Guía de Problemas de Física II - Electroestática

Vista previa del material en texto

FACULTAD DE INGENIERÍA - DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
FÍSICA II-2016 
ESPECIALIDADES: AGRIMENSURA-CIVIL-QUÍMICA-ALIMENTOS-BIOINGENIERÍA 
 1 
GUÍA DE PROBLEMAS PROPUESTOS Y RESUELTOS - ELECTROSTÁTICA 
 
Datos necesarios para resolver los problemas de la guía: 
 
Constante Ley de Coulomb K = 9 x 109 Nm2 /C2. 
Permitividad del vacío є0 =8,85x10-12 C2 /N m 2 =8,85x10-12 F/m 
Carga del electrón, e =- 1,6x10-19 C Masa del electrón me= 9,1 x 10 
-31Kg 
Carga del protón =+ 1,6 x 10–19 C. Masa del protón = mP = 1,67 x 10
–27 Kg. 
 
Problema Nº 1 
En un sistema de coordenadas rectangulares se colocan tres cargas puntuales, q1= 2 x 10
-9 C ; 
q2= - 2 x 10
-9 C y q3= - 3 x 10
-9 C en los puntos (0,0); (2,0) y (0,2) respectivamente. Si las 
coordenadas están dadas en metros. Calcular el módulo de la fuerza neta que actúa sobre cada 
una de las cargas y el ángulo que cada vector forma con la horizontal. 
Rta : F1 = 1,62 x 10
-8 N; θ1= 56,30º F2=6,38x10
-9 N; θ2= 228,40º F3=9,94x10
-9N; θ3= 241,34º 
 
Problema Nº 2 
Cuatro cargas puntuales idénticas de q=+10µC se colocan sobre las esquinas de un rectángulo 
de dimensiones 60 cm y 15 cm. Calcular la magnitud y la dirección de la fuerza neta 
electrostática ejercida sobre la carga de la esquina inferior izquierda del rectángulo por las otra 
tres cargas. 
Rta: 40,3 N; 263o 
 
Problema Nº 3 
Dos péndulos eléctricos, de 10cm de longitud y masas esféricas iguales de 5 mg en sus 
extremos, cuelgan del mismo punto. Si al cargar cada una de las esferas con una carga q, los 
péndulos se separan de la vertical hasta formar un ángulo de 60º entre sí ¿cuál es el valor de q? 
 
 
 
 
 
 
 
(La solución de este problema se encuentra al final de esta guía) 
 
Problema Nº 4 
Tres esferas tienen igual carga y están colocadas como indica la figura. La esfera C ejerce una 
fuerza de 4x10-6 N sobre la esfera B. Calcular a) la fuerza que hace la esfera A sobre la B. b) el 
módulo y el sentido de la fuerza total sobre la esfera B. (Considerar las esferas como cargas 
puntuales). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rta : FAB= 3 x10
-6 N FB= 5 x10
-6 N 
 
Problema Nº 5 
En un sistema de coordenadas rectangulares, se coloca una carga de 2 x 10–10 C en el punto 
(0;0), y otra de 4 x 10–10C en el punto (0;6), estando las coordenadas expresadas en metros. 
B 
C 
A 
cm
3
2
 
cm1 
q q 
 
 60° 
Físíca II 
Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 
 
 
 2 
a) Calcular el campo eléctrico resultante en los puntos P(0;3) y Q(0;8). b) Idem si la segunda 
carga es negativa. 
Rta: (b) EP = 0,6 (N/C); EQ = 0,87 (N/C). 
(La solución de la parte (a) de este problema se encuentra al final de esta guía). 
 
Problema Nº 6 
Dos cargas puntuales una de magnitud +2 µC y la otra de -3µC se localizan sobre el eje y. La 
primera está en y= 3m y la otra en y= 1m a) Determinar el campo eléctrico sobre el eje x, en 
x= 4m. b) Aplicando el concepto de campo eléctrico, determinar la magnitud de la fuerza que 
actuaría sobre una tercera carga de 4µC colocada sobre el eje x, en x= 4m y dibujar el vector 
correspondiente. 
Rta: a) 6,31x102 N/C; b) 2,52 x10-3 N 
 
Problema Nº 7 
Tres cargas puntuales de valores q1 = q3= 3 x 10
-9 C y q2= - 6 x 10
-9C se encuentran colocadas 
como indica la figura. Si a= 2m, Hallar el campo eléctrico resultante punto P y el ángulo que E 
forma con la horizontal. 
Rta: E= 27 N/C  = 225° 
 
 
 
 
 
 
 
Problema Nº 8 
Una varilla no conductora tiene una carga q uniformemente distribuida en toda su longitud. 
Deducir la expresión del campo eléctrico en el punto P, ubicado sobre la perpendicular bisectriz 
a la varilla y a una distancia a de la misma: a) Si la varilla es infinitamente larga. b) Si la varilla 
tiene un largo l. (La solución de este problema se encuentra al final de esta guía). 
 
