Semana5 _Variables aleatorias discretas

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PROBABILIDADES Y ESTADISTICA 
Capitulo 3: Variables Aleatorias Discretas 
 
 
 Dra. Patricia Guevara Vallejo 
Docente del DECE 
Universida de las Fuerzas Armadas -ESPE 
 
 
 
 
Abril 2020 
 
I 
 ÍNDICE 
Capítulo 3. Variables aleatorias Discretas ________________ 64 
3.1. Variable alatoria _______________________________________ 64 
3.2. Función de probabilidad discreta ________________________ 65 
3.3. Función de distribución de probabilidad discreta __________ 66 
3.4. Esperanza matemática para una variable aleatoria discreta 67 
3.5. Varianza para una variable aleatoria discreta _____________ 67 
3.6. Coeficiente de asimetría y curtosis _______________________ 67 
3.7. Distribuciones de probabilidad discretas _________________ 72 
3.8. Distribuciones Binomial ________________________________ 72 
3.8.1. Medidas descriptivas de la variable aleatoria binomial ____________________ 73 
3.9. Distribución Hipergeométrica ___________________________ 76 
3.9.1. Medidas descriptivas de la variable aleatoria hipergeométrica ______________ 77 
3.10. Distribución Poisson ___________________________________ 79 
3.10.1. Medidas descriptivas de la v.a. Poisson ________________________________ 80 
3.11 Deberes _______________________________________________ 82 
Bibliografía ______________________________________ 83 
Anexos __________________________________________ 83 
 
 
 
 
 
 
64 
Capítulo 3. Variables aleatorias Discretas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las variables aleatorias son de mucha utilidad en el campo de las probabilidades, puesto que los 
modelos de probabilidad (distribuciones) estudiados permiten calcular las probabilidades direc-
tamente con el uso de una función, siempre que la variable de estudio cumpla con las caracterís-
ticas establecdidas o se ajuste al modelo de probabilidad. 
 
3.1. Variable alatoria 
Una variable aleatoria (v.a.) X, es una función que asigna un número a cada resultado del 
espacio muestral, es decir: X:   R. Se la denota con X y los valores que ésta toma con x. 
 
Por ejemplo, en el experimento lanzamiento de dos monedas interesa la variable aleatoria: X: 
“número de caras en el lanzamiento de dos monedas, cuyos resultados se resumen: 
Espacio muestral:  Variable aleatoria: X 
SS 
SC, CS 
CC 
0 
1 
2 
 
Dependiendo del valor y la cantidad de valores que tiene la variable aleatoria, se tienen dos 
tipos: discretas y continuas. 
 
 Una v.a. discreta toma un rango finito de valores en R, por lo general enteros. Por ejemplo: 
En una caja hay 20 botellas de bebida energizante de 500 ml. Luego si se define a la variable 
aleatoria como X: número de botellas con tapa defectuosa, entonces la variable aleatoria toma 
valores X= 0,1, ... ,20 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Texto escrito a máquina
2^2=4 -->
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
 
65 
 Una v.a. continua es aquella que toma un rango infinito de valores en R. Por ejemplo, del 
mismo ejemplo anterior, se puede definir otra variable aleatoria X: volumen de bebida ener-
gizante expresada en ml, de botellas de contenido especificado 500 ml. Los valores de la 
variable aleatoria en teoría podrían ser infinitos en cierto rango alrededor de 500 ml. 
 
Ejemplo 3.1. 
Variables aleatorias discretas 
- Número de chips defectuosos en una muestra de 30 chips 
- Número de moscos que se encuentran en un metro cúbico de agua. 
- Número de deportistas que dan positivo en la prueba de doping en una muestra de 10 
deportistas. 
Variables aleatorias continuas 
- Velocidad de la internet (Mbs) 
- Volúmen de concreto usado en una loza de 100 metros cuadrados (m3) 
- Tiempo registrado en una carrera de 50m estilo mariposa (seg) 
 
A continuación se desarrolla el estudio de las variables aleatrias discretas. 
 
3.2. Función de probabilidad discreta 
Sea X una variable aleatoria discreta, la función de probabilidad es una función cuyo 
dominio es un conjunto finito de los números reales y recorrido es el intervalo [0, 1], 
y se define como la probabilidad de que X=x, es decir: 
f: X  [0, 1], f(x) = p(X=x). 
 
 
Si X es variable aleatoria discreta, la función de probabilidad, satisface las siguientes propie-
dades: 
i) 0≤f(x) ≤1  xX 
ii) 
X
f(x) =1, si X es v.a. discreta, 
 
Ejemplo 3.2. 
En un proceso de fabricación de partes moldeables de plástico en términos de tamaño y colo-
ración, se expone a continuación los posibles valores que se prsentan de estos eventos para una 
muestra de tamaño 2 y las respectivas probabilidades asociadas. En este caso, no se ha indicado 
el proceso para contruir la función de probabilidad, sin embargo, por el momento se puede ob-
servar que se cumplen las dos propiedades mencionadas anteriormente. 
 
