CARTILLA TEORÍA

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ÁLGEBRA Y
GEOMETRÍA
ANALÍTICA
M O V I M I E N T O D E I N C L U S I Ó N T O T A L
NOTAS TEÓRICAS
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MOVIMIENTO
DE INCLUSIÓN
TOTAL
DE LA ESP. LYDIA
MARÍA LLANOS
 
Universidad Nacional de Jujuy 
 
Facultad de Ingeniería 
 
 
 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
GUIA PRÁCTICA con NOTAS TEÓRICAS 
Para resolver ejercicios y Problemas de aplicación 
1° Parte 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lydia María Llanos. Jefe de trabajos prácticos. Resolución C.A.F.I. Nº 010/04 
 
 
 
Números Complejos Lydia María Llanos 
______________________________________________________________________________ 
Facultad de Ingeniería Álgebra y Geometría Analítica 
1 
 
EL CONJUNTO DE NÚMEROS COMPLEJOS 
Contenidos 
El conjunto de los números complejos (que designaremos con C), es una extensión de los reales. 
Cada número complejo se representa analíticamente y gráficamente; como un par ordenado de 
números reales, en forma binómica y trigonométrica o polar. Se estudian las operaciones: suma, 
diferencia, multiplicación, potenciación y radicación de complejos con sus propiedades y corres-
pondientes representaciones gráficas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Objetivos 
- Valorar la ampliación del conjunto de los números reales. 
- Desarrollar habilidades en el manejo de los lenguajes coloquial, simbólico y gráfico a través 
de definiciones, operaciones y resolución de planteos con números complejos. 
- Reconocer y resolver las diferentes operaciones con complejos expresados en forma cartesia-
na, binómica, trigonométrica y gráfica. 
C = { ( a , b ) / a  R  b  R } 
Notación: Z = ( a , b ) 
 Re(z) = a ; Im(z) = b 
 El conjun-
to de 
Números 
complejos 
se define 
 por 
Se expresan 
 
Forma binómica 
Z = a + b i 
a =  cos  
b =  sen  
Forma polar o trigonométrica 
Z =  ( cos  + i sen  ) 
  : Radio vector ;   0 
  : Argumento 
 
 
unidad imaginaria, 
complejos conjugados, 
operaciones 
 
Se conside-
ran 
Se representan 
gráficamente 
y 
Se realizan las operaciones de 
 Suma, producto, cociente, potencia, raíz 
 Z1 + Z2 Z1 . Z2 Z1 : Z2 Z
n 
 Z
n
 
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2 
1.- Introducción 
Las ampliaciones de los conjuntos numéricos responden a la necesidad de dar soluciones a las 
operaciones imposibles de resolver en un determinado campo. Es decir que a medida que se am-
plían los campos numéricos, se amplían también las posibilidades de cálculo. 
Veamos ahora: 
Si tenemos la ecuación: x
2
 = 4  x = 4 
 Para este caso, la ecuación no tiene solución en R, porque 4 es 
imposible, pues la radicación no es cerrada en R. 
Generalizando, la ecuación: x
2
 = a  x = a tiene solución en R, si a  0 
- Si a < 0, para resolverla, es necesario ampliar el campo real. 
- Para la ampliación del campo real, se introduce una nueva unidad y en consecuencia nuevos 
números: los números imaginarios. 
La nueva unidad 1 , se denomina unidad imaginaria y se representa por i. 
 i = 1 
Se crea entonces el conjunto de los números complejos, que se designa con C; de modo tal que R 
sea isomorfo
1
 a una parte de C. 
Complejos
aginariosIm
Reales



 
En C: x = 4  x =  2 i 
 
2.- El número complejo 
2.1.- Definición 
Un número complejo es todo par ordenado de números reales. El conjunto de los números com-
plejos es C = R
2 
 
 C = { ( a , b ) / a  R  b  R } 
Notación: abreviadamente un número complejo se denota con la letra z: z = ( a , b ) 
La primera componente a, es la parte real; y la parte imaginaria, es la segunda componente b. 
 
1
 Isomorfo entre los reales y una parte de los complejos, significa que los complejos de la forma ( a , o) se comportan 
como los reales y en consecuencia los identificamos con ellos. 
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3 
 
Notación: Re(z) = a  Im(z) = b 
Ejemplos: z1 = ( 3 , 2 ), z2 = ( 2 , 4 ) , z3 =  7,5  , z4 = 





 4,
3
2
 
 Re(z1) = 3 , Im(z2) = 4 , Im(z3) = 7 , Re z4 = 
3
2
 
 z = ( a , 0 ) , es el número real a. Ejemplo: z = ( 5 , 0 ) es el nº real 5 
 z = ( 0 , b ) , es el número imaginario bi. ejemplo: z = ( 0 , 3 ) es el nº imaginario 3i 
 
 
 
 
2.2.- Relación de igualdad 
Dados z1 = ( a , b ) y z2 = ( c , d ) ; z1 = z2  a = c  b = d 
 
2.3.- Representación gráfica 
Así como los reales representan los puntos de una recta; introduciendo un sistema cartesiano, los 
complejos representan numéricamente los puntos del plano. La abscisa de cada punto es la parte 
real, y la ordenada es la parte imaginaria. Además, cada complejo está asociado a un vector con 
origen en el origen del sistema, y cuyo extremo es el punto determinado por el par ordenado co-
rrespondiente. 
 