Problema Nº 9 
Un electrón que se mueve con una velocidad de 5x108cm/s, se dispara paralelamente a un 
campo eléctrico de intensidad 1x103 N/C, colocado de modo que retarde su movimiento. a) 
¿Hasta dónde llegará el electrón en el campo antes de quedar momentáneamente en reposo? 
b)¿Cuánto tiempo transcurrirá? 
Rta: a)7,1cm b)2,9x10-8s 
 
Problema Nº 10 
Un electrón se lanza dentro de un campo eléctrico uniforme de 5000 (N/C) dirigido verticalmente 
hacia arriba. La velocidad inicial del electrón es de 1,0 x 107(m/s) y forma un ángulo de 30° con 
la horizontal. a) Calcular la altura máxima alcanzada por el electrón por encima de su altura 
inicial. b) Calcular la distancia horizontal que recorre el electrón antes de volver a su altura inicial. 
(La solución de este problema se encuentra al final de esta guía). 
 
Problema Nº 11 
Se aplica un campo eléctrico de 5,0.104N/C, a lo largo del eje x. Calcular el flujo eléctrico a 
través de un plano rectangular de 0,2 m de ancho y 0,8 m de largo, si: a) éste es paralelo al 
plano yz, b) es paralelo al plano xy y c) contiene al eje y y su normal forma un ángulo de 53° con 
el eje x. 
Rta: a) E = 8x10 
3 N.m2/C b) E = 0 Nm
2/C c) E =4,8x10
3N.m2/C 
Problema Nº 12 
En un sistema de coordenadas rectangulares, se coloca una carga de  3 x 10–9 C en el punto 
(0;0), otra de 3 x 10–9C en el punto (0;2), y una tercera de 4 x 10–9 C en el punto (0;6), estando 
q1 
 q2 
q3 
P a 
a 
Físíca II 
Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 
 
 
 3 
las coordenadas expresadas en metros. Calcular el flujo del campo eléctrico a través de una 
superficie esférica con centro en el punto (0;0) y radio: a) 1m. b) 3 m. c) 10 m. 
Rta: a) E =  339 Nm
2/C b) E = 0 c) E = 452 Nm
2/C 
 
Problema Nº 13 
Dos esferas metálicas, huecas y concéntricas, de radios 3 cm y 6 cm, respectivamente, tienen 
cargas de – 3 x 10–10 C y 3 x 10–10 C. Calcular el módulo del campo eléctrico: a) A 2 cm del 
centro. b) A 5 cm del centro. c) A 9 cm del centro. 
Rta: a) E = 0; b) E = 1080 (N/C) c) E = 0 
 
Problema Nº 14 
Dos largos cilindros coaxiales, de radios 1 cm y 3 cm, tienen cargas de igual valor y signo 
contrario, siendo la densidad lineal de carga de 3 x 10–9 (C/m). Calcular el módulo del campo 
eléctrico en los siguientes puntos: a) A 0,5cm del eje. b) A 2cm del eje. c) A 5cm del eje. 
(La solución de este problema se encuentra al final de esta guía). 
 
Problema Nº 15 
Una esfera de 4 cm de radio tiene una carga neta de +39 µC .a)Si la carga está uniformemente 
distribuida sobre el volumen de la esfera ¿Cuál es la densidad de carga volumétrica? b) Si la 
carga está uniformemente distribuida sobre la superficie de la esfera ¿Cuál es la densidad 
superficial de carga? a)0,145 C/cm3 b)1,94x10-3C /cm2 
 
Problema Nº 16 
Una esfera no conductora de radio R está cargada con una carga Q uniformemente distribuida 
en todo su volumen. Deducir la expresión del módulo del campo eléctrico: a) Para puntos 
interiores (r  R), b) Para puntos exteriores (r  R) de la esfera. 
c) Graficar E en función de la distancia al centro de la esfera (r). 
Rta: a) E = kQr/R3 b) E = kQ/r2 
 
Problema Nº 17 
Dos grandes placas metálicas, de 4 m2 de área, están una frente a la otra, separadas 1 cm. Las 
láminas tienen cargas iguales y de signo contrario sobre sus superficies interiores. a) Deducir la 
expresión del módulo del campo eléctrico entre las placas. b) Calcular la carga de las placas si el 
campo eléctrico entre ellas es de 6 (N/C). Despreciar los efectos de borde. 
Rta: a) E = /o b) Q = 2,1 x 10
-10 C 
 
 
 
