probmec-1

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PROBLEMAS DE MECÁNICA Y ONDAS curso 2005-2006 0 
 
 
UNIVERSITAT DE VALÈNCIA 
FACULTAT DE FÍSICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MECÁNICA Y 
ONDAS 
Problemas 
Grupos B y C 
CURSO 05/06 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Chantal Ferrer Roca- DEP. DE FÍSICA APLICADA 
 José A. Peñarrocha Gante - DEP. DE FÍSICA TEÓRICA 
PROBLEMAS DE MECÁNICA Y ONDAS curso 2005-2006 1 
 
Coordenadas curvilíneas 
1. Dadas las coordenadas cilíndricas ρ, φ y z, definidas en los intervalos 0≤ ρ≤ ∞, 0 ≤ φ ≤ 2π y -∞ ≤ z ≤ ∞, ligadas con 
las cartesianas por las relaciones : x=ρ cosφ, y=ρ sinφ, z=z . 
a) Hallad los vectores unitarios y la matriz de transformación 
b) Demostrad que es un sistema de coordenadas ortogonal 
c) Hallad los elementos de arco, superficie y volumen. (solución: esquemas de sistemas coordenados). 
2. Dadas las coordenadas esféricas r, θ y φ, definidas en los intervalos de variación 0≤r≤∞, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤π, ligadas con 
las cartesianas por las relaciones: x= r sinθ cosφ, y= r sinθ sinφ, z=r cosθ. Calculad los apartados a), b), c) del 
ejercicio anterior. (solución: esquemas de sistemas coordenados). 
3. Calculad las componentes cilíndricas del vector ),,,(v 011 −=
r
 aplicado en el punto P(1,1,0), expresados ambos en 
coordenadas cartesianas. (solución: ),,( 020 − ). 
Campos y análisis diferencial e integral 
4. a) Sea φ =exy
2
 con x=t cos t y y=t sin t. Calculad dφ/dt en t=π/2. 
b) Si U=z sin(y/x) con x=3r2+2s, y=4r-2s3 y z=2r2-3s2. Calculad rU ∂∂ y sU ∂∂ . 
c) si U=x3y y x5+y=t, x2+y3 =t2, encontrad t/U ∂∂ . 
(soluciones: a) 83π− , b) ( ) )x/ysin(r4xr6y4)xycos()xyz(rU +−=∂∂ , 
x
ysins)s
x
(
x
ycos
x
yz(sU 662 2 −−−=∂∂ c) )xyx()xtxyty(xt/U 21521069 242532 −−+−=∂∂ ) 
5. a) Si k)tsin(jei)tt(r t
rrrr
5232 23 +−+= − , encontrad 
2222 dtrd,dtrd,dtrd,dtrd
rrrr
en t=0. 
b) Sea yzx 2=φ y kxzjyziyxA
rrrr
−+= 223 . Encontrad zy/)A( ∂∂∂
r
φ2 en el punto (1,-2,-1). 
(soluciones: a) kjitr
t
rrrr
1062
0
++=∂∂
=
, 352
0
=∂∂
=t
tr
r
, jtr
t
rr
12
0
22 −=∂∂
=
12
0
22 =∂∂
=t
tr
r
, 
b) kji
rrr
21212 +−− ) 
6. Sea kxzjyzi)yx(A
rrrr 22 201463 +−+= . Encontrad rdA
rr
⋅∫Γ desde (0, 0, 0) a (1, 1, 1), a lo largo de las siguientes 
trayectorias Γ : a) x=t, y=t2, z=t3. (soluciones: a) 5, b)13/3, c) 3 ) 
b) la recta que une el punto (0, 0, 0) y el (1, 1, 1) 
c) las rectas que unen los puntos (0, 0, 0) con (1, 0, 0) y el (1, 0, 0) con el (1, 1, 1). 
7. Si φ∇=
rr
F , calculad la integral rdF
rr
⋅∫Γ desde el punto (x0, y0, z0) hasta el (x, y, z) para cualquier trayectoria 
Γ. (solución: dφ ) 
8. Demostrad que rdA
rr
⋅∫Γ =0 en toda curva cerrada Γ donde 0=×∇ A
rr
. 
9. Demostrad que kxyjzxiyzF
rrrr
++= es a la vez solenoidal ( 0=⋅∇ F
rr
) e irrotacional ( 0=×∇ F
rr
). Calculad la 
circulación C= rdF
rr
⋅∫ entre los puntos A(1, 0, -2) y B(2, 1, 3). (solución: C=6) 
10. Demostrad que : a) 0=⋅∇×∇ )( φ
vv
 c) E)E()E(
rrrrrrrr
⋅∇−⋅∇⋅∇=×∇×∇ 2 
 b) 0=×∇⋅∇ )E(
rvv
 
