Estadística (Probabilidad)

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Probabilidad 
 
Experimento aleatorio: 
Un experimento aleatorio es todo proceso que consiste en la repetición de prueba o acto una ó más veces, 
cuyo resultado genera un conjunto de datos (cualitativos o cuantitativos) que depende del azar y 
consecuentemente su resultado no se puede predecir con certeza. 
 
Ejemplo: 
1) Lanzar un dado y observar el resultado. 
2) Contar objetos defectuosos en una línea de producción. 
 
Espacio muestral: 
Es el conjunto de todos los resultados posibles, denominados puntos muestrales, obtenidos en el experimento 
aleatorio. Se denota por Ω y se describe de la siguiente forma: 
{ }/w wes puntomuestralΩ = 
Si el espacio muestral es finito se puede expresar describiendo cada uno de los elementos. Si el número de 
elementos del espacio muestral es grande o infinito se puede describir con un enunciado o regla. 
 
Ejemplo: 
Se presentan experimentos aleatorios con sus respectivos espacios muestrales: 
 
1) El experimento aleatorio de lanzar un dado una vez y observar el resultado. Entonces, el espacios 
muestrales se puede escribir como: { }1 1,2,3,4,5,6Ω = 
 
2) El experimento aleatorio de lanzar una moneda 3 veces, tiene como espacio muestral el siguiente 
conjunto: { }2 , , , , , , ,CCC CCS CSC SCC SSC SCS CSS SSSΩ = 
 
Nota: Los espacios muestrales de experimento aleatorio que consisten en 2 o más pruebas sucesivas se 
pueden obtener de un diagrama de árbol. Ejemplo aplicado a 2Ω . 
 
 
 
 
3) Supongamos ahora el experimento aleatorio de lanzar un dado y moneda a la vez, entonces los elementos 
del espacio muestral son: 
{ }3 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6C C C C C C S S S S S SΩ = . 
4) Sea el experimento aleatorio de lanzar una moneda hasta que aparezca un sello, entonces el espacio 
muestral es: 
{ }4 , , , ,.....S CS CCS CCCSΩ = . 
5) Si el experimento aleatorio es medir la vida útil de un celular, el espacio muestral asociado es: 
{ } [ )5 / 0 0,t tΩ = ∈ℜ ≥ = ∞ . 
6) Considere el experimento aleatorio para determinar la ubicación de caída de un dardo en un blanco de 
radio 10 cm. Luego, el espacio muestral está dado por: 
{ }2 25 ( , ) / 100x y x yΩ = ∈ℜ + ≤ . 
 
Clasificación de los espacios muestrales: 
Según el número de puntos muestrales es clasifica en: 
 
1) Discreto finito: Es aquel que tiene un número finito de elementos, como los espacios muestrales 
dados en 1 2,Ω Ω y 3Ω . 
2) Discreto infinito: Es el espacio muestral que contiene un número infinito numerable de elementos, 
como el espacio muestral 4Ω . 
3) Continuo: Consiste en un conjunto con un número infinito no numerable de elementos, como los 
espacios muestrales 5Ω y 6Ω . 
 
Eventos. 
Se denomina evento o suceso a todo subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo, supongamos un espacio 
muestral finito, esto es, { }1 2, ,.., nw w wΩ = . Entonces, Ω tiene 2n subconjuntos diferentes, entre ellos: 
 El evento imposible, es aquel que no tiene elementos, denotado por ∅ , es decir nunca ocurre. 
 Eventos unitarios o elementales, es aquel que contiene un solo elemento, esto es,{ }iw . 
 Eventos compuestos, son aquellos eventos que tienen 2 ó más elementos. 
 El evento seguro, es el mismo conjunto Ω , puesto que contiene a todos los eventos posibles. 
 
En particular, si { }1 2 3, ,w w wΩ = entonces el conjunto de todos los eventos posibles es: 
{ } { } { } { } { } { }{ }1 2 3 1 2 2 3 1 3, , , , , , , , , ,E w w w w w w w w w= ∅ Ω . 
 
Definiciones: 
1. Se dice que un evento A ocurre, si contiene por lo menos un punto muestral de algún experimento 
aleatorio. Esto es, A ocurre si y sólo sí existe w A∈ . 
2. Un evento A no ocurre si y sólo w A∉ . 
3. Si el evento A está contenido en B , denotado por A B⊂ , si cada vez que ocurre A entonces también 
ocurre B . 
4. Los eventos A y B son iguales, A B= , si y sólo sí A B⊂ y B A⊂ . 
5. Se denomina complemento del evento A , denotado por cA o 'A , al conjunto de elementos que no están 
en A . Es decir, 
cA es el evento que indica que no ocurre A y se describe como { }/cA w w A= ∈Ω ∉ . 
 
Operaciones de eventos. 
1. La unión de 2 eventos A y B , denotado por A B∪ , es el conjunto de todos los puntos muestrales que 
pertenecen a A o B , es decir, ocurre por lo menos uno de los 2 eventos. En símbolos, se escribe como, 
{ }/A B w w A w B∪ = ∈Ω ∈ ∨ ∈ . 
2. La intersección de 2 eventos A y B , denotado por A B∩ , es el conjunto de todos los puntos muestrales 
comunes a A y a B . Esto es, 
{ }/A B w w A w B∩ = ∈Ω ∈ ∧ ∈ . 
3. Dos eventos mutuamente excluyentes o disjuntos, son aquellos que no tienen elementos en común y se 
denota por A B∩ = ∅ . En general, los eventos 1 2, ,.. nA A A son mutuamente excluyentes si 
, , , 1,2,..,i jA A i j i j n∩ = ∅ ∀ ≠ = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Complemento Unión Intersección 
 
 
4. La diferencia entre el evento A y B , denotado por A B− , es aquel evento que contiene los elementos 
del evento A , pero no los elementos del evento B . Es decir, 
cA B A B− = ∩ es el evento que describe 
que ocurre el evento A y no el evento B . En símbolos, 
{ }/A B w w A w B− = ∈Ω ∈ ∧ ∉ . 
5. Se denota por AxB al producto cartesiano de los eventos A y B , el cual consiste en todos los pares 
ordenados 1 2( , )w w , donde 1w A∈ y 2w B∈ . Entonces, AxB es el evento que describe que ocurre 
primero el evento A y segundo el evento B . En resumen, 
{ }1 2 1 2( , ) /AxB w w w A w B= ∈ ∧ ∈ . 
Ejemplo: 
Sea { }1,2,3,4,5,6,7,8,9,0Ω = un espacio muestral, { }1,2,3A = y { }3,4B = dos eventos de Ω . 
Entonces: 
{ }1,2,3,4A B∪ =
 
{ }3A B∩ =
 
{ }1,2A B− =
 
{ }4,5,6,7,8,9,0cA =
 
(1,3), (1,4),
(2,3), (2,4),
(3,3), (3,4)
AxB
 
 =  
 
 
 
 
Algebra de eventos. 
Operatoria básica entre eventos. Sean ,A B y C ∈Ω , entonces se tienen las siguientes propiedades: 
 
A A A∪ = A A A∩ = 
A B B A∪ = ∪ A B B A∩ = ∩ 
cA A∪ = Ω cA A∩ = ∅ 
A A∪∅ = A∩∅ = ∅ 
A∪ Ω = Ω A A∩ Ω = 
cΩ = ∅ , ( )c c cA A∅ = Ω = 
( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ 
( )c c cA B A B∪ = ∩ ( )c c cA B A B∩ = ∪ 
 
Probabilidad de un evento. 
Definición: Sea Ω el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. La probabilidad de cualquier 
evento A de Ω es un número real, denotado por ( )P A , que satisface los siguientes axiomas: 
 
A1) ( ) 0P A ≥ 
A2) ( ) 1P Ω = 
A3) Si A y B dos eventos mutuamente excluyentes, entonces ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = + . 
 
De los axiomas, se desprenden los siguientes resultados: 
1) Si ∅ es el elemento imposible, entonces ( ) 0P ∅ = . 
2) ( ) 1 ( )cP A P A= − y ( ) 1 ( )cP A P A= − . 
3) Si A y B son eventos tal que A B⊂ , entonces ( ) ( )P A P B≤ . 
4) 0 ( ) 1P A≤ ≤ . 
5) Si A y B son eventos cualesquiera, entonces ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ . 
6) 
Lo anterior, se puede generalizar para n eventos. En particular, para 3 eventos, digamos A , B y C eventos 
cualesquiera, se tiene que: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C P A B P B C P A C P A B C∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩ . 
 
 
 
Cálculo de probabilidades. 
Espacio muestral finito. 
Sea { }1 2, ,.., nw w wΩ = , un espacio muestral finito de n elementos, entonces este espacio muestral se puede 
escribir como unión disjunta finita de sus eventos elementales, esto es 
{ }
1
n
i
i
w
=
Ω =∪ y por A1 y A2, se tiene que { } { }( )
11
( ) 1
n n
i i
ii
P P w P w
==
 Ω = = = 
 
∪ . 
Si consideramos que todos los eventos elementales son equiprobables (igualmente posibles) y si 
{ }( )iP w p= , entonces np=1 lo que implica que 1p
n
= . De lo anterior, si tenemos un evento A ⊂ Ω , Ω
 
un 
espacio muestral equiprobable, que consta de k elementos, entonces se define la probabilidad de A como el 
número 
 
( ) #( )
#( )
A n casos favorables
P A
n casos posibles
°= =
Ω °
. 
Ejemplo: 
Se lanza un dado y se observa el resultado. 
a) Calcular la probabilidadde obtener un 2. 
b) Calcular la probabilidad de obtener al menos 4 puntos. 
c) Calcular la probabilidad de que no salga un 2. 
 