 
 
 
Problema Nº 18 
Una esfera aislante sólida de radio a tiene una densidad de carga uniforme  y una carga total Q. 
Concéntrica con esta esfera está otra esfera hueca conductora y descargada, cuyos radios 
interior y exterior son b y c, respectivamente, como se ve en la figura. a) Determinar la 
intensidad del campo eléctrico en las regiones : a) r < a, b) a < r < b c) b < r < c y d) r > c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 + 
 + 
 + 
 + 
 + 
 
+ 
 _ 
 _ 
 _ 
 _ 
 _ 
 
+q -q 
Físíca II 
Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 
 
 
 4 
Rta: a) E = Q r / 40 a
3 b) E = Q / 40 r
2 c) E = 0 d) E = Q / 40 r
2 
 
PROBLEMA Nº 19 
Calcular la rapidez de un protón que se acelera desde el reposo a través de una diferencia de 
potencial de 120 V. b) Realizar el mismo cálculo para un electrón. 
Rta:a) 1,52 x106 m/s /s b) 6,50 x106 m/s 
 
Problema Nº 20 
En la figura la carga A tiene 20C, mientras que la carga B tiene -10C. a) Calcular el potencial 
en los puntos C y D. b)¿Cuánto trabajo debe hacerse para llevar una carga de 50C desde el 
punto C al punto D? 
 
 
 
 
 
 
 
Rta: a) Vc = -225000 V VD = 787500 V b) W = 50,625 J 
 
Problema Nº 21 
Una esfera pequeña de masa 1,5g cuelga de una cuerda entre dos placas verticales paralelas 
separadas por una distancia de 5cm. Las placas son aislantes y tienen densidades superficial de 
carga uniformes de +  y - . La carga de la esfera es q= 8,9 x10-6C. ¿Cuál es la diferencia de 
potencial entre las placas, que ocasionará que la cuerda forme 30° con la vertical? 
 
Rta: V= 47,5V 
 
Problema Nº 22 
Se coloca una carga puntual de – 3 x 10–10 C en el origen de un sistema de coordenadas 
rectangulares. a) Calcular el potencial eléctrico en el punto P, de coordenadas (8m; 0m). b) 
¿Qué trabajo hay que hacer para colocar una carga de 5 x 10–10 C en el punto P? c) Calcular el 
potencial que ambas cargas crean en un punto S, de coordenadas (2m; 0m). d) ¿En qué punto 
del segmento que determinan ambas cargas se anula el potencial? e) Si se coloca una carga de 
2 x 10–10 C en el punto de coordenadas (0m; 4m), ¿cuál es la energía potencial eléctrica del 
sistema formado por las tres cargas? 
Rta: a) VP = – 0,34 V b) W2 = – 1,7 x 10
–10 J c) VS = – 0,6 V d) (3m:0m) e) U = – 2 x 10
–10 J 
 
Problema Nº 23 
Un trozo de varilla no conductora, de largo L, tiene una carga Q, uniformemente distribuida en 
toda su longitud. Demostrar que el potencial en el punto P vale: 
 
 





 

a
ba
kV ln. ; donde: 
04
1

k y 
l
q
 
 
 
A(20C) 
D C B(-10C ) 
20cm 60cm 20cm 
Físíca II 
Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 
 
 
 5 
 
 
 
 
(La solución de este problema se encuentra al final de esta guía). 
 
Problema Nº 24 
a) Deducir la expresión de la diferencia de potencial entre dos esferas huecas y concéntricas, de 
radios a y b, cargadas con cargas – Q y + Q, respectivamente. 
b)Calcular la diferencia de potencial entre las dos esferas si: a = 3 cm, b = 4 cm y Q = 2 x 10-9 C 
Rta: a)
 





 

ab
ab
kQVV ab b) Vb – Va = 150 V 
Problema Nº 25 
Calcular la diferencia de potencial entre dos cilindros coaxiales de radios a = 1 cm y b = 3 cm, 
cargados con cargas de igual valor y signo contrario, si la densidad lineal de carga es de 2 x 10–7 
(C/m). 
(La solución de este problema se encuentra al final de esta guía 
 
Problema Nº 26 
Cuando se aplica una diferencia de potencial de 150V a las placas de un capacitor de placas 
paralelas, las placas adquieren una densidad de carga de 30nC / cm2. Determinar cuál es el 
espaciamiento entre las placas. 
Rta: 4,42 x 10-6 m 
 
Problema Nº 27 
Calcular la capacitancia de un capacitor esférico de radios a = 1 cm y b = 2 cm. a) Con 
dieléctrico de aire. b) Con dieléctrico de porcelana. ( = 6,5). 
Rta: a) C= 2,2 pF b) C' = 14,3 pF 
 
Problema Nº 28 
Determinar la capacitancia por unidad de longitud de un condensador cilíndrico de radio interior a 
= 2 cm y radio exterior b = 3 cm: a) Con dieléctrico de aire. b) Con dieléctrico de papel ( = 3,5). 
(La solución de este problema se encuentra al final de esta guía). 
 