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
 
66 
Características del Plástico moldeable 
Espacio muestral (Coloración, Tamaño) Valores de la v.a. Probabilidad 
Aprobado, Aprobado 
Aprobado, Reprobado 
Reprobado, Aprobado 
Reprobado, Reprobado 
2 
1 
1 
0 
0.64 
0.16 
0.16 
0.04 
Total 1.00 
 
3.3. Función de distribución de probabilidad discreta 
La función de distribución de la variable aleatoria discreta X, se define como la proba-
bilidad de que X sea menor o igual a un valor específico de x, es decir: 
F: X  [0, 1], F(x) = p(Xx) = 
 0i xx
f(x) 
 
Esta función satisface las siguientes propiedades: 
i) 0F(x) 1  xX 
ii) F(xi) F(xj) si xi<xj 
iii) P(X>x) =1- P(Xx) = 1-F(x) 
iv) P(xi X xj) = F(xj) – F(xi-1) = xi<xj 
Observación.- Para el caso continuo, se tiene que p(Xx) = p(X<x) 
 
Ejemplo 3.3 
En la siguiente tabla, se presenta la función de probabilidad y distribución de probabilidad de las 
características del Plástico moldeable del ejemplo 3.2. 
X=x f(x) = p(X=x). F(x) = p(Xx) 
X=2 
X=1 
X=0 
p(X=2) = 0.64 
p(X=1) = 0.32 
p(X=0) = 0.04 
0.64 
0.96 
1.00 
 
Ejemplo 3.4 
En una muestra de 3 balones para un campeonato, se presenta la función de probabilidad y dis-
tribución de probabilidad de las distintas posibildades de estar con el peso correcto o incorrecto 
en la muestra, según la variable aleatoria X: número de balones con peso incorrecto en la muestra. 
 X=x f(x) = p(X=x). F(x) = p(Xx) 
III 
ICC, CIC, CCI 
IIC, ICI, CII 
CCC 
0 
1 
2 
3 
p(X=0) = 0.4912 
p(X=1) = 0.4211 
p(X=2) = 0.0842 
p(X=3) = 0.0035 
p(X0) = 0.4912 
p(X1) = 0.9123 
p(X2) = 0.9965 
p(X3) = 1.000 
 
pvgue
Texto escrito a máquina
X
pvgue
Texto escrito a máquina
2
1

0
pvgue
Texto escrito a máquina
f(x)
0.64
0.32

0.04
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Texto escrito a máquina
x f(x)=p(X=x) F(x)=P(X<=x)
0 0.04 p(X<=0)=0.04
1 0.32 p(X<=1)=0.36
2 0.64 p(X<=2)=1.00
pvgue
Cuadro de texto
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Cuadro de texto
CCC
pvgue
Cuadro de texto
III
 
67 
3.4. Esperanza matemática para una variable aleatoria discreta 
La esperanza matemática o valor esperado de una v.a. X es el promedio de X y se define: 
X=E(x)=
x
x.f(x) , X v.a. discreta; 
Si X y Y son v.a. independientes y a, b, c son constantes, la esperanza matemática E(x) cumple las 
siguientes propiedades: 
i) E(c) = c 
ii) E(X - X) = 0 
iii) E(aX+bY) = aE(X)+bE(Y) 
 
3.5. Varianza para una variable aleatoria discreta 
La varianza de una v.a. X se define como: 
V(X) = 
x
2
X
2
x
2
X .f(x))μ-(x)μE(Xσ si X es v.a. discreta 
Si X y Y son v.a. independientes y a, b, c son constantes, la varianza V(x) cumple las siguientes 
propiedades: i) V(x)  0 ii) V(a) =0 iii) V(ax+bY) = a2V(x)+b2V(Y) 
 
3.6. Coeficiente de asimetría y curtosis 
3=3/3, donde 3= E(x-)3. 
4=4/4, donde 4= E(x-)4. 
Para comprender mejor los resultados y su interpretación,se en el caso de la curtosis, se usa el 
coeficiente estandarizado, es decir se resta 3 de 4 del valor obtenido. 
Referencia: https://previa.uclm.es/profesorado/licesio/Docencia/mei/Tema7_guion.pdf 
 
