Variables Aleatorias, Distribuciones y Teorema central del Limite

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Variables Aleatorias
Es una variable en la cual existe participación del azar, es decir, no se puede predecir con exactitud el resultado que tomará.
Existen dos tipos de variables aleatorias:
1) Discretas: toman valores aislados (Ej: número de hermanos, calificaciones, n° de pasajeros en un tren).
2) Continuas: toman valores en uno o más intervalos (Ej: edad, tiempo, temperatura, estatura de una persona).
Observación: Hay variables aleatorias que se podría decir, lo son por su propia naturaleza; entre ellas se cuentan la presión arterial de una persona, su pulso (n° de pulsaciones por minuto), el tiempo que demoramos en llegar al lugar de trabajo o al lugar de estudios cada día, etc. Otras variables aleatorias, en cambio, se generan por su definición; por ejemplo, el número de hijos de una persona es estable al menos por cierto período de tiempo. Sin embargo, si seleccionamos una persona al azar de una “población”, la variable “N° de hijos de la persona a ser seleccionada” es aleatoria pues no se puede predecir con exactitud su valor. En las encuentas habituales, para diferentes tipos de estudios relativos a poblaciones con toma de muestras “aleatorias” (con participación del azar), se generan muchas variables aleatorias de este segundo tipo. En todo caso, el tratamiento de las variables es el mismo, independientemente de su generación.
1) Variables Discretas
Una variable discreta se caracteriza por su recorrido (conjunto de valores posibles) y por su función de probabilidad, que corresponde a las probabilidades de los valores posibles.
, donde 
Ejemplo: si tenemos un dado balanceado y es el valor en un lanzamiento. 
Tenemos: 
 
Consideremos 2 lanzamientos del dado y dos variables aleatorias:
Y: suma de los valores en ambos lanzamientos
V: diferencia del segundo y primer lanzamiento
Tenemos:
se considera como el nuevo “espacio muestral”
lanzamientos independientes (la probabilidad de un valor conjunto es el producto de las probabilidades de sus valores individuales. Estudiaremos este resultado prontamente).
- Consideremos el suceso A: “la suma de los 2 dados debe ser a lo más 4”.
Se tiene los sucesos a los que estudiamos en Probabilidades son subconjuntos de , que serán subconjuntos de .
			P(A) = p+ p+ p= + += 
- Para el caso de V tenemos:
- Si el dado fuese cargado:
 (
 
+
)Entonces = p∙p+ p∙p
Modificación:
El primer lanzamiento es igual. Si en el primer lanzamiento sale “impar”, en el segundo se lanza un dado que solamente trae impares. Si en el primer lanzamiento sale “par”, en el segundo se lanza un dado que solamente trae pares.
Sea V la diferencia entre el segundo y primer lanzamiento. 
- Si , si , y si :
- Si , si , y si :
				 
Concentrémonos en:
 (
 A
 
B
 
 
 
 
= 
)
 (
 
 
 
 = 
)
Si el segundo dado fuese cargado: 
· (dado de los pares)	2	4	6
			0,1	0,3	0,6
· (dado de los impares)	1	3	5
					0,5	0,2	0,3
Ahora:
 (
 0,5
 
 0,1
 
 
)				=
Valor esperado (Esperanza o Media)
promedio ponderado de los posibles valores de X
Ejemplo: consideremos la variable “número de hermanos” en la población de estudiantes de Ingeniería Comercial de la Universidad y se tiene:
Por lo tanto el Valor esperado es: 
Significa que la media es 2,2 hermanos.
Valor Esperado de una variable aleatoria discreta
Entre las distribuciones discretas más conocidas, las que llamaremos “modelos”, está la “Uniforme discreta”.
Una variable aleatoria discreta sigue una distribución uniforme discreta si con 
se tiene que 
Ejemplo: observar el valor de un dado balanceado
Aquí 
Si X se distribuye uniforme discreta, entonces:
 promedio simple de los valores del recorrido (de los valores posibles para la variable aleatoria).
Ejemplo: Para el caso de un dado balanceado
Varianza
La varianza es una medida de la variabilidad de la variable. Se define como:
También 
 (
 E(x)
1
)
En el ejemplo del dado balanceado teníamos:
 