Problema Nº 29 
En la conexión de la figura, Ca = 2 F, Cc = 6 F, Qc = 360 C y Va = 40 V. Calcular qa, qb, V, Vb y 
Cb 
 
 
 
 
 
 
 
 
(La solución de este problema se encuentra al final de esta guía). 
 
Problema Nº 30 
Dos capacitores, a y b, están conectados en paralelo entre sí, y en serie con un tercero, c. Si Ca 
= 1 μF, Cb = 2μF, Cc = 5 μF, y se le aplica al conjunto una diferencia de potencial de 30 V, 
determinar: la carga y la diferencia de potencial de cada capacitor, y la energía almacenada por 
cada uno de ellos. 
Rta: qa =18,75 C; qb = 37,5 C; qc =56,25 C ; Va =18,75 V ; Vb = 18,75 V ; 
 Vc = 11,25 V; Ua = 175,78 J; Ub = 351,56 J; Uc = 316, 4 J 
 P 
b a 
 Cb 
Cc 
Ca 
V 
Físíca II 
Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 
 
 
 6 
Problema Nº 31 
En la figura se representan cuatro condensadores, de idéntica forma y dimensiones, con un valor 
de capacitancia de 10-9F. determinar:a)la capacitancia equivalentedel conjunto, b)diferencia de 
potencial y la carga de cada capacitor, c) la energía almacenada en cada uno de ellos. 
ealizar los mismos cálculos cuando en C2 se coloca un dieléctrico de parafina(k= 2,3), a C3 uno 
de azufre (k= 3) y en C4 uno de mica(k= 5). 
 
 
 
 
 
 
******************************************************************** 
Problemas Resueltos 
 
 
Problema Nº 3 
Dos péndulos eléctricos, de 10cm de longitud y masas esféricas iguales de 5 mg en sus 
extremos, cuelgan del mismo punto. Si al cargar cada una de las esferas con una carga q, los 
péndulos se separan de la vertical hasta formar un ángulo de 60º entre sí ¿cuál es el valor de q? 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
Se considerará la esfera de la derecha, ya que la situación es igual para ambas. 
Como se ve en la figura 1, la esfera se encuentra en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas: la 
tensión del hilo (T), el peso (mg) y la fuerza de origen eléctrico (F). 
 Se toma un sistema de ejes coordenados con origen en el centro de la esfera y se descompone 
T en dos direcciones perpendiculares (figura 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las condiciones de equilibrio para un sistema de fuerzas concurrentes son: 
   0xF y   0Fy 
 
Aplicando las condiciones de equilibrio a este caso, se tiene: 
 0 TsenF y 0cos mgT  
 
Despejando T de la segunda ecuación y reemplazando en la primera: 
α T 
mg 
F 
mg 
Tsen F 
 
Tcos 
 
 Figura 1 Figura 2 
 
q q 
 
 60° 
 C2 C3 
C1 
V=100V 
C4 
Físíca II 
Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 
 
 
 7 
0
cos


sen
mgF 0.  tgmgF 
tgmgF . (1) 
De acuerdo con la ley de Coulomb: 
2
2
r
kq
F  (2) 
 
De (1) y (2): 
22 .. rtgmgkq 
 
 
 
k
rtggm
q
2... 
 
(3) 
 
kgxmgm 61055  mcml 1,010  
2/8,9 smg  ; 
2
2
9109
C
Nm
xk  
 30 5,0sen 58,0tg 
 
De la figura, la separación r entre cargas es: 
 
 5,0.1,0.2.22 mlsenddr   
 mr 1,0 
 
 
Reemplazando los valores en (3): 
 
 
  
229
226
/109
1,0.58,0)./8,9(105
CNmx
msmkgx
q

 
 
Cxq 91062,5  
 
Las cargas son del mismo signo (positivas o negativas) y valen 5,62 x 109 C. 
 
**************************************************** 
Problema Nº 5 
En un sistema de coordenadas rectangulares, se coloca una carga de 2 x 10–10 C en el punto 
(0;0), y otra de 4 x 10–10C en el punto (0;6), estando las coordenadas expresadas en metros. 
a) Calcular el campo eléctrico resultante en los puntos P(0;3) y Q(0;8). b) Idem si la segunda 
carga es negativa. 
 
