Física II - Unidad 1 - Incompleto

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Esp. Ing. Francisco A. Gómez López 
Física II, Unidad I – Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Tucumán / 2019 
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Unidad 1 
Electrostática 
 
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1.1 |Electricidad 
 
Uno de los fenómenos naturales más abundantes en la tierra son las tormentas 
eléctricas. La descarga eléctrica o chispa eléctrica que llega a tierra recibe el nombre 
de rayo y la chispa que va de una nube a otra, se llama relámpago, aunque 
normalmente los dos son usados como sinónimos del mismo fenómeno. La aparición 
del rayo es solo momentánea, seguida a los pocos segundos por un trueno causado 
por la expansión brusca del aire que rodea al rayo debido al aumento de la 
temperatura. 
Los fenómenos eléctricos son estudiados por la electrostática, rama de la física, que 
estudia las cargas eléctricas en reposo, las fuerzas que se ejercen entre ellas y su 
comportamiento en el interior de los materiales. Es importante considerar que la 
electricidad y el magnetismo están estrechamente relacionados y que a partir de 1820, 
con la experiencia de Hans Christian Oersted, con corrientes eléctricas, se inicia el 
electromagnetismo, rama de la física que estudia la relación entre ambos fenómenos. 
Sin embargo, en este capítulo estudiaremos inicialmente los fenómenos eléctricos a 
modo de introducción al electromagnetismo. 
 
 
1.2 |Cargas eléctricas 
 
Probablemente fueron los antiguos filósofos griegos, – particularmente Tales de 
Mileto (624 a 543 a.C.) – los primeros en observar fenómenos eléctricos. Unos 500 
años antes de Cristo, comprobaron que cuando frotaban con piel de animal un trozo 
de ámbar (un tipo de resina fósil), esta era capaz de atraer algunos objetos muy 
livianos como semillas secas. La palabra electricidad proviene del término élektron, 
palabra con que los griegos llamaban al ámbar. 
 
Se ha determinado que entre electrones y protones existen fuerzas mutuas, además 
de las gravitatorias debidas a su masa, que se explican adjudicándoles una propiedad 
llamada carga eléctrica o electricidad, con una diferencia fundamental ya que las 
fuerzas gravitatorias son solamente atractivas, mientras que las eléctricas pueden ser 
atractivas o repulsivas. 
Existen dos tipos de cargas eléctricas, las positivas y las negativas. Cargas iguales se 
repelen y cargas distintas se atraen. Esta atracción o repulsión es originada por fuerzas 
de origen eléctrico. Un cuerpo se carga eléctricamente cuando se produce un traspaso 
de electrones de un cuerpo a otro, el cuerpo con exceso de electrones se carga 
negativamente, mientras que el cuerpo con carencia de electrones se carga 
positivamente, ya que la carga no se crea ni se destruye. 
Además de estas fuerzas gravitatorias y eléctricas que dependen de la distancia 
entre las partículas, hay otras que dependen del movimiento relativo y dan lugar a 
fenómenos magnéticos. 
 
La electricidad estática se produce cuando ciertos materiales se frotan uno contra el 
otro, como lana contra plástico o las suelas de zapatos contra la alfombra, donde el 
proceso de frotamiento causa que se retiren los electrones de la superficie de un 
material y se reubiquen en la superficie del otro material que ofrece niveles 
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energéticos más favorables, o cuando partículas ionizadas se depositan en un material, 
como por ejemplo, ocurre en los satélites al recibir el flujo del viento solar y de los 
cinturones de radiación de Van Allen. La capacidad de electrificación de los cuerpos 
por rozamiento se denomina efecto triboeléctrico, existiendo una clasificación de los 
distintos materiales denominada serie triboeléctrica. 
La electricidad estática se utiliza comúnmente en la xerografía, en filtros de aire, y 
en la industria automotriz para el pintado de automóviles entre otros. Los circuitos 
integrados pueden dañarse fácilmente con la electricidad estática. Los fabricantes usan 
una serie de dispositivos antiestáticos para la manipulación con el objeto de evitar 
estos daños. 
 
Es posible cargar eléctricamente cualquier material sólido frotándolo con otro 
material. Una persona se electriza (se carga eléctricamente) al arrastrar los zapatos 
sobre una alfombra de nailon, cuando se sienta en una silla plástica, cuando se pone o 
saca un buzo, etc. Este fenómeno en especial, tiene mucha importancia en atmósferas 
explosivas. Por ejemplo, En una estación de servicios, se acumulan cargas eléctricas 
cuando un camión cisterna realiza el transvase del combustible al tanque de 
almacenamiento bajo tierra, si el camión no está debidamente aterrizado (puesto a 
tierra mediante una jabalina: un electrodo de dispersión de corriente a tierra), puede 
producirse un arco eléctrico y la consiguiente ignición de los vapores de gasolina. 
También tiene gran relevancia en la manufactura de aparatos electrónicos y en los 
servicios técnicos electrónicos, razón por la cual el personal que manipula placas o 
circuitos integrados debe estar conectado a tierra a través de una pulsera antiestática. 
El efecto es de una importancia industrial considerable en términos de la seguridad 
y del daño potencial a los productos manufacturados. La chispa producida puede 
completamente encender los vapores inflamables, como ser gasolina o éter etílico 
utilizado como anestésico, por lo cual se deben encontrar métodos para descargar los 
carros que transportan tales líquidos en hospitales. Incluso donde solamente se 
produce una carga pequeña, ésta puede dar lugar a las partículas de polvo que son 
atraídas a la superficie frotada. En el caso de la fabricación del textil esto puede 
conducir a una marca mugrienta permanente donde se ha cargado el paño. Algunos 
dispositivos electrónicos, como sucede con los circuitos integrados tipo CMOS y los 
transistores tipo MOSFET, se pueden destruir accidentalmente por descarga estática 
de alto voltaje. Tales componentes se almacenan generalmente en una espuma 
conductora para su protección. Cuando el usuario se conecta a tierra tocando la mesa 
de trabajo, o usando una pulsera especial en la muñeca (o tobillo), se reduce el daño a 
los dispositivos electrónicos que son sensibles a las descargas electrostáticas. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. Pulsera antiestática para drenar a tierra las cargas 
eléctricas acumuladas en el cuerpo. Esta pulsera tiene una 
resistencia eléctrica de 1 MΩ para evitar le electrocución en caso 
de conectarla a un conductor vivo. 
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Resumiendo, se llama carga eléctrica (q) al exceso o déficit de electrones que posee 
un cuerpo respecto al estado neutro. 
 
La carga eléctrica permite cuantificar el estado de electrización de los cuerpos 
siendo su unidad mínima la carga del electrón –e (o la carga del protón, e). Esto 
significa que la carga eléctrica q de un cuerpo está cuantizada y se puede expresar 
como nq, en que n es un número entero (incluyendo el cero). 
Todo carga Q presente en la naturaleza, puede representarse de la siguiente 
manera: Q = ±ne, sin embargo, en sistemas macroscópicos n es un número muy 
grande y la carga parece ser continua, del mismo modo que el aire parece ser un 
medio continuo pero en realidad está formado por moléculas discretas. 
Al frotar una barra plástica con un trozo de piel se transfieren aproximadamente 
1010 electrones a la barra (un número muy grande). Por esto, como la carga del 
electrón es muy pequeña, se utiliza un múltiplo de ella: el coulomb [C], que es la carga 
obtenida al reunir 6,24x1018 electrones. 
 
1C = 6,24x1018 electrones 
 
Si realizamos una regla de tres simple podremos obtener el valor de carga de un 
electrón expresado en coulomb: 
 
1e = 1,602177x10-19 C 
 
Existen tres formas básicasde modificar la carga neta de un cuerpo: electrización 
por frotamiento, contacto e inducción. En todos estos mecanismos siempre está 
presente el principio de conservación de la carga, que nos dice que la carga eléctrica 
no se crea ni se destruye, solamente se transfiere de un cuerpo a otro. En otras 
palabras: La suma algebraica de todas las cargas eléctricas en cualquier sistema 
cerrado es constante. 
 
1.2.1 |Formas de cargar un cuerpo eléctricamente: 
 
a. Frotamiento: En la electrización por fricción, el cuerpo menos conductor 
extrae electrones de las capas exteriores de los átomos del otro cuerpo 
quedando cargado negativamente y el que pierde electrones queda cargado 
positivamente. 
 
b. Contacto: En la electrización por contacto, el que tiene exceso de 
electrones (carga -) traspasa carga negativa al otro, o el que tiene carencia de 
ellos (carga +) atrae electrones del otro cuerpo. Ambos quedan con igual tipo 
de carga. 
 
c. Inducción: Al acercar un cuerpo cargado al conductor neutro, las cargas 
eléctricas se mueven de tal manera que las de signo igual a las del cuerpo 
cargado se alejan en el conductor y las de signo contrario se aproximan al 
cuerpo cargado, quedando el conductor polarizado. Si se hace contacto con 
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tierra en uno de los extremos polarizados, el cuerpo adquiere carga del signo 
opuesto 
 
 
1.3 |Estructura atómica 
 
Toda la materia que existe en el universo está compuesta por moléculas y ésta a su 
vez por átomos; la molécula es la partícula más pequeña que conserva la propiedad de 
la materia. Los átomos, están formados por electrones, cargados negativamente; 
protones, cargados positivamente, y neutrones, de carácter neutro. Por supuesto éstos 
a su vez están constituidos por otras subpartículas que se encuentran fuera del alcance 
de nuestro estudio llamadas quarks, que tienen cargas de ±1/3 y ±2/3 de la carga del 
electrón. No se han observado quarks aislados, y no hay razones teóricas para suponer 
que en principio esto sea imposible. 
 
