eym2_05

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Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-1
Ecuaciones Generales:
Modelo de Maxwell
Ecuaciones Generales
• En este tema se va a tratar del estudio del campo electromagnético.
• En el capítulo anterior se ha definido el concepto de campo y se ha 
visto algunos ejemplos: campo de temperaturas, de velocidades, etc. 
en los que cierta característica física (la temperatura, la velocidad....) se 
da como función de las coordenadas y posiblemente también del 
tiempo.
• En los casos de campos de temperatura, presión, velocidad, etc. el 
concepto de campo es una herramienta matemática útil pero de la que 
se puede prescindir sin alterar el contenido físico de los fenómenos. 
• Sin embargo en el caso del campo electromagnético, además de ser 
una herramienta útil, posee también contenido físico del que no se 
puede prescindir si se quiere comprender bien la naturaleza de los 
fenómenos involucrados
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-2
Ecuaciones Generales
• Para comprender la anterior afirmación imaginemos dos antenas, una 
emisora y otra receptora situadas en el vacío. 
• Supóngase que una antena emite energía electromagnética durante un 
breve instante de tiempo de forma que el tiempo que tarda la energía en 
llegar al receptor es mucho mayor que el tiempo de emisión. 
• De esta forma, cabe plantearse ¿quién es el portador de esta energía 
durante el tiempo de "vuelo" de una antena a la otra?
• La respuesta es que la energía es transportada por el campo 
electromagnético, y por tanto, dicho campo tiene entidad física y la 
noción del campo electromagnético es la base de la teoría moderna del 
electromagnetismo.
Principio de Acción Próxima y a Distancia
A finales del siglo XVIII Coulomb formuló su conocida ley sobre la interacción 
eléctrica. La Ley de Coulomb y otras que surgieron posteriormente en relación 
con la interacción magnética, y que eran muy parecidas a dicha ley, eran a su 
vez iguales en esencia a la ley de la gravitación de Newton y por tanto sujetas 
a la misma interpretación que se daba a ésta en el siglo XVIII. A saber que "la 
interacción entre objetos a distancia se produce instantáneamente y sin 
participación alguna del medio", lo que se conoce como principio de acción a 
distancia. 
Ahora bien, de acuerdo con la Física moderna no existen interacciones 
instantáneas; el papel del medio auxiliar no puede ser ignorado ya que es el 
medio el que contiene precisamente la energía. La participación del medio en la 
transmisión de interacciones electromagnéticas se conoce como "principio de 
acción próxima".
M. Faraday fue el primero que sugirió la idea de la existencia de un campo 
electro- magnético (y por tanto en acuerdo con el principio de acción próxima). 
Finalmente fue J.C. Maxwell quien formuló las leyes fundamentales del 
electromagnetismo que se conocen como Ecuaciones de Maxwell.
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25/10/2005 EyM 2-3
Modelo Microscópico y Carga
En los sucesivos apartados se va a desarrollar el modelo de Maxwell de las 
interacciones electromagnéticas desde el punto de vista macroscópico, es 
decir, que los objetos materiales considerados contienen un número 
prácticamente infinito de partículas en cuyo caso no se considera la estructura 
microscópica de la materia y ésta se supone como un medio continuo.
La carga es una propiedad fundamental de las partículas elementales que 
forman la materia.
De hecho toda materia está compuesta fundamentalmente de protones, 
neutrones y electrones, y dos de estas partículas tienen carga.
Sin embargo, aunque a escala microscópica la materia se componga de gran 
número de partículas cargadas, las potentes fuerzas asociadas con estas 
partículas quedan bastante ocultas a una observación macroscópica. 
El motivo es que hay dos clases de carga: positiva y negativa, y un pedazo 
ordinario de materia contiene aproximadamente cantidades iguales de cada 
clase de carga.
Cuantificación y Conservación de la 
Carga
Desde el punto de vista macroscópico la carga se refiere a la carga neta, o al 
exceso de carga. 
Así que cuando decimos que un objeto está cargado, lo que queremos decir es 
que tiene un exceso de carga, ya sea un exceso de electrones (negativos) o un 
exceso de protones (positivos). 
La unidad de carga es el Coulombio [Coul] en el sistema MKS. El símbolo 
utilizado para representar la carga es "Q" o "q".
Una importante observación experimental en relación con la carga es que 
ésta no puede crearse ni destruirse. 
Dicho con otras palabras: la carga total de un sistema cerrado no puede 
cambiar. Desde el punto de vista macroscópico las cargas pueden 
reagruparse y combinarse en distintas formas, sin embargo "la carga neta se 
conserva en un sistema cerrado". 
Este enunciado se conoce como el Principio de conservación de la carga y le 
veremos con más detalle en un próximo apartado.
Es bien sabido que la carga esta cuantificada: se encuentra en múltiplos de una 
carga básica que es la del electrón. En otras palabras si se examina una carga 
con detalle, se verá que su magnitud es un múltiplo entero de la magnitud de la 
carga electrónica.
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25/10/2005 EyM 2-4
Densidad de Carga
Para los fines de la física macroscópica, el que la carga sea discreta no plantea 
Problemas, simplemente porque la carga electrónica tiene una magnitud de 
1.6019x10-19 Coul. que es extremadamente pequeña. De esta forma las cargas 
macroscópicas están compuestas de un número muy grande de cargas 
electrónicas.
Esto a su vez significa que cualquier volumen de una distribución de carga 
macroscópica, por pequeño que sea, contiene una infinidad de electrones. 
Entonces a efectos macroscópicos una distribución de carga se puede 
describir en términos de una densidad de carga, definida como el límite de la 
carga por unidad de volumen a medida que el volumen se vuelve infinitesimal. 
Desde luego este límite tiene sentido pues el volumen infinitesimal es muy 
pequeño desde el punto de vista macroscópico pero aún muy grande desde 
el punto de vista microscópico, conteniendo así gran número de partículas y, 
por tanto, la naturaleza discreta de la carga no se deja entrever.
( )
vd
dq
V
qr
V ′
=
′∆
∆
=′
→′∆ 0
limrρ
dv’
dq
r′r
O
Carga Puntual
Conocida la densidad de carga en una región podemos calcular la carga 
contenida en un cierto volumen V de la misma como:
( )∫∫∫∫∫∫ ′′ ′′== VV vdrdqq
rρ
dv’
dq
r ′r
O V’
Cualquier distribución de cargas finita, observada desde puntos muy alejados 
de la misma, se “ve” como si fuera puntual. Aparentemente solo hay carga en 
un punto rq . Por tanto la densidad de carga será nula en todos los puntos salvo 
en rq y la carga total en un volumen que contenga al punto deberá ser el valor 
de la carga de la distribución: q. Por tanto la densidad de carga deberá
manejarse matemáticamente usando la función δ de Dirac como:
( ) ( )qrrqr rrr −′=′ δρ
( ) ( ) ( ) qvdrrqvdrrqvdr
V qV qV
=′−′=′−′=′′ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ′′′ 44 344 21
rrrrr
1
δδρ
rrq
O V
q
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-5
Función δ de Dirac
Se define la función δ de Dirac en una dimensión δ(x-x´), como el ente 
matemático que cumple:
( ) ( ) ( )⎩
⎨
⎧
∈′′
∉′
=′−∫ Cxxf
Cx
dxxxxf
C ,,
,,0
δ
donde f(x) es cualquier función.
Una propiedad importante de la de δ Dirac es que: ( )
⎩
⎨
⎧
∈′
∉′
=′−∫ Cx
Cx
dxxx
C ,,1
,,0
δ
que puede obtenerse haciendo f(x)=1 en la definición de la δ.
Aunque δ(x) no es una función en sentido 
ordinario y sólo tiene sentido bajo el signo 
integral se la puede imaginar como límite de 
una sucesión de funciones rectángulo Π de 
base cada vez más estrecha y altura cada vez 
mayor pero conservando el área unidad.
( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<
>
=∏
2,,
1
2,,0
ε
ε
ε
ε
x
x
( ) ( )∏
→
= εδ
ε
lim
0
x
ε
1
2
ε
2
ε−
Función δ de Dirac
La generalización a tres dimensiones conducirá a δ(r) cumpliendo:
( ) ( ) ( )⎩
⎨
⎧
∈′′
∉′
=′−∫∫∫ Vrrf
Vr
vdrrrf
V
rr
r
rrr,,
,,0
δ
Finalmente como ejemplos de aplicación de la función se tiene la 
representación de funciones singulares como cargas puntuales, densidades 
superficiales, lineales, etc.
