Notemos que si x ∈ Dc entonces P (X = x) = 0. Es por ello, razonable definir la siguiente función. Definición 2.7. Definimos la función de probabil...

Notemos que si x ∈ Dc entonces P (X = x) = 0. Es por ello, razonable definir la siguiente función. Definición 2.7. Definimos la función de probabilidad o cuantía de una variable aleatoria discreta como fX(x) = { P (X = x), si x ∈ D 0, en el resto, Ejemplo 2.2. Por ejemplo, supongamos D = {0, 1, . . . , 10} y la función de probabilidad aparece en la tabla 2.1. A partir de la función de probabilidad P (X = xi) podemos calcular cualquier otra probabilidad. Por ejemplo: P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2), o bien, P (X ≥ 7) = P (X = 7) + P (X = 8) + P (X = 9) + P (X = 10). También P (4 ≤ X ≤ 7) = P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) + P (X = 7). P (4 < X ≤ 7) = P (X = 5) + P (X = 6) + P (X = 7). P (4 < X < 7) = P (X = 5) + P (X = 6). De un modo genérico podemos escribir que P (X ∈ B) = ∑ x∈B P (X = x), siendo B cualquier subconjunto de la recta real (para ser precisos cualquier subconjunto de Borel de la recta). Notemos que una función de probabilidad ha de verificar las dos propiedades básicas siguientes. 2El conjunto D recibe el nombre de soporte de la distribución PX . Básicamente una variable discreta es aquella cuyo soporte es un conjunto discreto. 3En lo que sigue denotaremos indistintamente fX(x) o P (X = x) indistinta- mente cuando hablemos de la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta Proposición 2.2. Si fX es la función de probabilidad asociada a una variable aleatoria discreta entonces se verifican las dos propiedades siguientes: 1. fX es no negativa. 2. ∑ xi∈D fX(xi) = 1. Prueba. 1. Al tratarse de una probabilidad, fX(x) ≥ 0, ∀x ∈ R, 2. Como P (X ∈ D) = 1 se tiene por la σ-aditividad de la medida de probabilidad que ∑ xi∈D fX(xi) = 1. De hecho en lo que sigue cuando demos la función de probabilidad de una variable discreta simplemente indicaremos los puntos en los que no se anula y el valor de la función en esos puntos. En el resto asumimos que es nula. Si X es una variable discreta entonces es fácil comprobar que la FX asociada viene dada por FX(x) = ∑ xi≤x P (X = xi) = ∑ xi≤x fX(xi). (2.5) De acuerdo con esto, si x(i) y x(i+1) son dos puntos consecutivos del soporte tendremos que ∀x ∈ [x(i), x(i+1)[, FX(x) = FX(x(i)). Como además PX(x) = 0, ∀x ∈ Dc, la función será también continua. Por otra parte P (X = xi) > 0, para xi ∈ D, con lo que los únicos puntos de discontinuidad serán lo del soporte, discontinuidad de salto finito cuyo valor es FX(x(i))− FX(x(i−1)) = P (X = xi). Se trata por tanto de una función escalonada, cuyos saltos se producen en los puntos de D. La relación entre fX y FX viene recogida en las dos expresiones que siguen, cuya obtención es evidente a partir de (2.4) y (2.5). La primera de ellas permite obtener FX a partir de fX , FX(x) = ∑ xi≤x fX(xi). La segunda proporciona fX en función de FX , fX(x) = FX(x)− FX(x−). En resumen dada la función de probabilidad tenemos la función de distribución y viceversa, dada la función de distribución tenemos la función de probabilidad. Ejemplo 2.3. Consideramos la variable aleatoria discreta tal que su función de probabilidad aparece en la tabla 2.1. Vamos a determinar la función de distribución. Sus funciones de probabilidad y de distri- bución las tenemos en la figura 2.1. (a) (b) Figura 2.1: Función de probabilidad (a) y función de distribución (b) de la distribución discreta en tabla 2.1. 