La carga negativa del electrón es de igual magnitud que la carga positiva del protón. 
Los protones y neutrones forman un grupo compacto llamado núcleo, que tiene una 
carga neta positiva debido a los protones. Fuera del núcleo y a distancias 
relativamente grandes de él, se encuentran los electrones cuyo número es igual al de 
los protones, por lo cual el átomo en conjunto es eléctricamente neutro. Es decir, la 
suma algebraica de las cargas positivas y negativas es cero. 
Las masas del protón y del neutrón son aproximadamente iguales, y la masa del 
protón es unas 1836 veces la del electrón. Por lo tanto casi toda la masa de un átomo 
está concentrada en su núcleo. 
 
Si a un átomo se le extraen uno o más electrones, éste queda cargado 
positivamente y recibe el nombre de catión o ion positivo. De igual manera si gana 
uno o más electrones, se llama anión o ion negativo. El proceso de perder o ganar 
electrones se denomina ionización. 
El número de protones o electrones en un átomo neutro de un elemento se 
denomina número atómico del elemento y se lo denomina con la letra Z. 
La carga de un cuerpo se refiere únicamente a un exceso de carga negativa o 
positiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Átomo de Litio Anión de Litio Catión de Litio 
 
 
 
Figura 2. Estructura atómica del átomo de Litio. Modelo de Bohr. 
 
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1.4 |Conductores y aislantes eléctricos 
 
Ciertos materiales permiten que las cargas eléctricas se muevan con facilidad de 
una región del material a la otra, mientras que otros no lo hacen. 
Los conductores permiten el movimiento fácil de las cargas a través de ellos; 
mientras que los aislantes no lo hacen. 
Por ejemplo, las fibras de una alfombra en un día seco son buenos aislantes. 
Cuando usted camina sobre ella, la fricción de los zapatos contra las fibras hace que la 
carga se acumule en su cuerpo y ahí permanezca, porque no puede fluir por las fibras 
aislantes. Si después usted toca un objeto conductor, como la manija de una puerta, 
ocurre una transferencia rápida de la carga entre sus dedos y la manija, por lo que 
siente una descarga. Una solución para evitar esto sería cubrir la alfombra con una 
sustancia antiestática que no transfiera fácilmente electrones hacia los zapatos o 
desde éstos; así se evita que se acumulen cargas en el cuerpo. 
La mayor parte de metales son buenos conductores; en tanto que los no metales 
son aislantes en su mayoría. Dentro de un sólido metálico, como el cobre o aluminio, 
uno o más de los electrones externos de cada átomo se liberan y mueven con libertad 
a través del material, en forma parecida a como las moléculas de un gas se desplazan 
por los espacios entre los granos de un recipiente de arena. El movimiento de esos 
electrones con carga negativa lleva la carga a través del metal. Los demás electrones 
permanecen unidos a los núcleos con carga positiva, que a la vez están unidos en 
posiciones casi fijas en el material. En un material aislante no hay electrones libres, o 
hay muy pocos, y la carga eléctrica no se mueve con facilidad a través del material. 
Algunos materiales se denominan semiconductores porque tienen propiedades 
intermedias entre las de buenos conductores y buenos aislantes. 
 
 
1.5 |Cargas Puntuales 
 
Muchos fenómenos físicos admiten ser tratados mediante un modelo de partícula. 
Por ejemplo, la órbita de la tierra alrededor del sol, analizada desde la teoría de 
gravitación universal, puede determinarse con exactitud suponiendo que la tierra es 
una partícula. En tal caso, suponemos que la masa de la tierra está concentrada en un 
“punto”. Este tipo de modelado puede emplearse cada vez que las dimensiones 
espaciales del cuerpo resulten muy pequeñas comparadas con las distancias 
involucradas en el fenómeno analizado (el radio terrestre es aproximadamente 6.400 
km, mientras que la distancia media tierra-sol es de 150.000.000 km). 
El mismo criterio puede utilizarse en electrostática. Cuando la carga eléctrica reside 
sobre un cuerpo cuyas dimensiones son muy pequeñas comparadas con las distancias 
de interacción, podemos modelar al cuerpo como una partícula puntual. 
Es habitual la denominación “carga puntual” para referirse al caso en que la carga 
eléctrica reside sobre un cuerpo puntual. Es importante remarcar que las cargas 
puntuales solo existen en los modelos teóricos para simular los fenómenos físicos, 
pero no existen en realidad. 
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1.6 |Ley de Coulomb 
 
La interacción eléctrica entre dos partículas cargadas se describe en función de las 
fuerzas que ejercen una sobre otra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3. Fuerzas ejercidas entre dos partículas con cargas eléctricas puntuales. 
 
 
DEFINICION: 
La fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas puntuales es directamente 
proporcional al producto de las cargas, e inversamente proporcional al cuadrado de la 
distancia que las separa. 
 
Entonces, la magnitud de la fuerza entre dos cargas puntuales es: 
 
2
0
r
qq
kF  
 
Donde q y q0 son el valor de las cargas y r la distancia que las separa. k es una 
constante de proporcionalidad y vale: 
 







2
2
910.988,8
C
Nm
k 
O también: 
o
k
4
1
 
 
εo (épsilon sub cero) es otra constante, denominada permitividad del vacío y vale: 
 
εo = 8,854185x10-12 [C2/Nm2] 
 
La unidad de carga, como ya se explicó, es la magnitud de carga de un electrón o de 
un protón y esta cantidad se expresa por e: 
 
e =1,60x10-19C 
 
r 
+ + 
q q0 
1

F 2

F 
r 
+ - 
q q0 
1

F 2

FLey de Coulomb, fuerza entre 
dos cargas puntuales (1.1) 
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La dirección de la fuerza sobre cada partícula está siempre sobre la línea que las 
une, tirando de las partículas para unirlas, en caso de cargas distintas o empujándolas 
para que se separen, en el caso de cargas de igual signo. El módulo de la fuerza incluye 
el valor absoluto del producto de las cargas en el caso de que éstas sean de distinto 
signo. 
La ley de Coulomb se expresa habitualmente como: 
 
2
0
4
1
r
qq
F
o
 
 
Es importante destacar que en la ley de Coulomb solo se considera la interacción 
entre dos cargas puntuales a la vez; la fuerza que se determina es aquella que ejerce 
una carga q sobre otra q0, sin considerar otras cargas que existan alrededor. Además, 
debemos tener en cuenta que el signo de las cargas nos indicará si la fuerza es de 
atracción (cargas con distinto signo) o de repulsión (cargas con igual signo). El sentido 
y dirección de la fuerza neta se infiere a partir del diagrama de fuerzas. 
En problemas de electrostática (es decir, aquellos que implican cargas en reposo), 
es muy raro encontrar cargas tan grandes como de 1 coulomb. Los valores más 
comunes de cargas fluctúan entre 10-9 hasta 10-6 C. Es frecuente usar al micro coulomb 
(1 µC = 10-6 C) y al nano coulomb (1 nC = 10-9 C) como unidades de cargas prácticas. 
 
1.6.1 |La conexión a tierra 
 
La Tierra, nuestro planeta, se considera un cuerpo eléctricamente neutro y por su 
gran tamaño, tiene la capacidad de neutralizar a cualquier cuerpo cargado que 
pongamos en contacto con él. En efecto, la Tierra puede neutralizar a un cuerpo 
positivo “dándole electrones” o a uno negativo “quitándole electrones”. En ambos 
casos la Tierra, por su gran cantidad de materia, no altera su condición de neutro. 
Cuando un cuerpo se conecta a Tierra, se emplea el siguiente signo: 
 
 
Figura 4. Símbolo de conexión a tierra. 
 
Por ejemplo, si un cuerpo con cargas positivas se conecta a Tierra, se neutralizará 
porque electrones subirán desde Tierra. Del mismo modo, si un cuerpo cargado 
negativamente se conecta a Tierra, los electrones bajarán a ella. 
El conectar un cuerpo a tierra garantiza que su estado eléctrico después será 
neutro. El contacto central de los enchufes de la red eléctrica domiciliaria es una 
conexión local a tierra. Dispositivos con carcasa exterior metálica, como lavadoras, 
refrigeradores, planchas, etc. deben tener, por razones de seguridad, dicha carcasa 
conectada a tierra, más adelante se profundizará más el tema. 
Ley de Coulomb, fuerza entre 
dos cargas puntuales (1.2) 
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El pararrayos, inventado en 1753 por Benjamín Franklin, es básicamente una 
conexión a tierra cuya finalidad es proteger a los edificios de los rayos que se producen 
en las tormentas eléctricas. Se trata de un conductor en que un extremo se encuentra 
enterrado en el suelo y el otro, terminado en punta, por encima de la construcción. 
 
 
1.6.2 |Superposición de fuerzas 
 
Como se dijo, la Ley de Coulomb describe sólo la interacción entre dos cargas 
puntuales. Los experimentos demuestran que cuando dos cargas ejercen fuerzas de 
manera simultánea sobre una tercera carga, la fuerza total que actúa sobre esa carga 
es la suma vectorial de las fuerzas que las dos cargas ejercerían individualmente. Esta 
propiedad importante, llamada principio de superposición de fuerzas, se cumple para 
cualquier número de cargas. 
La Ley de Coulomb tal como fue establecida debería usarse tan sólo para cargas 
puntuales en el vacío. Si hay materia presente entre las cargas, la fuerza neta que 
actúa sobre cada una se altera, debido a las cargas inducidas en las moléculas del 
material interpuesto. Este efecto se describirá más adelante. No obstante, es práctico 
utilizar la ley de Coulomb sin modificar para cargas puntuales en el aire, ya que a 
presión atmosférica normal, la presencia del aire cambia la fuerza eléctrica en 
aproximadamente 1/2000 de su valor en el vacío. 
 
