MeC-APU-ETSIA-Mecánica II

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Escuela Técnica Superior de Ingenieros 
Aeronáuticos 
T Rnl r- WAL 1 NFP 
Mecánica 11 
Jaime Beneyto Gómez de Barreda 
Curso 2010 - 2011 
PAR 
.:.1AL 
ACADEMIA CASI: ÑEIRA 
6[]={] SANTIAGORUSIÑOL, 4 
TELEF. 9153416 64 
28040 A!ADRID 
ME 2010-201 
Carrera: Aeronáuticos 
Asignatura: Mecánica U 
Profesor: Antonio Prieto 
. TEMA 1: DINAMICA DEL PUNTO EN MOV1D.VUENTO RECTILÍNEO. p A- 2. 
TEMA 2: DINÁMICA DEL PUNTO LIBRE. p :; - A3 
TEMA 3: DINÁMICA DEL PUNTO SOMETIDO A LIGADURAS. 
TEMA 4: DINÁMICA RELATIVA. p 22 - zg 
TEMA 5: INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA ANALÍTICA. 
TEMA 6: ESTÁTICA ANALÍTICA. 
TEMA 7: DINÁMICA ANALÍTICA. 
TEMA 8: DINÁMICA DE PERCUSIONES. -"> A ptM1i..,.. eJLi 'P ~ 2. 
TEMA 9: DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO. 
TEMA 10: SÓLIDO DE POINSOT. 
TEMA 11: SÓLIDO DE LAGRANGE. 
p -ll+ - 2A 
z '1 - l.f~-
~! 
ACADEMIA CASTÑEL 
b~ SANTIAGO RUSIÑOL, 4 
TELEF. 91 534 16 64 
28040 AfADRID 
Curso: 2orn-2011 
Carrera: AeironáUllticos 
Asignatura: Mecánica H 
Profesor: Antonio Prñeto 
1-Una partícula M de masa m puede moverse por el plano vertical Oxy (Oyes la vertical ascendente) de una referencia 
inercial Oxyz.Dicha partícula está además sometida a la acción de un mue lle elástico lineal de longitud natural nula y 
constante de rigidez a 2 1~g (siendo a un parámetro adimensional,g la aceleración gravitatoria y L la longitud de Ja 
figura) que está amarrado al origen O del citado sistema de referencia. 
D En una primera fase, la partícula se encuentra en contacto unilateral y con rozamiento (de coeficiente f) por la parte 
y:2:0 de un tramo del eje Ox defmido por y=O,oo:s;x~L.Si inicialmente M se encuentra en el origen O con velocidad 
-M -; . 
v = v 0 1 se pide: 
l) Plantear las ecuaciones de la Dinámica. 
2) Obtener la ecuación horaria del movimiento.Para ello se pide: 
2.1- Obtener Ja E.D.O que proporciona la ecuación horaria del movimiento . 
2.2- Integrar la E.D.O para obtener x(t) 
2.3- Hacer el siguiente cambio de variables en la solución anterior: 
s = f; 1: = wt donde w 2 = a 2 f- y obtener s( -c) en términos de los parámetros adimensionales f = :2 ; v = e:~ 
3) Obtener razonadamente el valor crítico de Ja velocidad inicial v0 * que hace que la partícula abandone el eje Ox, 
expresando claramente las condiciones matemáticas impuestas. 
H) Suponiendo que tras un hipotético lanzamiento inicial la partícula llega al punto A(L,O) con velocidad 
VM = Ki; (K >O) se inicia una fase de movimiento libre por el plano Oxy.Se pide: 
4) Plantear las ecuaciones de la Dinámica. 
5) Integrar las E.D.O.s para obtener x(t),y(t). 
6) Hacer el siguiente cambio de variables en las soluciones anteriores: 
s = f; YJ = t; 't = T; = wt; ú) 2 = a 2 t y obtener s( 't ) , YJ( 't) en términos de los parámetros adin1ensionales 
ª2 v'= i ' rn L . 
7) Obtener la re lac ión K=K(a2) y su domin io de defi nición necesarios para que la trayectoria de M pase por el punto 
P(O,-L/2) la primera vez que cmi e al eje Oy expresando claramente las condiciones matemáticas impuestas. 
JUNIO 2006 
2..:.sea Ox una recta horizontal sobre la que se desplaza una partícula material pesada m de masa m; sea µel coeficiente 
de rozamiento entre la partícula y la recta .Además del peso, sobre M actúa la fuerza de un muelle, de longitud natural 
nula y constante elástica K que una la partícula con el origen O de la recta Ox. 
En el instante considerado como inicial (t=O) la partícula se sitúa en el origen (x0=0) y se lanza con velocidad 
X. 0 >O.Se in icia así un movimiento en el que la partícula viaja hacia el semiespacio x>O hasta alcanzar una separación 
máxima x 1, posterionnente la partícula se mueve hacia x<O hasta alcanzar una separación máxima x2 ( x2<0). 
Para el primer trnmo del movimiento de la partícula (cuando X >O ), se pide: 
1) Plantear la ecuación del movimiento, integrarla y obtener x 1 y el tiempo empleado en alcanzarla. 
Para el segundo tramo del movimiento de la partícula (cuando X <O ), se pide: 
2) Plantear la ecuación del movimiento, integrarla y obtener x2 y el tiempo empleado en alcanzarla. 
3) Determinar el valor máximo de K para que una vez alcanzada Ja posición x2 la paitícula permanezca en reposo. 
4) Calcular la energía disipada en el proceso. 
NOTA: 
La resolución se simplifica mediante las siguientes variables adimésionales: 
ú) µa 
ú) = ·-c = ú)t·z = x-·s =____E_ ' ' . ' . x 0 X 0ú) 
SEPTIEMBRE 2007 
ENUNCIADOS MECÁNICA H 
-EM ~ CAST NE RA 
SANTIAGO RUSJJ\TOL, 4 
TELEF. 91 534 16 64 
28040 ~MADRID 
Curso: 2010-2011 
Carrera: Aeronáuticos 
Asignatura: Mecánka II 
Profesor: Antonio Prieto 
TEÓRICO-PRÁCTICOS TEMA 1 : DINÁMICA DEL PUNTO EN MOVIMKENTO RECTILÍNEO. 
1-Un oscilador armónico amortiguado sin término forzado tiene masa m, constante del muelle K y amortiguamiento c. 
• Definir la frecuencia natural C0 n • 
Plantear la ecuación del movimiento y definir el amortiguamiento crítico ccr. 
Obtener las distintas leyes horarias en función del amortiguamiento explicando su comp01iamiento. 
SEPTIEMBRE 2004 
w~) 2-Una partícula pesada se lanza verticalmente hacia arriba en un medio resistente.Reducir a cuadraturas. 
SEPTIEMBRE 2003 
V.u JllM~ A.3.A n.v. v~e.J t."1W ~~d-\o... JUNIO 2004 
SEPTfEMBRE 2005 
JUNIO 2007 
MARZ02009 
'2.'t.t>2.. J-Se deja caer una masa m a un pozo.Sea T el tiempo que tarda en IJegar aniba el sonido del choque con el suelo 
(medido desde que se lanza la masa).Sea a la velocidad del sonido (constante), g la gravedad (constante) y la 
resistencia aerodinámica de la partícula será del tipo R(v)= mg v siendo A constante.Se pide plantear las ecuaciones 
'A 
que permitirían obtener 1a profundidad del pozo y el tiempo de caída. 
SEPTIEMBRE 1999 
~ l d OX 'd fu d l F- Km ( ' )7 . d l't .o~ ,-4-Una partí cu a e masa m se mueve por sometl a a una erza e va or = - --- 3 x - + 2ax 1 sien o K y a 
a-' 
constantes conocidas .En t=O x =O; x = v
0 
.Estudiar el movimiento para los distintos va1ores de v0• 
SEPTIEMBRE 2000 
P.. _?-Un punto material de masa m realiza un movimiento unidimensional sobre el eje OX sometido a una fuerza que 
deriva del potencial V = - m; x 2 (x - a) .Inicialmente está en el origen con velocidad v0 en el sentido negativo de OX. a-
1...' 
21.f .01.. ~~-Un punto material de masa m realiza un movimiento unidimensional por el eje OX sometido a w1a fuerza de valor: 
- -~ X -
F = mge "(1 - - ) i .Inicialmente se sitúa en x=a y se lanza con velocidad v0 en sentido negativo.Estudiar el 
a 
movimiento en func ión de v0. 
R -7-Una partícula se mueve por OX sometida a una fuerza que deriva del potencial V= _!_ Kx 2e -(~}2 donde K y a son 
2 
constantes positivas .Detenninar los puntos de equilibrio a distancia finita y su estabilidad.Si la partícula se lanza desde 
el origen con velocidad v0 estudiar el movimiento. 
FEBRERO 1998 
TEÓRICO PRÁCTICOS TErvL.<\ 1 
EMA 'ASTÑE 1U 
SANTIAGO RUSIÑOL, 4 
TELEFS 534 16 64 - 533 82 01 
28040 JvJADRID 
T/2 INÁMICA DEL PUNTO LIBRE 
2.4- Dinámica orbital. 
2.4.l .Problema de los dos cuerpos. ( Estudiar por el Libro) 
2.4.2 Problema de Kepler. 
{Jt lt) 
Carrera: Aeronáuticos 
Asignatura: Mecánica JI 
Profesor: Antonio Prieto 
Estudiamos ahora un caso particular de movimiento central de gran interés practico: atracción gravitatoria. 
Sea M la masa que genera la atracción (fija en el origen, denominado punto primario), G la constante de gravitación 
universal y m la masa que sufre la atracción: 
- GMm GMm µm _· 
F=---r=---ü =--u 
3 2 r r2 r r r 
donde l.l = GM se denomina constante gravitatoria de la masa M (~Lffi para la Tierra, µ<:fpara el Sol,µ .,:· para Ma1ie ... ) 
En el instante inicial t=O las condiciones iniciales son r = fo ; V= "º 
Como en todos los movimientos centrales (ver 2.3) sabemos que: 
- -• r A v = r0 A v 0 = h ~ r · h = O el movimiento es plano y dicho plano contiene al origen (polo de 
atracción), al punto de lanzamie111to y a la velocidad inicial.Elegimos unas coordenadas polares para situar a la 
partícula en el citadopiano.El origen de dichas coordenadas es el polo y el eje polar (8 = O) lo elegimos 
uniendo el polo con el punto de la trayectoria de distancia mínima al polo (pericentro) "' .Las condiciones 
iniciales serán por tanto del tipo: t=O r = r0 ;8 = 8 0 ;r = r0 ;ér = é 0 ~0 . 
La integral primera vectorial ** se convierte en (Ver 2.3) : 
Area · h 
(l) ér 2 = é0rg = h Ley de áreas: v~eolar = = cte = - (Ver TIJ Mecánica!) 
Tiempo 2 
L f · · · , · 1 V J µm d pm 1 , , · · a uerza gravitatoria tiene en erg ta potencia = - - - ?- r = - -- y a energia mecamca se conserva: 
e r 
1 · µm 1 2 µm 
· (2) T +V= - ·m(f 2 + 8 2r 2 )--- = E 0 = - mv 0 - -- Consen;ación de la energía mecánica 
2 r 2 r0 
2.4.2.1-Trayectoria. 
r' método:(Binet). ( pDf.4 .i.4.p..,t~ ) 
Podemos obtener la trayectoria sustituyendo la ecuación (2) por la segunda fórmula de Binet: 
~~á.rr;, 4 14 ~~ , 
Integrando dicha ecuación obtenemos la ecuación de la . trayectoria 
p 
r=-----
1 + ecos8 
donde 
j 2E h 2 
1 + 0 (Ver TI! de Mecánica!). 
mµ2 
* Más adelante se verá que el pericentro es único. 
** Segunda Ley de Kepler:"En el movimiento de los planetas alrededor del So! sus radios vectores barren áreas iguales en tiempos iguales" cuyo 
enunciado gcmeralizado podría ser "bajo fuerza gravitatoria la velocidad areolar es constante". Es interesante comentar que Johannes Kepler( 157 1 -
1630) abordó el problema del movimiento cie los planetas a partir de los datos empíricos obtenidos por el astrónomo danés Ti cho Brahe ( 1546-1601) 
y través de cálculos exclusivamente cinemáticos .Las leyes de Kepler fueron la base en la que Isaac Newton ( 1642-1727) se apoyó para el desarrollo -
de la ley de gravitación universal. 