 
E(X) = 1
V(x) = E = ) = 
V(X) = E) 
 
Para saber si la varianza tiene un valor grande (si la variable aleatoria puede tomar sólo valores positivos o cero), podemos definir el coeficiente de variación como: 
Propiedades de la Esperanza y la Varianza de una Variable Aleatoria:
1. Esperanza:
Supongamos que X es v.a., c es una constante y además se tiene la variable Y formada como:
- , donde c es una constante, entonces 
- donde d es una constante, entonces 
- , donde d es una constante, entonces 
Supongamos que X e Y son variables aleatorias. Se cumplen los resultados siguientes:
- 
- 
- Si son constantes, entonces 
			
2. Varianza
Supongamos que c es una constante y además se tiene la variable Y formada como:
- , entonces 
- , donde d es una constante, entonces V(Y)=V(X) 
- , donde d es una constante, entonces 
Supongamos que X e Y son variables aleatorias:
- V 
- 
- Si son constantes, entonces 
Modelos de Distribuciones Discretas
Se tienen los siguientes Modelos:
1. Uniforme discreto.
El Modelo Uniforme Discreto ocurre cuando se tiene una variable aleatoria discreta, con un número finito N de resultados posibles, y todos con idéntica probabilidad 1/N. 
		= {, , …, }; () = , i=1,2,…,N
 		E(X) = () = = = 
(Promedio de los valores posibles)
 		V(X) = E(- (E(X))= - ()= () - ()
(Promedio de los cuadrados de los valores posibles menos el cuadrado del promedio de los valores posibles)
2. Binomial.
Necesitamos conocer el concepto de “ensayos de Bernouilli”, que corresponde a un experimento o fenómeno aleatorio con las siguientes propiedades:
· Tiene sólo dos resultados posibles (o dos agrupaciones de resultados) que conoceremos como “éxito” y “fracaso”.
· La probabilidad de éxito es común a las diferentes ensayos. Lo mismo ocurre con la probabilidad de “fracaso”.
· Los resultados correspondientes a diferentes ensayos son independientes.
Ejemplos:
1. Lanzamiento de una moneda n veces, con éxito= “cara” y fracaso= “sello”.
2. Lanzamiento de un dado n veces, con éxito= “as” y fracaso= “no as”. En este ejemplo, “fracaso” es una agrupación de valores posibles, pues Éxito = {1} y Fracaso = {2,3,4,5,6}
3. Número de pacientes, de entre n, que fallecen en la UTI de un hospital en una semana.
4. Número de alumnos que vendrán a una próxima clase, de entre n registrados en el curso.
 
Variable de interés:
	X: número de éxitos en n ensayos de Bernouilli.
En el modelo Binomial existe una determinada probabilidad π de éxito y (1-π) de fracaso en cada repetición de ensayos de Bernouilli.
El recorrido de la variable Binomial es R= {1,2, … , n}.
Para determinar la función de Probabilidad de X debemos pensar que para que tengamos x éxitos, debemos tener asimismo (n-x) fracasos. Como los resultados de los ensayos son independientes, aparecen probabilidades del tipo:
				π∙(1-π)
que corresponde a cualquier configuración de x éxitos y (n-x) fracasos. Como no interesa las ubicaciones de los x éxitos (y consecuentemente de los (n-x) fracasos), debemos contar las formas de ubicar los x –exitos, que resulta ser “n sobre x”. 
Así, la función de Probabilidad es la siguiente:
 , para x = 0,1,2, … ,n
Donde: 
 -E(X) = 
 - V(X) = )-
 - E( 
 - CV(X) = = 
Ejemplos:
1) ¿Cuál es el número de caras en el lanzamiento de una moneda? Sea n=20 y =0,4.
R: = 0,0131
2) Supongamos que se está haciendo una entrevista para un cierto tipo de trabajo, ¿Cuál es la probabilidad de entrevistar al menos una persona competente de un total de 20 entrevistas?
R: 
	P(X ≥ 1) = P(X=1)+P(X=2)+ … +P(X=20)
	 	 = 1 – P(X=0)
	 = 1- 0,00003656 = 0,99996344
	 
