Presentacion Variables Aleatorias Discretas

Vista previa del material en texto

Rs
X(s)
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Definición: Sea un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es S. Una 
función que asigna un número real X(s) a cada resultado posible s ∈ S, 
recibe el nombre de variable aleatoria.
Notación para las variables aleatorias X, Y, W, … y sus valores
x, y, w, ….
El conjunto de valores posibles de una variable aleatoria X, recibe
el nombre de Recorrido de la v.a. X.
S
Ejemplo: 
Se lanza una moneda tres veces y sea X “número de caras obtenidas en los tres 
lanzamientos”.
S = { C C C, C C S, C S C, C S S, S C C, S C S, S S C, S S S }
Para cada punto muestral s, X asigna el número de caras que corresponden a ese 
punto muestral. 
En este caso el conjunto de valores posibles es Rec X = { 0, 1, 2, 3 }
A veces las variables aleatorias (v.a.) están ya implícitas en los puntos 
muestrales (o sea son números reales).
Ejemplo:
Experiencia consistente en medir la presión sistólica de un grupo de personas. Un 
punto muestral (resultado de un experimento) es ya un número (presión sistólica). 
La v.a. está implícita.
s CCC CCS CSC CSS SCC SCS SSC SSS
X(s) 3 2 2 1 2 1 1 0
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD EN S
Cuando se ha especificado una distribución de probabilidad en el
espacio muestral S, se puede determinar una distribución de
probabilidad para los valores posibles de cualquier variable aleatoria
asociada a S.
Sea A cualquier subconjunto de la recta real y 
P(X(s) A) es la probabilidad de que el valor de X(s) pertenezca al 
subconjunto A. 
Escribiremos P (X  A ) en lugar de P(X(s)  A).
P(X ∈ A) = P( {s / X(s) ∈ A})
En el ejemplo P (X = 0) = P( {SSS} ) = 1/23 = 1/8
P (X = 1) = P({CSS, SCS, SSC} ) = 3/8
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Definición: X es una variable aleatoria discreta si puede tomar k
valores distintos x1, x2, ... ,xk o a lo sumo una sucesión infinita de
valores distintos x1, x2, ....
Sea X una variable aleatoria discreta, con cada resultado posible xi
asociamos un número pX (xi) = P(X= xi), llamado probabilidad de xi
Definición: El conjunto de pares ordenados ( xi , pX (xi)) es una
función de probabilidad, una función de masa o una distribución
de probabilidad de la variable aleatoria discreta X, si para cada
resultado posible x, X . Los números pX (xi ) , i = 1, 2, ... deben
satisfacer las condiciones siguientes:
a) pX (xi )  0 para toda i
b) 𝑖=1∞ 𝑝𝑥(𝑥𝑖) =1
c) P (X = xi) = pX (xi )

Ax
iX
i
)x(p
Se puede determinar la probabilidad de cualquier subconjunto A de la recta real
P(X ∈ A) = 
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA (FDA)
x 0 1 2 3
pX (x ) 1/8 3/8 3/8 1/8
seguimos con el ejemplo de X “número de caras obtenidas en los tres lanzamientos”.
 )x(p
ax
iX
i


FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA (FDA) DE UNA VARIABLE ALEATORIA
FX(a) = P( X ≤ a) para todo a ϵ R
Si X es una variable aleatoria discreta con función de masa pX(xi), 
FX(a) = P( X ≤ a) = 
𝐹𝑋 𝑥 =
0 𝑠𝑖 𝑥 < 2
0,2 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 < 3
0,7 𝑠𝑖 3 ≤ 𝑥 < 4
1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 4
Supongamos que tenemos la siguiente distribución de probabilidad
Entonces su función de distribución 
de probabilidad acumulada FDA es:
DISTRIBUCION UNIFORME SOBRE Z
Si la variable aleatoria X asume los valores 1, 2, 3, … , k con probabilidades 
iguales, entonces la función de probabilidad de X es la siguiente
𝑝𝑋 𝑥; 𝑘 = 
1
𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1, 2, 3, … , 𝑘
0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Esta distribución discreta se denomina “Distribución Uniforme sobre los 
Enteros 1, 2, 3, …, k”. El parámetro es k.
pX(x) es una función de probabilidad, pues se verifica que 
a) pX (x) = 1/k  0 para toda x = 1, 2, …, k
b) 𝑥=1𝑘 𝑝𝑋(𝑥) = 𝑘
1
𝑘
= 1
X representa el resultado del experimento que se describe: 
“se selecciona al azar uno de los enteros 1, 2, …, k”.
En este contexto, la frase “al azar” significa que los k enteros tienen la misma 
probabilidad de ser seleccionados. 
Ejemplo: SORTEO AL AZAR- Se elige “al azar”un alumno entre 10.
X ”Número del alumno seleccionado”
Rec X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
𝑝𝑋 𝑥; 𝑘 = 10 =
1
10
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1, 2, 3, … , 10
0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Se puede asignar una distribución de este tipo a cualquier sucesión finita; 
es decir:
Si la variable aleatoria X asume los valores x1, x2, …, xk con iguales 
probabilidades, entonces la función de probabilidad es la siguiente,
𝑝𝑋 𝑥; 𝑘 = 
1
𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘
0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
y se dice que tiene una “DISTRIBUCIÓN DISCRETA UNIFORME”
EXPERIENCIAS DICOTOMICAS
Sea S un espacio muestral y sean A y AC una “partición” de S
Al realizar el experimento
s ϵ A o s ϵ AC estamos frente a una experiencia dicotómica.
Ejemplo: Tiro de una moneda: “cara” o “sello”, calificar un artículo
fabricado por una máquina: “defectuoso” o “no defectuoso”,
Llamamos ÉXITO a la ocurrencia de A y
FRACASO a la ocurrencia de AC
Si X cuenta el “número de Éxitos en un ensayo”.
Es decir, si al realizar el experimento una vez:
s ϵ A entonces X(s) = 1
s ϵ AC entonces X(s) = O
P (X=1) = P(A) = P(EXITO en una prueba) = p (ó π)
p puede ser cualquier número de 0 a 1.
P(X=0) = P(AC) = P(FRACASO en una prueba) = 1 – p = q. 
pX(x) es una función de probabilidad,
a) pX (x)  0 para todo x 
b) pX (0) + pX (1)= (1-p) + p = 1
Se dice que X tiene una DISTRIBUCIÓN BERNOULLI o que X es una
VARIABLE BERNOULLÍ con parámetro p.
Cada prueba se llama prueba Bernoullí.
Ejemplo: Se extrae una bolilla de una urna que contiene 5 bolillas rojas,
8 negras y 2 azules.
Definimos ÉXITO si sale roja FRACASO si no sale roja. 
X “ Número de bolillas rojas (éxitos) en una extracción”. 
p = P (X = 1) = P(ROJA) = 5/15 = 1/3 x pX (x)
0 2/3 (1-p = 0,67)
1 1/3 (p =0,33)
1
EL VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA 
Definición: Sea X una variable aleatoria discreta con valores posibles x1, x2, 
…xn, … y sea pX(xi) = P( X=xi ), i = 1, 2, …,n.
El Valor Esperado de X (o media de X o esperanza matemática de X),
se define como
E ( X ) = )(xpx
 xlos todossobre
iXi
Observación: Debemos observar la analogía entre el valor esperado de una 
variable aleatoria y el concepto de “centro de masa” en mecánica. 
Si una masa unitaria está distribuida a lo largo de la recta en los puntos 
discretos x1, x2, …xn, … y si pX(xi) es la masa en xi , el valor esperado E(X) 
representa el centro de masa (respecto al origen).
• Para una variable Bernoullí X que tiene la siguiente distribución de probabilidad
E (X) = 0 (1-p) + 1 p = p
x 0 1
pX(x) 1 - p p
Teorema: 
V ( X ) =   
i
2
iX
2
i )()(xpx XE
      )(xp)()(x2x )(xp)(x
i
iX
2
i
2
i
i
iX
2
i XEXEXE
22
i
iX
2
i
i
iX
2
i
iXi
i
iX
2
i
)( )(2 - )(xpx
 )(xp)( )(xpx)(2 - )(xpx
XEXE
XEXE