TEMA 2 DINÁMICA DEL PUNTO LIBRE (Gravitación) 
ACADEMIA CASTIÑEIRA 
JA.o?I. 2#\I 
~ 
SANTIAGO RUSIÑOL, 4 
TELEFS. 534 16 64 - 533 82 01 
28040 111ADRID 
Carrera: Aeronáuticos 
Asignatura: Mecánica Il 
Prof esor: Antonio Prieto 
2°método: (Vector excentricidad o vector de La place o vector de Runge -Lenz). (*-Je"' 11! »:) 
La fuerza gravitatoria presenta una integral primera vectorial común a todos los movimientos centrales: 
f A v = f0 A v 0 = h (1) 
&1Eh1'fl~ 
cAt w 
TtoR(A 
Vamos a demostrar que en el caso particular que nos ocupa existe otra integral primera vectorial que sustituye a la 
ecuación de la energía. 
- F GM - µ - - µ - - µ - -o 
y=-=--?-ur =--?u,-+ y+-:¡ u, =y+3r= 
m r- e r- r 
f ,,. 
h Ay + ~ (hAr)=hAy+ ~ (f/\V)/\f=hAy+ ~ (r 2v-(f·v)f)=O 
r r '-- r A; 
- - - e·- e· - ) . df f · v =fu,· ru, + fu 0 = rr = r- 1M.'ft.Vi:.t ~a.. 
ili - ~ 
h- - µ ( ? - (- -)-) -1 - µ ( ' - df -) 1- - (V 1 df _) d (h- _ µ _) -Ay+- cv- f·V f = 11\y+-, cv-f-f = 1 Ay+µ ---? -f =- AV +-f =0 
f 3 f 0 dt f f- dt dt f 
h Av+ µ f =~=-~Le= h Av 0 + J::.I:_ f0 = cte =-µe (2) e = - fo - _!_ h Av 0 (vector excentricida(f)*** 
f f0 f0 µ 
Obsérvese que : 
• los vectores h y e quedan definidos por las condiciones iniciales f0 ; v 0 
• e es un vector adimensional. 
• ii. es perpendicular al plano del movimiento y por tanto se observa que h. . e = o es decir que e pertenece al 
pfano del movimiento.Tomemos el ej e polar ( 9 = 0) según el vector e . 
Multipliquemos escalarmente la ecuación (2) por r: 
f. (h /\ v) +µ~=-h.. (f /\ v) + µf =-h. . ii. + µr = -h 2 + µr =-µe. r = -µef cos 8--+ 
f - ) 
h2 /µ p 
--+f=----
1 + ecos8 1 +ecos e 
• La trayectoria obtenida es la ecuac;;ión polar de una cónica referida a su foco (polo de atracción) donde 
h 2 7t 
p = - = f(8 = -) es el parámetro de la cónica (semilatus-rectum) y e es la excentric idad**** . 
µ 2 
h 2 I µ . 
• Para e = o---+ r = -- = rMfN luego e apunta al pericentro de la órbita.Llamaremos -¡; al instante en que 
l +e 
m pase por pri.mera vez por el pericentro (e = O ).Si la órbita es parabólica o hiperbólica y r0 > 0 no pasará 
por dicho punto y entonces t < O .El vector que va desde el centro de atracción O hasta el pericentro P de la 
h
2 I e .. P . OP µ cornea sera por tanto = --- . 
1 +e e 
••• Llamado así pues como veremos a continuación su módulo será la excentricidad del la cónica que obtendremos como trayectoria. 
•••• Primera Ley de Kepler:"En el movimiento de los planetas alrededor del Sol las trayectorias son elipses con el Sol en un foco"cuyo enunciado . 
generali zado podría ser "bajo füerza grav itatoria la trayectoria es una cónica con el centro de atracción en un foco" . 
2 TEMA 2 DINÁMICA DEL PUNTO LIBRE (Gravitación) 
ACA 
~ 
EM A. CASTIÑEIRA 
SANTIAGO RUSIÑOL, 4 
TELEFS. 534 16 64 - 533 82 01 
28040 MADRID 
Curso: 02-03 
Carrera: Aeronáuticos 
Asignatura: Mecánica JI 
Profesor: Antonio Prieto 
A continuación vamos a relacionar el valor de la excentricidad e con el de la energia inicial E0 : (~) 
1 2 µm 1 2 µ E 0 =-mv 0 --= m(- .v 0 --) 
2 ~ 2 ~ 
- - 2 ( fo 1 (h- - ) ) 2 1 1 (h- - ) 2 2 1 fo . (h /\ V o ) iiJ_ vo 1 h 2 V~ 2 h- (-e · e = e = - + - /\ v 0 = + - , /\ v 0 + - = ---> + --, - - - · r0 /\ v 0 ) = . ro µ µ - µ ro µ - µro 
E 0 <ÜBe < l (ELIPSE ) 
2h 2 E 
e= 1 + o => E 0 =ÜBe=1 (PARABOLA ? mµ-
E 0 > ÜBe > 1 (HIPERBOLA ) 
3er método:(Reducción a cuadratu ras). 
Es aplicable en este caso todo lo estud iado en el apaiiado 2.3 de este tema para el caso F = F(r )ü r 
µm mh 2 1 2 µm 
Siendo Vef =--+-,-y E 0 =-mv0 --
r 2r- 2 r0 
h2 /µ 
--*r =----
1 + ecos8 
Abordamos a continuación el análisis cualitativo sabiendo que la trayectoria es una cónica con foco en el polo: 
· Ml\'2. 
~ 
L - - __ _.;:::,,,.,.¿,,,,,.~ __ ___, 
3 TEMA 2 DINÁMICA DEL PUNTO LIBRE (Gravitación) 
ACADEMIA CASTIÑEIRA 
w SANTIAGO RUSJÑOL, 4 TELEFS. 534 16 64 - 533 82 01 28040 A1ADRID 
2 
l
. E = - n1µ ' Ver 2.3 
) o 2h 2 ---4 y o = 
Carrera: Aeronáuticos 
Asignatura: A1ecánica JI 
Profesor. Antonio Prieto 
Lanzando a distancia r0 del centro de atraccción con la veloc idad obtenida perpendicular al radio-vector obtenernos un 
movimiento circular uniforme (estacionario estable). 
Si r0=RTIERRA es el radio de la Tierra y µE!l = GMTIER.RA la veloc idad obtenida se denomina velocidad del satélite 
rasante o primera velocidad cósmica cuyo valor es =: 8 Km/s. 
· º) E l ? µm 0 ¡¿µ (M . . . ) E 11 0 = - mY0 - -- < B Y 0 < - ov11rnento entre pencentros y apocentros -> - LIPSE 
2 r0 r0 
peri centro en rmin = r(8 = O) = ___E_ y apocentro en r111.,= r(8 = n) = _P_ 
l+e 1-e 
En Mecánica Orbital se sue le especificar el el nombre del primario: 
• Tierra : perigeo y apogeo 
• Sol : perihelio y afelio 
• Luna : periselenio y aposelenio 
... 1 2 µm ¡¿µ 111) E 0 = -mY 0 --- =O B Y0 = - (Se marcha al infinito con v00->0)->PARÁBOLA 2 r0 r0 
Si r0=RTIERRA es el radio de la Tierra y µE!l = GMTIERRA la velocidad obtenida se denomina velocidad de escape o 
segunda velocidad cósmica cuyo valor es =: 1 1 Km/s. 
. 1 ? µm ~µ . . 1v) E
0 
= - mY0 - - - >O B Y 0 > - (Se marcha al mfimto con v00->cte:;tO)-> HIPÉRBOLA 
2 r0 r0 
• Pericentro : 
h 2/ µ 
r r = r (8 = O) = --rvuN = r 1 +e 
p ; 4'10W4~e;4 •, ~ ~ blo... 
~--~l-
.i.-----+-" -----'=-*'-.... ! r 
2.4.2.2Elementos geométricos de la trayectoria (cónica). 
ELIPSE 
1 2h 2E 0 h 
2 
e-=l+ 
1 
< 1; p=-
mµ- 11 
,, .. )< 
11 ~----~ 
~ • Apocentro: 
h 2/ p 
r = r = r(8 = n) = --
MAX A 1-e 
• Semieje mayor : 
h2 / µ Jll11 
a = ..L (r + r ) = -- = - --
. 2 A P 1- e1 2Eo :>. 
• Semieje menor b=-la'-c' =a~= ~=h[, 
• Semidistaricia focal : e = ae 
1 
Obsérvese que el semieje mayor sólo depende de E0 (es decir depende de r0 y v0 pero no del ángulo que forman r0 y 
v 0) sin embargo p, e, by c dependen también de h y por tanto de dicho ángulo. 
4 TEMA 2 DI NÁ MICA DEL PUNTO LIBRE (Gravitación) 
ACA EMIA CASTIÑEIRA 
~ 
SANTIAGO RUSJÑOL, 4 
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PARÁBOLA e 2 = 1 + 2h 2 E o = 1 . h 2 7 ' p=-mµ- µ . 
f Míl'1 = f p = f ( 8 = Q) = h 2 j µ = h 2 j µ = E_ 
. l+e 2 2 
• Pericentro : 
Apocentro : rl\1AX = r A = r(8 = re) = oo 
Semieje mayor : a = oo 
Semieje menor : b = oo 
• Semidistancia focal: e = ae = oo 
) 2h 2E 0 h 
2 
HIPÉRBOLA e- = 1 + > 1 · p = -
) ' mwµ 
r-wJ cuando cos8Cf) = _ __!__ ~ 8 = arcocos(-1.)~ sen8 = +_!__,Je 2 -1 ro e oo -
• Pericentro: 
o Apocentro: 
Semieje mayor: 
Semieje menor: 
e e 
- - h 2 /~t 
r MJN - rP - r(8 = O) = --
. l+e 
No existe 
_ · h 2 I ,u ¡un 
a - --1 - - = - --
e- -1 2E
0 
b = -Jc2 - a 2 = a-Je 2 - 1 = h 2 / µ 
-J1 - e 2 
Semidistancia focal: e = ae = _ µme 
2E 0 
Pendiente asíntotas: tg8 .:J) = ± -J e 2 - 1 
/ 
I 
.U.o3. 'lPil 
Carrera: Aeronáuticos 
Asignatura: Mecánica JI 
Profesor: Antonio Prieto 
I 
/~ 
2.4.2.3 .Periodo del movimiento elípt ico. C~ j< .>I' ~ ~ ) t"-$~ ~r~ 4 "tLc...t{Ci\.. 
- · /t tttt4 A la ~1.itu 
- Areolar 1 - - h - Areolar h Afea rcab b , . v 0 = - r /\ v = - = cte ~ v 0 = cte = - = . = -- donde na es el area de la elJpse y T el 2 2 2 Tiempo T 
periodo (tiempo en recorrerla).Sabembs del apartado anterior que b = hJfi 2rcab 2rca 312 ~T=--=--
h Jµ 
Para dos órbitas elípticas cualesquiera (alrededor de distintos astros de masas M1, M2): 
T2 3 3 M 1 ª1 µ2 ª1 2 - ---
T2 
2 
3 
ª2 µ1 
Si las órbitas se desarrollan alrededor del mismo astro M1= M2=M: 
T1 a3 
1 - 1 -
ª3 2 
***** Tercera ley de Kepler:"En el movimiento de los planetas alrededor del Sol el cociente entre el cuadrado del periodo y el cubo del semieje 
may,or se mantiene constante". Ev identemente el enun ciado es válido para órb itas alrededor de cualquier masa primaria. 
5 TEMA 2 DINÁJVIJ~A DEL PUNTO LIBRE (Gravitación) 
ACADEMIA CASTIÑEIRA 
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2.4.2.4Ecuación horaria del movim iento elíptico.Ecuación de Kepler. 
Sean r y 8 unas coordenadas polares con origen en el polo y eje polar según e (pericentro) .Construimos una 
circunferencia de centro C (el de la elipse) y radio su semieje mayor a. 