Nota. A las funciones que permiten obtener los resultdos anteriores se llaman funciones genera-
doras, pudiendo hallarse respect al Origen o respecto a la media. 
 Fuente. Wikipedia 
https://previa.uclm.es/profesorado/licesio/Docencia/mei/Tema7_guion.pdf
pvgue
Texto escrito a máquina
E(X)-E(u)=u-u=0
pvgue
Texto escrito a máquina
E(aX)=aE(X)
 
68 
Ejemplos 3.5 
La producción diaria de 600 partes contiene 40 que no satisfacen los requerimientos del cliente. 
Del lote se eligen al azar sucesivamente 2 partes sin reemplazo. Sea X la v.a. “número de partes 
de la muestra que no cumplen con los requerimientos”. 
 
a. Hallar la funciones de probabilidad f(x) y distribución F(x) 
Se consideran los eventos 
N: No sartisface los requerimientos p(N) = 40/600 
S: sartisface los requerimientos p(S) = 560/600 
Si se toma una segunda parte para su revisión sin reposición se tiene: 
p(N|N) = 39/599 
p(S|N) = 560/599 
p(N|S) = 40/599 
p(S|S) = 559/599 
 
Con estas probalidades defindias, se presenta la tabla para f(x) y F(x) 
X F(x) = P(X=x) F(x) = P(X≤x) 
0 P(X=0)= (560/600)*(559/599) = 
0.8710 
FX(0) = P(X=0) = 0.87410 
 
1 P(X=1)= 2*(560/600)*(40/599) 
=0.1246 
FX(1) = P(X=0) + P(X=1) = 
 = 0.87410 + 0.1246 = 
2 P(X=2)= (40/600)*(39/599) = 
0.0044 
FX(2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= 
 =0.87410 + 0.1246 + 0.0044 = 1.0 
 
b. Hallar las medidas descriptivas (esperanza, varianza, coef. Asimetria y coef. Curtosis) 
x f(x) x*f(x) xi-u (xi-u)^2*f(x) (xi-u)^3*f(x) (xi-u)^4*f(x) 
0 0,871 0,0000 -0,1344 0,0155 -0,0021 0,0003 
1 0,1246 0,1246 0,8666 0,0936 0,0811 0,0703 
2 0,0044 0,0088 1,8666 0,0153 0,0286 0,0534 
 1 0,1334 0,1244 0,1076 0,1240 
 
=E(x)=
x
x.f(x) = 0*0.8710+1*0.1246+2*0.0044=0.1344 

x
2
X
2
X .f(x))μ-(xσ =(0-0.1344)2*0.8710+(1-0.1344)2*0.1246+2(2-0.1344)2*0.0044=0,1244 
𝜎 = √𝜎2 = √0,1244=0.3527 
3=3/3 = E(x-)3/3 =0,1076/0.35273 = 2,45 Sesgo positivo 
4=4/4 = E(x-)4/4 =0,1240/0.35274 = 8,01  4’=8,01 – 3 = 5,01 Leptocúrtica 
 
69 
c. Graficar f(x) y F(x) 
 
 
 
Como se observa, la gráfica izquierda de f(x) confirma el sesgo = 2,45 hacia la derecha por la 
prolongación bien pronunciada, así como el valor alto de la curtosis = 5,01 que refleja una distri-
bución leptocúrtica o de pico alto. 
 
Ejercicios de reapaso 1. 
1. Prob. & Estad. Aplic. A la Ingeniería, Montgomery & RungerSi X es v.a. discreta, y F(x) su 
función de distribución de probabilidad, hallar las probabilidades que se indican, 
 
Solución: 
a. . 
b. . 
c. . 
d. 
 
2. En el experimento aleatorio “lanzamiento de dos dados”, interesa la v.a. X: “Valor de la suma 
de resultados”, para ésta determine: la función de probabilidad, la función de distribución, 
la esperanza matemática, varianza, desviación estándar, factores de forma, gráficas de f(x) y 
F(x) 
 
Función de probabilidad 
f(0)=p(X=0) = 1/36 = 0.0278, f(1)=p(X=1) = 2/36 = 0.0556,. . . , f(12)=p(X=12) = 1/36 = 0.0278 
Función de distribución 
F(0)=p(X≤0)=p(X=0)=1/36=0.0278, 
0,0000
0,2000
0,4000
0,6000
0,8000
1,0000
0 1 2
f(x)
0,8000
0,8500
0,9000
0,9500
1,0000
1,0500
0 1 2
F(x)
 
70 
F(1)=p(X≤1)=p(X=0)+p(X=1)=1/36+2/36=3/36= 0.0834, …. 
 
X Evento ni f(x) F(x) 
2 (1,1) 1 0.0278 
3 (1,2) (2,1) 2 0.0556 
4 (1,3) (2,2) (3,1) 3 0.0833 
5 (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) 4 0.1111 
6 (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1) 5 0.1389 
7 (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) 6 0.1667 
8 
9 
10 
11 
12 (6,6) 1 
n() = 62 = 36 parejas total: - 
 
