EcuacionesdeMaxwell

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Ecuaciones de Maxwell
Preprint · June 2020
DOI: 10.13140/RG.2.2.24946.32961
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Diego Armando Alvarado-Silos
Autonomous University of Nuevo León
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Ecuaciones de Maxwell
Diego Armando Alvarado Silos
junio de 2020
Las Ecuaciones de Maxwell son, en conjunto, una de las teoŕıas más importantes desarrolladas en el siglo
XIX y publicadas a finales del mismo siglo, considerada junto con las leyes de la mecánica de Isaac Newton
como una de las más grandes unificaciones de la F́ısica clásica. Son cuatro ecuaciones, algunas reducidas a
poco más de tres caracteres que logran explicar el fenómeno electromagnético aśı como sus implicaciones
y relucen la consistencia de la teoŕıa sobre la que están fundamentadas. A continuación, se muestra la
demostración/deducción de cada una de las ecuaciones.
1. Primera ecuación: Ley de Gauss para el campo eléctrico
La ley de Gauss es otra alternativa de la Ley de Coulomb. Aunque es exactamente equivalente a la Ley
de Coulomb, la Ley de Gauss es una forma distinta de expresar la relación entre la carga eléctrica y el campo
eléctrico. La formuló Carl Friedrich Gauss (1777-1855), uno de los matemáticos más notables de todos los
tiempos.
Para deducir la ecuación es necesario definir el flujo eléctrico. En primer lugar, considere un área plana
A perpendicular a un campo eléctrico uniforme E. Se define el flujo eléctrico a través de esta área como el
producto de la magnitud E del campo por el área A:
ΦE = EA
Ahora, si la superficie no es perpendicular al campo eléctrico o de manera análoga el campo no es perpendi-
cular a la superficie, significa que el flujo se verá disminuido. Dicha disminución queda definida por el ángulo
θ medido desde la normal, de modo que el número de ĺıneas que atraviesan el área A es igual al número de
ĺıneas que atraviesan el área A⊥:
ΦE = EA = EA⊥ = EA cos θ = E ·A
La naturaleza del campo eléctrico no es uniforme en todas las superficies, pero si se consideran pequeños
trozos de área ∆Ai en los que el campo es uniforme, entonces el flujo eléctrico es
ΦE ≈
∑
Ei ·∆Ai
En el ĺımite donde las dimensiones de cada elemento se acerca a cero, el flujo se define de manera general
como:
ΦE ≡
¨
S
E · dA (1.1)
Si se trabaja sobre una superficie cerrada (conocida también como superficie gaussiana), es decir, si la
superficie en cuestión encierra un volumen, el flujo se describe como:
ΦE =
‹
S
E · dA (1.2)
Habiendo ya definido el flujo eléctrico, entonces se puede deducir la Ley de Gauss. Supóngase una carga
puntual q en el centro de una superficie esférica de radio r, por la Ley de Coulomb se sabe que la intensidad
del campo en todos los puntos de la esfera es E = keq/r
2, donde ke = 1/4πε0. Como en cada punto de la
1
superficie E es paralelo al vector ∆Ai, por lo tanto Ei ·∆Ai = E∆Ai. Por tratarse de una superficie esférica,‚
dA = A = 4πr2. Por lo tanto el flujo neto a través de la superficie esférica es:
ΦE = ke
q
r2
(4πr2) =
q
ε0
Suponga ahora que dentro de la superficie está no solo una carga q sino varias cargas q1, q2, q3, ... Entonces
el campo eléctrico resultante, será la suma de los campos debidos a cada una de las cargas puntuales dentro
de la superficie. Sea Qenc la carga total encerrada en la superficie: Qenc = q1 +q2 + q3 + · · · y sea E el campo
total en posición del elemento de área dA de la superficie. Aśı puede ser enunciada la Ley de Gauss: El
flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada es igual a la carga eléctrica total (neta)
dentro de la superficie, dividida entre ε0.
ΦE =
‹
S
E · dA =
Qenc
ε0
(1.3)
Esta no es la única forma de enunciar la Ley de Gauss, existe una forma diferencial de esta misma ley.