Sea Q la partícula en una posición genérica r, 8 ( r = · p ).Si por Q trazamos una paralela al semieje menor 
1 +ecos e 
cortamos a la circunferencia antes construida en dos puntos.Al más cercano a Q le denominamos Q ' .Al ángulo que CQ ' 
forma con el eje polar lo denominamos u=JE (anomalía excéntrica) y a 8 (anomalia verdadera). 
x2 y2 
La ecuación implícita de Ja 'elipse en Jos ejes Oxy de la figura es -? + -? = l .En la figura se observa que x=acosu y 
a- b-
de la implícita obtenemos que y=bsenu. 
• Relación entre r y u=JE: 
,,. (u.) 
r 2 = (x - ae) 2 + y 2 =(a cos u - ae) 2 + (bsenu) 2 ~ _b_=a_M_i-_e2- =a 2 (1- ecos u) 2 ~ r ~ a(l- ecos u) 
• Relación entre 8 y u: 
cose = _x_-_a_e = _a_co_s_u_-_a_e_ 
r a(l - ecos u) 
cosu- e 
1-ecos u 
sene=)'_= ~_b_s_en_u __ 
r a(l - ecos u) 
~senu 
1- ecos u 
e 
tg-= 
. 2 
1- cos 8 = p + e tg 11_ 
1 +cose 1- e 2 
e+ cose 
e, inversamente cos u = ----
1 +ecos e 
. -J1 - e 2 sene 
e, inversamente senu = -----
1 +ecos e 
6 TEMA 2 DINÁMICA DEL PUNTO LIBRE (Gravitación) 
ACADEMIA CASTIÑE 
~ 
SANTIAGO RUSJÑOL, 4 
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• Ecuación horaria 
Carrera: Aeronáuticos 
Asigna_tura: Mecánica JI 
Profesor: Antonio Prieto 
En t=O conocemos r=r0 y 8=80<0 y a través de cualquiera de las dos expresiones anteriores podemos determinar 
u0=lE0<0.Sea "C el tiempo que transcu1Te desde que comienza el movimiento hasta que la partícula pasa por primera 
vez por el pericentro.Debido a la afinidad entre la circunferencia y la elipse, el área OPQ podemos calcularla como el 
b 
producto del área OPQ ' multiplicada por - . 4 e.t14 ~~ •~ to ~e1·• ~~ ~ 11/1.d-< ~da. , ~s fa 
a 
AREA OPQ= <"AU-"'-S ~ f~. 
b b b 1 ? 1 ab 
=-AREAOPQ'= -(AREACPQ'-AREACOQ') = - (- a-u- -ae · asenu) =-(u -esenu) 
a a '___._,,, a2 2 2 
jtt.14f' Uf(~ tri "-,._to 
Areolar h TCab ª2b (U - eSellU) v 0 =-=cte=--= --+ 2 T t-1: 
l~(t -e)= ~(t - e)= n(t - e)= u - esenu =JE-esenJE =~ Ecuación de J(epler 
tiempo de paso por el pericentro 
velocidad angular media 
anomalía media 
2.4.2.? Ecuación horaria del movimiento parabólico /JO fNTRA-
En el movimiento. parabólico, la ley horaria se describe mediante la relación 8=8(t) entre la anomalía verdadera y el 
tiempo.En. efecto: 
Trayectoria 
p p = E. (1 + tg 1 ~) (J) r= 
1 +cose 2 
, e 2 2 cos- -
2 
• Ley de áreas ér 2 = h =,jµP (2) 
Sustituyendo Ja ecuas;ión (l) en Ja (2) obtenemos una ecuacion de variable separada: 
L(1 + tg 1 ~J 2 d8 = hdt = 'µpdt ; f 'µpdt = fiaº Lo+ tg 2 ~) 2 de 4 2 -yµpi ,-yµpi o 4 2 
Integramos haciendo el cambio de variable z= tg ~ y obtenemos: 
2 
Siendo T el tiempo de paso por el pericentro cuyo valor viene dado por : 
7 TEMA 2 DINÁMICA DEL PUNTO LIBRE (Gravitación) 
ACADEMA CASTÑE RA 
~ 
SANTIAGO RUSiJ\.rOL. 4 
TELEFS. 534 16 64 - 533 82 01 
28040 A1ADRID 
~ 8 8 1 ¡ p· 11 , 1 3 " 
T =-- - (tg -,- tg - ) 
/\. ~, ,.,~ J 
- V µ - .) -
2.4.2.6 Ecuación horaria del movimiento hiperbólico /'JO tNTftt\-
Carrera: Aeronáuticos 
Asignatura: Mecánica JI 
Profesor: Antonio Prieto 
Una vez obtenida la ecuación de la trayectoria en la fonna r=r(8)- h 
1 1 
µ vamos a relacionar la anomalía 
1+ecos8 
verdadera 8 con el tiempo.Previamente describiremos la trayectoria mediante una parametrizaci_ón en la fom1a r=r(u) y 
8=8(u) para posteriormente determinar una relación de la forma u=u(t). 
La ecuación implícita de la 11ipérbola referida a sus ejes es : 
X 2 y2 
---=! 
a" b2 
Si Ja partícula describe la rama izquierda de la hipérbola se puede parametrizar en la forma: 
Jx =achu 
l 
u E (-oo,+XJ) =Anomalía h;perbó!ica 
y = bshu 
• Relación entre r y u: (se tendrá en cuenta que c=ae, b 2 = c" -a e) 
I .-) I I ? l ? ? I l ? ¡ . ? I) ¡ I ? ( } 1 ? h 1) r- = (c - aclrut +b- slru =crcru +cre - -~a-ecnt+(c- - a - sru=a- _ecn1- )- ~r =-a(ec u-
. c - x 
o Relación entr 8 y u: (se tendrá en cuenta que cos8 = --;x=acbu;1=a(echu-l) 
8 1-cos 8 
ta-= 
b 2 l + cos 8 
1 
_ c-aclrn 
r 
l+ c-achu 
r 
r 
r - e+ achu = ¡aechu - a - ae + achu ~ ~e+ 1 chu - 1 ~ ~e+ 1 th ': 
r+c-achu 'aechu-a+ae-achu e-1 chu+l e- 1 2 
Se puede asimismo demostrar las siguientes expresiónes: 
¡:;---;- shu ' e e - chu 
sene = -ve- - l ("') cos = (**) 
echu - 1 echu - 1 
. ('e· e ¡:;---;- e - chu .. d 8d(*') b " e· . -Je" - l Derivando :;:) cos = -ve- - 1 , u sustituyen o cos e · ''' se o tiene = u 
· (echu - 1)- echu -1 
e. ' l I ( ' 1) · · C h l. e· · N=-1 b En la ley de áreas e = 1 = -v - µa ,e - - sust1tu1mos r = a ec u- ) y = u--- y o tenemos: 
echu - 1 
(echu- l)du = ~ que integrada nos da ~ ~L. (t - e) = eshu - u ~~at - a-' . 
8 · TEMA 2 DiNÁi\'ÍiCA DEL PUNTO UBRE (Gravitación) 
EM ~ CAST ÑEIRA 
2.4.2. 7 Velocidad 
Teniendo en cuenta : 
SANTIAGO RUSIÑOL, 4 
TELEFS. 534 16 64 - 533 82 01 
28040 MADRID 
h2 
Carrera: Aeronáuticos 
Asignatura: Mecánica JI 
Profesor: Antonio Prieto 
p 1 1 
• Trayectoria r = ~ - = -(1 + ecos8) = 
1 + ecos8 r p 
p=µ = 4 (1 + e cos8) 
h 
") . h µ • ec = h ~ 8r = -=-(1 + ecos8) 
r h 
e f = BINET ) = -h _i_(~J = µ esen8 
d8 r h 
Podemos expresar la velocidad: 
En el caso de trayectoria hiperbólica : 
2..'t. t.S 
9 TEMA 2 DINÁMICA DEL PUNTO LIBRE (Gravitación) 
2B.o'Z.. 
2 PRo8tEh1i5 
ACA EM~ CAS 1ÑE~ 
SANTIAGO RUSIÑOL, 4 
TELEF. 9153416 64 
28040 ~MADRID 
~-G 
Curso: 2@10-2011 
Carrera: Aeronáuticos 
Asignatura: Mecánica II 
Profesor: Antonio Prieto 
3-Una partícula material M de masa m es atraída por un eje vertical con una fuerza proporcional a su masa y a la 
distancia existente entre la partícula y dicho eje,síendo a/ la constante de proporcionalidad. 
Además de la fuerza gravitatoria y de la atracción sobre dicha partícula actúa una fuerza de resistencia opuesta y 
proporcional a la velocidad (rozamiento viscoso) siendo el coeficiente de proporcionalidad c = 2f mw 
En el instante inicial la partícula está situada en 0(0,0,0) y la velocidad es v = v.J .Se pide: 
1) Plantear las ecuaciones del movimiento. 
2) Integrar dichas ecuaciones. 
3) Demostrar que la velocidad tiene un valor iímite y calcularlo. 
v -
1.B.D2. 4-Una partícula M de masa m y carga eléctrica q, sin peso, se mueve sometido a la acciónde dos fuerzas F1 y F2 • 
• La fuerza F
1 
es una atracción desde el eje Oz proporcional a la masa y a la distancia a dicho eje siendo w2 la 
constante de proporcionalidad. 
- 2.J3m(J) -
o La fuerza F2 es la magnética debida a la existencia de un campo magnético B = - k 
3q 
Se pide: 
1) Plantear las ecuaciones del movimiento de M . 
2) Sabiendo que en t=O la partícula se encuentra en (a,0,0) con velocidad v = v 0 (j + k) y que V 0 = -J3 / 3(J)a integar 
completamente las ecuaciones. 
'28.óZ. 5~Una partícula material pesada de masa rn y cuya carga eléctrica es q está obligada a moverse sin rozamiento sobre un 
plano horizontal OXY.La patiícula M está unida al punto O por medio de un muelle OM de constante elástica K=mffi2 
y longitud natural a de forma que la fuerza que el muelle ejerce sobre el punto M será: 
F = -mo/(r - a)ü, 
en donde r representa la distancia OM y U.res el versor de la dirección y sentido de OM. 
Se considerará finalmente el campo magnético definido por: 
8 =meo k 
q 
-
siendo k el versor de la ve1tical ascendente. 
La posición de la paitícula M en el plano OXY quedará determinada indistintamente por sus coordenadas cartesianas 
(x,y) o por sus coordenadas polares (r,8 ).Se pide: 
1) Determinar en función de x,y y sus derivadas las componentes según OX,OY de las fuerzas que actúan sobre M . 
2) Plantear las ecuaciones cartesianas del movimiento. 
3) Plantear usando las polares las ecuaciones de energías y de momento cinético respecto a O. 
4) Reducir a cuadraturas las ecuaciones determinadas anteriormente con objeto de determinar la trayectoria y la ley 
horaria de M. 
5) Suponiendo que M se encuentra inicialmente a distancia a de O,¿en que dirección y con que velocidad se deberá 
lanzar para que el movimiento sea circular uniforme? 
J 
¡0 • o 3 6-Un punto material de masa m se mueve sometido a la acción de un campo central de valor: 
F
- ma 5 w 2 (a - r ) _ 
= u r5 r 
En el instante inicial el punto se lanza desde una distancia r0 del origen con una velocidad v0 que fom1a un ángulo a 
con el radio vector.Se pide: 
1) Plantear las ecuaciones que gobiernan el movimiento del punto y dejar el problema reducido a cuadraturas. 
2) Determinar las condiciones de lanzamiento que se precisan para obtener un movimiento estacionario;analizar el 
carácter (estable o inestable) de los movimientos estacionarios que se obtengan . 
3) Descripción de los posibles movimientos. 
4) Si inicialmente r= ( ~ - 4)a y la partícula se lanza con velocidad v0 perpendicular al radio-vector, comprobar que 
,¡10 
existe w1 valor de v0 para el cual r tiende asintóticarnente a 4a.Representar esquemáticamente la gráfica del potencial 
efectivo y la recta de ordenada E0. 