Respuesta: El espacio muestral es { }1,2,3,4,5,6Ω = , entonces: 
a) Si A es el evento “obtener un 2”, entonces { }2A = . Luego, ( ) #( ) 1
#( ) 6
A
P A = =
Ω
 
b) Si B es el evento “obtener al menos 4 puntos”, entonces { }4,5,6B = y ( ) #( ) 3 1
#( ) 6 2
B
P B = = =
Ω
. 
c) Si C es el evento “no sale un 2”, entonces 
c
C A= , estos es, ( ) ( ) 1 51 1
6 6
c
P A P A= − = − = 
Ejemplo (TAREA) 
Se lanza un dado 2 veces consecutivas. Calcular la probabilidad de obtener: 
a) Sumen 7 puntos. 
b) Salga 6 sólo en el segundo lanzamiento. 
c) Salga 5 ó 6 sólo en el segundo lanzamiento. 
d) Salga 5 o 6 puntos sólo en el segundo lanzamiento. 
e) No salga el 6. 
 
Espacio muestral infinito numerable 
Sea { }1 2, ,.., ,...nw w wΩ = , un espacio muestral infinito numerable de elementos. Entonces, este espacio 
muestral se puede escribir como unión disjunta infinita de sus eventos elementales, esto es, { }
1
i
i
w
∞
=
Ω =∪ y 
por A1 y A2, se tiene que { } { }( )
1 11
( ) 1i i i
i ii
P P w P w p
∞ ∞ ∞
= ==
 Ω = = = = 
 
 ∪ , donde { }( )i iP w p= . 
Sea A un evento tal que A ⊂ Ω , entonces la probabilidad de A está dado por 
( ) { }( )
i
i
w A
P A P w
∈
=  . 
Ejemplo: 
Un dado se lanza sucesivamente hasta que aparezca el primer 3. Sea los eventos E :”Sale el 3” y F :”No sale 
el 3”, entonces el espacio muestral se puede escribir como: 
{ }, , , ,.....E FE FFE FFFEΩ = . 
( )1
1
6
p P E= =
 
( ) ( ) ( )2
5 1 5
6 6 36
p P FE P F P E= = ⋅ = ⋅ =
 
( ) ( ) ( ) ( )3
5 5 1 25
6 6 6 216
p P FFE P F P F P E= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
 
: 
( ) ( ) ( ) ( )
1
5 1
...
6 6
n
np P F FE P F P F P E
−
 = = ⋅⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ 
  
Se puede probar que
 
1
1i
i
p
∞
=
= . 
 
Probabilidad Condicional. 
Sean A y B dos eventos de un espacio muestral. La probabilidad condicional de B dado A , es el número 
( )P A B
 
o ( )BP A
 
definido por 
( ) ( )
( )
P A B
P A B
P B
∩= ,
 
( ) 0P B >
 
Observación: 
 
a) Si ( ) 0P B = , se define
 
( ) 0P A B = 
b) Como A B B∩ ⊆ , entonces, cuando calculamos ( )P A B
 
estamos calculando
 
( )P A
 
con
 
respecto al 
espacio muestral reducido B . De lo anterior, ( )P A B
 
se interpreta como la actualización de ( )P A
 
dado 
que ha ocurrido el evento B . 
c) Si A y B son eventos de un espacio muestral equiprobable Ω , entonces ( ) #( )
#( )
A B
P A B
B
∩= , ( )# 0B > . 
 
Ejemplo 
Dada la siguiente tabla: 
 
Frecuencia de uso de cocaína por género entre adultos adictos 
Frecuencia de uso de cocaína 
en el período de vida 
Masculino (M) Femenino (F) Total 
1-19 veces (A) 32 7 39 
20-99 veces (B) 18 20 38 
100 + veces (C) 25 9 34 
Total 75 36 111 
 
Se pide calcular las siguientes probabilidades: 
a) Elegir una mujer que consuma cocaína. 
b) Un hombre consuma cocaína 100 veces o más. 
c) Un hombre o mujer consuman cocaína de 20-99 veces. 
d) Si es un hombre, Cuál es la probabilidad que haya consumido cocaína 100 veces o más durante su vida?. 
e) No consuman cocaína de 20-99 veces. 
f) Que sea masculino o haya consumido cocaína menos de 19 veces. 
 
Respuesta: 
a) 
36
( )
111
P M = 
b) 
25
( )
111
P M C∩ = 
c) 
38
(( ) )
111
P M F B∪ ∩ = 
d) 
( ) #( ) 25
( )
( ) #( ) 75
P C M C M
P C M
P M M
∩ ∩= = = 
e) [ ] 38 73( ( ) ) 1 (( ) ) 1
111 111
c
P M F B P M F B∪ ∩ = − ∪ ∩ = − = 
f) 
75 39 32 82
( ) ( ) ( ) ( )
111 111 111 111
P M C P M P C P M C∪ = + − ∩ = + − = 
 
 
 
 
 
 
Regla Multiplicativa 
 
De la probabilidad condicional tenemos que sí A y B son dos eventos cualesquiera, se tiene que 
( )( ) ( )P A B P A P B A∩ =
 
Generalizando, si tenemos que 1 2, ,.., nA A A son eventos cualesquiera entonces 
( )1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1.. ( ) ( ) ( ) .. ( .. )n n nP A A A P A P A A P A A A P A A A A −∩ ∩ ∩ = ∩ ∩ ∩ ∩i i i i 
 
Se dice que dos eventos, A y B , son estadísticamente independientes si y sólo si 
( ) ( )P A B P A=
 
y
 
( ) ( )P B A P B=
 
 
o equivalentemente, los eventos A y B son independientes si y sólo si 
( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = i
. 
Generalizando, tenemos que si 1 2, ,.., nA A A son eventos independientes si y sólo si 
( ) ( )1 2 1 2.. ) ( ) ... (n nP A A A P A P A P A∩ ∩ ∩ = i i i
 
. 
Nota: - Si A y B son eventos independientes, no significa que A B∩ = ∅ . 
 
Ejemplo: 
En un edificio hay 20 personas, 8 de las cuales presentan síntomas de estar infectados con un cierto virus. Para 
declarar cuarentena en el edificio se examinan sucesivamente sin reemplazo 3 de estas personas y si ninguna 
de ellas presenta síntomas no se declara cuarentena ¿Cuál será la probabilidad de no declarar cuarentena en 
el edificio? 
Sea Z : se declara cuarentena. 
i
A : La i-ésima persona examinada presenta síntomas, i = 1, 2, 3, 
1 2 3 1 2 1 3 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12 11 10
( ) 0,1929
20 19 18
c c c c c c c c cP Z P A A A P A P A A P A A A
P Z
= ∩ ∩ = ∩
= ⋅ ⋅ =
i i
 
Es decir, existe un 19.29 % de posibilidades de no declarar cuarentena. 
Teorema. 
Si A y B son eventos independientes de Ω , entonces: 
a) A y cB son independientes. 
b) cA y B son independientes. 
c) cA y cB son independientes. 
 
Regla de probabilidad total y teorema de Bayes. 
Partición de un espacio muestral. 
Definición: Se denomina partición de un espacio muestral
 
Ω a una colección de k eventos de Ω , digamos
1 2, ,.., nA A A ∈Ω , si cumple con las siguientes condiciones: 
 
1) ( ) 0iP A ≥ , para 1,2,..,i k= . 
2) i jA A∩ = ∅ , i j∀ ≠ . 
3) 
1
k
i
i
A
=
Ω =∪ tal que 
1
( ) 1
k
i
i
P A
=
= 
 
 
 
Regla de probabilidad Total. 
Si k eventos 1 2, ,.., kA A A
 
constituyen una partición del espacio muestral Ω , entonces para cualquier evento 
B ∈Ω , se tiene que 
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
k k
i i i
i i
P B P A P B A P B A
= =
= = ∩ i
 
Teorema de Bayes 
Si k eventos 1 2, ,.., kA A A
 
constituyen una partición del espacio muestral Ω , entonces para cualquier evento 
B ∈Ω , tal que
 
( ) 0P B > , 
1
( ) ( )( )
( )
( )
( ) ( )
i ii
i k
i i
i
P A P B AP A B
P A B
P B
P A P B A
=
∩= =

i
i 
Nota: 
 a) El teorema Bayes nos permite comparar la probabilidad previa (a priori) ( )iP A con la probabilidad 
posterior (a posteriori) ( )iP A B . 
b) Observar que el teorema de Bayes muestra el porcentaje de la contribución de ( )iP A B∩ con respecto a 
( )P B . 
c) Es evidente que 
1
( ) 1
k
i
i
P A B
=
=
 
Ejemplo: 
En una línea de producción hay dos procesos, A y 
 
B . En el proceso A hay 20% de defectuosos y en B hay 
25%. En una muestra de 300 productos hay 200 del proceso A y 100 del B . 
a) Si se extrae un producto al azar, hallar la probabilidad que sea defectuoso. 
b) Si al extraer el producto resultó defectuoso, halle la probabilidad que sea del producto A 
 
Variable aleatoria. 
Definición: Una variable aleatoria X es una función definida en Ω tal que a cada elemento w∈ Ω le asocia 
el número real ( )X w x= . 
 