Medidas descriptivas 
 = xf(x) = 2*0.0278 + 3*0.0556 + . . . + 12*0.0278 = 7 
2 =  (x-u)2 f(x) = (2-7)2*0.0278+ (3-7)2*0.0556+ . . . +(12-7)2*0.0278 = 
 = 
3 = 
 
4 = 
 
X f(x) x.f(x) (x-u) (x-u)2 f(x) (x-u)3 f(x) (x-u)4 f(x) 
2 0.0278 
3 0.0556 
4 0.0833 
5 0.1111 
6 0.1389 
7 0.1667 
8 
9 
10 
11 
12 
 
71 
Gráficas: función de probabilidad f(x) Función de distribución F(x) 
 
 
3. Con la función de probabilidad hallada en el ejercicio anterior, determine: 
a. p(X<2) = 
b. p(X2) = 
c. p(2<X<5) = 
 
4. Sea la v.a. X: “número de caras en el experimento lanzamiento de dos monedas”; halle: 
a. la función de densidad y la función de distribución 
X f(x) F(x) 
 
 
 
Tot. 
 
b. la probabilidad de observar al menos una cara 
c. la probabilidad de observar dos caras 
d. la probabilidad de observar menos de 3 caras 
e. E(x), Var(x) 
 
5. El espacio muestral de un experimento aleatorio es {a,b,c,d,e,f} y cada resultado es igual-
mente probable. Se define la v.a. de la siguiente manera: 
Resultado a b c d e f 
 X 0 0 1 1 2 3 
a. Determine las funciones de densidad, distribución y sus gráficas 
b. p(X=1)= 
c. p(0.5< X <2.7)= 
d. p(X >2)= 
e. p(0X<2)= 
0
0,05
0,1
0,15
0,2
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
f(x)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
F(x)
 
72 
3.7. Distribuciones de probabilidad discretas 
 
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria es el resultado de modelizar el com-
portamiento de la variable aleatoria. Este modelo se representa mediante una función. Para hacer 
uso de esta función es importante determinar si la variable aleatoria que se está estudiando cum-
ple con las condiciones requeridas para aplicar dicho modelo. La función de probabilidad de la 
variable aleatoria X. además estará identificado por un os parámetros. Estos modelos de proba-
bilidad son de mucho ulitidad en el campo de la inferencia estadística. 
Existen muchos modelos de probabilidad discretos, tales como: Bernoulli, Binomial, Binomial 
negativa, Geométrica, Poisson, Hipergeométrica, entre otros. 
 
3.8. Distribuciones Binomial 
 
Un experimento aleatorio binomial, consiste de n ensayos repetidos de modo que: 
1. Los ensayos son independientes 
2. Cada ensayo produce dos posibles resultados, denominados éxito (E) y fracaso(F), y 
3. La probabilidad de éxito se denota por p, permanece constante. De igual forma se tiene la 
probabilidad de fracaso, que es 1-p 
 
Para este experimento aleatorio binomial, se define la variable aleatoria binomial: 
X: número de éxitos en n ensayos (con reposición) 
También se denomina a X como: “numero de éxitos en una muestra de tamaño n” 
 
Sus parámetros son: 
n: número de ensayos 
p: probabilidad de éxito 
 
Las funciones de probabilidad y de distribución para la variable aleatoria binomial son: 
Función de densidad: fx(x; n, p) = f(x) = P(X=x) = nCxpx(1-p)n-x, x = 0, 1, 2,...,n 
Función de distribución: Fx(x; n, p) = F(x) = P(X≤x)=f(x), x = 0, 1, 2,...,n 
 
Construcción de la función de probabilidad binomial: 
Siendo n el número de veces que se repite el experimento, donde los resultados Exitos (E) o Fra-
casos (F), se pueden presentar en cualquier orden, se tiene: 
E E F F F F E . . . F F E 
 
Pero como los ensayos son independientes, se puen agrupar los exitos y fracasos en dos grupos: 
 
73 
E E E . . . E F F F F . . . F 
 
Suponga que se tienen x éxitos e la muestra de tamaño n, entonces al calcular la probabili-
dad de encontrar x éxitos para un orden específico de los resultados, se tendría que aplicar la regla 
de probabilidad conjuta para ensayos indepedientes: 
 
p[(E  E  E  . . . E)  (F  F  F  F  F  F  . . .  F )] = 
[p(E)p(E)*. . . *p(E)]*[p(F)p(F)p(F)* . . .*p(F )] = px*qn-x (1) 
Siendo p(E)=p, q=p(F)=1-p 
 
Pero como los resultados de x éxitos se pueden obtener diferentes formas denominados “el 
número de arreglos de n objetos tomados x a la vez”, se debe mulitplicar el resultado anterior (1) 
por ese número de arreglos, resultando: 
nCx* px*qn-x, que es lafunción de probalidad binomial para encontrar la probabilidad de x éxitos 
en n ensayos indpendientes. 
 
