new physics. 
 
Keywords ––Maxwell's equations, Special Theory of 
Relativity 
 
I. INTRODUCCIÓN 
 El objetivo de este trabajo es ante todo didáctico, es 
decir, que los alumnos del primer curso de Electricidad y 
Magnetismo tengan una idea lo más clara posible de 
cómo las ecuaciones de Maxwell dieron lugar, entre 
otros factores, al nacimiento de la teoría especial de la 
relatividad. Para ello en primer lugar se hace un breve 
recuento histórico de cómo la invención de la pila de 
Volta abrió un campo inesperado de temas de 
investigación al permitir generar corrientes continuas en 
comparación a las breves descargas eléctricas del primer 
período de la electrostática [1]. Estas corrientes 
continuas dieron lugar a la observación de muchos 
fenómenos hasta entonces nunca vistos [2], entre ellos, 
la oportunidad de que Oersted observara la creación de 
un campo magnético alrededor de una línea de corriente: 
posteriormente, Ampere dio forma matemática a este 
fenómeno. Si las corrientes daban lugar a la creación de 
campos magnéticos la pregunta inversa casi obvia para 
muchos investigadores fue si los campos magnéticos 
podían también generar efectos eléctricos. Faraday dio 
una respuesta positiva a esta pregunta al establecer su 
famosa ley de Inducción. Sin embargo en el siglo XVIII 
todo el cúmulo de observaciones sobre la electricidad y 
el magnetismo se encontraban más o menos 
desconectados formalmente. Correspondió a Maxwell 
darles una unidad matemática en sus también famosas 
leyes, sin embargo su aportación no solo consistió en 
darles una unidad coherente a estos saberes dispersos, 
sino que hizo una aportación memorable con su 
propuesta de la corriente de desplazamiento la cuál 
remediaba una inconsistencia en la ley de Ampere. Lo 
que hay que subrayar es que en la formulación de la 
corriente de desplazamiento aparecían por primera vez 
unidas la permitividad eléctrica y la permeabilidad 
magnética. ¿De qué manera es que a Maxwell se le 
ocurrió formular a esta nueva corriente jamás observada? 
No lo sabremos jamás, su génesis pertenece a la 
insondable forma mental de operar que poseen los 
genios, pero lo cierto es que esta unión tuvo formidables 
consecuencias tal como se mostrará más adelante. 
En este trabajo operamos con las leyes de Maxwell tal 
como parecen en su forma integral actual, aplicando los 
teoremas de Gauss y de Stokes las convertimos a su 
forma diferencial [3]. Luego, recurriendo a una identidad 
vectorial analizamos el comportamiento de estas 
ecuaciones en el vacío para desembocar, en una forma 
sencilla muy accesible a los estudiantes del 3er semestre 
de física, en las ecuaciones de onda tanto para el campo 
eléctrico como para el magnético. 
El papel de las ecuaciones de Maxwell en la invención de la Relatividad 
Especial 
 
José Antonio Peralta y Litzy Quintanilla Vázquez 
Departamento de Física, ESFM-IPN, México D.F., México 
Teléfono (55) 5729-6000 Ext. 55007 E-mail: peralta@esfm.ipn.mx 
 
Establecidas las ecuaciones de onda, intentamos escapar 
del puro mundo de la abstracción matemática en que se 
pueden convertir a menudo las manipulaciones 
matemáticas, para extraer sus consecuencias con respecto 
al papel que las ecuaciones de onda jugaron como 
instrumento heurístico en el tránsito a una nueva física. 