 
 
El dominio de la variable aleatoria X es el espacio muestral Ω y el rango es un subconjunto de los números 
reales que denotaremos por { }/ ( ),XR x x X w w= = ∈Ω . 
Nota: las variables aleatorias se denotan por letras mayúsculas ( , , ,..X Y Z ) y cuando esta variable toma un 
valor se le denota con letra minúscula ( , , ,..x y z ). 
 
Ejemplo 1 
Sea Ω el espacio muestral que se obtiene al lanzar al aire una moneda tres veces consecutivas, esto es, 
{ } SSS, SSC, SCS, CSS, SCC, CSC, CCS, CCC .Ω = 
Si X se define en Ω como "el número de sello obtenidos, entonces 
 
0X = , corresponde al evento elemental { }CCC . 
1X = , corresponde a los eventos elementales { } { } { }SCC , CSC , CCS . 
2X = , corresponde a los eventos elementales { } { } { }SSC , SCS , CSS . 
3X = , corresponde al evento elemental { } SSS 
 
Luego, el rango es el conjunto: { }0,1,2,3XR= 
 
 
Ejemplo 2 
Sea Ω el espacio muestral que resulta de lanzar un dado sucesivamente veces hasta obtener el primer uno, 
esto es, 
{ }E, FE, FFE, FFFE,..Ω = . 
Definamos los eventos E=”sale uno” y F="No sale uno” en cada prueba. La variable aleatoria Y se define 
como "el número de lanzamientos realizados hasta obtener un uno”, luego
( ) ( )E 1, FE 2, (FFE) 3,...Y Y Y= = = entonces { }1,2,3,..XR = 
 
Nota: Cuando el resultado w de un experimento aleatorio es la característica numérica que queremos 
estudiar, se define la variable aleatoria X como la función identidad, es decir, ( ).w X w= 
 
Ejemplo 3 
Sea Ω el espacio muestral que consiste del tiempo de duración de un artefacto electrodoméstico obtenido al 
azar de un lote, entonces, { }/ 0 .w wΩ = ∈ ≥ℝ 
 Ahora, si la variable aleatoria T se define también como el tiempo de duración del artefacto, entonces T es 
la función identidad cuyo rango es el conjunto: 
{ }/ 0TR t t= ∈ ≥ℝ . 
 
Tipo de variable aleatoria. 
Una variable aleatoria discreta es aquella cuyo rango es un conjunto finito o infinito numerable de valores 
(ejemplos 1 y 2) y se escribe en forma general como: 
 
{ }1 2, ,..,X nR x x x= rango finito ó { }1 2, ,.., ,...X nR x x x= infinito numerable. 
Nota: Las variables aleatorias representan datos que provienen de conteo de elementos. 
 
 
Función de probabilidad y función de distribución acumulada de una 
variable aleatoria discreta. 
 
Probabilidad en el rango XR . 
Sea P una probabilidad definida en un espacio muestral Ω y X una variable aleatoria definida en Ω , cuyo 
rango es el conjunto de números XR , la probabilidad XP del evento B en XR se define por: 
( ) ( )XP B P A= 
 
Retomando ejemplo 1, donde la variable aleatoria X es el número de sellos que resultan al tirar una moneda 
3 veces, el rango de X es { }0,1,2,3XR = , entonces, 
 
{ }( 0) ( CCC ) 1/ 8P X P= = = 
{ } { } { }( 1) ( SCC , CSC , CCS ) 3/ 8P X P= = = 
{ } { } { }( 2) ( SSC , SCS , CSS ) 3/ 8P X P= = = 
{ }( 3) ( ) 1/ 8P X P SSS= = =
 
 
 
 
Función distribución de probabilidad. 
Sea X una variable aleatoria discreta. Se dice que ( )f x es una función (ley, distribución o modelo) de 
probabilidad (fdp) de la variable aleatoria X , definida por ( ) ( )f x P X x= = para todo
{ }1 2, ,..,X nx R x x x∈ = , que satisface: 
 
i) ( ) 0f x ≥ , { }1 2, ,..,X nx R x x x∀ ∈ = . 
ii) 
1
( ) 1
n
i
i
f x
=
= 
Nota: 
a) Si XA R⊂ , entonces, la probabilidad de A es el número: 
( ) ( ) ( )
i i
i i
x A x A
P A P X x f x
∈ ∈
= = =  . 
b) El conjunto de pares ( , ( ))i ix f x 
o ( , ( ))i ix P X x= o ( , )i ix p es la distribución de probabilidad de una 
variable aleatoria discreta X . Esto es, 
 
Valores de ix 
en X
 1
x 2x 3x … nx … 
Probabilidad ( )i ip P X x= = 1p 2p 3p 
… 
np … 
 
Esta distribución es similar a una distribución de frecuencias relativas. 
 
c) Las probabilidades ( )i ip P X x= = , i Xx R∈ , cumplen con: 
i) 0ip ≥ . 
ii) ( ) 1
i X i X
i i
x R x R
p P X x
∈ ∈
= = =  
 
Función de distribución acumulada. 
La función de distribución acumulada (fda) de probabilidades ( )F x , de la variable aleatoria discreta X , cuya 
función de probabilidad es ( )f x , se define por: 
( ) ( ) ( )
k x
F x P X x P X k x
≤
= ≤ = = −∞ < < ∞ 
 
En general, si X tiene rango finito { }1 2, ,..,X nR x x x= , y función de probabilidad ( ) ( )i if x P X x= = , la 
función de distribución acumulada de X es: 
1
1
1
0,
( ) ( ) 1,2,.., 1
1
i
i k i i
k
n
x x
F x P X x x x x i n
x x
+
=
<

= = ≤ < = −

 ≥
 
 
 
 
Ejemplo 
Retomando el ejemplo 1, donde X es la variable aleatoria definida como el número de sellos que ocurren al 
lanzar una moneda 3 veces. 
a) Determinar la distribución de probabilidades (fdp) y la función de distribución acumulada (fda) de X . 
Graficarla. 
b) Calcular la probabilidad (0 2)P X< ≤ , ( 0)P X > , ( 2).P X ≠ 
c) Determine la distribución de probabilidades de X si la moneda se lanza n veces. 
 
Respuesta 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
3 3 3
(0 2) ( 1) ( 2)
8 8 4
P X P X P X< ≤ = = + = = + = 
1 7
( 0) 1 ( 0) 1
8 8
P X P X> = − = = − = 
 
3 5
( 2) 1 ( 2) 1
8 8
P X P X≠ = − = = − =
 
 
Propiedades de la función de distribución cumulada. 
1. La función de distribución acumulada ( )F x
 
es no decreciente, esto es, para 
( ) ( )1 2 1 2 x x F x F x≤  ≤ . 
2. lim ( ) 0
x
F x
→−∞
= y lim ( ) 1
x
F x
→∞
= . 
 
3. Dada la fda ( )F x
 
de una variable discreta X , cuyos valores x , están ordenados 
1 2 3 ....x x x< < < 
Entonces, la función de probabilidad ( )f x
 
de X es determinada por: 
 
( ) ( )1( ) ( ) , 1,2,3,..i i i if x P X x F x F x i−= = = − = . 
 
Valor esperado o esperanza matemática. 
La media de una variable aleatoria discreta X , denotada por µ , con función de probabilidad ( )f x es la 
expresión: 
( ) ( )
i X
i i
x R
E X x f xµ
∈
= =  
Si la suma indicada no es igual a un número real, se dice que la esperanza de X no existe. 
 
Media de una función de una variable aleatoria. 
Si X una variable aleatoria con distribución de probabilidad ( )f x . La media o valor esperado matemática de 
la variable aleatoria ( )H X está dada por la expresión: 
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0 1 2 3
P
ro
b
a
b
il
id
a
d
Lanzar moneda 3 veces
Valores de ix 
en X
 
0
 
1
 
2
 
3 
( ) ( )i i ip f x P X x= = = 1/8
 
3/8
 
3/8
 
1/8 
( ) ( )
i
i
k x
F x P X k
≤
= = 1/8 1/2 7/8 1 
( ( )) ( ) ( )
i X
i i
x R
E H X H x f x
∈
=  
Si la suma no es un número real se dice que la esperanza de ( )H X no existe. 
 
Varianza de una variable aleatoria. 
La varianza de una variable aleatoria X con media ( )E X µ= , denotada por 2σ , 2Xσ , ( )Var X o ( )V X , se 
define por: 
2 2 2( ) ( ) ( ) ( )
i X
X i i
x R
V X E X x f xσ µ µ
∈
 = = − = −   , 
siempre que la suma sea finita. 
 
La desviación estándar de la variable aleatoria X es la raíz cuadrada positiva de su varianza. Esto es, 
2 .X Xσ σ= + 
 
Nota: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2V X E X E X E X µ= − = − 
 
Ejemplo 
Retomando anterior, tenemos que 
 
 
 
 
 
 
 
Propiedades de la esperanza matemática. 
 