Solución parte (a) 
Campo en el punto P (0;3) 
 
Primero se dibujan los vectores representativos del campo que cada carga crea en el punto. 
Para ello se imagina que se coloca en el punto una carga de prueba, que es positiva. La 
dirección y el sentido en que tendería a moverse la carga de prueba, por acción de la carga, dan 
la dirección y el sentido del campo que la carga crea en el punto. 
 
 
q q 
 
 α 
r 
 d 
Físíca II 
Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 
 
 
 8 
 q1 
P 
Ep1 
Ep2 
 
E p 
 
q 2 
 EP1 : Campo en P debido a la carga q1. 
 EP2 : Campo en P debido a la carga q2. 
 
 CN
m
CxxCNmx
r
kq
EP /2,0
)3(
102/109
2
10229
2
1
1
1 

 
 CNEP /2,01  
 
 CN
m
CxxCNmx
r
kq
EP /4,0
)3(
104/109
)( 2
10229
2
2
2
2 

 
 CNEP /4,02  
 
 EP = EP1 + EP2 ; (Suma vectorial) 
 
Como los vectores son colineales y de sentido contrario, el vector suma tiene la misma dirección 
que los anteriores, módulo igual a la diferencia de los módulos y sentido el del mayor de los 
vectores, como se muestra en la figura. 
Por lo dicho anteriormente, el módulo de EP es: 
 
CNCNEEE PPP /2,0/4,012  
CNEP /2,0 
 
Campo en el punto Q (0;8) 
 
 
 EQ1 : Campo en Q debido a la carga q1. 
 EQ2 : Campo en Q debido a la carga q2. 
 
 CN
m
CxxCNmx
r
kq
EQ /03,0
)8(
102/109
)( 2
10229
2
1
1
1 

 
 CNEQ /03,01  
 CN
m
CxxCNmx
r
kq
EQ /9,0
)2(
104/109
)( 2
10229
2
2
2
2 

 
 CNEQ /9,02  
 
 
EQ = EQ1 + EQ2 ; (Suma vectorial) 
 
Como los vectores son colineales y de igual sentido, el vector suma tiene la misma dirección y 
sentido que los anteriores, como se muestra en la figura, y su módulo es igual a la suma de los 
módulos. 
Luego, el módulo de EQ es: 
 
CNCNEEE QQQ /9,0/03,021  
 
CNEQ /93,0 
 
******************************************** 
EQ 
 q1 
q 2 
Q 
EQ1 
EQ2 
Físíca II 
Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 
 
 
 9 
Problema Nº 8 
Una varilla no conductora tiene una carga q uniformemente distribuida en toda su longitud. 
Deducir la expresión del campo eléctricoen el punto P, ubicado sobre la perpendicular bisectriz 
a la varilla y a una distancia a de la misma: a) Si la varilla es infinitamente larga. 
 b) Si la varilla tiene un largo l. 
Solución 
 Ed

 Ed

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se toma un sistema de coordenadas en el cual el eje x coincide con el eje de la varilla, y el eje y 
con la bisectriz. Se considera un elemento de varilla de longitud dx, ubicado a una distancia 
 x del origen de coordenadas, y cuya carga es dq . Esta carga crea en el punto P un campo 
Ed

, cuyo módulo es 2r
kq
dE 
El campo eléctrico resultante en P será  dEE (Es una integral vectorial, y hay que integrar 
para toda la longitud de la varilla). 
Se descompone el campo Ed

en sus componentes xEd

 y yEd

 
Como yx EdEdEd

 se tiene:   yx EdEdE

 
Considerando el elemento de varilla ubicado a una distancia x del origen, el cual es simétrico, 
respecto del eje y, del primer elemento considerado, se ve que crea un campo Ed

, cuya 
componente horizontal es igual y opuesta a la que crea el primer elemento, mientras que la 
componente vertical es la misma. Como lo anterior se cumple para cada par de elementos 
simétricos, la primera integral del segundo miembro es nula. 
 
Luego:  ydEE 
Como todos los vectores yEd

son colineales y de igual sentido, se puede escribir: 
 
 ydEE (Integral escalar) 
En la figura se ve que dEsendEy  luego: 2
..
r
sendqk
dE y

 
Llamando  a la densidad lineal de carga (carga por unidad de longitud), se tiene que 
 
 dxdq  Luego, la integral queda: 
 
  22 r
dxsen
k
r
senk
E



 
Como se tienen tres variables dentro del signo de integral (x, r y ), hay que dejar una sola para 
poder integrar. 
De la figura se tiene: 
 x dx 
xEd

 
yEd

 
xEd

 
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 
 -x 
 
θ 
 a 
y 
x 
Físíca II 
Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 
 
 
 10 
gax cot. 
2
2
)(
)(cos



sen
ad
decadx  ; 
r
a
sen  ; 
sen
a
r  ; 
)(
2
2
sen
a
r  
 
Reemplazando dx y r2 en la integral: 
 
 
  
 



 dsen
a
k
sena
sensenad
kE
22
2
/
/
 
 
a) Si la varilla es infinitamente larga,  varía entre 0 y . 
 