Así la densidad de carga originada por una carga puntual situada en rq es
( ) ( )qrrqr rrr −= δρ
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25/10/2005 EyM 2-6
Densidad Superficial
En muchas situaciones las cargas se distribuyen no en volumen sino sobre una
superficie. En tales casos conviene definir una función de densidad superficial
de carga como:
( ) ( )
Sd
dq
S
qrr
Ss ′
=
′∆
∆
=′=′
→′∆ 0
limrr ρσ dS’
S’
O
dqr ′rDe manera que la carga sobre la superficie es:
( )∫∫∫∫ ′′ ′′== SS Sdrdqq
rσ
Si la superficie es una superficie coordenada ui’ =cte entonces la densidad 
superficial puede expresarse como una densidad volumétrica usando la función 
δ de Dirac: ( ) ( ) ( ),ii uurr −′=′ δσρ rr
O
u1
u’2
u3
u2
( )r ′rσ ( ) ( ) =′−′=′ ∫∫∫∫∫∫ ′′ V iiV VduurVd
,δσρ r
( ) ( ) ( ) qSdrSdduuur
SS u iiii
=′′=′
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−′= ∫∫∫∫ ∫ ′′
r
44 344 21
r σδσ
1
,
Densidad Lineal
En algunas situaciones resulta útil el considerar que la carga se distribuye a lo
largo de una línea. En tales casos puede definirse una densidad lineal de carga
como: ( )
ld
dq
l
qr
l ′
=
′∆
∆
=′
→′∆ 0
limrλ dl’
C’O
dq
r ′r
De manera que la carga sobre la línea es:
( )∫∫ ′′ ′′== CC ldrdqq
rλ
Si la línea es una línea coordenada intersección de dos superficies coordenadas
ui’ =cte, uj’ =cte entonces la densidad lineal puede expresarse como una 
densidad volumétrica usando la función δ de Dirac: ( ) ( ) ( ) ( ),, jjii uuuurr −−′=′ δδλρ rr
u1
u’1
u3
u2
( )r ′rλ
u’3
( ) ( ) ( ) =′−−′=′ ∫∫∫∫∫∫ ′′ V jjiiV VduuuurVd
,, δδλρ r
( ) ( ) ( ) ( ) qldrldduuuduuur
CC u jjju iii ji
=′′=′
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−′= ∫∫ ∫∫ ′′
r
44 344 2144 344 21
r λδδλ
1
,
1
,
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-7
Ejercicios
a) Calcular la carga total de una distribución volumétrica de densidad 
uniforme ρ0 en una esfera de radio R.
( )∫∫∫∫∫∫ ′′ ′′== VV vdrdqq
rρ ( ) 0ρρ =′r
r
ϕθθ ′′′′′=′ ddrdsenrvd 2
( ) 030 3
4 ρπρρ Rvdvdrq
VV
=′=′′= ∫∫∫∫∫∫ ′′
r
b) Calcular la carga total de una distribución superficial de densidad 
uniforme σ0 en un disco circular de radio R.
( )∫∫∫∫ ′′ ′′== SS Sdrdqq
rσ ( ) 0σσ =′r
r ϕρρ ′′′=′ ddSd
( ) 020 σπσσ RSdSdrq SS =′=′′= ∫∫∫∫ ′′
r
Ejercicios
c) Calcular la carga total de una distribución lineal carga de longitud 
infinita sobre el eje z’ de densidad:
( )21 az
o
′+
=
λλ
d) Calcular la carga total de una distribución volumétrica indefinida de 
densidad:
( ) are
a
Qr ′−−=′ 23π
ρ r
( )
( )
a
a
zazd
az
ldrq
z
C
πλλλλ 0
1
02
0 tan
1
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ′=′
′+
=′′=
∞
∞−
−
∞
−∞=′
′ ∫∫
r
ϕθθ ′′′′′=′ ddrdsenrvd 2
Q
a
rarea
a
Q
rdre
a
Qddrdsenre
a
Qq
ar
r
ar
r
ar
−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
′
−−′⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−−=
=′′−=′′′′′−=
∞
′−
∞
=′
′−
=′ =′
∞
=′
′− ∫∫ ∫ ∫
0
2
22
3
0
22
3
2
0 0 0
22
3
12
22
4
4
π
πϕθθ
π
π
ϕ
π
θ
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-8
Ejercicios
Calcular la densidad volumétrica de carga y la carga total de una 
distribución superficial uniforme de densidad σ sobre una esfera de 
radio R
Calcular la densidad volumétrica de carga y la carga total de una 
distribución lineal uniforme de densidad λ sobre una circunferencia de 
de radio R en el plano z=0
( )Rr −=σδρ
( ) ( )( ) σππσϕθθσδρ
π
ϕ
π
θ
ε
ε
22
2
0 0
2 422 RRddrdsenrRrdvq
R
Rr
V
==−== ∫ ∫ ∫∫∫∫
= =
+
−=
( ) ( )zR δρλδρ −= ( ) ( )( ) λππλϕρρρλδρ
π
ϕ
ε
ε
ε
ερ
RRdzddRdvq
z
R
R
V
212
2
0
0
0
==−== ∫ ∫ ∫∫∫∫
=
+
−=
+
−=
( ) ( )( )rhRr =
−
−=
θ
πθδλδρ 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) λπππλϕθθπθδλδρ
π
ϕ
π
θ
ε
ε
RRsenddrdsenr
r
Rrdvq
R
Rr
V
2222
2
0 0
2 ==
−
−== ∫ ∫ ∫∫∫∫
= =
+
−=
Esféricas
Cilíndricas
Intensidad de Corriente
La carga en movimiento constituye una corriente eléctrica y el proceso por el 
que la carga se transporta se llama conducción. Para ser precisos la intensidad 
de corriente I se define como la cantidad de carga que se transporta a través de 
una cierta sección por unidad de tiempo:
dt
dqI =
a) En un metal, la corriente es transportada completamente por los 
electrones mas externos de los átomos, mientras que los iones positivos 
pesados permanecen fijos en la estructura cristalina. En condiciones de estado 
estacionario los electrones entran por un lado del metal y salen por el otro 
produciendo una corriente, pero el metal en conjunto es eléctricamente neutro.
b) En un electrolito la conducción se lleva a cabo tanto por los iones 
positivos como por los negativos pero predominará la conducción por el ión 
más rápido. Ya que los iones con carga opuesta se mueven en sentidos 
opuestos contribuirán a producir corriente en el mismo sentido (como se 
deduce de la definición de corriente) .
El sentido en el que se mueve el portador positivo se toma como sentido de la 
corriente. 
Sobre la naturaleza de la corriente cabe hacer las siguientes precisiones: 
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-9
Cálculo de la Intensidad de Corriente
Entonces en el tiempo dt cada portador recorrerá una distancia vdt así que la 
carga dQ que atraviesa dS’ durante el intervalo dt será q veces el número de 
portadores en el volumen (v dt)·dS’.
+
+
+
rvdt
Sd ′
r
Sddtv ′⋅
rr
SdvNq
dt
SddtvqNdI ′⋅=
′⋅
=
rr
rr
Y si hubiese más de un tipo de portador de carga:
SdvqNdI
i
iii ′⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= ∑
rr
La cantidad entre corchetes tiene dimensiones de corriente por unidad de área 
y se llama densidad (volumétrica) de corriente, se mide en Amperios/metro 
cuadrado [A/m2] y se escribe: ∑=
i
iii vqNJ
rr
La corriente a través de cualquier superficie 
finita S’ que corte a las líneas de flujo de J será: ( )∫∫ ′ ′⋅′= S SdtrJI
rrr ,
Vamos a calcular la intensidad de corriente a través de un elemento de área dS’. 
Sea N el número de portadores por unidad de volumen. 
Sea un medio en el que solo hay un tipo de portadores con carga individual q y 
con velocidad común de desplazamiento v. 
Densidad Volumétrica de Corriente
Una distribución de corriente se caracteriza pues por un campo vectorial que 
especifica en cada punto no solo la intensidad del flujo de corriente sino 
también su dirección.
Se define la densidad volumétrica de corriente en un punto como un vector J
dirigido según la línea de flujo de corriente que pasa por el punto, de magnitud 
igual a la carga que en la unidad de tiempo cruza la unidad de área de la 
superficie ortogonal a la línea de flujo en un entorno del punto. El sentido es el 
de movimiento de las cargas positivas.
S’
I dS
dI
S
I
S
t
q
J
SS
=
∆
∆
=
∆
∆
∆
=
→∆→∆ 00
limlim
r
jaJJ ˆ
rr
=
vector unitario tangente a la trayectoria de las
cargas en el sentido de movimiento de las
positivas.
jâ
( )∫∫ ′ ′⋅′= S SdtrJI
rrr ,
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-10
Ejercicio
Una corriente de intensidad I se distribuye uniformemente por un hilo 
conductor cilíndrico de longitud infinita y radio R. Determinar su densidad 
volumétrica de corriente.
R
Sd
r
z
J
r
zJJ ˆ=
r
2ˆˆ RJdSzzJSdJI
SS
π=⋅=⋅= ∫∫∫∫
rr
z
R
IJ ˆ2π
=
r
Ejercicio
Sobre una semiesfera (r=a, z>0) se tiene una distribución volumétrica de 
carga ρ constante. Si a dicha distribución se le hace girar a una velocidad 
angular ω constante alrededor del eje z, determinar: a) la densidad de 
corriente generada, b) la corriente total. 
a) Aparecerá una densidad volumétrica de corriente J. La corriente total será
por lo que la densidad superficial de corriente en módulo será:∫ ∫ ⋅=
rl l
rdldlJI
θ
φθ ˆ
r
v
dt
dl
dldtdl
dldldl
dldtdl
dV
dldl
dt
dQ
dldl
dIJ
r
r
rrr
ρρ
ρρ ϕ
θ
ϕθ
θθθ
======
r
x
ϕθρωϕρ ˆsinˆ rvJ ==
r
b) La corriente total será:
( )
( )
3
cos
3
ˆˆsinˆ
3
0
3
0 00 0
2
22
aa
drrdrdldlJI
a
r
a
r r
ρωθρω
θϕϕθρωϕ
π
ππ
θθ θ
=−=
=⋅=⋅= ∫ ∫∫ ∫ = == =
r
ϕ
θvr
z
r
y
ω
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25/10/2005 EyM 2-11
Corriente Superficial
Imaginemos ahora una densidad de corriente cuyas líneas de flujo no estén 
distribuidas en un volumen sino sobre una superficie laminar. Por tanto, al igual 
que se definían densidades superficiales de carga, se podrá definir una densidad 
superficial de corriente JS .