1. Si a y b son constantes reales y X una variable aleatoria, entonces, 
( ) ( )E aX b aE X b+ = + . 
2. Si 1 2 3, , ,.., ,nX X X X son n variables aleatorias y 1 2 3, , ,.., na a a a son constantes reales, entonces, 
1 1
( )
n n
i i i i
i i
E a X a E X
= =
  = 
 
 
 
 En particular, para n=2, se tiene 
( )1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( )E a X a X a E X a E X+ = + . 
3. Si 1 2 3, , ,.., ,nX X X X son n variables aleatorias independientes y 1 2 3, , ,.., na a a a son constantes reales, 
entonces, 
( )
1 1 1
n n n
i i i i
i i i
E a X a E X
= = =
  = 
 
∏ ∏ ∏
 
 En particular, para n=2, se tiene 
( )1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )E a X a X a a E X E X⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ . 
 
Propiedades de la varianza. 
1. ( ) 0V X ≥ , para cualquier variable aleatoria X . 
2. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2V X E X E X E X µ= − = − . 
3. Si a y b son constantes reales, entonces, 
( ) ( )2V aX b a V X+ = . 
ix 
0
 
1
 
2
 
3 
( ) ( )i if x P X x= = 1/8
 
3/8
 
3/8
 
1/8 
( ) ( ) ( )
4
1
4
2 2 2 2 2 2
1
2
2 2
1 3 3 1 3
( ) ( ) 0 1 2 3
8 8 8 8 2
1 3 3 1
( ) ( ) 0 1 2 3 3
8 8 8 8
3 3
3
2 4
i i
i
i i
i
E X x f x
E X x f x
V X E X E X
µ
=
=
       = = = + + + =       
       
       = = + + + =       
       
 = − = − = 
 


4. Si 1 2 3, , ,.., ,nX X X X son n variables aleatorias independientes y 1 2 3, , ,.., na a a a son constantes reales, 
entonces, 
2
1 1
( )
n n
i i i i
i i
V a X a V X
= =
  = 
 
 
 
En particular, para n=2, se tiene 
 
( ) 2 21 1 2 2 1 1 2 2( ) ( )V a X a X a V X a V X+ = + . 
 
Ejemplo: 
Sea X una variable aleatoria y se define 2 1Y X= − , calcular ( )E Y y ( )V Y usando ejemplo anterior. 
Respuesta 
2
3
( ) (2 1) 2 ( ) 1 21 2
2
3
( ) (2 1) 2 ( ) 4 3
4
E Y E X E X
V Y V X V X
= − = − = − =
= − = = =
 
 
DISTRIBUCIONES IMPORTANTES DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 
 
Distribución de Bernoullí 
Se denomina prueba o ensayo de Bernoullí a todo experimento aleatorio que tiene sólo dos resultados 
posibles, mutuamente excluyentes, denominados: éxito (E) y fracaso (F). 
 
Ejemplos: Lanzar una moneda al aire con los resultados: cara o sello. Elegir al azar un objeto fabricado: 
defectuoso o no defectuoso, etc. 
El espacio muestral asociado al experimento aleatorio de Bernoullí se puede escribir como el conjunto: 
{ }E, FΩ = . 
Definición: Se dice que una variable aleatoria X definida en { }E, FΩ = , tal que ( 1) ( )P X P E p= = = 
(probabilidad de éxito) y ( 0) ( ) 1P X P F p q= = = − = (probabilidad de fracaso), tiene distribución de 
Bernoullí de parámetro p y se denota por ( )X Ber p∼ . 
 
La distribución de probabilidad se puede describir como sigue: 
 
X
 
0
 
1
 
( )f x
 
q
 
p
 
, o por la fórmula 
1
( ) ( ) , 0,1
x x
f x P X x p q x
−= = = = . 
 
La función de distribución cumulada de Bernoulli es: 
 
 
 
Teorema: 
Si ( )X Ber p∼ , entonces, 
a) ( )E X p= . 
b) ( ) (1 )V X p p pq= − = . 
 
Distribución de Binomial 
Se denomina experimento binomial a n repeticiones independientes de un experimento de Bernoullí y se 
caracteriza por: 
 
1. Las n pruebas son estadísticamente independientes. 
2. Los resultados son sólo dos, éxito (E) ó fracaso (F). 
3. La probabilidad p de éxito es invariante en cada una de las pruebas. 
 
0, 0
( ) 0 1
1 1
x
F x q x
x
<
= ≤ <
 ≥
El espacio muestral del experimento binomial se describe como: 
{ }1 2( , ,.., ) /n iw w w w E ó FΩ = =
 
Definición: 
Se dice que la variable aleatoria X definida como el número de éxitos que ocurren en n pruebas de Bernoullí, 
tiene distribución binomial con parámetros n y p, denotada por ( , )X B n p∼ , si su fdp está dada por: 
 
( ) ( ) , 0,1,..,x n x
n
f x P X x p q x n
x
− = = = = 
 
. 
Nota: Si n=1, la fdp (1, )B p es de Bernoulli. 
 
La fda Binomial es: 
0, 0
( ) ( ) ( 0) ( 1) .. ( ), 0,1,.., 1
1
x
F x P X x P X P X P X x x n
x n
<
= ≤ = + = + + = = −
 ≥
 
 
Nota: 
a) 
0
( 0) ( 1) .. ( )
x
k n k
k
n
P X P X P X x p q
k
−
=
 
= + = + + = =  
 
 . 
b) Sean 1 2, ,.., nX X X , n v.a. independientes de ( )X Ber p∼ . Entonces 
1
( , )
n
i
i
Y X B n p
=
= ∼ 
 
Teorema: 
Si ( , )X B n p∼ , entonces, 
a) ( )E X npµ = = . 
b) 
2
( ) (1 )V X np p npqσ = = − = . 
 
Ejemplo: 
La probabilidad de que cierto tipo de objeto pase con éxito una determinada prueba es 5/6. Se prueban 10 de 
tales objetos. 
 
a) Determine la función de probabilidades de los objetos que no pasan la prueba. 
b) Calcule la media y la desviación estándar. 
c) Calcular: (1 4)P X< < , ( 4)P X ≠ , (2 )P X≤ 
 
Respuesta: 
a) X = ”Numero de objeto que no pasan la prueba”, 1/ 6p = , n=10 y (10,1 / 6)X B∼ , entonces la fdp está 
dada por: 
10
10 1 5
( ) ( ) , 0,1,..,10
6 6
x x
f x P X x x
x
−
    = = = =    
    
. 
 
b) 
1
10 1,667
6
npµ = = ⋅ = y 1 5(1 ) 10 1,1785
6 6
np pσ = − = ⋅ ⋅ = . 
c) 
2 8 3 710 101 5 1 5
(1 4) ( 2) ( 3)
6 6 6 62 3
P X P X P X
          < < = = + = = +                        
2 8 3 710 101 5 1 5
(1 4) ( 2) ( 3)
6 6 6 62 3
P X P X P X
          < < = = + = = +                        
4 610 1 5
( 4) 1 ( 4) 1
6 64
P X P X
    ≠ = − = = −           
{ }
0 10 1 910 101 5 1 5
(2 ) 1 ( 0) ( 1) 1
6 6 6 60 1
P X P X P X
            ≤ = − = + = = − +                          
 
 
 
Distribución Geométrica 
Se denomina experimento geométrico a las repeticiones independientes de un experimento aleatorio de 
Bernoullí hasta obtener el primer éxito. En cada ensayo de Bernoullí puede ocurrir un éxito (E) con 
probabilidad p o un fracaso (F) con probabilidad 1q p= − , siendo 0 1p< < . 
 
El espacio muestral del experimento geométrico es el conjunto: { }E, FE, FFE, FFFE,..Ω = 
Definición: 
Se denomina variable geométrica a la variable aleatoria X definida como el número repeticiones 
independientes de un ensayo de Bernoullí hasta que resulte el primer éxito. Los posibles valores de X son: 
1, 2, 3,… 
 
Definición: 
Se dice que la variable aleatoria X que se define como el número de repeticiones independientes de un 
ensayo de Bernoullí hasta que ocurra el primer éxito, tiene distribución de probabilidad geométrica con 
parámetro p y se escribe ( )X G p∼ , si su función de probabilidad es. 
1
( ) , 1, 2,3,...
k
P X k q p k
−= = = 
 
Nota: 
1
1
1
i
i
q p
∞
−
=
= 
 
Teorema: 
Si X es una variable aleatoria con distribución geométrica de parámetro p , entonces, 
a) 
1
p
µ = . 
b) 
2
2 q
p
σ = . 
Nota: 
Si X tiene distribución geométrica con parámetro p, entonces. 
a) ( ) , , 
a
P X a q a e Z q l p
+> = = − 
b) 
( ) ( ), ,P X k s X k P k s k s Z +> + > = > ∈ 
 
Ejemplo 
Un vendedor a domicilio hace llamadas telefónicas a clientes potenciales. La probabilidad de vender en cada 
llamada es 0,02. 
a) Calcule la probabilidad de que la sexta llamada sea su primera venta. 
b) Calcule el esperado del número de llamadas hasta obtener su primera venta. 
c) ¿Qué probabilidad hay de que su primera venta ocurra después de más de 5 llamadas si ya se hizo 3 
llamadas sin éxito? 
d) El costo de cada llamada es $ 1.5. Si una llamada no es una venta la siguiente cuesta $ 0.5 más. Halle el 
costo esperado del número de llamadas que hace hasta que obtenga su primera venta. 
 
