P2_sep02[1]

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EXAMEN DE FISICA II 16/09/02 
PROBLEMA 2
Una chapa metálica de conductividad σ tiene la forma de una corona circular de radio interno a = 10 cm y
externo b = 27 cm y espesor c = 3 cm. En la región r < a se tiene un campo magnético uniforme
B = B0e
–ktuz, donde las constantes B0 = 1 T y k = 0,04 s
-1 y uz tiene la dirección del eje de la chapa, tal y
como se indica en la figura. Determinar:
a) La densidad de corriente inducida y la potencia instantánea disipada en el conductor.
b) ¿De qué material debe ser la chapa metálica para que al cabo de 15 segundos se haya disipado en la
misma una energía de 3,9 julios?
c) El campo magnético B creado por las corrientes inducidas en el centro del conductor.
Cu Al AISI 302
Conductividad
(107 Ω–1 m–1)
6 3,7 0,14
a) Para a < ρ < b, A l B s⋅ = ⋅ ⇒ =∫ ∫∫d d A B aC S 2
2πρ π
E
A
u u= − = −




=
−∂
∂
∂
∂ ρ ρϕ ϕt t
Ba kB a e kt2 0
2
2 2
Densidad de corriente inducida: J u=
−σ
ρ ϕ
kB a e kt0
2
2
Potencia instantánea disipada: P t d
k B a e
c d k B a c
b
a
eV
V
kt
a
b
kt( ) = ⋅ = ⌠
⌡
= 

∫∫∫
−
−J E
σ πρ
ρ
ρ πσ
2
0
2 4 2
2
2
0
2 4 2
4
2 1
2
ln
= 7 49 10 9 2, × − −σ e kt W
b) Energía disipada en 15 s: U P t dt e dt ekt= ( ) = × = × −( )∫ ∫− −
−
−7 49 10
7 49 10
0 08
19 2
0
15
9
1 2,
,
,
,σ σ
= × = ⇒−6 54 10 3 98, ,σ σ = × − −5 96 107 1 1, Ω m
La chapa debe ser de cobre.
c) El campo creado por un anillo de corriente dI y radio ρ en su
centro es dB
dI
=
µ
ρ
0
2
. Como dI d Jcd= ⋅ =J s ρ, el campo
creado por toda la chapa será:
B
c kB a e d
kB a c
a b
e
kt
a
b
kt= ⌠
⌡
= −


−
−µ σ ρ
ρ
µ σ0 0
2
2 0 0
2
2 2
1
4
1 1
B u= × − −1 4 10 3, e kt z T
z
a
b
c
c
d