2 ENUNCIADOS MECÁNICA H 
TEhA- 2 f Rt)8LEnA-.5 ~ - 13 
_-iC~4-D:E5fL4 C~4-STIIJcI1~4-
j 
'R 7-Sea un potencial ' / 
r 
CarTC:JC1 .· Aer-&n:autk:o s 
.-isi fTCül.TT ~'10c:ánica II 
Prq(e.~or: AoronFo P deto 
c.ualitarÍ\'amente e) carácter del :110\'imien10 de ·_;ns panícula en el campo \i( r) para diferemes \·aJorcs de! mor!·ienrc; 
cinético y de ia energía. ~' pla!itéC±r las ecuaciones del ¡fo.1\·imiern:o. 
I) ¿L fuerza que deri\'a del citado pore;ici2i es. cenrrá1'1 
2) D etern1inar el potencial efécrivo V~tü} .¿Qué semido físico tiene el término de! momen(o cinético?. 
3) Dejar las ecuaciones del movimiento reducidas a dos cuadraturas. una para la m1yectoria: otra para ia le:·. horaria. 
3} Estudíar cualítati vame11te el carácter del movimiento para diferentes valores del nwmenru cinético H, 1• 
planeta.En un instante dadü se enc.1entr2 'en 3R, i-.; ü ·--( - -., .J . i . lC01; v.:: loc:idétd 
(" . 
_; 
inerc iales Ox 1y 1z1 con origen en el centro del p!aneta.Ss pide: 
] } Vecto1· excentr icidad. 
2) Ra dios y velocidades en el apocentro y el pericenrro. 
3) ¿Chocará el saté li te con el planeta? . 
S!E.PTl EM B.RE 2005 
1 • 
El planeta gira con velocidad ::.ngular -.J~L /( 6R }"" k 
1 
.S:: qu!e1·e llevar el satélite a um1 }rbita tal que esté siernp ·e en ¡~¡ 
misma pos ición respecto del píaneta.Se i:rnrnrá por trn1to de una órbita ecuatorial y circular cuya velocidad angular 
coincida con la de! p(aneta.-Se usará una órbita e[íptica irn:errnedin o de trnnsición cop lanaria y tangente a la inic! ul y 3 la 
ci rcu lar estacionaria.Cuando .:! sat¿!í te llegéi al apoc.enti"o dt de su órb ita, se clKitnden los n1otor~s •: 1-, !~i dirección 
tangente, prporcion2ndo Lm incre.mc:nto de ,relocidad instantáneo L.lv 1 .. de modo que entre en la órbil"él de 
transferencia.Cuando llega af apocentro de ésta. se encienden de nuevo para proporcionar un i.'.w~ que lo lleve a la 
d rcular estac ionaria. Determinar: 
4} Radio de b ó1·bit<:! est1:K: iOi1aria_ 
5) Vé!Ío re:s de 6v ¡, ;_,_v-.:. . 
,¡s_17J:, 9-Sen rv1 una partícula 1121te:·ia\ cls- rrns2 ff· qlif: s<:: ff1l\t :. vt.: ~i\ 1.d' pi·:'.i·10 11 ;!l r: rida po~· ~li'. ¡Ji!Pí(, O de: di .. :iiti ¡: ;; :,1 ·:, :(,:-1 ·1: t::t 
fuerza: 
::. urn _ 
¡- =- -· -, u. 
r - . 
Sea O;:v una referencia rectangubr gal!leana ligada al µ\a no -rr .En t=O el punto M se encuentra en '.O .-L.01 1:-.Gn 
-
velocidad v r; i + -.. ,. 0 j Se µide derern1inar ia t:·ayecrnría segu ida po;· !vi en los siguientes casos: 
3 
j 
F = - (n°p : r··-: 1: s;endc1 ~ el 1·ádi0 \1C-CTGr d:: i2 pD.n:ícula .Se Dide: 
~-,:,: .1· 1 · crc: .. -'\_,::rQ náutk0:s 
.. -:..::f gn.__. i u1 ~ ' . I'"ie-cánÍC:a I1 
Prr;f[:_:oi-.- Antonio P rie-to 
I) Determ inai- le! Trnyectoria que sigue t ! s2nél ít::.específicando en pmiicuiar las sigu ie1ltes características de Ja 
rnís1m:: valor de Ja consrnnte de áress .vtc!or o;:::-:ce.nrricidad y ex:centricidad.sem iejes mayor y menm .. posic iones de 
perigeo y apogeo.\·<:lociclsdc:s e:-<1Tc1m1s :-- · pu¡1tos dondt se alcanzan y riernpo de paso por el per ige0 :c-n caso ele (~rbita 
e! íptica .. p.::ri:ido de la órbita y tiempo que tard3 en pasar de uno de !os véi-tices del semieje rni:-nor ~\Í ouc . 
Cuando ~! satélite- :.·~ ""nc 1J::.ntrn ;:i disfanci?t r.:y dei 01·igen se encíende·1 !os 1n0t0res que.se adrní·te . prnpo:·cion ~m un 
mu. 
empuje cons!ante de valor /, -'-, .en !a dirección rnd i::il en la que se orientan.Se pide: 
D -
i'-
3) Reduci r a cuadraturas el rnovimic:ntG del s2télite . 
4) Determinar el va)01· de ).._ y el sentido de oricntaci::):·i de: !os motores para con:;egu !r un2 órbifci cir1:.ul8r. 
5) Realizar un ariálísis cua litati vo de ! movirniemo,d istinguiendo los dos pos ibies sentidos de orientación del moi or. 
NOTA:supóngase conocido el valor del ángulo a definido por cosa. =4/5 :( u. =0.6435rad=36 .87º) . 
fEBRER,O í 997 
R I 1-Se tí cx1e .m sistema óe 1·i::frrenci2 E\yz. con r_:.;¡ ·ige11 e:n -el centro de la rierra y c-J:s Je dii'eccionts -¡~jas é!t -::·i -::sprrcic•. 
que para !a reso iución dei problema se consider2rá ir:ercic:d .Ez coincide con -s[ eje de rotación de i2 tíerrn >' E:·;y con el 
pf;:rno ecuatcr Í<l l .En el instante í=O i!ll ·~;ntéi ite '.:O f ":llC'.i::-ntrn en la · pos ición ([;:ida pn !:, = -<}'· i co11 "/:::locichc! 
J} Determ inar 1ns vectores h (rnome:;1tu cí11é:1' ii.:c.. .:::;p;;:,:;fo::n} y e (c\C-c:nt;·icid::..cJ }. 
2} ldentificur el í-ipo cie r}rbitl1 y oht::ner f:x1 f1. 111ci61: dt.' !n:~ ct1t.os del eriunciado .. el p:míiT'eL·c ¡: 1 :~i t:c. p;·i ¡-;'r hn !a r¡ (;,i :;e111ieie 
n-1ayor ~i ':i ;;::~~ ,~Jipt\ca ::i hip:::rí:.:(:íic<:'. . 
3) En el instante ini,.:iaL se en: iend;:;n los :-nc-1'.fYt:-S ,. ur:::ní:e u:1 tieffl!)O ff;11y breve~ ch~ modo que su d~cfc, s·:: puede 
asimiiar a una percus ión .Calcular en funci6n cie ;''-.L! y;::, ;:-l impulso por LmiJ<:;d \.le::: ;·¡·¡as;:¡ iltctsoric. ¡:;:,;·;::,_ ~¡L : e :2 ~;-L-:it.:::. ¡~::s:: 
a ser circutar y ecuG.toría i. 
4) Sabiendo que ~n estos ejes la v::loc ;dad 2ngul3.r d:: la tierTa es Dt.=0.058833 .,J r"" • calcular/.. para c:ue .:.\Si.E.él ite s~a 
geosíncrnnc ::s dec:r. que el periodo d~ ~a órbit2 s~2 igurd que: el de revoluc)ó¡-, do:: ia tierra ( dfa sidére-:::; l. 
4 
-:== 1~-
. --:-'.y~-:.. /·-~-<Silíl~~ . 
·¿;":'-----... _:' 
L. 
.--:z,::rr.·~-; : 2U 1U·-2011 
Carrero : Affo·rráufü.:o.s 
_-i .'S ignan:TJ. T\foe:ánica II 
?rqfesor: Antonfo Prieto 
R 12-Se quiere estudiar t! fe.nóirté:iW de- ·.:: ap¡-Lira de t;n corneta pe;- p~me de un p!anc::t2. por ej emplo J C1piter.Cor11 (• 
rns>>rn.1>>mc se: puede considé!'ar que el Sc1 i esrá ~n ei m igen de u11 sistema de referencia inercial Sx 1y1z¡: que Jupirer 
describe una órb irn circular de radio a ~n stntido antihorario comtnida en el plano Sx!y,: :, que el comtta ·st rnu evt en 
cirbita kepleriana respecto al Soi dt modo que Ji.1 2traccíó11 .Je Júpiter es des~1reciaL le. e:,:ceprn cuRndo C'Stá muy cerca. 
dentro de ia liarnada esf';?rn clí: iníiuenci~ 1 • 
/- - -
In ic ialmente se detecta el coniern c-n la posición 
- . j l - 'u . . . 
\ = - _a e 1 con veloc idad V 1; = -) ~ ~ ( .J 1 + !\: 1 } si endcJ 
constante gravitatoria de l .::'ol. 
1) Determin ar h: p. E,.
1
• e para el co rneta en órbit?. solar. 
2·1 Identificar el tipo de órbita y iocalizar el periheiio. 
3') Comprobar que corta a ia cie J(1piter y calcular !a veioc idad en el punto de co rte. 
Supongamos que cuando el cometa llega a (O.a.O)Jú piter acaba de pasasr y está a un a distancia b a lo largo ele su 
órbíta.Si b<<a poden-1os considerar que el arco de ci rcunferencia entre los dos es una recta y que Júpiter está en (-b,a.0) 
con una velocidad paralela a Sx 1.Tomamos unos ejes paralelos a los fi_ios con origen en Júp iter J;~ 0y0z0 y estucliainos el 
movrrni ento del corneta respecto de estos ejes.Al s.:-:- b<<8- podemos 2p!icar el problenrn de los dos cuerpos. 
despreciando la atracción · del Sol.Además. como la masa dei cometa es despreciable. mientras esté cerca seguirá una 
órbita kepleriana respecto de Júpiter (ahora con P.1 en vez de p5).Si es cerrada y no sale de la e.~fáa de ir?fluencia , el 
cometa ha sido capturado por Júpiter.Para ese instante se pide: 
4} Velocid2d y posición del cometa respecto a !os ejes D. 
S) Energía de !a órbita respecto a Júpiter. 
6) Valor rná.:imo de ia distc.nc ·a b de cruct par:- que la ói·bita sea cerrada . 
SEPTLEMBRE 20ü6 
<-1-.03' U-Sea 0 1x1y 1z 1(sistema l ') un sistema de referencia inerci al rnl que 0 1z1 es vertical ascenclenl'e .Sean A y B dos 
pa1iículas pesadas de 1m1sas respectiv:is rn \y m13 enti·e ías que .:xíste u:rn fuerZ!l de interacc ió n de téll modo que lli 
fu erz<: F '1 
- · 
¡--:; 
,::-.. 11 sr:1í1 !os ve:ctores 1Josición resl)ecto al sistema l de 1as pmtículas: la 
fuerza F1: e_ie¡-cicla sobre la panícula Bes opuesta a la anterior: i;;-: =:=_¡.~.Inicialmente se veri fica: 
Se pide: 
-
1 ,1¡ -_ .. ,-,.11 -:: ...:.. H == P.' .r!·' - -:;.11 · '1 -
- i' (J ; . 
- -~./¡ ~ 
l) Plantear la ecuacion ve.ctorial de Nevvton para i:::ada particula. en su movimiento respecto al sisierna inercial 
l .Obtener a partir de las dos ecuaciones antei·iores una ecuación \1ectorial donde sólo aparezca como incógnita el vector 
de posición óel centro de. masas G del sistenrn fo1111ado por las dos partículas: ~e; 
2) Determinar en función del tiempo las coordenadas ca1tesia11as en ej es i de G. 
Sea Bx.0y0z0 (sistema 0 ) un sistema de referencia con origen en ia pa1tíc.u la By tal que los ejes Bx0yc,z0 son siernpre 
- - ~ - q -
paralelos a los del sisteiria inercial í .Sea j. = r
1 
- r
1
' el vector de pos ición de la paitícu la A (sistema 2) respecto 
al sistema O. 