Se define la densidad superficial de corriente en un punto como un vector JS
dirigido según la línea de flujo de corriente que pasa por el punto, de magnitud 
igual a la carga que en la unidad de tiempo cruza la unidad de longitud de la 
línea ortogonal a la línea de flujo en un entorno del punto. El sentido es el de 
movimiento de las cargas positivas.
ld
dI
l
I
l
t
q
J
llS ′
=
′∆
∆
=
′∆
∆
∆
=
→′∆→′∆ 00
limlim
r
( ) ( ) ( ),iiS uurJrJ −′=′ δr
rrr
Si la corriente superficial circula por la superficie u´i puede
definirse una densidad volumétrica como
La corriente total será
( ) ( )
( )∫
∫ ∫∫∫
′
′
′⋅′=
=⋅⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ′−=′⋅′=
C S
ju iu iiSS
ldnrJ
dunduuuJSdrJI
j i
ˆ
ˆ
rr
rrrr δS’ C’
$n
dl’
Ejercicio
Sobre un casquete semiesférico (r=a, z>0) se tiene una distribución superficial 
de carga ρs constante. Si a dicha distribución se le hace girar a una velocidad 
angular ω constante alrededor del eje z, determinar: a) la densidad de corriente 
generada, b) la corriente total. 
a) Aparecerá una densidad superficial de corriente Js. La corriente total será
por lo que la densidad superficial de corriente en módulo será:∫ ⋅=
θ
ϕθl s dlJI ˆ
r
v
dt
dl
dtdl
dldl
dtdl
dS
dl
dt
dQ
dl
dIJ ss
ss
s ρρ
ρρ ϕ
θ
ϕθ
θθθ
======
r
ϕθωρϕρ ˆsinˆ avJ sss ==
r
b) La corriente total será:
( )
( ) 2
0
2
00
2
22
cos
ˆˆsinˆ
aa
adadlJI
ss
ss
ωρθωρ
θϕϕθωρϕ
π
ππ
θθ θ
=−=
=⋅=⋅= ∫∫ ==
r
ϕ
θ
vr
z
r
y
ω
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-12
Ejercicio
( )θθ ˆJJ =
r
( ) ( ) ( ) ( )θπθθπθ sin2sin2 RIJIRJ =⇒=
Calcule la densidad de corriente en régimen estacionario que aparece sobre la 
superficie de una esfera de radio R centrada en el origen del sistema de la figura 
cuando por el hilo situado en el eje z de la figura circula una corriente I que 
intersecta a la esfera.
Para que la corriente total sea I
Por la simetría cilíndrica de la figura, la densidad de corriente en la superficie de 
la esfera debe ser de la forma
 
I
R
z
x
y
Ejercicio
Calcule la densidad de corriente y la corriente asociada a un anillo de carga 
superficial ρs cul/m2 con radio a y altura h, que rota a una velocidad angular ω0
rad/s
mAavJ sss /ˆ0φωρρ ==
rr
AhadzJ
n
cteSuperficie
dnJI s
h
sC s 00ˆˆ
:
ˆ ωρ
φ
φ
==
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
=
== ∫∫ l
r
ρs cul/m2
ω0 rad/s
z
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-13
Ejercicio
La figura muestra una corriente estacionaria de intensidad I0 que primero circula 
por un hilo de espesor despreciable y después por la superficie lateral de un 
cono conductor cuyo eje coincide con el hilo. El ángulo del eje con la generatriz 
es α Calcule cuánto vale el módulo de la densidad de corriente superficial en el 
cono en función de z. 
El flujo de corriente a través de la intersección de una esfera y la superficie 
cónica (es una circunferencia de radio r=cte) es:
Como quiera que
( ) 02 IrrJs =π
αtg
z
r
= ( ) rtgz
IzJs ˆ2
0
απ
=
r
rn ˆ≡r
Ecuación de Continuidad
La densidad de corriente J y la densidad de carga ρ no son cantidades 
independientes, sino que están relacionadas en cada punto por una ecuación 
diferencial llamada ecuación de continuidad. 
La ecuación de continuidad no expresa más que la ley de conservación de la 
carga, o sea, el hecho de que la carga ni se crea ni se destruye a nivel 
macroscópico.
Consideremos una superficie S’ cerrada. Tomemos el convenio habitual de 
que el sentido de la normal es hacia el exterior del volumen V’ encerrado por 
S’.
El flujo de J a través de S’ mide la disminución de la carga en el interior de S’. 
Por tanto puede escribirse:
( ) ( )∫∫∫∫∫ ′′ ′′−=−=′⋅′ VS Vdtrdt
d
dt
dQSdtrJ ,, r
rrr ρ
dV
dq
rr
O V’ S’
$n
r
J
Si S’ no cambia con t entonces:
( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫∫∫ −=−=⋅ VVS dVt
trdVtr
dt
dSdtrJ
∂
∂ρρ ,,,
r
rrrr
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-14
Ecuación de Continuidad
Si aplicamos el teorema de Gauss podemos reescribir el primer miembro de la
ecuación anterior como:
( ) ( )∫∫∫∫∫ ′′ ′′⋅∇=′⋅′ VGaussS VdtrJSdtrJ ,,
rrrrr
Por tanto podrá reescribirse la ecuación como:
( ) ( ) 0,, =⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +⋅∇∫∫∫V dVt
trtrJ
∂
∂ρ rrr
Dado que el volumen V’ es arbitrario la ecuación anterior implica que la función
subintegral sea idénticamente nula. Por tanto:
( ) ( ) 0,, =+⋅∇
t
trtrJ
∂
∂ρ rrr
Ecuaciones de Maxwell
Se denomina punto ordinario del espacio a todo aquel en un entorno del cual las
propiedades físicas del medio son continuas.
En una región del espacio existe un campo electromagnético cuando las 
acciones y efectos mutuos entre una ρ y una J, en todo punto ordinario del 
mismo, estén descritos por cuatro campos vectoriales:
E (Intensidad de campo Eléctrico), 
D (Inducción Eléctrica), 
B (Inducción Magnética) y 
H (Intensidad de campo Magnético)
tales que cumplen las siguientes relaciones, denominadas ecuaciones de 
Maxwell:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
t
trDtrJtrH
t
trBtrE
∂
∂
∂
∂
,,,
,,
rr
rrrr
rr
rr
+=×∇
−=×∇
Las ecuaciones anteriores establecen las fuentes de tipo rotacional del 
campo E-M.
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-15
Divergencia de los vectores de Campo
Las fuentes tipo divergencia del campo pueden obtenerse de las ecuaciones de 
Maxwell (fuentes rotacionales).
Se ha visto en los ejercicios que la divergencia del rotacional de cualquier 
campo vectorial es idénticamente cero. Calculamos la divergencia de los dos 
miembros de la primera ecuación de Maxwell:
( )( ) ( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅−∇=×∇⋅∇
t
trBtrE
∂
∂ ,,
rr
rr ( )
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅−∇=
t
trB
∂
∂ ,0
rr
En los puntos ordinarios B y sus derivadas son continuas por lo que 
podemos aplicar el teorema de Schwarz e intercambiar el orden de derivación 
respecto al espacio y al tiempo: ( ) 0=⋅∇− B
t
r
∂
∂
E integrando respecto al tiempo: tiempoelencteB =⋅∇
r
La evidencia experimental indica que el valor de la constante en el tiempo es 
nula por lo que:
0=⋅∇ B
r
Divergencia de los vectores de Campo
Aplicando la divergencia a los dos miembros de la segunda ecuación se obtiene:
( )( ) ( ) ( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅∇+⋅∇=×∇⋅∇
t
trDtrJtrH
∂
∂ ,,,
rr
rrrr ( )D
t
J
rr
⋅∇+⋅∇=
∂
∂0
Si se tiene en cuenta la ecuación de continuidad:
t
J
∂
∂ρ
−=⋅∇
r
( ) 0=−⋅∇ ρ
∂
∂ D
t
r
Integrando respecto al tiempo: tiempoelencteD =−⋅∇ ρ
r
La evidencia experimental indica que la cte en el tiempo es nula por lo que:
ρ=⋅∇ D
r
Por tanto no existen fuentes de tipo divergencia de la Inducción magnética, ésta 
es solenoidal y sus líneas de campo son cerradas.
Las fuentes tipo divergencia de la Inducción eléctrica son las densidades 
volumétricas de carga, por lo que las líneas de inducción eléctrica son 
abiertas, empezando y terminando en las cargas.