Si tenemos ahora n entrevistas, ¿Cuál es el mínimo número de entrevistas que produce que la probabilidad de entrevistar al menosuna persona competente es mayor o igual a 0,8? La respuesta es la siguiente:
		P(X≥1) = 1- 0,6≥ 0,8
	 		 
	 		
	 		
Por lo tanto, n debe ser al menos 4
Si tenemos el valor de la probabilidad de éxito, , ¿cuántas entrevistas necesito?
		
Por lo tanto se necesita entrevistar a 16 personas.
3) Un jefe de proyecto ha determinado que un subcontratista entrega las órdenes a tiempo alrededor del 90% de las veces. El gerente ha hecho 10 pedidos a este subcontratista. 
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el subcontratista entregue todas las órdenes a tiempo?
Sea la variable aleatoria X: N° de órdenes entregadas a tiempo, de los 10 pedidos.
	
			X ~ B(10; 0,9)
 Entonces, P(X=10) = “10 sobre 10” ·(0,9)·(0,1)= 0,348
b. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 2 órdenes se entreguen atrasadas?
Sea la variable aleatoria X: número de órdenes a tiempo
Sea la variable aleatoria Y: número de órdenes atrasadas
 P( Y≤2 ) = P( Y=0 ) +P( Y=1 ) +P( Y=2 )
	 = 
	 =	0,348 + 0,387 + 0,1937 = 0,872
c. ¿Cuál es la media, la desviación estándar y el coeficiente de variación de esta distribución de probabilidades?
Sea la variable aleatoria X: número de órdenes a tiempo
		X ~ B( 10; 0,9 ) 
-
- 
- 
- CV(X) = =0,1
3. Geométrica
Se tiene una variable aleatoria con distribución Geométrica cuando se cuenta el número de intentos hasta obtener el primer éxito de los ensayos de una población Bernoullí, donde el número de éxitos es fijo y el número de intentos es variable. 
El recorrido Rde una variable aleatoria Geométrica es {1,2,3, … }, siendo su función de Probabilidad , donde es la probabilidad de fracaso en los (x-1) primeros lanzamientos, y es la probabilidad de éxito en el x-ésimo lanzamiento.
Ejemplo: Sea “X” el número de lanzamientos con un dado balanceado hasta que salga un “as”. Tenemos:
- 
- 
Aplicación
Se tiene un juego de lotería de la siguiente forma: elegir 6 números de entre 36.
- ¿Cuántas opciones de 6 números se tienen?
R:	
- ¿Cuál es la probabilidad de ganar con una apuesta?
R: 	
- ¿Cuál es la probabilidad de ganar con “m” apuestas?
R:	 
- ¿Cuál es la probabilidad de que se necesite jugar a lo más 200 veces para ganar?
R: sea “X” el número de juegos hasta que gane. Entonces .
Tenemos:
4. Binomial Negativa
Se tiene una variable aleatoria con distribución Binomial Negativa cuando se repiten ensayos de Bernoullí hasta obtener “r” éxitos. 
Sea “X” el número de ensayos hasta obtener r éxitos. 
Notación: X ~ BN(r;n)
Ejemplo: Se requieren 3 personas para un trabajo, donde es la probabilidad de que una persona sea competente para dicha labor. Tenemos:
- X: número de personas a entrevistar hasta obtener 3 personas competentes
- X ~ BN(3; 0,10)
- 
- 
En general “X” es el número de ensayos Bernoullí hasta obtener “r” éxitos, donde
- 
- 
- E(X)= y 
Resultado: 
Si , se puede escribir que X = X+ X+ … + X ,donde: 
- X es el número de ensayos hasta el primer éxito; X es el número de ensayos entre el primer éxito y el segundo éxito; en general, Xcorresponde al número de ensayos entre el (i-1)-ésimo y el i-ésimo éxitos.
- Las variables Xson independientes entre sí y cada una sigue una distribución . 
Se tiene:
-
- , y como las variables son independientes, entonces 
 