 
Los complejos de la forma ( a , 0 ), se corresponden con puntos del eje de abscisas; y los de for-
ma ( 0 , b ), caracterizan al eje de ordenadas. 
2.4.- Ejemplos 
Representar gráficamente los complejos z = ( x , y ) que verifican: 
Im 
R a 
b 
Z=(a,b) 
z1 = ( 3 , 2 ) 
z2 = ( 2 , 4 ) 
Un complejo es real  su parte imaginaria es cero 
Un complejo es imaginario  su parte real es cero 
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4 
i) Re (z) = 3 
 
Resultan todos los z = ( 3, y ), caracterizados por la recta paralela 
al eje de ordenadas: x = 3. 
 
 
 
 
 
 2  Im(z) < 4 
 
 
 
 
 
2.5.- Operaciones en C 
Dados los complejos: z1 = ( a , b ) y z2 = ( c , d ) 
Por ejemplo: z1 = ( 2 , 3 ) y z2 = ( 1 , 2 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x=3 
2 
4 
0 Re 
Im 
Suma 
dos números complejos, es otro número complejo tal que, la 
componente real es la suma de las componentes reales y la 
componente imaginaria es la suma de las componentesimagi-
narias. 
La 
z1 + z2 = ( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) 
Simbólicamente 
Ejemplo 
z1 + z2 = ( 2 , 3 ) + ( 1 , 2 ) = ( 2 + 1 , 3 + 2 ) = (1 , 5 ) 
de 
ley de composición interna 
Asociativa, tiene elemento neutro o Complejo nulo, 
tiene inverso aditivo (opuesto), conmutativa. 
 
es 
es 
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5 
 
Es asociativa: ( z1 + z2 ) + z3 = z1 + ( z2+ z3 ) 
Tiene elemento neutro o Complejo nulo: ( 0 , 0 )  ( a , b ) + ( 0 , 0 ) = ( a , b ) 
Tiene inverso aditivo (opuesto) 
Para z = ( a , b ), el inverso aditivo de z es – z = (  a ,  b ) 
  ( a , b ) + (  a ,  b ) = ( 0 , 0 ) 
Ejemplo: z1 + (z1) = ( 2 , 3) + ( 2 ,  3 ) = ( 0 , 0 ) 
Es conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1 
 
Representación gráfica 
 
 
 
 
 
 
Tiene elemento neutro: ( 1 , 0 ) 
  u = ( 1 , 0 )  u . z = z  z  C 
Ejemplo: para z = ( 2 , 3 )  ( 1 , 0 ) . ( 2 , 3 ) = ( 1.(2)  0. 3 , 1.3 + 0.( 2) ) = ( 2 , 3 ) 
 
O 
z1 
z2 
z1+z2 
z1 . z2 = ( a , b ) . ( c , d ) = ( a c – b d , a d + b c ) 
 
Multiplicación 
Ejemplo 
 z1 . z2 = ( 2 , 3 ) . ( 1 , 2) = ( ( 2 ).1  3 . 2 , (2) .2 + 3.1 ) 
 = ( 2  6 ,  4 + 3 ) 
 = (  8 ,  1 ) 
 
T
ien
e 
Elemento neutro, Inverso multiplicativo, 
Propiedades: Asociativa, Conmutativa, 
Distributiva con respecto a la suma 
 
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6 
Inverso multiplicativo 
  z  C  z  ( 0 , 0 ),  z
1 
  z . z
1
 = u 
Para z = ( a , b ), el inverso multiplicativo es z
1
 = 







 2222 ba
b
,
ba
a
 = 
2
z
z
 
Ejemplo: 
Para z = ( 2 , 3 )  z1
1
 = 















13
3
,
13
2
94
3
,
94
2
 
Verificación: 
z . z
1
 = ( 2 , 3 ) . 