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-16
Forma Integral de las Ec. de Maxwell
Considerando una superficie regular S apoyada sobre un contorno cerrado C, 
puede calcularse el flujo sobre S de los dos miembros de la primera 
ecuación:
dS
S
C
$n ( ) Sd
t
BSdE
SS
r
r
rr
⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=⋅×∇ ∫∫∫∫ ∂
∂
Aplicando el teorema de Stokes al primer
miembro: ( ) ∫∫∫ ⋅=⋅×∇ CS ldESdE
rrrr
En el caso de que la superficie S no se mueva (no cambie con el tiempo) puede
reescribirse el segundo miembro como:
t
SdB
t
Sd
t
B B
SS ∂
∂
∂
∂
∂
∂ Φ
=⋅=⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∫∫∫∫
rrr
r
Por tanto:
t
SdB
t
ldE B
SC ∂
∂
∂
∂ Φ
−=⋅−=⋅ ∫∫∫
rrrr
que es la Ley de Inducción de Faraday:
t
mef B
∂
∂Φ
−=...
Forma Integral de las Ec. de Maxwell
Considerando de nuevo una superficie regular S apoyada sobre un contorno 
cerrado C, puede calcularse el flujo sobre S de los dos miembrosde la 
segunda ecuación:
dS
S
C
$n ( ) Sd
t
DSdJSdH
SSS
r
r
rrrr
⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⋅=⋅×∇ ∫∫∫∫∫∫ ∂
∂
Aplicando el teorema de Stokes al primer
miembro: ( ) ∫∫∫ ⋅=⋅×∇ CS ldHSdH
rrrr
En el caso de que la superficie S no se mueva (no cambie con el tiempo) puede
reescribirse el segundo término del segundo miembro como:
∫∫∫∫ ⋅=⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
SS
SdD
t
Sd
t
D rrr
r
∂
∂
∂
∂
Por tanto: ∫∫∫ ⋅+=⋅ SC SdDtIldH
rrrr
∂
∂ que es la Ley de Ampere generalizada.
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-17
Forma Integral de las Ec. de Maxwell
Si se considera ahora una superficie regular cerrada S que encierra un 
volumen V y se integra en dicho volumen la ecuación de la divergencia de la 
inducción eléctrica D se obtiene: ∫∫∫∫∫∫ =⋅∇ VV dVdVD ρ
r
que es la Ley de Gauss que indica que el flujo total 
de D sobre una superficie cerrada S es igual a la 
carga total encerrada por dicha superficie.
dV
V S
$n
D
r
dS
y aplicando el teorema de Gauss:
QdVSdD
VS
==⋅ ∫∫∫∫∫ ρ
rr
De forma análoga, considerando la ecuación de la divergencia de la 
inducción magnética B se obtiene:
0=⋅=⋅∇ ∫∫∫∫∫ SGaussV SdBdVB
rrr
que indica que el flujo total de B sobre una superficie cerrada es cero, o lo 
que es lo mismo, que no existen cargas magnéticas que puedan crear el 
campo.
Relaciones constitutivas de los medios
Las ecuaciones de Maxwell establecen dos relaciones independientes entre 
los vectores del campo electromagnético. 
Las relaciones adicionales del modelo expresan la influencia del medio en las 
relaciones entre los campos y se denominan relaciones constitutivas del 
medio.
La forma general de estas relaciones es:
( )
( )BEHH
BEDD
rrrr
rrrr
,
,
=
=
Cuando los campos no son muy intensos estas relaciones se simplifican 
de forma que D es solo función de E y H solo de B.
( )
( )BHH
EDD
rrr
rrr
=
=
Para tener un sistema de ecuaciones que permitan obtener los campos se 
requieren dos ecuaciones adicionales entre los vectores de campo. 
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-18
Relaciones constitutivas de los medios
La naturaleza de estas relaciones depende de las características del medio. 
A este respecto los medios se clasifican en:
• isótropos y anisótropos, 
•homogéneos e inhomogéneos y 
•lineales o no lineales.
Un medio es isótropo si las propiedades físicas del mismo son iguales en 
todas las direcciones de observación.
Un medio es homogéneo si sus propiedades físicas son iguales en todos sus 
puntos.
El medio es lineal si las relaciones constitutivas correspondientes lo son. 
Ello implica p.e. que D es función de E pero no de E2, E3 etc.
Relaciones constitutivas de los medios
Espacio Vacío: Los vectores solo difieren en una constante
BH
ED
rr
rr
0
0
1
µ
ε
=
=
Los valores de las constantes dependen del sistema de 
unidades adoptado. Se denominan permitivad dieléctrica y 
permeabilidad magnética respectivamente.
Medios Isótropos: D es paralelo a E y H es paralelo a B siempre.
Homogéneos: las relaciones entre los vectores son 
constantes en todos los puntos.
BH
ED
rr
rr
µ
ε
1
=
=
Las relaciones ke = ε / ε0 y km = µ / µ0 son 
independientes del sistema de unidades empleado y 
se denominan permitividad dieléctrica relativa y 
permeabilidad magnética relativa. Dependen solo del 
medio
Inhomogeneos: las relaciones entre los vectores, la 
permitivad y permeabilidad, son función del punto 
considerado.
( )
( )BrH
ErD
r
r
r
rrr
µ
ε
1
=
=
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-19
Relaciones constitutivas de los medios
Medios Anisótropos: Los vectores D y E y B y H son solo paralelos a lo largo
de ciertas direcciones. Puede en general suponerse que cada componente
de D es función de las componentes de E.
zyxz
zyxy
zyxx
EEED
EEED
EEED
333231
232221
131211
εεε
εεε
εεε
++=
++=
++=
Las componentes εjk lo son de un tensor.
Homogéneos: los tensores ε y µ son constantes.
HB
ED
rr
rr
µ
ε
=
=
Inhomogéneos: las componentes de los tensores 
son función del punto considerado. ( )
( )HrB
ErD
rrr
rrr
µ
ε
=
=
Polarización y Magnetización
En general los procesos electromagnéticos internos en los medios 
materiales están tan equilibrados que de por si no crean, a nivel 
macroscópico, campo. La excepción son los materiales ferromagnéticos 
cuyos campos se generan precisamente por procesos internos espontáneos.
Bajo la acción de campos externos el equilibrio de los campos internos se 
altera. Se produce una reorientación de los átomos y moléculas lo que 
produce un campo adicional que se superpone al exterior aplicado. 
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
E
r
+
-
electron
nucleo
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
B
r
Un proceso análogo en el campo magnético exterior se denomina magnetización.
Este fenómeno se denomina polarización del medio. 
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-20
Polarización y Magnetización
Sea E la intensidad de campo eléctrico. La inducción eléctrica en el vacío será:
ED
rr
00 ε=
Pero en un medio material se observa una inducción D de manera que se define
la polarizabilidad o polarización eléctrica del medio P como:
0DDP
rrr
−=
Por tanto la polarizabilidad tiene la misma dimensión que la inducción 
eléctrica.
Del mismo modo se introduce el concepto de magnetización o polarización 
magnética. Si para una intensidad H la inducción en el vacío es 
HB
rr
00 µ=
y en el medio material es B, llamamos magnetización a la diferencia
0BBM
rrr
−=
La magnetización tiene pues la misma dimensión que la inducción magnética.
Susceptibilidad
En general los procesos de polarización y magnetización transcurren 
independientemente, es decir el primero no depende del campo magnético ni 
el segundo del campo eléctrico, por lo que:
( )
( )BMM
EPP
rrr
rrr
=
=
En los medios isótropos los vectores P, E y D (asi como los M, H y B) son 
colineales (paralelos) por lo que se puede escribir
BM
EP
m
e
rr
rr
0
0
µχ
εχ
=
=
donde los coeficientes adimensionales χe y χm se denominan susceptibilidad 
eléctrica y susceptibilidad magnética del medio.
Pueden escribirse por tanto las relaciones:
( )
( )m
e
χµµ
χεε
+=
+=
1
1
0
0
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-21
Ley de Ohm. Conductividad
Si hay cargas libres en el seno del campo electromagnético existirá una 
corriente de conducción que en cada punto se caracterizará por el vector 
densidad de corriente J.
Experimentalmente se observa que la densidad de corriente que se establece 
en un cierto medio material como resultado de un campo eléctrico es 
proporcional al propio campo eléctrico. Esto se expresa mediante la relación:
EJ
rr
σ=
que se conoce como Ley de Ohm. 
A σ se le conoce como conductividad del medio. 
Esa es la razón por la cual a la ley de Ohm junto con las ecuaciones D = D(E) 
y B = B(H) se les llame ecuaciones constitutivas o de estado. 
Formalmente la conductividad σ del medio material caracteriza a éste frente a 
los fenómenos de conducción al igual que ε y µ lo caracterizan frente a 
fenómenos de polarización y magnetización respectivamente. 
Relajación
Teorema: En una región del espacio con una conductividad no nula ni 
infinita no puede existir una distribución de carga permanentemente.
Este teorema es consecuencia de las leyes de Ohm y de conservación de carga.
