Campo elétrico e potencial de um casca cilíndrica

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Física III Semestre de Otoño 2005 
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1
ESTUDIO DEL CAMPO ELECTRICO Y EL POTENCIAL DE UN CASCARON 
CILINDRICO CARGADO 
 
Hallar el campo eléctrico y el potencial electrostático en el punto P 
ubicado en el eje de un cascarón cilíndrico y exterior a él. El cascarón 
tiene radio R , largo y densidad de carga L cte=σ distribuida 
homogéneamente en su superficie. 
 
En la figura 1 hemos dibujado el diferencial de carga en la posición arbitraria 
)',sin,cos(' zRRr φφ=r respecto al origen del sistema de referencia, y además 
hemos indicado el campo eléctrico diferencial Ed
r
 que produce en P . 
 
 
 X 
Y 
'dz
P 
'z
dq
Ed
r
L
( )'zz −
 
 
 
Z 
 
 
 
 
 
Figura 1 
 
 
 
Recordemos que para distribuciones continuas de carga ubicadas en 'rr , el 
campo eléctrico )(rE r
r
 en el punto P definido por el vector posición rr , viene 
dado por la expresión general: 
 
 
 
 
 
y el potencial electrostático )(rV r viene dado por: 
∫ −
−
= 3'
)'()(
rr
rrkdqrE rr
rr
rr 
 
 
 
 
 
 
∫ −= ')( rr
kdqrV rr
r
Ambos conceptos están relacionados, de modo que a partir del potencial )(rV r 
podemos obtener el campo eléctrico )(rE r
r
en la forma: 
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2
 
 
y
f
 
 
)()( rVrE rr
r
−∇= 
 
 
 a partir del campo eléctrico )(rE r
r
 podemos obtener el potencial )(rV r en la 
orma: 
 
 
⋅−= ldErV
rrr)( 
 
 
∫
 a) Cálculo del campo eléctrico )(rE r
r
 (método vectorial). 
 
De acuerdo a la figura 1, los vectores rr y 'rr vienen dados por 
 
kzr ˆ=r , . kzjRiRr ˆ'ˆsinˆcos' ++= φφr
 
Recordemos que por convención, rr es el vector que va del origen del 
sistema de referencia al punto P de observación del campo y 'rr es el 
vector que va del origen del sistema de referencia al punto donde está 
ubicada la diferencial de carga . El vector dq )'( rr rr − viene dado por 
 
( ) ( )kzzjRiRrr ˆ'ˆsinˆcos' −+−−=− φφrr 
 
su módulo vale: 
 
( )22 '' zzRrrd −+=−= rr 
 
entonces el campo eléctrico se expresa como 
 
=)(rE r
r
= ∫ −+
−+−−
2/322 ))'((
')ˆ)'(ˆsinˆcos(
zzR
dAkzzjRiRk φφσ
 
 
donde hemos escrito el diferencial de carga superficial en la forma 
dArdq )'(rσ= y donde el diferencial de superficie dA del manto cilíndrico 
viene dado en la siguiente forma, usando coordenadas cilíndricas: 
'dzRddA φ= . Reemplazando en la expresión anterior, se tiene 
=)(rE r
r
= ∫ −+
−+−−
2/322 ))'((
)ˆ)'(ˆsinˆcos('
zzR
kzzjRiRdzRdk φφφσ
 
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3
Las componentes y del campo se anulan, ya que se anulan las 
integrales sobre el ángulo 
xE yE
φ , 
 
=xE = ∫ ∫∫ =−+−=−+− 0cos))'((
'
))'((
'cos 2
0
2/322
2
2/322
2 π
φφσφφσ d
zzR
dzRk
zzR
dzdRk
 
 
=yE = ∫ ∫∫ =−+−=−+− 0sin))'((
'
))'((
'sin 2
0
2/322
2
2/322
2 π
φφσφφσ d
zzR
dzRk
zzR
dzdRk
 
 
por lo tanto, solamente es distinta de cero la componente zE
 
=zE = ∫∫ ∫ −+
−
=
−+
− L
zzR
dzzzdRk
zzR
zzdzRdk
0
2/322
2
0
2/322 ))'((
')'(
))'((
)'(' π φσφσ 
 
En consecuencia, el campo eléctrico resultante de todo el cascarón de carga 
apunta sólo en la dirección +Z , es decir, kEE z ˆ=
r
. 
 