13
3
,
13
2
 
 = 






























13
3
.3
13
2
)2(,
13
3
3
13
2
).2( = ( 1 , 0 ) 
 
El producto de números complejos cumple con las propiedades: 
Asociativa: ( z1 . z2 ) . z3 = z1 . ( z2 . z3 ) 
Conmutativa: z1 . z2 = z2 . z1 
Distributiva con respecto a la suma: ( z1 + z2 ) . z3 = z1 . z3 + z2 . z3 
 
 
z1 : z2 = z1 . ( z2 )
-1
 = ( a , b ) , 
 para z2  ( 0 , 0 ) 
 
Cociente 
Ejemplo 
z1 : z2 = (2 , 3 ) : ( 1 , 2 ) = (2 , 3 ). 
 = (2 , 3 ) . = 
 = 
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7 
 
3.- Representación binómica 
3.1.- Unidad imaginaria 
El complejo imaginario, de componente imaginaria igual a 1, se denomina unidad imaginaria y 
se denota por i, entonces: i = ( 0 , 1 ) 
 
3.2.- Potencias sucesivas de i 
 
 Análogamente 
i 
0
 = 1 i 
4
 = 1 
 
i 
1
 = i 
 
i 
5
 = i 
 
i 
2
 = 1 
Demostración 
(0,1). (0,1) = ( 1 , 0 ) = 1 
 
i 
6
 =  1 
 
i 
3
 = i
2
.i = (1) . i =  i 
 
i 
7
 =  i 
 
 
Ejemplo: i 
23
 = i 
3
 =  i 
 
 
 
3.3.- Forma binómica 
 El número complejo z = ( a , b ), se expresa en forma binómica como z = a + b i 
 Por ejemplo: Si z1 = 1 + 3i y z2 = 2 + 4i, hallar: 
 a) z1 + z2 = ( 1 + 3i ) + ( 2 + 4 i ) =  1 + 7 i 
 
 b) z1  z2 = z1 + ( z2 ) = ( 1 + 3 i ) + ( 2  4 i ) = 3  i 
 
 c) z1 . z2 = ( 1 + 3 i ) . ( 2 + 4 i ) =  2 – 6 i + 4 i + 12 i
2 
 
 =  2 – 6 i + 4 i + 12 (1)
 
 
=  14 – 2i 
 
 d) z1 : z2 = 
 i
2
1
2
1
20
i1010
4)2(
12i4i62
)i42()i42(
)i42()i31(
i42
i31
z
z
22
2
1 










 
23 4 
 - 3 - 5 
 exponente 
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8 
4.- Módulo de un complejo 
 4.1.- Dado el complejo: z = ( a , b ) 
Definición 
El módulo de un complejo z es la raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de las partes 
real e imaginaria. Es la distancia del punto correspondiente, al origen. 
 
 
 
 
Para el caso del complejo ( 0 , 0 ), el módulo es nulo. 
 
4.2.- Ejemplos 
 i) Si z1 = ( 3 , 2 )   z1  = 1323
22  
 Si z2 = ( 2 , 4 )   z 2 = 52204)2(
22  
 
 ii) Sea z = a + b i el módulo de z es: 22 baz  
 Si z =  2 + 3 i  133)2(z 22  
 
5.- Forma Polar o Trigonométrica 
5.1.- Coordenadas polares 
Un sistema de coordenadas polares queda caracterizado por: una semirrecta OX de origen O, lla-
mada eje polar y el origen O, llamado polo; una unidad de medida y un sentido de giros en el 
plano, considerando sentido positivo al movimiento contrario al de las agujas del reloj. 
5.2.- Forma polar o trigonométrica 
Un número complejo z = a + bi queda representado por el módulo o radio vector  =  z  y por 
el argumento , ángulo de giro del eje polar OX alrededor del polo O, en sentido positivo, o 
cualquiera de los congruentes  dado por  + 2k, con k  Z . 
Notación 
  z  = 22 ba  
R 
R a 
b 
Z=(a,b) 
 z  
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Recordar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2.1.- Forma cartesiana a forma polar 
Dados los complejos en forma cartesiana, los escribiremos en forma polar o trigonométrica. Para 
ello calcularemos el radio vector o módulo y el argumento para cada complejo dado. 
 
Forma cartesiana Módulo  Argumento  Forma polar o trigonométricaz = ( 3 ,  3 )  =  22 33  
 = 3212  
  IV C 
 = arc tg 
3
3
 
 = 330º 
z= 32 (cos 330º + i sen 330º) 
z= 32 330º 
Para z = a + bi 
 : radio vector 
  0 
22 bazρ  
 : argumento 
a
b
tag  
con 0    2 , argumento principal 
Ángulo Seno Coseno Tangente 
0° 0 1 0 
30° 1
2
 3
2
 
 3
3
 
45° 2
2
 
 2
2
 
1 
60° 3
2
 
1
2
 3 
90° 1 0  
R 
R a 
b 
Z 
 
 
Fórmulas de pasaje de coordenadas 
polares a cartesiana 
 
a =  cos  ; b =  sen  
Forma polar o trigonométrica: z =  ( cos  + i sen  ) o en forma abreviada z =   
 
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Forma cartesiana Módulo  Argumento  Forma polar o trigonométrica 
z = ( 4 , 0 )  =  2)4( 4  = 180º z = 4 (cos 180º + i sen 180º) 
z = 4180º 
z = ( 0 , 2 )  = 22 2  = 90º z = 2 (cos 90º + i sen 90º) 
z = 290º 
z = (3 ,  3 ) 
 
