eymp_05_1

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21/01/2006 EyM -1
Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales
Ejercicios y Problemas adicionales
Ejercicio
La figura muestra una distribución lineal de carga contenida en el plano z=0 y 
compuesta por un tramo semicircular, que tiene una densidad lineal de carga 
constante de valor λ1, y dos tramos rectos con λ2 ; el medio es el vacío. Se pide:
a) La contribución del tramo semicircular al potencial en los puntos del eje (3p)
b) La contribución de los tramos rectos al potencial en los puntos del eje Z (3p)
c) La relación entre λ1 y λ2 que minimiza el potencial en los puntos del eje z tales 
que a<<|z| (3p)
d) El valor del potencial para la relación entre λ1 y λ2 obtenida en c) para los puntos 
a<<|z| (1p)
Nota: en todos los casos indique las unidades de los resultados en el sistema 
internacional.
 
X
Y
1λ
2λ
2λ
a
aa
a
C
a
xSh
ax
dx
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
+
−∫ 122
a) al tratarse de una distribución lineal de carga en un medio 
homogéneo, lineal, isótropo e indefinido se puede aplicar la 
expresión
( ) ( )∫ ′′−
′
=
L
l ld
rr
rr rr
r
r ρ
πε
φ
04
1
21/01/2006 EyM -2
Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales
Ejercicio
Al tratarse de un tramo semicircular:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
′=′
′′=′′′+′′=′
′=′+′′=′
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤′≤
=′
=′
ϕ
ϕϕϕϕρρρ
ρρρ
πϕπ
ρ
adld
adddld
azzr
z
a
ˆˆˆ
ˆˆˆ
232
0
r
r
Al pedirse el campo en el eje z: 22ˆ azrrzzr +=′−⇒= rrr
Sustituyendo: ( ) V
az
aad
az
zz
22
0
1
23
2
22
1
0
1
44
1ˆ
+
=′
+
= ∫ ε
λϕλ
πε
φ
π
π
b) Nuevamente se trata de una distribución lineal de carga en un medio homogéneo, 
lineal, isótropo e indefinido, por lo que puede aplicarse el mismo procedimiento anterior, 
aunque al tratarse de dos tramos analíticamente independientes se debe aplicar para 
cada uno de ellos y después combinar las soluciones (principio de superposición). Esta 
tarea se simplifica ya que debido a la simetría entre ambos tramos respecto del plano 
y=0 ambas contribuciones son iguales y basta calcular una y multiplicarla por 2.
Ejercicio
Calculando la contribución del tramo superior:
( )
( ) ( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
′=′=′
′−−=′−=′+′+′=′
′−+′=′+′+′=′
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤′≤
=′
=′+′
ydxdld
ydyxxdyxzzdyydxxdld
yxaxxzzyyxxr
ax
z
ayx
22
ˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆ
0
0
r
r
Al pedirse el campo en el eje Z:
( ) ( ) 4222ˆ 222222 azaxzxaxrrzzr ++−′=+′−+′=′−⇒= rrr
( )
( )
( )
V
2
Sh
242
2/Sh
2
42
2Sh
44224
2
42224
1ˆ
22
1
0
2
22
1
0
2
0
22
1
0
2
0
222
0
2
0
222
2
0
az
a
az
a
az
ax
azax
xd
xd
azax
zz
a
a
a
+
=
+
=
=
+
−′
=
++−′
′
=
=′
++−′
=
−−
−∫
∫
πε
λ
πε
λ
πε
λ
πε
λ
λ
πε
φ
21/01/2006 EyM -3
Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales
Ejercicio
Y sumando las contribuciones de los dos tramos, que resultan ser iguales:
( ) V
2
Sh
42
2/Shˆ
22
1
0
2
22
1
0
2
az
a
az
azz
+
=
+
= −−
πε
λ
πε
λφ
c) El potencial para puntos alejados se puede aproximar por su desarrollo multipolar
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⋅
+= Lr
rr
r
r
3
04
1
r
rp
r
qrlej πε
φ
Para minimizarlo hay que anular el término más significativo, el de la carga total, lo que 
se consigue anulando ésta. En este caso:
( ) C2222 210 2
23
2
1 adxaddlq
a
L
L λπλλϕλρ
π
π
+=+== ∫∫∫
Y para que se anule: 022 21 =+ λπλ
Ejercicio
d) Si se cumple la condición anterior ( ) 3
04
1
r
rprlej r
rr
r ⋅
=
πε
φ
así que habría que calcular p
r
pero como por la simetría de la estructura xpp ˆ=r zzr ˆ=r
( ) 0ˆ =zzlejφ
y 
resulta que 
21/01/2006 EyM -4
Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales
Problema
Sea un solenoide toroidal de sección transversal rectangular como el mostrado en la figura. 