11. Encontrad ∫∫ ⋅S SdA
vr
, donde kzyjxizA
rrrr 23++= y S la superfície del primer octante de un cilindro 
con 1622 =+ yx y z comprendido entre 0 y 5. Repetid el cálculo en coordenadas cilíndricas. (solución: 90). 
12. Calculad la integral dxdydz)zyx(
V∫∫∫ ++
222 , donde V es el volumen de una esfera centrada en el origen y de radio 
a. (solución: 54 5aπ ). 
13. Deducid las expresiones de los operadores gradiente, divergencia y rotacional en coordenadas curvilíneas ortogonales. 
Particularizar para tres sistemas coordenados. (solución: esquemas de sistemas coordenados). 
14. Demostrad que el vector zuu
zF
rrr
φ
ρ φ
+= , expresado en coordenadas cilíndricas, es irrotacional y solenoidal. 
PROBLEMAS DE MECÁNICA Y ONDAS curso 2005-2006 2 
 
Fundamentos de mecánica newtoniana 
15. Un punto se mueve en el plano XY, de forma que se cumple vx=4t3+4t; vy=4t. Si para t=0 la posición del punto es 
(1,2), se pide: Encontrar x=x(t), y=y(t) y la ecuación de la trayectoria y=y(x). Hallar la aceleración tangencial y normal 
en t=0. (solución:x=(t2+1)2; y=2(t2+1); y=2√x;aT=4√2 m/s2; aN=0). 
16. Evaluad las derivadas temporales de los vectores base en coordenadas cilíndricas y esféricas. Expresad los vectores 
posición, velocidad y aceleración en ambos sistemas. (solución: esquemas de sistemas coordenados). 
17. Durante una tormenta, las trayectorias de las gotas de agua sobre la ventana de un tren forman un ángulo respecto a la 
vertical α 1=30º cuando el tren se desplaza a una velocidad v1=45 km/h, mientras que forman un ángulo α 2=45º 
cuando su velocidad es v2=90 km/h. Calculad la velocidad y el ángulo de las gotas de agua observadas desde el exterior 
del tren. (solución: v'=108.5 km/h, α ' =-9º ). 
18. Mario Tijeras, apodado el gato acaba de robar en un prestigioso 
hotel e intenta escapar por la terraza del mismo que está situada 
a una altura H de 15 m. Su única oportunidad es saltar sobre una 
casa que se encuentra a 2 m del hotel y cuyo tejado esta 
inclinado un ángulo φ= 30°. En este tejado existe una chimenea 
cuya base se encuentra a una altura h de 12 m sobre el suelo y a 
una distancia r del hotel de 4 m. el gato piensa que si inicia el 
salto con una velocidad v0 = 3 m/s, formando un ángulo de θ=72° caerá sobre el tejado. Comprueba si el gato tiene 
razón, calculando la distancia d sobre la superficie inclinada. SOL.: x=1,2 m; se cae. 
19. En el sistema de la figura 2 el rozamiento y la masa de la polea son 
despreciables. Encontrar la aceleración de m2 si m1=300 g, m2=500 
g y F=1,5 N. SOL.: a=0,882 m/s2. 
20. Un bloque de masa m 1 descansa sobre la superficie inclinada de 
una cuña de masa m 2, como muestra la figura 3. Sobre la cuña actúa una 
fuerza horizontal F y desliza sobre una superficie sin rozamiento. El 
coeficiente de rozamiento estático entre la cuña y el bloque es µ. Determinar 
los valores mínimo y máximo de F para los que el bloque no desliza sobre la 
cuña. Aplicación numérica: m 1=0,5 Kg, m 2=2 Kg, µ= 0,4.(solución: 
 
21. La carga eléctrica de un electrón y de un protón son Qp= Qp=1.6 x 10-19 C. Si sus masas son mp=1836me, me=9.11 x 
10-31 kg, calculad el cociente entre las fuerzas gravitatoria y eléctrica que ejercen entre sí las dos partículas. Comparad 
la fuerza cuando están alejadas una distancia d=5.29 x 10-9 cm con la fuerza ejercida entre los sistemas Tierra-sol y 
Tierra-Luna. (solución: Fg/Fe ≈ 5 x 10-40, Fg(T-S) ≈1022N, Fg(T-L) ≈1020 N, Fe≈10-8). 
N5,37
sencos
cosseng)mm(F 21ma =−
+
+=
αµα
αµα
N49,6
sencos
cosseng)mm(F 21min =+
−
+=
αµα
αµα
figura 1 
figura 2 
figura 3 
F 
m1 
m2 
m1 
m2 
F 
α 35º = 
PROBLEMAS DE MECÁNICA Y ONDAS curso 2005-2006 3 
 