A partir de la ecuación de continuidad y teniendo en cuenta la ley de Ohm:
( ) 00 =+⋅∇⇒
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
=
=+⋅∇
t
E
EJ
t
J
∂
∂ρσ
σ
∂
∂ρ r
rr
r
Si el medio es homogéneo σ y ε serán constantes por lo que:
0
0
=+⇒
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
=⋅∇=⋅∇
=+⋅∇
ρ
ε
σ
∂
∂ρ
ρε
∂
∂ρσ
tED
t
E
rr
r
Integrando respecto al tiempo se obtiene:
( ) ( ) ( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=
τ
ρ
ε
σρρ trtrtr expexp, 00
rrr
donde ρ0 es la densidad de carga en t=0 y τ = ε/σ se denomina tiempo de 
relajación.
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-22
Caracterización de los MaterialesLas constantes ε, µ y σ de los materiales dependen generalmente de la 
temperatura y de la frecuencia de los campos alternos con los que se trabaje. 
También pueden depender de la presión, especialmente si se trata de gases. 
Siendo εr y µr las permitividades y permeabilidades relativas de las sustancias, 
para el vacío se tiene que εr = 1 mientras que para el aire εr =1,0006 ≅ 1. Ocurre 
que para cualquier material εr > 1 siempre. El rango de variación de la mayoría 
de los materiales con aplicaciones electromagnéticas varía entre 1 < εr < 10. En 
los buenos conductores εr = 1 al igual que en el vacío.
Según el valor de µr los medios se dividen en diamagnéticos (µr < 1) o 
paramagnéticos (µr > 1) pero en ambas clases de materiales con valores muy 
cercanos a la unidad. Si µr >> 1 el material se llama ferromagnético. Los 
materiales ferromagnéticos, además, no son lineales.
La carga disminuye en el interior de la región, apareciendo en la 
superficie que limita esta con un medio con σ = 0, donde τ = ∞ .
El tiempo de relajación es el tiempo transcurrido hasta que la densidad de 
carga cae a 1/e su valor inicial.
Caracterización de los Materiales
Para los conductores se cumple que τ << 1 o bien que σ >> ε lo que quiere decir 
que las cargas se difunden rápidamente hacia la superficie. 
Los aislantes o (dieléctricos) son sustancias en que los electrones están 
fuertemente ligados a las moléculas constituyentes de forma que el proceso de 
conducción está muy restringido (y predomina mas bien el proceso de 
polarización). 
En los aislantes resulta que τ >> 1 o bien que ε >> σ, y las cargas se difunden 
con mucha lentitud. 
Aún hay otros materiales en que ε y σ son comparables y por tanto τ ≅ 1, tal es 
el caso de los semiconductores y los electrolitos. En estos materiales las 
propiedades son intermedias entre conductores y aislantes. 
El tiempo de relajación nos sirve para caracterizar a los materiales frente al 
proceso de conducción. Según esto la materia se divide en conductores de 
electricidad y aislantes. Los conductores son sustancias que, como los metales, 
contienen gran cantidad de carga libre (electrones) que son los responsables del 
proceso de conducción. 
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-23
Caracterización de los Materiales
Agua destilada 1 81 10-6 s
Tierra arenosa 1 3.45
Cuarzo fundido 1 3.8 10 días
Polietileno 1 2.26
Teflon 1 2.04
Mica 1 7
Cobre 0.9999 1 1.5 10-19 s
Plata 0.9999 1 1.3 10-19 s
Aluminio 1.0002 1 2.5 10-19 s
Hierro 5.5 1
Ferrita Ni-Zn 2.5 1
Mumetal 100 1
MATERIAL µr εr τ
A título comparativo se da la siguiente tabla de valores de σ, ε, µ para algunos 
materiales. 
Se puede ver que µr ≅ 1 para todos los materiales excepto los 
ferromagnéticos y que εr = 1 para los buenos conductores. 
Ejercicio
La figura muestra la variación con el tiempo de la densidad volumétrica de 
carga para diversos valores de σ. Escriba los valores extremos de σ
correspondientes
t
ρ0
σ
σ =
σ =
t
ρ0
σ
σ =
σ =
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-24
Unidades y Dimensiones
La realización de medidas exige la necesidad de fijar unidades para realizarlas. 
La dificultad del establecimiento de unidades y dimensiones en 
electromagnetismo surge del hecho, a diferencia de lo que ocurre p.e. en 
Mecánica, de que en la formulación de las leyes aparecen constantes 
fundamentales. Así de las ecuaciones de Maxwell se deduce que las 
magnitudes ε0 y µ0 están relacionadas como:
seg
mvacioluzvelocidad 8
00
1031 ×≅=
εµ
Por tanto no solo existe una relación numérica entre µ0 y ε0 sino también 
dimensional ya que ha de tener dimensiones de velocidad. El valor 
de esta velocidad que hemos adelantado es precisamente el de la luz en el 
vacío. Las primeras medidas realizadas para determinar esta relación lo fueron 
por Weber y Kohlrausch y significaron un puente de unión entre la luz y el 
electromagnetismo. 
001 εµ
Los fenómenos electromagnéticos van ligados a efectos mecánicos tales como 
fuerzas, disipación de potencia, etc. A este respecto son bien conocidas las 
fuerzas entre dos cargas q1 y q2 y por unidad de longitud entre dos corrientes 
paralelas I1 e I2, separadas r en el vacío:
2
21
04
1
r
qqF
πε
= r
IIF 210
2π
µ
=
Unidades y Dimensiones
En vista a las relaciones anteriores pueden seguirse dos caminos:
1) Se escoge un valor cómodo y sin dimensiones para ε0 o para µ0. El otro se 
obtiene de . Y de las expresiones de la fuerza se obtienen las 
dimensiones de q o I según los casos. Con esta forma de proceder se 
originaron los sistemas de unidades electrostático y electromagnético según 
se escogiese el valor fácil para ε0 o µ0 respectivamente.
001 εµ=c
2) Se escogen dimensiones para ε0 y µ0 con lo que queda un grado de 
libertad para elegir una magnitud electromagnética q o I como fundamental, 
junto con las magnitudes mecánicas.
El segundo camino es el adoptado internacionalmente por acuerdo de la 
Comisión Electrotécnica Internacional de 1935. Allí se adoptó la carga como 
magnitud fundamental y el Culombio como unidad para medirla. Con ello se 
adopta en definitiva el sistema MKSQ.
Además no suelen referirse las unidades a las fundamentales sino que se van 
definiendo unidades prácticas de utilización técnica con referencia a otras ya 
derivadas.
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-25
Unidades y Dimensiones
La relación entre las unidades de carga y de corriente es inmediata ya que:
dtdQI =Por tanto:
segundo
CulombioAmperio
1
11 =
Para µ0 se ha adoptado el valor µ0 = 4π 10-7 , siendo sus unidades:
[ ]
[ ][ ]
[ ] 2
2
2
2
20 cul
mKg
seg
cul
seg
mKg
I
rr
F ⋅
=
⋅
==µ
Inmediatamente se obtiene para ε0 :
9
716
0
20 1036
1
104109
11 −
− =⋅⋅⋅
==
ππµ
ε
c
[ ] [ ][ ] 3
22
2
2
0
20
11
mKg
segcul
cul
mKg
seg
mc ⋅
⋅
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ⋅
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==
µ
ε
De la ecuación obtenemos:RIW 2= [ ] [ ][ ] 22 1
11
Amp
Wat
I
WR =Ω⇒=
De la ecuación obtenemos:
S
lR
σ
1
= Siemens
m
mho
m
munidad ==
Ω
= 2
11 σ
Unidades y Dimensiones
De la ecuación V = IR se obtiene: VoltioAmpVunidad =Ω⋅=1
De se deduce:( )∫∫ ⋅= S SdrJI
rrr
21 m
AmpJunidad =
r
De la ley de Ohm :EJ
rr
σ=
m
Voltm
m
AmpEunidad =⋅Ω= 21
r
De la ley de inducción de Faraday :
dt
dimef BΦ−=....
WebersegVoltunidad B =⋅=Φ1
Por tanto como :∫∫ ⋅=Φ SB SdB
rr
21 m
WeberBunidad =
r
De la ley de Ampere :IldH
C
=⋅∫
rr
m
AmpHunidad =
r
1
De la ley de Gauss :QSdD
S
=⋅∫∫
rr
21 m
CulDunidad =
r
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-26
Unidades y Dimensiones
Teniendo en cuenta la expresión de la capacidad : 
V
QC =
Faradio
Volt
CulCunidad ==1
2
22222
1
mKg
segCul
mNewton
Cul
Julio
Cul
segWat
Cul
Amp
Amp
Volt
CulFaradio
⋅
⋅
=
⋅
==
⋅
==
Y las unidades de ε0 : [ ]
m
Faradio
mKg
segcul
=
⋅
⋅
= 3
2
0ε
Análogamente de la ecuación :LIB =Φ HenrioAmp
WeberLunidad ==1
2
2
2
2
2 Cul
mKg
Cul
segJulio
Amp
segWat
Amp
segVolt
Amp
WeberHenrio ⋅=⋅=⋅=⋅==
Y las unidades de µ0 : [ ] m
Henrio
cul
mKg
=
⋅
= 20µ
Definición de los Campos E y B
Al postular las ecuaciones de Maxwell no se ha dado una definición de los 
vectores sino que solo se han establecido las relaciones entre ellos. 