3) Obtener, a pa1tir de ías ecuaciones del apartado a). una ecuaci-On vectoriaí donde só lo aparezca corno incógnita r 
Comprobar que e.l movimiento de A respecto del sistern2 O es centrn1: detenriinar el plano de dicho mm·imiento . 
¡~ ' 
4) Usando coordenadas polares r ~ · 8 (r=¡r p c!l el plano del movimiento. determ inar el potencia! efecti 10 
correspondiente al movim iento centra! de A respeCÍO del sistema O.Representa r gráficamente dicho potenc ial electivo. 
5).Estudiar si tras ef instante inicia l r va aumentar o disminuir. 
6) Si vJ = ~ K ( m, + 111 p, } .determi nese entre que va lores va a variar r a !o !argo del rnovi rn i ento. 
5 
SANTL4GO RCCLVOL 4 
TELEF. 91534 16 64 
28040 k!ADRID 
TEÓRrco PIRÁCTECOS TEMA2:DrNÁM1CA DEL PUNTO UBRE . 
Curso : 2üHP-2 H 
Carrera: Aennuiuticos 
Asignatura: Mecánka I 
Profesor: A.Jilfo n io Prieto 
1-En un tiro parabólico (partícuia pesada sin resistencia) calcular la parábola de seguridad. 
2-Estudiar los movimientos estacionarios y su estabilidad para Lma fuerza de atracción gravitatoria. 
JUNHO 200-5 
;::, f-L111 -
3-Demostrar que bajo una fuerza atractiva r = - -,- r una partícula efectúa una trayectoria plana.Demostrar que se 
T' ·' 
_ r 1 C'- _) mantiene constante el vector e = - - - - . 7 / \ v siendo h = r ;, v .Usario para obtener la trayectoria. 
r µ 
JUNIO 2000 
SEPTIEMBRE 2004 
~-- Deducir razonadamente las integrales primeras h., e que aparecen en el movimiento Kepleriano .Obtener de una de las 
integrales la ecuación de la trayectoria. 
SEPTIEMBRE 2003 
5-Un punto material M de masa m se mueve en el seno de una referencia Oxyz sometido a un campo de fuerzas 
F~ - ¡: 1 (!- -)· 1 - -centrales arbitTario.Sea e = - - - - 1 /\ v el vector excentricidad, siendo 1 = r ;, v el momento cinético, por 
r fl 
unidad de masa, de la paiiícula.Deducir ,razonadamente, las siguientes propiedades del movimiento de M: 
1) La trayectoria de I'vf es plana. 
2) A lo largo de la misma se verifica la ley de áreas. 
3) Sj el campo es F =_ ¡a~ r el vector excentricidad se conserva. 
r· 
6-0btener ia Je horaria del movimiento elí tico (ecuación de Kepler)Definición de las anomalías (no se pide la 
relación entre e las). 
JUN_O 2007 
7-Enunc_iar y deducir Ja 3ª Ley de Kepler (relación entre periodos y semiejes). 
JUN!O 1999 
8-Consídérese el caso elíptico del movimiento kepleriano .La solución para Ja trayectoria es 
r(8 )=p/(1 +ecos8),p=h2 /µ . Detem1ínese: 
1) Parámetro p y semieje menor ben función de a ~e y ~L. 
2) A partir de Ja ley de áreas exprésese T (periodo) en función de a y µ .. 
JUNIO 2001 
R. 9-Un punto material pesado de masa m parte del origen del plano Oxz .C el eje Oz es ve1iical ascendente) con velocidad 
inicial :X
0 
i +y 0j .En este plano un fluido ejerce una fuerza -cmg V sobre el punto material.Calcular la velocidad y la 
posición en función del tiempo.Hallar la velocidad límite. 
SEPTIEMBRE 2008 
.?~.c.; 1 O-Una partícula se mueve sometida a un campo de fuerza de valor: 
- _ 1nOJ
2
a
4 (- ~.L ~<r - ~) 112 (a - n - u· - ~l-' 12 l_ 
F - ---- 3 1 9 / ? ur 
2 r a -
donde m es la masa de la partícula y m,a son constantes conocidas.Se lanza la partícula en 8 = O ,r=a con velocidad 
v0=wa perpendicular al radio vector.estudiar el movim iento. 
TEÓRICO PRÁCTICOS TEMA 2 
S.4-~VTL4GO RUSIJVOL. 4 
TELEF. 9153416 64 
28040 k!ADRID 
Curso: 2€HG-2UU 
Carrera: Aeronáuticos 
Asignatura: Mecárnka H 
Profesor: Arrntorufo Prieto 
r:H.ó'l 11-Un punto material P de masa m está sometido una fuerza que pasa por un punto fijo O: 
2 6 
7110) Ü 1 / 
F = (3cr -IOr- )ür 
4r 7 
siendo a y üJ constantes 1 r la distancia de O a M. Se supone que en el instante inicial OM0=a y la velocidad inicial 
v0=wa siendo perpendicular a OM0 . Se pide:Reducir a cuadraturas y descripción del movimiento. 
U-Una pariícula de masa mes atraída por un punto O con una fuerza de valor: 
F - - mk2 -
- rs ur 
Si se lanza desde 8=0,r=a con velocidad v0 perpendicular al radio vector estudiar 1os distintos tipos de movimientos en 
funci ón de v0. 
t/ MARZO 2009 
o9. o'!> 3-Una partícula de masa m está sometida a una fuerza central respecto de un punto O de valor: 
F = Km(r 2 - 3ar + 2a2 )ür 
donde K y a son constantes positivas.Estudiar para que valores de r se pueden conseguir movimientos circulares 
indicando las condiciones iniciales necesarias.Analizar su estabilidad. 
11. o:, 14-Una pmiícu!a de masa mes atraída por un punto O con una fuerza de valor: 
3 R
? . ? - _ m -v0 _ F = - ~ ur 
8r.) 
Inicialmente se encuentra a distancia R de Ocon velocidad v0 formando 45° con el radio-vector.Se pide obtener la 
ecuación de la trayectoria y las ecuaciones horarias. 
O f.o?, 15-Una partícula de masa m se mueve sin rozamiento sobre un plano Oxy sometida a la füerza central: 
2 . 3 
F= m0>
2
a (1-2cosB)ur 
r 
Inicialmente la partícula se encuentra en (a,O) con una velocidad rna dirigida según el sentido positivo de Oy.Se pide 
establecer 1a ecuación diferencial de la trayectoria de la partícula,integrarla y particularizarla para las condiciones 
iniciales dadas.Reducir a una integral el cálculo de las ecuaciones horarias. 
16-Se t]ene un planeta perfectamente esférico de radio R y constante gravitatoriaµ .A una distancia r>R se lanza una 
partícula con velocidad v0 perpendicular al radio.Describir y dibujar los tipos de trayectorias que se obtienen cuando v0 
varía de O a (/) .En particular, hay que calcular los valores de v0 para las tres trayectorias separatrices:tangente al 
planeta, circular y parabólica. SEPTIEMBRE 2003 
20·-Demostrar que bajo fuerza gravitatoria la velocidad se puede descomponer en la suma de una velocidad constante 
según U. 8 y de otra también constante paralela al semieje menor. 
R 17-Se tiene una nave en órbita circular de radio R respecto a un planeta de constante gravitatoria ~l .En la posición de ia 
figura, se lanza una partícula radialmente, con velocidad relativa a Ja nave sv (siendo v la veloc idad de la nave y E un 
parámetro adimensional conocido).Se pide: 
1) Vector excentricidad. 
2) Calcular E para que el período de la nueva órbita sea el doble que el de la circular.Comprobar que el resultado es el 
mismo parn cualquier órbita circular. 
SEPTIEMBRE 2009 
2 TEÓRICO PRÁCTICOS TEMA 2 
:4 EMIA CASTIÑEIRA 
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Carrera: Aeronáuticos 
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Profesor: Antonio Prieto 
'2.'Z..o~ · 14-Una partícula pesada.de masa m se mueve con rozamiento (f=3) sobre la superficie interior de una esfera cuyo radio 
varía con el tiempo con la ley r( t) = t ( tF - t) 2 (siendo t F un parámetro conocido y g la gravedad). 
El punto superior de la esfera coincide en todo momento con el origen de unos ejes inerciales 0 1x1y 1z 1(0 1z 1 vertical 
ascendente).Se consideran también unos ejes móviles Oxyz con origen en el centro del globo y paralelos a los 
anteriores. Se emplearán coordenadas esféricas con origen en O. 
Inicialmente O,P = g~(i - k) y su velocidad absoluta es gtF(-i +} + k) .Se procederá como se indica: 2 . 
1) En el instante inicial determinar: 
1.1 Posición y velocidad relativas de la partícula al sistema Oxyz. 
1.2 Valores de 8, cp, é, cp . 
2) En el movimiento relativo a Oxyz ¿qué fuerzas de inercia hay que considerar? . 
3) En el movimiento respecto a Oxyz y usando coordenadas esféricas: 
3.1 Velocidad de P respecto de Ja partícula del globo con la que está en contacto. 
3.2 ¿Qué valor dirección y sentido tiene la fuerza de rozamiento?. 
3.3 Expresar sus componentes en función de N . 
3.4 Escribir las ecuaciones del movimiento. 
4) Integración de las ecuaciones 
4.1 Muéstrese que con las condiciones iniciales especificadas cp O siempre. 
4.2 Particularícese 3 .4 para el resultado anterior. 
4.3 Compruébese que RÉ1=cte satisface las ecuaciones 4.2. 
4.4 Obtener 8 = 8(t). 
4.5 Valor de N. 
4.6 Valor final (en t=tF) de la velocidad de P. 
5) Trabajo · (en el proceso desde t=O a t=tF) 
5.1 Trabajo de la fuerza nom1al en ejes Oxyz. 
5.2 Trabajo de Ja fuerza normal en ejes 0 1x 1y 1z 1• v 
2.CJ.D3 15-Un punto material de masa m sin peso, se mueve sin rozamiento sobre un cono de eje OZ y ve1iice O fijos y cuyo 
semiángulo en el vértice a, es ta l que : 
1 
tga=-
wt 
siendo m una constante positiva y conocida y t el tiempo. 
En t=O se sitúa el punto a una distancia L del vértice O y se lanza con una velocidad v0 relativa al cono perpendicular a 
la generatriz correspondiente. 
Sobre el punto actúa una fuerza de valor: 
mL2 2 F = - Yo k 
mr 3 t 
donde res la distancia del punto al eje OZ.Se pide: 
1) Ecuaciones del movimiento absoluto en cilíndricas. 
2) Trayectoria absoluta en cilíndricas. 
3) Reacción en función d~l tiempo. 
4) Trabajo realizado por F en el movimiento absoluto entre t= 1 y t=2. 
5) 'Lrabajo realizado por la reacción en el movimiento absoluto entre t=1 y t=2 . 
,¡ . . 
zz.~ 16-Un punto P no pesado de masa m se mueve con coeficiente de rozamiento f=l/2 sobre un cilindro circular fijo de 
radio Ry eje OZ. En t=O la partícula se encuentra en (R,0,0) con velocidad v = v
0
C} + k) .Sobre el punto no actúan 
fuerzas directamente aplicadas. 
1) Plantear las ecuaciones diferenciales que determinan el movimiento del punto y la reacción del cilindro. 
2) Obtener las ecuaciones horarias del movimiento. 
3) Calcular la fuerza de ligadura normal. 
6 ENUNCIADOS MECÁNJCA 11 
1/ 
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zr.ol 17-Un punto material P de masa m pesado se mueve sin rozamiento por el helicoide de parametrización 
- - -r = r cos 8 i + rsen8j + R8k siendo siendo r,8 c~ordenadas cilíndricas de eje Oz(vertical ascendente) y R una constante 
conocida .Además del peso actúa sobre la partícula la fuerza : 
- 4m 2R ~ mr _ 
F-- u 
(R 2 + r 1 )1 r 
Las condiciones iniciales son: 
r = R· 8 =O· r = ú)R· é = ú) 
' ' ' 
1) Ecuaciones diferenciales que rigen el movimiento de la partícula.Integrales primeras. 