 
 
 
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1.7 |El concepto de campo 
 
El concepto de “campo”, entendido como campo de vectores, tuvo un enorme 
impacto en el desarrollo de las bases conceptuales de la física y la ingeniería. Es 
realmente unas de las ideas que supusieron un avance significativo en la historia del 
pensamiento humano. Es la noción que permite describir de modo sistemático las 
influencias sobre objetos y entre objetos que están separados espacialmente. 
La idea de campo comenzó con el concepto de Newton de campo gravitatorio. En 
este caso, el campo gravitatorio describe la atracción de un cuerpo o grupo de cuerpos 
sobre otro. Análogamente, el campo eléctrico producido por un objeto o grupo de 
objetos cargados crea, de acuerdo con la ley de Coulomb, una fuerza sobre otro objeto 
cargado. El uso de campos vectoriales para describir este tipo de fuerzas ha conducido 
a una comprensión más profunda de las fuerzas atractivas y repulsivas en la 
naturaleza. 
Sin embargo, fue el monumental descubrimiento de las ecuaciones de Maxwell, que 
describen la propagación de la energía electromagnética, el que consolidó el concepto 
de campo en el pensamiento científico. Este ejemplo es especialmente interesante, 
porque estos campos se pueden propagar. El contraste entre los campos 
electromagnéticos que se pueden propagar y el campo gravitatorio que implica una 
acción instantánea a distancia ha originado gran interés entre los filósofos de la 
ciencia. 
La idea de Einstein es que la gravitación puede describirse en términos de las 
propiedades métricas del espacio-tiempo, y que en esta teoría los campos asociados 
también se pueden propagar, exactamente como el campo electromagnético, 
proporcionando por tanto una profunda evidencia filosófica de que la versión de 
Einstein de la gravitación debería ser correcta. 
 
La idea de campo también se usa en ingeniería para describir sistemas elásticos e 
interesantes propiedades microestructurales de los materiales. En la física teórica 
moderna, el concepto de campo se usa para describir partículas elementales y es una 
herramienta central en los esfuerzos de los físicos teóricos modernos por unificar la 
gravedad con la mecánica cuántica de las partículas elementales. Es imposible 
imaginar un marco teórico moderno que no incorpore algún tipo de concepto de 
campo como ingrediente central1. 
 
 
 
1 Nota histórica, pagina 284 – Calculo Vectorial. Pearson Addison Wesley - Jerrold E. Mariden, Anthony J. Tromba 
5ta Edición 
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11 
1.7.1 |Campo eléctrico 
 
La interacción entre partículas cargadas demostrada por la Ley de Coulomb puede 
volver a formularse utilizando el “concepto” de campo eléctrico. Para entenderlo 
consideremos la repulsión mutua de dos cuerpos A y B con carga positiva. Donde la 
fuerza sobre B se denota por F, esta es una fuerza de acción a distancia que puede 
actuar a través del vacío y no necesita materia alguna en el espacio para transmitirla. 
Imaginemos que retiramos el cuerpo B y a su posición la demarcamos con un punto P, 
ahora, si en éste punto colocamos cualquier otro cuerpo cargado, observamos que 
siempre se ejerce una fuerza; entonces, podemos considerar ésta fuerza sobre el punto 
P como la producida por un campo, en vez de producida por el cuerpo A 
directamente. Como B experimentaría una fuerza en cualquier punto del espacio que 
rodea al cuerpo A (carga generadora), el campo eléctrico existe en todos los puntos 
del espacio alrededor del cuerpoA. 
 
 
Figura 5. Fuerza ejercida por E sobre un punto cualquiera P. 
 
La prueba experimental de la existencia de un campo eléctrico en cualquier punto, 
consiste simplemente en colocar un cuerpo pequeño cargado, que se llamará “carga 
de prueba” en dicho punto. Si es ejercida una fuerza sobre la carga de prueba, 
entonces existe un campo eléctrico en el punto. 
 
Como la fuerza es una cantidad vectorial, el campo eléctrico también es una 
cantidad vectorial. 
 
Se define el campo eléctrico E en un punto, como el cociente entre la fuerza F que 
actúa sobre una carga de prueba positiva y la magnitud q0 de la carga. 
 
0q
F
E


 
 Su módulo: 
2
0 4
1
r
q
q
F
E
o
 
 
+ 
+ 
+ 
+ 
P 
A 
+ 
+ 
+ 
+ 
A 
P 
0q
F
E


 

 F + 
+ 
+ 
+ 
A 

F 
B 
q0 
+ 
Campo eléctrico, generado por 
una carga puntual Q (1.3) 
Campo eléctrico, generado por 
una carga puntual Q (1.4) 
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La dirección de E es la de F, por lo que se deduce que: 
 

 EqF 0 
 
La fuerza sobre una carga negativa como el electrón es opuesta a la dirección del 
campo eléctrico. La unidad del campo eléctrico es el newton por coulomb [N/C]. 
La fuerza experimentada por la carga de prueba q0 varía de un punto a otro, por lo 
que el campo eléctrico es distinto de un punto a otro. Entonces el campo eléctrico 
tiene un valor determinado para cada punto en el espacio, esto es un ejemplo de 
campo vectorial. 
 
El campo eléctrico generado por una carga puntual tiene dirección radial y decrece 
rápidamente (con el cuadrado de la distancia) a medida que aumenta la distancia a la 
carga generadora. 
 
Si existe un campo eléctrico dentro de un conductor, se ejerce una fuerza sobre cada 
carga del mismo. El movimiento de las cargas libres producido por esta fuerza se 
denomina corriente. Por el contrario, si no hay corriente en un conductor, el campo 
eléctrico en el conductor debe ser nulo. 
 
En la mayoría de los casos, la magnitud y dirección de un campo eléctrico varían de 
un punto a otro. Si ambas son constantes en cierta región se dice que el campo es 
uniforme en esa región. 
 
Un ejemplo importante de esto es el campo eléctrico dentro de un conductor: 
cuando esto sucede el campo ejerce una fuerza en cada carga en el conductor, lo cual 
da a las cargas libres un movimiento neto. Por definición, una situación electrostática 
es aquella donde las cargas no tienen movimiento neto. De lo anterior se concluye que 
en electrostática, el campo eléctrico en cada punto dentro del material de un 
conductor debe ser igual a cero. (Observe que no se dice que el campo sea 
necesariamente cero en un agujero dentro de un conductor.) Con el concepto de 
campo eléctrico, nuestra descripción de las interacciones eléctricas tiene dos partes: 
La primera es que una distribución de carga dada actúa como una fuente del campo 
eléctrico. 
La segunda es que el campo eléctrico ejerce una fuerza sobre cualquier carga 
presente en el campo. Con frecuencia, nuestro análisis tiene dos etapas 
correspondientes: primero se calcula el campo causado por una distribución de carga 
de fuente; en segundo lugar, se examina el efecto del campo en términos de fuerza y 
movimiento. Es frecuente que el segundo paso implique las leyes de Newton y los 
principios de las interacciones eléctricas. En la sección siguiente, veremos cómo 
calcular campos originados por varias distribuciones de fuente; aunque en primer lugar 
se presentan algunos ejemplos de cálculo del campo debido a una carga puntual, así 
como de la obtención de la fuerza sobre una carga debida a un campo dado E. 
 
Por último, volvamos al concepto de carga de prueba que utilizamos para definir el 
campo eléctrico. Para desarrollar esta idea, comenzaremos por considerar una 
distribución de carga en equilibrio sobre un cuerpo. Esto implica que sobre cada 
Fuerza eléctrica, generado por 
un campo eléctrico E (1.5) 
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elemento de carga, la fuerza neta es nula (Imaginemos partículas sostenidas por una 
estructura cristalina rígida, es decir que se mantienen en equilibrio estable entre sus 
propias interacciones eléctricas y las que experimentan con el soporte mecánico). 
Ahora supongamos que una partícula pequeña cargada se aproxima al cuerpo. La 
nueva interacción tiene dos consecuencias: 
a) Sobre la partícula aparece una fuerza electrostática debida al sistema de cargas 
preexistente. Por tanto, para que la partícula se mantenga en el lugar, necesita que un 
agente externo lo sostenga. 
b) Sobre el sistema preexistente aparecerán fuerzas debidas a la partícula, que 
alterarán el equilibrio original, produciendo un reordenamiento de cargas tendiente a 
restablecer nuevamente el equilibrio electrostático. 
Cuando deseamos medir o estudiar un fenómeno físico, se busca “observar algo sin 
que el sistema a estudiar se dé cuenta” o “medir sin que perturbemos el sistema a 
estudiar”. En lo que respecta a nuestro análisis, podríamos decir que nos interesa 
observar “la fuerza” sobre la partícula con la expectativa que el sistema original 
experimente la menor alteración posible. Naturalmente, esto ocurre cuando la carga 
de la partícula es lo más pequeña posible. Por supuesto que el límite de qué tan 
pequeña puede ser la carga, lo impone la sensibilidad del instrumento que mide la 
fuerza sobre ella. Si un objeto pequeño dotado de carga eléctrica es apto para tal 
propósito, decimos que el mismo es una “partícula de prueba”, o simplemente una 
“carga de prueba”. 
 
1.7.2 |Líneas de campo 
 
El concepto de líneas de campo fue introducido por Michael Faraday para ayudar a 
visualizar los campos eléctricos y magnéticos. Una línea de campo es una línea 
imaginaria trazada de forma que la dirección del campo es tangente en cada punto de 
la misma. 
Las líneas de un campo electrostático son líneas continuas que nacen en una carga 
positiva y terminan en una negativa. Las líneas de campo nunca se cruzan. 
 a) b) 
 
Figura 6. Líneas de campo eléctrico de cargas: a) opuestas, b) iguales. 
 
