¿Qué nos indica el signo de la covarianza? Para comprender el significado del signo de la covarianza, consideremos dos sucesos A y B con probabilid...

¿Qué nos indica el signo de la covarianza? Para comprender el significado del signo de la covarianza, consideremos dos sucesos A y B con probabilidades P (A) y P (B), respectivamente. Las correspondientes funciones características, X = 1A e Y = 1B, son sendas variables aleatorias cuya covarianza vale cov(X,Y ) = E(XY )− E(X)E(Y ) = P (A ∩B)− P (A)P (B), puesto que XY = 1A∩B y E(X) = P (A) y E(Y ) = P (B). Observemos que cov(X,Y ) > 0 si P (A ∩B) > P (A)P (B) =⇒ P (A|B) > P (A) y P (B|A) > P (B) cov(X,Y ) = 0 si P (A ∩B) = P (A)P (B) =⇒ P (A|B) = P (A) y P (B|A) = P (B) cov(X,Y ) < 0 si P (A ∩B) < P (A)P (B) =⇒ P (A|B) < P (A) y P (B|A) < P (B) Así pues, una covarianza positiva supone que el conocimiento previo de la ocurrencia de B aumenta la probabilidad de A, P (A|B) > P (A), y análogamente para A. De aquí que hablemos de dependencia positiva entre los sucesos. En el caso contrario hablaremos de dependencia negativa. La covarianza vale cero cuando ambos sucesos son independientes. Cuando las variables X e Y son variables aleatorias cualesquiera, ¿qué significado hemos de darle a la expresión dependencia positiva o negativa? En la figura 4.1 hemos representado los cuatro cuadrantes en los que µX = E(X) y µY = E(Y ) dividen al plano, indicando el signo que el producto (X − µX)(Y − µY ) tiene en cada uno de ellos. Si los valores de X superiores (inferiores) a µX tienden a asociarse con los valores de Y superiores (inferiores) µY , la covarianza será positiva y las variables tendrán una relación creciente. En caso contrario, superior con inferior o viceversa, la covarianza será negativa. En este contexto hemos de entender tienden a asociarse como son más probables. En definitiva, una covarianza positiva (negativa) hemos de interpretarla como la existencia de una relación creciente (decreciente) entre las variables. ¿Qué nos indica el signo de la covarianza? Para comprender el significado del signo de la covarianza, consideremos dos sucesos A y B con probabilidades P (A) y P (B), respectivamente. Las correspondientes funciones características, X = 1A e Y = 1B, son sendas variables aleatorias cuya covarianza vale cov(X,Y ) = E(XY )− E(X)E(Y ) = P (A ∩B)− P (A)P (B), puesto que XY = 1A∩B y E(X) = P (A) y E(Y ) = P (B). Observemos que cov(X,Y ) > 0 si P (A ∩B) > P (A)P (B) =⇒ P (A|B) > P (A) y P (B|A) > P (B) cov(X,Y ) = 0 si P (A ∩B) = P (A)P (B) =⇒ P (A|B) = P (A) y P (B|A) = P (B) cov(X,Y ) < 0 si P (A ∩B) < P (A)P (B) =⇒ P (A|B) < P (A) y P (B|A) < P (B) Así pues, una covarianza positiva supone que el conocimiento previo de la ocurrencia de B aumenta la probabilidad de A, P (A|B) > P (A), y análogamente para A. De aquí que hablemos de dependencia positiva entre los sucesos. En el caso contrario hablaremos de dependencia negativa. La covarianza vale cero cuando ambos sucesos son independientes. Cuando las variables X e Y son variables aleatorias cualesquiera, ¿qué significado hemos de darle a la expresión dependencia positiva o negativa? En la figura 4.1 hemos representado los cuatro cuadrantes en los que µX = E(X) y µY = E(Y ) dividen al plano, indicando el signo que el producto (X − µX)(Y − µY ) tiene en cada uno de ellos. Si los valores de X superiores (inferiores) a µX tienden a asociarse con los valores de Y superiores (inferiores) µY , la covarianza será positiva y las variables tendrán una relación creciente. En caso contrario, superior con inferior o viceversa, la covarianza será negativa. En este contexto hemos de entender tienden a asociarse como son más probables. En definitiva, una covarianza positiva (negativa) hemos de interpretarla como la existencia de una relación creciente (decreciente) entre las variables.