Las relaciones entre E y D por una parte y entre H y B por otra han sido fijadas
completamente al determinar los valores y dimensiones de ε0 y µ0. Ello permite
tener que definir solo dos de los vectores, que van a ser E y B.
La naturaleza física de E y B se determina a través de experimentos que 
permitan su medida en relación con efectos mecánicos (en particular fuerzas).
Es fácil comprobar que las dimensiones de ρE son las de una fuerza por 
unidad de volumen:
[ ] 34443 m
Newton
m
Julios
m
segWat
m
segVoltAmp
m
Volt
m
CulE ==⋅=⋅⋅==
r
ρ
Por tanto si se introduceuna densidad de carga ρ, distribuida en un volumen 
V, en el seno de un campo E sobre la carga se ejercerá una fuerza:
∫∫∫= V dVEF
rr
ρ
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-27
Definición de los Campos E y B
Así, si se introduce una carga q en el seno de un campo E sobre aquella 
aparece una fuerza F de manera que se define E como:
q
FE
q
r
r
0
lim
→
=
donde el límite indica que la carga de prueba debe ser lo más pequeña 
posible para que no altere el campo que se desea medir. 
Por tanto se observa que al introducir una carga puntual q en el seno de un 
campo E la fuerza sobre dicha carga será: ( ) ( )qV q rEqdVErrqF
rrrrrr
=−= ∫∫∫ δ
Análogamente se puede comprobar que las dimensiones de JxB son de fuerza 
por unidad de volumen:
[ ] 3422 m
Newton
m
segVoltAmp
m
Weber
m
AmpBJ =⋅⋅==×
rr
Por tanto si consideramos una distribución de corriente J en el seno de un 
campo B este ejercerá una fuerza sobre la distribución:
[ ]∫∫∫ ×= V dVBJF
rrr
Definición de los Campos E y B
Si consideramos una carga puntual q que se mueve con velocidad v en el 
seno del campo aparecerá una fuerza sobre la carga de valor:
( )[ ] ( )qV q rBvqdVBvrrqF
rrrrrrrr
×=×−= ∫∫∫ δ
y se puede definir B como el vector que satisface la anterior ecuación. Es 
por tanto la fuerza que actúa sobre la unidad de carga debida al movimiento 
de la misma.
La fuerza neta que aparece sobre la carga puntual se debe tanto al campo E
como al B si la carga se mueve resultando la conocida ecuación de la fuerza 
de Lorentz:
( ) ( )qqme rBvqrEqFFF r
rrrrrr
×+=+=
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-28
Ejercicio
Calcular la fuerza que ejerce una carga puntual Q en el origen de 
coordenadas sobre una distribución superficial de carga uniforme de 
densidad ρs0 sobre un casquete esférico de radio r y θ≤θ0. ¿Para que valor 
de θ0>0 se anula la fuerza?. Represente su variación con θ0.
E
v
r
Q
dSs0ρ
El campo creado por la carga puntual se obtiene 
aplicando el Teorema de Gauss a una esfera de radio r 
y centro en la carga
( ) ( ) ( )rErdSrEdSrrrEQSdD
EsfEsfEsf
2
000 4ˆˆ πεεε ∫∫∫∫∫∫ ==⋅==⋅
rr
( ) r
r
QrE ˆ
4 20πε
=
r
La fuerza sobre la carga asociada a la diferencial de superficie será:
( ) r
r
ddsenrQdqrEFd s ˆ
4 20
2
0
πε
ϕθθρ
==
rr ( ) ∫∫∫∫ == S
s
S
rddsenQdqrEF ˆ
4 0
0 ϕθθ
πε
ρrr
Para hacer la integral hay que expresar el vector en componentes cartesianas. 
Las integrales de las componentes x e y se anulan por simetría (verificar 
haciendo las integrales). La componente z resulta:
Ejercicio
zsenQsenzQddsenzQF sss
z
ˆ
42
ˆ
2
cosˆ
4 0
2
0
0
0
2
0
02
0 0
0
0
0
0 θ
ε
ρθ
ε
ρϕθθθ
πε
ρ
θ
π
ϕ
θ
θ
=== ∫ ∫= =
r
La fuerza vale cero para θ0 = π
F 0
2θsen
θ0π0
La representación gráfica del módulo de la fuerza es:
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-29
Energía Electromagnética
Debe recordarse que los experimentos de Joule pusieron de manifiesto una 
relación entre la corriente que circula por un conductor, la resistencia del 
mismo y la potencia que se disipa en forma de calor. El resultado, conocido 
como ley de Joule, es: RIPd
2=
Conviene formular la ley en forma puntual válida para pequeños elementos. 
Consideraremos elementos de volumen un forma de pequeños cilindros 
tales que la dirección de la corriente coincida con el eje del cilindro.
S
r
∆
l∆
J
r
S
lR
S
lR
∆
∆
=⇒=
σσ
11 SJSJSJSdJI
S
rrrrrr
∆⊥∆=∆⋅=⋅= ∫∫∆ ,,
Por lo tanto: ( ) VJ
S
lSJPd ∆=∆
∆
∆=
σσ
2
2 1
2
2
EEJJJJ
V
Pd σ
σσ
=⋅=
⋅
==
∆
rr
rr
teniendo en cuenta la ley de Ohm
Energía Electromagnética
Para definir la energía electromagnética admitimos como 
fundamental el principio de conservación de la energía. Aplicado 
aquí será:
Consideremos un volumen V rodeado por una superficie S. Suponemos que 
en V hay un campo electromagnético, que el medio tiene una conductividad σ
y que de acuerdo con la ley de Joule se disipará una potencia:
∫∫∫ ⋅= Vd dVEJP
rr
dV
V S
n̂
σ
dS
Por la 2ª ecuación de Maxwell será: t
DHJ
∂
∂
r
rr
−×∇=
Y por tanto: ( ) dVE
t
DdVEHP
VVd
r
r
rr
∫∫∫∫∫∫ ⋅−⋅×∇= ∂
∂
Como además: ( ) HEEHHE rrrrrr ×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇
( ) ( )
( )dVHEdVE
t
DdVH
t
B
dVE
t
DdVHEdVHEP
VVV
VVVd
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
×⋅∇−⋅−⋅−=
=⋅−×⋅∇−⋅×∇=
rrr
r
r
r
r
r
rrrr
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Llamamos vector de Poynting a: HEP
rrr
×=
( )Energia
dt
dPerdidas −=
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-30
Energía Electromagnética
Podemos reescribir la ecuación anterior de la potencia disipada como:
( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅+⋅−=⋅+=⋅∇+
VSdVd
dVH
t
BE
t
DSdPPdVPP
r
r
r
r
rrr
∂
∂
∂
∂
Teniendo en cuenta que: ( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅=⋅=⋅=⋅ DE
t
EE
tt
EE
t
DE
rrrr
r
r
r
r
2
1
2
1
∂
∂ε
∂
∂
∂
∂ε
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅=⋅ BH
tt
BH
rr
r
r
2
1
∂
∂
∂
∂y
( )
dt
dWdVBHDE
dt
dSdPP
VSd
−=⋅+⋅−=⋅+ ∫∫∫∫∫
rrrrrr
2
1
donde llamamos energía electromagnética W a: ( )∫∫∫ ⋅+⋅= V dVBHDEW
rrrr
2
1
denominada teorema de Poynting
El teorema de Poynting expresa la ley de conservación de la energía 
estableciendo que la disminución de energía electromagnética en un región 
se debe a disipación de potencia en forma de calor (efecto Joule) y al flujo 
hacia el exterior del vector de Poynting. Ello implica transferencia de energía 
hacia el exterior asociada al flujo del vector de Poynting.
Energía Electromagnética
Comprobemos que dimensionalmente la definición anterior de energía 
electromagnética es correcta, así como que las dimensiones del vector de 
Poynting son de densidad de energía:
[ ] JuliossegWatsegAmpVoltm
m
Cul
m
VoltdVDE =⋅=⋅⋅==⋅ 32
rr
[ ] JuliossegWatsegVoltAmpm
m
Weber
m
AmpdVBH =⋅=⋅⋅==⋅ 32
rr
[ ] [ ] 2m
Wat
m
Amp
m
VoltHEP ==×=
rrr
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-31
Ejercicio
Por el interior de un hilo conductor cilíndrico de radio a y longitud infinita 
circula una corriente estacionaria I uniformemente distribuida por su sección 
transversal. Obtenga el valor de la densidad volumétrica de corriente y el de la 
intensidad de campo eléctrico si la conductividad es σ. Calcule la intensidad 
de campo magnético sobre la superficie del cilindro. Calcule el flujo del vector 
de Poynting por unidad de longitud sobre la superficie del cilindro. Compruebe 
que es igual a las pérdidas que se producen por efecto Joule.
z
a
IzJJ z ˆˆ 2π
==
r
z
a
IJE ˆ2σπσ
==
r
r
ISd
t
DSdJldH
SSC
=⋅
∂
∂
+⋅=⋅ ∫∫∫∫∫
r
r
rrrr
ϕ
π
ϕ
ϕϕ
ϕ π
ϕ
ϕ ˆ
2ˆ
ˆ 2
0 a
IHIadH
adld
HH
=⇒=⇒
⎭
⎬
⎫
=
=
∫
r
r
ra
C
z
( )ρ
σπσ
ˆ
2 32
2
−==×=
a
IJHEP
r
rrr
Ejercicio
( )
RI
a
I
a
I
dzd
a
IFlujoInfFlujoSupSdP
zS
2
2
2
2
2
1
0
2
0 32
2
1100
ˆˆ
2
−=−=−+=
=⋅−++=⋅ ∫ ∫∫∫ = =
πσσπ
ϕρρρ
σπ
π
ϕ
rr
Y la potencia disipada por efecto Joule es
2
22 11
a
IRIPd πσ
==
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-32
Condiciones de salto
Las ecuaciones de Maxwell se postularon en los puntos ordinarios del espacio. 