Respuesta 
X : “Número de llamadas hasta conseguir una venta”. 1, 2,3,..X = 
( )X G p∼ , 0,02p = . Luego, 
( ) ( ) 1( ) 0.02 0.98 , 1,2,3,...kP X k k−= = = 
 
a) ( )( )5( 6) 0.02 0.98 0,018P X = = = 
b) ( ) 1 / 0,02 50E X = = . A la larga en la llamada n° 50 obtiene su primera venta 
c) 
2(3 5) ( 5 3) 0,98
( 3)
P X
P X X
P X
< <> > = =
>
 
 
d) 1,5 2( 1),C X= + − ( ) 1,5 2( ( ) 1) 99,5E C E X= + − = . 
 
 
 
 
 
Distribución de Pascal o binomial negativa 
Se denomina experimento binomial negativo o de Pascal a las repeticiones independientes de un 
experimento aleatorio de Bernoullí hasta obtener el éxito número r . En cada ensayo de Bernoullí puede 
ocurrir un éxito con probabilidad p o un fracaso con probabilidad 1q p= − . A la variable aleatoria X que se 
define como el número de intentos hasta que ocurra el éxito número r se le denomina variable aleatoria 
binomial negativa o de Pascal. Su rango es el conjunto: { }, 1, 2,...xR r r r= + + . 
 
Definición: 
Si se repite en forma independiente un ensayo de Bernoullí, donde cada resultado puede ser un éxito con 
probabilidad p o un fracaso con probabilidad 1q p= − , se dice que la variable aleatoria X que se define 
como el número de intentos hasta que ocurran r éxitos, tiene distribución binomial negativa o de Pascal con 
parámetros r y p , se escribe ( )~ , X P r p , si su función de probabilidad es: 
 
1
1( ) , , 1, 2,..
k r k r
rP X k C p q k r r r
− −
−= = = + + 
 
Nota: 
Sean 1 2, ,.., rX X X , r variables aleatorias independientes cada una con distribución geométrica ( )G p , tales 
que, 1X es el número de repeticiones necesarias hasta la ocurrencia del primer éxito (E). 
2X es el número de repeticiones entre la primera ocurrencia de E hasta la segunda ocurrencia de E. 
... Etc. 
rX es el número de repeticiones necesarias entre la 1r − ocurrencia de E hasta la r-ésima ocurrencia de E. 
Entonces, la variable aleatoria: 
1
r
i
i
X X
=
= 
es el número de repeticiones independientes de un ensayo de Bernoullí hasta que se obtenga el éxito número 
r . Luego, X tiene distribución de Pascal con parámetros r y p . 
 
Teorema: 
Si X es una variable aleatoria con distribución de Pascal con parámetros r y p ,entonces, 
a) 
1
r
p
µ = . 
b) 
2
2 qr
p
σ = . 
Ejemplo 
Una máquina produce artículos de uno en uno y de manera independiente. Se considera que el 10% de ellos son 
defectuosos. Si la máquina se detiene apenas produce el cuarto artículo defectuoso: 
a) ¿Cuál es el número esperado de artículos producidos hasta que se detiene la máquina? 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina se detenga en el décimo artículo producido? 
c) ¿Cuál es la probabilidad de que produzca al menos 10 artículos para que la máquina se detenga? 
 
Respuesta 
X : “Número de artículos producidos hasta tener 4 defectuosos”. ( )~ 4; 0,1X P , esto es: 
 
1 4 4
3( ) , 4, 5, 6,..
k kP X x C p q k− −= = = 
 
a) 
1 1
4 40
0,1
r
p
µ = = =
 
b) 
9 4 6
3( 10)P X C p q= = 
c) ( 10) 1 ( 10)P X P X≥ = − <
 
 
 
Distribución hipergeométrica 
Un experimento hipergeométrico consiste en escoger al azar una muestra de tamaño n , uno a uno sin 
restitución, de N elementos o resultados posibles, donde r de los cuales pueden clasificarse como éxitos, y 
los N r− restantes como fracasos. En cada extracción, la probabilidad de que el elemento sea un éxito es 
diferente, ya que la extracción es sin reposición. 
 
 
 
 
 
Definición: 
 Se dice que la variable aleatoria X que se define como el número de éxitos en una muestra de tamaño n 
que se selecciona al azar uno por uno sin reposición de N elementos o resultados posibles, de los cuales r 
son clasificados como éxitos y los restantes N r− como fracasos, tiene distribución hipergeométrica y se 
denota ( )~ , ,X H N n r , si su función de probabilidad es 
, 0,1,2,..,( )
r N r
k n k
N
n
C
k r
C
P X k
C
−
− == = , 
 
{ } { }0, ,máx n N k x mín n k− + ≤ ≤
 
 
 
Teorema: 
Si X es una variable aleatoria con distribución hipergeométrica ( )~ , ,X H N n r y sea /p r n= , 1q p= − , 
entonces, 
a) ( )E X np= . 
b) ( )
1
N nV X npq
N
−= −
. 
c) ( ) ( , ), , B n pH N n r ≅ . Esto es, si N → +∞ o N es grande con respecto a n entonces la distribución 
hipergeométrica ( ), ,H N n r se aproxima a una distribución binomial ( , )B n p . 
 
Ejemplo 
Se escriben los nombres de 7 muieres y 3 hombres en pedacitos de papel y se los coloca en una caja. De la caja 
se escogen al azar 4 papelitos. 
a) Determine la distribución de probabilidad del número de papelitos seleccionados que contengan nombres 
de hombres: 
i) Si se escogen uno por uno sin reposición. 
ii) Si se escogen uno por uno con reposición. 
b) Calcule la probabilidad de que se seleccionen los nombres de por lo menos dos hombres. 
 
Respuesta 
a) Sea: “Número de papelitos que contengan nombres de hombres de los 4 seleccionados: 
i) Si se escogen uno por uno sin reposición 0,1,2,3X = . Entonces, ( )~ 10, 4,3X H y la función de 
probabilidades de X es: 
3 7
4
10
4
, 0,1,2,3( ) k k
C
k
C
P X k
C
− == = 
 
ii) Si se escogen uno por uno con reposición 0,1,2,3,4X = . Entonces, ( )~ 4,X B p , con 3/10 0.3p = = 
, luego 
4
4
(1 ) , 0,1,2,3,4( ) k kp p k
k
P X k −
 
− = 
 
 
= = 
 
b) La probabilidad de que se seleccionen los nombres de por lo menos dos hombres. 
 Si se escogen uno por uno sin reposición se tiene. 
 
3 7 3 7
0 4 0 1 3
10 10
4 4
140
1 0,333
210
( 2) 1 ( 2) 1
C CC C
P X P X
C C
− + = − = 
 
≥ = − < = − 
Si se escogen uno por uno con reposición se tiene. 
0 4 0 1 4 1
4 4
(1 ) (1 ) 1 0,652 0,348
0 1
( 2) 1 ( 2) 1 p p p pP X P X − −
    
 − + − = − =   
    
    
≥ = − < = − 
 
 
 
 
Ejemplo 
Una compañía recibe semanalmente un embarque de 500 artículos de cierto tipo. La Cía. controla la calidad de 
cada embarque probando 10 artículos escogidos al azar uno por uno sin reposición y rechaza el embarque si 
más de uno de los artículos probados no cumplen las especificaciones. Se sabe que cada embarque semanal 
contiene 90% de artículos que cumplen las especificaciones. 
Sea X el número de artículos en la muestra que no cumplen las especificaciones. 
a) ¿Con qué probabilidad se rechaza cualquier embarque semanal? 
b) Si el costo de la inspección semanal en soles está dado por : 
22 4 C X X= + + . 
Calcular el costo esperado por inspección. 
c) Hallar la probabilidad de que el costo de inspección sea mayor o igual que 34 soles. Resolver usando el 
modelo hipergeométrico y la aproximación binomial 
 
Respuesta 
a) Tenemos X : ”Número de artículos en la muestra que no cumplen las especificaciones” , 0,1,..,10X = y 
y ( )~ 500,50,10X H . La función de probabilidades de X es: 
450 50
10
500
10
, 0,1,2,..,10( ) k k
C
k
C
P X k
C
− == =
[ ]
450 50 450 50
10 0 9 1
500 500
10 10
1 0,7365 0,2635( 2) 1 ( 0) ( 1) 1
C CC C
P X P X P X
C C
 
+ = − = 
 
≥ = − = + = = − 
b) 
 
50
0,1
500
p = = 
 
10 0,1 1npµ = = ⋅ = . 
2 500 1010 0,1 0,9 0,81
1 500 1
N nnpq
N
σ −−= = ⋅ ⋅ ⋅ =− −
. 
2 2 2( ) 0,81 1 1,81E X σ µ= + = + = 
 
2( ) 2 4 ( ) ( ) 2 4 1,81 7,81E C E X E X= + + = + + = 
 
c) 
3
0
450 50
10
500
10
( 34) ( 4) 1 ( 3) 1 0,01186
k
k kP
C
C P X P X
C
C=
−≥ = ≥ = − ≤ = − = 
Distribución de Poisson 
Se dice que la variable aleatoria discreta X , cuyos posibles valores son: 0,1, 2....., tiene distribución de Poisson 
con parámetro λ ( 0λ > ), denotado por ( )X Poisson λ∼ , si su función de probabilidad es: 
( ) ( ) , 0,1,2,...
!
xe
f x P X x x
x
λλ −= = = =
 
 
Nota: 
1. El parámetro λ es llamado tasa promedio de ocurrencia del evento en un intervalo dado. 
2. La distribución de Poisson se aplica a problemas donde la v.a. es el número de eventos independientes 
que ocurren en un intervalo de tiempo, o en una región plana (con un promedio dado), por ejemplo, 
entre otros: 
a) Número de llamadas que recibe una central telefónica en el período de un minuto. 
b) Número de accidentes de trabajo que ocurren en una fábrica durante una semana. 
c) Número de fallas en la superficie de una cerámica rectangular. 
d) Número de bacterias en un volumen de agua. 
 