 
 = 22 )3()3(  
 = 2318  
  III C 
 = arc tg 
3
3


 
 = 225º 
z = 23 ( cos 225º + i sen225º) 
z = 23 225º 
 
5.2.2.- Forma polar a forma binómica 
 Dados los complejos z1 y z2 en forma polar, expresarlos en forma binómica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2.3.- Igualdad de números complejos expresados en forma polar 
 Dados dos complejos en forma polar: 
 z =  ( cos  + i sen  ) y z’ = ’ ( cos ’ + i sen ’ ) , 
 Diremos que z = z’  {
 = ’
’ =  + 2k con k  Z 
 
 Por ejemplo: Si z = 4 ( cos 30º + i sen 30º ) y z’ = 4 ( cos 390º + i sen 390º ) 
  z = z’ porque  = ’ = 4  ’ =  + 2k para k = 1 
 390º = 30º + 360º 
 
6.- Complejos conjugados 
6.1.- Definición: Dos números complejos z , z se llaman conjugados cuando difieren sola-
mente en el signo de la parte imaginaria. 
Forma Polar Forma Binómica 
 z1 = 2 ( cos  + i sen  ) 
 
 z1 = 2 ( 1 + i.0 ) 
 z1 = 2 
 
z2 = 4 (cos 135º + i sen 135º ) 
 
 z2 = 4 








2
2
2
2
 
z2 = 2222  
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11 
 
 Si z = (a , b ) , entonces z = ( a , b ) 
 Entonces: Re(z) = Re( z )  Im (z) = Im ( z ) 
Gráficamente, dos complejos conjugados z = (a , b ) y z = ( a , b ) , están representados 
por dos vectores o puntos simétricos respecto del eje real; por lo tanto es evidente que los módu-
los de z y z son iguales, mientras que si el argumento de z es  , el de z es  ó 2 
 
 
 
 
 
 
 
6.2.- En forma binómica, el complejo conjugado de z = a + b i es z = a  b i 
 Ejemplos: a) z = 5 + 6 i el complejo conjugado es z = 5  6 i 
 b) z =  2  3 i el complejo conjugado es z =  2 + 3 i 
 c) z = 1  i el complejo conjugado es z = 1 + i 
Se verifica que: z . z = 
2
z 
Pues: z . z = ( a + b i ) . ( a  b i ) = a
2
 + b
2
 
Ejemplo: ( 2  3 i ) . ( 2 + 3 i ) = 4 + 9 = 13 
 
6.3.- En coordenadas polares: el complejo conjugado de z =   es z =    
 Se deduce que: z =    z =  2    =    
 Ejemplos: z = 2 30º el complejo conjugado es z = 2 30º 
6.4.- Propiedades de la conjugación 
1. zz  
 En efecto zbababaz  ),(),(),( 
2. zkzk  con k  R 
   zk)b,a(k)bk,ak(bk,akzk  
 =(a , -b) 
a 
b 
b 
z =(a ,b) 
Re(z) 
Im(z) 
 
 
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12 
3. 2121 zzzz  
4. 2121 z.zz.z  
5. Si z = z  Im (z) = 0 
 Si ( a , b ) = ( a , b )  





bb
aa
 
 
7.- Operaciones en forma polar o trigonométrica 
7.1.- Multiplicación 
 7.1.1.- Definición 
 
 
 
 
 
“El producto de dos números complejos dados en forma polar es otro número complejo que tiene 
por módulo el producto de los módulos y por argumento a la suma de los argumentos de los 
complejos dados” 
 
7.1.2.- Interpretación geométrica del producto de dos complejos en forma polar 
Sean z1 = 1
 
1 y z2 = 2
 
2 y los representamos por 1OZ y 2OZ según U = ( 1 , 0 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La justificación proviene de la semejanza de los triángulos: OUZ1  OZ2 Z 
 
 
OZ
OU 1
2



  
OZ
1 1
2



  OZ = 1 2 
 
 
Dados: z1 = 1 ( cos 1 + i sen 1 ) y z2 = 2 ( cos 2 + i sen 2 ) 
z1 . z2 = 1. 2 [ cos ( 1+ 2 ) + i sen ( 1 + 2 ) ] 
En forma reducida z1 . z2 = (1. 2) 1+ 2 
Z 
1 
1 2
``
 
 2
 
 
1
 
 
 
12
 
 
 
o 
Z1 
Z2 
 
x 
y 
U 
OZ = z1.z2 =  
2121 
 
 
 
 b = 0 
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13 
 
7.1.3.- Ejemplos 
a) Si z1 = 360° y z2 = 5
 
225°  z1 . z2 = (3.5) 60° + 225° = 15 285° 
b) Si z3 = 8 250° y z4 = 
1
2
 
130°  z3 . z4 = (8. 
1
2
) 250° + 130° = 4 380° = 4 20° 
 
 7.2.- Cociente 
7.2.1.- Definición: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 “El cociente de dos números complejos dados en forma polar, siendo el segundo distinto de 0, es 
otro número complejo, que tiene por módulo el cociente de los módulos, y por argumento la dife-
rencia entre el argumento del dividendo y del divisor” 
 