El núcleo está formado por un material con una permeabilidad µ >> µ0, el número total de 
espiras es N y la corriente que circula por ellas es Is.
a) Calcule razonadamente la intensidad de campo magnético en todos los puntos del 
espacio. Verifique que se cumplen las condiciones de discontinuidad o salto. (3p)
b) Calcule la energía electromagnética almacenada en todo el espacio. (2p)
c) Obtenga el coeficiente de autoinducción del solenoide. (1p)
d) Obtenga razonadamente el momento magnético del solenoide. (1p)
e) Si en el eje del solenoide hay una corriente filiforme Ih calcule el coeficiente de inducción 
mutua entre el hilo y el solenoide. (3p)
c
Ih
Is
c
Ih
Is
a) La intensidad de campo magnético, según se indica en 
la pag. 5-63 y teniendo en cuenta la simetría entorno al eje, 
solo tiene componente según ϕ que no dependerá de ϕ
( )ϕϕρϕ ˆ,HH =
r
En el exterior del solenoide (utilizando como línea de circulación una espira circular 
plana coaxial en un plano z=cte y como superficie el círculo dentro del plano) se ve que 
la corriente encerrada es cero y por tanto el campo es cero. Para una línea de Ampere 
en el interior del solenoide se obtiene 
Problema
s
c
NIHldH ==⋅∫ ϕπρ2
rr
πρϕ 2
sNIH =y por tanto 
El campo presenta discontinuidades en las superficies entre los planos z=0 y z=c y los 
cilindros ρ=a y ρ=b. Las condiciones de salto son ( ) SS JHHn
rrr
=−× 12
Por tanto en z=0 será ( ) Ss
S
s JNINIz
r
=−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−× ρ
πρ
ϕ
πρ
ˆ
2
0ˆ
2
ˆ
( )ρ̂−
sNI
πρ2
En efecto las corrientes van en dirección 
y la densidad superficial de corriente equivalente es la corriente 
dividida por el ancho atravesado 
( ) Ss
S
s JNINIz
r
==⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−× ρ
πρ
ϕ
πρ
ˆ
2
ˆ
2
0ˆ
ρ̂
En z=c es y se tiene la misma densidad superficial 
pero según 
21/01/2006 EyM -5
Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales
Problema
( ) Ss
a
s Jz
a
NI
a
NI r
=−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −×
=
ˆ
2
ˆ
2
0ˆ
π
ϕ
π
ρ
ρ
( ) Ss
b
s Jz
b
NINI r
==⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−×
=
ˆ
2
0ˆ
2
ˆ
π
ϕ
πρ
ρ
ρ
En ρ=a resulta 
y en ρ=b 
que son las densidades superficiales equivalentes a las corrientes existentes.
b) Para calcular la energía almacenada solo hay que integrar en el interior del solenoide y 
será:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⋅= ∫ ∫ ∫∫∫∫
= = = a
bcINdzddNIdvHBW s
b
a
c
z
s
m ln22222
1 222
0 0
2
π
µϕρρ
πρ
µ
ρ
π
ϕ
rr
c) El coeficiente de autoinducción es: ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛==
a
bcN
I
WL
s
m ln
2
2 2
2 π
µ
El momento magnético de cada espira es ( )ϕ̂ˆ abcInSIm sse −==
v
d) Al ir sumando a todas las espiras la suma vectorial resultante es cero si el numero de 
estas es muy grande 0==∑ emm vr
Problema
ϕ
πρ
µ ˆ
2
hIB =
r
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=⋅=Φ ∫ ∫
=
=
= a
bcIdzdI h
c
z
b
a
h
B ln2
ˆˆ
20
1 π
µρϕϕ
πρ
µρ
ρ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=Φ=Φ
a
bcNIN hBB ln21 π
µ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
Φ
=
a
bcN
I
L
h
B
hs ln2π
µ
e) La inducción creada por el hilo en el interior del solenoide es (aplicando Ampere):
Por tanto el flujo a través de una espira es 
y el flujo sobre las N espiras
Finalmente, el coeficiente de inducción mutua vendrá dado por 
21/01/2006 EyM -6
Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales
Problema
La figura muestra dos líneas bifilares idénticas, construidas con hilos de sección 
despreciable y colocadas paralelas en el plano XZ. La separación entre los conductores de 
cada línea es a y la separación entre los ejes de las líneas es D . Por la primera línea (la 
de la izquierda) circula una corriente de intensidad I0 y ninguna por la otra. Se pide:
a) Calcular la densidad de flujo magnético debido a I0 en los puntos del plano XZ. (3p)
b) Indicar el sentido positivo del flujo a través de la 
segunda línea de acuerdo con los sentidos de 
circulación definidos en la figura. (1p)
c) Calcule el flujo magnético por unidad de longitud 
a través de la segunda línea. (3p)
d) Calcule el coeficiente de inducción mutua por 
unidad de longitud entre ambas líneas (1p)
e) ¿Podría aplicar el resultado anterior al cálculo 
del coeficiente de inducción entre la primera línea y 
la espira cuadrada sombreada?. (1p)
f) ¿Y entre la espira anterior y la que se podría 
definir de forma equivalente sobre la primera 
línea?. (1p)
a
a
X
Y
Z
D
0I
O
Para calcular la densidad de flujo magnético debido a la primera líneabifilar lo más simple 
es partir del campo creado por una línea indefinida de corriente a lo largo del eje Z, hacer 
los correspondientes cambios de origen de coordenadas para calcular la contribución de los 
dos hilos y después sumarlas.