En el caso de cargas puntuales, las líneas de campo eléctrico son radiales, con 
sentido hacia fuera en una carga positiva y hacia la carga en el caso de ser negativa. 
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14 
 Por tanto, una carga de prueba positiva es rechazada si se ubica en el campo de 
una carga generadora positiva, y se atrae si se ubica en el campo de una carga 
generadora negativa. 
Como es de esperarse, por cada punto del espacio que rodea una carga pasa una 
línea de campo, o sea una carga puntual tiene infinitas líneas de campos pero si se 
dibujara una línea en cada punto de un campo eléctrico, todo el espacio estaría lleno 
de líneas y no se podría distinguir ninguna línea individual. 
Limitando convenientemente el número de líneas dibujadas para representar un 
campo, éstas pueden utilizarse para indicar la magnitud de un campo y su dirección, 
esto se consigue espaciando las líneas de forma que: “el número de líneas que 
atraviesan una unidad de superficie perpendicular a la dirección del campo, sea en 
cada punto proporcional a la magnitud de campo eléctrico”. Por lo que a medida que 
nos alejamos de la carga, las líneas de campo se separan y la magnitud del campo 
eléctrico se debilita. 
En el espacio que rodea a una carga no nace ni termina ninguna línea de campo. 
Cada línea de un campo electrostático es una línea continua que nace en una carga 
positiva y termina en una carga negativa. A veces por conveniencia se dibujan las 
líneas de campo de una cargapuntual en forma radial, pero esto solo significa que las 
cargas donde terminan se encuentran a gran distancia de la carga considerada. 
 
1.7.3 |Jaula de Faraday 
 
 En un conductor, las cargas eléctricas móviles se distribuyen en la superficie, de 
tal manera que el campo eléctrico en el interior es nulo. 
 Al respecto, Michael Faraday observó que una estructura metálica en forma de 
jaula actúa como una pantalla: los cuerpos que esta contiene quedan aislados de la 
acción de los campos eléctricos externos, permaneciendo únicamente la de los campos 
magnéticos. 
 Esta propiedad de los conductores hace que sean útiles, por ejemplo, para 
proteger un artefacto electrónico del efecto de una actividad eléctrica externa. Esta es 
la razón por la que la mayoría de los componentes electrónicos se rodean de una caja 
metálica, llamada jaula de Faraday (que puede ser una malla o un recipiente metálico). 
 Estas cajas impiden que las cargas eléctricas que puedan llegar al aparato, 
ingresen al interior. En los equipos de audio, la envoltura metálica evita que un campo 
electromagnético exterior interfiera con la señal sintonizada. 
 Los teléfonos celulares utilizan señales electromagnéticas y depende de la libre 
circulación de estas para posibilitar la comunicación telefónica. La situación se 
complica cuando la comunicación debe establecerse desde o hacia bajo tierra, como 
en el subte. Años atrás, no era posible la comunicación por celular en el subte. El 
problema se generaba porque tanto las paredes como los techos de los túneles se 
encuentran revestidos con mallas de acero (armadura), que actúan como jaula de 
Faraday, lo que dificulta el paso de las señales electromagnéticas. Por esta razón se 
instalan antenas especiales para permitir conectarse con el exterior. 
Otro ejemplo de esto los cables apantallados en sistemas de instrumentación 
industrial, éstos, son conductores aislados cubiertos con una malla metálica o papel 
metálico con el objeto de evitar las perturbaciones que puedan producir campos 
eléctricos externos. 
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15 
1.7.4 |Superposición de campos eléctricos 
 
Para encontrar el campo eléctrico total originado en un punto P por una 
distribución de carga, imaginamos que está constituida por muchas cargas puntuales 
q1, q2, q3 . . . Por lo tanto, en cualquier punto P dado, cada carga puntual produce su 
propio campo eléctrico E1, E2, E3 . . . , por lo que una carga de prueba q0 colocada en P 
experimenta una fuerza de la carga q1, una fuerza de la carga q2 y así sucesivamente. 
Del principio de superposición de fuerzas que se estudió en la sección anterior, la 
fuerza total que la distribución de carga ejerce sobre q0 es la suma vectorial de estas 
fuerzas individuales: 
...... 3020103210 

EqEqEqFFFF 
 
El efecto combinado de todas las cargas en la distribución queda descrito por el 
campo eléctrico total E en el punto P. Esto es: 
nEEEE
q
F
E



 ...321
0
0
 o sea: 



n
i
iEE
1
 
 
El campo eléctrico total en P es la suma vectorial de los campos en P debidos a cada 
carga puntual en la distribución de carga. Éste es el principio de superposición de 
campos eléctricos. 
Cuando la carga está distribuida a lo largo de una línea, sobre una superficie o en un 
volumen, resulta muy útil emplear la densidad de carga. Para una distribución de carga 
en línea (como la de una varilla de plástico cargada, larga y delgada), usamos  (letra 
griega lambda) para representar la densidad lineal de carga (carga por unidad de 
longitud, medida en C/m). Cuando la carga está distribuida sobre una superficie (como 
la superficie del tambor formador de imágenes de una impresora láser), se usa  (letra 
griega sigma) para representar la densidad superficial de carga (carga por unidad de 
área, se mide en C/m2). Y cuando la carga se distribuye en un volumen, se usa  (letra 
griega ro) para representar la densidad volumétrica de carga (carga por unidad de 
volumen, C/m3). 
En los ejemplos que siguen, el uso de la densidad de carga ayudará a simplificar la 
complejidad de los campos eléctricos en determinados cuerpos geométricos. 
(1.6) 
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16 
1.7.5 |Campo eléctrico de un anillo con carga 
 
Supongamos que se tiene un conductor en forma de anillo con radio a el cual posee 
una carga total Q distribuida de manera uniforme en todo su perímetro. Calcularemos 
el campo eléctrico en el punto P que se localiza sobre el eje del anillo a una distancia x 
del centro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7. Anillo conductor con carga eléctrica positiva. 
 
Podemos plantear éste problema como de superposición de campos eléctricos. La 
dificultad es que ahora la carga se distribuye de manera continua alrededor del anillo, 
y no en cierto número de cargas puntuales. El punto P donde queremos averiguar el 
campo se localiza de manera arbitraria sobre el eje x, como se indica en la figura 7. El 
campo eléctrico expresado en ese punto, está en función de la coordenada x. 
Como puede verse en la figura 7, imaginemos el anillo dividido en segmentos 
infinitesimales de longitud ds. Cada segmento tiene una carga dQ que actúa como 
fuente de carga puntual del campo eléctrico. Sea dE el campo eléctrico generado por 
uno de tales segmentos; entonces, el campo eléctrico neto en P es la suma de todas las 
aportaciones dE desde todos los segmentos que constituyen el anillo. (Esta misma 
técnica sirve para cualquier situación en que la carga se distribuya a lo largo de una 
recta o una curva.) 
El cálculo de se simplifica mucho debido a que el punto P del campo se ubica sobre 
el eje de simetría del anillo. Si consideramos dos segmentos, uno en la parte superior y 
otra en la inferior del anillo: las contribuciones dE al campo en P a partir de dichos 
segmentos tendrían la misma componente x, pero componentes y opuestas. Así, la 
componente y total del campo generado por este par de segmentos es igual a cero. 
Cuando sumamos las contribuciones desde todos los pares correspondientes de 
segmentos, resulta que el campo total E sólo tendrá una componente a lo largo del eje 
de simetría del anillo (el eje x), sin componente perpendicular a dicho eje (es decir, no 
hay componentes y ni componente z). 
Por lo tanto, el campo en P queda descrito completamente por su componente x: 
Ex. 
Para calcular Ex, se observa que el cuadrado de la distancia r a partir de un 
segmento de anillo al punto P es igual a r2 = x2 + a2. De manera que la magnitud de la 
contribución de este segmento al campo eléctrico en P es: 
 
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17 
2
04
1
r
dQ
dE

 
)(4
1
22
0 ax
dQ
dE



 
cos.dEdEx  y 
22
cos
ax
x

 
2222
0 )(4
1
ax
x
ax
dQ
dEx



 
 
2/322
0 )(4
1
ax
xdQ
dEx



 
 
Para encontrar la componente x total Ex, del campo en P, se integra esta expresión 
a lo largo de todos los segmentos del anillo: 
 
 

2/322
0 )(4
1
ax
xdQ
dEx

 

 dQ
ax
x
Ex 2/322
0 )(4
1

 
 
Como x no varía a medida que nos movemos de un punto a otro alrededor del anillo, 
todos los factores en el lado derecho son constantes, excepto dQ, es posible sacarlos de 
la integral, y como la integral de dQ es la carga total Q, finalmente resulta que: 
 
2/322
0 )(4
1
ax
xQ
Ex



 
 
Esta expresión representa el módulo del campo eléctrico total en el eje x. Para 
expresar el vector campo eléctrico total debemos multiplicar el módulo por el vector 
unitario i. 


 i
ax
xQ
E
2/322
0 )(4
1

 
 
En la expresión de Ex puede verse claramente que el campo eléctrico para x = 0 
resulta cero. Pues, las cargas en los ladosopuestos del anillo empujarían en 
direcciones opuestas a una carga de prueba que se situara en el centro, y la suma de 
las fuerzas sería cero. 
Cuando el punto del campo P se toma mucho más lejos del anillo sobre el eje x (es 
decir, x >> a), a2 resulta despreciable en comparación con x y el denominador toma un 
valor cercano a x3, y la expresión se convierte aproximadamente en: 
 
2
04
1
x
Q
Ex

 
 
Campo eléctrico, generado por 
un anillo con carga Q (1.7) 
Campo eléctrico, generado por 
un anillo cuando x >> a (1.8) 
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18 
En otras palabras, cuando estamos muy lejos del anillo, el tamaño a es despreciable 
en comparación con la distancia x, su campo es el mismo que el de una carga puntual. 
En este ejemplo, usamos un argumento de simetría para concluir que tiene sólo una 
componente x en un punto sobre el eje de simetría del anillo. Este capítulo y los 
posteriores utilizaremos argumentos de simetría; sin embargo, recuerde que estos 
únicamente se utilizan en casos especiales. En la figura 7, el argumento de simetría no 
se aplica para un punto en el plano xy que no esté sobre el eje x. 
 