7.2.2.- Ejemplos 
 
a) Si z1 = 360° y z2 = 5
 
225°  
𝑧1
𝑧2
 
 = z1 : z2 = (
3
5
) (60°  225°) = 
3
5
 
 (  165°) = 
3
5
 
 195° 
b) Si z3 = 8 250° y z4 = 
1
2
 
130°  
𝑧3
𝑧4
 
 = z3 : z4 = ( 8: 
1
2
 ) (250°  130°) = 16 120° 
 
7.3.- Potenciación de exponente natural 
7.3.1.- La fórmula de Moivre permite calcular trigonométricamente las potencias de exponente 
natural de los números complejos. 
 
 
 
 
 
 
Dados: z1 = 1 ( cos 1 + i sen 1 ) y z2 = 2 ( cos 2 + i sen 2 ) 
z1 : z2 =  )(seni)(cos
z
z
2121
2
1
2
1 


 para z2  0 
En forma reducida z1 : z2 = 
21
2
ρ
1
ρ
2
z
1
z









 
 
 
Dado: z=  ( cos  + i sen  ) 
Fórmula de Moivre: z
n
 = 
n
 ( cos n  + i sen n  ) 
En forma reducida: z
n
 = 
n
 n  
 
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14 
“La potencia n-sima de un número complejo dado en forma polar, es otro complejo que tiene por 
módulo la potencia n-esima de su módulo y por argumento el producto de su argumento por n” 
La fórmula de Moivre vale para todo exponente entero.
2
 
 
7.3.2.- Ejemplos 
 a) Si z = 280°  z
6
 = ( 280°)
6
 = 2
6
 6x80° = 64 480° = 64 120° 
 b) Si z = 5 20°  z
4
 = (5 20° )
4 
 = 5
4
 (4) 20°
 
=
 (
1
625
)
−80°
 = 
1
625280°
 
 
7.4.- Radicación 
7.4.1.- Definición 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.4.2.- Ejemplo 
 Hallar √−4 + 4 3𝑖
3
 
 En primer lugar z = −4 + 4 3𝑖 expresaremos en forma polar. 
Cálculo de  Cálculo de  
 = √(−4)2 + (4 3)
2
 
 = 8 
 
  al II cuadrante, porque la componente real 
es negativa y la componente imaginaria 
 = arc tg de 
4 3
−4
 = arc tg de  3 = 120° 
z = 8 120° 
 
 
2
 Sagastume Berra-Fernandez. Álgebra y Cálculo Numérico 
Dado: z =  ( cos  + i sen  ) 
La k
n zz  siendo 
Zkcon;nk0
n
k2
seni
n
k2
cosz nk






 



 
 En forma reducida: 
n
k2
n
kz  
Gráficamente: Las n raíces de z  0, se identifican con los vértices de un polígono 
regular de n lados inscripto en una circunferencia de radio igual a n  . 
 
 
 
 
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15 
 
Tenemos que calcular √8120°
3
 
Sabemos que son tres raíces Zk, todas ellas con el mismo módulo pero distinto argumento: 
 
{
módulo: |z| = 8
3
= 2 
argumentos: 
i
=
120° + 360°k
3
 , con k = 0,1,2 
 
 
Las tres raíces solución son: 
Para k = 0  Z0 = 2 40° 
Para k = 1  Z1 = 2 160° 
Para k = 2  Z2 = 2 280° 
Gráficamente: z0, z1, z2 son los vértices del triángulo equilátero inscripto en una circunferencia 
de radio igual a 8
3
 = 2 y los argumentos de 40º, 160º y 280º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.5.- Otros ejemplos 
Dados: z1 = 1 – i 3 y z2 = i
2
33
2
3
 
 Hallar en forma polar: i) z1 . z2 ; ii) z1 : z2 ; iii) z1 
5 
 ; iv) 4 2z 
 Solución: 
a) En primer lugar expresaremos z1 y z2 en forma polar 
1 40º 
Z0 
Z1 
Z2 
2 
 
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16 
 
 
b) Calcular las operaciones solicitadas 
i) z1 . z2 = (1. 2) 1+ 2 
 z1 . z2 = 2300°. 3240° = ( 2 . 3) 300º + 240º = 6 540º = 6 180º (en forma reducida) 
 Si expresamos en forma binómica 
 z1 . z2 = 6 ( cos 180º + i sen 180º ) 
 = 6 ( 1 + 0 i ) =  6 + 0i = 6 
Para z1 = 1 – i 3 
Cálculo de 1 
 
24)3(1ρ 221  
Cálculo de 1 
 1  al IV cuadrante (la componente real es 
positiva y la componente imaginaria negativa) 
º3003tagarc
3
1
3-
tag
1
1