 
 
 
 
 
 
zE =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−+ 2222
1
)(
12
zRLzR
Rk πσ 
 b) Cálculo del potencial eléctrico )(rV r (método vectorial). 
 
Usando la definición vectorial del potencial )(rV r podemos escribir 
 
∫∫∫∫
−+
=
−+
=
−
=
L
zzR
dzdRk
zzR
dzRdk
rr
kdqrV
0
22
2
0
22 )'(
'
)'(
'
'
)(
π
φσφσrr
r
 
 
∫
−+
=
L
zzR
dzRkrV
0
22 )'(
'2)( πσr 
 
por lo tanto, el potencial electrostático del cascarón cilíndrico viene dado 
por: 
 
 ⎡ 22
 
 ⎢
⎢
⎣ −++−
++
=
22 )()(
ln2)(
LzRLz
zRzRkrV πσr
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 c) Cálculo del campo eléctrico )(rE r
r
 a partir del potencial eléctrico 
)(rV r conocido. 
 
Usando la relación )()( rVrE rr
r
−∇= , y dado que )()( zVrV =r podemos escribir 
 
{ } { } kLzRLz
dz
dzRz
dz
dRk
dz
zdVkzE ˆ)()(lnln2)(ˆ)( 2222 ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −++−−++−=−= πσ
r
 
 
k
LzRLz
LzR
Lz
zRz
zR
z
Rk
dz
zdVkzE ˆ
)()(
)(
)(11
2)(ˆ)(
22
22
22
22
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−++−
−+
−
+
−
++
+
+
−=−= πσ
r
 
Simplificando, se obtiene el mismo campo eléctrico encontrado 
anteriormente a partir de la definición vectorial: 
 
 
 
⎤⎡r
 d) C
(rE r
r
 
Usa
desd
simp
cum
 
(rV r
 
Inte
ante
V
___
 
 
 
 
k
zRLzR
RkzE ˆ1
)(
12)(
2222 ⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎣ +
−
−+
= πσ
álculo del potencial eléctrico )(rV r a partir del campo eléctrico 
) conocido. 
ndo la relación ∫ ⋅−= ldErV
rrr)( y considerando una trayectoria que va 
e infinito hasta las cercanías del cascarón cilíndrico siguiendo, por 
licidad, la dirección , vemos que k̂− dlEldE −=⋅
rr
. Por otra parte, se 
ple que . Entonces, dzdl −= dzEldE =⋅
rr
 y podemos escribir 
'
'
1
)'(
12)
2222
dz
zRLzR
RkdlEldE
z
∫∫∫
∞
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
−+
−=−=⋅−= πσ
rr
 
grando se obtiene el mismo potencial electrostático hallado 
riormente: 
 
 ⎡ 22
 
⎢
⎢
⎣ −++−
++
=
22 )()(
ln2)(
LzRLz
zRzRkz πσ
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 e) Cálculo del campo eléctrico )(rE r
r
 (método del módulo). 
 