   0coscoscos. 0
0






  




 
a
k
a
k
dsen
a
k
E 
 
 
 
 
 
b) Si la varilla tiene un largo l,  varía entre  y , como se ve en la figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  




 



coscos)cos(   a
k
a
k
dsen
a
k
E 
 
Como  +  = ; cos = cos; 
 
a
k
E
 cos.2.
 
 
Como 
l
q
 y 
04
1

k 
 
 
al
q
al
q
E
...2
cos.
...4
cos..2
.00 



 
 
De la figura: cosα =
     2/1222/122 42/
)2/(
la
l
la
l



 luego: 
 
 
 
aa
k
E
02
2


 
ß 
α θ 
І / 2 
y 
 2/1220 ).4.(2 laa
q
E



 
Físíca II 
Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 
 
 
 11 
Problema Nº 10 
Un electrón se lanza dentro de un campo eléctrico uniforme de 5000 (N/C) dirigido verticalmente 
hacia arriba. La velocidad inicial del electrón es de 1,0 x 107(m/s) y forma un ángulo de 30° con 
la horizontal. a) Calcular la altura máxima alcanzada por el electrón por encima de su altura 
inicial. b) Calcular la distancia horizontal que recorre el electrón antes de volver a su altura inicial. 
Masa del electrón me = 9,1 x 10
–31 Kg. Carga del electrón e = – 1,6 x 10–19 C. 
 
Solución 
En este caso, como el campo eléctrico está dirigido hacia arriba, la fuerza que actúa sobre el 
electrón es hacia abajo. La situación es semejante a la de un proyectil lanzado con un cierto 
ángulo sobre la horizontal, dentro del campo gravitatorio. 
Se desprecia la fuerza peso, por ser mucho menor que la fuerza de origen eléctrico, y se 
considera que el electrón está sometido sólo a la acción de esta última. La trayectoria que 
describe el electrón es la indicada. 
 
Se descompone el movimiento en dos: 1) Un movimiento vertical, uniformemente retardado y 
2) Un movimiento horizontal, uniforme. 
Se llama H a la altura máxima que alcanza el electrón por encima de su nivel inicial y X a la 
distancia horizontal que recorre el electrón hasta que vuelve a su altura inicial. 
Se descompone la velocidad inicial en dos direcciones: una vertical, de módulo voy, y otra 
horizontal, de módulo vox. 
smxsensmxsenVV y /10530./100,1.
67
00   
smxsmxVV x /107,830cos./100,1cos.
67
00   
 
a) Según el eje y el movimiento es uniformemente retardado. 
 
De la definición de campo eléctrico, se tiene que el módulo de la fuerza de origen eléctrico es: 
eEF . (1) 
 
Por la segunda ley de Newton: amF . (2) 
De (1) y (2): 
eEam ..  luego; 
m
eE
a
.
 214
31
19
/108,8
101,9
106,1/5000
smx
kgx
CxCxN
a 


 
 
214 /108,8 smxa  
 
Cuando el electrón alcanza su altura máxima, la componente vertical de la velocidad se hace 
cero: 0 atvv oyy ; luego: 
a
v
t
y0
 (tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima). 
Como 
2
. 2
0
ta
tvy  
   
a
vava
a
v
vH
yyy
y
22
/
2
0
2
00
0 







 
H 
 X 
x 
V0 
y 
α 
E 
 
 
 
 
F 
Físíca II 
Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 
 
 
 12 
mx
smxx
smx
smxx
smx
H 2
214
212
214
26
1042,1
/108,82
)/(1025
/108,82
)/105(  
 
cmH 42,1 
b) 
2
. 2
0
ta
tvy  Cuando el electrón vuelve a su altura inicial, y = 0, luego: 
 
2
.
0
2
0
ta
tv  ; 
a
v
t
y02
 (tiempo que tarda en volver a su altura inicial) 
 
Por lo tanto, la distancia horizontal recorrida en ese tiempo es: 
 
a
v
vX
y
x
0
0 2. 
 mx
smx
smxxsmx
X 2
214
66
109,9
/108,8
)/107,82.(/105  
 
 
 
******************************************** 
 
Problema Nº 14 
 Dos largos cilindros coaxiales,de radios 1 cm y 3 cm, tienen cargas de igual valor y signo 
contrario, siendo la densidad lineal de carga de 3 x 10–9 (C/m). Calcular el módulo del campo 
eléctrico en los siguientes puntos: a) A 0,5 cm del eje. b) A 2 cm del eje. c) A 5 cm del eje. 
 