En general se tendrán conductores y dieléctricos de distinta naturaleza por lo 
que será frecuente tener discontinuidades con el consiguiente cambio de los 
parámetros que caracterizan al medio. Al haber puntos no ordinarios la validez 
de las ecuaciones no queda garantizada por lo que cabe esperar que los 
campos presenten discontinuidades correspondientes a las del medio.
Se pretende por tanto formular matemáticamente las discontinuidades que 
pueden presentar los vectores del campo electromagnético.
Si bien desde el punto de vista macroscópico cada medio se caracteriza por 
sus propios parámetros, y por tanto la superficie de separación implica un 
cambio brusco de los mismos, vamos a imaginar una zona o capa de transición 
en la que los parámetros cambian rápidamente pero de forma continua. Con 
esta idea las E.M. serán validas en dicha región y podremos averiguar que 
ocurre en el límite cuando la hacemos desaparecer.
(1) (2) (1) (2)
Condiciones de salto de B
Integramos la ecuación en el volumen diferencialindicado en la figura.0=⋅∇ B
r
Aplicando el teorema de Gauss:
LateralFlujoSdBSdBSdB
S
+⋅+⋅==⋅∫∫ 22110
rrrrrr
( ) ( )ndSndSSdndSndSSd ˆˆ,,ˆˆ 2211 ==−==
rr
Por lo tanto: ( ) 0ˆ12 =+⋅− LateralFlujodSnBB
rr
Tomando el límite haciendo tender 
el volumen tenderá a la superficie de separación.
0→∆h
El flujo lateral tenderá a cero (salvo que B se hiciese infinito).
Por lo tanto: ( ) 0ˆ12 =⋅− dSnBB
rr ( ) 0ˆ12 =⋅− nBB S
rr
NN BB 21 =
Las componentes normales de B son continuas a través de la superficie de 
separación de dos medios.
Por convenio la normal a la superficie se 
toma desde el medio 1 hacia el medio 2.
n̂
dS
h∆
(2) 222 σµε
(1) 111 σµε
1n̂
2n̂
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-33
Condiciones de salto de D
Aplicando el teorema de Gauss:
qLateralFlujoSdDSdDSdD
S
=+⋅+⋅=⋅∫∫ 2211
rrrrrr
( ) ( )ndSndSSdndSndSSd ˆˆ,,ˆˆ 2211 ==−==
rr
Por lo tanto: ( ) qLateralFlujodSnDD =+⋅− ˆ12
rr
n̂
dS
h∆
(2) 222 σµε
(1) 111 σµε
Integramos la ecuación en el volumen diferencial indicado en la figura.ρ=⋅∇ D
r
Tomando el límite haciendo tender el volumen tenderá a la superficie 
de separación. La carga volumétrica encerrada se hará cero. Pero si hubiese 
una distribución superficial ρs la carga encerrada en el limite será ρsdS.
0→∆h
El flujo lateral tenderá a cero (salvo que D se hiciese infinito).
Por lo tanto: ( ) dSdSnDD sρ=⋅− ˆ12
rr ( ) sS nDD ρ=⋅− ˆ12
rr
sNN DD ρ=− 12
Las componentes normales de D son continuas a través de la superficie de 
separación de dos medios a no ser que en dicha superficie exista una densidad 
superficial de carga, en cuyo caso dichas componentes son discontinuas en el 
valor de dicha densidad superficial.
Por convenio la normal a la superficie se 
toma desde el medio 1 hacia el medio 2.
1n̂
2n̂
Condiciones de salto de E
Considérese un camino de integración sobre una espira rectangular 
infinitesimal como la de la figura. Dos lados dl caen en cada una de las caras de 
la capa de transición. Los lados que penetran en la capa de transición son 
iguales en longitud a la anchura ∆h de dicha capa. Como siempre la normal a la 
superficie de separación se toma del medio 1 hacia el 2.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 000201 ˆˆ,,ˆˆˆ,,ˆˆˆ nhdlndSSddlnndllddlnndlld ∆==×==×−=−=
rrr
ττ
h∆
( ) 2222 σµε
( ) 1111 σµε
dl
n̂
τ̂
0n̂
Se toma un sentido de recorrido sobre la espira y
acorde con el se define la normal a la espira n0. El
tercer vector del triedro será: nn ˆˆˆ 0 ×=τ
Aplicando a la espira la ecuación: ∫∫∫ ⋅−=⋅ SC Sdt
BldE
r
r
rr
∂
∂
Sd
t
BLateralnCirculacióldEldE
r
r
rrrr
⋅−=+⋅+⋅
∂
∂
2211
Por tanto: ( ) ( ) hdln
t
BLateralnCirculaciódlnnEE ∆⋅−=+×⋅− 0012 ˆˆˆ ∂
∂
r
rr
Tomando el límite haciendo tender la circulación lateral se hará cero. 
Además el segundo miembro de la ecuación también se hace cero siempre 
que no se haga infinito
0→∆h
t
B
∂
∂
r
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-34
Condiciones de salto de E
Quedará por tanto: ( ) ( ) 0ˆˆ012 =×⋅− nnEE S
rr
Reordenando el producto mixto: ( ) ( ) ( )[ ] 0ˆˆˆˆ 120012 =−×⋅=×⋅− EEnnnnEE
rrrr
La orientación de la espira es arbitraria y por tanto lo es la orientación de n0. En
consecuencia para que la ecuación anterior se verifique cualquiera que sea n0
deberá ser: ( ) 0ˆ 12 =−× SEEn
rr
TT EE 21 =
Las componentes tangenciales de E son continuas a través de la superficie 
de separación de dos medios. 
Condiciones de salto de H
Considérese un camino de integración sobre una espira rectangular infinitesimal 
como la de la figura. Dos lados dl caen en cada una de las caras de la capa de 
transición. Los lados que penetran en la capa de transición son iguales en 
longitud a la anchura ∆h de dicha capa. Como siempre la normal a la superficie 
de separación se toma del medio 1 hacia el 2.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 000201 ˆˆ,,ˆˆˆ,,ˆˆˆ nhdlndSSddlnndllddlnndlld ∆==×−==×−=−=
rrr
ττ
h∆
( ) 2222 σµε
( ) 1111 σµε
dl
n̂
τ̂
0n̂
Se toma un sentido de recorrido sobre la espira y
acorde con el se define la normal a la espira n0. El
tercer vector del triedro será: nn ˆˆˆ 0 ×=τ
Aplicando a la espira la ecuación: ∫∫∫∫∫ ⋅+⋅=⋅ SSC Sdt
DSdJldH
r
r
rrrr
∂
∂
dSn
t
DdSnJLateralnCirculacióldHldH 002211 ˆˆ ⋅+⋅=+⋅+⋅ ∂
∂
r
rrrrr
Por tanto: ( ) ( ) hdln
t
DnJLateralnCirculaciódlnnHH ∆⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅+⋅=+×⋅− 00012 ˆˆˆˆ ∂
∂
r
rrr
Tomando el límite haciendo tender la circulación lateral se 
hará cero. Además el segundo término del segundo miembro de la 
ecuación también se hace cero siempre que no se haga infinito
0→∆h
t
D
∂
∂
r
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-35
Condiciones de salto de H
Quedará por tanto: ( ) ( ) ( ) hnJnnHH
hS
∆⋅=×⋅−
→∆ 00012
ˆlimˆˆ
rrr
Reordenando el producto mixto:
La orientación de la espira es arbitraria y por tanto lo es la orientación de n0. 
En consecuencia para que la ecuación anterior se verifique cualquiera que 
sea n0 deberá ser: 
Las componentes tangenciales de H son continuas a través de la superficie de 
separación de dos medios salvo en el caso en que exista una densidad 
superficial de corriente. 
( )[ ] 0limˆˆ
0120
=∆−−×⋅
→∆
hJHHnn
h
rrr
( ) 0limˆ
012
=∆−−×
→∆
hJHHn
h
rrr
Si J es finito resultará: ( ) 0ˆ 12 =−× SHHn
rr
TT HH 21 =
J es infinito en el caso de tener una densidad superficial de corriente Js sobre 
la superficie de separación. El limite resultará Js
( ) sS JHHn
rrr
=−× 12ˆ
Ejercicio
¿Cual es la densidad de carga que, en un determinado recinto con 
permitividad dada por ε=4r2, genera un campo dado por: ?
