Prblm06

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Problemas de Mec�anica y Ondas I.
Curso 2005/06
Grupo C
1. En 1537 Tartaglia public�o el libro "Nova Scientia" en el que se describen problemas de bal��stica.
En �el ofrece un esquema tripartito para describir la trayectoria de los proyectiles seg�un el cual un proyectil
se mueve a lo largo de una trayectoria plana formada por dos rectas enlazadas suavemente por un arco
de circunferencia de radio R. Suponiendo que el m�odulo de su velocidad viene dada por v = kt, siendo k
una constante positiva y t el tiempo transcurrido desde que se inici�o el movimiento, determine el m�odulo
de aceleraci�on m�axima, sabiendo que el punto entr�o en la curva en t1 y que las normales a las dos rectas
forman un �angulo de 2�=3. (Sol.: am = k
q
1 +
�
4�
3 +
k
R t
2
1
�2
)
2. Estudiar el movimiento de una part��cula no relativista de masa m y carga q en un campo:
1. El�ectrico uniforme y constante.
2. Magn�etico uniforme y constante.
3. El�ectrico y magn�etico, uniformes, constantes y perpendiculares entre s��.
3. Demostrar que la ley de Coulomb es invariante ante transformaciones de Galileo.
4. Un sistema de referencia con base fi, j, kg gira respecto a otro fI, J, Kg que tiene el mismo origen
y es inercial. La velocidad angular es ! = 2t i � t2 j + (2t + 4)k, donde t es el tiempo. La posici�on de
una cierta part��cula respecto al sistema m�ovil viene dada por r = (t2 + 1) i � 6t j + 4t3 k. Encontrar
para t = 1 la velocidad y la aceleraci�on en los dos sistemas.(Sol.: vo0 = (2;�6; 12);ao0 = (2; 0; 24);v0 =
(34;�2; 2);ao = (40; 184; 36):)
5. Un punto de latitud Norte � es el origen de un cierto sistema de referencia que gira solidariamente
con la Tierra. El eje Z est�a dirigido seg�un la vertical del lugar y los ejes X e Y se orientan hacia el
Este y hacia el Norte, respectivamente. Desde dicho origen se lanza hacia arriba, en t = 0, un m�ovil
con velocidad inicial vo. A partir de las ecuaciones del movimiento del m�ovil respecto a ese sistema de
referencia
::
x = 2!(
:
y sin�� :z cos�), ::y = �2! :x sin� y ::z = �g� + 2! :x cos�, siendo ! la velocidad angular
de rotaci�on de la Tierra y g� la gravedad efectiva, y despreciando adecuadamente los t�erminos en !2
(pero manteniendo los de orden !0 y !1), hallar x(t), y(t) y z(t). Calcular a qu�e distancia del origen cae
el m�ovil. (Sol.: x = � 4v
3
0
3g2�
!0 cos�).
6. Determinar la trayectoria y la desviaci�on hacia el este de un cuerpo que cae sin velocidad inicial
desde una altura de 200m en un lugar de latitud 51o Norte. ( Sol.:3:9 cm.)
7. Debido a la acci�on combinada del empuje de Arqu��medes, la viscosidad del aire y la acci�on de
fuerzas electrost�aticas, una gotita de agua se encuentra en condiciones de ingravidez aparente en el seno
de una masa nubosa situada a 1 km de altura sobre la super�cie terrestre. Dicha masa nubosa se desplaza
inicialmente hacia el sur a velocidad vo debido a la acci�on de los vientos alisios. Sabiendo que la nube se
halla en el hemisferio Norte, determinar las ecuaciones param�etricas de su movimiento y su trayectoria.
( Sol.: x(t) = �!0v0t2 sin�, y(t) = �v0t, z(t) = z0).
8. Un tubo horizontal CD gira uniformemente alrededor de un eje vertical que contiene al extremo
C con velocidad angular !. En su interior se encuentra un cuerpo de masa m. En el momento inicial su
velocidad respecto al tubo es nula y se encuentra a una distancia �0 del eje. Despreciando el rozamiento,
calcular la velocidad que alcanza el cuerpo al salir del tubo. Obtener las fuerzas de ligadura del tubo
sobre la masa. La longitud del tubo es l. (Sol.: Fz = �mg; F' = �2m! _r; vD = !
p
l2 � �20):
9. Una part��cula de masa m est�a ensartada en una circunferencia de radio R que gira con velocidad
angular constante ! en torno a uno de sus di�ametros, orientado en la direcci�on vertical. Suponiendo que la
part��cula desliza sin rozamiento a lo largo de la circunferencia, determinar las ecuaciones del movimiento
de la part��cula utilizando un sistema de referencia giratorio. ( Sol.: �� + gR sin � � !
2 sin � cos � = 0).
10. El p�endulo originalmente construido por Foucault en 1851 ten��a una longitud de 67 m. >Qu�e
razones te�oricas le llevaron a estudiar un p�endulo de �este tama~no? >Podr��a observarse el movimiento de
rotaci�on terrestre con un p�endulo mucho m�as corto?
1
11. Determinar los potenciales de los que derivan las fuerzas
F1(x) = ax+ b;
F2(x) = �
x2
+
�
3
x;
F3(x) = F0 sin(kx):
(Sol.: V1 = � 12ax
2 � bx+ c; V2 = �
x �
�
6x
2 + c; V3 =
F0
k cos(kx) + c:)
12. Encontrar cuales de las siguientes fuerzas son conservativas y para las que lo sean hallar la
correspondiente funci�on potencial. a y b son constantes y a es un vector constante.
1. Fx = ax+ by
2, Fy = az + 2bxy, Fz = ay + bz
2. (Sol.: V = � 12ax
2 � bxy2 � azy � 13bz
3 + c:)
2. Fx = ay, Fy = az, Fz = ax.
3. Fr = 2ar sin � sin�, F� = ar cos � sin�, F� = ar cos�. (Sol.: V = �ar2 sin � sin�+ c:)
4. F = a (a � r). (Sol.: V = � 12 (a:r)
2
)
5. F = F (r)(r=r). (Sol.: V = �
R r
r0
F (r0)dr0)
13. Estudiar cualitativamente el movimiento de un p�endulo de longitud l y masa m haciendo uso
de la expresi�on del potencial V (�), siendo � el �angulo que forma con la vertical.
14. Una part��cula de masa m se mueve en el potencial
V (x) =
�V0a2(a2 + x2)
8a4 + x4
:
Representar V (x) y F (x), determinar los tipos de movimiento que pueden darse y hallar las frecuencia
de las oscilaciones peque~nas en torno a las posiciones de equilibrio estable.
15. Describir cualitativamente los tipos de movimiento que puede tener una part��cula de masa m en
cada uno de los siguientes potenciales (expresados en unidades arbitrarias):
V1(x) =
2
x� 4 + 1;
V2(x) = ax+ b; a; b > 0;
V3(x) = x
2 � 4x� 21;
V4(x) = x
3 � 10x2 + 21x+ 15:
16. Hallar las frecuencias de las oscilaciones peque~nas de una part��cula de masa m alrededor de los
puntos de equilibrio de los potenciales
V1(z) = K
�
2
z � 4 + 1
�
;
V2(z) = K cosh(z);
V3(z) = K(z
2 � 4z � 21);
V4(z) = K(z
3 � 10z2 + 21z + 15);
cuando se mueve a lo largo del eje X, siendo z = x=a con a y K dos constantes positivas. (Sol.:
!22 = k=m; !
2
3 = 2k=m; !
2
4 = 2k
p
37=m).
17. Una part��cula de masa m se mueve bajo la acci�on de un potencial
V (x) =
cx
x2 + a2
2
donde a y c son constantes positivas. Encontrar las posiciones de equilibrio estable y el per��odo de las
oscilaciones peque~nas alredededor de dichas posiciones. Si la part��cula sale de cada uno de dichos puntos
con velocidad v, hallar los valores de v para que (a) oscile, (b) escape a +1, y (c) escape a �1.
18. En un potencial
V (x) = � V0a
2
a2 + x2
cos(�x=2a)
se comunica a una part��cula de masa unidad una velocidad inicial v0 = +
p
V0 partiendo del punto x = 0.
>Cu�anto tardar�a en llegar a x = a?
19. Una part��cula de masa m = m0 est�a sometida a la acci�on del potencial V (x) = (x
2 � 4)(x2 � 1).
Determine a) las posiciones de equilibrio estable; b) la frecuencia de las oscilaciones peque~nas alrededor
de las mismas. (Sol.: x� = �
p
10=2; ! = 2
p
5=m0:)
20. Una part��cula de masa m se mueve a lo largo del eje X bajo la acci�on del potencial V (x) =
mga cos2(�x=a), donde a es una constante con dimensi�on de longitud. >Cu�anto vale la frecuencia de las
peque~nas oscilaciones en torno al punto x = a=2? Comparar este valor con la frecuencia de las oscilaciones
no arm�onicas entre los puntos x = a=4 y x = 3a=4.
21. Una part��cula de masa unidad est�a sometida a la acci�on de un potencial V (x) = �1= cosh2 x. En
el instante inicial se encuentra en el punto x(0) = 0 con velocidad
:
x(0) = +
p
2. Calcular el tiempo que
tarda en llegar al punto x = ln 2. (Sol.: t = 3
p
2=8 s).
22. Una part��cula de masa unidad est�a sometida a la acci�on del potencial V (x) = 1= cosh2 x. En el
instante inicial se encuentra en el punto x(0) = ln 2 con velocidad
:
x(0) = 3
p
2
5 ; dirigida hacia el origen.
Calcular el tiempo que tarda en llegar al punto x = 0. (Dibuje el correspondiente diagrama de energ��as.)
23. Una part��cula de masa unidad se mueve en un potencialunidimensional V (x) = � 12x
2(1 � x)2.
En el instante t = 0 la posici�on y la velocidad de la part��cula son x(0) = 2 y
:
x(0) = �2. Determinar el
tiempo que la part��cula necesita para alcanzar el punto x = 1. (Dibuje el correspondiente diagrama de
energias.)
24. Una esfera de radio r y masa m se mueve en el seno de un 
uido bajo la acci�on de la gravedad
y experimenta una fuerza viscosa dada por la ley de Stokes F = �6�r�v, donde � es la viscosidad del

uido. Determinar la velocidad de la esfera en funci�on del tiempo (cf. gui�on "Viscos��metro de Stokes"
de la asignatura Tecnicas Experimentales I.)
25. Se lanza un proyectil de masa m con velocidad inicial v0 formando un �angulo � con la horizontal.
Sobre el proyectil act�ua una fuerza debida a la resistencia con el aire dada por F = ��v; donde � > 0:
Determinar el vector de posici�on del proyectil en funci�on del tiempo. (Sol.: r =mv0� (j cos�+k sin�)(1�
e��t=m)� mg�
�
t+ m� e
��t=m � m�
�
k ).
26. Un barco con velocidad inicial v0 se ve frenado por una fuerza de rozamiento F = �b exp(�v),
siendo b y � constantes positivas. Describir su movimiento, hallar el tiempo que transcurre hasta que se
para y la distancia recorrida. ( Sol.: t = m(1� e��v0)=b�; x = m[1� e��v0(1 + �v0)]=b�2:)
27. Una part��cula de masa m cae verticalmente desde una altura h, en un medio viscoso, de tal forma
que la fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad. Al mismo tiempo se lanza hacia arriba una
segunda part��cula igual a la anterior con velocidad v seg�un el eje vertical. Calcular el tiempo que tardan
en encontrarse las dos part��culas. (Sol.: ln( v0v0�h� )
�)
28. Una part��cula de masa m se abandona sin velocidad inicial. El medio opone a su movimiento
una fuerza F = mk2v2 siendo k una constante y v la velocidad. Tras recorrer una altura h choca con un
plano horizontal. Hallar
3
1. La velocidad de la part��cula al llegar al plano y el tiempo que tarda en ello. (Sol.: t1 =
1
k
p
g cosh(e
k2h), v(t1) = �
p
g
k
p
1� e2k2h).
2. El tiempo que tarda en alcanzar la m�axima altura tras el choque. (Sol.: t2 =
1
k
p
g tan
�1(
p
1� e�2k2h))
29. En el mecanismo biela-manivela se concoce la velocidad angular del radio alrededor de su origen.
Hallar la velocidad del pist�on, sabiendo que la longitud de la biela es L y el radio de la manivela es R
30. Un disco rueda sin deslizar sobre un plano. Determinar el tipo de ligaduras a que est�a sometido
dicho sistema y clasi�carlo.
31. Hallar las ecuaciones del movimiento de un sistema formado por dos part��culas de igual masa
m, unidas entre s�� mediante un muelle de constante k2, y suspendida la primera de un punto �jo O
mediante otro muelle de constante k1. Se supone que el movimiento de las dos part��culas tiene lugar
seg�un el eje vertical OY y que las longitudes naturales de los muelles son respectivamente l1 y l2. (Sol.:
��1 + !
2
1�1 + !
2
2(�1 � �2)� g = 0; ��2 � !22(�1 � �2)� g = 0):
32. Obtener las ecuaciones din�amicas de Lagrange para un p�edulo el�astico, constituido por un muelle
de masa despreciable, longitud natural l0 y constante k del que suspendemos una part��cula de masa m
que dejamos oscilar libremente en el plano vertical sujetando al muelle por uno de sus extremos. (Sol.:
�� � (l0 + �) _'2 � g cos'+ !2� = 0; (l0 + �) �'+ 2 _� _'+ g sin' = 0): Estudiar el signi�cado f��sico de ambas
ecuaciones en el l��mite � ! 0:
33. Hallar por el m�etodo de Lagrange las ecuaciones del movimiento de un p�endulo cuyo punto
de suspensi�on oscila arm�onicamente en una l��nea horizontal con amplitud A y frecuencia !. (Sol.:
�'+ g sin'=l �A!2 cos!t cos'=l = 0)
34. Dos p�edulos id�enticos constituidos por una varilla de longitud L y masa m de la que pende un
disco de masa M se acoplan mediante un muelle de constante el�astica k, situado a una distancia l del
punto de sujeci�on de los p�edulos. Obtener las ecuaciones din�amicas de Lagrange para dicho sistema en
la aproximaci�on de oscilaciones peque~nas. (Sol.: �'+!2'+
2('� �) = 0; ��+!2��
2('� �) = 0; Cfr.
Gui�on P�endulos acoplados, T�ecnicas Experimentales II):
35. Dos p�endulos simples de masa m y longitud l; cuyos puntos de suspensi�on se hallan separados
una distancia d a lo largo de una recta horizontal; se acoplan en su extremo inferior mediante un muelle
de masa despreciable, constante el�astica k y longitud natural d. (a) Determine el Lagrangiano del sistema
y las correspondientes ecuaciones de Lagrange. (b) Discuta el signi�cado f��sico de dichas ecuaciones en
el l��mite k ! 0: (Sol.: Cf. Gui�on P�endulos acoplados, T�ecnicas Experimentales II).
36. Resolver el Problema 9 mediante el formalismo de Lagrange. Comparar con los resultados
obtenidos con el formalismo newtoniano.
37. Obtener las ecuaciones din�amicas de Lagrange para un p�edulo c�onico de masa m y longitud l:
38. Determinar el lagrangiano y las ecuaciones din�amicas de un p�endulo c�onico el�astico de masa m
y constante el�astica k (supondremos la masa del muelle despreciable).
39. Obtener las ecuaciones din�amicas de Lagrange para el disco de Maxwell. (Sol.: �x� MgM+I=r2 = 0;
Cf. Gui�on Disco de Maxwell, T�ecnicas Experimentales I).
40. Mediante la formulaci�on lagrangiana, determinar la aceleraci�on de una m�aquina de Atwood
formada por una polea de radio R y masa espreciable sobre la que desliza una cuerda pesada de densidad
lineal � de la que penden dos masas m1 y m2 en cada uno de sus extremos. (Sol.:
m1�m2+�(2z�L)
m1+m2+�(�R+L)
g ).
41. Utilizando el m�etodo de Lagrange, hallar la aceleraci�on con la que se mueven las masas de una
m�aquina de Atwood.
4
42. Un soporte de masa m, en forma de cuadrante circular de radio R, puede deslizar sin rozamiento
sobre un plano horizontal. Sobre el mismo se coloca una part��cula de masa m. Hallar el Lagrangiano del
sistema. (Sol.: L = 12m(2 _x
2 +R2 _�2 + 2R _x _� cos �)�mgR(1� cos �):)
43. El lagrangiano de Kanai-Caldirola viene dado por L(q; _q; t) = me�t( _q2 � !2q2)=2; donde � > 0
y !2 = k=m es la frecuencia natural de un muelle. Determinar la ecuaci�on de lagrange correspondiente
y discutir su signi�cado en t�erminos de la funci�on de disipaci�on de Rayleigh. (cf. Am. J. Phys. 54, 273,
1986).
44. Una part��cula de masa m se mueve en el espacio sometida a la acci�on de una fuerza central
que deriva del potencial U(r). Obtener el lagrangiano del sistema en coordenadas cartesianas y esf�ericas.
Determine, en cada caso, las coordenadas c��clicas que aparecen y obtenga las integrales primeras asociadas
a las mismas.
45. Dos part��culas se mueven en una dimensi�on sometidas a la acci�on de una fuerza que deriva del
potencial U(x1; x2) = q(x1 � x2)n. Demostrar que la suma de los momentos conjugados se conserva.
Interpretar f��sicamente el resultado.
46. Una part��cula de masa m est�a obligada a moverse en la super�cie x2 + y2 = C2, siendo C una
constante, bajo la acci�on de un potencial (A es una constante positiva)
V (x; y; z) = A
z2
(x2 + y2)(x2 + y2 + z2)
:
Determinar n�umero de grados de libertad, constantes del movimiento, y ecuaciones del movimiento.
47. Una part��cula de masa m se mueve por la super�cie interior de un cono de revoluci�on con v�ertice
en el origen de coordenadas, cuyo eje de simetr��a es vertical, sometida exclusivamente a la acci�on de la
gravedad. Averiguar cuantas cantidades conservadas hay y si las ecuaciones del movimiento se pueden
integrar completamente.
48. Una part��cula de masa m se mueve sin rozamiento sobre la super�cie interior de un paraboloide
de revoluci�on de ecuaci�on x2 + y2 = 4z; sometida a la acci�on de la gravedad. (a) Determine el n�umero
de constantes del movimiento. (b) Obtenga las correspondientes integrales primeras.
49. Una part��cula de masa m se mueve sobre una super�cie esf�erica x2 + y2 + z2 = R2 sometida al
potencial U(x; y; z) = a(x2 + y2) + bz2 � cz, siendo a, b, y c constantes positivas con a 6= b. Averiguar
cuantas cantidades conservadas hay y si las ecuaciones del movimiento se pueden integrar completamente.
50. Una part��cula de masa m se mueve por unasuper�cie esf�erica de radio R, cuyo centro es el origen
de coordenadas, sometida al potencial V (x; y; z; ) = z
2
x2+y2+R2 �
1
(y=x)2+1�
1
(x=y)2+1 . Determine el n�umero
de constantes del movimiento y obtenga las correspondientes integrales primeras.
51. Una part��cula de masa m se mueve sobre una super�cie esf�erica de radio R, cuyo centro es el
origen de coordenadas, sometida al potencial V (x; y; z) = �a z2x2+y2 ; donde a � mR
2l2=2 y l es el momento
angular del sistema. Determine el n�umero de constantes del movimiento y obtenga las correspondientes
integrales primeras. (Sol: � = �0 � bt; ' = '0 + lmR2
R t
0
sin�2(�0 � bt0)dt0; donde b � l
p
E=a� 1):
52. Una part��cula de masa m se mueve por una super�cie esf�erica de radio R, cuyo centro es el
origen de coordenadas, sometida al potencial V (x; y; z; ) = �ax
2+y2
z2 ;donde a es una constante positiva.
Determine el n�umero de constantes del movimiento y obtenga las correspondientes integrales primeras.
53. Una part��cula de masa m se mueve por una super�cie esf�erica de radio R sometida al potencial
V (x; y; z) = ��2mR
2 z2
x2+y2 ; donde � = 1 s
�2. (a) Determine el n�umero de constantes del movimiento.
(b) Haciendo uso de las condiciones iniciales �(0) = �=2; '(0) = 0; _�(0) = �1 rad/s, y _'(0) = 1 rad/s,
obtenga las correspondientes integrales primeras.
5
54. Una part��cula de masam se mueve en un plano horizontal atra��da hacia el origen O por una fuerza
proporcional a la distancia a dicho punto. En O se sit�ua un sistema de referencia no inercial que gira con
velocidad angular constante ! en torno al eje perpendicular al plano. Obtener e integrar las ecuaciones
din�amicas y determar en que caso dichas ecuaciones son an�alogas a la de un oscilador arm�onico en un
sistema inercial.
55. Determinar la dependencia expl��cita con el tiempo, L(t), del lagrangiano correspondiente al disco
de Maxwell (Cf. Gui�on "Disco de Maxwell", T�ecnicas Experimentales I). Calcular la integral de acci�on
del sistema a lo largo de un ciclo completo. Discutir si se cumple el principio de m��nima acci�on.
56. El lagrangiano de un sistema resulta invariante ante un desplazamiento helicoidal de�nido medi-
ante la transformaci�on z0 = z + �b=2�, '0 = ' + �, �0 = � + �, and t0 = t. Determinar la constante del
movimiento asociada a dicha simetr��a. (Sol.: p' + p� +
b
2�pz = cte.).
57. Una part��cula de masa m se mueve sometida a un potencial que veri�ca la la relaci�on U(�r) =
�n U(r), donde � es un n�umero real y n un entero. Determinar el valor de n para el cual la acci�on es
invariante ante la transformaci�on r0 = (1+ �) r y t0 = (1+ �)2t. Obtener la correspondiente constante del
movimiento. (Sol.: �m_r:r+2tE = cte.)
58. Sean A by B dos puntos no situados en una misma vertical y sea g(x) una curva que los une. Una
part��cula de masa m se abandona bajo la acci�on de la gravedad en el punto A y desliza, sin rozamiento, a
lo largo de la curva g(x) hasta llegar al punto B. Averiguar la forma funcional de la curva para la cual el
tiempo invertido por la part��cula es m��nimo. (Problema de la braquist�ocrona enunciado por J. Bernoulli
en 1696). (Sol.: cicloide).
59.Un bloque de masa m desciende por un plano inclinado un �angulo � con respecto a la horizontal.
Obtenga la reacci�on del plano mediante el m�etodo de los multiplicadores de Lagrange utilizando: a)
coordenadas cartesianas (Sol.: � = �mg cos2 �, N = mg cos�), b) coordenadas polares (Sol.: � =
�mgr cos�; N = mg cos�): Discutir los resultados obtenidos.
60. Obtener la tensi�on a la que est�a sometida la cuerda en un p�endulo simple de masa m y longitud
l mediante el m�etodo de los multiplicadores de Lagrange. (Sol.: � = T = �m(l _'2 + g cos'):
61. Obtener la tensi�on a la que est�a sometida la cuerda en el disco de Maxwell mediante el m�etodo
de los multiplicadores de Lagrange. (Sol.: T = � IMgI+Mr2 ; Cfr. Gui�on Disco de Maxwell, T�ecnicas
Experimentales I):
62. Una part��cula de masa m se mueve sin rozamiento sobre la super�cie interior de un cuenco
semiesf�erico de radio R. Determine la fuerza de reacci�on de la super�cie mediante el m�etodo de los
multiplicadores de Lagrange (Sol.: � = Fr = mR( _�
2 + _'2 sin2 �)�mg cos �).
63. Determinar las fuerzas de ligadura que act�uan sobre el sistema descrito en el Problema 8
mediante el m�etodo de los multiplicadores de Lagrange.
64. Determinar las fuerzas de ligadura que act�uan sobre el sistema descrito en el Problema 9
mediante el m�etodo de los multiplicadores de Lagrange.
65. Una m�aquina de Atwood est�a formada por una polea de radio R y masa M de la que penden
dos masas m1 y m2 unidas por una cuerda inextensible de longitud l y masa despreciable. Determinar
las fuerzas de ligadura que act�uan sobre el sistema mediante el m�etodo de los multiplicadores. (Sol.:
�1 =
4m2+M
2(m1+m2)+M
m1g; �2 = � 4m1+M2(m1+m2)+Mm2g):
66. Una part��cula de masa m se mueve sin rozamiento sobre un alambre helicoidal de ecuaci�on z = b�
y � = R, donde � y � son coordenadas cil��ndricas y b y R son constantes positivas. En el instante inicial la
part��cula se encuentra en reposo en � = 0. Obtener: a) su posici�on en funci�on del tiempo, b) la reacci�on
del alambre sobre la part��cula. (Sol.: z(t) = 12
�
b2
b2+R2
�
gt2; �1 =
�
R2
b2+R2
�
mg; �2 = � Rb
2
(b2+R2)2mg
2t2):
6
67.Dos part��culas de masa m, unidas mediante un muelle de constante el�astica k y longitud natural
despreciable, giran con velocidad angular constante ! con respecto a un eje vertical que pasa por el centro
de masas del sistema. Las part��culas se mueven sobre un plano horizontal sin rozamiento. Determine: a)
el Lagrangiano del sistema y las correspondientes ecuaciones de Lagrange; b) la integral de Jacobi. (Sol.:
L = 14m( _r
2 + r2!2)� 12kr
2; �r � (!2 � 2k=m)r = 0; h = 14m( _r
2 � r2!2) + 12kr
2:)
68. Dos part��culas de masas m1 y m2 se encuentran inicialmente en reposo, separadas por una
distancia r0, y bajo la acci�on de sus mutuas atracciones gravitatorias. Determinar el tiempo que tardar�an
en colisionar. (Sol.: t =
�r
3=2
0
2
p
2G(m1+m2)
).
69. En sus Principia Mathematica Philosophiae Naturalis, Isaac Newton (1643-1727) propuso y
resolvi�o el siguiente problema: una part��cula de masa m se mueve en un potencial central, de modo que
el �angulo � entre la velocidad y el vector de posici�on es constante.
1. Probar que el producto vr del m�odulo de la velocidad por el del radio vector se matiene constante.
2. Hallar la energ��a total y la forma del potencial efectivo (suponer limr!1 V (r) = 0). (Sol.: E = 0).
3. Hallar las funciones r(t), '(t) que representan el movimiento.
4. Hallar cuanto tarda la part��cula en pasar por el origen, si los datos iniciales son r0 = 1000m,
v0 = 10m s
�1 y � = 45o. (Sol.: 70:7 s).
70. Una part��cula de masa � se mueve bajo la acci�on de un potencial central V (r) = Kr2 con momento
angular l =
p
2�d4K en una �orbita circular, siendo K y d costantes positivas. Instant�aneamente se le
comunica una velocidad v = 2d
p
K=� en direcci�on radial. Calcular la energ��a en la nueva �orbita. (Sol.:
E0 = 4kd2).
71 Una part��cula de masa efectiva � se mueve bajo la acci�on de un potencial central V (r) = ar3 con
momento angular l = R2
p
3�Ra describiendo una �orbita circular, donde a y R son constantes positivas.
Determine la velocidad radial que se le debe comunicar para duplicar el valor de su energ��a mec�anica
total. >Cu�al ser�a el periodo de las oscilaciones radiales alrededor de r = R ? (Sol.: _r = R
p
5aR=�,
T = 2�
p
�=15aR ).
72 Una part��cula de masa efectiva � se mueve bajo la acci�on de un potencial central V (r) = ar3 con
momento angular l =
p
3a�: Dibuje un diagrama esquem�atico de su potencial efectivo y clasi�que cualita-
tivamente las posibles �orbitas de la part��cula seg�un su ener��a. Determine el valor del radio correspondiente
a la �orbita circular. (Sol.: r0 = 1).
73. Una part��cula se mueve en un potencial V (r) = Kr4, K > 0. >Para qu�e valores de la energ��a y
el momento angular la �orbita ser�auna circunferencia de radio a con centro en el origen? >Cu�al ser�a el
per��odo de dicha �orbita? Si la part��cula se perturba separ�andola de dicho movimiento circular, >cu�al ser�a
el per��odo de las oscilaciones radiales alrededor de r = a? (Sol.: T = �a
p
�
k , T
0 = T=
p
6).
74. Dos part��culas de masas m y 2m interaccionan mediante una fuerza central dada por F(r) =
�(k=r+2�=r2)(r=r), siendo r el vector de posici�on de una part��cula respecto de la otra y k, � constantes
positivas. Calcular la separaci�on de equilibrio entre ambas part��culas cuando el momento angular relativo
es l =
p
2�2m=k. (Sol.: r0 = �=k).
75. Dos part��culas de masa 2m se mueven bajo la acci�on del campo de fuerzas ~F = � 1r2
�
1 + 2r
�
r̂;
con momento angular l = 2
p
�; donde � es la masa reducida: Dibuje un diagrama esquem�atico de
su potencial efectivo y clasi�que cualitativamente las posibles �orbitas de la part��cula seg�un su energ��a.
Determine el valor del radio y el periodo correspondientes a la �orbita circular. (Sup�ongase que el potencial
de interacci�on se anula en el in�nito). (Sol.: r0 =2, T = 4�
p
m).
76. Una part��cula de masa m se mueve en el potencial central V (r) = ar + b exp (�cr) (a; b; c > 0).
Estudiar y clasi�car sus posibles �orbitas.
7
77. Un cuerpo puntual es lanzado con velocidad
p
2�=3a3 perpendicularmente al radio vector y a
una distancia a desde el centro de una fuerza atractiva �2r�4. Hallar la trayectoria y mostrar que pasa
por el origen en un tiempo � = 3�
p
3a5=(8
p
2�). (Sol.: � = a cos2('=2):)
78. La ecuaci�on para determinar la �orbita de una part��cula de masa � que se mueve bajo la acci�on
de una fuerza central F (r)r̂, es d
2u
d'2 + u = �
�
l2u2F
�
1
u
�
; donde l es su momento angular y u(') � 1=r('):
Determine F (r) para que la �orbita sea una curva de Cotes de ecuaci�on r = sec(�'); donde � �
q
1 + �kl2
y k es una constante: (Sol.: F (r) = kr�3):
79. Una part��cula de masa reducida unidad se mueve bajo la acci�on de una fuerza central atractiva
dada por la expresi�on F = � kr2 �
k2
2r3 ; donde k es una constante positiva. En el instante inicial r(0) = a
y la velocidad es igual a k
a
p
2
y est�a dirigida en la direcci�on perpendicular a r(0): Determine la ecuaci�on
de la trayectoria. (Sol.: 1=r = 1=a+ '2=k).
80. Una part��cula de masa reducida unidad se mueve bajo la acci�on de una fuerza central dada por
la expresi�on F = �k2
�
r + 1r3
�
r̂; donde k es una constante positiva. En el instante inicial r(0) = a y
la velocidad es igual a ka y est�a dirigida en la direcci�on perpendicular a r(0): Demuestre que la ecuaci�on
de la trayectoria es r2 = a2=(1 + a4'2). (Nota: la soluci�on de la ecuaci�on diferencial u00 = 1=u3 es
u2 = (1 + c2'2)=c; donde c es una constante de integraci�on).
81. Una part��cula de masa � se mueve bajo una fuerza atractiva ~F = f(r)r̂, con f(r) = �k�=rn,
k > 0, y n entero positivo. La ecuaci�on de la �orbita circular que describe es r(') = 2R cos'. Determinar
n y la energ��a de la part��cula. (Sol.: n = 5, E = �k�=32R4).
82. Sabiendo que la excentricidad de la �orbita de la Tierra es e = 0:01673 y que su semieje mayor
es a = 1:495 � 108 km, encontrar las distancias m�axima y m��nima al Sol y el semieje menor b. Hallar
tambi�en las velocidades de la Tierra en el perihelio, en el afelio y en los extremos del latus rectum. (Sol.:
vp = 30:37 km/s, va = 29:37 km/s, vl = 29:88 km/s).
83. Suponiendo que la �orbita de la Tierra es circular y que los meteoros se mueven en �orbitas
parab�olicas, >entre qu�e l��mites de velocidad relativa chocar�an con la Tierra, despreciando la atracci�on
terrestre? >C�omo var��an esos l��mites si se tiene en cuenta la excentricidad de la �orbita de nuestro planeta?
(Sol.: vmax = 72:11 km/s, vmin = 12:37 km/s; vmax = 72:97 km/s, vmin = 11:53 km/s).
84. Calcular el tiempo durante el que un cometa parab�olico est�a entre los extremos de sus latus
rectum alrededor del Sol (Masa del Sol MS = 2 � 1030 kg). Si la distancia al perihelio es 9:7 � 107 km,
mostrar que ese tiempo es aproximadamente 89 d��as.
85. Supongamos que la �orbita de la Tierra es circular y que un cometa parab�olico la cruza al acercarse
a su perihelio. Hallar la f�ormula que expresa el tiempo que el cometa est�a dentro de la �orbita de la tierra
en funci�on de la distancia de su perihelio al Sol. Mostrar que ese tiempo es siempre inferior a 2=3� a~nos.
86. Un sat�elite meteorol�ogico pasa en su punto de mayor proximidad a la Tierra a 161 km de altura
sobre la super�cie y su periodo es de 90 minutos. Calcular la excentricidad de su �orbita. (Sol.: e =
0:0184).
87. Una nave espacial se aproxima a Marte siguiendo una trayectoria parab�olica. Al llegar al periastro
A (punto m�as pr�oximo al centro del planeta) se encienden los retrocohetes para disminuir la velocidad
sin cambiar de direcci�on, e iniciar una �orbita el��ptica que la llevar�a a aterrizar en Marte tangencialmente
a su super�cie, como indica la �gura. Sabiendo que la distancia del centro de Marte O a A es 12900 km,
que el radio del planeta es 3 400 km y que su masa es 6.455�1023 kg, calcular
1. La velocidad al llegar a A. (Sol.: 2:59 km/s)
2. La velocidad inmediatamente tras encender los retrocohetes en A. (Sol.: 0:94 km/s)
8
3. La velocidad al llegar a B. (Sol.: 3:56 km/s)
4. El tiempo que transcurre desde la maniobra en A hasta el aterrizaje en B. (Sol.: 11035 s)
88. Un sat�elite realiza una �orbita circular de radio R en torno a la Tierra, con velocidad v0. In-
stant�aneamente se le incrementa su velocidad tangencial y pasa a tener una �orbita el��ptica. Cuando llega
al apogeo de esta nueva �orbita, que se encuentra a una distancia 4R del centro de la Tierra, se le vuelve a
comunicar un incremento de velocidad �v2 tangencialmente, pasando a tener una nueva �orbita el��ptica,
de la que se sabe que el perigeo es 2R. Calcular el cociente �v2=v0.
89. Un sat�elite arti�cial se mueve en una �orbita el��ptica de alta excentricidad, y en su perigeo sufre
una fuerza de frenado debido a la resistencia de la atm�osfera. En un modelo simple se supone que la
velocidad se reduce instant�aneamente de vp a (1 � �)vp sin cambio de direcci�on, siendo � una constante
positiva mucho menor que la unidad.
1. >C�omo cambia la distancia al perigeo rp? Hallar una expresi�on simple para la excentricidad en
funci�on de rp y vp.
2. Describir cualitativamente c�omo evoluciona la �orbita del sat�elite, calculando cu�anto cambian en
cada paso por el perigeo la excentricidad e, el semieje mayor a y la energ��a E.
3. Si en el momento inicial e = 0:9 y � = 0:01, >cu�antas veces pasa por el perigeo antes de que la
�orbita sea aproximandamente circular?.
4. Discutir las limitaciones del modelo.
90. Un sat�elite arti�cial de masa m se mueve con velocidad v en una �orbita circular a una altura
de 1630 km sobre la super�cie terrestre. En un cierto momento un meteorito con masa m=10, que se
mueve con velocidad 2v hacia el centro de la Tierra, choca con el sat�elite y queda adherido a �el. >Cu�anto
vale la velocidad del sat�elite despu�es del choque? >Cu�anto cambia la direcci�on y el momento angular?
Determinar si el sat�elite cae a la Tierra como consecuencia de la colisi�on.
91. Un sat�elite arti�cial de masa m se mueve en una �orbita circular con velocidad v0. En un cierto
momento se produce una explosi�on que divide el sat�elite en dos partes de masa m=2, a las que comunica
velocidades v y �v relativas al sat�elite y paralelas a la antigua �orbita. Calcular la excentricidad de la
�orbita de la mitad que sale hacia adelante. (Sol.: e = (1 + v=v0)
2 � 1 ).
92. Un sat�elite arti�cial realiza una �orbita circular de radio R en torno a la Tierra. En un momento
dado se encienden los motores y le comunican un impulso instant�aneo en direcci�on tangencial, de forma
que el sat�elite incrementa su energ��a en una cantidad �E1 y pasa a tener una �orbita el��ptica. Cuando llega
al apogeo de esta �orbita se vuelven a encender los motores comunicando un nuevo impulso instant�aneo
en direcci�on tangenciale incrementando la energia en una cantidad �E2 (respecto a la que ten��a en la
�orbita el��ptica), pasando ahora a tener una nueva �orbita circular de radio 2R. Suponiendo que la masa
del sat�elite no ha variado, calcular el cociente �E2=�E1. (Sol.: 0:5).
93. Obtener el Hamiltoniano de una part��cula de masa m sometida a la acci�on de un potencial
V (x; y; z) en coordenadas a) cartesianas, b) cil��ndricas, y c) esf�ericas.
94. Obtener el Hamiltoniano y las ecuaciones del movimiento de una part��cula de masa m que desliza
sin rozamiento por el interior de un cuenco de radio R de forma esf�erica. >Qu�e constantes del movimiento
posee el sistema? (Sol.: H =
p2�
2mR2 +
p2'
2mR2 sin2 �
+mgR(1� cos �):)
95. Una part��cula de masa m se mueve sin rozamiento en un alambre helicoidal de ecuaci�on
param�etrica � = az; ' = �bz; a > 0; b > 0: Obtener el Hamiltoniano del sistema y las correspondi-
entes ecuaciones del movimiento.
96. Un p�endulo esf�erico esta formado por una part��cula de masam que cuelga del extremo de un muelle
de longitud natural l0 y constante el�astica k. Obtener el Hamiltoniano del sistema y las correspondiente
ecuaciones del movimiento. (Sol.: p2r=2m+ p
2
�=2mr
2 + p2'=2mr
2 sin2 � +(l0 � r cos �)mg + k(r � l0)=2):
9
97. Un regulador centr��fugo est�a formado por dos esferas de radio despreciable y masa m, dos
varillas que las unen, articuladas de manera que pueden pivotar sin rozamiento, de longitud l y masa
despreciable, y un muelle intermedio de constante el�astica k y longitud natural l0. Mediante la formulaci�on
lagrangiana, obtener las ecuaciones del movimiento y el Hamiltoniano del sistema cuando �este gira con
velocidad angular !.
98. Una part��cula de masa m est�a ensartada en una circunferencia que gira con velocidad angular
constante ! en torno a uno de sus di�ametros. Determinar el Hamiltoniano del sistema y discutir si �este
coincide con la energ��a mec�anica del sistema. (Suponer que la part��cula desliza sin rozamiento a lo largo
de la circunferencia.)
99. Una part��cula est�a ensartada como una cuenta en un alambre cuya forma est�a dada por la funci�on
z = a tan2(x=a), donde a es una constante con dimensi�on de longitud, estando dirigida la vertical seg�un
el eje OZ. El alambre gira alrededor de dicho eje con velocidad angular constante !. La part��cula se ve
sometida a la acci�on de la gravedad. Obtener el Hamiltoniano y discutir si �este coincide con la energ��a
mec�anica del sistema.
100. Una part��cula de masa m est�a unida a un extremo de un muelle sin masa de constante k
y longitud natural l. El otro extremo del muelle se sujeta al v�ertice de un cono de abertura 2�. La
part��cula gira con una velocidad angular constante ! en torno al eje del cono. Calcular el Lagrangiano
y el Hamiltoniano de la particula. Discutir si el Hamiltoniano coincide con la energ��a y si se conserva
alguna de estas magnitudes.
101.Una part��cula de masa m se mueve sobre un plano horizontal, sin rozamiento, atra��da hacia el
origen O por una fuerza proporcional a la distancia a dicho punto (que se toma como origen del potencial).
El plano gira con velocidad angular constante ! =
p
k=m en torno al eje perpendicular al plano que pasa
por O, siendo k la constante de proporcionalidad de la fuerza. Las condiciones iniciales del movimiento
son '(0) = 0 rad/s; r(0) = r0 m y _r(0) = +1 m/s: Determine:
1. bajo qu�e condiciones las ecuaciones de Lagrange son an�alogas a las de un oscilador arm�onico;
2. la integral de Jacobi del sistema. >Es una constante del movimiento?
3. la trayectoria de la part��cula en un sistema de referencia inercial,
4. el Hamitoniano del sistema y las correspondientes ecuaciones de Hamilton,
5. >coincide el Hamiltoniano con la energ��a total del sistema?
102.Un p�endulo de masa m cuya longitud var��a con el tiempo de acuerdo con la expresi�on l = l0+ bt;
(b > 0) oscila en un plano vertical bajo al acci�on de la gravedad. Determine:
1. El Lagrangiano del sistema y las correspondientes ecuaciones de Lagrange;
(Sol: L = m[b2 + (l0 + bt)
2 _'2]=2 +mg(l0 + bt) cos'; �'+ g sin'=(l0 + bt) + 2b _'=(l0 + bt) = 0)
2. la integral de Jacobi del sistema. >Es una constante del movimiento?
(Sol: h = m(l0 + bt)
2 _'2=2�mg(l0 + bt) cos'�mb2=2)
3. el Hamitoniano del sistema y las correspondientes ecuaciones de Hamilton,
(Sol: H = p2=2m(l0 + bt)
2 �mg(l0 + bt) cos'�mb2=2; _p = �mg(l0 + bt) sin'; _' = p=m(l0 + bt)2)
4. Discutir la relaci�on del Hamiltoniano con la energ��a total del sistema. (Sol: E �H = mb2)
103. Una part��cula de masa m se puede mover sin rozamiento sobre una curva de ecuaci�on z =
�a cos(�x=a) situada en un plano vertical en el que OZ es la vertical ascendente y el eje OX est�a en el
plano horizontal. La curva gira con velocidad angular constante ! alrededor del eje OZ. Calcular:
1. Una constante del movimiento. >Coincide con la energ��a de la part��cula?
10
2. Determinar ! para que colocada la part��cula en el punto x = a=2, z = 0 y en reposo con respecto
a la curva, se mantenga inde�nidamente en dicha posici�on.
3. Calcular la zona en la que se realiza el movimiento de la part��cula en el caso en que ! =
p
2�g=a
y suponiendo que en el instante inicial dicha part��cula se encuentra en x = 0, z = �a y tiene una
velocidad absoluta v0 =
p
ga(2� �=2).
4. Expresar por una cuadratura, es decir, mediante una integral, el tiempo que tarda la particula en
alcanzar la posici�on m�as alejada del eje OZ en el movimiento de�nido en el apartado anterior.
5. Hallar la reacci�on que ejerce la curva sobre la part��cula en el instante inicial del mismo movimiento.
104. Estudiar cualitativamente el movimiento de un p�endulo simple de longitud l y masa m en el
espacio de las fases.
105. Una part��cula de masa m se mueve sobre el eje X bajo la acci�on de una fuerza conservativa.
Su trayectoria en el espacio de las fases es una recta que parte del punto (-a,p0) hasta el punto (0,2p0),
y desde aqu�� una nueva recta que llega al punto (a,p0), siendo a y p0 constantes positivas. Calcular el
tiempo que tarda la part��cula en ir desde x = �a hasta x = a, sabiendo que ma=p0 = 1 s.
106. En un cierto sistema inercial S las coordenadas de cuatro sucesos son:
Suceso x y z t
A1 0.3 m 0.5 m 0 m 2� 10�9 s
A2 0.4 m 0.7 m 0 m 3� 10�9 s
A3 0.7 m 0.5 m 0 m 5� 10�9 s
A4 0.4 m 0.6 m 0 m 4� 10�9 s
>Puede existir conexi�on causal entre A1 y A2? >Existe alg�un sistema inercial S
0 en el que A1 y A2
sean simult�aneos? >Y un S00 en el que lo sean A3 y A4? En caso a�rmativo, determinar los sistemas de
referencia en que esto se veri�que.
107. Los piones �+ se desintegran en un mu�on �+ y un neutrino mu�onico �� con una vida media
� = 2:6 � 10�8 s. Calcular la vida media en el laboratorio de un haz de piones que se mueve con una
velocidad v =
p
0:99c. >Cu�al ser�a su recorrido libre medio? (Sol.: x = 77:6 m).
108. Se considera un haz que en x = 0 contiene el mismo n�umero de piones y muones que se mueven
a velocidad 3c=5 en la direcci�on del eje x. Calcular para qu�e valor de x habr�a s�olo un 10% de piones,
sabiendo que las vidas media son �� = 2:603 � 10�8 s y �� = 2:197 � 10�6 s, y la ley de desintegraci�on
para cada tipo de part��cula es N(t) = N0 exp(�t=�), siendo N0 el n�umero inicial de part��culas y donde t
se mide en el sistema de referencia en el que las part��culas est�an en reposo.
109. Dos naves espaciales, cada una de las cuales mide 100m en su propio sistema en reposo, se cruza
entre s��. Los instrumentos situados en la nave A se~nalan que la nave B invierte 5� 10�6 s en pasar por
el extremo frontal de A.
1. >Cu�al es la velocidad relativa de ambas naves? (Sol.: 1.995�107 m/s).
2. Un reloj situado en el extremo frontal de B se~nala exactamente la una al pasar por el extremo
frontal de A. >Cu�al ser�a la lectura del reloj cuando el extremo posterior de B pase por el extremo
frontal de A? (Sol.: �tB = 5:012 �s):
110. Una nave espacial se desplaza respecto a la Tierra (consid�erese el movimiento unidimensional) a
una velocidad v =
p
3 c=2. Suponiendoque los or��genes de espacio y tiempo coinciden en ambos sistemas
de referencia, estudiar si es posible una relaci�on causal entre el suceso s1, de coordenadas en el referencial
de la Tierra x1 = 4km, t1 = 10 s, y el suceso s2, de coordenadas en el sistema de referencia de la nave
x2 = 0, t2 = 3 s. (Sol.: �S
2
12 < 0)
11
111. Sean dos sistemas de referencia S y S0 tales que S0 se mueve respecto a S con velocidad v > 0
en la direcci�on del eje X. Por otra parte, sean los sucesos s1 (coordenadas en S, t1 = 4 s, x1 = 0;
coordenadas en S0, t01 = 5 s, x
0
1 = �9� 105 km), s2 (coordenadas en S, t2 = 8 s, x2=0) y s3 (coordenadas
en S0, t03 = 20 s, x
0
3 = 3 � 105 km). Determinar si es posible la conexi�on causal entre s2 y s3. (Sol.:
�S212 > 0):
112. Una nave espacial A se mueve a velocidad constante v = 3c=5 respecto a otra nave B, tambi�en
con velocidad constante. En un cierto instante ambas naves coinciden en el mismo punto del espacio-
tiempo, momento en el que se ponen a cero los relojes de las dos naves. Los tripulantes de la nave B
emiten una se~nal cuando su reloj marca 1 a~no, y que se propaga hacia la nave A. >Cu�anto marcar�a el
reloj de A cuando reciba dicha se~nal? (Sol.: 2 a~nos).
113. Demostrar que los procesos que se describen a continuaci�on son imposibles:
1. Un fot�on choca contra un electr�on en reposo y entrega su energ��a al electr�on.
2. Un fot�on situado en el espacio libre se transforma en un par electr�on positr�on.
3. Un positr�on r�apido y un electr�on en reposo se destruyen mutuamente dando lugar a un s�olo fot�on.
114. >Cu�al es la energ��a de retroceso de un n�ucleo de masa 10�26 kg despu�es de la emisi�on de un rayo

 de 1MeV de energ��a? (Sol.: E ' 5 GeV).
115. Una part��cula de masa m con una velocidad de 0:6 c colisiona con una part��cula en reposo
de masa 2m. Tras la colisi�on se observan �unicamente cuatro part��culas iguales de masa � y que se
mueven todas ellas en la misma direcci�on y sentido y con la misma velocidad v. Calcular � y v. (Sol.:
� =
p
5=8m; v = 3c=13):
116. Una part��cula de masa m con momento mc=2 colisiona con otra part��cula de la misma masa que
est�a en reposo. Despu�es de la colisi�on emergen �unicamente otras dos part��culas de masa m0 con �angulos
de 30o respecto a la direcci�on de la part��cula original incidente. >Cu�al es el momento de cada una de las
part��culas producidas en la colisi�on? ( Sol.: p0 = mc=2
p
3):
117. Dos part��culas de masas iguales m1 = m2 =
p
6m se mueven en la direcci�on positiva del eje X
con velocidades v1 = 3c=5 y v2 = 4c=5, respectivamente. Calcular la masa y la velocidad de la part��cula
que se crea tras la colisi�on. (Sol.: M = 5m; v = 5c=7):
118. En el sistema de laboratorio se observan dos part��culas A y B que se mueven en la misma
direcci�on y sentidos opuestos. Sus masas son mA = m y mB = 9m=16, y sus velocidades son vA = 3c=5
y vB = 4c=5. En un cierto instante las part��culas colisionan.
1. Si en el choque tiene lugar el proceso A+ B �! C, determinar la masa, energ��a y momento de la
part��cula C en el sistema de laboratorio. (Sol.: pc = 0;mc = 35m=16;E = mcc
2):
2. Si se da el proceso A + B �! D + D, determinar el momento y energ��a de las part��culas D, as��
como el valor m�aximo posible de su masa mD. (Sol.: ED = ED0 = 35mc
2=32):
119. Al chocar fotones de alta energ��a E
 con n�ucleos N en reposo de masa M es posible la creaci�on
de piones neutros de masa m = 140MeV/c2 seg�un la ley 
 +N ! N + �o. Sabiendo que E
 = 300MeV
y que M = 940MeV/c2, encontrar: la energ��a de los piones que emergen en �angulo recto respecto a los
fotones, la direcci�on de salida de los n�ucleos, la energ��a de los piones en el sistema de centro de masas.
120. Una nave espacial parte de la Tierra con una velocidad de 4c=5. Despu�es de 2 horas de la
salida de la Tierra, seg�un los relojes de la nave, se detecta que se han originado dos part��culas en reposo
respecto a la nave, debido a la radiaci�on c�osmica, con masas m y m=2. Se pide:
1. Tiempo medido en la Tierra desde que sali�o la nave hasta que se crearon las part��culas. (Sol.:
7.2�105 s)
12
2. Distancia a la que se encuentra la nave en dicho instante. (Sol.: x = 1:73� 1014 m)
3. Energ��a y momento de las part��culas para un observador en la Tierra. (Sol.: Em = 5mc
2=3;
Em=2 = 5mc
2=6; pm = 4mc=3; pm=2 = 2mc=3)
4. Suponiendo que las dos part��culas se han originado como resultado de la desintegraci�on de una
part��cula, determinar la masa de �esta as�� como su energ��a, momento y velocidad para un observador
ligado a la nave y para otro que se encuentre en la Tierra. (Sol.: M = 3m=2; E = 3mc2=2; p = 0):
121. En un cierto sistema de referencia se observa que una part��cula posee una energ��a total de 5GeV
y un momento 3GeV/c. >Cu�al es la energ��a de esta part��cula en un sistema en el que su cantidad de
movimiento es 4GeV/c? >Cu�al es la velocidad relativa de ambos sistemas de referencia? (Sol.: E = 5:6
GeV;v = �0:18c):
122. >Cu�al es la energ��a umbral de la reacci�on p + p �! p + p + (p + p) que resulta del bombardeo
de protones estacionarios con protones de alta energ��a? (Sol.: T = 6mc2):
123. >Cu�al es la energ��a cin�etica que debe tener un electr�on con objeto de que ceda la mitad de
esta energ��a a un prot�on inicialmente en reposo, en una colisi�on el�astica en la l��nea que une sus centros?
Resolver el problema teniendo en cuenta que la masa del electr�on m es aproximadamente 2000 veces m�as
peque~na que la del prot�on, Mp = 1000MeV/c
2. (Sol.: T = (m2+M2p � 6mMp)c2=2Mp ' 500 MeV/c2):
124. Un fot�on de energ��a E colisiona con una part��cula en reposo de masa m, siendo absorbido por
�esta. >Cu�al es la velocidad de la part��cula resultante? Si la part��cula incidente no es un fot�on sino que
es id�entica al blanco y tiene una velocidad de 4c=5, y tras la colisi�on tambi�en se crea una sola part��cula,
>cu�al es la masa y la velocidad de �esta? (Sol.: v = c=(1 +mc2E�1); m0 = 4m=
p
3; v0 = c=2):
125. Un haz de piones �0 de masa 135MeV=c2 y de energ��a cin�etica 20MeV se desintegra seg�un la
reacci�on �0 �! 
+
. Calcular la energ��a de los fotones 
 en funci�on del �angulo formado con la direcci�on
de los piones en el laboratorio. En particular, calcular las energ��as m�axima y m��nima de los fotones
resultantes.
126. El efecto Compton consiste en la extracci�on de un electr�on de las capas m�as externas de un
�atomo por colisi�on con un fot�on. Si tras el impacto el fot�on sale formando un �angulo � con su direcci�on
inicial y su energ��a inicial era E, calcular la energ��a con la que sale, as�� como el �angulo de salida del
electr�on y su energ��a cin�etica.
127. Un antiprot�on (masa 938MeV/c2) colisiona con un prot�on en reposo (masa 938MeV/c2) pro-
duciendo una part��cula X (masa 1500MeV/c2) y un fot�on. Sabiendo que la part��cula X permanece en
reposo, calcular la energ��a del antiprot�on incidente.
128. Una part��cula de masa m y momento p = 34mc se desintegra en dos part��culas de masas
m1 = m=
p
12 y m2 = m=
p
24. Se observa que la part��cula 1 tiene una trayectoria perpendicular a la
trayectoria de la part��cula inicial.
1. Calcular las energ��as de las part��culas 1 y 2.
2. Determinar el �angulo que forma la trayectoria de la part��cula 2 con la trayectoria de la part��cula
inicial, tanto en el sistema de laboratorio como en el sistema centro de masas.
3. Si la vida media de la part��cula 1 es el doble que la de la part��cula 2, determinar cu�al de ellas
recorrer�a una distancia mayor antes de desintegrarse.
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