Solución 
Para calcular el módulo del campo eléctrico se aplicará la ley de Gauss. Como la distribución de 
carga tiene simetría cilíndrica, se toma como superficie gaussiana un cilindro coaxial con los 
anteriores, suficientemente alejado de los extremos, de largo L y radio r, siendo r la distancia 
genérica al eje común. 
Se analizará primero el punto (b), que corresponde al caso general de puntos ubicados entre 
ambos cilindros, o sea para a  r  b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cmX 9,9 
L 
 
dA 
 E 
 
 
dA 
 
r 
E 
 a 
b 
Físíca II 
Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 
 
 
 13 
 
 
La expresión de la ley de Gauss es: 
0
.

NqAdE 

 
 Se evaluará primero la integral del primer miembro. Como se ve en la figura, los 
vectores E y Ad

 no forman el mismo ángulo sobre toda la superficie. Por ello se divide la 
superficie gaussiana, que es cerrada, en 3 superficies abiertas: la superficie lateral (S.L.) y las 
dos tapas (T y T'). Entonces, se tiene: 
  TTSL AdEAdEAdEAdE

.... 
   TTSL EdAEdAEdAAdE 90cos90cos180cos.

 
  SLEdAAdE

. 
 
Por razones de simetría, el módulo de E es constante sobre la superficie lateral, luego se puede 
sacar fuera del signo de integral. 
 
rLEAEdAAdE
SL
2. 

 (2) 
 
Por otro lado, la carga neta encerrada dentro de la superficie gaussiana es: 
 LNq  (3) 
De las ecuaciones (1), (2) y (3): 
 
 
 
 
 (a  r  b) 
 
 
CN
mxmNCx
mCx
E /2699
)102).(,/1085,8.(2
/103
22212
9




 
 
 
a 
 r 
 b 
dA 
E 
 
 + + 
 
 
 
+ + 
 
 
 + + 
 
 + 
 - 
- 
- 
 
 
 
 
 - 
 L 
 
E 
+ + + + + + + 
+ 
+ + + + + + 
+ + 
 - - - - - - - - 
 - - - - - - - - 
dA 
 
 
E 
r 
dA dA 
E 
0..2 

r
E  
CNE /2699 
0
..2.



L
LrE 
Físíca II 
Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 
 
 
 14 
a) En este caso la superficie gaussiana es de radio r < a, o sea es interior al cilindro menor. 
 
Se aplica la ley de Gauss como en el caso anterior: 
0
.

NqAdE 

 
  TTSL AdEAdEAdEAdE

.... 
 
No se sabe si existe campo en el interior del cilindro menor, pero, de existir, debe ser radial, por 
lo tanto las dos últimas integrales del segundo miembro son nulas. Luego: 
 
  SLEdAAdE

. Es este caso qN = 0, luego: 0.  SLEdAAdE

 
Si existe campo, además de ser radial puede apuntar hacia el eje o hacia afuera de éste, luego: 
 
 SL 00cos
EdA o  SL 0180cos
EdA ; así  SL 0dAE o  SL 0)( dAE 
 
Como se ve, la integral es positiva o negativa, pero nunca nula. Como el producto de E por la 
integral es nulo, debe ser E = 0. 
 
Luego: 
 
 
 
c) En este caso se toma una superficie gaussiana de radio r > b, o sea es exterior al cilindro 
mayor. 
 
 
 + 
 
 
 
 
 + - - + 
 - 
 
 
 + 
 
 
Acá también es qn = 0, y por un razonamiento semejante al del caso anterior se llega a que 
 
 
 + + + + + + + + 
+ + 
 
 
 - - - - - - - - - 
- 
 
 
 - - - - - - - - 
- - 
 
 
+ + + + + + + + 
+ + 
 + 
 
 
 - 
+ - - + 
 - 
 
 + 
 
 
 
 L 
 r 
 b 
 
 
 
 
 L 
 + + + + + + + + + + 
 
 
 
- - - - - - - - - - - 
 
 
 - - - - - - - - - - 
- 
 
 
+ + + + + + + + + + 
+ 
 
 - 
- 
 
 
 
- 
Para r < a E = 0. 
E=0 para r > b. 
 
Físíca II 
Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 
 
 
 15 
Problema Nº 23 
Un trozo de varilla no conductora, de largo L, tiene una carga Q, uniformemente distribuida en 
toda su longitud. Demostrar que el potencial en el punto P vale: 
 
 
 





 

a
La
kV ln donde: 
0.4
1

k y 
L
Q
 
 
 
 
 
Solución 
 
Se divide la varilla en infinitos trozos de longitud dr y carga dq. 
 
