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UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACION A DISTANCIA
MECÁNICA (C.C. QUÍMICAS) Cod. Asig. 092055
PRIMERA PRUEBA PERSONAL, SEGUNDA SEMANA, FEBRERO, 2002
INSTRUCCIONES
No se puede utilizar ningún tipo de material auxiliar(ni calculadora). La calificación del examen
será global, pero de manera orientativa se comunica que la puntuación de cada problema es de 3.5
puntos y 1.5 puntos cada cuestión.
PROBLEMAS
1. Cuatro partículas idénticas de masa m están unidas por varillas rígidas y sin masa
formando un cuadrado de lado l. El sistema gira con velocidad angular ω alrededor
de un eje perpendicular al plano del cuadrado que pasa por el centro del mismo. Si
las partículas se atraen gravitatoriamente, ¿Cual debe ser ω para que las varillas no
estén sometidas a ningún tipo de tensión? A la luz de este problema, ¿es posible que
existan galaxias autogravitantes en forma de anillo circular de radio arbitrario?
Solución:
En un instante de tiempo dado, elegimos ejes de coordenadas de manera que la partícula 1 está en el
origen, la 2 está en la posición (0, l), la 3 en la (l, l) y la 4 en la (l, 0).
La fuerza gravitatoria que siente una masa m en el origen debido a la presencia de otra masa M
ubicada en r es FG = GMmr3 r.
Por tanto, la fuerza total sobre la partícula 1 estará dada por
FG = Gm2
"
1
l3
(0, l) +
1
l3
(l, 0) +
1
(
√
2l)3
(l, l)
#
=
Gm2
l2
"
(0, 1) + (1, 0) +
1
(
√
2)3
(1, 1)
#
=
Gm2
l2
"
1 +
1
(
√
2)3
#
(1, 1)
Esta fuerza está dirigida por tanto al centro del cuadrilátero.
Por otra parte, la fuerza centrífuga que siente la partícula 1 está dirigida a lo largo de −(1, 1), porque
el punto de giro está en el centro del cuadrilátero, y su módulo está dado por F c = mrω2 donde ω es
la velocidad angular de rotación de las masas y r = 1/
√
2 es la distancia de la masa 1 al centro del
cuadrilátero. Como la fuerza centrífuga y la gravitatoria resultan ir en direcciones opuestas, podemos
restar simplemente sus módulos para obtener el módulo de la fuerza resultante, que es
Gm2
l2
√
2
"
1 +
1
(
√
2)3
#
−m ω√
2
Vemos que siempre podemos elegir una velocidad angular ω de forma que consigamos que esta fuer-
za resultante se anule, de manera que las distancias relativas entre las cuatro masas se mantengan
constantes.
En una galaxia en forma de anillo circular que rota y en un sistema no inercial que gira con la
galaxia, sobre cada estrella actuan dos fuerzas, la gravitatoria debida a las demás estrellas, que por
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simetría está dirigida al centro del anillo, y la centrífuga debido a la rotación de la galaxia. Podemos
extender el argumento del problema del cuadrilátero a este caso sin más problema, y vemos que, en
principio, siempre podemos encontrar una velocidad angular y un radio tal que la fuerza gravitatoria,
que haria colapsar la galaxia hacia el centro del anillo, se compense con la fuerza centrífuga. Sin
embargo, hay que notar que la configuración de equilibrio no es estable. Si para una velocidad angular
dada, aumentamos ligeramente el radio de la galaxia, simultáneamente aumenta la fuerza centrífuga y
disminuye la fuerza gravitatoria, con lo que la galaxia se dispersaría hacia el universo. Si disminuimos
ligeramente el radio, entonces aumenta la fuerza gravitatoria y disminuye la centrífuga, con lo cual la
galaxia colapsaría
hacia el centro del anillo.
2. Se lanza un cilindro hueco de masa M , radio interior R1 y radio exterior R2 sobre
una superficie horizontal de forma que inicialmente desliza sin rodar con velocidad
~v0 perpendicular al eje del cilindro. Transcurrido un cierto intervalo de tiempo
∆t el cilindro comienza a rodar sin deslizar, siendo en ese instante la velocidad del
centro de masas ~v . Sabiendo que el momento de inercia del cilindro con respecto
a su eje es I = 12M(R
2
2 +R
2
1) , calcúlese la velocidad ~v.
Solución:
Cuando el cilindro comienza a deslizar actúa sobre él una fuerza de fricción Fr que se opone al
movimiento y tiende a frenarlo con una desaceleración a = Fr/m. Si la velocidad inicial del cilindro
es v0, la velocidad del centro de masa en un instante posterior t viene dada por
v = v0 − at = v0 − Fr
M
t.
Sin embargo, la fuerza de fricción también produce un momento respecto al centro de masas del
cilindro, que hace girar al mismo con una aceleración angular α. Cuando el cilindro comienza a rodar
dicho momento satisface la ecuación
M = R2Fr = Iα =
Iω
t
=
Iv
R2t
,
en donde hemos utilizado la expresión v = wR2 que representa la condición de rodadura sin desliza-
miento. Por lo tanto, a tiempo ∆t se satisface el sistema de ecuaciones
v = v0 − Fr
M
∆t
v =
2R22
R22 +R
2
1
Fr
M
∆t
De donde se deduce que
~v =
2
(R1R2 )
2 + 3
~v0
CUESTIONES
1. Se para el motor de una barca con masa m cuando ésta se desplaza con una velocidad
v0. Considerando que la fuerza de rozamiento que ejerce el agua sobre la barca es
proporcional al cuadrado de la velocidad,
a) ¿cuánto tiempo va a desplazarse la barca?
b) ¿qué distancia va a recorrer la barca hasta parar?
Solución:
La ecuación del movimiento de la barca es:
6
m
dv
dt
= −kv2,
donde k es el coeficiente de la resistencia del agua. La integración de esta ecuación da:
−m
kv
= −t+C,
donde la constante C de determina de las condiciones iniciales (t = 0, v = v0): C = − mkv0 .
De aquí la ecuación para la velocidad de la barca es: v = mv0kv0t+m .
La distancia que va a recorrer la barca se da con la integral s(t) =
R
v(t)dt. Con las condiciones
iniciales (t=0, s=0):
s(t) =
m
k
ln[1 +
kv0
m
t],
de donde se observa que el recorrido es infinito (t→∞, s→∞).
2. Dos masas m1 y m2 cuelgan de los extremos de un hilo que pasa por una polea. La
masa de la polea es m0 y la polea se considera como un disco homogéneo de radio
R. Inicialmente las masas se encuentran a la misma altura y en reposo. Utilizando
la conservación de la energía, determínese la velocidad de las masas cuando la más
pesada ha descendido una longitud L.
Solución: Por conservación de la energía tenemos que:
0 = (m2 −m1)gL+ 1
2
(m1 +m2 +
1
2
m0)v
2
de donde se despeja la velocidad v.
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