Para desarrollarla correctamente, se debe entender el teorema de la divergencia. Supongase que Ω es un
subconjunto de R3 que es compacto y tiene ĺımite suave a trazos ∂Ω = S. Si F es un campo vectorial y es
de clase C1 (es decir que todas sus todas sus primeras derivadas parciales son continuas) en algún entorno
de Ω, entonces: ‹
∂Ω
F · dA =
˚
Ω
(∇ · F) dV
Aplicando el teorema de la divergencia al lado izquierdo de la ecuación 1.3, se obtiene que:‹
S
E · dA =
˚
V
(∇ ·E) dV
Ahora, por definición, la densidad volumétrica de carga es ρ = Qenc/V , que visto de otra forma:˚
V
ρdV = Qenc
Sustituyendo en el lado derecho de la ecuación 1.3 y por el teorema de la divergencia:˚
V
(∇ ·E) dV =
1
ε0
˚
V
ρdV
como ε0 es constante se puede “meter” en el integrando, de manera que al igualar los integrandos de ambos
lados se obtiene:
∇ ·E =
ρ
ε0
(1.4)
Esta es la primera ecuación de Maxwell conocida como la Ley de Gauss. La ley escrita en la forma de
la ecuación 1.3 establece que la divergencia del campo eléctrico E es directamente proporcional a la densidad
volumétrica de carga. La divergencia del campo mide la diferencia entre el flujo entrante y flujo saliente
sobre la superficie (∂V = S) que encierra a un volúmen (V ), por lo tanto si hay “fuentes”, la divergencia
será positiva (∇ · E > 0), y si hay “sumideros”, la divergencia será negativa (∇ · E < 0). Si la divergencia
del campo es cero, significa que ρ = Qenc/V = 0, entonces Qenc = q1 + q2 + q3 + · · · = 0, con esto se puede
afirmar que no hay ninuga carga encerrada o que la suma de las cargas es igual a cero. Por convención las
cargas positivas generan fuentes y las cargas negativas generan sumideros. Es por esto que cargas de mismo
signo experimentan una fuerza de repulsión mientras que las cargas de diferente signo experimentan una
fuerza de atracción, también gracias a esta ley se entiende que la magnitud de dicha fuerza decae en factor
1/r2.
2. Segunda ecuación: Ley de Gauss para el campo magnético
Al igual que en la sección anterior, se definiráel flujo magnético ΦB como el producto de magnitud del
campo magnético B perpendicular a la superficie A, entonces el flujo magnético se define como ΦB = B ·A
y de manera generalizada y en una superficie gaussiana como:
ΦB =
‹
S
B · dA (2.1)
2
La Ley de Gauss para el campo eléctrico (ecuación 1.3), establece que el flujo eléctrico total a través de una
superficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica total encerrada por la superficie. Por ejemplo, si la
superficie cerrada contiene un dipolo eléctrico, el flujo eléctrico total es igual a cero porque la carga total es
cero. Por analoǵıa, si existiera algo como una sola carga magnética (monopolo magnético), el flujo magnético
total a través de la superficie cerrada seŕıa proporcional a la carga magnética total encerrada. Pero nunca
se ha observado un monopolo magnético, a pesar de la intensa búsqueda que se hace de él. Entonces
se concluye lo siguiente: ‹
S
B · dA = 0 (2.2)
Aplicando el teorema de la divergencia descrito en la sección anterior:
∇ ·B = 0 (2.3)
Que la divergencia de un campo vectorial sea igual a cero indica que en cualquier superficie que encierre un
volumen, la cantidad de flujo entrante es igual a la cantidad de flujo saliente como se observa en la figura 1.
Figura 1: Suponga que los ćırculos rojos son en realidad superficies cerradas. Obsérvese que la
cantidad de ĺıneas de flujo que entran a la superficie (en general a cualquier superficie cerrada) es
igual a la cantidad de ĺıneas que salen. Además, se observa que las ĺıneas de campo forman espiras
cerradas.
Las ecuaciones 2.2 y 2.3 son la forma integral y diferencial respectivamente de la segunda ecuación
de Maxwell conocida como la Ley de Gauss para el campo magnético y explican a grandes rasgos la nula
existencia de monopolos magnéticos.
3. Tercera ecuación: Ley de Faraday
Para esta poder enunciar esta ley es necesario definir el concepto de fuerza electromotriz (conocida
también como fem). Denotada con el śımbolo E ; una fem es la acción eléctrica producida por una fuente
no eléctrica. Un dispositivo que convierte otras formas de enerǵıa en enerǵıa eléctrica como una bateŕıa
(conversión de enerǵıa qúımica) o un generador (conversión de enerǵıa mecánica), proporciona una fem de
salida.