  
i
2
iX
2
i )()(xpx XE
Demostración:
V ( X ) =
VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA 
PROCESO DE BERNOULLI
1º) El experimento consiste en n pruebas (ensayos ó intentos)
repetidas.
2º) Cada prueba tiene dos resultados posibles (ÉXITO y
FRACASO).
3º) La probabilidad de ÉXITO “p” se mantiene constante para
todas las pruebas.
4º) El resultado (es decir, el ÉXITO ó FRACASO) de cualquier
prueba es independiente del resultado de cualquier otra prueba, ó
Las pruebas son independientes.
El experimento caracterizado por 1º), 2º), 3º) y 4º) se llama
“Proceso de Bernoullí” y cada prueba “Prueba de Bernoullí”
(Ó tipo Bernoullí).
DISTRIBUCION BINOMIAL
La variable aleatoria X que cuenta el “número de éxitos en “n” pruebas de
Bernoullí” recibe el nombre de VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL con
parámetros n y p.
Sus valores de probabilidad se representan por
pX(x ; n, p) ó b(x ; n, p)
dado que estos dependen de n (número de pruebas) y de p (probabilidad
de éxito en una prueba determinada).
La función de probabilidad de X es
pX(x ; n, p) = n ..., 2, 1, 0, x,p)-(1 
x
n x-n 




 xp
Este modelo se aplica a:
•poblaciones finitas de las que tomamos elementos al azar con 
reemplazamiento, 
•poblaciones conceptualmente infinitas, como las piezas que producirá 
una máquina, siempre que elproceso generador sea estable 
(proporción de piezas defectuosas constante a largo plazo) y sin 
memoria (el resultado en cada momento es independiente de lo 
previamente ocurrido).
El experimento sobre cuyo espacio muestral se define una variable aleatoria con 
distribución binomial se llama PROCESO DE BERNOULLI y debe tener las 
siguientes propiedades:
1º) El experimento consiste en n pruebas (ensayos ó intentos) repetidas.
2º) Cada prueba tiene dos resultados posibles (ÉXITO y FRACASO).
3º) La probabilidad de tener ÉXITO en una prueba es igual a algún valor “p”y
permanece constante de una prueba a otra. La probabilidad de un fracaso es igual 
a q = 1 – p.
4º) Las pruebas son independientes. El resultado (es decir, el ÉXITO ó
FRACASO) de cualquier prueba es independiente del resultado de cualquier otra 
prueba.
El director de control de calidad de la compañía de automóviles Kyoto Motor, se encuentra
realizando su revisión mensual de transmisiones automáticas. En el procedimiento, se retiran 10
transmisores de la pila de componentes y se les revisa en busca de defectos de fabricación. A lo
largo del tiempo, solo el 2% de las transmisiones tienen defectos (suponga que los defectos se
presentan de manera independiente en diferentes transmisiones).
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra contenga más de dos transmisiones con defectos de 
fábrica?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las transmisiones elegidas tenga defectos de 
fábrica?
c) Cuál es el valor que espera el director de control de calidad de las transmisiones automáticas 
con defectos? Y cual es la varianza
X: N° de transmisiones con defectos n=10 p(defectuosa) = 0,02 v.a. Binomial
a) P(X >2 / n=10, p=0,02) = 1 – P(X≤2) = 1 – (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)) = 1-0,9991 = 0,0009
b) P(X = 0 / n=10, p=0,02) = 0,81707
c) E(x) = n*p = 10 * 0,02 = 0,2 ⋍1
d) Var(x) = n * p * (1-p) = 10 * 0,02 * 0,98 = 0,196
n ..., 2, 1, 0, x,p)-(1 
x
n
 p) n, ;Px(x x-n 