 
1.7.6 |Campo eléctrico de una línea con carga 
 
Una carga eléctrica Q, positiva está distribuida uniformemente a lo largo de una 
línea con longitud de 2a que se ubica sobre el eje y, entre y = a y y = -a. (Ésta sería la 
representación de una varilla cargada). Como hicimos en el ejemplo anterior, 
calcularemos el campo eléctrico en un punto P sobre el eje x, a una distancia x del 
origen. 
 
Figura 8. Línea con carga eléctrica positiva (varilla cargada). 
 
Nuestra incógnita es el campo eléctrico en el punto P debido a una distribución 
continua de carga en función de la coordenada x. El eje x es el centro perpendicular de 
la línea cargada, por lo que, al igual que en el ejemplo de la figura 7, podemos utilizar 
el argumento de simetría. 
Si dividimos la línea de carga en segmentos infinitesimales, cada uno de estos 
actuará como una carga puntual dQ; sea dy la longitud de cualquier segmento 
localizado a la altura y. Si la carga se distribuye de manera uniforme, la densidad lineal 
de carga  en cualquier punto de la línea será igual a: 
 
a
Q
2
 
 
Donde  resulta la carga total dividida entre la longitud total. Como de  es constante, 
cada diferencial de longitud dl, tendrá una carga dQ, por lo tanto: 
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19 
dy
dQ
 
 
Entonces, la carga dQ en un segmento de longitud dy es: 
 
dydQ  o sea 
a
Qdy
dQ
2
 
 
El diferencial del campo en el punto P debido a dQ resulta: 
 
2
04
1
r
dQ
dE

 
 
)(24
1
22
0 yxa
Qdy
dE



 
 
Como ya se vio en el anillo con carga, la sumatoria de las componentes en y de dE 
vale cero, por lo que el campo en el punto P resulta solo de la sumatoria de las 
componentes en el eje x de dE, por lo tanto: 
 
cos.dEdEx  y 
22
cos
yx
x

 
 
2222
0 )(24 yx
x
yxa
dyQ
dEx



 
 
2/322
0 )(24 yxa
xdyQ
dEx



 
 




a
a
x
yxa
xdyQ
E
2/322
0 )(24
 
 
22
0
2/322
0
1
4)(24
1
axx
Q
yx
dy
a
Qx
E
a
a
x



 


 
 
22
04
1
axx
Q
Ex



 
 
Ahora, realizaremos el mismo análisis que hicimos para el anillo cargado, primero se 
verá lo que ocurre en el límite en que x es mucho más grande que a. En ese caso, se 
puede despreciar a en el denominador y el resultado se convierte en: 
 
2
04
1
xx
Q
Ex

 
 
2
04
1
x
Q
Ex

 
 
Campo eléctrico, generado por 
una línea con carga Q (1.9) 
Campo eléctrico, generado por 
una línea con carga Q cuando 
x >> a 
(1.10) 
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20 
Esto significa que si el punto P se halla muy lejos de la línea de carga en 
comparación con la longitud de la línea, el campo en P es el mismo que el de una carga 
puntual. Se obtiene un resultado similar que para el anillo cargado del ejemplo 
anterior. 
 
Ahora si expresamos la ecuación (1.10) en términos de la densidad lineal de carga 
Q = 2a. Al sustituir y simplificar, se obtiene: 
 
1
4
1
2
2
0


a
x
xa
Q
Ex

 Entonces 
1
2
1
2
2
0


a
x
x
Ex


 
 
Ahora, si consideramos: a >> x x2/a2 ≈ 0 
 
x
Ex

02
1
 
 
Así, el campo eléctrico debido a una línea de carga de longitud infinita es 
proporcional a 1/r, y no a 1/r2 como fue el caso para una carga puntual. 
Si  es positiva, la dirección de E es radial hacia fuera con respecto a la recta, y si  
es negativa es radial hacia dentro. 
En la naturaleza no existe una línea infinita de carga; no obstante, cuando el punto 
donde queremos averiguar el campo está suficientemente cerca de la línea, hay muy 
poca diferencia entre el resultado para una línea infinita y el caso finito de la vida real. 
Por ejemplo, si la distancia r del punto del campo desde el centro de la línea es del 1 % 
de la longitud de ésta, el valor de E difiere menos del 0,02 % del valor para la longitud 
infinita. 
 
 
1.7.7 |Campo eléctrico de un disco con carga uniforme 
 
En este caso calcularemos el campo eléctrico que genera un disco de radio R con 
densidad superficial de carga  (carga por unidad de área) positiva y uniforme, en un 
punto P a lo largo del eje del disco a una distancia x de su centro. Suponga que x es 
positiva. 
Este ejemplo se parece a los dos casos anteriores, en donde debemos encontrar el 
campo eléctrico a lo largo del eje de simetría de una distribución de carga continua. La 
figura 9 ilustra esta situación, representaremos la distribución de carga como un 
conjunto de anillos concéntricos de carga dQ. Como ya obtuvimos la ecuación para 
calcular el campo eléctrico de un solo anillo sobre su eje de simetría, solo restará 
sumar las contribuciones de todos los anillos que conformarían el disco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9. Disco con carga eléctrica uniforme. 
Campo eléctrico, generado por 
una línea con carga Q cuando 
a >> x 
(1.11) 
dr 
P 
dEx 
dQ 
Q 
x 
r R 
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21 
Un anillo cualquiera tiene una carga dQ, radio interior r y radio exterior r + dr. Su 
área dA es aproximadamente igual a su ancho dr multiplicado por su longitud de 
circunferencia 2r, o sea: 
dA ≈ 2rdr 
 La carga por unidad de área es  : 
 = dQ/dA 
 Por lo que la carga del anillo es: 
dQ =  dA 
 
dQ = 2 rdr 
 
Se reemplaza esta expresión en lugar de Q en la ecuación para el campo debido a 
un anillo que calculamos con anterioridad, y también se sustituye el radio del anillo a 
por r. La componente del campo dEx en el punto P debido a la carga dQ de un anillo 
es: 
2/322
0 )(4
1
rx
xdQ
dEx



 
 
2/322
0 )(
)2(
4
1
rx
rdrx
dEx




 
 
Para calcular el campo total debido a todos los anillos que conforman el disco 
debemos integrar dEx sobre r, desde r = 0 hasta r = R: 
 
 

R
x
rx
rdrx
E
0
2/322
0 )(
)2(
4
1 

 
 
 

R
x
rx
rdrx
E
0
2/322
0 )(2

 
 
Note que x es una constante, y que la variable de integración es r. La integral se 
evalúa usando la sustitución z = x2 + r2. Trabajando matemáticamente obtenemos el 
siguiente resultado: 
 








22
0
11
2 Rxx
x
Ex


 
 






















2
2
20 1
11
2
x
R
x
x
x
Ex
















2
2
0
1
111
2
x
Rxx
x


 
 














2
2
0
1
1
1
2
x
R
Ex


 
 
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22 
Esta última expresión resulta ser el campo eléctrico en el punto P del disco cargado. 
Ahora, suponga que incrementamos el radio R del disco y que se agrega carga en 
forma simultánea, de manera que la densidad superficial de carga  (carga por unidad 
de área) se mantenga constante. En el límite en que R es mucho mayor que la 
distancia x entre el punto P y el disco, el siguiente término se vuelve despreciable por 
lo pequeño: 
2
2
1
1
x
R

 
 
Con lo que se obtiene: 
 
02

xE 
 
El resultado final no contiene la distancia x al plano (al disco con radio infinito), por 
lo que el campo eléctrico producido por una lámina cargada, plana e infinita, es 
independiente de su distancia a la lámina. La dirección del campo es perpendicular en 
cualquier parte de la lámina y se aleja de ésta. Como ha de esperarse, no existe una 
lámina infinita de carga, pero si las dimensiones de la lámina son mucho más grandes 
que la distancia x entre el punto P y la lámina, el valor del campo eléctrico está 
aproximado al que indica la última expresión encontrada. 
 
 
1.7.8 |Campo eléctrico de dos láminas infinitas con carga opuesta 
 
Se colocan dos láminas planas infinitas y paralelas entre sí, separadas por una 
distancia d (figura 10). La lámina inferior tiene una densidad de carga superficial 
uniforme y positiva, y la lámina superior tiene una densidad de carga superficial 
uniforme y negativa -, ambas de la misma magnitud. Ahora, calcularemos el campo 
eléctrico en la región entre las dos láminas, arriba de la lámina superior y debajo de la 
lámina inferior. 
Como ya conocemos el campo eléctrico debido a una sola lámina cargada plana e 
infinita; a partir de esto, encontraremos el campo eléctrico debido a las dos láminas 
utilizando el principio de superposición. 
 