2.5.1 Ejemplos importantes de distribuciones dis- cretas En lo que sigue se estudian los ejemplos de variables discretas de mayor importancia. Son modelos fácilmente reconocibles porque co- rresponden con experimentos que nos encontramos en la vida real. Uno de ellos será el modelo binomial. Una cuestión previa es decidir si hablamos de variable binomial o de distribución binomial. En todos los ejemplos que vamos a contemplar lo que damos es la función de probabilidad, es decir, damos los puntos con probabilidad no nula y la probabilidad de que se produzcan. Lo importante es la probabili- dad de los sucesos y no la definición precisa de la variable. La variable aleatoria puede representar número de caras en n lanzamientos de una moneda correcta o puede corresponder al número de píxeles en mal estado en un monitor. Lo importante, en Probabilidad, no es la defi- nición de la variable sino la probabilidad que induce, su distribución. Dada la distribución variables que se distribuyen igual son, desde el punto de vista probabilístico, equivalentes. Por ello, preferimos (y es lo más habitual) hablar de distribución binomial. Una variable con distribución binomial puede denominarse variable binomial. Nosotros preferimos decir que es una variable con distribución binomial.4 2.6 Distribución Bernoulli Empezamos con algún ejemplo que motiva esta distribución. 1. Lanzamos una moneda y nos planteamos si sale cara (y lo llama- mos éxito) o si no sale cara (y lo llamamos fracaso). Nos fijamos en la ocurrencia o no de un suceso: salir cara. Tenemos un espa- cio muestral Ω = {cara, cruz} y nos planteamos si se produce A = {cara}. 4Es más largo, pero somos un poco de letras. 2.7. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 53 2. Elegimos al azar a una persona en la población de la Comuni- dad Valenciana y nos fijamos si es diabético (y lo consideramos éxito) o no lo es (fracaso). En este caso el espacio muestral es el conjunto de individuos de la Comunidad y el suceso que nos interesa sería el conjunto de individuos que son diabéticos en dicha Comunidad. Tenemos, en los ejemplos anteriores, distintos experimentos donde nos fijamos en un suceso A y nos planteamos si ocurre o no ocurre este suceso. Una situación de este tipo recibe el nombre de prueba de Bernoulli. 5 Dada una prueba de Bernoulli consideramos la variable aleatoria que nos indica si A se ha producido, esto es, la variable X(ω) = 1A(ω), donde 1A(ω) = 1 si ω ∈ A y cero en otro caso. Del experimento que realizamos solamente nos importa saber si un determinado suceso ha tenido lugar. De hecho, como éxito es que el resultado ω pertenezca al suceso A entonces la probabilidad de éxito será p = P (A). El rango de la variable es {1, 0} donde 1 indica el éxito y 0 el fra- caso. Una variable de este tipo recibe el nombre de variable Bernoulli. Es el ejemplo más simple de variable aleatoria. Su función de proba- bilidad sería: fX(1) = P (X = 1) = p y fX(0) = P (X = 0) = 1 − p que, de un modo conjunto, podemos representar como P (X = x) = px(1− p)1−x para x = 0, 1. (2.6) Si una variable sigue una distribución de probabilidad se dice que es una variable Bernoulli o que se distribuye Bernoulli 6 y se denota X ∼ Bi(1, p). Ejemplo 2.4. En el lanzamiento de una moneda correcta la función de probabilidad es fX(1) = P (X = 1) = 1/2 y fX(0) = P (X = 0) = 1/2. Ejemplo 2.5. Seleccionamos a un individuo al azar en la población de la Comunidad Valenciana. La función de probabilidad es fX(1) = P (X = 1) = p y fX(0) = P (X = 0) = 1− p. El valor de p nos indica la proporción real de diabéticos en la población. Habitualmente el valor de p no es conocido. 2.7 Distribución binomial Repetimos n veces una prueba de Bernoulli (con probabilidad de éxito p) independientemente una de otra (lanzamos n veces una mo- neda por ejemplo) y observamos la variable aleatoria que nos da el número total de éxitos.