5. Hipergeómetrica.
En este modelo se tiene una población finita de tamaño N, la cual contiene dos grupos (1 y 2) de tamaños y , tal que N=+.
Se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n de esa población donde y 
Se define la variable aleatoria X= número de elementos del grupo 1 seleccionados en la muestra (número de éxitos).
Existen dos formas de selecciones:
(1) Muestreo con Reemplazo (o reposición): en este caso un mismo elemento de la población puede participar varias veces en la muestra. 
Ejemplo: sea X el número de damas seleccionados en la muestra con n=5, donde el número total de hombres y mujeres es 12 y 13 respectivamente. En un muestreo con reposición, la probabilidad de seleccionar una dama en un intento cualquiera es . En este caso, X~ B(5, ).
De forma general, en un muestreo con reposición X~ B( n, ) con 
 y 
(2) Muestreo sin Reemplazo (o reposición): en este caso cambia la probabilidad de seleccionar un elemento del grupo 1. La probabilidad de la segunda selección depende de lo que se seleccionó en la primera, por lo tanto X no sigue una distribución Binomial en esta situación. En general:
Sea X el número de elementos seleccionados sin reposición del grupo 1 con
 
 y con 
 
Se denota X ~ H ( N, N, n ) (Distribución Hipergeométrica de parámetros N, Ny n. La probabilidad de que la v. a. X tome un valor x, se puede determinar mediante la expresión “n° de casos favorables”/ “n° de casos totales”. Es así como el denominador corresponde al número de formas de seleccionar n elementos de entre N, y el numerador al número de formas de seleccionar x elementos de entre los Ndel primer grupo, y (n-x) de entre los ( N - N) del grupo complementario. 
En el ejemplo se tiene:
- 
- X ~ H ( 25, 13, 5 ) 
- 
Esperanza y Varianza de una Hipergeométrica
E(X) =
V(X)= 
 
En el ejemplo: X ~ H(25,13,5)
X
 =2,6
 =1,04
 Por lo tanto, CV==0,31
Supongamos ahora que elegimos 5 personas, pero de entre 1300 alumnos de pregrado, donde hay 626 damas y 624 varones. En este caso la muestra es mucho más chica que la población: < 0,05
Cuando es así, los cambios de probabilidad de intento en intento son muy pequeños y el factor de corrección para la varianza es cercano a 1, por lo tanto si n « N (se utiliza n ≤ 0,05·N) (como en este ejemplo), entonces se puede trabajar con la distribución Binomial. La distribución Hipergeométrica H(N,N, n) es bien aproximada por la distribución Binomial B(n, (N/N)), cuando el tamaño de la muestra es muy pequeño con respecto al tamaño de la población, lo que se puede aceptar cuando n < 0,05·N. En la práctica, esta última condición se verifica para la gran mayoría de las muestreos reales. 
6. Poisson
La distribución Poisson es similar a la Binomial excepto que hay un número muy grande de posibles ocurrencias y la probabilidad de una o más ocurrencias en un breve período de tiempo es muy chica. La tasa media de ocurrencia por unidad de tiempo se supone constante.
Ejemplos: 
· Número de pasajeros que llegan a una estación determinada del Metro de Santiago en 
 5 minutos
· Número de clientes que entran a una sucursal bancaria en 10 minutos
· Número de vehículos que cruzan un cruce de esquinas en 3 minutos
Si X ~ P(λ), donde λ es la tasa de ocurrencia en el período.
- 
- f(x) = , 	donde 
- E(X) = V(X) = 
Ejemplo:
¿Cuál es la probabilidad de que lleguen a una determinada estación del Metro más de 10 pasajeros en 30 segundos, si se sabe que históricamente llegan 63,2 pasajeros por cada 2 minutos?
· 
 Se necesita λ la tasa de pasajeros por medio minuto: λ=						
· Sea X la variable aleatoria que se define como el número de pasajeros en medio minuto, por lo tanto X~ P (λ =15,8). 
Entonces la probabilidad de que lleguen más de 10 pasajeros en 30 segundos es 0,9155: 
Nota:
Cuando X~ P (λ), se tiene E(X)= = 
También, Var(X)= E(X) – (E(X))= - = 
Supongamos que se desea aumentar el número de cajas de venta de boletos si llegan más de 40 pasajeros a la estación por minuto, ¿cuál es la probabilidad de ello?
- Se define la variable aleatoria X como el número de pasajeros en 1 minuto, donde 
 = 31,6 y X P(31,6)
- Entonces, 
Modelos de Distribuciones Continuas
Variables continuas
Las variables aleatorias continuas toman valores en un intervalo. Ejemplos: estatura, edad, tiempo de despacho de productos, peso, volumen. Así, para una persona que “mide” 1.75 metros –según nuestro lenguage verbal corriente- , su estatura está en realidad en el intervalo .
El Recorrido o Rango de la variable aleatoria X continua se define como el intervalo , donde puede tomartodos los valores en el intervalo.
Función densidad de las variables continuas.
La función densidad es la curva definida sobre el intervalo . Así, la probabilidad de que X pertenezca a dicho intervalo es:
 