II. LA PILA DE VOLTA 
 Si puede haber justicia en calificar a Faraday 
(1791-1867) como el físico experimental más destacado 
del siglo XIX [2], lo cierto es que también se le puede 
atribuir a Volta (1745-1827) la invención en 1800 del 
instrumento más sencillo, más barato y que más 
repercusiones tuvo en el siglo XIX en el descubrimiento 
de una gran variedad de fenómenos eléctricos, 
magnéticos e incluso termodinámicos. En general para 
acceder a nuevos ámbitos en el comportamiento de la 
naturaleza es necesario disponer de sofisticados aparatos 
que nos permitan ampliar la capacidad de nuestros 
sentidos, tales son el microscopio o el telescopio, así 
como otros más que sería largo de enumerar. En 
comparación de ellos la pila de Volta [1] es solo eso, una 
pila de placas de diferentes metales entre los cuáles hay 
intercalado trapo o papel mojado en un líquido 
conductor. Pero este sencillo arreglo de placas apiladas, 
repetimos, permitió a Volta obtener no solo descargas de 
electricidad de corta duración, tal como hasta entonces 
ocurría con la botella de Leyden u otro tipo de 
condensadores, sino descargas continuas de corriente 
durante relativamente largo tiempo que permitió el paso 
trascendental de la electrostática a la electrodinámica. La 
duración de la corriente dependía de las combinaciones 
de metales usados así como del número de placas 
intercaladas, sin embargo, otro hecho que debe ser 
tomado en cuenta en honor de Volta es que no mantuvo 
en secreto la construcción de su invento, sino que una 
vez asegurado de su funcionamiento se apresuró a enviar 
a la Real Sociedad de Londres una comunicación en que 
describía minuciosamente los pasos a seguir para 
construir este artefacto. Se comprende que luego de 
hacer público su descubrimiento, por múltiples 
laboratorios de Europa se comenzaron a construir pilas y 
a comenzar a investigar sus variados efectos tales como 
la producción de calor, el efecto Seebeck en el que 
calentando la unión de 2 metales diferentes se obtiene 
una diferencia de potencial en sus extremos sueltos, o el 
efecto Peltier [4] en el que aplicando corriente en los 
extremos sueltos de un par de alambres diferentes se 
logra enfriar o calentar la unión dependiendo de la 
dirección de la corriente; asimismo, con la corriente se 
hizo posible analizar el fenómeno de la electrolisis que 
permitió descomponer a las moléculas para aislar los 
átomos con los cuáles estaba formada, permitiendo así 
avanzaren el estudio de las reacciones químicas. 
En pocas palabras: la pila de Volta, pese a la extrema 
sencillez de su construcción, fue un detonador de 
múltiples descubrimientos en diferentes campos de la 
naturaleza y la tecnología, y tal vez en la historia de la 
ciencia ningún artefacto se le pueda comparar en que a 
tan bajo costo y con una construcción tan sencilla haya 
sido tan rico en descubrimientos experimentales de tan 
variada cualidad [2]. 
III. LAS ECUACIONES DE MAXWELL 
 Pero el efecto que debemos destacar en función del 
objetivo de este trabajo es que la posibilidad de generar 
corrientes sostenidas en un alambre conductor permitió 
crear líneas de campo magnético en su derredor; estos 
campos se intensificaron y adquirieron configuraciones 
regulares en el interior de una bobina con corriente, esto 
a su vez permitió estudiar los fenómenos de inducción de 
una bobina con corriente sobre otra bobina cercana. 
En suma, gracias a la generación de corriente, esto es, de 
la acción de campos eléctricos en el interior de un 
material conductor, se pudo generar a placer líneas de 