Sistemas de partículas y teoremas de conservación 
22. Una bolita se deja caer libremente en el aire, que ofrece una resistencia que es proporcional a su velocidad. a) 
Comprobar que la bolita alcanza una velocidad límite. b) Encontrar la ecuación de la velocidad en función del tiempo, 
supuesta conocida la velocidad límite. c) Hallar la ecuación del espacio en función de la velocidad. (solución: 
vL=mg/k; v=vL([1-exp(-gt/vL)]; 





−
−
= v
vv
vlnv)g/v(z
L
L
LL ). 
23. Un cohete de dos fases (de combustión) tiene una masa útil (masa de la cápsula) m. La masa de la segunda fase más la 
de la cápsula es nm y la masa de la primera y segunda fases más la de la cápsula es Nm. En cada una de las fases la 
masa del contenedor respecto a la suma de éste más el combustible es r. La velocidad de expulsión de los gases es v0. 
a) Demostrad que la velocidad después de ser consumida la primera fase es )
)r(nrN
Nln(v)t(v
−+
=
101
. 
b) Obtened v2 al final de la segunda fase. Considerando N y r constantes, obtened el valor de n para el que v2 es 
máxima. (solución: )
rrn
nln(v)t(v)t(v
−+
+=
1012
) 
c) Demostrad que el caso v2 máxima corresponde a un aumento de velocidad que es el mismo en cada fase. ¿Qué 
pasa en ese caso cuando r=0?, ¿Y cuando r=1? (solución: 0)nN(r)r1()t(v 2max2 =−⋅⋅−→ ) 
d) Obtened la velocidad de un cohete de una sola fase con idénticosN, r, y v0. Haced un cálculo numérico 
suponiendo que la masa inicial total es de 3000 ton., la final de 2700 ton. , la velocidad de escape de los gases 
55000 m/s y la velocidad con que se consume el combustible de 1290 kg/s. 
e) ¿Qué es más útil, un cohete de una o varias fases?. (solución: si r≠0, mayor v final con dos fases). 
24. Una cinta transportadora está cargando material a un ritmo constante dm/dt y se mueve a una velocidad constante v 
por la acción de una fuera aplicada F (también constante). Calculad: 
a) El trabajo que realiza por unidad de tiempo (potencia) la fuerza F. (solución: dW/dt=v2dm/dt) 
b) El incremento de energía cinética por unidad de tiempo. ¿Dónde está la energía que falta? 
(solución: dT/dt=v2(dm/dt)/2). 
Comprobad que para una partícula de masa constante se verifica que: vF
dt
dT rr
⋅= , mientras que para una de masa variable, 
tenemos que pF
dt
)mT(d rr
⋅= . Verificadlo para este caso concreto. 
25. . ¿Desde qué altura mínima debe caer un cuerpo de masa m para hacer "el rizo de la muerte" de radio R sin caerse?. 
No hay rozamiento. (solución: h=(5/2)R). 
26. Un rectángulo de dimensiones a y b resbala apoyando el lado a por 
encima de una superficie plana y lisa, con velocidad v
0
. En un 
momento determinado choca contra un pequeño escalón situado en 
la superficie y unido a ella. Suponiendo despreciable el rebote 
contra el escalón, calcular la velocidad angular con que comienza a 
girar el rectángulo. (solución: ω=3v
0
b/2(a2+b2).) 
27. Determinad cual de las siguientes fuerzas son conservativas y encontrad la energía potencial correspondiente: 
 a) Fx=6abz3y-20bx3y2, Fy=6abxz3 -10bx4y, Fz=18abxyz2 (solución: CybxabxyzU ++−= 243 56 ) 
b) Fx=18abz3y-20bx3y2, Fy=18abxz3 -10bx4y, Fz=6abxyz2 
c) j
x
y2
i
x
yx3
F
2
22 rrr
+
−
= (solución: V=-3x-(y
2
/x)+C; Ec. líneas de campo: y
3
+k(y
2 - x
2
)=0 ). 
28. Encontrad el trabajo efectuado por la fuerza kxyzjzixyF
rrrr
++= 2 cuando se mueve una partícula desde el punto 
A(1,0,2) hasta el B(3,-2,-1) a lo largo de : 
 a) la curva dada por x=1+2t, y=-2t
2
, z=2-3t (solución: 182/30) b) la recta AB. (solución: -23/3) 
figura 4 
PROBLEMAS DE MECÁNICA Y ONDAS curso 2005-2006 4 
 