 xp
DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA
Los tipos de aplicaciones de la distribución hipergeométrica son muy similares a
aquellos de la binomial. La distribución hipergeométrica no requiere independencia y
se basa en el muestreo llevado a cabo SIN REEMPLAZO. Por ejemplo: el muestreo de
aceptación de un lote, las pruebas electrónicas y el control de calidad. La prueba se
realiza a expensas de la pieza que se está probando; ésta se destruye y por lo tanto no
puede reemplazarse en la muestra.
Ejemplo 1: Supóngase que se tiene un lote de 20 unidades que contiene seis que
están defectuosas, y que se extraen al azar sin reposición cinco unidades de ese
lote. Sea X el número de unidades defectuosas en la muestra. Queremos calcular
0,3522 
5
20
3
14
2
6
 ) 2 P(X 



















20 entre rseseleccionapueden que unidades cinco de 
sdefectuosa doscontienen que unidades cinco de nescombinacio de número
2)P(X nescombinaciodenúmero
DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA Ejemplo:
De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3
proyectiles defectuosos que no explotarán. ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) los 4 exploten? b) al menos 2 no exploten? c) Calcular el valor esperado y la
desviación estándar
X: Cantidad de proyectiles que no explotan
(éxito: que no exploten) N=10 total; A= 3 Cantidad de éxitos que contienen los N
artículos; n=4 selección al azar
 
n
BA
x-n
B
x
A
 n) N, A, (x,Px 





 













si máx {0, n – B}  x  mín { n, A }
0  x  3
X: Cantidad de proyectiles que no explotan N=10; A= 3; n=4 (éxito: que no exploten)
1667,0 
4
73
0 - 4
3-10
0
3
 4) 10, 3, (0,Px n) N, A, Px(x, a) 





 













b) P( X ≥ 2 ) = 1 – P(X ≤ 1) = 1 – [ P(X=0) + P(x=1)]
= 1- [ 0,1667 + 0,5]
=0,3333
a) Si los 4 explotan significa que ninguno no explota entonces P(x=0)
c) E(X)= n* A/N = 4*3/10 = 1.2
𝑽𝒂𝒓 𝒙 = 𝒏
𝑨
𝑵 𝟏 −
𝑨
𝑵
𝑵− 𝒏
𝑵− 𝟏
𝑽𝒂𝒓 𝒙 = 𝟒
𝟑
𝟏𝟎 𝟏 −
𝟑
𝟏𝟎
𝟏𝟎 − 𝟒
𝟏𝟎 − 𝟏
𝑽𝒂𝒓 𝒙 = 0,56
DISTRIBUCIÓN DE POISSON 
La variable aleatoria X que mide el “nº de resultados que ocurren
en un intervalo de tiempo dado t, o en una región especifica t” se llama
variable aleatoria de Poisson y su distribución de probabilidades es la
siguiente:
caso otro en 0 = 
 3, 2, 1, 0,= xpara = 
!x
)t(e)t,x(p
xt 


donde  es el número medio de resultados por unidad de tiempo o
región, ó tasa de ocurrencia de los resultados.
Si llamamos  al número medio de resultados en un intervalo
dado t,  =  t .
La probabilidad de que X = x puede expresarse de la siguiente
manera:
caso otro en 0 = 
 3, 2, 1, 0,= xpara = 
!x
e),x(p
x


