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Electricidad y Magnetismo Curso 2005/06
Tema 7: Variación Temporal Arbitraria. EyM 7-1
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J.L. Fernández Jambrina EyM 7-1
Variación temporal arbitraria.
• Definición
• Potenciales electrodinámicos.
– Ecuaciones en medios homogéneos.
– Solución en medios indefinidos
» Potenciales retardados.
• Consideraciones sobre el retardo.
J.L. Fernández Jambrina EyM 7-2
Variación temporal arbitraria.
• Si no se impone ninguna restricción a la variación con el tiempo hay 
que utilizar las ecuaciones de Maxwell al completo:
– En muchos casos, por ejemplo el estudio de líneas de transmisión, no es 
necesario recurrir a la definición de potenciales.
– En otros sí es conveniente, por ejemplo en el estudio de la radiación.
– En este curso se van a utilizar los potenciales electrodinámicos porque 
permiten una mejor interpretación de las limitaciones de la variación 
lenta.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0,,,
,,
=+⋅∇===
=⋅∇+=×∇
=⋅∇−=×∇
t
JEJHBED
B
t
trDtrJtrH
D
t
trBtrE
∂
∂ρσµε
∂
∂
ρ
∂
∂
rrrrrrr
rr
r
rrrr
rr
r
rr
Electricidad y Magnetismo Curso 2005/06
Tema 7: Variación Temporal Arbitraria. EyM 7-2
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J.L. Fernández Jambrina EyM 7-3
Potenciales electrodinámicos.
• En general se puede seguir definiendo un potencial vector magnético 
electrodinámico:
– donde de nuevo queda el grado de libertad de definir la
• Llevando esta definición a la ley de Faraday:
– donde se ha supuesto que, al tratarse de puntos ordinarios del espacio, 
se puede intercambiar el orden de las derivadas.
– colocando ambos términos a un lado de la 
igualdad, resulta posible definir un potencial 
escalar eléctrico electrodinámico: 
( ) ( ) ( ) ( )
t
trAtrA
tt
trBtrE
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ,,,,
rr
rr
rr
rr
×−∇=×∇−=−=×∇
( ) ( ) 0,, =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+×∇
t
trAtrE
∂
∂ r
r
rr
( ) ⇒⎪⎭
⎪
⎬
⎫
=×∇⋅∇
=⋅∇
0
0
A
B
r
r
AB
rr
×∇=
A
r
⋅∇
( ) ( ) ( ) ⇔Φ−∇=+ tr
t
trAtrE ,,, r
rr
rr
∂
∂ ( ) ( ) ( )
t
trAtrtrE
∂
∂ ,,,
rr
rrr
−Φ−∇=
J.L. Fernández Jambrina EyM 7-4
Ecuaciones de los potenciales 
en medios homogéneos.
• Para obtener de forma simple las ecuaciones que relacionan los 
potenciales con las fuentes de campo es necesario suponer que el
medio es homogéneo, lineal e isótropo.
– Trabajando con la ley de Ampère:
– Considerando que:
– Reagrupando términos:
t
EJB
EDHB
t
DJH
∂
∂µεµ
εµ
∂
∂ rrr
rrrr
r
rr
+=×∇⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
==
+=×∇
;
( )
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
Φ∇
−=+=×∇
∆−⋅∇∇=×∇×∇=×∇
⇒
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
∆−⋅∇∇=×∇×∇
−Φ−∇=
×∇=
2
2
t
A
t
J
t
EJB
AAAB
AAA
t
AE
AB
∂
∂µε
∂
∂µεµ
∂
∂µεµ∂
∂ r
r
r
rr
rrrr
rrr
r
r
rr
J
t
A
t
AA
rr
r
r
µ
∂
∂µε
∂
∂µε −=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Φ+⋅∇∇−−∆ 2
2
Electricidad y Magnetismo Curso 2005/06
Tema 7: Variación Temporal Arbitraria. EyM 7-3
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J.L. Fernández Jambrina EyM 7-5
• Realizando un proceso similar sobre la ecuación de Gauss:
• De la transparencia anterior:
• Resulta conveniente escoger:
– expresión conocida como contraste de Lorentz.
• Con esta elección se separan las ecuaciones de ambos potenciales:
Ecuaciones de los potenciales 
en medios homogéneos. (2)
ε
ρ
∂
∂
∂
∂εε
ερ
∂
∂
εµ
ρ
−=⋅∇+∆Φ⇔
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅∇−∆Φ−=
=⋅∇=⋅∇=
⇒
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
−Φ−∇=
==
=⋅∇
A
t
t
A
ED
t
AE
EDHB
D
rr
rr
r
r
rrrr
r
;
J
t
A
t
AA
rr
r
r
µ
∂
∂µε
∂
∂µε −=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Φ+⋅∇∇−−∆ 2
2
0=Φ+⋅∇
t
A
∂
∂µε
r
ε
ρ
∂
∂µεµ
∂
∂µε −=Φ−∆Φ−=−∆ 2
2
2
2
;
t
J
t
AA
r
r
r
J.L. Fernández Jambrina EyM 7-6
Solución de los potenciales electrodinámicos.