 
Figura 10. Campo eléctrico debido a dos láminas cargadas planas e infinitas. 
Campo eléctrico, generado por 
un disco con  constante 
cuando R >> x 
(1.12) 
Esp. Ing. Francisco A. Gómez López 
Física II, Unidad I – Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Tucumán / 2019 
23 
Sea la lámina 1 con carga positiva, y la lámina 2 con carga negativa; los campos 
debidos a cada lámina son E1 y E2 respectivamente. Como cada lámina genera un 
campo eléctrico E = /20 pero de distintos sentidos fuera de las dos placas, el campo 
total resulta igual a cero. Sin embargo dentro de las dos placas los campos generados 
por las láminas tienen el mismo sentido, por lo que: 
 
000
21
22 





 EEE 
 
0

E 
 
Como se considera que las láminas son infinitas, el resultado no depende de la 
separación d. 
Observe que el campo entre las láminas con cargas opuestas es uniforme. Esto es 
lo que sucede cuando se conectan dos placas conductoras grandes y paralelas, a las 
terminales de una batería. La batería hace que las dos placas adquieran cargas 
contrarias, lo cual origina entre ellas un campo que en esencia es uniforme, si la 
separación de las placas es mucho menor que las dimensiones de las placas. En los 
capítulos posteriores estudiaremos el modo en que una batería produce la separación 
de cargas positivas y negativas. Un arreglo de dos placas conductoras con cargas 
opuestas se llama capacitor, éste, es un dispositivo que tienen una utilidad práctica 
enorme y el cual estudiaremos en detalle. 
 
 
1.8 |Dipolos eléctricos 
 
Un dipolo eléctrico es un par de cargas puntuales de igual magnitud y signos 
opuestos (una carga positiva q y una carga negativa -q) separadas por una distancia d. 
Muchos sistemas físicos, desde moléculas, hasta antenas de televisión, se pueden 
describir como dipolos eléctricos. Este concepto es muy importante para el análisis de 
los materiales dieléctricos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11. Molécula de agua, claro ejemplo de un dipolo eléctrico. 
 
La figura 11 muestra una molécula de agua (H2O), que en muchos sentidos se 
comporta como un dipolo eléctrico. La molécula de agua en su totalidad es 
eléctricamente neutra; no obstante, los enlaces químicos dentro de la molécula 
ocasionan un desplazamiento de la carga. El resultado es una carga neta negativa en el 
+ 
- 
Campo eléctrico, generado por 
dos placas infinitas con cargas 
opuestas 
(1.13) 
Esp. Ing. Francisco A. Gómez López 
Física II, Unidad I – Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Tucumán / 2019 
24 
extremo del oxígeno de la molécula, y una carga neta positiva en el extremo del 
hidrógeno, formando así un dipolo. El efecto es equivalente al desplazamiento de un 
electrón alrededor de sólo 4x10-11 m (aproximadamente el radio de un átomo de 
hidrógeno); sin embargo, las consecuencias de tal desplazamiento son profundas. El 
agua es un magnífico solvente para las sustancias iónicas como la sal de mesa (cloruro 
de sodio, NaCl) precisamente porque la molécula de agua es un dipolo eléctrico. 
Cuando se disuelve en agua, la sal se disocia en un ion de sodio positivo (Na+) y un ion 
de cloro negativo (Cl-), los cuales tienden a ser atraídos hacia los extremos negativo y 
positivo, respectivamente, de las moléculas de agua; esto mantiene los iones en 
solución. Si las moléculas de agua no fueran dipolos eléctricos, el agua sería un mal 
solvente, y casi toda la química que ocurre en soluciones acuosas sería imposible. Esto 
incluye todas las reacciones bioquímicas que hay en las formas de vida terrestres. En 
un sentido muy real, ¡nuestra existencia como seres humanos depende de los dipolos 
eléctricos! 
Ahora estudiaremos las fuerzas y pares de torsión que experimenta un dipolo 
cuando se coloca en un campo eléctrico externo (es decir, un campo originado por 
cargas fuera del dipolo). 
 
 
1.8.1 |Fuerza y par de torsión en un dipolo eléctrico 
 
Supongamos que colocamos un dipolo eléctrico en una región del espacio donde 
existe un campo eléctrico uniforme E como se indica en la figura 12. Las fuerzas F+ y 
F- en las dos cargas tienen una magnitud de qE, pero sus direcciones son opuestas y 
su suma es igual a cero. La fuerza neta sobre un dipolo eléctrico en un campo eléctrico 
externo uniforme es cero. 
 
 
Figura 12. Dipolo eléctrico dentro de un campo eléctrico uniforme. 
 
Sin embargo, las dos fuerzas no actúan a lo largo de la misma línea de acción, por lo 
que sus pares de torsión no suman cero. Los pares se calculan con respecto al centro 
del dipolo. Sea  el ángulo entre el campo eléctrico E y el eje del dipolo; entonces, el 
brazo de palanca tanto para F+ como para F- es (d/2)sen. El par de torsión de F+ y el 
par de torsión de F- tienen ambos la misma magnitud de (qE)(d/2)sen, y los dos pares 
de torsión tienden a hacer girar el dipolo en el sentido horario (es decir, en la figura 12, 
 se dirige hacia la parte interna de la página). Entonces, la magnitud del par de torsión 
neto es el doble de la magnitud de cualquier par de torsión individual: 
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25 
La magnitud de los pares de torsión 1 y 2 de las fuerzas F+ y F- respectivamente 
son: 
 
 sen
d
qE
2
)(1  
 sen
d
qE
2
)(2  
 
Por lo que la magnitud del par de torsión total  (o momento total del par de 
fuerzas) es la suma de 1 y de 2 por lo tanto: 
 
 sen
d
qEsen
d
qEsen
d
qE
2
)(2
2
)(
2
)(21  
 
 dsenqE)( 
 
Donde dsen es la distancia perpendicular entre las líneas de acción de las dos 
fuerzas. 
El producto de la carga q y la separación d es la magnitud de una cantidad que 
llamaremos momento dipolar eléctrico, que se denota con p: 
 
qdp  
 
Las unidades de p son de carga por distancia [Cm]. Por ejemplo, la magnitud del 
momento dipolar eléctrico de una molécula de agua es p = 6,13x10-30 Cm. 
 
Además, el momento dipolar eléctrico se define como una cantidad vectorial p. La 
magnitud de p está dada por la ecuación (1.14), y su dirección ocurre a lo largo del eje 
dipolar, de la carga negativaa la carga positiva, como se muestra en la figura 12. 
En términos de p, podemos reescribir la ecuación del momento total de la siguiente 
manera: 
 
 pEsen 
 
O en forma vectorial: 
 

 Exp 
Momento Dipolar Eléctrico (1.14) 
Momento total o Torque de un 
dipolo eléctrico 
(1.15) 
Momento total o Torque de un 
dipolo eléctrico 
(1.16) 
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26 
1.9 |Flujo eléctrico 
 
Decimos que existe un flujo eléctrico cuando el campo eléctrico atraviesa una 
determinada área. O sea, supongamos que se tiene un área A, la cual se encuentra 
atravesada por líneas de campo, el flujo eléctrico resulta el producto escalar de los 
vectores E y A. Se debe entender que E, es el valor que tiene el campo sobre un punto 
del área; por lo que si el campo es uniforme (igual módulo, dirección y sentido) E será 
igual en cualquier punto de A. O sea: 
 
AEE

. 
 
cosEAE  
 
EAE  
 
Por lo que puedo expresar al flujo eléctrico a través de un área A como el producto 
de la magnitud del campo E por el área A. El símbolo utilizado para representar el flujo 
eléctrico es la letra griega mayúscula fi. La unidad del flujo eléctrico es el newton metro 
cuadrado por coulomb [Nm2/C]. Observe que si el área es paralela respecto del campo, 
o sea, son perpendiculares los vectores E y A, el flujo será igual a cero (Figura 13.c). La 
dirección de un vector de área se puede representar empleando un vector unitario n 
perpendicular al área; n significa “normal”. De esta forma: 
 
nAA ˆ.

 
 
Un incremento del área implica que más líneas atraviesan el área, lo que significa 
que aumenta el flujo. También, se puede hacer un campo más intenso (mayor 
magnitud) incrementando la densidad de líneas de campo, o sea, aumentar las líneas 
que pasan por unidad de área, esto implica un incremento del flujo eléctrico. 
Si el área A es plana pero no perpendicular al campo entonces son menos las líneas 
de campo que la atraviesan. En este caso, el área que se toma en cuenta es el área 
efectiva que se “observa” al mirar en la dirección de E, ésta es el área A que resulta 
perpendicular al campo, y es igual a Acosϕ (figura 13.b). Como Ecosϕ es la componente 
del campo perpendicular al área, la ecuación E = EAcos se puede expresar como: 
 
AEE  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Plano perpendicular a E b) Plano oblicuo a E c) Plano paralelo a E 
 
Figura 13. Una superficie plana en un campo eléctrico uniforme. El flujo eléctrico a través de la 
superficie es igual al producto escalar del campo eléctrico E y el vector de área A. 
Flujo Eléctrico (1.17) 
Vector área 
(1.18) 
(1.19) 
Flujo Eléctrico 
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27 
1.10 |Introducción a la Ley de Gauss 
 
En física las propiedades de simetría de los sistemas constituyen una herramienta 
importante para simplificar los problemas. Muchos sistemas físicos tienen simetría; 
por ejemplo, un cuerpo cilíndrico no se ve distinto después de hacerlo girar sobre su 
eje, y una esfera de metal con carga se ve igual una vez que se ha hecho girar 
alrededor de cualquier eje que pase por su centro. 
La ley de Gauss utiliza la simetría para simplificar los cálculos del campo eléctrico. 
Por ejemplo, el campo de una distribución de carga en una línea recta o en una hoja 
plana, que se obtuvo en la sección anterior con algunas integrales un tanto difíciles, 
utilizando la ley de Gauss se obtiene en unos cuantos pasos y sin tanto desarrollo 
matemático. La ley de Gauss es un enunciado fundamental acerca de la relación que 
existe entre las cargas eléctricas y los campos eléctricos. Entre otras cosas, la ley de 
Gauss ayuda a entender cómo se distribuye la carga en los cuerpos conductores. O sea, 
dada cualquier distribución general de carga, se encierra con una superficie imaginaria 
y luego se observa el campo eléctrico en distintos puntos de esa superficie imaginaria. 
La ley de Gauss es una relación entre el campo en todos los puntos de la superficie y la 
carga total que ésta encierra. Tal vez esto parezca como otra forma indirecta de 
expresar los fenómenos, pero es una relación sumamente útil. Más allá de su empleo 
como herramienta de cálculo, la ley de Gauss ayuda a tener una comprensión más 
profunda de los campos eléctricos. 
 