Faraday se percató que un campo magnético era capaz de inducir una fem a través de un circuito cerrado,
precisamente como un campo variante en el tiempo:
E = −dΦB
dt
(3.1)
Pero a través del circuito cerrado fluyen cargas y para desplazar dichas cargas es necesario un campo
eléctrico E cerrado en el circuito tal que ∇ × E 6= 0. Consideremos una carga q0 en movimiento dentro de
un circuito c = ∂S, entonces:
W =
˛
∂S
F · d` =
˛
∂S
(q0E) · d` = q0
˛
∂S
E · d`
Además, E es el trabajo por unidad de carga E = W/q0, entonces la fem puede expresarse como:
E =
˛
∂S
E · d` (3.2)
3
Muy similar a la definición de potencial eléctrico, sin embargo, no debemos de ignorar que las fem son
causadas por objetos no eléctricos. Sustituyendo el flujo magnético en la ecuación 2.3, obtenemos lo siguiente:
E = − d
dt
¨
S
B · dA
Si esta nueva ecuación se sustituye en la ecuación 3.1, la relación queda de la siguiente manera:˛
∂S
E · d` = − d
dt
¨
S
B · dA
Finalmente, al trabajar el operador derivada fuera de la integral de superficie, queda la forma integral de la
tercera ecuación de Maxwell: ˛
∂S
E · d` =
¨
S
−∂B
∂t
· dA (3.3)
Esta no es la única forma de expresar la Ley de Faraday; mediante el uso del teorema de Kelvin-
Stokes, se puede llegar a una forma diferencial de esta ley. Suponga que S es un subconjunto de R2 que es
compacto y tiene ĺımite sueve ∂S. Si F es un campo vectorial y es de clase C1, entonces:¨
S
(∇× F) · dA =
˛
∂S
F · d`
Aplicando el teorema de Kelvin-Stokes a la ecuación 3.3 queda la siguientes relación:˛
∂S
E · d` =
¨
S
(∇×E) · dA =
¨
S
−∂B
∂t
· dA
De aqúı se deduce entonces la relación entre el rotacional del campo eléctrico y el campo magnético
∇×E = −∂B
∂t
(3.4)
Las ecuaciones 3.3 y 3.4 son la forma integral y diferencial respectivamente de la tercera ecuación de
Maxwell tambien conocida como la Ley de Faraday. Esta ecuación tiene implicaciones muy interesantes,
dice que un campo magnético que cambie en el tiempo genera un campo eléctrico cerrado y más precisamente
si el cambio es positivo (∂B∂t > 0), el campo eléctrico se orienta en sentido horario y si el cambio es negativo
(∂B∂t < 0), el campo eléctrico se orienta en sentido antihorario.
4. Cuarta ecuación: Ley de Ampère-Maxwell
Esta ecuación es un poco más dif́ıcil de enunciar que las anteriores, la razón radica en las dos formas de
la ecuación. La primera forma, modelada por el f́ısico y matemático francés André-Marie Ampère se deduce
a continuación. Primeramente considérese una carga puntual q que se mueve con una velocidad constante ~v.
Datos experimentales han demostrado que la magnitud del campo magnético B, medida a una distancia r
de la posición de la carga en algún instante es proporcional a |q| y a 1/r2, sin embargo la dirección de B no
es a lo largo de la ĺınea que une la posición de la carga con el punto en donde se mide el campo, en lugar
de eso, B es perpendicular al plano que contiene a esta ĺınea y al vector de velocidad, ~v, de la part́ıcula tal
y como se muestra en la figura 2. De esta forma, el campo magnético debido a una carga en movimiento
medido en el punto P está queda descrito por:
B =
µ0
4π
q~v× r̂
r2
Ahora considérese un conductor de longitud l y sección transversal A, considere una pequeña sección del
conductor, si n es la cantidad de cargas por unidad de volumen, entonces la carga total en esa sección de
conductor está dada por dQ = nqAdl (véase la figura 3).
Por definición la corriente eléctrica es I = dQ/dt, entonces es fácil deducir que I = nqAdl/dt, pero dl/dt
es la velocidad a la que se mueven las cargas, entonces I = nqvdA, por lo tanto en forma vectorial el campo
magnético es:
dB =
µ0
4π
I dl× r̂
r2
(4.1)
4
Figura 2: Para los puntos señalados con ĺıneas punteadas en los planos de color beige y dorado
B es perpendicular en ambos planos. Observe también que B obedece la regla de la mano derecha
[1].
