correccion_t2

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1. Correccion Tarea 2
1.1. Ejercicio 1
Supongamos que nuestro sistemas de cordenas tiene el eje ŷ positivo hacia
arriba, para resolver el campo en el punto a, lo hacemos por superposicion (de
la esfera grande con carga Q y la esfera chica con carga q), que llamaremos
Ea1 y Ea2 repectivamente,por lo tanto tenemos que:
Ea = Ea1 − Ea2 = 0 −
q
(a
2
)2
(−ŷ) = 2
3
πρa(ŷ)
ya que el vector r̂ = −ŷ, debido a que la carga apunta en la direccion,
contraria al eje ŷ
De la misma forma resolvemos el campo en el punto b:
Eb = Eb1 − Eb2 =
Q
a2
(−ŷ) − q3a
2
(−ŷ) = −34
27
ρπa(ŷ)
donde Q = 4
3
ρπa3 y q = 1
6
ρπa3
Ahora para encontrar el potencial (este resultado, Ud. deberia conocerlo),
sabemos que:
Φ(r) =
Q
2R
(
3 − r
2
R2
)
, para r < R
Φ(r) =
Q
r
, para r > R
utilizando esto, se encuentra que el potencial en a y b es:
Φa = Φa1 − Φa2 =
3Q
2a
− qa
2
=
5
3
ρπa2
Φb = Φb1 − Φb2 =
Q
a
− q3
2
a
=
11
9
ρπa2
1
1.2. Ejercicio 2
Viendo las sumatorias de fuerza (mecanica y coulombiana) tenemos que:
− Q
2
4π2 cos2(θ)
− 2qQ
r2
cos(θ) + 2T cos(θ) = 0
− Q
2
4π2 sin2(θ)
− 2qQ
r2
sin(θ) + 2T sin(θ) = 0
Dividiendo ambas ecuaciones
tan(θ)
(
Q2
4r2 cos2(θ)
+
Qq
r2
cos(θ)
)
=
q2
4r2 sin(θ)
+
Qq
r2
sin(θ)
resolviendo, obtenemos:
q2
Q2
= tan3(θ)
2
1.3. Ejercicio 3
Una esfera de radio R y carga conductora Q
Sabemos que:
Er<R = 0
Er>R =
Q
r2
ademas Φ(r) = −
∫
E(r) · dr, integrando y aplicando continuidad en r =
R, obtenemos que:
Φr<R =
Q
R
Φr>R =
Q
r
2 4 6 8
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Potencial
3
Una esfera de radio R, carga Q y densidad de carga ρ cte
Er<R =
Qr
R3
Er>R =
Q
r2
realizando el mismo procediemiento para encontrar el potencial que en el
caso anterior, tenemos que:
Φr<R =
Q
2R
(
3 − r
2
R2
)
Φr>R =
Q
r
2 4 6 8
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Potencial
4
Una esfera de radio R y densidad de carga ρ = Ae−αr
Ahora el problema es un poco distinto, pq la carga varia con el radio,
reslviendo por gauss tenemos que:∫
E · da = 4πQ = 4π
∫ π
0
∫ 2π
0
∫ r
0
Ae−αrr2 sin(θ) dr dθ dφ
Integrando por partes (2 veces), obtenemos que:
Er<R = B
(
2
α3
− e−αr (2 + 2rα + r
2α2)
α3
)
Er>R =
Q
r2
(donde B reune todas mis constantes), al integrar el potencial da:
Φ(r)r<R = −Be−αr
(
6
α4
+
4r
α3
+
r2
α2
)
− 2r
α3
Φ(r)r>R =
Q
r
5
Dos cilindros concentricos de radio a,b y densidad de carga σ
Por gauss, tenemos que:
Er<a = 0
Ea<r<b =
4πσa
r
Er>b =
4πσ(a + b)
r
Al integrar el campo nos da que el potencial es:
Φr<a = C
Φa<r<b = −4πσa ln(r) + C ′
Φr>b = −4πσ(a + b) ln(r) + C ′′
Para obtener estas constantes se debe suponer un cero del potencial y
aplicar condiciones de borde.
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