 
 
 
 
 
 
El potencial que una carga q crea a una distancia r es: 
r
kq
V  
Por analogía, el potencial que una carga elemental dq crea a una distancia r es: 
r
kdq
dV  
Para obtener el potencial en P debido a la varilla cargada hay que sumar los potenciales que las 
infinitas cargas elementales dq crean en el punto, o sea hay que integrar. Luego:  r
kdq
dVV 
La densidad lineal de carga, , se puede expresar así: 
dr
dq
 Luego: drdq  
 
Reemplazando dq en la integral se tiene:   r
drk
dVV
.
 
 
La variable de integración es r, que es la distancia entre un elemento de carga cualquiera y el 
punto P. Luego, r varía entre a y a + L. 
 



La
a r
dr
kV  
 
 
 
 
 
******************************************** 
 
 P 
L a 
 P 
L a 
dr r 
 dq 





 

a
La
kV ln. 
Físíca II 
Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 
 
 
 16 
Problema Nº 25 
Calcular la diferencia de potencial entre dos cilindros coaxiales de radios a = 1 cm y b = 3 cm, 
cargados con cargas de igual valor y signo contrario, si la densidad lineal de carga es de 2 x 10–
7 (C/m). 
 
Solución 
Como ambos cilindros son equipotenciales, se calculará la diferencia entre dos de sus puntos, B 
y A, siguiendo la línea radial que va de A a B. 
 
 
 
   EdlEdldlEVV ab 180cos. 
El módulo del campo eléctrico entre los dos cilindros, según se vio (problema 12), vale: 
0.2 

r
E  Luego: 
  r
dl
dl
r
VV ab
00 22 



 
Como se tienen dos variables dentro del signo de integral (r y l), hay que dejar una sola para 
poder integrar. Para eso se busca una relación entre ambas. 
La variable r representa los radios, los cuales se miden desde el eje hacia afuera. La variable l 
representa los desplazamientos de la carga de prueba, que en este caso se realizan a lo largo 
de un radio, desde A a B, o sea de adentro hacia afuera. Por lo anterior, en este caso, dl = dr. 
Reemplazando dl por dr y colocando los límites correspondientes a r, se tiene: 
 

b
a
ab
r
dl
VV
02

 
 
 
02
/
ln


ab
VV ab  
 









2
2
12
7
.
1085,8.2
)1/3(
ln.102
mN
C
xx
m
C
xVV ab

 
VVV ab 4,3953 
 
******************************************** 
Q+ Q 
- 
A 
b 
dl 
E 
B 
a 
Físíca II 
Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 
 
 
 17 
Problema Nº 28 
Determinar la capacitancia por unidad de longitud de un condensador cilíndrico de radio interior 
a = 2 cm y radio exterior b = 3 cm: a) Con dieléctrico de aire. b) Con dieléctrico de papel ( = 
3,5). 
Solución 
Por definición, la capacitancia de un condensador es: 
ab VV
q
C

 (1) 
donde Vb  Va es la diferencia de potencial entre las armaduras y q es la carga, en valor 
absoluto, de una de las armaduras. 
Según se vio (problema 25), la diferencia de potencial entre dos cilindros de radios a y b, largo L, 
cargados con cargas de igual valor y signo contrario, y densidad lineal de carga  es: 
 
 
02
/
ln


ab
VV ab  =
02
)/(
ln

ab
l
q
 (2) 
De (1) y (2), la capacitancia por unidad de longitud es: 
 abL
C
/ln
2 0 (3) 
a) Con dieléctrico de aire 
 
 
mJ
C
x
NmCx
L
C
.
1037,1
)5,1ln(
/1085,8.2 210
2212




 mFx
L
C
/1037,1 10 
 
b) Con dieléctrico de papel 
 CC .`  ; 







L
C
L
C
 ; )/(1037,15,3 10 mFxx
L
C 

 
 )/(108,4 10 mFx
L
C 

 
******************************************** 
Problema Nº 29 
En la conexión de la figura, FCa 2 ; FCC 6 , CQC 360 y VVa 40 . Calcular qa, qb, 
V, Vb y Cb 
 
 
 
 
 
Solución 
 
De la definición de capacitancia: aaa VCq . ; CVFqa  8040.2  Cqa 80 
 
Como los capacitores a y b están en serie, sus cargas son iguales: Cqq ba 80 
V
F
C
C
q
VV
C
C
C 60
6
360



 V = 60 V 
Como ba VVV  ;  VVVVVV ab 204060  ; VVb 20 
F
V
C
V
q
C
b
b
b 

4
20
80
 FCb 4 
******************************************** 
 Cb 
Cc 
Ca 
V 
Físíca II 
Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 
 
 
 18