3.8.1. Medidas descriptivas de la variable aleatoria binomial 
 
Las medidas descriptivas que se muestran a continuación pueden ser verificadas usando las 
definciones de Experanza matemática, Varianza, coeficiente de asimetría y curtosis estudiadas en 
la secciones 3.4, 3.5 y 3.6 de este capítulo. 
 
Media = E(x) = np 
Varianza = Var(x) =npq 
Coef. de asimetría
1/23 (npq)
pq
α

 
Coef. de curtosis =
npq
6pq-1
3α4  
 
Observación. 
 
Se ha podido determinar que para cualquier tamaño de muestra, si: 
 Si p<1/2, entonces la distribución binomial presenta un sesgo positivo 
 Si p=1/2, entonces la distribución binomial es simétrica 
 Si p>1/2, entonces la distribución binomial presenta un sesgo negativo 
 
A continuación se presentan las gráficas de distribuciones para diferentes valores de n y p. 
 
74 
Distribución simétrica, p=0.5 
n=4; =4(0.5)=2.0; 2=4(0.5)(0.5)=1.0 
 
Distribución sesgada a la derecha, p=0.3 
n=4; =4(0.3)=1.2; 2=4(0.3)(0.7)=0.84 
 
Distribución sesgada a la izquierda, p=0.7 
n=4; =4(0.7)=2.8; 2=4(0.7)(0.3)=0.84 
 
Distribución sesgada a la derecha, p=0.1 
2=4(0.1)(0.9)=0.36 
 
 
 
En la gráfica de la izquierda se puede apre-
ciar un mayor sesgo que los casos anteriores. 
Si se observa el valor de p en todos los casos, 
se podría concluir que a mayor diferenica en-
tre p y q mayor es el sesgo. 
 
Ejemplo 3.6 
Ejercicio del libro “Estadística aplicada a los negocios y ala economía, Lind. 
Usted ha contratado 8 recepcionistas telefónicas para que tomen los pedidos de una línea de pro-
ductos que su empresa está comercializando. Una recepcionista está ocupada el 30% del tiempo 
catalogando un pedido. Usted no desea que la probabilidad de que una llamada del cliente reciba 
una señal de ocupado exceda el 50%. ¿Debería usted contratar más recepcionistas si llaman 3 
clientes? 
Solución: 
Variable aleatoria  X: Número de veces en las que la línea está ocupada 
Tamaño de la muestra  n = 8 (número de ensayos) 
Probabilidad de éxito  p = 0.3 probabilidad de línea ocupada 
 
0,0625
0,25
0,375
0,25
0,0625
0
0,1
0,2
0,3
0,4
P
R
O
B
A
B
IL
ID
A
D
X
0,2401
0,4116
0,2646
0,0756
0,0081
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
P
R
O
B
A
B
IL
ID
A
D
X
0,0081
0,0756
0,2646
0,4116
0,2401
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
P
R
O
B
A
B
IL
ID
A
D
X
0,6561
0,2916
0,04860,00360,0001
0
0,2
0,4
0,6
0,8
P
R
O
B
A
B
IL
ID
A
D
X
 
75 
p(X=3) = 8C3*0.33*0.75= 0.2541 
No es necesario contratar más recepcionistas, pues la probabilidad es menor que el 0.5 
 
Ejemplo 3.7 
Ejercicio del libro “Estadística aplicada a los negocios y ala economía, Lind. 
Un proceso de grabación de discos produce un 20% de unidades defectuosas. Se toma una mues-
tra de tamaño 8 de modo que la proporción de defectuosos se mantenga constante en la población, 
y que cada disco tenga la misma probabilidad de ser incluido en la muestra. ¿Cuál es la probabi-
lidad de que a) no se encuentren discos defectuosos, b) de encontrar dos discos defectuosos?; c) 
de que se encuentren más de 5 discos defectuosos?; d) de encontrar 4 o menos discos defectuo-
sos?; e) ¿Cuál es el número promedio de discos defectuosos?, hallar la desviación estándar, f) 
Graficar la función de densidad. 
Solución 
Contestando a las preguntas se tiene: 
a) f(0) = p(X=0) = 8C0 (0,2)0(0,8)8 = 0,16777 
b) f(2) = P(X = 2) = 8C1(0,2)2(0,8) 76 = 
c) P(X>5) = P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)= 0,00115+0,00008+0,00000 = 
d) P(X≤4)= F(4) = 0.9896 
e) E(x) = u = np = 8*0.2 = 1.6 discos defectuosos 
f)  = √𝑛𝑝𝑞 = √8 ∗ 0.2 ∗ 0.8 = 
g) 
 