El campo creado por una línea de corriente sobre el eje Z: 
Problema
a) Calcular la densidad de flujo magnético debido a I0 en los puntos del plano XZ. (3p)
( ) 2
ˆ
2
ˆ
2 r
rzIIrBLINEA r
r
rr ×
==
π
ϕ
πρ
µ
rr yyxxr ˆˆ +=rdonde es un vector de dos dimensiones definido en un plano z= cte
( ) ( )2
ˆ
2
i
i
i
rr
rrzIrB rr
rr
rr
−
−×
=
π
µ
ir
r rr irr
rr −Si la línea pasa por , basta con sustituir por 
( )
2
1
2
ˆ
ˆ 001 ax
yI
xxB
−
=
π
µrxar ˆ21 −=
r
0II = xxr ˆ=
rPara la línea y para 
( )
2
1
2
ˆ
ˆ 002 ax
yI
xxB
+
−=
π
µr
xar ˆ22 =
r
0II −= xxr ˆ=
rPara la línea y para 
21/01/2006 EyM -7
Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales
Problema
Sumando ambas contribuciones: ( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
+
−=
2
1
2
1
2
ˆ
ˆ 00
axax
yI
xxB
π
µr
El sentido positivo de flujo a través de la segunda línea bifilar es yn ˆˆ =
b) Indicar el sentido positivo del flujo a través de la segunda línea de acuerdo con los 
sentidos de circulación definidos en la figura. (1p)
c) Calcule el flujo magnético por unidad de longitud a través de la segunda línea. (3p)
Para calcular el flujo sólo hay que aplicar la expresión a una longitud l y después dividirla 
entre ella:
( )( )
2
00
2
2
00
2
2
00
ln
22
2ln
2
ˆ
2
1
2
1
2
ˆ11 0
0
D
aDaDI
ax
axI
dxdzy
axax
yISdB
aD
aDx
aD
aDx
z
zS
B
−+
−=
−
+
−=
=⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
−
=⋅=Φ
+
−=
+
−=
+
∫ ∫∫∫
π
µ
π
µ
π
µl
l
rr
l
l
l
Problema
d) Calcule el coeficiente de inducción mutua por unidad de longitud entre ambas líneas (1p)
Aplicando la definición: 
( )( )
2
0
1
1,2 ln2
1
D
aDaD
I
L B
−+
−=Φ=
π
µ
ll
e) ¿Podría aplicar el resultado anterior al cálculo del coeficiente de inducción entre la 
primera línea y la espira cuadrada sombreada?. (1p)
( )( )
2
0
1,21, ln2 D
aDaDaLaLespira
−+
−==
π
µ
l
La expresión anterior se puede utilizar porque la sustitución de la segunda línea por una 
espira cuadrada no afecta el campo generado por la primera línea y el flujo resultante es 
el correspondiente a una longitud a de línea
Para el caso de dos espiras no se puede aprovechar las expresiones anteriores ya que 
el campo correspondiente es diferente.
f) ¿Y entre la espira anterior y la que se podría definir de forma equivalente sobre la 
primera línea?. (1p)
21/01/2006 EyM -8
Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales
Ejercicio
cula6dSQ s
2
Scubo ss
ρρ == ∫∫
cula6QSdD s
2
encerradaSesfera
ρ==⋅∫∫
rr
1.Calcule el flujo del vector de inducción eléctrica causado por una distribución 
superficial de carga de valor ρs cul/m2 en forma de cubo de lado a sobre una superficie 
esférica de radio b que rodea totalmente el cubo.
Puesto que la esfera encierra al cubo
La carga superficial asociada al cubo vale:
Ejercicio
Dada una lámina conductora indefinida puesta a tierra de espesor d con dos cargas 
puntuales situadas como se muestra en la figura. ¿Qué fuerza se aplica a la carga 
situada en z=b?