1. Distribución Uniforme Continua sobre el intervalo 
 (
 si 
 otro caso
)Sea la variable aleatoria X con que sigue una distribución uniforme, X ~ U([a,b]).
Si 
Nos preguntamos:
 (
c
 a
 
 b
)¿Cuánto vale c?
Se debe tener 
Entonces 
También, mediante integrales (instrumento matemático que nos permite calcular áreas),
 dx = 
 (
 si 
 
 otro caso
)Por lo tanto;
	
Consideremos ahora un sub-intervalo , así: .
Así para que el modelo uniforme continuo sea adecuado, se debe cumplir la condición de que la probabilidad de los subintervalos sean iguales.
Comentario:
Este resultado nos señala cuándo es razonable utilizar una distribución uniforme: lo es cuando es plausible asignar iguales probabilidades a todos los subintervalos (del intervalo (a,b) que sean de igual ancho. Nos podemos preguntar por ejemplo, si sería razonable asociar una distribución uniforme a la variable estatura de las personas adultas que podría tener un recorrido entre 1,50 mt. y 2,00 mts.
Ejemplo:
Si se afirmara que la estatura de los alumnos de la Universidad sigue una distribución uniforme , implicaría que la probabilidades , 
serían todas iguales. ¿Sería este resultado razonable? No parece así pues hay rangos de estatura con mucha más probabilidad que otros; por ello, no es razonable para el comportamiento de la variable estatura. 
Nota:
La probabilidad en un punto es cero.
Notemos que:
, donde 
 (
El área de una línea es cero
 a
 m
b
)
Por lo tanto, hay sucesos posibles con probabilidad cero.
Conclusión: No todos los sucesos con probabilidad cero son imposibles. En particular, para el caso de las variables aleatorias continuas, ls puntos aislados tienen probabilidad cero, siendo que por ser puntos del recorrido son perfectamente posibles. 
2. Distribución Normal
Hay muchas variables aleatorias continuas que siguen -al menos aproximadamente- una distribución normal. Por ejemplo las variables físicas tales como estatura, peso, temperatura, etc.
- El recorrido de la variable aleatoria X son todos los números reales: 
- La función densidad de una distribución normal es y tiene la forma de una campana y por ello se le llama “Campana de Gauss”
Propiedades:
1) P(X=P(X0,5
2)Propiedad del complemento:
	Para todo a valor real,
	
3) Propiedad de simetría:
	Para todo e valor real,
	
Al observar la fórmula de la función densidad de la distribución normal, es posible conocer los parámetros de la media y desviación estándar 
Notación:
Sea una población X que se distribuye Normal con parámetros y ;
, donde:
- 	
- 
				
Estas dos “normales” tienen la misma media pero la segunda tiene una mayor varianza. 
En este ejemplo , es decir la distribución “roja” presenta una mayor dispersión de los datos respecto a la distribución “negra”, y por ello presenta una mayor probabilidad en los extremos.
2.1 Distribución Normal Típica o Estándar
El típico caso de la Distribución Normal es la Distribución Normal Típica o Estándar, la cual tiene media y varianza . Se denota de la forma y su nombre se explica porque dicha distribución está centrada en el cero. 
		