2) En el caso de gravedad nula, reducir a cuadraturas. 
3) Obtener las ecuaciones horarias del movimiento. 
4) Estudiar el movimiento para t~ co. 
}1,0'!> 18-Considérese la superficie de ecuación implícita x2+/ =a2+z2 (Hiperboloide hiperbólico de revolución) respecto de 
una determinada referencia cartesiana OXYZ en la que OZ es la vertical ascendente.Un punto M pesado de masa m se 
mueve por la superficie con ligadura bilateral y sin rozamiento.En el instante inicial se situa en el punto 
A((a2+2-02) 112,0,z0) y se lanza con velocidad v0 tangente al paralelo local.Se pide: 
1) Obténgase la ecuación diferencial que determina la coordenada z de M al transcurriT el tiempo.Reduzcase el 
problema a cuadraturas. 
2) Oténganse razonadamente los posibles movimientos estacionarios del punto M sobre el hiperboloide dete1minando 
en función de z0 la velocidad inicial v* con que es preciso lanzarle para que M describa el correspondiente 
paralelo.Analícese la estabilidad de los movimientos obtenidos. 
3) De entre Jos paralelos que pueden ser descritos con movimiento estacionario existe uno que es recorrido por M con 
velocidad inferior a la necesaria para recorrer el resto de paralelos. · 
Calcúlese dicha velocidad y el paralelo correspondiente. 
4) Analizar cualitativamente el movimiento que toma el punto M si se lanza tangente al paralelo local con condiciones 
iniciales Zo=3/4a,v0
2=2ag. 
5) Realizar un anal isis cualitativo de las modificaciones que experimenta si manteniendo la posición y la velocidad 
J cial esta forma un ángulo a con el paralelo local. 
3r.ol 19-Una placa pl ana gira con velocidad angular constante w alrededor de un ej e vertical. Sea OX YZ un sistema de 
referencia móvil unido a ella;OZ coincide con el eje de giro y OY es perpendicular a la placa.Sobre la placa (apoyada 
sobre eJ lado cuya normal es j ) se mueve con rozamíento (coeficiente µ =1/2) una pa1tícula pesada de masa m,unida a 
O por un muelle de constante elástica K =m ffi 2 y longitud natural nula.En el movimiento relativo de la partícula se pide: 
1) Fuerzas de inercia que hay que considerar. 
2) Reacción normal de la placa en función de x,z y de sus derivadas. 
3) Fuerza de rozamiento. 
4) Ecuaciones del movimiento (en coordenadas cartesíanas). 
a a -
Si inicialmente la partícula se halla en (0,0, - _E_ ) y tiene velocidad !?... i 
(J)2 (J) 
5) Integrar las ecuaciones del movimiento. 
(Ver figura adjunta) 
7 
JUNIO 1997 
ENUNCIADOS MECÁNICA UEMIA CAS 1ÑE RA 
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Dl.Olf 20-Sea Ox 1y1z1(sistema 1) un sistema de referencia tal que Oz1 es vertical ascendente.Sea Ox0y0:zo (sistema O) un 
sistema de referencia tal que ÜZo siempre coincide con Oz1 y tal que m01 = OJk1 ( w=cte ). Una partícula pesada M 
(sistema 2) de masa m está contenida en todo instante en la superficie lisa del sistema O de ecuaciones paramétricas: 
¡
x0 = R + RcosfJ 
y 0 = RsenfJ 
Zo = Za 
Donde Res constante.Para el cálculo de Zo y e en función del tiempo t, se pide: 
1) Expresar en función de z0,8 y de sus derivadas temporales las fuerzas de inercia que hay que considerar para el 
estudio del movimiento de la partícula M respecto del sistema O. 
2) Plantear dos ecuaciones de la dinámica donde sólo intervengan como incógnitas z0,9 y sus derivadas. 
3) Para unas condiciones iniciales arbitrarias hallar z0 en función del tiempo, y dejar la determinación de 8(t) reducida a 
una cuadratura. 
4) Estul iar, en fll..11ción de las condiciones iniciales,como puede variar 0 a lo largo del movimiento. 
V JUNIO 2010 
~~ -
21 -Una partícuia materia} de masa m,pesada, está obligada a moverse sin rozamiento sobre un aro circular situado en 
un plano vertical.Dicho aro es sometido a un ciclo térmico que origina contracciones y dilataciones de modo que su 
radio varía con la ley : 
a .d R = -(2 + coswt) .Se p1 e: 
2 
1) Plantear la ecuación diferencial que determina el movimiento de la pa1iícula. 
2) Suponiendo que no consideramos Ja acción del peso y lanzando inicialmente la paitícula desde el punto más bajo del 
aro con velocidad 3-1_/ wa determinar su movimiento. 
3) En el caso anterior determinar en función del tiempo Ja reacción del aro sobre Ja pmtícula. 
2.1 & 
21 -El sistema Ox0y0z0 de la figura girn con velocidad angular constante alrededor del eje ve1iica l Oz1 = Oz0 del 
sistema de referencia inercial Ox 1y 1z 1.Considérese el arco AB de curva -lisa de ecuaciones: 
¡ Yo =0 a nx 0 z 0 = - (1-cos-) 
2 a 
Un punto material M de masa rn se mueve por la curva anterior,a Ja que puede abandonar por sus extremos A o B,en 
cuyo caso comenzaría a moverse por ÜXoYo que es rugoso con coeficiente de rozamiento µ .Además de su peso sobre 
la partícula actúa una atracción del punto O proporcional a la masa y a la distancia siendo m2 la constante de 
proporcionalidad.Se pretende estudiar el movimiento de M respecto de Ox0y0Zo para lo cual se pide: 
1) Plantear la ecuación del movimiento de la partícula respecto de la curva.Reducir a una cuadratura. 
2) Si inicialmente el punto está en O y su velocidad respecto del sistema O es v 
0 
i ,estudiar cualitativamente el 
movimiento del punto sobre la curva según el valor de v0.¿Para qué rango de valores de v0 el punto abandona la curva 
por A o B? 
3) Si v0
2=4(2ga+ w 2a2),comprobar que la partícula abandona Ja curva por A y calcular con que velocidad Jo hace. 
4) En lo que sigue el punto se mueve por el p lano rugoso Ox0y0 siendo las condiciones iniciales del movimiento las que 
tiene a la salida de la curva.Determinar la reacción del plano sobre la partícula. 
5) Determinar las componentes según la tangente y la normal a la trayectoria de las fuerzas que actúan sobre el punto.Si 
ves la velocidad y q> el ángulo que esta forma con Ox0 hallar v(t) y q> (t). 
6) Determinar la traye~toria y al ley horaria del movimiento. 
7) ¿Cuánto tiempo transcmTe desde que ef punto abandona la curva hasta que se para?.¿Donde se para?. 
8) Calcular el trabajo de la fuerza de rozamiento desde que el punto abandona la curva hasta que se para. 
(Ver figura adjunta) 
8 ENUNCIADOS MECÁNICA U 
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TEÓRICO PRÁCTICOS TEMA 3 : DINÁMICA DEL PUNTO SOMETIDO A LIGADURAS. 
! -Plantear las ecuaciones que rigen el movimiento de una partícula sobre una superficie lisa en los casos en que la 
ecuación esté expresada de forma implícita o paramétrica.¿Trabaja 1a fuerza de ligadura?. 
JUNIO 2000 
2-Plantear las ecuaciones que rigen el movimiento de una partícula sobre una curva lisa en los casos en que la ecuación 
esté expresada de forma implícita o paramétrica .. ¿ Trabaja la fuerza de ligadura?. 
4-Péndulo simple: análisis cualitativo del pendulo bilateral y unilateral, cálculo de la reacción normal. Supuesto el 
lanzamiento desde el punto más bajo con velocidad v0 calcular el valor mínimo de dicha velocidad para completar 
circunferencias completas, ¿es la misma en ambos casos?. 
R 5-Un punto material M de masa m se mueve respecto de una referencia inercial 0 1x1y 1z 1 por una curva rugosa (de 
coeficiente f)cuya representac ión paramétrica es r = r(u, t) .La partícula está sometida a una fuerza directamente 
aplicada F .Se pide: 
1) Deducir la ecuación de la energía a partir de la ecuación de la cantidad de movimiento. 
2) Demostrar que para una curva lisa y fija la ecuación de la energía es equivalente a la proyección de la ecuación de la 
cantidad de movimiento según la tangente a la curva. 
MARZO 2009 
t7J,o&f 6-Una partícula pesada de masa m se mueve sin rozamiento por el paraboloide az=r2 (a es una constante pósitiva) 
siendo OZ la vertical asc6ndente. 
Si inicialmente r=a y se lanza con ve locidad v0= 2~ tangente al paralelo local,dejar el prob lema reducido a 
cuadraturas'.Detenninar los valores máximo y mínimo de r en el movimiento. 
R 7-Una partícula material M no pesada, de masa m, está obligada a moverse sobre un aro situado en el plano OXY con 
centro 0(0,0) y radio a (perfectamente liso).Sobre M actúa una fuerza repulsiva e inversamente proporcional a la 
distancia al punto A (0,-a) siendo Ja constante de proporcionalidad K=2ma2• 
1) Plantear las ecuaciones del movimiento . 
2) Si para t=O 8 = 8
0
; é = é0 siendo 8 el ángulo entre OA y OM hallar la reacción en función de 8. 
3) Reducir a una cuadratura. 
JUNIO 2003 
R 8-Una partícula P de masaa m se mueve por la parte exterior de un aro vertical perfectamente liso de centro O y radio R 
sometida a su peso y a la fuerza de ligadura.La posición de la partícula queda definida por el ángulo 8 que forma OP 
con la vertical ascendente.En t=O la partícula esta en 8=0 en reposo y comienza a descender, se pide: 
1) Nom1al en función de 8. 
2) Ángulo e en el que ta partícula "salta ". 
JUNIO 2005 
P. 9-Una partícula de masa m se mueve con ligadura bilateral por una circunferencia vertical y lisa de radio R.Se tornará 
como coordenada generalizada el ángulo 8 del radio de la partícula con la vertical.Además del peso, el eje ve1iical Oz 
repele a la partícula con una fuerza proporcional a Ja masa y a la distancia x siendo w2 Ja constante de 
proporcionalidad.Obtener el potencial particularizado para la circunferencia, en función de 8.Determinar las posiciones 
de equilibrio y su estabilidad. 
SEPTIEMBRE 2005 
TEÓRICO PRÁCTICOS TEJ\ilA 3 
v 
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O't .Olf 22-Sean dos sistemas de referencia, uno inercial Ox1y1z1 inercial (sistema 1) y otro O:xoy0z0 (sistema O) que gira 
respecto del anterior alrededor de su eje Oz0=0z1 con velocidad angular constante ro01 =cok .Ligada al sistema O se 
tiene una curva, formada por dos tramos,con las siguientes características: 
• El primero (OA) es rugoso, con forma de segmento rectilíneo de longitud R y coeficiente de rozamiento µ. 
• El segundo (AB) es una semicircunferencia lisa de radio R, contenida en el plano Ox0z0 y con centro en el 
punto C de coordenadas (R,O,R) en el sistema O. 
Una partícula P de masa m se mueve por la curva anterior sin estar sometida a ninguna fuerza directamente 
aplicada.Inicialmente(instante t0<0 incognita) se encuentra en el origen O con velocidad desconocida, mientras que en 
el instante t=O se encuentra en el punto A con velocidad relativa a la curva coR. 
Para fijar la posición de la partícula se usan, para el primer tramo la coordenada x0 de la misma mientras que para el 
segundo tramo el ángulo cp que forma el radioCP con CA.Se pide: 
1) Calcular la función x0(t) que determina el movimiento de P en el primer tramo.Determinar el valor de t0 y de la 
velocidad inicial. 
2) Calcular el vector reacción normal en el tramo AB en función de cp expresándolo en el sistema O. 
3) Calcular la función cp(t). 
4) Calcular el instante en que la partícula abandona la semicircunferencia y los vectores posición y velocidad de la 
misma en dicho instante respecto del sistema 1. 