 
En forma polar o trigonométrica: z1 = 2 ( cos 300º + i sen 300º ) 
En forma reducida: z1 = 2 300 
Para z2 = i
2
33
2
3
 
Cálculo de 2 
39
4
27
4
9
2
33
-
2
3
-ρ
2
2
2
















 
 
Cálculo de 2 
2  al III cuadrante(la componente real y la 
componente imaginaria son negativas) 
º2403tagarc
3
2
3
-
2
33
-
tag
2
2


 
En forma polar o trigonométrica: z2 = 3 ( cos 240º + i sen 240º ) 
En forma reducida : z2 = 3 240º 
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17 
 
ii) z1 : z2 = 
21
2
ρ
1
ρ
2
z
1
z









 
 z1 : z2 = 2300° : 3240° = 
2300°
3240°
 
60º3
2













 )240º300º(3
2
 
 
 Si expresamos en forma binómica 
 z1 : z2 =  60ºseni60ºcos
3
2
 = 
3
2
 i
3
3
3
1










2
3
i
2
1
 
 
iii) zn = n ( cos n  + i sen n  ) = n n  
 z1 
5 
 = (2300 ) 
5
 = 2
5
 5.300° = 32 1500° = 32 60° 
 
Si expresamos en forma binómica, tenemos: 
 z1 
5 
 = 2 
5
 ( cos 5 .300º + i sen 5 . 300º ) = 32 ( cos 1500º + i sen 1500º ) 
 = 32 ( cos 60º + i sen 60º ) = 32 i31616
2
3
i
2
1









 
 
iv) La 4 2z = 
4
2
33
2
3
 = 4 2403 , 
 
Tiene 4 raíces Zk, de igual módulo y diferentes argumentos: 
{
módulo: |z| = 3
4
 
 argumentos: 
i
=
240° + 360°k
4
 , con k = 0,1,2,3 
 
 
 
 Para k = 0 tenemos: z0 = 3
4
 60° 
Para k = 1 tenemos: z1 = 3
4
 150° 
Para k = 2 tenemos: z0 = 3
4
 240° 
Para k = 3 tenemos: z0 = 3
4
 330° 
 
 
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18 
Si trabajamos en forma trigonométrica y binómica: 
Para k = 0 ;  º60seniº60cos3z 40  = i
2
27
2
3
i
2
3
2
1
3
44
4 








 
Para k = 1 ;  º150seniº150cos3z 41  = i
2
3
2
27
i
2
1
2
3
3
44
4 








 
Para k = 2 ;  º240seniº240cos3z 42  = i
2
27
2
3
i
2
3
2
1
3
44
4 








 
Para k = 3 ;  º330seniº330cos3z 43  = i
2
3
2
27
i
2
1
2
3
3
44
4 








 
 
Gráficamente: Las n raíces de z  0, se identifican con los vértices de un polígono regular de n 
lados inscripto en una circunferencia de radio igual a n  . 
 
Particularmente para el ejercicio considerado, son los vértices de un cuadrado inscripto en una 
circunferencia de radio igual a 4 3 = 1,316 y los argumentos de 60º, 150º, 240º y 330º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
60º 
Z0 
Z1 
Z2 
Z3 
 
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19 
 
8.- Raíces cuadradas en forma binómica
3
 
 8.1.- Fórmula 
 Para z = a + bi ;  bia x + yi 
 Con x = 
2
baa 22 
 , y = 
2
baa 22 
 
 Es decir:  bia
2
baa 22 

2
baa
i
22 
 
 Sobre los signos  : a) signos iguales ( + + o   ), si b es positivo 
 b) signos distintos ( +  o  + ), si b es negativo 
 
 8.2.- Ejemplos 
 a)  4i3 x + yi 
 x = 2
2
53
2
1693




 
 y = 1
2
53
2
1693




 
 
b)  i247 x + yi 
 
 x = 4
2
257
2
576497




 
 y = 3
2
257
2
576497




 
 
9.- Ejercicios resueltos 
9.1.- Representar gráficamente los siguientes conjuntos: 
i.  2)z( Re1Cz/z  ii.  1)z( Img)z( ReCz/z  
 x + y = 1 
 
3
 Sagastume Berra-Fernandez. Álgebra y Cálculo Numérico 
z0 = 2  i 
z1 =  2 + i 
z0 = 4 + 3 i 
z1 =  4  3 i 
Como b es negativo, 
 tenemos: 
Como b es positivo, 
 tenemos: 
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20 
 
 
 
 
 
 
9.2.-Hallar el valor de z que satisface la siguiente igualdad: 
 )i1(i
i1
z)i2(
 


 
 Solución: ( 2 + i ) + z = ( i  1 ) ( 1 – i ) 
 z = i  1 – i 
2
 + i – 2 – i 
 z = i  1 + 1 + i – 2 – i 
 z = – 2 + i 
 