campo magnético con diferentes configuraciones. Todos 
estos diferentes efectos del campo eléctrico y del campo 
magnético, registrados por Oersted, Arago, Ampere, 
Faraday [2], y otros ilustres investigadores fueron 
sintetizados por Maxwell en un número muy pequeño de 
ecuaciones [5] las cuáles actualmente aparecen en su 
forma integral como: 
∮ �⃗� ∙ 𝑑𝐴 =
𝑞
𝜀0
 (1) 
∮ �⃗� ∙ 𝑑𝐴 = 0 (2) 
∮ �⃗� ∙ 𝑑𝑆 = −
𝑑Φ𝐵
𝑑𝑡
 (3) 
∮ �⃗� ∙ 𝑑𝑆 = 𝜇0𝑖 +
1
𝑐2
𝜕
𝜕𝑡
∫ �⃗� ∙ 𝑑𝐴 (4) 
Aplicando los teoremas de Gauss y de Stokes podemos 
convertir estas ecuaciones a su forma diferencial: 
𝛁 ∙ 𝑬 =
𝜌
𝜀0
 (5) 
𝛁 ∙ 𝑩 = 0 (6) 
𝛁 × 𝑬 = −
𝜕𝑩
𝜕𝑡
 (7) 
𝛁 × 𝑩 = 𝜇0𝑱 + 𝜇0𝜀0
𝜕𝑬
𝜕𝑡
 (8) 
IV. FUNCIÓN DE ONDA Y ECUACIÓN DE ONDA 
 Una onda es una perturbación que se desplaza 
sobre un medio [3], si la perturbación es y desplazándose 
a velocidad constante c en la dirección x, entonces 
adoptará la expresión: 
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦(𝑥 ± 𝑐𝑡) (9) 
Ecuación de onda 
Si hacemos que 𝛼 = 𝑥 ± 𝑐𝑡 entonces al derivar la 
expresión (9) con respecto a “x” tendremos que: 
𝜕𝑦
𝜕𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝛼
𝜕𝛼
𝜕𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝛼
 (10) 
Si derivamos nuevamente: 
𝜕2𝑦
𝜕𝑥2 =
𝑑2𝑦
𝑑𝛼2 (11) 
Derivemos ahora con respecto a “t” de la misma manera: 
𝜕𝑦
𝜕𝑡
=
𝑑𝑦
𝑑𝛼
𝜕𝛼
𝜕𝑡
= ±𝑐
𝑑𝑦
𝑑𝛼
 (12) 
𝜕2𝑦
𝜕𝑡2 = 𝑐2 𝑑2𝑦
𝑑𝛼2 (13) 
Por tanto: 
𝜕2𝑦
𝜕𝑡2 = 𝑐2 
𝜕2𝑦
𝜕𝑥2 (14) 
Esta será la ecuación para una onda y que se desplaza a 
los largo del eje x; cualquier perturbación que adopte 
esta expresión será una onda, siempre y cuando y(t) sea 
una perturbación periódica, y el coeficiente de la parcial 
segunda con respecto a la posición será su velocidad al 
cuadrado. 
V. LAS PERTURBACIONES DEL CAMPO ELÉCTRICO Y DEL 
MAGNÉTICO SE PROPAGAN COMO UNA ONDA 
Partimos de la identidad vectorial: 
𝛁 × (𝛁 × 𝑨) = 𝛁(𝛁 ∙ 𝑨) − 𝛁2𝑨 (15) 
Si la aplicamos en el vacío a las ecuaciones de Maxwell, 
dado que la divergencia de los campos E y B son nulos 
ya que no hay densidad de carga ni polos magnéticos, y 
como tampoco hay densidad de corriente tenemos que, 
sustituyendo las 4 ecuaciones de Maxwell en su forma 
diferencial: 
𝛁2𝑬 = 𝜇0𝜀0
𝜕𝑬
𝜕𝑡
 (16) 
𝛁2𝑩 = 𝜇0𝜀0
𝜕𝑩
𝜕𝑡
 (17) 
Si suponemos que el campo eléctrico así como el campo 
magnético solo son función de x, entonces las ecuaciones 
anteriores se convierten en: 
𝜕2𝐸
𝜕𝑡2
= 𝑐2 
𝜕2𝐸
𝜕𝑥2
 (18) 
𝜕2𝐵
𝜕𝑡2
= 𝑐2 
𝜕2𝐵
𝜕𝑥2
 (19) 
éstas ecuaciones son claramente ecuaciones de onda ya 
que son idénticas a la ecuación (14), por tanto, la 
variación de los campos eléctricos o magnéticos se 
desplazan en el vacío como una onda con velocidad: 
𝑐 =
1
√𝜇0𝜀0
 (20) 
donde: 
𝜇0 = 1.256637 × 10−6 𝑁 𝐴−2 (21) 
𝜀0 = 8.854187 × 10−12 𝐹 𝑚−1 (22) 
que son los valores reportados por el NIST. Dados los 
valores de 𝜇0 y 𝜀0 la velocidad resultante es de ¡300 000 
000 m/s! , esto es, la velocidad que ya se había medido 
de la luz [2], por tanto, Maxwell concluyó que la luz era 
una onda electromagnética. 
VI. LAS PREGUNTAS QUE SUSCITAN LAS 
ECUACIONES DE ONDAS 
a) El sistema de referencia. Toda velocidad se 
mide, desde el punto de vista la física clásica, 
con respecto a un sistema de referencia, por 
tanto una pregunta con respecto a la velocidad 
de la luz es con respecto a qué sistema de 
referencia se mide. 
b) Efecto Doppler. De acuerdo al efecto Doppler, 
si la fuente emisora de ondas se mueve con 
respecto a un observador su velocidad debe 
cambiar, por tanto, el movimiento de un 
detector de luz con respecto a una fuente de luz 
debe afectar la velocidad de las ondas. 
c) Comportamiento de los sistemas inerciales. 