(Ver figura adjunta) 
NOTA: Si fuese necesario, se conoce el siguiente resultado: 
dcp 7[ cp f = - tg(---) 
1 + sencp 4 2 
SEPTIEMBRE 1998 
I 
R 23-Una partícula P de masa m puede moverse ensartada en una varilla OA de longitud L, que gira con velocidad 
angular constante ro alrededor de un eje fijo de un sistema inercial perpendicular a la misma que pasa por O.El 
contacto es rugoso con coeficiente de rozamiento f. 
Elegimos un sistema de regferencia ligado a la varilla (sólido O) con origen en el extremo O de la varilla, eje Ox según 
la varilla y Oz en la dirección y sentido de la velocidad angular ( ro 01 = ffik ) siendo el sólido 1 el sistema inercial.Para 
fijar La posición de P respecto dei sistema O se usa la coordenada ~ (ver fígura).La partícula P está enganchada a O 
mediante un muelle de constante elástica K y longitud natural nula (K= mc.o 2 (1+2f2) ).En el instante inicial (t=O) la 
partícula se encuentra en O (~=O) y se lanza con velocidad relativa a la varilla de valor ¡3mL i (¡3>0).se pide: 
1) Expresar cuántas y cuáles son las incógnitas de ligadura entre P y la varil la OA y las relaciones que el modelo 
establece en tre ellas. v 
2) Plantear las ecuaciones de la dinámica del movimiento de P respecto del sistema inercial (sólidol) . ./ 
3) Integrar la ecuación del movimiento para obtener ~(t). v 
4) Obtener razonadamente ~* ,valor crítico del parámetro ~ a partir del cual la partícula abandona la varilla por A.¿Por 
donde escapa si ~=~ *?. 
5) Calcular los trabajos que hace la fuerza de rozamiento sobre la partícula desde el instante inicial hasta que abandona 
la varilla en los movimientos relativos a S0 y S1 .¿Por qué son iguales?. 
6) Hacer lo mismo con los trabajos de la reacción normal.¿Son iguales?.¿Por qué?.¿Dependen del valor de f3?. 
(Ver figura adjunta) 
~TIJNlO 2007 
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o4. 04 24-Una partícula M de masa m se mueve por una curva fija y rugosa (con coeficiente de rozamiento f) que tiene forma 
de cuarto de circunferencia y cuya representación matemática es: 
x2+y2=R2 
x2:0,y2:0,z=O 
La partícula no está sometida a ningún tipo de fuerza directamente aplicada.Inicialmente se introduce por un extremo 
con velocidad conocida.Se pide: 
1) Demostrar que la reacción normal es central y no cambia de sentido. ,./ 
2) Calcular f para que la velocidad a la salida sea la mitad que a la entrada. i./' 
3) Calcular la ecuación horaria del movimiento./ 
4) Suponiendo que la curva soporta una fuerza tangencial máxima Frnax y una fuerza normal máxima N rnax,calcular el 
límite superior de la velocidad inicial para que la curva no se rompa durante el recorrido. 
SEPTIEMBRE 201 O 
/ 
Clf . do+ 25- Sea Ox1y1z1 un sistema de referencia inercial en el cual 0 1z1 es vertical ascendente.Una partícula M de masa m está 
obligada a moverse sin rozamiento por la hélice de ecuaciones paramétricas: 
¡x 1 = R cos(8 + nsenrot) y 1 = Rsen(8 + nsenrot) 
Z¡ =R8 
Donde R y CD son constantes conocidas, t es el tiempo y e el parámetro de la curva.Además del peso la partícula está 
sometida a la accción de un muelle de longitud natural nula y constante de rigidez K que está unido al origen O. 
Sea Ox0y0Zo el sistema no inercial de la figura tal que Oz0 coincide en todo momento con Oz1 y el ángulo entre Ox0 y 
Ox1 vale nsenCDt.Respecto de este sistema O la curva es fija de ecuaciones paramétricas: 
¡X 0 = R cos8 Yo= Rsen8 
z0 =R8 
Para el estudio del movimiento de la partícula respecto al sistema no inercial se pide: 
1) Determinar en función de 8 y é las fuerzas de inercia: ,/ 
2) Plantear una ecuación de la dinámica donde la única incógnita sea 8(t). v 
3) Si en t=O 8 = O; é = O hallar la función 8(t) . / 
4)'lndícar razonadamente si la reacción de la curva trabaja y si se verifi ca T+V=const:mte siendo T Ja energía cinética y 
V el potencial total de las fuerzas dadas. 
(Ver figura adjunta) 
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o"'t.~ 26-Sea 0 1x1y 1z1 un sistema de referencia inercial tal que 0 1z1 es vertical ascendente.El sistema Ox0y0z0 de la figura se 
mueve respecto del sistema 1 de modo que : 
- -
• ro 01 es constante de valor cok 0 = cok 1 
• El plano Oy0Zo rueda sin deslizar sobre el cilindro circular del sistema 1 de eje 0 1z1 y radio R 
• z~ = R en todo instante. 
Sea A el punto de intersección en un instante genérico, entre el eje Oy0 y la generatriz del cilindro que está en contacto 
con el plano Oy0z0.Sea a el ángulo entre 0 1x1 y ÜXo y ri la coordenada y0 del punto A. 
Una partícula pesada M de ,masa m, está obligada a moverse sin rozamiento por la circunferencia del sólido O que está 
contenida en el plano 0Xoz0,tiene radio R y centro O.Sea 8 el ángulo en un instante genérico, entre OM y la parte 
negativa de Oz0.Se pide: ~ 
1) Determinar a y ri en función del tiempo sabiendo que inicialmente son nulos. 
2) Determinar, en función de 8 y de sus derivadas temporales las expresiones de las fuerzas de inercia que intervienen 
en el estudio del movimiento de M respecto del sistemaO. 
3) A partir de las ecuaciones del movimiento respecto al sistema O, dejar el cálculo de 8(t) reducido a una cuadratura. 
4) Estudiar cualitativamente que tipo de movimientos puede tener la partícula,indicando en particular si existen 
posiciones de equilibrio o si se pueden producir movimientos asintóticos hacia ciertos valores. 
5) Determinar la reacción de la curva sobre la partícula. 
2 
DATO: ro 2R = -g 
J3 
(Ver figura adjunta) 
JUNIO 2002 
e>'T.o~ 27-Se tiene un aro circular rugoso, contenido en un piano Ox0y0, de radio a y centro ef origen O.El plano gira respecto 
de un sistema inercial Ox 1y1z1 alrededor de un eje común Oy 1=0y0 con velocidad angular constante ro 01 = roj1 .Oz1 es 
la vertical ascendente.Sobre el aro se mueve con ligadura bilateral una partícula material M pesada de masa m (sistema 
2).el coeficiente de rozamiento entre la partícula y el aro es µ.Se tomará como coordenada generalizada el ángulo 8 
formado por Om con Ox0.Se pretende estudiar el movimiento de la partícula M respecto del plano móvil S0.Se 
proyectará según Ür , Ü9 , Üz (ver figura). 
1) Fuerza de ligadura y de rozamiento. 
2) Fuerzas de inercia en función de 8 y sus derivadas. 
3) Expresar las componentes de la fuerza normal en función de esas mismas variables. 
4) Obtener Ja ecuación del movimjento . 
En el resto del problema se supondrá que el peso y el rnzamiento son nulos 
5) Reducir el problema a una cuadratura en 8. 
6) Realizar un análisis cualitativo de los movimientos posibles cuando se lanza desde 8=0 con velocidad v0>0.En 
particular calcular la ve1ocidad necesaria para llegar a 8=n:/2 con velocidad nula. 
(Verflguro adjunla) 
MARZ02009 
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~~ .Olf 28-Una partícula M de masa m se mueve por un cuarto de circunferencia lisa cuya representación paramétrica en una 
referencia cartesiana no inercial Oxyz es : 
x2+z2=R2 
y=O;x :::; O ;z:s; O 
De la citada refemcia se sabe que gira alrededor de una recta fija de la misma de ecuación x=-R,y=O con velocidad 
angular constante de valor rok .La partícula está sometida a una única fuerza real directamente aplicada producida por 
un muelle elástico lineal de constante de rigidez K=m ro 2 /4 que une la partícula con el punto P de la referncia Oxyz de 
coordenadas (-2R,O,O).Para situar la partícula sobre la citada curva se usará como coordenada generalizada el ángulo 
cp que es el que forma OM con la parte negativa de Oz 
En el instante inicial la partícula se encuentra en cp =O y se lanza con velocidad relativa a la citada referencia de valor 
-aroRT siendo a un parámetro adimensional no negativo.Se pide: 
!)Plantear las ecuaciones de la cantidad de movimiento de la partícula proyectando en el triedro intrínseco de la 
circunferencia. 
2)Plantear la ecuación de la energía en el movimiento relativo a la referencia no inercial y discutir razonadamente si es 
equivalente a alguna de las anteriores. 
3)Reducir a cuadraturas. 
4)Describir cualitativamente los distintos tipos de movimientos en función de a usando el diagrama energético.Calcular 
el valor crítico de a para que la partícula abandone la curva por . rp = 1C / 2 .Calcular además el valor de la reacción 
normal de la curva sobre la partícula en rp = 1C / 2 . 
5)Calcular razonadamente la coordenada zMAX que alcanza la partícula cuando se escapa de la curva por rp = Jr ! 2 . 
SEPTIEMBRE 2002 
12 ENUNCIADOS MECÁNICA 11 
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS 
MECANICA II. EJERCICIOS Y PROBLEMAS. 
Un punto material de masa m se mueve sobre una recta Ox , sometido a un campo cuyo potencial es 
V (x) = mgx[(x/a) 2 - 3]. Determinar su ley horaria, cuando se lanza desde x0 = a con una velocidad 
Vo = vsga. 
Un punto material de masa m realiza un movimiento unidimensional a lo largo del eje Ox sometido sólo 
a la acción de la fuerza F = mK xex/ar, donde K y a son constantes conocidas. Inicialmente el punto se 
sitúa en la posición x =a y se le comunica una velocidad v0 según el sentido negativo del eje Ox . Estudiar 
en función de v0 el tipo de movimiento que sigue el punto. 
(E.T.S.I. Aeronáuticos, Examen de Dinámica del Punto, 16 de Septiembre de 1991) . 
o Un punto material de masa m, realiza un movimiento unidimensional, a lo largo del eje Ox, sometido a 
una fuerza que deriva del potencial V ( x) = - ( mg / a2 ) x2 ( x - a) . Inicialmente, el punto está en el origen 
y tiene una velocidad v0 , según el sentido negativo del eje Ox . Estudiar cualitativamente el movimiento 
del punto, según sea el valor de v0 . 
(E.T .S.I. Aeronáuticos, Examen de Dinámica del Punto, 4 de Abril de 1991) . 
Un punto material de masa m realiza un movimiento unidimensional según el eje Ox sometido a una 
fuerza que deriva del potencial V (x ) = -mgxe- x/a. Inicialmente se sitúa en x =a y se le comunica una 
velocidad v0 hacia la izquierda. Estudiar el movimiento del punto según el valor de v0 . 
(E.T.S.I. Aeronáuticos, Examen de Dinámica del Punto, 11 de Septiembre de 1990). 
Un punto material de masa m se mueve sobre una recta Ox sometido a una fuerza que deriva del potencial 
V(x) = -(mg/a3 )x2 (x 2 - a2 ). Inicialmente se sitúa en el origen y se lanza con una velocidad v0 . ¿Cuál 
es el mínimo valor de v0 necesario para que el punto llegue al infinito?. 
(E .T .S.I. Aeronáuticos, Examen de Dinámica del Punto, 29 de Junio de 1988). 
• Una partícula de masa Jvl se coloca en reposo sobre un plano inclinado un ángulo C\'. con 
la horizontal. El coeficiente de rozamiento es µ < tan C\'. . Razonar si hay velocidad límite. 
Obtener la ley horaria del movimiento . 
• Según la ley de Stokes, la resistencia sobre una esfera de radio r que se mueve en un fluido 
de coeficiente de viscosidad r¡ es F( v) = 67rr¡ r v. Calcular la velocidad límite de una esfera 
de densidad p, doble de la del fluido, y la ley horaria cuando se deja caer desde el reposo. 