Oscilaciones 
29. Encontrad la ecuación del movimiento resultante de la superposición de dos movimientos armónicos simples paralelos 
cuyas ecuaciones son x1=6 sen 2t y x2=8 sen(2t+φ), si φ=0, π/2 y π. Hacer un gráfico de cada movimiento y del 
movimiento resultante en cada caso. (solución: x=x1+x2=Asin(2t+θ); θ=tg
-1
[8sin φ/(6+8cosφ)]; A=(100+96 cosφ)
1/2
.). 
30. Encontrad la ecuación de la trayectoria de una partícula cuyo movimiento resulta de la combinación de dos 
movimientos armónicos simples perpendiculares cuyas ecuaciones son x=4senω t e y=3 sen(ω t+φ) en los casos en 
que a) φ=0, b) φ=π/2 y c) φ=π. Hacer un gráfico de la trayectoria para cada caso y señalar el sentido en el que viaja la 
partícula. (solución: a) y=3x/4 polarización rectilínea; c) y=-3x/4 polarización rectilínea; b) (x2/16)+(y2/9)=1, 
polarización elíptica). 
31. Una masa m cae desde una altura h sobre una plataforma de masa despreciable que está montada sobre un muelle de 
constante elástica k y está provista de un dispositivo de amortiguamiento crítico. Encontrar la máxima altura desde la 
que debe soltarse la masa m para que la plataforma no descienda por debajo de la posición de equilibrio. (solución: 
h<g/2ω2=-xeq/2). 
32. Un oscilador armónico no amortiguado de masa m y frecuencia ωo está inicialmente en reposo y recibe un impulso en 
el instante t=0 por lo que parte de xo=0 con una velocidad vo y oscila libremente hasta t=3π/2ωo. A partir de ese 
momento se le aplica una fuerza F=Bcos(ω t+θ). Hállese la posición de la masa en función del tiempo. 
(solución: x=A' cos(ωot+φ' )+Kcos(ω t+θ ); conK=B/m(ωo2-ω2); A'=((ωωo-1Ksinθ 2 )2+ 
(voωo-1+Kcosθ 2 ) 2)1/2; δ= θ + 3πω/2ωo; φ=tg-1[-(voωο−1+ K cosδ) / Kω ωo-1sinδ] ). 
33. Estudiad la evolución temporal de la energía de un péndulo simple teniendo en cuenta la fricción con el aire. Si los 
datos del péndulo son m=100 g, l=1 m, y las condiciones iniciales θ0=5° y vo=0, a)¿Cual es el factor de 
amortiguamiento si después de 100 períodos la amplitud es el 10% del valor inicial?. b)¿Cuál es el valor de la energía 
media en ese instante?. (solución: Et=0.5mA2e-2βt[ωο2−β2cos 2(ωt+φ)-βωsin2(ωt+φ)]; a) β=0.012; b) 
<Et>=0.01Eto). 
34. Hállese, utilizando el principio de superposición, el movimiento de un oscilador armónico inframortiguado (γ=ωo/3) 
inicialmente en reposo y sometido a partir de t=0 a una fuerza: F=A sen(ωot) + Bsen(3ωot) 
donde ωo es la frecuencia natural del oscilador. ¿Qué valor debería tener la razón B/A para que la oscilación forzada de 
frecuencia 3ωo tenga la misma amplitud que la de frecuencia ωo?. (solución: 
)tsin(
m
Ax pA 22
3
0
0
πω
ω
+= , 22
2
0 342
3
2102
35
8
91 )BA()AB(
m
C −+−=
ω 173
5135
8
31
/BA
A/Btg
−
−
= −φ ; B/A=3(17)
1/2
). 
35. Encontrad la respuesta de un oscilador armónico forzado a la función de onda cuadrada definida como: 
τ
τ
<≤
=
<<−




−
t
t
t
/
/
)t(f
0
0
0
21
0
21
 
 utilizando el desarrollo en serie de Fourier. 
 (solución: [ ]
)(
tg);tsin()()(
)k(
x
k
kkk
k
kk
k
p 22
112222
0
0
2
2
12
2
ωω
γω
ααωγωωω
π −
−
=++−
+
= −
−
∑ ). 
PROBLEMAS DE MECÁNICA Y ONDAS curso 2005-2006 5 
 
Mecánica analítica: formalismo lagrangiano y hamiltoniano 
36. Sean dos muelles de constantes de recuperación k1 y k2. Determinar el período de oscilación de una masa m para los 
tres casos de la figura 5. (solución: T=2π/ ω, ω=( Keq /m)
1/2 con a) Keq
-1= k1
-1+ k2
-1, b) Keq= k1+ k2 ; c) Keq= k1+ k2)). 
 
