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UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACION A DISTANCIA
MECÁNICA Y ONDAS (C.C. FÍSICAS) Cod. Asig. 072244
SEGUNDA PRUEBA PERSONAL, ORIGINAL, SEPTIEMBRE, 2002
INSTRUCCIONES
No se puede utilizar ningún tipo de material auxiliar (ni calculadora). La calificación del examen
será global, pero de manera orientativa se comunica que la puntuación de cada problema es de 3.5
puntos y 1.5 puntos cada cuestión.
PROBLEMAS
1. Sean 2 masas iguales m1 y m2 unidas entre sí por un muelle de constante 2k. La
masa m1 a su vez está unida a la pared con otro muelle de constante 3k, según la
figura. a) Obtener las ecuaciones de movimiento utilizando como coordenadas las
deformaciones x1 y x2 de los muelles. b) Calcule las frecuencias de todos los modos
normales. c) Si m1 inicialmente se desplaza 0.05m. de su posición de equilibrio,
¿qué desplazamiento inicial debe tener m2 para que la frecuencia del movimiento
resultante sea mínima? (considere que ambas masas inicialmente están en reposo).
Solución
mẍ1 = −3kx1 + 2k(x2 − x1) = −5kx1 + 2kx2
mẍ2 = −2k(x2 − x1) = −2kx1 + 2kx2 (1)
Ensayamos soluciones del tipo xi = Ai expiωt, obtenemos el sistema de ecuaciones para las amplitudes
Ai cuyo determinante debe nulo para tener una solución diferente de la trivial. Por lo tanto:¯̄̄̄
¯ 5k −mω2 −2k−2k 2k −mω2
¯̄̄̄
¯ = 0
las soluciones son ω21 =
k
m y ω
2
2 =
6k
m .
Las amplitudes de los modos se calculan comoÃ
(5k −mω2) −2k
−2k (2k −mω2)
!Ã
A1
A2
!
= 0 (2)
Si queremos que el sistema se mueva permanentemente en el modo de menor frecuencia, particulari-
zamos para ω1 Ã
4k −2k
−2k k
!Ã
A1
A2
!
= 0 (3)
que da la solución 2A1 − A2 = 0, entonces el desplazamiento inicial de la masa de la derecha inicial
debe ser de A2 = 2A1 = 0.100m.
2. Un péndulo de longitud l está sometido a un movimiento oscilatorio horizontal
x0(t) = A0 sinωt de su punto de suspensión, (véase la figura). Existe un ligero amor-
tiguamiento despreciable a todos los efectos, pero que permite finalmente al sistema
llegar a un estado estacionario. a) Escribir la ecuación de movimiento del sistema
para pequeñas oscilaciones y hallar la solución estacionaria x(t). b) Utilizando la
relación x(t)/x0(t), demostrar que la línea que forma el punto de suspensión y la len-
teja del péndulo siempre se cruza en un único punto, de manera que el movimiento
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aparente de la lenteja es como si estuviera colgada de un punto fijo con un hilo de
longitud l0. En la figura se presenta la situación cuando ω es pequeña. c) Calcular l0
y discutir qué ocurre con l0 cuando ω se acerca a la frecuencia natural del péndulo.
Discutir qué ocurre cuando ω es mayor que dicha frecuencia natural.
Solución:
Para derivar la ecuación de movimiento, descomponemos el peso en dos fuerzas, una en la dirección
del hilo del péndulo (y cuya magnitud es igual y opuesta a la tensión del hilo) y otra perpendicular
al hilo. El módulo de esta última componente es F = mg sin θ, donde θ es el ángulo que forma el hilo
con la vertical. Por otra parte, tenemos que sin θ = (x− x0)/l, de donde
F = m
g
l
(x− x0)
En la aproximación de pequeñas oscilaciones, la componente x de la fuerza total sobre la lenteja es
muy parecida a esta F que acabamos de calcular, mientras que la componente y es prácticamente
nula, de manera que la segunda ley de Newton se reduce a
ẍ(t) = −g
l
[x(t)− x0(t)] = −g
l
x(t) +
gA0
l
sinωt
que es la ecuación de un oscilador forzado de frecuencia natural ω0 =
p
g/l.
La solución estacionaria de la ecuación anterior es de la forma
x(t) = B sinωt
como puede comprobarse substituyendo esta solución en al ecuación de movimiento, siempre y cuando
se cumpla
B =
ω20
ω2 − ω20
A
Vemos pues que x(t) y x0(t) cumplen
x(t)
x0(t)
=
B
A
=
ω20
ω2 − ω20
que es una cantidad independiente del tiempo. Debe ser obvio de la figura que si estas dos distancias
son proporcionales entre sí, es porque forman parte de una recta.
Obtenemos l0 a partir de consideraciones geométricas, observando que sin θ = x(t)/l0 y también sin θ =
x0(t)/(l
0 − l) de donde
l0 = l
x(t)− x0(t)
x(t)
= l
Ã
1− ω
2 − ω20
ω20
!
= l
ω2
ω20
Vemos que cuando más cerca esté ω de ω0 más parecida será l0 a l. Claramente cuando ω = ω0 estamos
en una situación de resonancia en amplitud, como puede apreciarse del valor B infinito que toma la
amplitud de la lenteja. Si ω > ω0, entonces lo que vemos es que la amplitud de la lenteja tiene signo
opuesto al que tiene el punto de suspensión. Esto se corresponde al dibujo de la izquierda de la Figura
?? del French.
x0(t)
x(t)
l'
l
CUESTIONES
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1. Un cuerpo de masa m se mueve sin rozamiento a lo largo de una recta horizontal,
estando unido con un muelle a un punto fijo que se encuentra a una distancia h
de la recta (véase la figura). Hallar la Lagrangiana del sistema, suponiendo que la
constante de elasticidad del muelle es k y su longitud de reposo es l0.
Solución:
Sea s la coordenada independiente del cuerpo con respecto a la recta. Entonces:
L =
mṡ2
2
− k
2
(
p
h2 + s2 − l0)2 (4)
2. Sea una cuerda tensa por la que se propaga un onda. Sabiendo que el movimiento de
dos puntos de la cuerda situados en las posiciones x1 = 0 y x2 = 1 es respectivamente
y1 = 0.001 sen 2πt e y2 = 0.001 sen (2πt+ π/4) donde todas las longitudes están dadas
en metros, determinar la ecuación de la onda, esto es, la amplitud, frecuencia y
longitud de onda. ¿En qué dirección se propaga la onda?
Solución:
La ecuación general de la ondas es
y = A sen 2π (kx− νt)
Es obvio que A = 0.001m, y como para x = 0 tenemos y = A sen 2π (−νt) ,se deduce que ν = 1 Hz.
De la condición en x2 se tiene que λ = 8m.
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