Campo elétrico em uma esfera com cavidade

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Juan Antonio Vera Sánchez 
Problema 14 
07/11/a 
Juan Antonio Vera Sánchez 
Problema 14. Se tiene una esfera cargada en volumen con 
densidad constante ρρρρ. Se practica en su interior una 
cavidad, también esférica. Determinar el campo eléctrico 
en el interior de la cavidad. 
 
Elegiremos el sistema de coordenadas, de tal forma que, el centro de la esfera homogénea de radio R y 
densidad ρ coincida con el origen de coordenadas; y el centro de la cavidad esférica practicada de radio 
R’, coincida con el punto P de coordenadas (a,0,0) (nótese que R - a > R’). Podemos escribir la densidad 
de carga, como una función de las coordenadas x, y, z a saber: 
 - ( ) 0,, =zyxρ si ( ) '222 Rzyax ≤++− 
 - ρρ =),,( zyx si ( ) )'()( 222222 RzyaxRzyx ≥++−∩≤++ 
 - ( ) 0,, =zyxρ si Rzyx >++ 222 
 
También adoptaremos los siguientes nombres para denotar a las siguientes regiones: 
• V’ = { ( ) 3,, ℜ∈zyx | ( ) '222 Rzyax ≤++− } 
• V’’ = { ( ) 3,, ℜ∈zyx | ( ) )'()( 222222 RzyaxRzyx ≥++−∩≤++ } 
• V = { ( ) 3,, ℜ∈zyx | Rzyx ≤++ 222 } 
 
Ahora bien, no dejemos que las matemáticas nos aparten del camino seguro del sentido común, lo que 
hemos hecho hasta ahora, no es ni más ni menos que elegir un sistema de coordenadas que nos permita 
simplificar al máximo la expresión matemática de las regiones de interés de nuestro problema, que son: 
V’ la cavidad practicada, V’’ los puntos de la esfera de radio R que no están en la cavidad, y V la propia 
esfera de radio R (nótese que V = V’ ∪ V’’). También consideramos la densidad de carga volúmica como 
una función de las coordenadas que: 
• es nula si nos encontramos en el interior de la cavidad 
esférica practicada. 
• tiene un valor igual a ρ si nos encontramos en el 
interior de la esfera de radio R, pero no estamos en el 
interior del agujero hueco practicado. 
• es nula, si nos encontramos fuera de la esfera de radio 
R. 
 
Y, entonces, podemos calcular el campo que crea nuestra distribución tan peculiar en un punto cualquiera 
del espacio, caracterizado por el vector 
→
r (para el desarrollo siguiente, consideraremos el vector que va 
del origen de coordenadas al elemento volúmico de carga 
→
'r ), aplicando: 
 
Problema 14 
07/11/a 
Juan Antonio Vera Sánchez 
 
( ) ( ) ( )
∫ ∫ ∫∫∫ =
−
−∗+
−
−∗=
−
−∗+
−
−∗=
−
−∗= →→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→
V V VVV
dv
rr
rrdv
rr
rrdv
rr
rrrdv
rr
rrrdv
rr
rrrE
' ' 3'' 33'' 33
'
|'|
)'(0'
|'|
)'('
|'|
)'(''
|'|
)'(''
|'|
)'(' ρρρρ
( ) ( ) =
−
−∗−+
−
−∗+
−
−∗=
−
−∗−+
−
−∗= ∫∫∫∫∫ →→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
' 3' 3'' 3' 3'' 3
'
|'|
)'('
|'|
)'('
|'|
)'('
|'|
)'('
|'|
)'(
VVVVV
dv
rr
rrdv
rr
rrdv
rr
rrdv
rr
rrdv
rr
rr ρρρρρρ
( )
∫ ∫ →→
→→
→→
→→
−
−∗−+
−
−∗=
V V
dv
rr
rrdv
rr
rr
'' 33
'
|'|
)'('
|'|
)'( ρρ
 
 
Y, este es un resultado muy importante, porque si somos capaces de leer por encima de las matemáticas 
del problema, nos daremos cuenta de que: 
“El campo que crea, en un punto cualquiera del espacio una esfera de radio R, densidad volúmica 
constante “ρ”, y centrada en el origen; a la que se le ha practicado una cavidad esférica en su interior de 
radio R’ y centrada en el punto (a,0,0); es equivalente a la suma del campo que crean en el mismo punto 
del espacio dos esferas: una de radio R, centrada en el origen, y con una densidad volúmica de carga 
igual a “ρ”; y otra de radio R’, centrada en el punto (a,0,0), y con una densidad volúmica de carga igual a 
“-ρ”.” 
Lo que hemos obtenido hasta ahora, no es más que un resultado de tipo general, que podemos aplicar a 
cualquier punto del espacio, no obstante, como en el enunciado del problema, se especifica que queremos 
calcular el campo creado en un punto interior a la cavidad practicada ( y, lógicamente, interior a la esfera 
de radio R), recordaremos ahora como es el campo que crea una esfera homogénea –con densidad 
volúmica de carga “ρ”-, centrada en el origen, en un punto interior a la misma (dicho resultado se puede 
obtener fácilmente considerando la ley de Gauss): 
 
rurE
→→
= )
3
(
0ε
ρ
 
 
donde r, es el módulo del vector posición del punto, respecto del origen, y ru
→
 es un vector unitario en la 
dirección del vector posición del punto. Este resultado se puede escribir en términos de las componentes 
cartesianas del vector como: 
 
( )zyxE ,,
3 0ε
ρ=
→
 
 
Y, finalmente, teniendo en cuenta la definición de los siguientes vectores S y S’, a saber: 
S = (x,y,z) 
S’ = (x-a, y, z) 
Entonces, es inmediato obtener, que el campo que crea la distribución de carga del enunciado, en un 
punto de coordenadas (x,y,z), situado en el interior de la cavidad, es: 
 
( ) ( ) )0,0,
3
(),,(
3
),,(
333 000
'
00 ε
ρ
ε
ρ
ε
ρ
ε
ρ
ε
ρ azyaxzyxuuE SS =−
−+=−+=
→→→