X P(X=x)= f(x) P(Xx)=F(x) 
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
0,1678 
0,3355 
0,2936 
0,1468 
0,0459 
0,0092 
0,0012 
0,0001 
0,0000 
0.1678 
0.5033 
0.7969 
0.9437 
0.9896 
0.9988 
0.9999 
1.0000 
1.0000 
Tot. 1,00000 
 
 
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
1 2 3 4 5 6 7 8 9
X: NO. DISCOS DEFECTUOSOS
Función de probabilidad f(X)
 
76 
3.9. Distribución Hipergeométrica 
 
La distribución binomial es útil cuando el muestreo se realiza con reemplazo, pero cuando 
esto no ocurre, es necesario utilizar la distribución hipergeométrica. Sin embargo hay que consi-
derar que cada vez que se repite el experimento, se pueden observar los dos eventos muetuamente 
excluyentes (éxito y fracaso), aunque las repeticiones del experimento ya no son indpendientes y 
la probabilidad de éxito ya no se mantiente constante. 
Para el experimento aleatorio hipergeométrico, se define la variable aleatoria hipergeométrica: 
X: número de éxitos en n ensayos (sin reposición): 
Sus parámetros son: 
N es el tamaño de la población 
r es el número de éxitos en la población (N-r: número de fallas en la población) 
n es el tamaño de la muestra 
x es el número de éxitos en la muestra 
 
Las funciones de probabilidad y de distribución para la variable aleatoria hipergeométrica son: 
Función de densidad: 𝒇(𝒙) = 𝒑(𝑿 = 𝒙) = 𝒌
𝑪𝒙 ∗𝑵−𝒌𝑪𝒏−𝒙
𝑵𝑪𝒏
 , x = 0, 1 ,2, …, mín (k, n) 
Función de distribución: 𝑭(𝒙) = 𝒑(𝑿 ≤ 𝒙) = ∑ 𝒌
𝑪𝒙 ∗𝑵−𝒌𝑪𝒏−𝒙
𝑵𝑪𝒏
𝑿 , x = 0, 1, 2,..., mín (k, n) 
 
Estructura de la fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,000
0,100
0,200
0,300
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f(x)
kCx * N-kCn-x 
 NCn 
Exitos 
Población C Muestra 
Fracasos 
Población C Muestra 
Todos 
Población C Muestra 
pvgue
Texto escrito a máquina
(o lote)
pvgue
Cuadro de texto
k
pvgue
Cuadro de texto
N-k
pvgue
Texto escrito a máquina
N, k, n
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
 
77 
3.9.1. Medidas descriptivas de la variable aleatoria hipergeométrica 
 
Media = E(x) = np 
Varianza = Var(x) =npq = np(1-p)[(N-n)/(N-1)] 
donde p=k/N (proporción de éxitos en la muestra) 
 
Ejemplo 3.8 
1. Un Gimnasio, debe contratar a 6 entrenadores para lo cual dipone de 20 candidatos finalistas, 
todos con el mismo nivel. Se conoce que 12 de candidatos son hombres y 8 son mujeres. In-
teresa determinar la probilidad sobre el número de mujeres en el grupo seleccionado de forma 
aleatoria: 
a. ¿Este es un experimento aleatorio con o sin reposión? 
Sin reposición. No tiene sentido seleccionar una persona y luego devolver al grupo para 
hacer una nueva selección. 
¿Cuál es la variable aleatoria?  X: número de mujeres seleccionadas (grupo de 6) 
¿Cuáles son sus parámetros? N = 20 K = 8 (implica N-k=12) n = 6 
x = ¿? El número de éxitos que se requiera en cada pregunta 
 
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la selección este formada solo por mujeres? 
 
 
c. ¿Cuál es la probabilidad de que la selección este formada solo por una mujer? 
 
 
d. ¿Cuál es la probabilidad de que la selección este formada por al menos una mujer? 
 