Este método consiste en dibujar gráficamente la dirección del vector campo 
eléctrico diferencial Ed
r
 creado por la carga en el punto de 
observación
dq
P . Luego se calculan las componentes , y del campo 
eléctrico resultante a través del módulo del diferencial del campo 
xE yE zE
dEEd =
r
, 
considerando los cosenos directores del vector diferencial . Ed
r
 
Recuerde que los cosenos directores de cualquier vector son los cosenos de 
los ángulos que hace el vector con cada uno de los ejes coordenados. En 
nuestro caso, los ángulos directores ( )γβα ,, son los ángulos formados por 
 con el eje Ed
r
X , con el eje Y y con el eje Z , respectivamente. En 
términos matemáticos podemos escribir un vector unitario e en la dirección 
del vector diferencial en la siguiente forma 
ˆ
Ed
r
 
dE
dEk
dE
dE
j
dE
dE
i
dE
Ede zyx ˆˆˆˆ ++=≡
r
 
 
donde EddE
r
= es el módulo del diferencial de campo eléctrico. 
Definimos los cosenos directores en la siguiente forma: 
 
 
dE
dE
dE
dE
dE
dE zyx ≡≡≡ γβα cos,cos,cos 
 
en consecuencia, cada componente del campo viene dada por 
 
γβα cos,cos,cos dEdEdEdEdEdE zyx === 
 
Sabemos que 2d
kdqdE = , donde es la distancia desde el diferencial de 
carga hasta el punto 
d
dq P de observación del campo. A partir de estas 
consideraciones, cada componente del campo eléctrico resultante de una 
distribución continua de carga viene dada por: 
 
∫ ∫== αα coscos 2d
kdqdEEx 
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∫∫ == ββ coscos 2d
kdqdEEy 
∫∫ == γγ coscos 2d
kdqdEEz 
 
En la figura 2 se muestra una variación de la figura 1 donde se puede ver el 
vector y el ángulo director Ed
r
γ que hace con el eje Z . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por la simetría del problema, al considerar simultáneamente dos elementos 
diferenciales de carga diametralmente opuestos, se anulan las 
componentes del campo resultante en las direcciones perpendiculares al eje 
dq
Z .Por lo que se obtiene 0== yx EE . 
 
También de la figura 2 vemos que el coseno del ángulo γ viene dado por 
 
22 )'(
)'(cos
zzR
zz
−+
−
=γ 
 
y por lo tanto la componente del campo resultante se escribe zE
 
∫∫
−+
−
==
2222 )'(
)'(cos
zzR
zz
d
kdq
d
kdqEz γ 
 
mirando nuevamente la figura 2 vemos que la distancia desde dq al 
punto 
d
P viene dada por 
 
 22 )'(' zzRrrd −+=−= rr . 
 
'dz
Y 
X 
P 
'z
dq
Ed
r ( )'zz −
γ
γR 
Z 
Figura 2 
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Además, por los desarrollos anteriores sabemos que el diferencial de carga 
 se puede expresar como 'dq dzRddAdq φσσ == , luego la componente 
del campo viene dada por 
z
 
( )∫ −+
−
= 2/322 )'(
')'(
zzR
dzzzRdkEz
φσ 
 
expresión que es idéntica a la obtenida por el método vectorial, por lo 
tanto, después de realizar las integraciones se obtiene: 
 
 
 
 
 
 
 
zE =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−+ 2222
1
)(
12
zRLzR
Rk πσ 
 f) Cálculo del campo eléctrico )(rE r
r
 del cascarón cilíndrico usando el 
campo de un anillo de carga (Método de las aportaciones 
infinitesimales) 
 
Este método es bastante general y permite calcular el campo eléctrico )(rE r
r
 
y el potencial )(rV r en distintas situaciones en las que la distribución de 
carga puede ser subdividida en distribuciones de carga de menor 
dimensión. Este método tiene ventajas sobre los otros métodos, si la 
distribución de carga de menor dimensión es calculable de manera mucho 
más sencilla que usando el método vectorial. 
 
La siguiente Tabla muestra sólo algunos ejemplos en que es posible aplicar 
este método para distintas distribuciones de carga. Seguramente Ud. 
tendrá que resolver todos estos casos en este curso de Física III. 
 