Esta distribución de probabilidades recibe el nombre de 
DISTRIBUCIÓN DE POISSON con parámetro  .
El intervalo de tiempo puede ser de cualquier duración, por ejemplo un
segundo, un minuto, un día, una semana o inclusive un año. Por ejemplo:
X = Nº de llamadas por hora que se reciben en una oficina.
X = Nº de automóviles que llegan por día a una casilla de peaje.
X = Nº de partículas radioactivas que pasa a través de un contador durante un
intervalo de 3 milisegundos.
La región específica podría ser un segmento de línea, un área o un
volumen. Por ejemplo:
X = Nº de ratas de campo por acre.
X = Nº de bacterias en un determinado cultivo.
X = Nº de pasas de uva en un pan de Navidad.
X = Nº de hojuelas de chocolate por galleta en un paquete de galletas "CHIP".
X = Nº de errores de mecanografía por página.
PROCESO DE POISSON
Se puede demostrar que si el proceso físico que genera estas
ocurrencias satisface las tres condiciones siguientes, entonces la
distribución de X debe ser una Distribución de POISSON.
En la siguiente descripción de las tres condiciones que se
necesitan, supóngase que se observa un fenómeno concreto durante un
período de tiempo fijo (ó en una región específica del espacio) t.
1ª CONDICIÓN: El número de ocurrencias en un intervalo de
tiempo (o región) específico es independiente del Nº de
ocurrencias en cualquier otro intervalo disjunto de tiempo (ó
región disjunta del espacio). De esta forma vemos que el proceso
de Poisson no tiene memoria.
2ª CONDICIÓN: La probabilidad de una ocurrencia durante cualquier
intervalo de tiempo muy corto (ó en cualquier región muy pequeña) debe
ser aproximadamente proporcional a la longitud de ese intervalo (ó al
tamaño de la región) y no depende del Nº de ocurrencias fuera de ese
intervalo (ó región).
3ª CONDICIÓN: La probabilidad de que haya dos ó más ocurrencias en
cualquier intervalo de tiempo muy pequeño (ó región muy pequeña) debe
ser despreciable en comparación de la probabilidad de una ocurrencia.
Ejemplo: Las llamadas de servicio que entran a un centro de mantenimiento con un promedio de 
2.5 llamadas por minuto. Encuentre la probabilidad de que:
a) no más de 4 llamadas entren en un minuto cualquiera;
b) menos de 2 llamadas entren en un minuto cualquiera;
c) más de 10 llamadas entren en un periodo de 4 minutos.
d) Calcular el valor esperado y la desviación estándar.
X: llamadas de servicio que entran a un centro de mantenimiento, en un tiempo t
X tiene distribución de Poisson µ = λ * t 
a. no más de 4 llamadas entren en un minuto cualquiera; µ = λ * t = 2,5 * 1 = 2,5
Con tabla P(X ≤ 4; µ = 2,5)= de tabla 0,8912
Con fórmula P(X ≤ 4; µ = 2,5)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) P(X=4) = 0,0821 +0,2052 +0,2565 + 
0,2138 + 0,1336
P(X ≤ 4; µ = 2,5)= 0,8912
b. menos de 2 llamadas entren en un minuto cualquiera 
P(X < 2; µ = 2,5)= P(X ≤ 1; µ = 2,5)= de tabla 0,2873
c. más de 10 llamadas entren en un periodo de 4 minutos
P(X >10; ; µ = λ * t = 2,5 * 4 = 10)= 1 – P(X ≤ 10)= 1-0,5830 = 0,4170
d. E(X)= λ * t = 2,5 * 1 = 10 con t= 4 minutos
VAR(X)= λ * t = 10