Teorema: 
Si ( )X Poisson λ∼ , entonces, 
a) ( )E Xµ λ= = . 
b) 2 ( )V Xσ λ= = . 
 
Ejemplo: 
El número de llamadas telefónicas que llegan a una central telefónica es a menudo modelado como una 
variable aleatoria de Poisson. Suponga que en promedio hay 10 llamadas por hora. 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente cinco llamadas en una hora? 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya a lo menos 3 llamadas en una hora? 
c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 15 llamadas en dos horas? 
 
Respuesta: 
X = ”N° de llamadas durante una hora”, 
10
10
1
llamadas llamadas
hr hr
λ = = y (10)X Poisson∼ . 
a) 
5 1010
( 5) 0,0378
5!
e
P X
−
= = = , la probabilidad de que se efectúen 5 llamadas en una hora es 0.0378 
(3.78%). 
b) { }
0 10 1 10 2 1010 10 10
( 3) 1 ( 0) ( 1) ( 2) 1 0,972
0! 1! 2!
e e e
P X P X P X P X
− − − 
≥ = − = + = + = = − + + = 
 
. La 
probabilidad de que en una hora haya a lo menos 3 llamadas es 0.9972 (99.72%). 
 
c) 
20
20
2 2
llamadas llamadas
hr hr
λ = = 
 
15 2020
( 15) 0,0516
15!
e
P X
−
= = = , la probabilidad de que, en 2 horas, haya 15 llamadas es 0,0516 (5,16%). 
 
 
Función de densidad y función de distribución acumulada de una variable 
aleatoria continua. 
 
Función de densidad de probabilidad. 
Una función ( )f x se dice que es una función de densidad (ley o distribución) de probabilidad de la variable 
aleatoria continua X , si cumple que: 
 
i) ( ) 0f x ≥ , x∀ ∈ℝ . 
ii) ( ) 1f x dx
∞
−∞
= . 
iii) ( ) ( ) ( ) ,
A
P A P x A f x dx A= ∈ = ⊂ ℝ 
 
Nota: 
1. La condición i), indica que la gráfica de ( )f x está sobre el eje X . La condición ii), muestra que el área 
total bajo la curva es igual a 1. La condición iii), expresa que la probabilidad es igual al área. Esto es, si
[ , ]A a b= , entonces 
( ) ( )
b
a
P a X b f x dx≤ ≤ =  
 
 
2. La probabilidad en un punto, digamos 0x , es cero. Esto es, 
Como consecuencia:
0
0
0( ) ( ) 0
x
x
P X x f x dx= = =i) ( ) 0P A = , no implica A = ∅ . 
ii)
 
( ) ( ) ( ) ( )P a X b P a X b P a X b P a X b≤ ≤ = < ≤ = ≤ < = < < 
 
Función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua. 
 
La función de distribución acumulada (fda) ( )F x de una variable aleatoria continua X , con función de 
densidad ( )f x , se define por: 
( ) ( ) ( )
x
F x P X x f t dt x
−∞
= ≤ = −∞ < < ∞ 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 5 
Sea ( )f x una fdp para la variable aleatoria X definida por 
 
, 1 3
( )
0 . .
cx x
f x
c o c
≤ ≤
= 
 
 
a) Hallar el valor de la constante c. Grafique ( )f x
 
y ( )F x . 
b) Calcular ( 2)P X = , (1 2)P X≤ ≤ , (1 3)P X≤ ≤ , (2 4)P X≤ ≤ 
 Respuesta 
a) 
3
2 2 2
3
1
1
3 1 8 1
1 1 1
2 2 2 2 4
x
cxdx c c c c
   
=  = − =  =  =   
   
 
entonces, 
, 1 3
( ) 4
0 . .
x
x
f x
c o c
 ≤ ≤= 

. 
 
Ahora, 
2 2
1
1
1
( ) , 1 3
4 8 8
x
x t t x
F x dt x
  −= = = ≤ ≤ 
 

 
 
Por lo tanto, 
2
0 1
1
( ) 1 3
8
1 3
x
x
F x x
x
<
 −= ≤ ≤

> 
 
 
 
 
1 3 
b) ( 2) 0P X = = , 
2 22 1 1 1 3
(1 2) ( 2) ( 1) (2) (1)
8 8 8
P X P X P X F F
− −≤ ≤ = ≤ − ≤ = − = − = , (1 3) 1P X≤ ≤ = , 
22 1 5
(2 4) ( 4) ( 2) (4) (2) 1
8 8
P X P X P X F F
−≤ ≤ = ≤ − ≤ = − = − = . 
 
 
Propiedades de la función de distribución cumulada. 
1. La función de distribución acumulada ( )F x
 
es no decreciente, esto es, para 
( ) ( )1 2 1 2 x x F x F x≤  ≤ . 
2. lim ( ) 0
x
F x
→−∞
= y lim ( ) 1
x
F x
→∞
= . 
3. Para números reales a y b cualesquiera, tales que a b< , tenemos 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )P a X b P X b P X a F b F a≤ ≤ = ≤ − ≤ = − . 
 
 Si X es una variable aleatoria continua, entonces 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F b F a P a X b P a X b P a X b P a X b− = ≤ ≤ = < ≤ = ≤ < = < < . 
 
4. Dada la fda. ( )F x
 
de una variable aleatoria continua X , entonces su fdp ( )f x es igual a la derivada de la 
fda con respecto a x , donde ésta exista, esto es, 
( ) ( ),f x F x x
x
∂= ∀
∂
. 
 
Valor esperado o esperanza matemática. 
La media de una variable aleatoria continua
 
X , con función densidad de probabilidad ( )f x , se define por: 
( ) ( )E X xf x dxµ
∞
−∞
= =  
Siempre y cuando el valor de la integral sea un número real, en caso contrario, se dice que la media de X no 
existe. 
 
Media de una función de una variable aleatoria. 
Si X una variable aleatoria con distribución de probabilidad ( )f x . La media o valor esperado matemática de 
la variable aleatoria ( )H X está dada por la expresión: 
( ( )) ( ) ( )E H X H x f x dx
∞
−∞
=  , si X es continua. 
Si la integral no es un números real se dice que la esperanza de ( )H X no existe. 
 
Varianza de una variable aleatoria. 
Sea X una variable aleatoria continua con fdp ( )f x
 
y con media igual a µ . La varianza de X , denotada 
por:
2σ , 2Xσ , ( )Var X o ( )V X , es la expresión: 
2 2 2( ) ( ) ( ) ( )
X
V X E X x f x dxσ µ µ
∞
−∞
 = = − = −   , 
 siempre que la integral sea finita. 
 
L a desviación estándar de la variable aleatoria X es la raíz cuadrada positiva de su varianza. Esto es, 
2
X Xσ σ= + 
 
Nota: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2V X E X E X E X µ= − = − 
 
Ejemplo 
La vida útil de un artefacto eléctrico (miles de horas) es una variable aleatoria continua X , cuya fdp es:
 
1 , 0 2
( ) 2
0 . .
x
x
f x
c o c
 − ≤ ≤= 
 
2
2 3
2
0
0
2
( ) ( ) 1
2 2 6 3
x x x
E X xf x dx x dxµ
∞
−∞
  = = = − = − =  
   
 
 
Luego, puede esperarse que la vida útil del artefacto es de (2/3)1.000 = 666,67 horas. 
( ) ( ) ( )
2
3 4
2
2 2 2
0
0
2
2 2
2
( ) ( ) 1
2 3 8 3
2 2 2
3 3 9
x x x
E X x f x dx x dx
V X E X E X
∞
−∞
  = = − = − =  
   
 = − = − = 
 
 
 
 
Propiedades de la esperanza matemática. 
1) Si a y b son constantes reales y X una variable aleatoria, entonces, 
( ) ( )E aX b aE X b+ = + . 
2) Si 1 2 3, , ,.., ,nX X X X son n variables aleatorias y 1 2 3, , ,.., na a a a son constantes reales, entonces, 
1 1
( )
n n
i i i i
i i
E a X a E X
= =
  = 
 
 
 
En particular, para n=2, se tiene 
( )1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( )E a X a X a E X a E X+ = + . 
3) Si 1 2 3, , ,.., ,nX X X X son n variables aleatorias independientes y 1 2 3, , ,.., na a a a son constantes reales, 
entonces, 
( )
1 1 1
n n n
i i i i
i i i
E a X a E X
= = =
  = 
 
∏ ∏ ∏
 
En particular, para n=2, se tiene 
( )1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )E a X a X a a E X E X⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ . 
 