Una esfera de masa m, radio r y coeficiente de resistencia aerodinámica CD cae en el aire de 
densidad p. Calcular la velocidad límite y la ley horaria. 
Aplicarlo al caso de un balón de fútbol: m = 410 - 450 g, CD = O, 5, 27rr = 68 - 70 cm, 
p = 1, 225 kg/m3 . 
Al superar una velocidad entre 20 y 25 m/s, según la rugosidad de las superficie, el régimen pasa 
ele laminar a turbulento, y CD cae bruscamente a un valor de aproximadamente 0,1. Si la velocidad 
límite calculada con el primer valor es mayor que esta, habrá que calcularla de nuevo con el CD 
menor. Este efecto lo usó David Beckham en el mundial de 2002: Tira a gran velocidad por encima 
de la barrera; a l acercarse a la portería parece que se va alto. Pero ya se ha frenado lo suficiente para 
entrar en régimen laminar, con lo que de pronto sube la resistencia, cae bruscamente y entra en la 
portería. 
Un cubo de arista a y densidad la mitad de la del agua está flotando. Se empuja un poco 
hacia abajo, sin hundirlo del todo, y se suelta. Calcular la frecuencia de las oscilaciones. 
El sistema de la figura es un modelo muy simplificado que se usa para estudiar la suspensión 
de los vehículos. Consta de una masa M (masa suspendida) y una rueda de masa m (masa 
no suspendida) unidas por un amortiguador viscoso de constante e y un muelle de constante 
k y longitud natural Lo + M g / k, de modo que la altura de Jvl sobre la rueda en equilibrio 
es L 0 . El sistema se desplaza con una velocidad horizontal constante v sobre un suelo ondu-
lado sinusoidalmente, de longitud de onda L y amplitud 2H. Se supone que la rueda es lo 
suficientemente pequeña para que el punto de contacto esté en la vertical de M y que, en 
principio , no se separa del suelo. Se tomará, para simplificar, n = 27rv /L. Se pide: 
• Plantear las ecuaciones del movimiento de Jvl 
• Hallar la velocidad a la que se produce la resonancia 
• Sabiendo que el amortiguamiento es menor que el crítico, obtener la respuesta transitoria 
y estacionaria para las condiciones iniciales t =O, x =O, z =O, z =O. 
• Obtener la reacción del suelo sobre la rueda 
M 
k e 
Lo 
z 
o 
V 
~· 
M 
z 
X 
.J __ -__ '.:.':, ------~~-- -----¡,_____.,,,,,.......,..---~~~··~-~ 
. - ·1. . . :· . L , ,, . . 
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11.0'f 29-Sea el sistema formado por un disco homogéneo de masa m y radio R (sólido 2) y una varilla AC sin masa de 
longitud 2R (sólido O).Sea 0 1x1y1z1 (sólido 1) un sistema de referencia inercial en el que 0 1z1 coincide con la vertical 
ascendente. 
La varilla está articulada por su extremo A al eje 0 1z1 mediante un cojinete sin restricción axial, de modo que puede 
deslizar y girar libremente sobre el eje 0 1z1, permaneciendo siempre perpendiculares.A su vez en su extremo C se 
. encuentra articulado el disco por su centro y perpendicularmente a la varilla alrededor de la cual puede girar 
libremente.El sistema se dispone de forma que el disco se apoya sobre el plano rugoso 0 1x1yi, teniendo este contacto 
un coeficiente de rozamiento de valor f . 
Se define una referencia auxiliar AXQYoZo ligada a la varilla donde Ax0 tiene la dirección y sentido de AC y el eje AZo 
coincide con Oz1 .Se usará esta referencia para expresar las magnitudes vectoriales y tensoriales del problema. 
Para fijar la posición del sistema se utilizan las dos coordendas generalizadas siguientes: 
i) 8, ángulo que forma el plano Ax0z.o con el plano 0 1x1z1 
ii) cp, ángulo que forma un radio fijo al disco con la vertical descendente. 
En el instante inicial se deja el sistema en la posición dada por 8=0,cp=O, con é =O, <P = co . 
Se pretendeplantear un sistema de ecuaciones donde sólo intervengan como incognitas las coordenadas generalizadas 
y las componentes de la reacción del plano sobre el disco. 
Se pide: 
1) Calcular el momento cinético del disco respecto de su centro de masas, así como el momento cinético del sistema en 
el punto A en el movimiento respecto del sólido 1. 
2) Analizar las ligaduras del problema. 
3) Aplicando la ecuación de cantidad de movimiento al sistema apropiado, calcular el valor de la reacción normal del 
plano sobre el disco. 
4) Plantear la ecuación de momento cinético para el sistema completo respecto al punto A y elegir la componente más 
adecuada para lograr el anterior objetivo. 
5) Plantear la ecuación de momento cinético para el disco en su centro de masas y seleccionar la componente adecuada. 
6) Integrar el movimiento del sistema. 
7) Calcular el instante en que el disco deja de deslizar. 
8) Estudiar el movimiento posteriormente a dicho instante. 
(Ver figura adjunta) 
13 ENUNCIADOS MECÁNICA II 
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31-Una varilla recta AB,pesada y homogénea de masa m y longitud 2L (sólido 2) ,se mueve bajo la acción de la 
gravedad deslizando (bilateralmente) sin rozamiento sobre un plano n (sólido O) que a su vez gira con velocidad angular 
constante ro0 k alrededor de un eje fijo de dicho plano respecto de un sólido 1 (inercial).Este eje forma un ángulo a 
(constante) con la vertical. Se usarán los triedros tri ortogonales y a derechas siguientes : 
i) El Ox1y1z1 fijo constituido por el eje de giro Oz1 y la horizontal Ox1 siendo Oy1 de máxima pendiente descendente. 
ii) El Ox0y0Zo ligado al plano n tal que ÜZo coincida con el eje de giro Oz1 y el ÜXo en dicho plano. 
iii) El Gx2y2z2 ligado a la varilla con origen en G ( centro de masas de la varilla), Gx2 según la varilla y Gy2 paralelo 
(en el mismo sentido) a Oy0. 
La posición de la varilla vendrá fijada por las coordenadas generalizadas: 
• ~' r¡ coordenadas cartesianas de su centro de gravedad en el sistema ÜXoy 0z0. 
• <p ángulo que la varilla forma con la dirección de Ox0. 
En t=O ~ = ~o ; ~ = ~o ; r¡ = r¡ o ; fi = fi o ; <p = <p o ; cp = cp o 
Se pide: 
I)En el movimiento de la varilla respecto de Ox1y1z1: 
la) Resolución por DINÁMICA CLÁSICA : 
1) Calcular el momento cinético en G y la energía cinética de la varilla. 
2) Análisis de la ligadura.¿Cuántas incógnitas lleva asociada?.¿ Trabaja?. 
3) Plantear tres ecuaciones que permitan obtener ~ ' ri y <p en función del tiempo. 
4) Completar las ecuaciones anteriores con las necesarias para la obtención de las incógnitas asociadas a la ligadura. 
5) ¿Se conserva la energía mecánica?.¿Se conservaría si a = O ?. 
l b) Resolución por DINÁMICA ANALÍ TICA (Lagrangiana): 
6) ¿Son ideales las ligaduras?. 
7) Clasificar el problema desde el punto de vista de la existencia de ligaduras cinemáticas. 
8) Clasificar el problema desde el punto de vista de la existencia de ligaduras no estacionarias. 
9) Calcular las fuerzas generalizadas Qj y los Pj y plantear las ecuaciones de Lagrange PrQj=O j= 1, . .. ,n 
10) ¿Son potenciales las fuerzas directamente aplicadas?. 
11) En caso de que las fuerzas directamente aplicadas deriven de un potencial plantear las ecuaciones de Lagrange 
utilizando la función lagrangiana L=T-V. 
12) ¿Se conserva la integral de Jacobi?.¿Se conservaría si a = O ?. 
11) Repetir los apartados anteriores en el movimiento de la varilla respecto Oxyz. 
(Ver figura adjunta) 
14 
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/o.o5" 31-El sólido de la figura se compone de :i)un disco homogéneo, de masa m, radio a y centro C, ii)una varilla CM de 
longitud a y masa despreciable, normal al disco y empotrada en su centro C, y iii) una varilla AB homogénea, de masa 
m,longitud 2a, paralela al disco y cuyo punto medio coincide con el extremo M de la varilla anterior.El disco se apoya, 
con ligadura unilateral, sobre un plano n liso e inclinado un ángulo a sobre la horizontal. 
Se tomará un sistema de referncia Oxyz, triortogonal, orientado a derechas y con origen en un punto O del plano n.El 
eje Ox es una línea de máxima pendiente orientada positivamente en sentido descendente, el eje Oyes una horizontal 
de plano y el eje oz es normal a n .Se admitirá que Oxyz es una referencia galileana.Para fijar la posición del sólido se 
usarán las siguientes coordenadas generalizadas:(s,11) coordenadas de la proyección ortogonal sobre n del centro de 
masas del sólido y e ángulo de AB con Ox. 
Además del peso sobre el sólido actúan las fuerzas de sendos muelles de longitud natural nula y constante de rigidez 
k=mro2 , que unen el origen O con los extremos de la varilla AB. 
Se pide: 
l )Plantear razonadamente usando la formulación de Newton-Euler, las ecuaciones que gobiernan el movimiento del 
sistema. 
2)En el instante inicial (t=O) se tienen las condiciones iniciales: s = L; ri = O; e = 2:; ~ =O; Ti = Lm; é =O .Determinar el 
2 
movimiento. 
3)Admitiendo que el plano n no está inclinado ( a=O) determinar el máximo valor de L para que en el movimiento 
determinado en el movimiento anterior, no se produzca el vuelco. 
(Ver figura adjunta) 
SEPTIEMBRE 2001 
o~. ot; 32-Un disco homogéneo de radio R y masa m rueda y pivota sin deslizar sobre un plano horizontal manteniendo en todo 
momento su plano ortogonal a éste mediante la correspondiente ligadura. 
La configuración del disco se fija mediante las coordenadas ~' ri de su punto de contacto respecto de unos ejes ftjos 
Oxyz y mediante los ángulos 'Vr 8.El ángulo 'V es el que forma el plano del disco con el plano Oxz y el ángulo 8 es el 
girado por un radio del disco dentro de su plano. 
Si las condiciones iniciales son: 
s = R , Y] =o, e= O, ~ =~ ' ~=O, Ti = mR, é = \Íf = ú) 
Se pide: 
1) Condiciones. cinemáticas de rodadura. 
2) Resolución del problema por dinámica analítica. 
3) Resolución del problema por dinámica clásica. 
(Ver figura adjunta) 
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1r; .o5 33-El sistema de la figura es un sólido formado por un disco homogéneo de radio R y masa m y una varilla sin masa CE 
de longitud 2R unida rígidamente al centro C del disco y perpendicular al plano del mismo.Este sistema (sólido 2) está 
apoyado en todo momento sobre el plano 0 1x1y1 del sistema 0 1x1y1z1 donde 0 1z1 es vertical ascendente.El contacto del 
extremo E de la varilla con el plano 0 1x1y 1 es sin rozamiento mientras que el contacto del disco con dicho plano es con 
rozamiento de coeficiente infinito por lo que el disco nunca desliza sobre el plano (llamemos A al punto del disco en 
contacto con el plano ).Las fuerzas dadas que actúan sobre el sistema son el peso y una fuerza constante F Ji (F=cte) que 
va actuando en todo momento sobre el punto más alto del disco (llamemos B a dicho punto). 
Para fijar la posición del sistema se utilizan las cuatro coordenadas generalizadas siguientes: 
• ~' Tl coordenadas X¡ y Y1 del centro c del disco. 
• \V ángulo que la tangente al disco en A forma con O 1x1• 
• 8 ángulo que un radio del disco forma con ACB. 
Se pide: 
1) Determinar v ~1 en función de las coordenadas generalizadas y sus derivadas y expresarla según los versores del 
sistema 1. 
2) Expresar en función de las coordenadas generalizadas y de sus derivadas la condición de no deslizamiento del disco 
sobre Ü1X1Y1· 
3) Determinar en función de las coordenadas generalizadas y de sus derivadas la expresión de la energía cinética y del , 
momento cinético respecto de A. 
4) Indicar cuántas