Figura 3: Para cada punto en los planos de color beige y dorado, dB es perpendicular a ambos.
Observe también que dB obedece la regla de la mano derecha [1].
La ecuación 4.1 es conocida como la Ley de Biot-Savart y tiene propiedades interesantes. Con esta ley es
posible calcular el campo magnético en un punto P a una distancia r debido a una corriente que pasa por un
conductor delgado de semilongitud a infinitamente largo (a� r). Considere que el conductor está colocado
a lo largo del eje y y a una distancia r sobre el eje x, entonces la magnitud del campo magnético es:
B =
µ0I
4π
ˆ a
−a
r dy
(r2 + y2)3/2
=
µ0I
4π
2a
r
√
r2 + a2
=
µ0I
2πr
Las ĺıneas de campo magnético son ćırculos con centro en el conductor. Haciendo la integral de ĺınea de B
sobre alguno de estos ćırculos (c) de radio r notará que B y d` son paralelos, entonces
˛
c
B · d` =
˛
c
B d` = B
˛
c
d` =
µ0I
2πr
(2πr) = µ0I
Se observa que la integral de ĺınea es independiente de r y por lo tanto se puede trazar cualquier trayectoria
cerrada alrededor del conductor y obtener el mismo resultado. Ahora considere una superficie plana S de
borde cerrado ∂S, si ah́ı dentro hay varios conductores encerrados, entonces el campo magnético total B
será la suma vectorial de los campos individuales y la suma de corrientes encerrada será Ienc, entonces de
manera general ˛
∂S
B · d` = µ0Ienc (4.2)
Esta ecuación es la forma general de Ley de Ampère. Antes de continuar, es sugerible redefinir la corriente
eléctrica I, para hacerlo es necesario definir la densidad de corriente J = I/A = nqvdA/A = nqvd y escrito en
5
forma vectorial J = nqvd. Por lo tanto la corriente eléctrica encerrada en una superficie S se puede expresar
comoI =
˜
S
J · dA y aśı, la ecuación 4.2 puede ser reescrita como
˛
∂S
B · d` = µ0
¨
S
J · dA
Sin embargo, la Ley de Ampère expresada de esta forma está incompleta. El problema surge cuando se
considera el proceso de carga de un capacitor como en la figura 4.
Figura 4: Capacitor de placas paralelas en proceso de carga. La corriente de conducción a través
de la superficie plana es iC , pero no hay corriente de conducción a través de la superficie que se
arquea para pasar entre las placas [1].
Los alambres conductores llevan la corriente iC hacia la placa izquierda y la alejan de la placa derecha; la
carga Q se incrementa, y el campo eléctrico E entre las placas aumenta. Aplicando la Ley de Ampère a la
trayectoria circular que se muestra, la integral
¸
B · d` alrededor de la trayectoria circular es igual a µ0iC
pero si esta misma integral se realiza sobre la frontera de la superficie abombada
¸
B ·d` = 0 porque no pasa
corriente de conducción a través de dicha superficie abombada, lo que conduce a una evidente contradicción.
Se notó que no es lo único que estaba pasando en la superficie curvada. A medida que el capacitor se
carga, el campo elecrico E y el flujo eléctrico ΦE aumentan; la forma en que este aumenta puede deducirse.
La carga instantánea es q = Cv, donde C es la capacitancia y v es la diferencia de potencial instantánea.