Nota: 
 Si , ( , )X Yf x y es la distribución conjunta de las variables X e Y . Las distribuciones marginales de X e 
Y están dadas respectivamente por:
 
 
( ) ( , )
YR
g x f x y dy= 
 
y ( ) ( , )
XR
h y f x y dx=  , si X e Y son variables aleatorias continuas. 
 
 Se dice que dos variables aleatorias continuas X e Y son estadísticamente independientes, si y sólo si, 
, ( , ) ( ) ( ) ,X Yf x y g x h y= siendo , ( , )X Yf x y la función de densidad conjunta de las variables aleatorias X 
e Y , y ( )g x , ( )h y las funciones marginales respectivas. 
 
Propiedades de la varianza. 
1) ( ) 0V X ≥ , para cualquier variable aleatoria X . 
2) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2V X E X E X E X µ= − = − . 
3) Si a y b son constantes reales, entonces, 
( ) ( )2V aX b a E X+ = . 
4) Si 1 2 3, , ,.., ,nX X X X son n variables aleatorias independientes y 1 2 3, , ,.., na a a a son constantes reales, 
entonces, 
2
1 1
( )
n n
i i i i
i i
V a X a V X
= =
  = 
 
 
 
En particular, para n=2, se tiene 
 
( ) 2 21 1 2 2 1 1 2 2( ) ( )V a X a X a V X a V X+ = + . 
 
Ejemplo Sea X una variable aleatoria y se define 2 1Y X= − , calcular ( )E Y y ( )V Y usando los ejemplo 
anterior. 
2
2 1
( ) (2 1) 2 ( ) 1 2 1
3 3
2 8
( ) (2 1) 2 ( ) 4
9 9
E Y E X E X
V Y V X V X
= − = − = − =
= − = = =
. 
 
 
Distribución Uniforme 
Se dice que la variable aleatoria continua X , tiene distribución uniforme en el intervalo [ ],a b , denotada por 
( , )X U a b∼ , si su función de densidad es: 
 
1
( ) , ,f x a x b
b a
= < <
− 
 
Su gráfica es: 
 
Su función de distribución acumulada ( )F x es 
 
0
( )
1
x a
x a
F x a x b
b a
x b
≤
 −= < < −
≥
 
 
 
 
 
 
Teorema: 
Si una variable aleatoria continua X tiene distribución uniforme en el intervalo [ ],a b , esto es ( , )X U a b∼ , 
entonces: 
a) ( ) ,
2
a b
E X
+= . 
b) ( ) ( )
2
12
a b
V X
−
= 
Ejemplo 
Dos gerentes A y B deben encontrarse en cierto lugar entre las 7 p.m. y 8 p.m. para firmar un contrato. Cada 
uno espera al otro a lo más 10 minutos, ¿cuál es la probabilidad de que no se encuentren sabiendo que A llega 
a las 7.30 p.m.?. 
 
 
Respuesta 
X : “Tiempo de llegada de B”, (0,60)X U∼ 
 
(0 20) (40 60) (20) (0) (60) (40)
20 40 2
(0 20) (40 60) 0 1
60 60 3
P X P X F F F F
P X P X
≤ ≤ + ≤ ≤ = − + −
≤ ≤ + ≤ ≤ = − + − = 
 
 
Distribución gamma 
Se dice que la variable aleatoria continua X tiene distribución gamma, con parámetros α y β y se 
representa por ( , )X Gamma α β∼ , si su función de densidad es: 
 
1 , 0
( )( )
0 0
x
x e x
f x
x
α
α ββ
α
− − ≥Γ= 
 <
 
 
donde α y β son constantes positivas. 
 
 
 
Teorema: 
Si ( , )X Gamma α β∼ , entonces 
a) 
αµ
β
= 
b) 
2
2
ασ
β
= . 
 
Distribución Exponencial 
Se dice que la variable aleatoria continua X , tiene distribución exponencial con parámetro 0λ > , denotada 
por exp( )X λ∼ , si su función de densidad está dada por: 
 
( ) , 0,xf x e xλλ −= ≥
 
Nota: λ es el tiempo medio de ocurrencia entre dos eventos (valor de la medida entre ocurrencias 
consecutivas de eventos). 
 
Su gráfica es: 
 
 
Su función de distribución acumulada ( )F x es 
 
0 0
( )
1 0x
x
F x
e x
λ−
<=  − ≤ 
 
 
Teorema 
Sea X una variable aleatoria continua que tiene distribución, exp( )X λ∼ , entonces: 
a) ( ) 1E X
λ
= 
b) ( ) 2
1
V X
λ
= 
 
Ejemplo 
El tiempo que se dedica a atender al público en el mostrador de información de una biblioteca puederepresentarse por medio de una distribución exponencial que tiene un tiempo medio de atención de 5 
minutos. 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de atención al público sea de más de 10 minutos? 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de atención al público esté entre 5 y 10 minutos? 
 
Sea X :”Tiempo de atención (minutos)”. 
Luego 
1
( ) 5 0.2E X λ
λ
= =  = 
Entonces, su función de densidad y acumulada están dadas por: 
 
0,2( ) 0,2 xf x e−= y 0,2( ) 1 xF x e−= −
 
a)
 
( )0,2 10 2( 10) 1 (10) 1 1 0,1353P X F e e− ⋅ −> = − = − − = =
 
Luego, la probabilidad de que el tiempo de atención sea de más de 10 minutos es 0,1353. 
 
b)
 
0,2 10 0,2 5 1 2(5 10) (10) (5) 1 (1 ) 0, 2325P X F F e e e e− ⋅ − ⋅ − −< < = − = − − − = − =
 
La probabilidad de que el tiempo de atención sea entre 5 y 10 minutos es 0,2325.
 
 
 
 
La distribución normal 
Se dice que la variable aleatoria continua X , que toma valores reales, se distribuye normal con parámetros 
media µ y varianza 2σ , denotada por 
2( , )X N µ σ∼ , si su función de densidad es: 
 
2
2
1 ( )
2
1
( ) , ,
2
x
f x e x
µ
σ
πσ
−−
= −∞ < < ∞ 
 
donde µ−∞ < < ∞ y 0σ > . Su gráfica es: 
 
 
 
La distribución normal es el modelo probabilístico que se usa más frecuentemente y sirve como una buena 
aproximación de muchas distribuciones que tienen aplicaciones importantes. 
 
Propiedades de la distribución normal 
A partir de su gráfica y del análisis de su función de densidad, la curva normal tiene las siguientes propiedades: 
 
1. Es simétrica con respecto al eje vertical X µ= , entonces se cumple ( ) ( )f x f xµ µ+ = − . 
2. Se tiene que Mo Meµ = = y el valor máximo es 1( )
2
f µ
πσ
= . 
3. Tiene como una asíntota horizontal al eje X . 
 
4. El área bajo la curva y el eje X es igual a 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema: 
Si 
2( , )X N µ σ∼ , entonces: 
a) ( )E X µ= . 
b) 
2( )V X σ= . 
 
Teorema 
Si 
2( , )X N µ σ∼ , entonces 2 2( , )Y aX b N a b aµ σ= + +∼ . 
 
Corolario 
Si 
2( , )X N µ σ∼ , entonces (0,1)XZ Nµ
σ
−= ∼ . 
Cuando (0,1)
X
Z N
µ
σ
−= ∼ se denomina función de densidad de probabilidad normal estándar y viene 
dada por 
2
2
1
( ) , ,
2
z
z e zφ
π
−
= −∞ < < ∞
 
 
cuya gráfica es 
 
 
 
 
 
 
y su función de distribución acumulada es 
 
2
2
1
( ) ( ) ,
2
z t
z P Z z e dt z
π
−
−∞
Φ = ≤ = −∞ < < ∞ 
 
 
 
 
Tabulación de la distribución normal 
La probabilidad: 
2
2
1
( )
2
b z
a
P a Z b e dz
π
−
≤ ≤ =  , 
no se puede calcular por métodos de integración directa, puesto que no se puede encontrar una función cuya 
derivada sea igual a 
2 /2z
e
−
. Pero, usando métodos de integración numérica se han tabulado los valores de la 
función de distribución acumulada de la normal estándar. 
 