9.3.- Calcular la siguiente expresión 










10
i1
i 31
 
Solución: se encuentra la potencia utilizando la Fórmula de Moivre, para ello 
a) Se expresa los complejos dados, en forma polar 
Para i 31  , se tiene:  =  31 2 ;   IC ,  = arc tg 
1
3
 = 60º 
  i 31  = 2 60º 
Para 1 – i , se tiene:  = 2 ;   IVC ,  = arc tg ( 1 ) = 315º 
 1 – i = 2 315º 
 
b) Se realiza la división de los complejos en forma polar : 
 2 60º : 2 315º = º105º255º315º60 22
2
2
  
 
c) Se eleva el resultado anterior a la décima potencia 
    º3305 º1050º10510
1010
º105 32222  x 
x=2 x= 1 
1 
1 
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21 
 
Respuesta: 










10
i1
i 31
 32 330º = 32 ( cos 330º + i sen 330º ) = 32 








2
1
i
2
3
 
 = 16 3  16i 
 
9.4.- Resolver la ecuación: ( 1 + i ) 
4 
 z
3
 – 3 = 0 
 a) Se despeja z
3 
, y se tiene: z
3
 = 3 : ( 1 + i ) 
4 
 
 z
3
 = 3 : [ ( 1 + i )
2
 ( 1 + i )
2 
 ] 
 z
3
 = 3 : [2i . 2i ] 
 z
3
 = 3 : (– 4 ) 
 z
3
 = 
4
3
 
 3
4
3
z  
b) Se expresa el complejo z = 
4
3
 , en forma polar 
 
  = 
4
3
4
3
2






 y  = 180º 
  z = 
4
3
 180º 
 
c) Se calculan las tres raíces de z 
 z = 3
º1804
3
 ; z k = 
3
k2
3
º180
3
4
3


 = kº120º603
4
3
 con 0  k  3 
 Para k = 0 ; z 0 = º603
4
3
 ; z 0 = 3
4
3
 (cos 60º + i sen 60º ) 
Para k = 1 ; z 1 = º120º603
4
3
 = º1803
4
3
 ; z 1 = 3
4
3
 (cos 180º + i sen 180º ) 
Para k = 2 ; z 2 = º240º603
4
3
 = º3003
4
3
 ; z 2 = 3
4
3
 (cos 300º + i sen 300º ) 
 
 
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22 
9.5.- Determinar los números reales x e y de modo tal que: 
 ( 1 – 2 i ) x + ( 3 – 5 i ) y + 1 = 1 + 3i 
 Solución: 
 Se resuelven los productos indicados y se cancelan términos 
 x – 2 x i + 3 y – 5 y i = 3 i 
 Se agrupan reales entre sí e imaginarios entre sí, en el 1º miembro de a igualdad 
 ( x + 3 y ) + ( – 2 x – 5 y ) i = 0 + 3 i 
 Se igualan coeficientes reales y coeficientes imaginarios: 





3y5x2
0y3x
 
 Se resuelve el sistema: x = –9  y = 3 
 
9.6.- Encontrar los números complejos que cumplan las siguientes condiciones: 
Su producto sea 






12
17
sen
12
17
cos
2
3
, el cociente de sus módulos es 6 y la diferencia de 
sus argumentos es 
12
1
 
 
Solución: 
Si los complejos buscados son: z1 = 11 y z2 = 22 
 Si z1 . z2 = 






12
17
sen
12
17
cos
2
3
  1 . 2 = 
2
3
  ( 1 + 2 ) = π
12
17
 
 
Además sabemos que: 
2
1
ρ
ρ
 = 6  ( 1  2 ) = 
12
1
 
 De: 1 . 2 = 
2
3
  
2
1
ρ
ρ
 = 6 , tenemos que 1 = 
2
1
 y 2 = 3 
De: 1 + 2 = π
12
17
  1  2 = 
12
1
 , tenemos 1 = π
4
3
 = 135º  2 = π
3
2
 = 120º 
Respuesta: los complejos buscados son: 1 = 
º1352
1
 y 2 = 3120º 
 
 
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23 
 
10.- Ejercicios propuestos a modo de autoevaluación 
10.1.- a) Un cuadrado tiene sus vértices por encima del eje real. Si dos vértices consecutivos del 
cuadrado son z i1 2  y z i2 5 3  , halla los otros dos vértices. 
 
b) Un triángulo equilátero tiene dos de sus vértices en (0,0) y (4,1). Halla las coordenadas del 
tercer vértice sabiendo que está en el primer cuadrante. 
 