• La solución de las ecuaciones de los potenciales electrodinámicos es 
complicada:
– En el caso más simple posible: una carga en el origen de coordenadas 
que varía como , la solución del potencial eléctrico es:
» Si se prescinde del origen de coordenadas, la comprobación es fácil:
» Luego esta solución es válida:
( )q t
( ) ( ) smc
r
crtq
tr 8
000
1031
4
, ⋅==
−
=Φ
εµπε
r
r
r
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
rc
crtq
t
tr
c
rc
crtq
cr
crtq
rc
crtq
rc
crtq
r
c
crtqcrtq
rrr
crtq
r
r
rr
tr
2
0
2
2
2
2
0
2
0
2
0
2
0
00
2
0
2
2
4
,1
4444
44
1
4
1,
πε∂
∂
πεπεπεεπ
πεπε∂
∂
πε∂
∂
∂
∂
−′′
=
Φ
−′′
+=
−′
−
−′′
+
−′
=
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −′
+
−−
=
−
=∆Φ
r
r
0;02
2
≠=
Φ
−∆Φ r
t
r
∂
∂µε
Electricidad y Magnetismo Curso 2005/06
Tema 7: Variación Temporal Arbitraria. EyM 7-4
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J.L. Fernández Jambrina EyM 7-7
Solución de los potenciales 
electrodinámicos. (2)
– Interpretación:
» El valor del potencial en un punto y en el instante t corresponde al 
valor de la carga en el instante
» Se trata de un instante previo, el efecto de la variación de la carga 
tarda en afectar a un punto un tiempo 
» El efecto de la variación de la carga no es instantáneo, se propaga a 
una velocidad finita c, la velocidad de la luz.
– Siguiendo procedimientos similares a los electrostática y magnetostática:
– Debido a este efecto de retardo estos potenciales se conocen también 
como potenciales retardados.
• Matemáticamente es posible la solución con variación temporal 
Esta solución no se considera ya que implica que el efecto sea 
anterior a la causa.
– Esto se llama principio de causalidad.
( ) ( ) smc
r
crtq
tr 8
000
1031
4
, ⋅==
−
=Φ
εµπε
r
r
r
rr
crtt r−=′
crr
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ ′′ ′′−
′−−
=′
′−
′−−
=Φ
VV
Vd
rr
crrtrJ
trAVd
rr
crrtr
tr vv
vvvr
vr
vv
vvv
v ,
4
,
,
4
1,
π
µρ
πε
crt r+
J.L. Fernández Jambrina EyM 7-8
Solución de los potenciales 
electrodinámicos. (3)
• Si se aplica la transformada de Fourier, o se supone variación 
sinusoidal y se utilizan fasores:
• Y la solución para distribuciones volumétricas:
– se denomina constante de fase.
– se denomina constante de propagación.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ε
ωρωµεωωωµωµεωω
ε
ρ
∂
∂µεµ
∂
∂µε
,,,;,,,
,,,;,,,
22
2
2
2
2
rrrrJrArA
tr
t
trtrtrJ
t
trAtrA
r
rrrrrrrr
rr
rrr
rr
rr
−=Φ+∆Φ−=+∆
−=
Φ
−∆Φ−=−∆
µεωβ =
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ ′′ ′
′−−
′−
=′
′−−
′−
=Φ
VV
Vd
rrj
e
rr
frJtrAVd
rrj
e
rr
frfr
vv
vv
vr
vr
vv
vv
v
v β
π
µβρ
πε
,
4
,,
4
1,
βγ j=
Electricidad y Magnetismo Curso 2005/06
Tema 7: Variación Temporal Arbitraria. EyM 7-5
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J.L. Fernández Jambrina EyM 7-9
Solución de los potenciales 
electrodinámicos. (4)
• Para la carga puntual en el origen con variación sinusoidal:
– La variación es periódica en el tiempo: periodo T.
– La variación es pseudoperiódica en el espacio: longitud de onda λ.
( ) ( ) ( )( ) ( )
cr
rtq
r
crtq
trtqtq ωµεωβ
πε
βω
πε
ω
ω ==
−
=
−
=Φ⇒= r
r
r
r
r
0
0
0
0
0 4
sen
4
sen
,sen)(
f
c
f
TT
dt
drcctert
=
β
π
=λ⇒π=βλ
=
ω
π
=⇒π=ω
µε
=
β
ω
==⇒=β−ω
22
122
1
r/λ
Φ 0
0 1 2 3
t=0
t=T/8
t=T/4
J.L. Fernández Jambrina EyM 7-10
Consideraciones sobre el retardo
• Se puede despreciar el retardo si, durante el tiempo que tarda la 
perturbación electromagnética en recorrer la mayor de las distancias 
del problema, la variación de las fuentes es despreciable.
– Las condiciones que permiten despreciar el retardo se expresan mejor 
en el caso de variación sinusoidal:
» El tiempo empleado en recorrer la mayor distancia será:
» La variación de fase de las fuentes en ese tiempo será:
» Se podrá despreciar el retardo si:
• Si se desprecia el retardo, las soluciones de los potenciales son las 
de variación lenta ya explicada. 
cDt maxmax =
cDt maxmax ωω =
λωωπ =<<⇔>>⇔=>> fcDcfDcDt maxmaxmaxmax 12
Electricidad y Magnetismo Curso 2005/06
Tema 7: Variación Temporal Arbitraria. EyM 7-6
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J.L. Fernández Jambrina EyM 7-11
Consideraciones sobre el retardo (2)
Frecuencia Longitud de Onda Descripción Comentario
50 Hz 6000 km Frecuencia de la red de 
distribución de energía 
eléctrica.
España mide unos 1000Km: 
No se puede despreciar el 
retardo.
4 kHz 75 km Límite de la señal 
telefónica
Atención a los bucles de 
abonado largos y los modem.
20 kHz 15 km Límite de los equipos HI-FI No hay problemas.
10 MHz 30 m Frecuencia fundamental en 
las redes locales.
No se puede despreciar el 
retardo.33 MHz 9 m Frecuencia de reloj de 
ordenadores.
Imposible despreciar el 
retardo, especialmente en 
armónicos.
100 MHz 3 m Centro de la banda de FM. Circuitería más pequeña que 
0.3 m.
1 GHz 0,3 m Empiezan las microondas. Casi imposible utilizar 
componentes discretos 
normales.