 
 
 
37. Hallar las ecuaciones del movimiento del sistema de la figura 6 mediante las ecuaciones de Lagrange. 
(solución: 0022 22 =+−=+−−− θθθθθθθ singLsinyLL;y
m
kgcosLsinLy &&&&&&&&& ) 
38. Hallar las ecuaciones del movimiento de las masas m1 y m2 de la figura 7 mediante las 
ecuaciones de Lagrange, suponiendo hilos y poleas sin masa y ausencia de rozamiento. 
(solución: )RmRm/()RmRm(g 222
2
111122 +−=θ&& ) 
39. Hallar las ecuaciones de Lagrange de una partícula puntual m sometida a la fuerza 
F=(0,0,xy) y que está restringida a moverse en una superfície esférica de radio R. 
(solución: ctepRmm =−=− φφφθθθφθ ,sincossinsincos
32&&& ). 
40. Una cadena homogénea de longitud L está apoyada en el borde de una mesa sobre la que puede deslizarse sin 
rozamiento. Calcular el movimiento sabiendo que en el instante en que la soltamos 1/5 de su longitud está fuera de la 
mesa. (solución: t
L
g
chyy 0= ). 
41. . Un punto material se desliza sin rozamiento por la superfície de una esfera, partiendo del reposo desde el punto más 
alto de la misma. Demostrad que el punto material se separa de la esfera después de haber descrito un ángulo polar de 
valor arccos(2/3). 
42. El dispositivo de la figura 8 consta de dos masas iguales unidas por una varilla 
rígida de longitud L. Sabiendo que las masas no pueden abandonar los ejes en los 
que originalmente se encuentran, calcular las ecuaciones del movimiento de 
Lagrange. Estudiar las oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio. 
(solución: 0=+− θθθθ sincos
m
kcos
L
g&& ). 
 
43. Un disco de masa M y radio R gira sin deslizar sobre una guía situada en el eje x 
(ver figura 9). Un hilo de masa despreciable enganchado en el punto G pasa por 
una polea de masa M y radio R. De la extremidad del hilo cuelga un cuerpo de 
masa m que se encuentra en el seno de un líquido viscoso. Encontrar las ecuaciones 
del movimiento del sistema . (Fviscosa=hv siendo h el coeficiente de viscosidad). 
(solución: )mM2/(mgb);mM2/(ha;byay +=+==+ &&& ). 
44. Estudiad, mediante el formalismo lagrangiano, la máquina de Atwood doble. 
Despreciad las masas y el rozamiento de las poleas. Obtened también las aceleraciones y las tensiones de las cuerdas. 
(Solución en "100 problemas de mecánica", Alianza editorial).m
m L
figura 6 
m 1
m 2 
R 1
R 2 
figura 7 
m
k1 k2m
k1 
k2
m 
k1 k2 
a) c)b)
figura 5 
L 
m 
m y
x a
θ 
figura 8 
G 
o x
y 
figura 9 
PROBLEMAS DE MECÁNICA Y ONDAS curso 2005-2006 6 
 
Mecánica analítica: formalismo Lagrangiano y Hamiltoniano (cont.) 
 