Expliquemos la Ley de Gauss, Supongamos un campo de una carga puntual positiva 
q que está representado por líneas que parten en forma radial en todas direcciones. 
Imaginemos esta carga rodeada por una superficie esférica de radio r, con la carga en 
su centro. El área de esta superficie imaginaria es 4r2, si el número total de líneas de 
campo que salen de q es N, el número de líneas por unidad de superficie (densidad de 
líneas) sobre la superficie esférica será: N/4r2. Ahora, imaginemos una segunda 
esfera concéntrica con la primera, pero de radio 2r. Su área será 4(2r)2 y el número 
de líneas por unidad de superficie es: N/16r2, la cuarta parte de la densidad de líneas 
de la primera esfera, figura 14. Esto se debe a que, a la distancia 2r, la magnitud del 
campo es solo la cuarta parte del campo que hay a la distancia r. Esto verifica la 
afirmación cualitativa que se hizo cuando se vieron las líneas de campo, que la 
densidad de líneas es proporcional a la magnitud del campo. 
 
 
Densidad de líneas en A1 es: 24 r
N

 el Campo Eléctrico es: 
2
0
1
4
1
r
q
E

 
 
Densidad de líneas en A2 es: 2)2(4 r
N

 el Campo Eléctrico es: 
2
0
2
)2(4
1
r
q
E

 
 
216 r
N

 
2
0
2
16
1
r
q
E

 
 





244
1
r
N

 
4
1
2
E
E  
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28 
Resumiendo, disminuye la magnitud del campo en la misma proporción que la 
densidad de líneas de campo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) N líneas de campo atraviesan las superficies A1 y A2 b) Campo eléctrico en las superficies 
 
Figura 14. Carga q rodeada de dos esferas concéntricas, puede observarse que en número N de 
líneas de campo atraviesa las dos esferas, por lo que resulta el mismo para las dos. 
 
 
Ahora, analicemos el flujo eléctrico para las dos esferas concéntricas de la figura 14, 
b). Sea E1, el flujo eléctrico de la superficie A1 y, E2 el flujo eléctrico de la superficie 
A2. La magnitud E del campo eléctrico en cada punto de la superficie está dada por: 
 
2
04
1
r
q
E

 
 
En cada punto de la superficie E, es perpendicular a ésta, y su magnitud es la misma 
en todos los puntos. El flujo eléctrico total es el producto de la magnitud del campo E 
por el área total A = 4r2 de la esfera, entonces E1 y E2 serán: 
 
 111 AEE  222 AEE  
 2
2
0
1 4
4
1
r
r
q
E 

 2
2
0
2 )2(4
)2(4
1
r
r
q
E 

 
 
 
0
1

q
E  
0
2

q
E  
 
Estas expresiones demuestran que el E1 y E2 son iguales e independientes del 
radio r, y solo dependen de la carga q y de la permitividad del medio. Esto es así 
debido a que el campo decrece en la misma proporción que la superficie crece. 
+ + 
E1 
E2 
2r 
r 
q 
A1 
A2 
(1.20) Flujo Eléctrico de una carga puntual q 
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29 
Lo que se cumple paratoda la esfera también se cumple para cualquier región de su 
superficie. En la figura 15, sobre la esfera de radio R, está demarcada un área dA que 
se proyecta sobre la esfera de radio 2R con líneas que van desde el centro y que pasan 
por puntos sobre el borde de dA. El área proyectada sobre la esfera mayor es 
evidentemente 4dA. Pero como el campo eléctrico debido a una carga puntual es 
inversamente proporcional a r2, la magnitud del campo sobre la esfera de radio 2R es 
¼ de la magnitud sobre la esfera de radio R. Así, el flujo eléctrico es el mismo para los 
dos diferenciales de áreas dA y 4dA e independiente del radio de la esfera. 
 
 
Figura 15. Proyección de un elemento de área dA de una esfera de radio R sobre una esfera 
concéntrica de radio 2R. La proyección multiplica las dimensiones lineales por 2, por lo que el elemento de 
área sobre la esfera más grande es 4dA. 
 
Esa técnica de proyección demuestra cómo generalizar el análisis a superficies no 
esféricas. En la figura 16a aparece una esfera de radio R encerrada por una superficie 
de forma irregular. Considere un pequeño elemento de área dA sobre la superficie 
irregular; observe que esta área, es mayor que el elemento de área correspondiente a 
una superficie esférica a la misma distancia de q. Si una normal a dA forma un ángulo  
con una línea de campo radial que sale de q, dos lados del área proyectada sobre la 
superficie esférica se ven disminuidos en un factor cos (figura 16b). Los otros dos 
lados permanecen aproximadamente sin cambio. De esta forma, el diferencial de flujo 
a través del elemento de superficie esférica, es igual al diferencial de flujo a través del 
correspondiente elemento de superficie irregular y vale EdAcos. 
Se puede dividir toda la superficie irregular en elementos dA, calcular para cada uno 
de ellos el flujo eléctrico EdAcos, y sumar los resultados por integración. Cada uno de 
los elementos de área se proyecta sobre un elemento de superficie esférica 
correspondiente. Así, el flujo eléctrico total que atraviesa la superficie irregular, debe 
ser el mismo que el flujo total a través de una esfera, el cual es igual a q/0. Por lo 
tanto, para la superficie irregular: 
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30 
cosEdAd E  
 
0
cos


q
EdAE   
 
0
q
dAEE    
 
0
.

q
dAEE  

 
 
La ecuación (1.21) se cumple para una superficie de cualquier forma o tamaño, 
siempre y cuando sea una superficie cerrada que contenga la carga q. El círculo en el 
signo de la integral indica que la integral siempre se toma sobre una superficie cerrada. 
Los elementos de área y los vectores unitarios correspondientes siempre apuntan 
hacia fuera del volumen encerrado por la superficie. El flujo eléctrico es positivo en 
aquellas áreas en las que el campo eléctrico apunta hacia fuera de la superficie y 
negativo donde apunta hacia dentro. Además, es positivo en los puntos en que apunta 
hacia el exterior de la superficie y negativo en los que apunta hacia el interior de ésta. 
Si la carga puntual en la figura 16 es negativa, el campo está dirigido en forma radial 
hacia dentro; en ese caso, el ángulo  es mayor de 90°, su coseno es negativo y la 
integral en la ecuación (1.21) es negativa. Pero como q también es negativa, la 
ecuación (1.21) se cumple. 
 
 
Figura 16. Cálculo del flujo eléctrico que pasa a través de una superficie no esférica. 
 
Para una superficie cerrada que no encierre carga, el flujo eléctrico es cero, éste es 
el enunciado matemático que indica que cuando una región no contiene carga, 
(1.21) LEY DE GAUSS 
Esp. Ing. Francisco A. Gómez López 
Física II, Unidad I – Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Tucumán / 2019 
31 
cualquier línea de campo producida por una carga afuera de la región y que entran por 
un lado deben salir por el otro. La siguiente figura demuestra lo expuesto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 17. Flujo eléctrico que entra y sale de una superficie cerrada. 
 
0.  

dAEE 
 
 
Suponga que la superficie encierra no sólo una carga puntual q, sino varias 
cargas, q1, q2, q3, … . El campo eléctrico total E en cualquier punto del espacio, es la 
suma vectorial de los campos E de las cargas individuales. Sea Qenc la carga total 
encerrada por la superficie, donde Qenc = q1 + q2 + q3 + … . Sea también E el campo 
total en la posición del elemento de área de la superficie dA, y sea E su componente 
perpendicular al plano de ese elemento (es decir, paralelo a dA). Luego, se puede 
escribir una ecuación como la (1.21) para cada carga y su campo correspondiente y 
luego sumar los resultados. Al hacerlo se obtiene el enunciado general de la ley de 
Gauss: 
 
0
.

enc
E
Q
dAE  

 
 
0
cos.

 encE
Q
dAEdAEdAE    

 
 
La ley de Gauss ofrece una relación entre el campo eléctrico en una superficie 
cerrada y la distribución de carga dentro de esa superficie. 
 