( )
z
db
qEqF q ˆ24 20
2
−
−
== − πε
sr
Newtons
Puesto que la lámina apantalla la carga de z=a, la fuerza 
es creada únicamente por una carga imagen creada por la 
carga de z=b
 z=0
z=d/2 
z=-a 
q q 
z=b 
z 
z=-d/2
21/01/2006 EyM -9
Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales
Eejrcicio
mAavJ sss /ˆ0ϕωρρ ==
rr
AhadzJ
n
cteSuperficie
dnJI s
h
sC s 00ˆˆ
:
ˆ ωρ
ϕ
ϕ
==
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
=
== ∫∫ l
r
Calcule la densidad de corriente y la corriente asociada a un anillo de carga superficial ρs
cul/m2 con radio a y altura h, que rota a una velocidad angular ω0 rad/s
 
ρs cul/m2 
ω0 rad/s 
z 
Ejercicio
IdH
C
=⋅∫ l
rr
⎩
⎨
⎧
=⇒
⎩
⎨
⎧−
=
fuera0
dentroŷaI
H
abajoŷa2I
arribaŷa2I
H ẑI0
rr
Calcule la intensidad de campo magnético en el interior de una línea biplaca, cuya 
sección se ve en la figura, que contiene un material magnético de permeabilidad µ y 
transporta una corriente I. Desprecie el efecto de bordes y suponga µ>>µ0.
a cada una de las láminas de corriente 
y aplicando superposición.
A/m
Aplicando la Ley de Amper 
µ 
a
I
I
b
El grosor de los conductores es despreciable 
x
y
C 
21/01/2006 EyM -10
Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales
Ejercicio
Calcule la fuerza que se aplica a la espira cuadrada de lado d situada en el vacío que 
transporta una corriente I cuando rota a velocidad α=ω0t siendo ω0 rad/s la velocidad de 
rotación angular. En esa zona está aplicada una inducción magnética de valor x̂Bo
Como cualquier espira cerrada frente a un campo uniforme la fuerza que sufre es nula.
 
R x y 
z 
d 
ω0 
α=ω0t 
I 
Calcule la f.e.m.i. que aparece en una espira cuadrada de lado d situada en el vacío 
cuando rota a velocidad α=ω0t siendo ω0 rad/s la velocidad de rotación angular. En esa 
zona esta aplicada una inducción magnética de valor 
Ejercicio
x̂Bo
( ) 220 /º90cos mWeberdBSdBSB −=⋅=Φ ∫∫ α
rr
Fije la polaridad en la figura supuesta la espira cargada con una resistencia R. 
( )( ) ( ) VdtBdtsenB
dt
d
dt
dimef B 2000
2
00 cos.... ωωω −=−=
Φ
−=
+ -
Rx y
z
d
ω0
α=ω0t
21/01/2006 EyM -11
Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales
Ejercicio
Calcule la densidad de corriente y la corriente asociada a un cono de carga superficial 
ρs cul/m2 con ángulo generatriz θ0 y altura h, que rota a una velocidad angular ω0 rad/s
( ) ( ) mArvJ sss /ˆsin 00 ϕωθρρ −==
rr
 
ρs cul/m2 
ω0 rad/s z 
θ0 h 
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) A
hdrrdlnJI s
h
sC s
0
2
0
2
0cos
0 00 cos2
sinˆˆsinˆ 0
θ
θωρϕϕωθρθ =−⋅−=⋅= ∫∫
r
Ejercicio
La figura muestra una esfera conductora descargada situada entre dos láminas conductoras 
indefinidas y paralelas a potenciales –V0 y +V0. ¿Cuál será el potencial de la esfera? ¿Por 
qué?
Entre los planos el potencial debe tomar un valor intermedio a V0 y -V0. 
Dada la simetría el plano z=o debe estar a potencial V=0. 
Como el conductor es equipotencial toda la esfera tomara el valor V=0.
0V− 0V+
0=Q
21/01/2006 EyM -12
Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales
Ejercicio
Indique el valor, dirección y sentido de la fuerza que aparece entre una superficie plana 
indefinida de carga superficial uniforme, ρs (ρs>0) y una carga puntual q a una distancia 
d1. 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<
−
>
==
0
2
0
2
0
0
zq
zq
qEF
s
s
s
ε
ρ
ε
ρ
ρ
r
Ejercicio
ẑB0
ẑv0
Represente en la figura, la f.e.m. inducida sobre una espira cuadrada (LxL) que atraviesa 
una zona, también cuadrada, (3Lx3L) donde se aplica un campo magnético uniforme 
La espira se mueve a una velocidad constante 
Se define el sentido positivo como el que corresponde a una corriente que circulara en el 
sentido opuesto a las agujas del reloj.
L
ẑBB 0=
r
L
3L
3L
v0
X L/2 L 3L/2 5L/22L-2L -L/2- L-3L/2 X
f.e.m.i.
- 5L/2
B 0 Lv
-B 0 Lv
v
dx
d
dt
dx
dx
d
dt
dfemi BBB Φ−=Φ−=Φ−=