45. Estudiad, mediante el formalismo lagrangiano, el movimiento de una masa m 
inicialmente en reposo, que está forzada a moverse sin rozamiento sobre una 
recta contenida en el plano vertical y que forma un ángulo α con la horizontal. 
Esta masa está unida a un muelle de longitud inicial l, constante k y masa 
despreciable que se mueve con ella permaneciendo siempre vertical. (figura 6) 
(solución: 00 =+−+−=+ λαλ )lg(kmgym,tgxm &&&& ). figura 10 
46. La barra AB de la figura 11 gira con velocidad angular ω en torno al eje OZ con el 
punto A fijo. Si la longitud de la barra es L y por ella desliza sin rozameinto una 
bola de masa m, ¿cuánto tardará en salir de la barra si partió del reposo en el punto 
A?.(solución: barr;cosgsinrr =−=− &&&& ααω 22 ). 
47. Considerad una partícula forzada a moverse sobre la superfície de un cilindro (con 
el eje central según el eje z) y sometida a una fuerza del tipo rkF
rr
−= . Obtened y resolved las ecuaciones del 
movimiento utilizando coordenadas cilíndricas. (solución: .testanconsCyA),tcos(Az;Ct)t( ϕωΩθ +=+= ). 
48. Hallad las ecuaciones del movimiento de Hamilton para una masa m que cae bajo la acción de la gravedad por una 
hélice cilíndrica cuyo paso es κ. (solución: 0
kR
gk
22 =+
+θ&& ). 
49. Hallar las ecuaciones diferenciales de Hamilton para una partícula de masa m que cuelga de un muelle de constante 
elástica k. (solución: 020 2
3
2
=++=−+− θθθθθ singrrrr,cosmgkr
mr
p
rm &&&&&& ). 
50. Una barra de longitud L y masa M gira en un plano horizontal alrededor de un eje 
vertical. Por la barra puede moverse una masa m sujeta por un muelle de constante de 
recuperación k, como se ve en la figura 12. Calcular: a) Las ecuaciones de Hamilton, 
b) las coordenadas cíclicas, c)¿Es H una constante del movimiento? d) ¿coincide H 
con la Energía?. (solución: 0r
m
kr)
mrI
p
(r;
mrI
p 2
22 =++
−
+
= φφφ &&& ). 
O 
z 
A 
m 
B 
ω 
k 
y 
α 
m 
g 
figura 10
figura 11
z 
figura 12 
O 
M, L
ω m
k 
PROBLEMAS DE MECÁNICA Y ONDAS curso 2005-2006 7 
 
Movimiento en potenciales centrales. Campo gravitatorio 
51. Una partícula de masa m está sometida a una fuerza : 
002728
8
8
5
5
2
2
>>+−= Q,B)
x
a
x
a
x
a(BF 
 a) Encontrad y representad la energía potencial V(x) 
 b) Describid los tipos de movimientos posibles. Localizad los puntos de equilibrio y determinad la frecuencia de las 
oscilaciones pequeñas alrededor de los que sean estables. 
 c) Una partícula parte de x=3a/2 con una velocidad v=-v0<0. ¿Cuál es el valor mínimo de v0 para el que la partícula 
acabará escapándose muy lejos?. Describid el movimiento en este caso. ¿Cuál es la velocidad máxima que tendrá la 
partícula?¿Qué velocidad tendrá cuando se halle muy alejada del punto de partida?. 
(solución: a)V(x)=Ba2(x6-7a3x3+27a6/7)/x7, ceros: 1.85a y 0.85c, máximo: 3a, mínimo: a, lim V(x) =±0 para 
x→±∞; lim V(x) =±∞ para x→±0. b)x>0: V(a)>E>0 acotado, V(3a)>E>0 acotado o no según x, V(3a)<E no 
acotado. x<0: E>0 no acotado, E<0 acotado). 
52. Cuál ha de ser el comportamiento cuando r tiende a ∞ de un potencial central como el que 
aparece a continuación para que una partícula pueda caer hacia el origen? (solución:n≤ -2). 
53. Considerad una partícula sometida al potencial U(r)=kr4, k>0. Determinad para qué valores 
de la energía y del momento angular la órbita descrita por la partícula es circular. (solución: 312421 /)m/kL(.E = , 
con 612 4 /min )mk/L(r = ). 
54. Discutid el comportamiento de una partícula de masa m en un potencial (potencial de Yukawa): 0r
r
e
r
k)r(U
−−
= 
donde k y r0 son constantes positivas. (solución: lim Ueff(r) =0 para x→+∞; lim Ueff(r)=+∞ para x→0. De la 
condición de máximo para Ueff(r): f(x)= rxkm
Le)x(x x λλ ==+ −
2
1 , máximo de f(x): 1.6 :f(x)=
km
L2λ <0.84, y por 
lo tanto hay un mínimo (r1) y un máximo (r2) de Ueff(r). órbitas acotadas para E1<E<E2 y r<r2 y abiertas para E>E2 o 
E<E2 con r>r2). 
55. Considerad una esfera hueca de densidad uniforme, radio exterior a e interior b. Calculad el potencial y el campo 
gravitatorio en cualquier punto del espacio (realizad el cálculo directo y también utilizando el resultado del ejercicio 48 
o teorema de Gauss). Calculad asímismo la energía potencial almacenada en esta distribución de masa. 
 (solución: br)ab(
ba
GM)r(V ≤≤−
−
= 0
2
3 22
33
, arba
r
br
ba
GM)r(V ≤≤