 
Problema campo y el potencial creado por 
Plano infinito alambre de extensión infinita 
Lamina circular de carga alambre circular 
Lámina circular con agujero en su centro alambre circular 
Cascarón cilíndrico alambre circular 
Cilindro lleno lámina circular 
Semiesfera o esfera hueca alambre circular 
Semiesfera o esfera llena lámina circular 
 
En el caso del cascarón cilíndrico que estamos estudiando, la Tabla indica 
que debemos usar un alambre circular de carga para calcular el cascarón 
completo. La figura 3 muestra como el cascarón cilíndrico puede ser 
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subdividido en infinitos alambres de radio R con carga diferencial dq y 
espesor . Cada alambre de carga se encuentra a la distancia del 
punto 
'dz ( )'zz −
P . Allí también puede verse el campo diferencial creado por el 
alambre de carga. 
Ed
r
 
 
 
 
P 
)'( zz −
σ
dq Ed
r
 
 
 Z 
 
 
 Figura 3 
 
 
Sabemos que campo eléctrico E
r
 creado por un alambre de radio R y carga 
, depende sólo de la distancia sobre el plano del alambre y apunta en 
la dirección del eje 
Q z
Z . El campo vale: 
 
( )
k
zR
zkQE ˆ2/322 +
=
r
 
 
Para el alambre con carga diferencial mostrado en la figura 3, el campo 
eléctrico es un campo diferencial 
dq
Ed
r
 que se escribe en la siguiente forma: 
 
( )
( )( ) 2/322 '
'
zzR
zzkdqdEz
−+
−
= 
 
nótese el cambio de )'( zzz −→ y de . Estos cambios contienen la 
esencia del método que estamos tratando. Ahora sólo nos falta escribir el 
diferencial de carga del alambre en función de la variable '. La figura 4 
muestra un anillo diferencial de radio 
dqQ →
dq z
R y espesor 'dz
 
 
'dzσ
dq
 
 
 
 
 
Figura 4 
 
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De allí podemos ver que el área diferencial vale '2 RdzdA π= y por lo tanto la 
carga diferencial vale '2 Rdzdq πσ= . El campo diferencial se puede escribir 
en la forma 
 
( )
( )( ) 2/322 '
''2
zzR
dzzzRkdEz
−+
−
=
πσ
 
 
Al realizar la integración obtenemos el mismo campo resultante obtenido 
anteriormente: 
 
 
zE =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−+ 2222
1
)(
12
zRLzR
Rk πσ 
 
 
 
 g) Cálculo del potencial eléctrico )(rV r del cascarón cilíndrico usando 
el potencial de un anillo de carga (Método de las aportaciones 
infinitesimales). 
 
Procediendo de manera similar al problema anterior, usaremos el 
potencial creado por un alambre de radio R y carga Q . Dicho potencial 
depende sólo de la distancia sobre el plano del alambre. El potencial 
vale: 
z
 
22
)(
zR
kQzV
+
= 
 
entonces el potencial para el alambre con carga diferencial dq 
mostrado en la figura 4, el se escribe en la siguiente forma: 
dV
 
( )22 'zzR
kdqdV
−+
= 
 
nuevamente nótese el cambio de )'( zzz −→ y de . Usando dqQ →
'2 Rdzdq πσ= e integrando podemos escribir: 
 
( )∫∫ −+
==
22 '
'2)(
zzR
RdzkdVzV πσ 
 
Obteniéndose el mismo resultado encontrado anteriormente: 
 
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⎡ 22
 
 
 
 ⎢
⎢
⎣ −++−
++
=
22 )()(
ln2)(
LzRLz
zRzRkzV πσ
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Profesores: Dr. Edmundo Lazo & Dr. Héctor Calisto 
	Por la simetría del problema, al considerar simultáneamente 
	También de la figura 2 vemos que el coseno del ángulo viene
	y por lo tanto la componente del campo resultante se escrib
	Este método es bastante general y permite calcular el campo 
	La siguiente Tabla muestra sólo algunos ejemplos en que es p