 
 
 
e. ¿Cuál es la probabilidad de que la selección no este formada por mujeres? 
 
 
f. ¿Cuál es el número promedio de mujeres en la selección? 
 
 
g. Graficar f(x) 
 
= 8C6*12C0 / 20C6 = 7.22x10^(-4) = 0.000722
= 8C1*12C5 / 20C6 = 0.16347 
1-P(x=0) = 1 -8C0*12C6 / 20C6 = 0.97616
pvgue
Cuadro de texto
pvgue
Texto escrito a máquina
factor de corrección de población finita
pvgue
Lápiz
pvgue
Texto escrito a máquina
Se de desea determinar las botellas de gaseosa que tienen tapa dañada, en un lote de producción
de N=100 botellas, por error se fueron con 5 tapas dañadas. Se toma una muestra de 20 para analizarlas, por ejemplo hallar la
la probabilidad de encontrar 5 tapas dañadas en la muestra de 20.
 
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Texto escrito a máquina
p(X=6)
pvgue
Texto escrito a máquina
p(X=1)
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Cuadro de texto
población
pvgue
Texto escrito a máquina
p(X>=1)
 
78 
Ejemplo 3.9 
Ejercicio de Webster.Estad. Aplc. Adm. De los 15 altos ejecutivos de un negocio de importaciones 
y exportaciones, se seleccionan 12 para ser enviados al Japón a estudiar un nuevo proceso de pro-
ducción. Ocho ejecutivos tienen algo de entrenamiento sobre el proceso. ¿Cuál es la probabilidad 
de que: 
a. 5 de los enviados tengan algo de conocimiento sobre el proceso antes de partir?. 
 
 
b. 3 o más enviados tengan algo de conocimiento sobre el proceso antes de partir?. 
 
 
c. Máximo 8 enviados tengan algo de conocimiento sobre el proceso antes de partir?. 
 
 
 
Ejemplo 3.10 
Ejercicio 3.89 del libro Probab. & Estad. Aplic. A la Ingeniería de Montgomery & Runger. 1ª Ed. 
(podrían cambiar el orden de literales o aumentarse) 
Un lote de 75 arandelas contiene cinco en las que la variabilidad del espesor alrededor de la cir-
cunferencia de la arandela es inaceptable. Se selecciona, al azar y sin reemplazo, una muestra de 
10 arandelas. 
a. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las arandelas inaceptables este en la muestra? 
 
 
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una arandela inaceptable este en la muestra? 
 
 
c. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una arandela inaceptable este en la muestra? 
 
 
d. ¿Cuál es la probabilidad de que máximo dos arandelas inaceptables esten en la muestra? 
 
 
e. ¿Cuál es el número promedio de arandelas inaceptables en la muestra? 
 
 
f. ¿Cuál es la desviación estándar del número de arandelas inaceptables en la muestra? 
 
 
79 
3.10. Distribución Poisson 
 
En muchos problemas relacionados con la teoría de colas, puede interesar determinar el “nú-
mero de sucesos que ocurren por unidad de tiempo”, así por ejemplo: 
- Número de personas por hora que llegan a una fila de espera. 
- Número de autos que llegan al peaje por minute 
- Número de llamadas por realizadas a la central telefónica por hora 
 
Sin embargo, también puede interesar estudiar el “Número de sucesos o éxitos por otro de 
tipo de unidad”, ya sea área, volúmen, cantidad de liquido, así por ejemplo: 
- Número de fallas por metro cuadrado 
- Número de defectos por lote 
- Número de rayones por unidad de CD 
 
La variable aleatoria mencionado en los ejemplos anteriores corresponde a una variable alea-
toria Poisson. 
 
Características del experimento aleatorio Poisson: 
1. La probabilidad de observar más de un suceso en un subintervalo tiende a cero 
2. El número promedio de sucesos es proporcional a la longitude del intervalo 
3. El número de sucesos hallados en los intervalos son indpendientes entre si. 
 
La variable aleatoria de Poisson, es una variable aleatoria discreta, donde 
X: “Número de sucesos o éxitos por unidad de tiempo o espacio”. 
Tiene un único parámetro: 
: Número promedio de sucesos por intervalo. 
 
Sus funciones de probabilidad y distribución de probabilidad respectivamente son: 
x!
λe
)λxP(Xf(x)
xλ
 ; 
x = 0, 1, 2,.. 
 



x
xλ
x!
λe
)λxP(XF(x) ; 
x = 0, 1, 2,... 
 
Como se observa esta variable aleatoria no depende de el tamaño de la muestra. 
0,000
0,100
0,200
0,300
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f(x)
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Cuadro de texto
Número de sucesos por intervalo (longitud, área, volúmen, tiempo, otras unidades
 
80 
3.10.1. Medidas descriptivas de la v.a. Poisson 
 
Valor esperado E(X) =  
Varianza V(X) = 2 = , Desviación estándar λσ  
En ocasiones,  no está dado explícitamente, pero puede hallarse con np, o m 
 
Ejemplo 3.11 
Ejemplo. Libro: Probab. y Estad. Aplic. a la Ingeniería, Montgomery & Runger. 1ª. Ed. (Modifi-
cado preguntas) 
Supónga que, el número de fallas por milímetro de alambre está descrito por una v.a. X de Poisson 
con una media de  = 2.3 fallas por milímetro. 
a. Determine la probabilidad de tener dos fallas en un milímetro de alambre. 
 P(X=2) = fx(2; 2.3) = 
2!
(2.3)e 22.3 = 
 
b. Determine la probabilidad de tener al menos dos fallas en un milímetro de alambre. 
 