−+
−
=
2
3
2
232
33
, 
ar
r
GM)r(V ≥−= 
33
22
2
2
3
ba
baGMU
−
−
−= ) 
56. Encontrad el potencial y el campo eléctrico en el eje de un disco circular plano de radio a y cargado de forma 
uniforme con una carga q. ¿Cómo cambia el campo si, manteniendo fija la densidad de carga, hacemos a→∞?. 
Calculad la expresión del campo para distancias grandes. 
(solución: zu
az
z
z
z)z(E
rr








+
−=
202ε
σ , 
z2
q)z(V
0πε
= , zu)a,z(E
rr
02ε
σ
=∞→ , zu
z
q)az(E
rr
2
0
1
4πε
=>> ) 
57. En el interior de la Tierra hay una cavidad esférica de radio R, cuyo centro está a una 
profundidad d (ver figura 13). La cavidad está llena de un material de densidad ρ, 
distinta del valor normal para los materiales de la zona, ρ0. Demostrar que en el punto 
P sobre la superficie, la diferencia entre la componente vertical de la aceleración de la 
gravedad y el valor normal g0 vale ∆g=(4/3)πR3G(ρ0-ρ)d(d2+x2)-3/2. Medidas realizadas 
en superficie a lo largo de 300 m en línea recta indican que ∆g varía entre un mínimo 
de 10-4 m/s2 en los extremos del trayecto, y un máximo de 1,4·10-4 m/s2 en el punto 
medio. Si estas anomalías son debidas a una cavidad esférica llena de petróleo (ρ=0,9 
g/cm3), determinar d y R (tomar ρ0=2,8 g/cm3). (solución: d=299 m, R=287 m.) 



>
≠
−=
0
0n
r)r(U n
α
α
x P 
d 
R ρ ρ0 
figura 13 
PROBLEMAS DE MECÁNICA Y ONDAS curso 2005-2006 8 
 
Movimiento en potenciales centrales. Campo gravitatorio (cont.) 
 
58. Consideremos un sistema de dos cuerpos (esféricos y uniformes) con masas m1=5 kg y m2=10 kg que interaccionan 
debido a la gravedad. Inicialmente sus posiciones son cm)0,40(r 01 =
r
, cm)0,20(r 02 −=
r
 con velocidades 
h/cm)8,0(v 01 =
r
 y h/cm)4,0(v 02 −=
r
. 
a) Calcula las coordenadas y la velocidad del centro de masas, así como la masa reducida del sistema. 
b) Obtén el momento angular y la energía total (cinética mas potencial) del sistema.. 
c) Calcula la distancia apsidal mínima (pericentro) del movimiento relativo y la distancia apsidal máxima (apocentro), 
en caso de que exista. 
d) Calcula el periodo del movimiento y las posiciones de m1 y m2 al cabo de un semiperiodo 
59. Calculad el tiempo que tardaría la Luna en caer sobre la Tierra si la primera se parara de repente (suponed que la Tierra 
está en reposo). Repetid el cálculo para la Tierra respecto al Sol. (solución: TGM/dT 22
23
0π= , d0=dist tierra-luna 
ó sol). 
60. Considerad el sistema Tierra-Luna. 
 a) Obtened el potencial gravitatorio al que están sometidos los puntos de la superfície terrestre debido a la presencia 
de la Luna (haced un desarrollo en serie de potencias de (r/a) hasta el orden (r/a)2, siendo a la distancia Tierra-
Luna y r la distancia del centro de la Tierra a un punto de su superfície. Explicad por qué el término de orden 
(r/a)2 ha de ser el responsable de las mareas. 
(solución: 
4
222
3 2
3
R
Rr)Rr(
GM
R
RrGM
R
GM
)r(V LL
L −−−−≅
rrrr
, con iaR
rr
= ) 
b) Probad que el campo gravitatorio generado por este término es: )cos(
a
GmrGr 13
2
3
−= θ θθθ sincos
a
GmrG
3
3
= . 
c) Comparad su orden de magnitud para la Luna y el Sol. (solución:EG luna≈2 EG sol) 
d) Equilibrando el potencial encontrado y el terrestre, estimad el orden de magnitud de la altura de las mareas. 
PROBLEMAS DE MECÁNICA Y ONDAScurso 2005-2006 9 
 