Sea una variable aleatoria X sobre una población, con distribución Normal, . Para transformar esta distribución a una normal estandarizada, a la variable X se le resta la media y se divide por la desviación estándar , donde:
- 
- 
Ejemplo:
Se afirma que las estaturas de los alumnos de una Universidad sigue una distribución N(1,67 mts., 0,16 (mts.)). ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno/a seleccionado al azar mida entre 1.62 y 1.64 metros?
R: Sea X el número de alumnos de la Universidad, donde . Entonces 
Por tabla se calcula .
Nota:
Ф(x) es la probabilidad acumulada de la Normal Estándar 
Hasta el valor x. Matemáticamente,
Ф(x)=, donde para el caso de la N(0,1):
	f(x) = , x ε (-
En particular, se tiene: 
	Ф(0) = 0,5
	, cualquiera que sea el valor a.
2.2 Distribución de Promedios y Sumas. 
Si X, X, … , X son n variables aleatorias independientes, todas de media y varianza , entonces definiendo = podemos calcular:
- =E=
La esperanza del promedio muestral es la media poblacional. 
-V(=V(==V(= 
La varianza del promedio es la varianza de los “X” dividida por “n”, es decir, dividida por el número de variables participantes. Así, el promedio presenta menor variabilidad que las X’s.
Si consideramos la suma de las variables X: , tenemos que 
				
De allí que,
	E() = E( = = 
	Var( ) = Var( ) = ) == 
Los resultados precedentes, respecto al promedio y respecto a la suma de variables independientes e idénticamente distribuídas no dependen de la distribución específica de las variables X.
Si agregamos la condición de que las variables siguen una distribución N(), entonces obtenemos que 
			 , () 
Teorema:
El T.L.C dice que si el tamaño de una población (Poisson, Exponencial, Uniforme, Binomial) es suficientemente grande , entonces dicha población se puede aproximar a una distribución normal del tipo ) toda suma se distribuye
 
Ejemplo:
Una alumna titulada de Ingeniería Comercial trabaja en el Ministerio de Salud. El Ministerio está considerando la compra conjunta de algodón para 40 hospitales similares. De datos históricos se sabe que el consumo promedio mensual de algodón en cada hospital es de 2200,5 kilogramos, con una desviación estándar de 198,1 kilogramos. El ministerio desea comprar 89.000 kilogramos. ¿Qué probabilidad hay de que las necesidades de los 40 hospitales queden insatisfechas?
R: 
Por lo tanto, 
2.3 Uso del T.L.C para las distribuciones Binomial y Poisson
Consideremos una población Binomial definiendo la variable aleatoria x como el número de personas competentes para un trabajo entre 20 entrevistados con probabilidad de éxito .
 (
si la i-ésima persona entrevistada es competente
 