Entre 2 sistemas en los cuales hay una 
velocidad relativa constante, de acuerdo al 
principio de Galileo de los sistemas inerciales, 
la forma de las ecuaciones matemática de las 
leyes físicas no debe cambiar. 
d) Los experimentos de Michelson y Morley 
mostraron que no había ningún cambio en la 
velocidad de la luz. 
VII. LAS RESPUESTAS A ESTAS PREGUNTAS DIERON 
LUGAR A LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL 
Sistema de referencia. La concepción tradicional que 
hasta entonces se había trabajado en la física es que todas 
las ondas conocidas eran perturbaciones que se 
desplazaban sobre un medio, el cuál servía como medio 
de referencia para asignarle un valor a la velocidad de 
las ondas. Para las ondas mecánicas los medios de 
trasmisión eran todos aquellos que fueran elásticos: el 
aire, el agua, los metales, el suelo, y la velocidad estaba 
determinada por las propiedades de estos medios: por su 
densidad, por su presión, por su tensión, por sus 
parámetros elásticos. Si el medio de propagación de la 
luz era el vacío, ya que su velocidad estaba determinada 
por sus valores de permitividad y su permeabilidad, una 
pregunta casi auto contradictoria era ¿cuál es el medio 
que ocupa al vació y que juega el papel de medio de 
referencia? La respuesta a esta pregunta entre muchos 
investigadores fue que era el “éter”, una sustancia de 
muy raras propiedades: sumamente sutil como para no 
impedir el desplazamiento de los objetos, y al mismo 
tiempo de gran rigidez, como para permitir altas 
velocidades de propagación. 
El efecto Doppler. Si la luz era una onda que se 
propagaba en un medio estático como lo era 
supuestamente el éter, un detector de luz que se moviera 
en relación a la fuente de luz debería detectar un cambio 
en su velocidad: aumentando si se acercaba a la fuente, 
disminuyendo si se alejaba de ella. Los cuidadosos 
experimentos de Michelson-Morley, con un 
extraordinario dispositivo diseñado ex profeso para 
detectar estos cambios de velocidad arrojaron resultados 
negativos: en todas las direcciones a que apuntaran los 
brazos del dispositivo la velocidad de la luz resultaba 
constante. 
Cambio de las expresiones matemáticas de la física en 
los diferentes sistemas inerciales. Si las medidas 
experimentales arrojaban medidas contradictorias, algo 
semejante ocurría con la expresión matemática de las 
ecuaciones de Maxwell como veremos enseguida. 
Para la expresión diferencial de la ley de Faraday en un 
sistema de ejes cartesianos tenemos que 
 
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝑦
−
𝜕𝐸𝑦
𝜕𝑧
= −
𝜕𝐵𝑥
𝜕𝑡
 (23) 
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝑥
−
𝜕𝐸𝑥
𝜕𝑧
= −
𝜕𝐵𝑦
𝜕𝑡
 (24) 
𝜕𝐸𝑦
𝜕𝑥
−
𝜕𝐸𝑥
𝜕𝑦
= −
𝜕𝐵𝑧
𝜕𝑡
 (25) 
Consideremos únicamente la expresión (25) el 
tratamiento será análogo para las otras dos expresiones, 
asípara un cálculo más sencillo supongamos que los 
campos dependen solamente de una coordenada espacial 
(la x) y del tiempo, entonces : 
𝜕𝐸𝑦
𝜕𝑥
= −
𝜕𝐵𝑧
𝜕𝑡
 (26) 
Para cambiar de sistema pasaremos de las variables (x, t) 
a las variables (x´, t´), realizando las transformadas de 
Galileo en este caso el tiempo es invariante, es decir t=t´, 
tiene el mismo valor en uno y otro sistema, para la 
coordenada espacial haremos uso de la regla de la cadena 
de la siguiente forma: 
𝜕𝐸𝑦
𝜕𝑥
=
𝜕𝐸𝑦
𝜕𝑥´
𝜕𝑥´
𝜕𝑥
+
𝜕𝐸𝑦
𝜕𝑡´
𝜕𝑡´
𝜕𝑡
 (27) 
Es importante mencionar que 𝑥´ = 𝑥 ± 𝑣𝑡 = 𝑥 ± 𝑣𝑡´, por 
lo tanto: 
𝜕𝐸𝑦
𝜕𝑥
=
𝜕𝐸𝑦
𝜕𝑥´
+
1
𝑣
𝜕𝐸𝑦
𝜕𝑡´
 (28) 
Sustituyendo (28) en (26) se obtiene [5]: 
𝜕𝐸𝑦
𝜕𝑥´
+
1
𝑣
𝜕𝐸𝑦
𝜕𝑡´
= −
𝜕𝐵𝑧
𝜕𝑡´
 (29) 
Nótese que hemos llegado a la ley de Faraday escrita en 
términos de las coordenadas del sistema (x´, t´) del 
observador O´: esta forma es claramente diferente a la 
vista en la ecuación 26! 