 
1.11 |Aplicaciones de la Ley de Gauss 
 
La ley de Gauss es válida para cualquier distribución de cargas y cualquier 
superficie cerrada. La ley de Gauss se puede utilizar de dos maneras. Si se conoce la 
distribución de la carga y tiene simetría suficiente que permita evaluar la integral en la 
ley de Gauss, se puede obtener el campo. O si se conoce el campo, es posible usar la 
Flujo de una superficie 
que no contiene carga 
encerrada 
(1.22) Enunciado general de la Ley de Gauss 
Esp. Ing. Francisco A. Gómez López 
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32 
ley de Gauss para encontrar la distribución de carga, como las cargas en superficies 
conductoras. 
En esta sección se presentan ejemplos de ambas clases de aplicaciones. Cuando 
los estudie, observe el papel que desempeñan las propiedades de la simetría de cada 
sistema. Se empleará la ley de Gauss para calcular los campos eléctricos ocasionados 
por varias distribuciones de carga sencillas. 
En problemas prácticos es frecuente encontrar situaciones en las que se desea 
conocer el campo eléctrico causado por una distribución de carga en un conductor. 
Estos cálculos se facilitan por el siguiente hecho notable: 
 
Cuando en un conductor sólido se coloca un exceso de carga que se encuentra 
en reposo, la carga se distribuye en su totalidad en la superficie, no en el interior del 
material. (Con el término exceso se quiere decir cargas distintas de los iones y 
electrones libres que constituyen el conductor neutral.) 
 
La demostración es la siguiente. En una situación electrostática (con todas las 
cargas en reposo) el campo eléctrico en cada punto en el interior de un material 
conductor es igual a cero. Si no fuera cero, las cargas en exceso se moverían, y esto no 
es lo que sucede. 
 
 
1.11.1 |Campo eléctrico de una esfera conductora con carga 
 
Supongamos que tenemos una esfera conductora sólida de radio R con carga Q 
uniformemente distribuida por toda la superficie, y se desea determinar el campo 
eléctrico tanto dentro, en la superficie y fuera de la esfera. Este sistema tiene simetría 
esférica, por lo tanto, para aprovechar la simetría, se toma la superficie gaussiana 
como una esfera imaginaria de radio r con centro en la esfera conductora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 18. Campo eléctrico de una esfera conductora con carga. 
 
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33 
Para calcular el campo afuera del conductor, se toma r de forma que sea mayor que 
el radio R del conductor; para obtener el campo en la superficie, se toma r igual a R; 
para obtener el campo en el interior, se toma r menor que R. Por lo tanto, el punto 
donde se desea calcular el campo eléctrico debe quedar sobre la superficie 
gaussiana. 
 
Decir que el sistema tiene simetría esférica significaque si se hace girar con 
cualquier ángulo alrededor de cualquier eje que pase por el centro, después de la 
rotación, el sistema es indistinguible del original antes del giro. La carga es libre de 
moverse en el conductor y no hay nada que la haga concentrarse más en ciertas 
regiones que en otras. Por lo tanto, se concluye que la carga está distribuida de 
manera uniforme sobre la superficie. 
 
La simetría también muestra que la dirección del campo eléctrico debe ser radial, 
como se ilustra en la figura 18. Si el sistema se gira otra vez, la disposición del campo 
debe ser idéntica al original. Si el campo tuviera una componente en algún punto que 
fuera perpendicular a la dirección radial, esa componente tendría que ser distinta 
después de hacer al menos algunas rotaciones. Entonces, no puede haber tal 
componente y el campo debe ser radial. Por la misma razón, la magnitud E del campo 
sólo puede depender de la distancia r desde el centro y debe tener el mismo valor en 
todos los puntos de una superficie esférica concéntrica respecto de la esfera 
conductora. 
La elección de una esfera como superficie gaussiana aprovecha estas propiedades 
de simetría. 
 
En primer lugar: encontraremos el campo fuera del conductor, por lo que se elige 
r > R. Todo el conductor se encuentra dentro de la superficie gaussiana, de manera 
que la carga encerrada por la superficie gaussiana es Q. El área de la superficie 
gaussiana es 4r2. El campo E es constante, sobre toda la superficie gaussiana y 
perpendicular a cada uno de sus puntos. Por lo anterior, la integral del flujo resulta: 
 
0
2 )4(cos


Q
rEdAEdAEE    
 
2
04
1
r
Q
E

 
 
Esta expresión del campo en cualquier punto afuera de la esfera (r > R) es la misma 
para una carga puntual; el campo debido a la esfera con carga es equivalente al que 
habría si toda la carga estuviera concentrada en su centro. 
 
En segundo lugar: Inmediatamente afuera de la superficie de la esfera, donde r = R. 
 
2
04
1
R
Q
E

 
 
En tercer lugar: Para calcular el campo dentro del conductor, se usa una superficie 
gaussiana esférica con radio r < R. De nuevo, la simetría esférica dice que 
(1.23) 
Campo eléctrico en un 
punto fuera de la esfera 
conductora cargada 
(1.24) 
Campo eléctrico en un punto 
sobre la superficie de la 
esfera conductora cargada 
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34 
E(4r2) = Qenc/0. Pero como toda la carga está distribuida sobre la superficie del 
conductor, la superficie gaussiana (que está por dentro de la esfera conductora) no 
encierra ninguna carga, por lo que Qenc = 0, y el campo eléctrico en el interior del 
conductor es igual a cero. 
 
 
1.11.2 |Campo eléctrico de una carga lineal 
 
Supongamos que una carga eléctrica positiva está distribuida de manera uniforme a 
lo largo de un alambre delgado de longitud infinita, con una densidad de carga lineal  
(carga por unidad de longitud). 
Ésta es una representación aproximada del campo de un alambre finito con carga 
uniforme, siempre y cuando, la distancia del alambre al punto donde queremos 
averiguar el campo sea mucho menor que la longitud del alambre. 
El sistema tiene simetría cilíndrica. El campo debe apuntar hacia fuera de las cargas 
positivas. Para determinar la dirección de E con más precisión, se usa la simetría, como 
se hizo en 1.11.1. 
La simetría cilíndrica significa que el sistema puede girarse cualquier ángulo 
alrededor de su eje y desplazarse cualquier distancia a lo largo del eje; en cada caso el 
sistema resultante es indistinguible del original. Por lo tanto, E no cambia en ningún 
punto cuando se efectúa cualquiera de estas operaciones. El campo no puede tener 
ninguna componente paralela al conductor; si la tuviera habría que explicar por qué las 
líneas del campo que comienzan en el alambre apuntan en una dirección paralela al 
alambre y no en la otra. Asimismo, el campo no puede tener ninguna componente 
tangente a un círculo en un plano perpendicular al alambre con su centro en el 
alambre. Si así fuera, sería necesario explicar por qué la componente señala en una 
dirección alrededor del conductor y no en la otra. Todo lo que queda es una 
componente radial hacia fuera del conductor en cada punto. Por lo tanto, las líneas de 
campo afuera de un alambre infinito con carga uniforme son radiales y se localizan 
en planos perpendiculares al alambre. La magnitud del campo sólo depende de la 
distancia radial desde el alambre. 
Estas propiedades de simetría sugieren que, como superficie gaussiana, se utilice un 
cilindro con radio arbitrario r y longitud arbitraria l, con sus extremos perpendiculares 
al conductor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 19. Superficie gaussiana cilíndrica para una línea cargada infinita. 
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35 
La integral de superficie para el flujo eléctrico del cilindro, se puede descomponer 
en la suma de una integral sobre cada extremo plano del cilindro y otra sobre el cuerpo 
del cilindro. 
A través de los extremos no hay flujo, ya que el vector campo E y el vector 
diferencial área dA son perpendiculares. Sin embargo si existe flujo en las paredes del 
cilindro, ya que como se muestra en la figura 19, el campo y el diferencial de área son 
paralelos en cualquier punto sobre el cuerpo del cilindro. El área del cuerpo del 
cilindro resulta 2πrl (Para hacer un cilindro de papel de radio r y altura l, se necesita un 
rectángulo de papel de ancho 2πr, altura l y área 2πrl). De ahí que el flujo total E a 
través de todo el cilindro sea igual a la suma del flujo a través de las paredes laterales, 
y el flujo a través de los dos extremos que es cero. O sea: 
 
0
)2(

 encE
Q
rlE  
 
Por último, se necesita la carga total encerrada en la superficie gaussiana, que es la 
carga por unidad de longitud multiplicada por la longitud del alambre dentro de la 
superficie gaussiana: 
 
l
Qenc por lo tanto lQenc  
Reemplazando: 
0
)2(



l
rlE  
 
r
E

02
1
 
 
Éste es el mismo resultado que se obtuvo en 1.7.6 en la ecuación (1.10) por medios 
mucho más laboriosos, resolviendo integrales. Queda claro el objeto de la ley de 
Gauss, encontrar el campo con unos simples pasos matemáticos. 
Se ha supuesto que  es positiva. Si fuera negativa, E estaría dirigido radialmente 
hacia el interior, en dirección de la línea de carga, y en la expresión anterior de la 
magnitud del campo E se debería interpretar  como la magnitud (valor absoluto) de 
la carga por unidad de longitud. 
 
Observe que aunque toda la carga en el conductor contribuye al campo, al aplicar la 
ley de Gauss sólo se considera la parte de la carga total que está dentro de la superficie 
gaussiana. Esto tal vez parezca extraño; parece como si se hubiera obtenido la 
respuesta correcta ignorando parte de la carga y que el campo de un alambre corto de 
longitud l fuera el mismo que el de otro muy largo. Pero al considerar la simetría del 
problema sí se incluye toda la carga en el conductor. 
Si el alambre es corto, no habría simetría respecto al eje, y el campo no sería de 
magnitud uniforme en la superficie gaussiana. En ese caso, la ley de Gauss deja de ser 
útil y no podría usarse para calcular el campo; el problema se manejaría mejor con la 
técnica de integración empleada en 1.7.6, ecuación (1.9). 
Se puede utilizar una superficie gaussiana como la de la figura 19 para demostrar 
que el campo en puntos situados fuera de un cilindro largo con carga uniforme es el 
mismo que si toda la carga se concentrara en una línea a lo largo de su eje. También se 
(1.25) Campo eléctrico en una línea 
delgada infinita cargada 
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