Colisiones o choques y dispersión 
61. Calculad el valor del incremento de energía cinética Q=∆T para un choque completamente inelástico (sol: Q= 2
2
1 vµ ). 
62. Un coche de masa m1=2000 kg viaja hacia el sur y choca, en el centro de un cruce, con un camión de masa m1=6000 
kg, que viajaba hacia el Oeste. Los dos vehículos se deslizaron entrelazados exactamente en la dirección Sur-Oeste. 
¿Es razonable pensar que el camión circulaba a una velocidad v2=100 km/h?. ¿Qué parte de la energía cinética inicial se 
ha transformado en otros tipos de energía durante el choque (suponed v1=180 km/h)?. (solución: No, v1=3v2, 63% en 
deformación). 
63. Se deja caer una pelota sobre una mesa desde una altura h. Suponiendo que el coeficiente de restitución e es el mismo 
en cada rebote, calculad el tiempo que tardará la pelota en pararse. (solución: T=
e
e
g
h
−
+
1
12 ). 
64. Considérese el sistema de la figura, donde m1=0.1 kg, m2=0.2 kg y d=0.2 m. Hallad la altura que alcanza cada bola 
después de la colisión si ésta es: 
 a) elástica. Estudiad el caso con m1= m2. 
b) Inelástica con coeficiente de restitución e=0.9 
c) Completamente inelástica. (solución general: h1 = dmm
emm
2
21
21








+
−
; h2 = dmm
)e(m
2
21
1 1








+
+
). 
65. Una partícula de 5 kg de masa, moviéndose a 2 m/s choca contra otra partícula de 8 kg inicialmente en reposo. Si el 
choque es elástico y la primera partícula se ha desviado 50º de la dirección original del movimiento, calcular la 
velocidad de cada partícula después del choque. (sol: v1=1.57 m/s, θ1=50º,v2=0.97 m/s, θ2=-50.7º, o bien v1=-0.59 m/s, 
θ1=230º, v2=1.51 m/s, θ2=10.7º). 
66. Dos partículas de masas m1=1 kg y m2=2 kg con velocidades u1=3.5 m/s y u2= 0 m/s chocan entre sí con un 
parámetro de impacto b=0.8, teniendo el choquie un coeficiente de restitución e=0.9. Calcula las velocidades finales de 
las partículas y la energía perdida en la colisión. 
67. Demostrad que en una colisión elástica entre dos partículas de masas m1 y m2, el ángulo que forman las dos partículas 
finales en el sistema LAB (laboratorio) verifica que (con θ el ángulo de dispersión en el CM): 
68. Demostrad que para una colisión elástica se verifica que: 
2
2
0
1
1
21
)(
cos
E
E
ρ
ρθρ
+
++
= donde θ, el 
ángulo de dispersión en el CM y E0 y E1 son las energías cinéticas inicial y final, respectivamente, de la partícula 
incidente en el sistema LAB y ρ = m1 / m2. ¿Cuál será el moderador óptimo para reducir rápidamente la velocidad de 
los neutrones en un reactor nuclear?. (solución: de minimizar <E1/E0> , se obtiene que m1=m2, luego el moderador 
óptimo será una sustancia rica en hidrógeno). 
69. Demostrad que el máximo valor del ángulo Φ de dispersión de la partícula respecto a su velocidad en el sistema LAB, 
viene dado por tg Φ=(ρ2−1)−1/2. Estudiad el caso ρ>1 y aplicad el resultado para obtener una estimación de la masa de 
la partícula α con relación a la masa del hidrógeno, si sabemos que el máximo valor de Φ medido en colisiones de 
partículas α sobre un blanco de hidrógeno es de ≈16º. (solución: 63.≈ρ ). 
70. Calculad la sección eficaz de dispersión por un potencial: 0
2
>= k
r
k)r(V . (sol:
22
2
2
1
)(
)(
sinE
k
d
d
θπθ
θππ
θΩ
σ
−
−
= ). 
71. La fuerza de interacción entre dos partículas de carga Ze y Z'e viene dada en el sistema MKSA, por: 
Un haz de partículas α (de carga 2e) y de intensidad I y energía E, incide sobre 
una lámina de oro (de carga 79e). 
a) Utilizando las expresiones de la dispersión de Rutherford, encontrad el número de partículas (por blanco y por unidad 
de tiempo) que salen dispersadas con un ángulo θ0 o mayor. 
b) Demostrad que el número de partículas que salen por unidad de tiempo (y por blanco) con un ángulo de dispersión en el 
intervalo [π/3, π/2] es el doble de las que salen con un ángulo de dispersión mayor que π/2. 
(solución:a) 





−





=> 1
2sin
1
8
')( 2
2
0
2
0 θπε
πθσ
E
eZZ ). 
2
ctg
mm
mmtg
21
21 θα
−
+
−=
r
r
kF ˆ2−=
r
0
2
4
'
πε
eZZk −=con