 X =  10 =3,1623
DISTRIBUCION GEOMÉTRICA
¿Cuántas tiradas hacen falta en la ruleta para quesalga el número
28?
H “el número de repeticiones hasta la ocurrencia del 28”
Rec H = { 1, 2, 3, …, 100, … }
“En una jugada se ha presentado un ÉXITO si sale 28 y ha
ocurrido un FRACASO si no sale 28”.
p = P(Éxito en una prueba) = 1/37 
q = P(Fracaso en una prueba) = 36/37
P(H = a) = P( {s / X(s) = a}); esto es 
P(H=1) = P(E1) = 1/37
P(H=2) = P( {F1E2}) = (36/37)∙(1/37)
P(H=3) = P( {F1F2E3}) = (36/37)2∙(1/37)
P(H=10) = (36/37)9 ∙(1/37)
P(H=40) = (36/37)39 ∙(1/37)
En general, 
pH (a) = P(H = a) = P( {F1F2F3…Fa-1Ea}) = (36/37)a-1∙ (1/37) si a = 1, 2, 3, …
pues las pruebas son independientes y
P(F1 ∩ F2 ∩ F3 ∩ … ∩ Fa-1 ∩ Ea ) = P(F1)∙P(F2)∙ P(F3)∙… ∙P(Fa-1)∙P(Ea) 
= (36/37)a-1∙ (1/37)
Se dice que H tiene una distribución geométrica con parámetro p = 1/37
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
p(
x)
)
Función de Masa p(x) de una Distribución Geométrica
Parámetro p = 1/37
x
1/37
En general: Si pruebas independientes repetidas pueden tener
como resultado un éxito con probabilidad p y un fracaso con
probabilidad q = 1 – p, entonces la distribución de probabilidad
de la variable aleatoria X, el número de pruebas necesarias para
que ocurra el primer éxito, es
pX (x; p) = P(X = x) = qx - 1∙p si x = 1, 2, 3,…
Es una función de masa pues
a) pX (x; p) = qx - 1∙p > 0 si x = 1, 2, 3,…
a) 𝑥=1𝑘 𝑝𝑋 𝑥; 𝑝 = 𝑥=1∞ 𝑝 𝑞𝑥−1
= p 𝑥−1=0∞ 𝑞𝑥−1 = p 𝑢=0∞ 𝑞𝑢 = 𝑝
1
1−𝑞
= 𝑝 1
𝑝
= 1
serie geométrica que converge pues q<1
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA
Es una generalización de la distribución geométrica. Aquí la 
variable aleatoria X es el número de ensayos o pruebas Bernoullí
independientes, necesario para obtener r éxitos.
Si pruebas independientes repetidas pueden tener como
resultado un éxito con probabilidad “p” y un fracaso con
probabilidad q = 1 – p, entonces la distribución de
probabilidad de la variable aleatoria X, el número de pruebas
necesarias para que ocurran r éxito, es
𝑝𝑋 𝑥; 𝑟, 𝑝 =
𝑥 − 1
𝑟 − 1 𝑝
𝑟 𝑞𝑥−𝑟, 𝑥 = 𝑟, 𝑟 + 1, 𝑟 + 2,…
Los registros de una compañía constructora de pozos, indican que la probabilidad de
que uno de sus pozos nuevos, requiera de reparaciones en el término de un año es de
0.20.
a)¿Cuál es la probabilidad de que el quinto pozo construido por esta compañía en
un año dado sea el primero en requerir reparaciones en un año?
X: cuenta el número de intentos hasta a ocurrencia del primer éxito
X: Cantidad de pozos construidos en un año hasta que se obtiene el primero que
requiera reparaciones
P=0,20; x=5; r=1 Distribución geométrica.
P(X=5;p=0,20)= p (1-p) (x-1) = 0,20 * 0,80 (5-1)= 0,0819
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el sexto pozo construido por esta compañía en
un año dado sea el segundo en requerir reparaciones en un año?
P=0,20; x=6; r=2 Distribución Binomial negativa.
X: Cantidad de pozos construidos en un año hasta que se obtiene el segundo en
requerir reparaciones
𝑝𝑋 𝑥; 𝑟, 𝑝 =
𝑥 − 1
𝑟 − 1 𝑝
𝑟 𝑞𝑥−𝑟,
𝑝𝑋 6; 2, 0,20 =
6 − 1
2 − 1 0,20
2 0,806−2,
𝑝𝑋 6; 2, 0,20 =
5
1 0,20
2 0,804 = 0,0819