De un modo resumido de la independencia de los sucesos A y B se sigue que P (X = x, Y = y) = P (X = x)P (Y = y) con x, y = 0, 1 (notemos que las va...

De un modo resumido de la independencia de los sucesos A y B se sigue que P (X = x, Y = y) = P (X = x)P (Y = y) con x, y = 0, 1 (notemos que las variables aleatorias X e Y solamente pueden tomar los valores 0 y 1). Consideremos ahora dos variables aleatorias discretas X e Y arbi- trarias. ¿Qué puede significar que las dos variables son independien- tes? Siguiendo el ejemplo de los sucesos, el concepto que queremos definir es que conocer el valor de una de ellas no modifica nuestro co- nocimiento de la otra. Supongamos que sabemos queX = x. Para cada posible valor de la variable Y la probabilidad de que tome un valor arbitrario y sin saber nada más es P (Y = y). Si conocemos el valor de X entonces la misma probabilidad vendría dada por P (Y = y|X = x). Si X no contiene información sobre Y lo que debe darse es que P (Y = y|X = x) = P (Y = y), que es equivalente a P (X = x, Y = y) = P (X = x)P (Y = y). Llegamos a la misma condición que veíamos para variables dico- tómicas o indicatrices. Parece razonable la siguiente definición. Definición 3.7 (Independencia de dos variables discretas). Dos va- riables aleatorias discretas X e Y definidas sobre un mismo espacio de probabilidad (Ω,A, P ) se dicen independientes cuando P (X = x, Y = y) = P (X = x)P (Y = y),∀x, y ∈ R. (3.30) Si consideramos la definición 3.7 es clara la siguiente afirmación: dos sucesos aleatorios A y B son independientes si y solo si las varia- bles aleatorias X(ω) = 1A(ω) e Y (ω) = 1B(ω) son independientes. De hecho, estamos enriqueciendo el concepto de independencia. Ejemplo 3.10 (Lanzamos una moneda cuatro veces). Lanzamos cua- tro veces una moneda. Consideremos las variables X1, número de ca- ras en los dos primeros lanzamientos; X2, número de caras en los dos últimos lanzamientos. ¿Son X1 y X2 independientes entre sí? Fácil- mente vemos que sí porque se verifica la definición 3.7. Modificamos la definición de las variables de modo que X1, número de caras en los tres primeros lanzamientos; X2, número de caras en los tres últimos lanzamientos. ¿Son independientes estas variables? No. Por ejemplo: P (X1 = 3, X2 = 3) = 1/24, sin embargo, P (X1 = 3) = P (X2 = 3) = 1/23. En general, podemos definir independencia de una colección finita de variables aleatorias discretas. Definición 3.8 (Independencia de variables aleatorias discretas). Una colección variables aleatorias discretas X1, . . . , Xn definidas sobre un mismo espacio de probabilidad (Ω,A, P ) se dicen independientes cuan- do P (X1 = x1, . . . , Xn = xn) = P (X1 = x1) . . . P (Xn = xn), para cualesquiera x1, . . . , xn ∈ R. ¿Y cuando tenemos una variables aleatorias continuas? Damos la definición directamente en el caso general de un vector de dimensión k. Si el vector (X1, . . . , Xk) es un vector aleatorio continuo con den- sidad conjunta f(x1, . . . , xk) de un modo análogo se tiene la siguiente definición. Definición 3.9. Supongamos un vector aleatorio continuo X = (X1, . . . , Xk) con densidad conjunta f y marginales fi con i = 1, . . . , k. Las variables X1, . . . , Xk se dicen independientes cuando f(x1, . . . , xk) = f1(x1) . . . fk(xk), para cualesquiera x1, . . . , xk ∈ R. Ejemplo 3.11 (Uniforme en el cuadrado unitario). Seguimos con el ejemplo 3.5 de un punto al azar en el cuadrado unitario [0, 1]× [0, 1]. Su densidad conjunta es fXY (x, y) = 1, si (x, y) ∈ [0, 1]× [0, 1], y cero en el resto y sus marginales fX(x) = fY (x) = 1, si 0 ≤ x ≤ 1 y cero en otro caso. Tanto X como Y tienen densidades uniformes en [0, 1]. Es obvio que f(x, y) = fX(x)fY (y) para cualquier x e y. Son por tanto variables independientes. Es un resultado espera- ble. Si vemos la forma del conjunto en donde la densidad conjunta no se anula el conocimiento del valor de x no nos dice nada sobre el valor de y. Siempre y toma valores entre 0 y 1 con densidad uniforme. Sin embargo, si consideramos un círculo parece que la cosa no debiera de ser así. Ejemplo 3.12. Sea (X,Y ) con densidad uniforme en círculo unidad, B(0, 1). La densidad conjunta es fXY (x, y) = { 1/π, si (x, y) ∈ B(0, 1) 0, en el resto. Por simetría, las marginales de X e Y son idénticas y tienen la forma, fX(x) = { 2/π√ 1− x2, si |x| ≤ 1 0, en el resto. De inmediato se comprueba que fXY (x, y) 6= fX(x)fY (y) y ambas variables no son independientes. Las definiciones 3.8 y 3.9 son operativas. Con ellas podemos com- probar si un vector discreto o continuo está compuesto por variables independientes. Sin embargo, son definiciones limitadas. La definición general es la siguiente. Definición 3.10 (Variables aleatorias independientes). Decimos que las variables Xi, i = 1, . . . , k son independientes si P (X1 ∈ B1, . . . , Xn ∈ Bn) = P (X1 ∈ B1) . . . P (Xn ∈ Bn), para cualesquiera B1, . . . , Bn ∈ β. Comprobar la independencia de variables aleatorias utilizando la definición 3.10 no es posible. Sin embargo, se puede demostrar que, para variables discretas las definiciones 3.8 y 3.10 equivalen. Aná- logamente, para variables continuas, las definiciones 3.9 y 3.10 son equivalentes. Ejemplo 3.13. 7 Volvemos a considerar el problema de la aguja de Buffon. Sobre una trama de líneas paralelas equidistantes entre sí d unidades, lanzamos al azar una aguja de longitud l unidades, con l