 
 
 
 
c. Determine la probabilidad de tener máximo dos fallas en un milímetro de alambre. 
 
 
 
 
 
d. Determine la probabilidad de tener 10 fallas en cinco milímetro de alambre. 
Se debe hallar el nuevo promedio. Si en 1mm de alambre el número promeido de fallas es 
2.3, entices en 5 mm de alambre, las fallas se multilplican en 5, pues esa es la constant de 
proporcionalidad. Es decir E(X) = 5*2.3 =  = 11.5 
P(X=10) = fx(10; 11.5) = 
10!
(11.5)e 1011.5
= 
 
e. Determine la probabilidad de tener a lo sumo 2 fallas en cinco milímetro de alambre. 
 
pvgue
Resaltado
pvgue
Cuadro de texto
pvgue
Texto escrito a máquina
0.26518
pvgue
Texto escrito a máquina
p(X>=2)= 1-p(X<2)= 1- p(X<=1) = 1 - [p(X=0)+p(X=1)] = 
pvgue
Texto escrito a máquina
0.66915
pvgue
Texto escrito a máquina
p(X<=2)
 
81 
 
f. Determine la probabilidad de tener 2 fallas en medio milimentro de alambre. 
 
 
g. Determine la probabilidad de tener más de 2 fallas en medio milimentro de alambre. 
 
 
 
Ejemplo 3.12 
Ejercicio 3.139. Libro: Probab. y Estad. Aplic. a la Ingeniería, Montgomery & Runger. 3ª. Ed. 
El número de defectos superficiales en los paneles de plástico utilizados en el interior de automó-
viles tiene una distribución de Poisson con una media de falla de 0.05 por pie cuadrado de panel 
de plástico. Asumir el interior de un automóvil contiene 10 pies cuadrados de plástico panel. 
a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya defectos superficiales en el interior de un auto? 
 
 
 
 
 
b. Si se venden 10 automóviles a una empresa de alquiler, ¿cuál es la probabilidad? que nin-
guno de los 10 autos tiene fallas en la superficie? 
 
 
 
 
 
c. Si se venden 10 autos a una empresa de alquiler, ¿cuál es la probabilidad? que a lo sumo 
un automóvil tiene defectos en la superficie? 
 
 
 
 
82 
3.11 Deberes 
 
Ingenieros PAFDE 
Deber 1.2 
 
Cap.: 4,5. 
5ta. Edición. Cap.: 2, 3, 4. 
 
Probabilidades y Estadística aplicada a la in-
geniería, Montogomery & Runger. 2da. Edic. 
 
 
Deber 2.2. 
 
Ejercicios 1-31, pág. 166, Estadística 
para Admin. y Economía, Lind. 15ª. 
Ed. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
83 
Bibliografía 
Muestreo no probabilístico: Muestreo por conveniencia. Recuperado el 16 de marzo de 2020 
dehttps://www.netquest.com/blog/es/blog/es/muestreo-por-conveniencia 
¿Qué es una encuesta?. Recuperado el 16 de marzo de 2020 de https://www.question-
pro.com/es/una-encuesta.html 
 
Ejemplos de escalas de Likert. Recuperado el 16 de marzo de 2020 de https://www.question-
pro.com/blog/es/ejemplos-de-escalas-likert/ 
 
Scheaffer, R., y Mendenhall, W. (2012). Elementary Survey Sampling. Seventh Edition. (pp. 
7-15, pp. 217-220). University of Florida: Emeritu. 
 
Estadística aplicada a la administración y economía. Lind. 
 
Capítulo 2: Probabilidades: 
http://168.176.239.58/cursos/ciencias/2001065/html/un2/cont_209_51.html 
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rbol_de_probabilidad 
 
Anexos 
Anexo 1. Encuesta 
 
https://www.netquest.com/blog/es/blog/es/muestreo-por-conveniencia
https://www.questionpro.com/es/una-encuesta.html
https://www.questionpro.com/es/una-encuesta.html
https://www.questionpro.com/blog/es/ejemplos-de-escalas-likert/
https://www.questionpro.com/blog/es/ejemplos-de-escalas-likert/
http://168.176.239.58/cursos/ciencias/2001065/html/un2/cont_209_51.html