Propiedades: 
1) [ ] ( )( )P a Z b b a≤ ≤ = Φ −Φ . 
2) ( )( ) 1z zΦ − = − Φ . 
3) [ ] ( )( ) 2 ( ) 1P a Z a a a a− ≤ ≤ = Φ −Φ − = Φ − . 
En la tabla de probabilidades normal estándar se puede encontrar la probabilidad 1 α− , o el valor 1z α− , de Z 
mediante la relación: 
( )1 1P Z z α α−< = − o ( )1 1z α α−Φ = − 
 
 
 
Ejemplo: 
( ) ( )1.2 1,2 0,8849P Z < = Φ = 
( ) ( ) ( )0,46 2,21 2,21 0,46 0.9864-0,3228=0,6636P Z− < < = Φ −Φ − = 
( ) ( )0,68 1 0,68 1 0,2483 0,7517P Z ≥ − = − Φ − = − = . 
0,75 0,75( ) 0,75 0,67P Z z z< =  = 
 
Cálculo de probabilidades en una distribución normal. 
Si X es una variable aleatoria continua tal que 
2( , )X N µ σ∼ , se quiere calcular la siguiente probabilidad 
 
( )P a X b≤ ≤ 
Para resolver esto hacemos un cambio de variable 
x
z
µ
σ
−= , tal que (0,1)
X
Z N
µ
σ
−= ∼ , entonces 
( )
a b b a
P a X b P Z
µ µ µ µ
σ σ σ σ
− − − −     ≤ ≤ = ≤ ≤ = Φ − Φ     
      
También, se puede deducir las siguientes probabilidades: 
 
( )
b
P X b
µ
σ
− ≤ = Φ 
  
( ) 1
a
P X a
µ
σ
− > = − Φ 
  
Ejemplo: 
Sea X una variable aleatoria continua que sigue un modelo normal de media 100 y varianza 625. 
a) Determinar: 
( )92,5P X < , ( )75P X > , ( )85 140P X< < . 
b) Hallar k, tal que ( ) 0,95P X k> = . 
Respuesta 
a) ( ) 92,5 10092,5 ( 0,3) 0,3821
25
P X
− < = Φ = Φ − = 
 
 
( ) 75 10075 1 1 ( 1) 1 0,1587 0,8413
25
P X
− > = − Φ = − Φ − = − = 
 
 
( ) ( ) ( )140 100 85 10085 140 1,6 0,6 0,9452 0,2743 0,6709
25 25
P X
− −   < < = Φ − Φ = Φ − Φ − = − =   
   
 
b) ( ) 100 100 1000,95 1 0,95 0,05 1,64 59
25 25 25
k k k
P X k k
− − −   > =  − Φ =  Φ =  = −  =   
   
 
 
Ejemplo 
Se sabe que la cantidad de dinero que gastan los estudiantes en libros de texto en un año en una universidad 
sigue una distribución normal que tiene una media de $380 y una varianza de $2500. 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste menos de $400 en libros de 
texto en un año? 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste más de $360 en libros de texto 
en un año? 
c) Explique gráficamente por qué las respuestas de los apartados (a) y (b) son iguales. 
d) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste entre $300 y $400 en libros de 
texto en un año? 
e) Quiere hallar un intervalo de gasto en libros de texto que incluya el 80 por ciento de todos los estudiantes 
de esta universidad. Explique por qué podría encontrarse cualquier número de intervalos que lo incluya y 
halle el más corto. 
 
Ejemplo: 
Se sabe que el peso de los niños de 1 año de edad sigue una distribución (7,4)N (en kg). 
a) Defina la variable aleatoria. 
b) Calcula un intervalo centrado que cubra el peso del 90 % de los niños de 1 año. 
c) Si acude a la clínica de un pediatra una madre con un niño de 1 año que pesa 10,5 kg. 
¿En qué percentil se encuentra el niño en cuanto a peso?, es decir, ¿qué porcentaje de niños de esa edad 
pesa menos que él? 
d) ¿Cuál es la probabilidad que el niño pese exactamente 8 Kg? 
e) ¿Qué porcentaje de niños de 1 año pesa más de 4,5 kg? 
f) Si la cantidad de niños pesados son en total 2.000, ¿Cuántos niños de 1 año pesa entre 6 y 8 kg? 
 
Respuesta 
a) X = “Peso de niños de un año”, (7,4)X N∼ 
 
b) 
( )
( )
0,95 0,95
0,95 0,95
0,05 0,05
0,05 0,05
7 7
0,95 0,95 1,645 10,290
2 2
7 7
0,05 0,15 1,645 3,71
2 2
x x
P X x x
x x
P X x x
− − < =  Φ =  =  = 
 
− − < =  Φ =  = −  = 
 
 
El intervalo que contiene el 90% central de los pesos de los niños es [3,71;10,290] . 
 
c) 
( ) ( )10,5 710,5 1,75 0.9599 95,99%
2
P X
− < = Φ = Φ =  
  
El 95,99% de los niños de esa edad pesa menos de 10,5 Kg. 
 
d) 
 
 
La probabilidad en un punto es 0 en variables aleatorias continuas. 
 
e) 
( ) ( ) ( )4,5 74,5 1 4,5 1 1 1,25 1 0,1056=0,8944
2
P X P X
− > = − < = − Φ = − Φ − = − 
  
El 89,44% de los niños pesan más de 4,5 Kg. 
 
f) 
( )8 0P X = =
( ) ( ) ( )8 7 6 76 8 0,5 0,5 0,6915-0,3085 0,3830
2 2
P X
− −   < < = Φ − Φ = Φ − Φ − = =   
    
2.000*0,3830 766=
 
, niños de 1 año pesan entre 6 y 8 kg. 
 
Propiedad reproductiva de la normal. 
Sea 1X y 2X dos variables aleatorias independientes, luego: 
Si 
2
1 1 1( , )X N µ σ∼ y 
2
2 2 2( , )X N µ σ∼ , entonces 
2 2
1 2 1 2 1 2( , )X X N µ µ σ σ± ± +∼ . 
 
Ejemplo: 
Si 1 (2,1)X N∼ y 
2
2 (3,4 )X N∼ , entonces 
2 2
1 2 1 2(2 3,1 4 ) (5,17)X X N X X N+ + +  +∼ ∼ . 
 
Nota: 
Generalizando, sea 1 2, ,.., nX X X n variables aleatorias independientes, tenemos que: 
Si 
2( , ), 1,..,i i iX N i nµ σ =∼ , entonces 
2 2
1 1 1
,
i
n n n
i i i i i
i i i
c X N c cµ σ
= = =
 
 
 
  ∼ . 
 
Distribución t de Student 
Se dice que una variable aleatoria continua T se distribuye según t-Student con n grados de libertad y se 
representa por nT t∼ , si su función de densidad es 
( 1)
2 2(( 1) / 2)
( ) 1 , ,
( / 2)
n
n t
f t t
nn nπ
+−
 Γ += + −∞ < < ∞ Γ  
 
 
donde n es un entero positivo.Propiedades: 
 
1) Si T tiene distribución t-Student con n grados de libertad, entonces su media y su varianza son 
respectivamente: 
a) 0µ = . 
b) 2 , 2
2
n
n
n
σ = >
−
. 
2) Su gráfica tiene forma de campana de Gauss, simétrica en cero. 
3) La distribución t se aproxima a la distribución (0,1)N ,
 
cuando n→∞. La aproximación es buena, si 
30n ≥ . 
 
Uso de tabla t de Student 
Si la variable aleatoria T tiene distribución t-Student con n grados de libertad, esto es, nT t∼ , entonces, en 
la tabla de probabilidades t-Student se puede encontrar una probabilidad 1 α−
 
o un valor 1 ,nc t α−= 
mediante la relación 
1 ,( ) 1nP T t α α−≤ = − 
 
Si X
 
 tiene distribución t-Student con 18 grados de libertad ( 18X t∼ ), hallar: 
a) [ ] [ ]2,101 ? 2,101 0.975P X P X< =  < = 
b) [ ] [ ]1,734 ? 1,734 1 0,95 0,05P X P X> =  > = − = 
c)
 
[ ] [ ] [ ]2,878 ? 2,878 1 2,878 1 0,995 0,005P X P X P X< − =  < − = − < = − =
 
 
Si X tiene distribución t con 10 grados de libertad ( 10X t∼ ), hallar el valor c tal que: 
 
a) [ ] 0,995 3,169P X c c< =  =
 
b)
 
[ ] 0,05 1,812P X c c< =  = −
 
c)
 
[ ] 0,01 2,764.P X c c> =  =
 
 
 
Distribución Chi-cuadrado 
Se dice que la variable aleatoria continua X tiene distribución Chi-cuadrado con n grados de libertad, 
denotada por 
2
n
X χ∼ , si su función de densidad es: 
 
/2
/2 1 /22( ) , 0 ,
( / 2)
n
n x
f x x e x
n
−
− −= < < ∞
Γ
 
 
 
 
 
 
Propiedad: 
 
Si X tiene distribución Chi-cuadrado con n grados de libertad, entonces su media y su varianza son 
respectivamente: 
 
c) nµ = . 
d) 2 2nσ = . 
 
Uso de tabla Chi-cuadrado 
Si la variable aleatoria X se distribuye como una Chi-cuadrado con n grados de libertad, esto es,
2
n
X χ∼ , 
entonces, en la tabla de probabilidades Chi-cuadrado se puede encontrar una probabilidad 1 α−
 
o un valor 
2
1 ,nc αχ −= mediante la relación 
2
1 ,( ) 1nP X αχ α−≤ = − 
Ejemplo: 
 
Si 
2
11X χ∼ , hallar: 
 
a) ( 17,28) ? ( 17,28) 0.9P X P X< =  < = 
b) ( 21,92) ? ( 21,92) 1 ( 21,92) 1 0,975 0,025P X P X P X> =  > = − > = − = 
c)
 
(17,28 X 21,92) ? (17,28 X 21,92) (X 21,92)- (X 17,28) 0.975 0.9 0.075.P P P P< < =  < < = < < = − =
 
 
Si 
 
2
n
X χ∼ hallar: 
 
a) “a” tal que ( ) 0,995P X a< = , si n = 30. Luego, a=53,67. 
b) “a” y “b” tales que ( ) 0,95P a X b< < = , ( ) 0.025P X b> = , si n = 13. 
 
 
( ) 1 ( ) 0,025 ( ) 0,975 24,74P X b P X b P X b b> = − < =  < =  =
. 
( ) ( ) ( ) 0,95P a X b P X b P X a< < = < − < = , entonces ( ) 0,025 5,01P X a a< =  = .