2
ˆ
r
rE =
r
De la ecuación de Maxwell sabemos que:
( ) ( ) ( )
( )
r
r
r
r
dr
d
r
r
r
rrED
881
41ˆ4
ˆ
4
2
2
22
2
==
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=⋅∇=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⋅∇=⋅∇=⋅∇=
rr
ερ
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-36
Ejercicio 
Un conductor perfecto de forma esférica y radio R está rodeado de una 
densidad volumétrica de carga ρ(r) en el vacio. Si para r>R el campo eléctrico 
viene dado por calcule: a) ρ(r); b) ρs en la superficie de 
la esfera; c) la carga total.
( ) ( ) re
r
brarE br ˆ23
−+=
rr
( ) ( )
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +⋅=
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +⋅∇=⋅∇=⋅∇=
−−
−
2
223
2
2
0
30
222
ˆ2
b
r
b
r
e
r
ae
r
brar
dr
d
r
re
r
braED
brbr
br
ε
εερ
rr
a) ρ(r) será:
R
0ε ( )rρ
∞=σ
1
2
b) Si σ=∞ entonces E1=0 pues sino la potencia disipada σE2
seria ∞. Por tanto ρs será: 
( ) ( ) ( ) bR
Rr
br
RrNRrNNs
e
R
bRae
r
braDDD −
=
−
==
+
=
+
==−= 3030212
22 εερ
c) La carga total encerrada por cualquier superficie de radio r>R será :
( ) ( ) ( ) brbr
rEsfrEsf
e
r
braddre
r
braSdrESdDrQ −
= =
− +=⋅
+
=⋅=⋅= ∫ ∫∫∫∫∫
24sin2)( 0
2
0 0
2
30. 0.
πεφθθεε
π
φ
π
θ
rrrrr
( ) 024 0lim =⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ += −
∞→
br
r
Total er
braQ πεPor tanto la carga total será:
Ejercicio
Dada la distribución de campo electrostático en el vacío:
( ) ( )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤≤+
≤≤⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+
=
br
brarkk
r
arr
a
rkk
r
rE
0
ˆ1
0ˆ1
102
4
102
rr
Obtener a) las distribuciones de carga, b) la carga total y c) la energía 
electrostática en la región a < r <b.
a) Las distribuciones de carga podrán ser volumétricas, superficiales, lineales 
y/o puntuales. Las volumétricas serán:
r
a
k
a
rk
rra
rkk
r
r
rr
ED 4
01
4
120
4
102
2
200
4111 εεεερ =⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+
∂
∂
=⋅∇=⋅∇=
rr
en la región r <a y valdrán cero en las otras dos regiones.
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-37
Ejercicio
Las densidades superficiales en las superficies de separación serán:
No hay densidades lineales de carga porque el campo no se hace infinito a lo 
largo de ninguna línea.
El campo se hace infinito en r=0. La posible carga puntual en r=0 se obtiene 
aplicando la Ley de Gauss:
( )
ss
DDn 12
rrr
−⋅=ρ
( ) 011ˆˆ
4
10201020=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+−+⋅=
=
=
ar
ars a
rkk
r
kk
r
rr εερ
( ) 02 101020
10ˆˆ εερ
b
kkkk
r
rr
br
brs
+
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−⋅=
=
=
00
2
4
102000 4ˆˆ
1limlim kddsenrrr
a
rkk
r
SdDq
rEsfrrEsfr
πεϕθθε =⋅⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+=⋅= ∫∫∫∫ →→
rr
Ejercicio
b) La carga total puede obtenerse aplicando la Ley de Gauss en r>b (todas las 
cargas están encerradas dentro de esta superficie). Como en esta región E es 
cero D también es cero y su flujo es cero por lo que la carga total es cero
( ) 0
4
4444
444
4
4
01
10000
2
0 0 0
2
4
012
02
10
00
=++−=
=+
+
−=++= ∫ ∫ ∫∫∫∫∫∫
= = =
a
a
kkkk
ddrdsenrr
a
kb
b
kkkdvdSqQ
a
r
st
πεπεπε
ϕθθεπεπερρ
π
ϕ
π
θ
c) La energía electromagnética, supuesto sólo el campo electrostático, es:
( )
( ) ( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+=
=
+
=⋅= ∫ ∫ ∫∫∫∫
= = =
ba
kk
r
kk
ddrdsenr
r
kkdvDEW
b
a
b
ar
E
11214
2
1
2
1
2
1
2
100
2
100
2
0 0
2
4
2
10
0
πεπε
ϕθθε
π
ϕ
π
θ
rr
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-38
Ejercicio
Dado el campo eléctrico , expresado en coordenadas esféricas, 
localice y calcule las cargas que lo crean.
( ) θ
θ
ˆ
sinr
krE =r
r
Por la dirección que tienen las líneas de campo se ve que salen de puntos en el 
semieje z>0 y que terminan en puntos en el semieje z<0. 
El valor del campo en el semieje z>0 (θ=0) y en el semieje z<0 (θ= π ) es ∞. Por 
tanto en dichos puntos debe existir una distribución lineal de carga.
( ) θ
θ
ˆ
sinr
krE =r
r
Aplicando el Teorema de Gauss al volumen 
encerrado por el cono de ángulo θ y cerrado 
por el casquete esférico de radio r=L vemos 
que el flujo sobre el casquete esférico es nulo 
y por tanto el flujo total es
( ) kLdrsendr
rsen
kSdD
L
r
S
πεϕθθθ
θ
ε
π
ϕ
2ˆˆ
0
2
0
=⋅=⋅ ∫ ∫∫∫
= =
rr
Si la densidad lineal de carga fuese constante valdría:
kLkL πελλπε 22 =⇒=
Ejercicio
0ε
ε
a b
rn ˆ≡r
0
0
0
≠
=
=
σ
ρ
D
r
En el dieléctrico (r < a) la densidad 
volumétrica de carga es:
Entre r=a y r=b la densidad volumétrica es:
202
2
0
2
2
41
a
rD
a
rDr
rr
D =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
=⋅∇=
r
ρ
En el interior del conductor (r>b) D es cero 
(sino habría corrientes) y ρ=0.
01 2
2
0
2
2 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
=⋅∇=
r
aDr
rr
D
r
ρ
En el interior de una esfera conductora hueca de radio b, existe una esfera 
concéntrica de material dieléctrico de permitividad ε y radio a en el cual la 
inducción eléctrica vale . Entre a y b la inducción es 
Caracterice el tipo y densidad de las distribuciones de carga del problema 
en situación estática.
( )rarDD ˆ220=
r ( )rraDD ˆ220=
r
En r=a y r=b las densidades superficiales son:
( ) 0ˆˆˆ 2
2
02
2
012 =⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⋅=−⋅=
==
=
arar
arsa r
aDr
a
rDrrDDn
rrrρ 2
2
02
2
0ˆ0ˆ b
aD
r
aDrr
br
sb −=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⋅=
=
ρ
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-39
Ejercicio
Determinar, usando la ley de Ampere generalizada, si existe corriente de 
desplazamiento en una región en la que la densidad de corriente de conducción 
viene dada por:
r
r
rJ ˆ
2
3
3
2
+
=
r
Dada la ley de Ampere generalizada: calculamos la divergencia.
t
DJH
∂
∂
r
rr
+=×∇
0=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅∇+⋅∇=×∇⋅∇
t
DJH
∂
∂
r
rr
J
t
D r
r
⋅−∇=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅∇
∂
∂
En este caso: por lo que 0
2
31
3
2
2
2 ≠⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⋅=⋅∇
r
rr
dr
d
r
J
r
0≠⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅∇
t
D
∂
∂
r
0≠
t
D
∂
∂
r
O sea que existe corriente de desplazamiento.
Ejercicio
Se sabe que en una región cilíndrica ρ≤R la inducción magnética viene dada 
por . Si en el exterior de dicha región el campo magnético es 
nulo, determine el vector densidad de corriente en la superficie cilíndrica ρ=R. 
( ) φρ ˆ2 0 tBB =
r
( )
( ) ( ) ( ) zRtBtB
BHHnJ
R
R
ss
ˆ2ˆˆ2
ˆˆ
00
12
µ
φρ
µ
ρ
µ
ρ
ρ
ρ
−=×−=
=×−=−×=
=
=
r
rrr
Basta con aplicar las condiciones de salto de H
z
x
y
R
Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell 
25/10/2005 EyM 2-40
Ejercicio
Obtener las fuentes del campo estacionario dado por:
⎩
⎨
⎧
>
<
=
ar
arkrH
0
θ̂r
( ) arkkr
rr
r
rkr
r
rrsensenr
r
krHJ
<=
∂
∂
++=
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇=×∇=
,,ˆ2
ˆ
0ˆ0ˆ
00
ˆˆˆ
ˆ
2
2
ϕϕθ
ϕθ
ϕ
θ
θ
θ
θ
rr
Las fuentes volumétricas serán:
Fuentes superficiales: en r=a hay discontinuidad del campo por lo que
( ) ( ) arkakrrHHnJ
arss
=−=−×=−×=
=
,,ˆˆ0ˆˆ 12 ϕθ
rrr