Para un capacitor de placas paralelas, C = ε0A/d, donde A es el área de las placas y d es la separación. La
diferencia de potencial v entre las placas es v = Ed, donde E es la magnitud del campo eléctrico entre las
placas. De esta manera,
q = Cv =
ε0A
d
(Ed) = ε0EA = ε0ΦE
A medida que el capacitor se carga, la razón de cambio de q es la corriente de desplazamiento, iD = dq/dt,
entonces, la corriente de desplazamiento ignorada en la ley de Ampère es
iD = ε0
dΦE
dt
= ε0
d
dt
¨
S
E · dA (4.3)
Consecuencia de esto, la corriente total encerrada es Ienc = iC + iD, por lo que la ecuación 4.2 se convierte
a
¸
S
B · d` = µ0(iC + iD). Esta la forma general de la ley de Ampère-Maxwell:
˛
∂S
B · d` = µ0
¨
S
J · dA + µ0ε0
d
dt
¨
S
E · dA (4.4)
Aplicando el teorema de Kelvin-Stokes a la ecuación 4.4 se obtiene
¨
S
(∇×B) · dA =
¨
S
(
µ0J + µ0ε0
∂E
∂t
)
· dA
por lo tanto, la forma diferencial de la ley de ley de Ampère-Maxwell se concentra en la siguiente ecuación:
∇×B = µ0J + µ0ε0
∂E
∂t
(4.5)
6
Como ya se vio en la sección anterior, el campo magnético variable induce un campo eléctrico cerrándose,
y por la ecuación 4.5 se observa una simetŕıa, pues análogamente, un campo eléctrico variable produce un
campo magnético que se cierra. Esto, como podŕıa imaginarse, conlleva un sin fin de aplicaciones en áreas
como la ingenieŕıa.
5. Ondas electromagnéticas
Hasta ahora, se conocen las cuatro ecuaciones de Maxwell que son capaces de explicar la naturaleza del
fenómeno electromagnético. Escritas en forma diferencial son las siguientes:
∇ ·E =
ρ
ε0
∇ ·B = 0
∇×E = −∂B
∂t
∇×B = µ0J + µ0ε0
∂E
∂t
Trabajando estas ecuaciones en un ambiente donde cualquier densidad es cero, algunas cantidades se ven
anuladas, ρ = 0 y J = 0. Entonces las ecuaciones trabajadas sobre el vaćıo se reducen a
∇ ·E = 0
∇ ·B = 0
∇×E = −∂B
∂t
∇×B = µ0ε0
∂E
∂t
Tomando el rotacional de las ecuaciones que involucran el rotacional de los campos eléctrico y magnético se
obtiene
∇× (∇×E) = ∇×
(
− ∂B
∂t
)
= − ∂
∂t
(∇×B) = −µ0ε0
∂2E
∂t2
∇× (∇×B) = ∇×
(
µ0ε0
∂E
∂t
)
= µ0ε0
∂
∂t
(∇×E) = −µ00
∂2B
∂t2
Usando la propiedad ∇× (∇×E) = ∇(∇ ·E)−∇2E y como ∇ ·E = 0, entonces
∇2E = µ0ε0
∂2E
∂t2
Si se considera la forma en una dimensión de la ecuación amterior, se obtiene
∂2E
∂x2
= µ0ε0
∂2E
∂t2
(5.1)
La solución de la ecuación diferencial 5.1 es f(x−vt)+g(x+vt) donde f y g son dos funciones arbitrarias que
describen la propagación de una onda en una dirección y donde v es la velocidad de propagación. Considérese
una solución sinusoidal como E = E0 sen
(
2π
λ (x − vt)
)
, donde E0 es la amplitud del campo eléctrico y λ es
la longitud de onda. Entonces:
∂2E
∂x2
= −E0
(
2π
λ
)2
sen
(
2π
λ
(x− vt)
)
(5.2)
∂2E
∂t2
= −E0
(
2πv
λ
)2
sen
(
2π
λ
(x− vt)
)
(5.3)
Sustituyendo estos resultados en la ecuación 5.1
−E0
(
2π
λ
)2
= µ0ε0
[
−E0
(
2πv
λ
)2
]
1 = µ0ε0v
2
7
La velocidad de propagación de la onda es la velocidad de la luz
v =
√
1
µ0ε0
≈ 3× 108 m/s
Este fue el toque final que James Maxwell le dio a la teoŕıa electromagnética que representó un antes y
un después para la concepción del fenómeno magnético, además, le dio una revolucionaria perspectiva a la
Óptica; el trabajo de Maxwell no hubiera sido posible sin el inmenso conocimiento fundado por cient́ıficos
como Carl F. Gauss, Michael Faraday, André-Marie Ampère, Heinrich Lenz, Félix Savart y Jean-Baptiste
Biot entre muchos otros quienes tienen su marca personal en la F́ısica.
ZSMG
Referencias
[1] Young H., Freedman R., Sears & Zemansky’s University physics, 13th. ed., Pearson, CA, San Fran-
cisco, 2012.
[2] Reitz J. R, Milford F. J., Christy R. W., Foundations of electromagnetic theory, 4th. ed., Addison-
Wesley Pub. Co., 1913.
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