Si se realiza un análisis similar a cualquier otra de las 
ecuaciones de Maxwell en su forma diferencial se llegará 
a las mismas conclusiones, por lo que el principio de la 
conservación de las leyes físicas para diferentes sistemas 
inerciales no se cumple para las leyes del 
electromagnetismo [5]. 
VIII. EL NACIMIENTO DE LA TEORÍA DE LA 
RELATIVIDAD ESPECIAL 
Nos encontramos ante un caso típico, como los que 
describe Kuhn en su libro sobre la Estructura de las 
revoluciones científicas [6], cuando el descubrimiento de 
un nuevo hecho, tanto desde el punto de vista 
experimental como matemático, no se puede integrar 
coherentemente a la teoría hasta entonces dominante e 
impulsa a la necesidad de un cambio de paradigmas. 
Es claro que ni la teoría de Maxwell, ni los resultados 
experimentales tenían cabida dentro del marco de la 
física clásica. ¿Cuáles eran las exigencias planteadas por 
los nuevos hechos? En primer lugar que se explicara por 
qué la velocidad de la luz permanecía inalterada en 
cualquier dirección y con cualquier velocidad del 
receptor. En segundo, volver a recuperar la exigencia de 
que las leyes de la física se mantuvieran constantes en 
diferentes sistemas inerciales. 
Muchos renombrados físicos y matemáticos trataron de 
resolver estas anomalías, pero fue el genio de Einstein 
quien propuso una nueva teoría, la Relatividad Especial, 
que eliminó todas estas incoherencias [7]. En primer 
lugar la velocidad constante de la luz adquirió una 
posición de principio, con ello se tuvo que modificar 
radicalmente las antiguas nociones del espacio, del 
tiempo, de la masa y de la energía. No se sabe a ciencia 
cierta si fueron los resultados de Michelson-Morley, los 
que motivaron este cambio de propuestas teóricas, o si 
fueron las preguntas que suscitaron las ecuaciones 
matemáticas de Maxwell, respecto a las ondas, las que lo 
hicieron, pero es una realidad que casi sin esfuerzo 
(como lo indica el hecho de que unos cuanto meses del 
años de 1905 escribiera 5 maravillosos artículos [8], cada 
uno de los cuáles por sí mismos le habrían asegurado un 
papel destacado en la historia de la física) resolviera las 
paradojas que habían suscitado las ecuaciones de 
Maxwell y la constancia de la velocidad de la luz, 
enfocando a la física por un cauce radicalmente diferente 
del de la física clásica, enfoque nuevo del cual aún en la 
actualidad seguimos recibiendo sus frutos. 
 
 
AGRADECIMIENTOS 
Los autores agradecen a la COFAA el apoyo dado para 
realización de este trabajo- 
 
REFERENCIAS 
[1] Ernesto E. Galloni, Alejandro Volta, la invención de la Pila 
Eléctrica, EUDEBA, 1965. 
[2] Desiderio Papp, Historia de la Física, Ed. Espasa-Calpe, 1961. 
[3] Richard P. Feynman, Lectures on Physics, Addison-Wesley, 
1964. 
[4] http://www.tecnomedicion.com/inicio/efecto-seebeck-y-
peltier.html 
[5] Manuel Quesada Pérez, Maxwell: las matemáticas del 
electromagnetismo, RBA, 2017. 
[6] Thomas S. Kuhn, La estructura de las revoluciones científicas, 
Breviarios del Fondo de Cultura Económica 213, 1971. 
[7] B. Cox y J. Forshaw, ¿Por qué E=MC2?, DEBATE, 2013 
[8] Gary Stix, El legado del oficial de patentes, Scientific American, 
Noviembre 2004: