Semana2y3_Reglas_de_Probabilidad_y_Tecnicas_de_Conteo_Patricia_Guevara

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Unidad 1: 
Estadística descriptiva y cálculo de probabilida-
des. 
Semanas 2 y 3: 
Probabilidades y Técnicas de Conteo 
 
 
 Dra. Patricia Guevara Vallejo 
Docente del DECE 
Universidad de las Fuerzas Armadas -ESPE 
 
 
 
 
Diciembre 2020 
 
I 
 ÍNDICE 
Capítulo 2. Teoría de las Probabilidades _________________ 39 
2.1 Conceptos básicos ______________________________________ 39 
2.1.1 Definición clásica de probabilidad ____________________________________ 40 
2.1.2 Axiomas de la probabilidad _________________________________________ 41 
2.1.3 Técnicas de conteo ________________________________________________ 42 
2.2 Eventos y conjuntos ____________________________________ 46 
2.3 Eventos mutuamente excluyentes ________________________ 47 
2.4 Regla de adición de eventos _____________________________ 47 
2.5 Probabilidad condicional _______________________________ 50 
2.6 Eventos independientes ________________________________ 50 
2.7 Regla de Probabilidad conjunta __________________________ 51 
2.8 Diagramas de arbol y tablas de contingencia ______________ 56 
2.9 Regla de probabilidad total o marginal ___________________ 62 
2.10 Teorema de Bayes ______________________________________ 64 
2.11 Ejercicios propuestos ___________________________________ 66 
2.12 Deberes _______________________________________________ 68 
Bibliografía ______________________________________ 69 
Anexos __________________________________________ 69 
 
 
 
 
 
 
39 
Capítulo 2. Teoría de las Probabilidades 
 
 
 
2.1 Conceptos básicos 
La probabilidad surge de los juegos de azar, cuando se trataba de determinar las posibilidades 
que tenía un jugador de ganar o de perder. Intuitivamente la Probabilidad se podría decir es el 
grado de certeza con el cual un acontecimiento puede ocurrir. La teoría de las probabilidades 
juega un papel importante en la inferencia estadística. Así por ejmplo, en el área de producción 
puede intersar determinar el porcentaje de productos cumplen con el peso especificado dentro de 
límites permitidos, ello es de impotancia pues estar fuer de los límites puede ser perjudicial en 
términos de ganancias y control. A continuación se presentan algunos conceptos básicos y reglas 
para entender lo que son las probabilidades. 
 
Experimento aleatorio es un proceso mediante el cual se obtiene una observación. 
Los ejemplos típicos asociados al estudio de las probabilidades son: 
1. Lanzamiento de una moneda 
2. Lanzamiento de un dado 
3. Extracción de una carta 
Con ellos se pueden hacer diferentes variantes sobre el número de veces que se repite el experi-
mento, y dependiendo del caso con o sin reposición. Entender esto conceptos, permitirá entender 
ejemplos prácticos y resolución de problemas aplicados a la vida real. 
 
El Espacio muestral  es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento aleatorio. 
De los ejemplos anteriores, a continuación, se determina el espacio muestral: 
1. El espacio muestral generado al lanzar una moneda es:  = {C, S} 
2. El espacio muestral generado al lanzar un dado es:  = {1,2,3,4,5,6,} 
3. El espacio muestral generado al extraer una carta es: 
 = {As, … K , As, …, K, As, …, K, As ,…, K} 
 
40 
Evento, es un subconjunto del espacio muestral, se lo puede notar con letras mayúsculas E1, 
E2,…,En o A, B, …. . Los resultados dentro de cada evento se los suele llamar puntos muestrales, 
para los cuales se utiliza la notación e1, e2, ..., em. Los eventos pueden ser simples si el evento no 
se puede descomponer en otros eventos y compuestos si éste puede descomponerse en dos o más 
eventos simples. 
 
Para los ejemplos, que se están mencionado, se podrían considerar algunos eventos, como se in-
dican a continuación: 
1. Del experimento aleatorio, lanzamiento de una moneda, se tienen dos únicos eventos: 
C: Se observa cara 
S: Se observa sello 
2. Del experimento aleatorio, lanzamiento de un dado, se tienen 6 eventos simples: 
Ei: Se observa el número i, con i=1, 2, 3, 4, 5, 6 
También se pueden determinar eventos compuestos, algunos de ellos son: 
A: Se observa número par 
B: Se observa número impar 
C: Se observan números menores que 5 
3. Del experimento aleatorio, extraer una carta, se tienen 52 eventos simples: 
As: Se observa As de corazón rojo, … , K: Se observa K de corazón negro 
 
Como se observa en el ejemplo 2, cada evento Ei es un evento simple, por tener un solo elemento 
en su espacio muestral; mientras que, los eventos A, B, C son eventos compuestos, por tener más 
de un elemento en sus respectivos espacios muestrales. 
 
2.1.1 Definición clásica de probabilidad 
Si un experimento que está sujeto al azar, resulta de n formas igualmente probables y mutu-
mente excluyentes, y si nA de estos resultados tienen un atributo A, la probabilidad de A es 
la proporción de nA con respecto a n. 𝒑(𝑨) =
𝒏𝑨
𝒏
, donde 0nAn 
 
Ejemplo 2.1 
De un estudio realizado a 200 graduados, se determinó que 60 de ellos no estaban empleados en 
su área. ¿Cuál es la probabilidad de que un graduado no esté empleado en su área?. 
Se define el evento A: graduado que no está empleado en su área con nA= 60, luego la probabilidad 
de que un graduado no trabaje en su área, es p(A)=60/200 =0,30 
 
 
41 
Si existe poca o ninguna experiencia sobre un fenómeno, “la probabilidad de que suceda un 
evento, es asignada por una persona conocedora del tema en base a cualquier información que 
esta disponga”, ésta se llama probabilidad subjetiva. 
 
2.1.2 Axiomas de la probabilidad 
La probabilidad se interpreta como una frecuencia relativa, y sus propiedades son: 
1. Dado evento simple Ei, i=1,2,…,n se cumple 0p{Ei} 1 
2. La suma de las probabilidades es 1, es decir ∑ 𝑝(𝐸𝑖) = 1
𝑛
𝑖=1 
3. La probablidad del espacio muestral es 1 p() =1 
 
Ejemplo 2.1 
Determinar el espacio, muestral, eventos y probabildiades de los experimentos aleatorios siguien-
tes. 
 
Exper. 
Aleat. 
Espacio mues-
tral 
Eventos Probabilidades 
Lanz. 
1 mo-
neda 
 = {C, S} 
 
C: Se observa cara 
S: Se observa sello 
P(C) = ½ 
P(S) = ½L
a
n
z
a
m
ie
n
to
 d
e
 u
n
 
d
a
d
o
 
 
 = {1,2,3,4,5,6,} Ei: Se observa el número i, i=1,…,6 P(Ei)=1/6 i=1,…,6 
A: Se observa número par 
A = {2,4,6} 
P(A) = 3/6 
B: Se observa número impar 
B = {1,3,5} 
P(B) = 3/6 
C: Se observan números menores que 5 
C = {1,2,3,4} 
P(C) = 4/6 
E
x
tr
a
c
c
ió
n
 d
e
 u
n
a
 c
a
r
ta
 
 = {As, … K , 
As, …, K, As, 
…, K, As ,…, 
K} 
: Se observa cualquier carta P() =1 
As: Se observa As de  
: 
. 
K: Se observa K de  
p(As) =1/52 
: 
. 
p(K)=1/52 
: Se observa carta de  
: Se observa carta de  
: Se observa carta de  
: Se observa carta de  
p() =13/52 
p() =13/52 
p() =13/52 
p(K)=1/52 
 
 
42 
Ejemplo 2.3 
Determine el espacio muestral del experimento aleatorio: “Lanzamiento de dos monedas”. El 
espacio muestral es  = {CC, CS, SC, SS} 
 
Ejemplo 2.4 
Determine el número de elementos del espacio muestral de los siguientes experimentos aletorios. 
a. Lanzamiento de dos monedas 
Al realizar el lanzamiento de la moneda una sola vez, se tienen dos resultados cara o sello; y 
en el ejemplo 2, al lanzar dos veces la moneda, se producen nuevamente los mismos resulta-
dos es decir cara o sello, decir, se podría concluir que se sigue la regla 2n, donde la base 2 es 
el número de resultados y el exponente n es el número de repeticiones del experimento. De 
modo que,: 21 = 2 posibilidades con un lanzamiento, 22 = 4 posibiliddes con dos lanzamientos. 
b. Lanzamiento de tres monedas. Siguiendo la regla anterior 23 = 8 posibildades 
c. Lanzamiento de dos dados. Con la regla anterior: pero ahora con base 6: 62 = 36 
Aunque también puede obtenerse como el resultado del producto cartesiano 6x6 =36, parejas 
de resultados del primero y segundo dado. 
d. Lanzamiento de tres dados  63 = 216 posibildades 
 
2.1.3 Técnicas de conteo 
 
El espacio muestral de algunos experimentos aleatorios, tiene pocos elementos, y enumerarlos no 
resta tiempo, pero otros espacios muestrales no siempre se requiere enumerarlos, pero si resulta-
necesario determinar el número de elementos que lo conforman, para ello son de utilidad las téc-
nicas de muestreo. Las técnicas de muestreo que se estudiara en este curso son las permutaciones, 
combinaciones, regla mxn y fórmula de Stirling. El poder conocer el número de elementos que 
tiene el espacio muestral y sus eventos, en algunos casos facilitará el cálculo de las probabilidades. 
2.1.3.1. Regla mxn 
Seam m y n el número de elementos de los grupso 1 y 2 respectivamente, y mxn las posibles pare-
jas que se pueden formar con un elementos de cada grupo. A esta técnica se de denomina regla 
mxn. En general, se pueden obtener n-plas con un elemento de cada uno de los n grupos, siendo 
k1, … , kn el número de elementos de cada grupo. 
Lanzamientos sucesivos 
de una moneda
C
C
S
S
C
S
 
43 
Ejemplo 2.5 
¿Cuántas y cuáles son las parejas de un hombre y una mujer se pueden formar con 4 hombres y 3 
mujeres? Sol. 4x3 
 X H1 H2 H3 H4 
M1 
M2 
M3 
 
Ejemplo 2.6 
En el lanzamiento de dos dados, se tienen 36 = 6x6, posibilidades, considerando dos grupos, cada 
uno con 6 posibildades. Algunos elementos del espacio muestral son: (1,1), (1,2), ...,(6,5) y (6,6). 
 
Ejemplo 2.7 
En el experimento aleatorio, lanzamiento sucesivo de una monedas tres veces, es como considerar 
tres grupos formados de dos resultados cada uno, es decir m=n=r=2, el número total de ternas 
que se pueden formar son 2x2x2 =8  CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC y SSS. 
2.1.3.2. Permutaciones 
El número de formas en que se pueden ordenar n objetos distintos tomados r (rn) a la vez, 
cuando interesa el orden, denotamos por nPr, o, Pn,r que se lee “permutaciones de n objetos to-
mados r a la vez”. 
Pn,r = n(n-1) (n-2)...(n-r+1) = 
r)!(n
n!

 donde n! = n(n-1) ... 1.0!, y 0! =1. 
Ejemplo 2.8 
En una sala de espera hay cuatro sillas, entonces ¿de cuáles y cuántas formas pueden colocarse 4 
personas en estas sillas? Sol. 
= 4x3x2x1 
 
Ejemplo 2.9 
En una sala de espera hay solamente dos sillas, entonces ¿de cuáles y cuántas formas pueden 
colocarse 4 personas en estas sillas? Sol. 
 
2.1.3.3. Combinaciones 
El número de formas en que se pueden ordenar n objetos distintos tomados r (rn) a la vez donde 
no interesa el orden, se denota por nCr, o, Cn,r y se lee “combinaciones de n objetos tomados r a la 
vez”. Cn,r = 
r)!(nr!
n!

 
4 3 2 1 
4 3 = 
 
44 
Ejemplo 2.10 
En una sala de espera hay solamente dos sillas, entonces ¿de cuáles y cuántas formas pueden 
colocarse 4 personas en estas sillas, si no interesa el orden de colocación? 
Sol. 
= 
 
Ejemplo 2.11 
Las combinaciones de 7 objetos tomados 3 a la vez son: 






3
7
 =
)!37(!3
!7

 = 
!4!.3
!7
= 35 
 
Observación.- La diferencia entre una permutación y una combinación es que en la primera se 
respeta el orden de los arreglos, mientras que en la segunda el interés solo recae en contar el 
número de selecciones diferentes, es decir no considera el orden. 
2.1.3.4. Fórmula de Stirling 
El número de formas en las que se pueden asignar n objetos distintos en k grupos diferentes que 
contienen n1, n2,...,nk objetos respectivamente (permutaciones con repetición), es: N=
!!...nn!n
n!
k21
en donde 

K
1i
n i =n 
 
Ejemplo 2.12 
El psicólogo de un colegio tiene que visitar doce estudiantes en una semana. Los estudiantes son 
tres de primer curso, cinco de segundo curso, dos de tercero y dos de cuarto. ¿Cuántos ordena-
mientos distintos de las visitas puede preparar el psicólogo, si desea diferenciar los clientes solo 
por curso?. 
Número de estudiantes de primer curso n1= 3 
Número de estudiantes de segundo curso n2= 5 
Número de estudiantes de tercer curso n3= 2 
Número de estudiantes de cuarto curso n4= 2 
Número total de estudiantes a visitar n= ni = 12 
!!...nn!n
n!
k21
 = 12! / (3!x5!x2!x2!) = 
2.1.3.5. Ejercicios propuestos, sección 2.1.3. 
 
1. Un vendedor de un cierto tipo de automóvil dispone de tres variedades de llantas, 5 de color 
y 2 de puertas, ¿cuántas posibilidades tienen de elegir el cliente? 
 
 
45 
2. Una compañía vende teléfonos móviles ofreciendo 5 estilos, 4 colores y 7 opciones de servicio. 
¿Cuántos teléfonos diferentes puede ofrecer esta compañía? 
3. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 5 adornos en una vitrina? 
4. Se deben dictar una secuencia de cuatro conferencias en un mismo día, ¿cuántas posibilida-
des se tienen para ordenarlas de acuerdo a un horario? 
5. Supóngase que se disponen de 8 máquinas pero solo caben 3 en el espacio donde deben co-
locarse, de cuántas formas deben colocarse en dichos espacios? 
6. ¿Cuántas comisiones de dos alumnos se pueden formar con 9 alumnos?. ¿Cuál es la probabi-
lidad de que salga seleccionado una comisión en particular? 
7. ¿Cuántos comités formados por un Presidente, Vicepresidente y un Tesorero, se pueden for-
mar con 9 alumnos?. 
8. La compañía PIONER fabrica tres modelos de receptores de estéreo, cuatro bocinas, y tres 
aparatos de discos compactos. Cuando los tres tipos de componentes compatibles se venden 
juntos forman un “sistema”. ¿Cuántos sistemas distintos pueden ofrecer una empresa? 
9. ¿Cuántas banderas de tres franjas de colores se pueden diseñar con 6 colores? 
10. Para identificar un artículo de ropa se utilizará códigos de barra con cuatro dígitos, si no debe 
repetirse dígito alguno, ¿cuántas codificaciones se pueden formar? 
11. Un entrevistador seleccionará 4 personas al azar de 10 personas disponibles. ¿Cuántos gru-
pos de 4 personas son posibles? 
12. Una agencia ambiental, desea seleccionar para un estudio una muestra de 5 rellenos sanita-
rios. Si dispone de 20 rellenos, ¿cuántas muestras posibles se pueden formar? 
13. ¿De cuántas formas pueden seleccionarse 2 hombres, 4 mujeres, 3 niños y 3 niñas, si se dis-
pone de 6 hombres, 8 mujeres, 4 niñosy 5 niñas? 
14. ¿Cuántos comités diferentes de 3 hombres y 4 mujeres pueden formarse con 8 mujeres y 6 
hombres? 
15. Una compañía ofrece 3 cargos del mismo nivel, para lo cual dispone de 8 candidatos, 6 de los 
cuales son hombres y dos son mujeres, determine: 
a. El número de posibles ternas para elegir 
b. El número de posibles ternas formadas por un hombre y dos mujeres 
c. El número de posibles ternas formadas por dos hombres y una mujer 
d. El número de posibles ternas formadas por tres hombres y cero mujeres 
e. La probabilidad de seleccionar una terna formada por un hombre y dos mujeres 
f. La probabilidad de seleccionar una terna formada por dos hombres y una mujer 
g. La probabilidad de seleccionar una terna formada por tres hombres y cero mujeres 
 
 
 
 
 
46 
2.2 Eventos y conjuntos 
Los eventos pueden ser asociados con la teoría de conjuntos, de la siguiente forma: 
- El conjunto universo ahora será el espacio muestral . 
- El conjunto vacío, estará asociado con el evento nulo 
- Un conjunto cualquiera A, se asocia con el evento A 
- El complento de un conjunto estará asociado con el evento contrario de A. 
- La unión, la intersección, la diferencia de cojuntos permitirá entender mejor las reglas de 
probabilidad en sus reglas generales y sus casos particulares. 
 
En el siguiente esquema, se representan los eventos usando diagramas de Venn-Euler. 
Sean A, B, eventos cualquiera,  evento nulo y  espacio muestral. Entonces: 
 
Operación y Significado Gráfico de interpretación 
 Evento seguro 
p() = 1 
 
 Evento nulo 
p() = 0 
 
 
A 
 
Evento A 
 𝒑(𝑨) =
𝒏𝑨
𝒏
 
 
Ac 
A’, 
¬A 
Evento contrario: 
No sucede A 
 
 p(Ac)=1 - p(A) 
 
 
AB Suceden A o B. 
(implica que al me-
nos uno de los dos 
eventos) 
 
 
 
p(AB) = p(A) + p(B) – p(AB) 
 
 
 
 p(AB) = p(A) + p(B) 
 
A B Suceden A y B 
(implica que los dos 
eventos suceden a 
la vez) 
 
p(AB) 
 
 
 
A 
A 
A 
B 
B 
A’ 
A B 
 
47 
2.3 Eventos mutuamente excluyentes 
Los eventos A y B, se dicen mutuamente excluyentes, cuando estos no tienen resultados comunes; 
luego si AB=, se cumple que p()=0. 
 
2.4 Regla de adición de eventos 
Sean A y B dos eventos cualesquiera, entonces: P(AB)=P(A)+P(B)–P(AB). 
 
Sean A, B y C tres eventos cualesquiera, entonces: 
P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)–P(AB)–P(AC)-P(B C) + P(ABC) 
Desarrolle la fórmula para el caso de 4 eventos. 
En el caso de que los eventos sean mutuamente excluyentes, la probailidad de la unión de los 
eventos se traduce solamente como la suma de dichos eventos: 
Si A y B son eventos mutuamete excluyentes: P(AB)=P(A)+P(B) 
Si A, B y C son eventos mutuamete excluyentes: P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C) 
 
Nota: 
A y Ac son dos eventos mutuamente excluyentes, pero  =A  Ac, entonces: 
P(A  Ac) = P(A)+P(Ac) =p() = 1, de donde se deduce P(Ac) = 1 – P(A) 
 
Ejemplo 2.13 
En el lanzamiento de una moneda se definen dos eventos mutuamente excluyentes: C:“Observar 
cara”, S:“Observar sello”; luego P(CS) = p() = 1 
Ejemplo 2.14 
En el lanzamiento de un dado se definen los eventos: E1: Observar el número uno, E2: Observar 
el número dos, A: Observar número par, B: Observar número impar, C: Observar números me-
nores que 5. Determine: p(E1E2), p(AB), p(E1A), p(E1B), p(BC). 
En este caso se representará el espacio muestral de cada evento y su unión, lo que permitirá en-
tender la regla de probabilidad de adición. 
Sean: 
E1: Se observa el número 1  E1 = {1} 
E2: Se observa el número 1  E2 = {2} 
A: Se observa número par  A = {2,4,6} 
B: Se observa número impar  B = {1,3,5} 
C: Se observa número menkr que 5  C = {1,2,3,4} 
 
 
48 
Evento Espacio muestral de 
los eventos y su unión 
Probabilidad de la unión 
E1E2 E1E2 = {1,2} p(E1E2) = p(E1)+p(E2) = 1/6 + 1/6 = 2/6 
AB AB =  = {1,2,3,4,5,6} p(AB) = p(A)+p(B) = 3/6 +3/6 = 1 
E1A E1A = {1,2,4,6} p(E1A) = p(E1)+p(A) = 1/6+3/6=4/6 
E1B E1B = {1,3,5} p(E1B)= p(E1)+p(B)–p(E1B) = 1/6+3/6-1/6=3/6 
BC E1B = {1,2,3,4,5} p(BC)= p(B)+p(C)–p(BC) = 3/6+4/6-2/6=5/6 
 
La solución de losl ejemplos anteriores, también se pueden representar en diagramas de VenDe 
este último ejemplo, se podría repr 
Ejemplo 2.15 
En la extracción de cartas, se definen muchos eventos no excluyentes; por ejemplo los eventos G: 
Extraer un As, H: Extraer carta de  son son eventos excluyentes; pues se observa que: G 
= {As}, H = {As, 2, …, K}, donde G está contenido en H, resultando: 
GH = {As, 2, …, K} 
Luego p(GH) =p(H) = 13/52 que se halla por conocimiento del espacio muestral, es decir resulta 
más fácil que aplicar la regla de adición de forma explícita p(G)+p(H)-p(GH) 
 
Ejemplo 2.16 
Si P(A)= 0.3, P(B)=0.2 y P(AB)=0.1, determine las siguientes probabilidades. (sec.2.3-Montgo-
merry, Ej. 2.45) 
a. P(Ac)= 
 
b. P(AB)= 
 
c. P(AcB)= 
 
 
 
 
 
d. P(ABc)= 
 
49 
e. P[(AB)c]= 
 
f. P(AcB)]= 
 
 
 
g. P[(AB)c]= 
 
Ejemplo 2.17 (Realizarlo en parejas) 
1. Ejercicio tomado del libro Probabilidades y Estadística aplicada a la Ingeniería de Montgo-
mery & Runger. En un canal de comunicación digital se reciben 4 bits. Cada bit se presenta 
con o sin distorsión. Los ensayos son entre si independientes. Determine lo siguiente. 
a. El espacio muestral del experimento aleatorio. Sugerencia: Asocie este experimiento 
aleatorio de lanzamieto de 4 monedas, pero en lugar de realizar un diagrama de árbol 
construya una tabla de verdad, donde 1 (o verdadero) corresponde al evento “distorsión”, 
y 0 (falso) corresponde al evento “sin distorsion”. 
Bit 1 Bit 2 Bit 3 Bit 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Sean Ei, lo eventos el i-ésimo bit está distorsiondo, para todo i=1, 2, 3, 4. Entonces, de-
termine el espacio muestral del evento E1: “el primer bit está distorsionado” 
c. Determine el espacio muestral del evento E2: “el segundo bit está distorsionado” 
d. ¿Son los eventos E1 y E2 mutuament excluyentes?. Justifique su respuesta. 
e. Determne el espacion muestral del evento E1E2E3E4 
 
 
50 
2.5 Probabilidad condicional 
La probabilidad condicional del evento B dado que el ocurrió el evento A, se denota por p(B|A) 
La probabilidad condicional del evento A dado que el ocurrió el evento B, se denota por p(A|B) 
Esta probabildad condicional se la definirá más adelante, pues requiere de la probabilad conjunta. 
 
2.6 Eventos independientes 
Dos eventos A y B son independientes, cuando la ocurrencia o probabilida de uno no afecta en la 
ocurrencia o probabilidad del otro evento. 
Es decir, Si A y B son independientes, si se cumple una de las siguientes proposiciones: 
i. P (A|B) = P(A) 
ii. P (B|A) = P(B) 
 
Ejemplo 2.18 
En el experimento aleatorio “extracción sucesiva de cartas”, determine la probabilidad condicio-
nal de extraer una segunda carta, habiendo entraido una primera carta, en dos situaciones a) con 
reposición de la primera carta, b) sin reposición de la primera carta: 
- ¿Cuál es la probabilidad de observar una carta de corazón rojo, si se sabe que en la primera 
extracción se observó un cinco de trébol? 
- ¿Cuál es la probabilidad de observar una carta de corazón rojo, si se sabe que en la primera 
extracción se observó un As de corazón rojo? 
- ¿Cuál es la probabilidad de observar una carta As, si se sabe que en la primera extracción 
se observó un As de corazón rojo? 
- ¿Cuál es la probabilidad de observar una carta As de corazón rojo, si se sabe que en la 
primera extracción se observó un As de corazón rojo? 
 
Enunciado Con reposición Sin reposición 
P(│5) = P() = 13/52 13/51P(│As) = P() = 13/52 12/51 
P(As│As) = P(As) = 4/52 3/51 
P(As│As) = P(As) = 1/52 0/51 
 
 
Ejemplo 2.19 
Proponer un ejerccio relacionado con su carrera. 
 
 
 
 
51 
2.7 Regla de Probabilidad conjunta 
 
Recuerde que al lazar una moneda dos veces, el espacio muestral es  = {CC, CS, SC, SS}, y por 
ejemplo la probabilidad de hallar una cara seguida de otra cara es ¼, ahora bien, como se conoce 
que la probabilidad de observar cara en el primer lanzamiento es ½, y se sabe que al volver a 
lanzar la moneda la probabilidad de observar nuevamente cara también es ½, pues no se ha ma-
manipulado el experimento, entonces se podría decir que la probabilidad de observar dos caras 
¼ es el resultado del producto de observar una cara en dos lanzamientos independientes, puesto 
el resultado del primer lanzamiento no afecta al resultado del segundo lanzamiento, en conclusión 
para este ejercicio, se puede escribir esa “probabilidasd conjunta” de la siguiente manera: 
P(observar cara (lanzamiento 1) y obsrvar cara (lanzamiento 2)) = p(CyC)=p(CC)=p(CC)=1/4 
 
Ahora considere este otro caso, supónga que se realiza un control de calidad de productos que 
están dispuestos en una caja con 10 de ellos, y se conoce que 3 de estos son defectuosos, entonces 
la probabilidad de que sea seleccionado un defectuoso es p=3/10; si se hace una nueva extracción 
sin reposición, la probabilidad es afectada por el primer resultado. Por ejemplo si el primero ya 
fue defectuoso, la nueva probabilidad sería 2/9, denominada probabilidad condicional. Pero 
ahora el interés recae de determinar la probabilidad conjunta, es decir determinar la probabilidad 
de obtener un resultado sobre el estado del primer producto (defectuoso o no) y otro resultado 
sobre el estado del segundo producto (defectuoso o no), esta probabilidad es denominada “pro-
babilidad conjunta” 
 
La diferencia entre el primer ejemplo y el segundo ejemplo recae en que el primer experimento 
está asociado a un proceso con reposición y el segundo expermiento es un proceso sin reposición. 
Dicho esto, se enuncia la regla de probabilida conjunta. 
 
La regla general de multiplicación o probabilidad conjunta, es utilizada para calcular la probabi-
lidad de que ocurran dos eventos a la vez (o uno después de otro). 
Sean A y B dos eventos cualquiera, la probabilidad de que ocurran A y B al mismo tiempo o 
probabilidad conjunta entre A y B, se define como: p(AB) = p(A).p(B|A). 
 
Ejemplos 2.20 
En el experimento aleatorio “extracción de dos cartas”, determine las siguientes probabilidades 
conjuntas en dos situaciones a) con reposición de la primera carta, b) sin reposición de la primera 
carta: 
 
52 
- ¿Cuál es la probabilidad de observar una carta de corazón rojo, si se sabe que en la primera 
extracción se observó un As de corazón rojo? 
- ¿Cuál es la probabilidad de observar una carta de corazón rojo, si se sabe que en la primera 
extracción se observó un cinco de trébol? 
Enunciado Con reposición Sin reposición 
P(5) = P(5)*P() = 1/52*13/52 P(5) *P(│5) = 1/52*13/51 
P(As│) = P(As)*P() =1/52*13/52 P(As)*P(│As)= 1/52*12/51 
P(AsAs) = P(As)*P(As) =1/52*4/52 P(As)*P(As│As)= 1/52*3/51 
P(AsAs) = P(As)*P(As) =1/52*1/52 P(As)*P(As│As)= 1/52*0/52 
 
 
Ejercicio para estudiantes (tamado del libro de D. Montgomery) 
1. Suponga que se tienen 10 rollos de película fotográfica, en una caja y se sabe que tres son 
defectuosos. Se selecciona uno al azar, la probabilidad de extraer uno defectuoso es p(D) = 
3/10, y la probabilidad de seleccionar uno satisfactorio es p(Dc) = 7/10. 
 
Caso 1) Extracciones con reposición: 
Se elige después un segundo rollo, haciendo reposición del primero, entonces la probabilidad 
de que el segundo rollo sea defectuoso no cambia, por lo que: 
p(D/D) = 
p(D/Dc) = 
 
Si nuevamente se hace reposición antes de la segunda extracción, entonces la probabilidad de 
que el segundo rollo sea satisfactorio no cambia, por lo que: 
(Dc/D) = 
p(Dc/Dc) = 
 
Caso 2) Extracciones sin reposición: 
Se elige un segundo rollo, sin haber hecho reposición, entonces la probabilidad de que el se-
gundo rollo sea defectuoso, tiene dos posibilidades: 
p(D/D) = 
p(D/Dc) = 
 
Si nuevamente no se repone el rollo saliente, entonces la probabilidad de que el segundo rollo 
sea satisfactorio tiene dos posibilidades: 
p(Dc/D) = 
p(Dc/Dc) = 
 
53 
2. Considere el ejemplo anterior. Ahora se seleccionarán dos rollos uno después de otro. ¿Cuál 
es la probabilidad: 
a. De seleccionar uno defectuoso seguido de otro defectuoso? 
b. De seleccionar uno defectuoso seguido de uno sin defectos? 
c. De seleccionar uno sin defectos seguido uno defectuoso? 
Halle dichas probabilidades en el caso 1) y en el caso 2) 
Caso 1) 
a. p(DD)=P(DD)= 
 
 
b. p(DDc)=P(DDc)= 
 
 
c. p(DcD)=P(DcD)= 
 
Caso 2) 
a. p(DD)=P(DD)=p(D)p(D/D) = 





9
2
10
3
 
b. p(DDc)=P(DDc)=p(D)p(Dc/D) = 





9
7
10
2
 
c. p(DcD)=P(DcD)=p(Dc)p(D/Dc) = 





9
3
10
7
 
 
Ejemplo 2.21 
(2.36. Probabilidades y Estadística de Douglas Montgomery). 
Supóngase que la probabilidad de que una muestra de aire contenga una molécula rara es 0.01 y 
si las muestras son independientes; esto es, la probabilidad de que una muestra contenga una 
molécula rara no depende de las características de ninguna de las demás muestras. Si se analizan 
15 muestras, 
a. ¿cuál es la probabilidad de que todas las moléculas sean raras? 
Sea Ei: Evento donde la i-ésima muestra de aire contiene moléculas raras, i=1,2,…,15 
p(E1) = 0.01 
p(E1 E2 … En) = p(E1)p(E2) … p(En) = 0.0115 = 
b. ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de las moléculas sea rara? 
Sea Ec i: Evento donde la i-ésima muestra de aire no contiene moléculas raras, i=1,2,…,15 
p(Ec1) =(Ec1) 0.99 
p(Ec1 Ec2 … Ecn) = p(Ec1)p(Ec2) … p(Ecn) = 0.9915 = 
 
54 
Ejercicios de probabilidades con circuitos. 
Antes de resolver los ejercicios que se presentan a continuación, se require precisar lo siguiente: 
 
Circuito en serie 
El circuito en serie, tiene un solo camino para llevar la corriente a los diferentes terminales de la 
red. La conexión es sucesiva. Como se indica en el siguiente esquema, el cicuito funciona en el 
sentido de a hacia b, siempre que los dos componentes C1 y C2 funcionen al mismo tiempo, es 
decir: F = C1  C2 
 
 
 
Circuito en paralelo 
El circuito en paralelo, conduce la corriente eléctrica de tal forma que sus components se distri-
buyen de forma paralela. Como se indica en el siguiente esquema, el cicuito funciona en el sentido 
de a hacia b, siempre que, al menos uno de los dos componentess C1 o C2 funcionen, es decir: F 
= C1  C2 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 12.a. Ejercicio 6. Nivel 2, tomado de la página: www.est.uc3m.es › archivosnew 
En el circuito elÈctrico de 3 componentes concectados seg˙n la Figura 1, la probabilidad de que 
funcione cada uno de los componentes es independiente de los dem·s, siendo la probabilidad de 
que funcione el componente 1 de 0.9, el componente 2 de 0,8 y el componente 3 de 0,7. El cir-
cuito funciona si entre A y B es posible encontrar un camino de componentes que funcione. Con 
los supuestos anteriores, calcular la probabilidad de que el circuito funcione. 
 
Figura 1. Red de comunicación 
 
 
C1 C2 a b 
C1 
a b 
C2 
 
55 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 12b. = Ejercicio 2. Nivel 3, tomado de la página: www.est.uc3m.es › archivosnew 
En la red de comunicaciones de 4 componentes conectados según la Figura 4, la probabilidad de 
que funcione el componente C1 es de 0.99, la de C2 es 0.99, la de C3 es de 0.95 y la de C4 es de 
0.95. La red funciona si entre A y B es posible encontrar un camino de componentes que funcione. 
Se supone que la probabilidad de funcionar cada componente es independiente de los demás. 
¿Cuál es la probabilidad de que no haya comunicaciónentre A y B? 
 
Figura 4. Red de comunicación 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
2.8 Diagramas de arbol y tablas de contingencia 
 
El diagrama de árbol es una representación gráfica usada también en las probabilidades, para 
representar el espacio muestral de un experimento aleatorio. Este diagrama tiene un inicio a par-
tie del cual se abren tantas ramas como eventos de inicio se presentan (E1, E2, …, En), pudiendo 
llamarse eventos a-priori, luego para cada una de estas ramas a su vez se abren ramas como even-
tos posibles se presentan después de los primeros eventos, pudiendo ser probabilidades condicio-
nales denotadas por ejemplo como p(B|E1) y p(B’|E1); y luego se siguen complentando las ramas 
hasta llegar al último evento, es decir p(B|En) y p(B’|En); esto cuando los eventos que siguen a 
los E1, …, En solo son B y su complemento, aunque existen problemas donde se puede presentar 
más de un evento B, por ejemplo se los podría denotar B1, B2, …, Bm, por lo que en una sola rama 
se podría tener m probabilidades condicionales de tipo: p(Bj|Ei), siendo i fijo para el evento a 
priori i, mientras que j=1,2,…,m 
Luego con ayuda de las probabilidades a-priori, condicionales y conjuntas, se pueden completar 
las probabilidades conjuntas en el mismo árbol. 
Debe recordarse que siguiendo las reglas de probabilidad y considerando el problema a resolver: 
∑𝑝(𝐸𝑖
𝑛
𝑖=1
) = 1 
∑𝑝(𝐵𝑗|𝐸𝑖
𝑚
𝑗=1
) = 1 
Y además se puede verficar que: ∑ ∑ 𝑝(𝐸𝑖 ∩ 𝐵𝑗
𝑚
𝑗=1 )
𝑛
𝑖=1 = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p(E1) 
p(En) 
: 
p(Ei) 
. 
: 
p(B1|E1) 
p(B2|E1) 
p(Bj|E1) 
: 
. 
 
57 
1. Ejercicio tomado de Estadística aplicada a la Administración de Lind. En una encuesta a los 
ejecutivos de una empresa enfocada a la lealtad a la empresa, se plantearon dos preguntas ¿si 
tuviera una oferta de trabajo igual o ligeramente mejor a la actual se quedaría o no la empresa 
actual?, la respuesta se le asoció con el tiempo de servicio del empleado, y se construyó la si-
guiente tabla de contingencia: 
 
¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar un ejecutivo: 
a. ni se quede en la empresa, ni tenga más de 10 años de servicio 
b. tenga entre 6 y 10 años en la empresa dado que no se queda 
c. Realice un diagrama de árbol con las probabilidades, a-priori, condicionales y conjuntas. 
Se construirá el diagrama de árbol partiendo de los eventos simples 
A1: Se quedaría, con probabilidad p(A1) =
200
120 , 
A2: No se quedaría, con probabilidad p(A2) = 
200
80 . 
Prob. a Priori Prob. Condicionales Prob. Conjuntas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tiempo de servicio 
 
Lealtad 
B1: 
Menos de 1 año 
B2: 
1 a 5 años 
B3: 
6 a 10 años 
B4: 
Más de 10 años 
Total 
A1: Se quedaría 10 30 5 75 120 
A2: No se quedaría 25 15 10 30 80 
Total 200 
p(B1/A1) =10/120 
p(B2/A1)=30/120 
p(B3/A1)5/120 
p(B4/A1) =75/120 
 p(A1)p(B1/A1)= = 0.050 
 p(A1)p(B3/A1)= 
 p(A1)p(B4/A1) = 
  p(A1)p(B2/A1)= 
p(B1/A2) =25/80 
p(B2/A2) =15/80 
p(B3/A2) =10/80 
p(B4/A2) 30/80 
 p(A2)p(B1/A2) = 
  p(A2)p(B3/A2) = 
  p(A2)p(B4/A2) = 
 p(A2)p(B2/A2) = 
p(A1) = 
p(A2) = 
 
58 
 
2. En una competencia de 5km, se quiere realizar un cruce sobre la categoría de los atletas parti-
cipantes y la hidratación durante la carrera. Los resultados obtenidos al aplicar una encuesta 
a 120 participantes son los siguientes: 
 Categoría del competidor 
 Juvenil (J) Senior (S) Máster (M) Total 
Hidratación Si (H1) 16 20 16 52 
No (H2) 20 40 8 68 
Total 36 60 24 120 
 
a. Hallar las probabilidades marginales 
p(H1) = 
p(H2) = 
p(J) = 
p(S) = 
p(M) = 
 
b. Hallar las probabilidades conjuntas 
p(H1J) = 
p(H1S) = 
p(H1M) = 
p(H2J) = 
p(H2S) = 
p(H2M) = 
 
c. Probabilidades condicionales 
p(H1|J) = 
p(H2|J) = 
p(H1|S) = 
p(H2|S) = 
p(H1|M) = 
 
59 
p(H2|M) = 
p(J|H1) = 
p(S|H1) = 
p(M|H1) = 
p(J|H2) = 
p(S|H2) = 
p(M|H2) = 
 
d. Realice el diagrama de árbol con los datos de las probabilidades partiendo de la hidrata-
ción. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
3. Ejercicio. Libro de Montgomery & Runger. Se analizan los discos de policarbonato plástico, 
para determinar la resistencia a las rayaduras y golpes. A continuación se resumen los resul-
tados obtenidos al analizar 90 muestras. 
 
 Resistencia a los golpes 
 Alta (G1) Baja (G2) Total 
Resistencia a las ra-
yaduras 
Alta (R1) 70 9 79 
Baja (R2) 6 5 11 
Total 76 14 80 
 
e. Hallar las probabilidades marginales 
p(R1) = 
p(R1) = 
p(G1) = 
p(G1) = 
 
f. Hallar las probabilidades conjuntas 
p(R1G1) = 
p(R1G2) = 
p(R2G1) = 
p(R2G2) = 
 
g. Probabilidades condicionales 
p(R1|G1) = 
p(R2|G1) = 
p(R1|G2) = 
p(R2|G2) = 
 
p(G1|R1) = 
p(G2|R1) = 
p(G1|R2) = 
p(G2|R2) = 
 
61 
4. Ejercicio. Libro de Montgomery & Runger. La tabla siguiente presenta un resumen del análi-
sis realizado a las flechas de un compresor para determinar el grado con que éstas satisfacen 
ciertos requerimientos. 
 
 La curva cumple con los requerimientos 
 Si (B1) No (B2) Total 
El acabado superfi-
cial cumple con los 
requerimientos 
Si (A1) 345 5 350 
No (A2) 12 8 20 
Total 367 13 370 
 
b. Si se toma una flecha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con los requerimien-
tos de acabado superficial? 
 
 
c. ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha seleccionada cumpla con los requerimientos de 
acabado superficial o con los de curvatura? 
 
 
d. ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha seleccionada cumpla con los requerimientos de 
acabado superficial o que no cumpla con los de curvatura? 
 
 
e. ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha seleccionada cumpla con los requerimientos de 
acabado superficial y de curvatura? 
 
5. Con los datos del análisis de las flechas, realice lo siguiente: 
a. Si se sabe que la flecha cumple con los requerimientos de curvatura, ¿cuál es la probabili-
dad de que cumpla con los requerimientos de acabado superficial? 
 
b. Si se sabe que la flecha no cumple con los requerimientos de curvatura, ¿cuál es la proba-
bilidad de que cumpla con los requerimientos de acabado superficial? 
 
c. ¿Cuál es la probabilidad de que no cumpla con los requerimientos de curvatura, si se sabe 
que la flecha no cumple con los requerimientos de acabado superficial? 
 
d. Realizar el diagrama de árbol 
 
 
62 
2.9 Regla de probabilidad total o marginal 
 
 
 
 
 
B = (E1B)  (E2B)  . . .  (EnB), 
 
Definición: Supóngase que E1, E2, . . . , En, son eventos mutuamente excluyentes, y sea B un 
evento cualquiera, entonces: 
P(B) = P(E1B) +P(E2B) + . . . +P(EnB) 
 = P(E1)P(B/E1) +P(E2)P(B/E2) + . . . + P(En)P(B/En) 
𝑝(𝐵) =∑𝑝(𝐸𝑖 ∩ 𝐵)
𝑛
𝑖=1
 
𝑝(𝐵) =∑𝑝(𝐸𝑖)𝑝(𝐵|𝐸𝑖)
𝑛
𝑖=1
 
 
Ejemplo 
6. El resultado de una competencia para un deportista puede ser Podium o no, esto dependerá 
en ocasiones de muchos factores, como alimentación, descanso, nutrición tipo de entrena-
miento (volumen, intensidad, frecuencia). Suponga que solo toma la variable volumen del 
entrenamiento para determinar algunas probabilidades de interés. 
Un grupo de deportistas han elegido uno de tres tipos de entrenamiento por volumen: 25% 
bajo, 40% medio y 35% alto. La probabilidad de lograr pódium, cuando el volumen de en-
trenamiento ha sido bajo es 0.05, la probabilidad de lograr pódium, cuando el volumen de 
entrenamiento ha sido medio es 0.10, y la probabilidad de lograr pódium, cuando el volumen 
de entrenamiento ha sido alto es 0.18. 
a. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar un deportista al azar, este consiga pódium? 
b. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar un deportista al azar, este no llegue al pó-
dium? 
Solución: 
Datos: 
Probabilidades marginales conocidas: 
V1: Volúmen de entrenamiento bajo p(V1) =0.25V2: Volúmen de entrenamiento medio p(V2) =0.40 
V3: Volúmen de entrenamiento alto p(V3) =0.35 
 
E1 
E1B E2B ……. EnB 
E2 En 
B 
p(Vi) = 1 
 
63 
Probabilidades marginales o totales desconocidas: 
L: Deportista logra pódium p(L) =? 
L’: Deportista no logra pódium p(L’)=1-p(L) 
Probabilidades condicionales conocidas: 
p(L|V1) = 0.05 
p(L|V1) = 0.10 
p(L|V1) = 0. 18 
Solución: 
P(L) = p(V1L)+ p(V2L)+ p(V3L) = 
 = p(V1)*p(L|V1)+ p(V2)*p(L|V2)+ p(V3)*p(L|V3)= 
 = 0.25*0.05+0.40*0.10+0.35*0.18 
 = 
 
 
7. Tomado del libro de D. Montgomery, G. Runger. 
La irregularidad del corte de productos de papel aumenta a medida que las hojas de la cu-
chilla se desgastan. Sólo el 1% de productos cortado con cuchillas nuevas tienen cortes irre-
gulares, el 3% de los cortados con cuchillas de filo promedio exhiben irregularidades y el 5% 
de los cortados con cuchillas desgastadas presenta irregularidades. Si el 25% de las cuchillas 
utilizadas en el proceso de corte son nuevas, el 60% tienen un filo promedio y el 15% de las 
cuchillas están desgastadas, ¿cuál es la proporción de productos que tendrán cortes irregu-
lares? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p(Li) = 1 
 
64 
2.10 Teorema de Bayes 
 
En el ejemplo de los semiconductores se cuenta con una tabla que muestra todas las probabi-
lidades entre los eventos A y B, ya sean las probabilidades conjuntas, condicionales y totales, pero 
no siempre ocurre esto. 
 
Supónga que se conoce p(B/A), pero se quiere determinar p(A/B), en este caso hace falta una 
nueva regla de probabilidad que nos permita hallar está probabilidad, llamada Teorema de Bayes. 
 
Comencemos con un caso particular, dados los eventos A y B, 
se tiene que p(AB) = p(BA), 
pero a su vez, p(AB) = p(A)p(B/A) = p(BA) = p(B)P(A/B) 
Por lo tanto: p(A/B) = 
p(B)
p(B/A)p(A)
 
 
En general para hallar este tipo de probabilidades cuando se tienen más eventos requiere de 
los siguientes elementos: 
 Probabilidades a Priori, que son las probabilidades iniciales con base al nivel actual de infor-
mación, se denota con p(Ei) 
 Probabilidades condicionales: P(B/Ei) 
 Probabilidad total: p(B) 
 
Teorema de Bayes 
Sean E1, E2, . . . , En, eventos mutuamente excluyentes, y B un evento cualquiera, y dados los 
eventos condicionales B/Ei entonces: 
p(B)
)E)p(Bp(E
)E)p(Bp(E...)E)p(Bp(E)E)p(Bp(E
)E)p(Bp(E
)Bp(E
ii
nn2211
ii
i 

 
 
Ejemplo: 
8. Si p(B|E1)=0.08, p(B|E2)=0.02, p(E1)=0.6, calcular 
a. p(B) 
b. p(B’) 
c. p(E1|B) 
d. p(E2|B) 
e. p(E1|B’) 
f. p(E2|B’) 
 
65 
9. Suponga que el 5% de una población padece de una enfermedad, se A1 el evento “tiene la 
enfermedad” y A2 el evento “no tiene la enfermedad”. Existe una prueba para detectar la 
enfermedad aunque no es muy exacta. Sea B el evento “la prueba indica que la enfermedad 
está presente”. De acuerdo a los datos históricos, se conoce que: si una persona padece la 
enfermedad, la probabilidad de que la prueba indique la presencia de la misma es 0.90, y 
si una persona no padece la enfermedad la probabilidad de que la prueba indique la pre-
sencia de la misma es 0.15. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona esté enferma dado 
que la prueba resultó positiva? 
Datos: 
Eventos y probabilidades marginales a priori 
A1: “tiene la enfermedad” p(A1) = 0.05 
A2: “no tiene la enfermedad p(A2) = 0.95 
 
Eventos y probabilidades marginales desconocidas 
B: “la prueba indica que la enfermedad está presente” p(B) = ? 
 
Eventos y probabilidades condicionales 
B/A1: “la prueba indica que la enfermedad está presente, dado que la persona tiene la 
enfermedad” p(B/A1) = 0.90 
B/A2: “la prueba indica que la enfermedad está presente, dado que la persona no tiene la 
enfermedad” p(B/A2) = 0.15 
 
Eventos y probabilidad a posteriori (lo que se desea encontrar) 
Hallar la probabilidad de que “la prueba indica presencia de la enfermedad en cualquiera 
de las condiciones indicadas inicialmente”: 
p(B) = 0.05*0.90+0.95*0.15 = 0.14925 
luego el evento A1/B:“tiene la enfermedad, dado que la prueba resultó positiva” tiene 
probabilidad de ocurrencia 



p(B)
)A)p(Bp(A
)A)p(Bp(A)A)p(Bp(A
)A)p(Bp(A
)Bp(A
11
2211
11
1 
14925.0
90.0*05.0
)Bp(A1  = 0.3015 
 
10. Continuación del ejemplo 18. ¿Si el deportista tiene pódium, cuál es la probabilidad de que 
siga el volumen de entrenamiento bajo? 
11. Continuación del ejemplo 19. ¿Si el corte es irregular, cuál es la probabilidad de usar cuchi-
lla nueva? 
 
66 
2.11 Ejercicios propuestos 
 
2.1. Una caja contiene 12 esferas de colores de las cuales 2 son amarillas, 3 blancas, 4 rojas y 
tres negras. Con dicha información: a) Halle la probabilidad de extraer una bola blanca o 
roja, b) Halle la probabilidad de extraer una bola negra o roja 
2.2. Un estudio de 200 cadenas de comestibles reveló estos ingresos, después del pago de im-
puestos: 
Ingresos (dólares). Después de pagar los impuestos Números de empresas 
Menos de 1 millón 
De 1 a 20 millones 
Más de 20 millones 
102 
61 
37 
 
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una cadena seleccionada al azar tenga menos de un millón 
(de dólares) en ingresos después de pagar los impuestos? 
c. ¿Cuál es la probabilidad de que una cadena seleccionada al azar tenga ingresos entre 1 y 
20 millones, o bien más de 20 millones, después de pagar los impuestos? 
2.3. Los eventos X y Y son mutuamente excluyentes. Supóngase que p(X) =0.30 y p(Y)=0.2. 
¿Cuál es la probabilidad de que ocurra: a) X o Y? b) ni X ni Y? 
 
2.4. Cada uno de los cinco posibles resultados de un experimento aleatorio es igualmente pro-
bable. El espacio muestral S = {a, b, c, d, e}. 
Sean A: el evento {a, b} y B; el evento {c, d, e}. Determine lo siguiente. 
a) P (A)= b) P (B)= c) P (CA)= d) P (AB)= e) P (AB)= 
2.5. Hallar las siguientes probabilidades, en la segunda extracción de una carta (sin reposición)
 a. P(As / As) = b. P(/As)= c. P(2/)= 
 
2.6. (Ejerc. 2.55 Montgomery). Un lote contiene 15 piezas de fierro fundido de un proveedor 
local y 25 de un proveedor de otro estado. Se eligen dos piezas al azar, sin reemplazo, del 
lote de 40. Se consideran los eventos A: La primera pieza seleccionada es del proveedor 
local, B: La segunda pieza seleccionada es del proveedor de otro estado, Halle: 
 p(A) = p(B/A) = p(AB)= P (AB)= 
2.7. Hallar las siguientes probabilidades, en la segunda extracción de una carta (sin reposi-
ción). a. P(As / As) = b. P(/As)= c. P(2/)= 
2.8. Ej. Resuelto. 2.37 (Tomado de Probabilidades y Estadística de Douglas Montgomery. Un 
circuito trabaja sólo si, existe una trayectoria de dispositivos en funcionamiento, de iz-
quierda a derecha. La probabilidad de que cada dispositivo funcione aparece en la figura. 
 
67 
Supóngase que los dispositivos fallan de manera independiente. ¿Cuál es la probabilidad 
de que el circuito trabaje? 
 
 
 
 
 
 
 
2.9. La siguiente tabla de contingencia contiene la historia de 940 obleas en proceso de fabri-
cación de semiconductores. Sea A el evento “La oblea tiene altos niveles de contaminación” 
y B el evento “La oblea están en el centro del dispositivo electrónico”. 
Tabla.- Obleas en proceso de fabricación 
 En el centro del instrumento 
Contaminación alta Si (B1) No (B2) Total 
Si (A1) 514 68 
No (A2) 112 246 
Total 
 
Halle la probabilidad de que: 
a. la oblea tenga “altos niveles de contaminación” 
b. la oblea esté en el centro del dispositivo” 
c. la oblea esté en el centro del dispositivo y tenga altos niveles de contaminación” 
d. la oblea esté en el centro del dispositivo o contenga altos niveles de contaminación” 
e. la oblea esté no esté en el centro del dispositivo pero tenga altos niveles de contamina-
ción” 
f. la oblea ni tenga altos niveles de contaminación ni esté en el centro del dispositivo” 
g. tenga altos niveles de contaminacióno no esté en el centro del dispositivo 
 
2.10. Ejerc. 2.61 Montgomery). Un lote contiene 500 contenedores para jugo de naranja conge-
lado contiene cinco que están defectuosos. Se toman al azar dos sin reemplazo. 
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo contenedor sea defectuoso si el primero lo 
fue? 
b. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos contenedores sean defectuosos? 
c. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos contenedores sean aceptables? 
 
0.90 
0.90 
0.90 
0.95 
0.95 
0.99 
a b 
 
68 
2.11. (Ejerc. 2.67 Montgomery). La probabilidad de que falle un conector eléctrico que se man-
tiene seco durante el periodo de garantía es 1%. Si el conector se humedece, la probabilidad 
de falla durante el periodo de garantía es 5%. Si el 90% de los conectores se mantienen 
secos, y el 10% se humedece, ¿qué porcentaje de conectores fallará durante el periodo de 
garantía? 
2.12. (Ejerc. 2.68 Montgomery). Suponga que el 2% de los rollos de tela de algodón son defec-
tuosos, al igual que el 3% de los rollos de tela de nylon. De los rollos de tela de utilizados 
por el fabricante, 70% son de algodón y 30% son de nylon, ¿cuál es la probabilidad de que 
al seleccionar uno de los rollos éste sea defectusos? 
2.13. (Ejerc. 2.69 Montgomery). En la fabricación de un adhesivo químico, el 2% de todos los 
lotes contienen materia que proviene de dos embarques diferentes. Esto sucede cuando 
los tanques de almacenamiento son rellenados y lo que queda de un lote es insuficiente 
para llenar otro tanque. Solo es necesario volver a procesar el 5% de los lotes con materia 
prima que proviene de un solo embarque. Sin embargo, la viscosidad de los lotes que con-
tienen materia prima de dos o más embarques es más difícil de controlar, y el 40% de estos 
lotes requieren un procesamiento adicional para almacenar la viscosidad requerida. Sea 
A: el evento en que un lote contiene material prima de dos embarques diferentes, y B: el 
evento en que el lote requiere de procesamiento adicional. Determine las probabilidades 
siguientes: p(A), p(A’), p(B/A), p(B/A’), p(AB),p(AB’), p(B) 
2.14. Ejercicios 2.83 – 2.91 de las secciones 2.6, (pág. 91) y 2.7, (pág. 92-93), Probabilidades y 
Estadística aplicadas a la ingeniería “Douglas Montgomerry”. Primera Edic. 
2.15. Ejercicios: del Cap. 5, pág. 166, Estadística para Administr. y Economía, Mason 10ª. Edic 
 
2.12 Deberes 
Ingenieros PAFDE 
Deber 1.2 
 
Capítulo 3. Ejerc. Impares: 
3.17-3.23 (definc.) 
3.27-3.27 (axiomas) 
3.39-3.43 (adición) 
3.47-3.51 (condic) 
3.57-3.61 (conjunta y total) 
3.65 -3.75 (indepd) 
3.79-3.81 (Bayes) 
 
Probabilidades y Estadística aplicada a la in-
geniería, Montogomery, Runger. 2da. Edic. 
 
Deber 2.1. 
Ejercicios 11-21, pág. 158; 33-38 pág. 
170, Estadística para Admin. y Econo-
mía, Lind. 15ª. Ed. 
 
Deber 2.2. 
 
Ejercicios 1-31, pág. 166, Estadística 
para Admin. y Economía, Lind. 15ª. 
Ed. 
 
 
69 
Bibliografía 
Muestreo no probabilístico: Muestreo por conveniencia. Recuperado el 16 de marzo de 2020 
dehttps://www.netquest.com/blog/es/blog/es/muestreo-por-conveniencia 
¿Qué es una encuesta?. Recuperado el 16 de marzo de 2020 de https://www.question-
pro.com/es/una-encuesta.html 
 
Ejemplos de escalas de Likert. Recuperado el 16 de marzo de 2020 de https://www.question-
pro.com/blog/es/ejemplos-de-escalas-likert/ 
 
Scheaffer, R., y Mendenhall, W. (2012). Elementary Survey Sampling. Seventh Edition. (pp. 
7-15, pp. 217-220). University of Florida: Emeritu. 
Estadística aplicada a la administración y economía. Lind. 
 
Capítulo 2: Probabilidades: 
http://168.176.239.58/cursos/ciencias/2001065/html/un2/cont_209_51.html 
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rbol_de_probabilidad 
 
Anexos 
Anexo 1. Encuesta 
 
https://www.netquest.com/blog/es/blog/es/muestreo-por-conveniencia
https://www.questionpro.com/es/una-encuesta.html
https://www.questionpro.com/es/una-encuesta.html
https://www.questionpro.com/blog/es/ejemplos-de-escalas-likert/
https://www.questionpro.com/blog/es/ejemplos-de-escalas-likert/
http://168.176.239.58/cursos/ciencias/2001065/html/un2/cont_209_51.html