si la i-ésima persona entrevistada no es competente
)La variable aleatoria x se puede expresar como donde 
Entonces,
 (
con probabilidad 
con probabilidad 1-
)
Por lo tanto corresponde a que , donde:
- 
- V( = 1 
Como , la distribución puede verse como una suma , donde todas las variables son independientes y cada una con distribución Bernoulli , con media y varianza .
Cuando n sea grande , entonces se puede ocupar el T.L.C. Por ejemplo, una población X que sigue una distribución Binomial puede aproximarse a una distribución Normal de la siguiente manera:
Nota:
Tanto la distribución Binomial como la Normal, tienen la misma media y varianza.
Ejemplos:
1) Volviendo al ejemplo anterior, ahora tenemos el caso de que se entrevistan a 180 personas para un trabajo, donde . ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 40 personas entrevistadas sean competentes?
R: Sea X el número de personas competentes de los 180 entrevistados. Se sabe que . Dado que n>30 se aplica el T.L.C y .
Así, la 
Por lo tanto la probabilidad de que al menos 40 personas de las 180 entrevistadas sean competentes es aproximadamente 0,2266.
2) Consideremos una encuesta presidencial con 2500 entrevistados. Sea X el número de personas encuestadas que apoyan a un determinado candidato, donde . Como n>30, .
Llamaremos a la proporción muestral de personas que apoyan al candidato y se define como .
 Así . Simplificando, 
El parámetro es la proporción real de apoyo al candidato, la cual es desconocida. Supongamos que . ¿Qué probabilidad hay de que la proporción estimada sea menor que 0,35 ó mayor que 0,39, usando n=2500? 
R: ó = +
Por lo tanto, 
+=
3) En una estación del Metro se estima que se puede dar un buen servicio de venta de boletos si llegan a lo más 40 pasajeros en 1 minuto. Se cree que si llegasen al menos 50 pasajeros sería necesario tener un puesto de venta adicional. Se sabede datos históricos que llegan 43,25 pasajeros por minuto en promedio.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen al menos 50 pasajeros en 1 minuto?
R: Sea X el número de pasajeros que llegan a la estación de Metro en 1 minuto. Se sabe que , por lo tanto:
Pero como se puede aproximar esta distribución a una Normal de parámetros (43,25;43,25).
Por lo tanto Es decir, hay un 15,15% de que lleguen al menos 50 pasajeros en 1 minuto.
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen entre 34 y 40 pasajeros en 1 minuto?
R: 
Como n>30, entonces podemos aproximar la variable aleatoria a una distribución normal.
(c) ¿ Cuántos pasajeros por minuto se necesitan para alcanzar una probabilidad del 60%?
R: 
Sea k=, por lo tanto:
2.4 Cuadro de aproximaciones 
 
14
21211
(26)(2/6)(6)
PLLPLLPL
=Ù====×=
[
]
(
)
(
)
(
)
2121
(4)41526
v
fPVPLLPLL
-==-==Ù=+=Ù=
1
6
211211
(1/5)(5)(2/6)(6)0,1
PLLPLPLLPL
==×=+==×==
[
]
(
)
,1,.....,
ji
pPxxjn
===
()()
ix
ixi
XR
Exxfx
m
Î
==×®
å
{
}
0,1,2,3,4,5,6
0,1;0,3;0,25;0,15;0,1;0,05;0,05
x
x
R
f
=
=
()00,110,320,2530,1540,150,0560,052,2
Ex
m
==×+×+×+×+×+×+×=
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}
12
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[
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1
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iii
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)
1211
()12345633,5
662
Ex
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(
)
[
]
)
(
)
(
)
(
2
1
2
i
x
i
n
i
x
P
x
x
E
x
V
×
-
=
-
=
å
=
m
m
å
å
å
å
=
=
=
=
+
×
-
×
=
×
-
n
i
n
i
n
i
i
x
i
x
i
n
i
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x
i
i
x
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x
P
x
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P
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x
P
x
1
1
1
2
1
2
2
)
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)
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2
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m
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2
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éù
\=-=-
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CV
s
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X
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Y
×
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X
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E
Y
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X
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1,2,3,4,5,6
111111
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666666
x
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,
0
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2
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0
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1
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8
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28
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36
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X
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»
2266
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0
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,
0
1
)
75
,
0
(
1
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75
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0
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40
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n
n
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1
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p
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0
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35
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39
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0
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P
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0
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35
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0
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P
Z
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0
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0
1
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07
,
2
(
1
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2
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1
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07
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2
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x
P
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1
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1)
03
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1
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40
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0
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0
31206
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0
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41
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1
(
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49
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0
(
)
49
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0
41
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1
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25
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43
25
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43
40
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43
25
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43
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40
34
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43
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Z
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P
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6
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41
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0
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42
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43
25
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0
4
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0
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(
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2
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12
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R
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2
2
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2
6
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(
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(
)
2121
4,2,0,2,4
(4)41,52,6
v
v
R
fPVPLLPLL
=--
-==-===+==
2121
(1)(5)(2)(6)
PLPLPLPL
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Ç
1
3
×
1
6
12
,,.....,
xn
fppp
=
1
18
21211
(15)(1/5)(5)
PLLPLLPL
=Ù====×=
1
9