10.2.- Decir que condición debe cumplir un número complejo z para que el punto que lo repre-
senta pertenezca: 
i) al cuarto cuadrante 
ii) al eje imaginario 
iii) a la bisectriz del II y IV cuadrante 
 
10.3.- Una raíz cuarta de un número complejo es  1 i . Calcula dicho número y sus restantes 
raíces cuartas. 
10.4.- Halla todos los números complejos de módulounidad tales que sus raíces cuartas están 
situadas en las bisectrices de los ejes real e imaginario. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.- Bibliografía básica consultada 
Di Caro H. Tomo I . Álgebra y Elementos de Geometría Analítica 
Rojo, A. Álgebra I .Tomo I. Edit. El Ateneo 
Sagastume Berra, A. Fernández, Germán. Álgebra y Cálculo Numérico. Editorial Kapelusz 
10.5.- Seleccionar según considere que el enunciado es verdadero o falso , mediante X 
 Enunciado Verdadero Falso 
1 (a + bi ) . ( a –bi ) es un número imaginario puro. 
2 -1 + i = 2 135° 
3 El número 4 189° es en forma cartesiana ( -4 , 0 ) 
4 260°
3120°
= (
2
3
)
300°
 
5 Las soluciones de la ecuación z 
4
 + 2 = 0 son cuatro, y 
todas ellas tienen de módulo 2 
 
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24 
 
POLINOMIOS Y ECUACIONES ALGEBRAICAS 
Contenidos 
Se define polinomio en una indeterminada y también su grado. Éste permitirá particularizar dife-
rentes polinomios: nulo, iguales, ordenado, completo. Se realizará una breve revisión de opera-
ciones con polinomios; particularmente se detallará el concepto de Divisibilidad y máximo co-
mún divisor y su cálculo a través del Algoritmo de Euclides. 
Se plantean ecuaciones algebraicas, y admitido el Teorema Fundamental del Álgebra, la descom-
posición factorial de las mismas; raíces múltiples y la relación entre coeficientes y raíces de una 
ecuación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Objetivos 
- Hallar el máximo común divisor de polinomios aplicando el algoritmo de Euclides. 
- Desarrollar habilidades en el manejo de los lenguajes coloquial y simbólico a través del plan-
teo y resolución de situaciones problémicas relacionadas a polinomios y ecuaciones algebrai-
cas. 
- Reconocer la importancia de la relación entre raíces y coeficientes de una ecuación para la 
solución y reconstrucción de ecuaciones. 
Polinomio 
Divisibilidad 
m.c.d. 
 
Algoritmo de Euclides 
y 
y su cálculo 
por el 
Se define 
es toda función P de 
la indeterminada x 
de la forma P(x) = a0 x
n
 + a1 x
n-1
 + a2 x
n-2
 + ... + an 
 = 0 
si 
Se obtiene 
 una 
Ecuación algebraica 
de grado n, que tiene n 
raíces 
 
Raíces múltiples, 
relación entre coefi-
cientes y raíces. 
En la que se 
estudia 
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25 
 
1.- Introducción 
Una expresión algebraica es una combinación de números y letras, vinculados entre sí por las 
operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. 
Las expresiones algebraicas se clasifican en racionales e irracionales. En las primeras no inter-
viene la radicación, solo las otras cinco operaciones. Las racionales pueden ser enteras o fraccio-
narias, según que en ellas intervengan solamente sumas, restas y multiplicaciones o bien inter-
venga además la división. 
 3 + x x  2x3 es irracional 
 2x
2 
+ 
2
1
x
4
  3 es racional entera 
 2x
5
3
1x
3x2



 es racional fraccionaria 
Una expresión algebraica racional entera se llama también, en general, polinomio. 
 
2.- Polinomio 
Polinomio es una suma algebraica de términos, cada uno de los cuales consta de un coeficiente 
numérico o constante, multiplicado por una cierta potencia de la variable x. 
 P(x) = a 0 x 
n
 + a 1 x 
n-1
 + a 2 x 
n-2
 + ... + a n = 


n
0i
in
i xa 
La constante ai , se llama coeficiente. Cuando todos los coeficientes pertenecen a un cierto campo 
numérico C, se dice que P(x) es un polinomio sobre C. 
Ejemplos: 
1) P(x) = 3x4 + 2x3 – x 2 – 5x + 1 
2) Q(x) = 
2
1
x
3
 + 2i x
2
 – 3 
Los coeficientes de P(x) en 1)  a los R, por lo tanto P(x) es un polinomio sobre el conjunto de 
los Reales; los de Q(x) en 2)  a los Complejos, por lo tanto Q(x) es un polinomio sobre el con-
junto de los Complejos. 
Un polinomio de un término es un monomio. 
 Ejemplos: 3 x
2
 ; 2 y
5
 ;  5 n
3
 
Un polinomio de dos términos es un binomio. 
Ejemplos: 2x
3
 + 5 x ;  3y
7
 + . y
3
 
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26 
 
Un polinomio de tres términos es un trinomio. 
Ejemplo: 3x
2
  x + 2 
 
2.1.- Grado de un polinomio 
El grado de un polinomio está dado por el grado del monomio de mayor grado. El polinomio nulo 
no tiene grado. El término a0 x 
n
, que es el que contiene la potencia más alta de x, se llama tér-
mino principal, y a0 coeficiente principal del polinomio. Si el coeficiente principal es 1, entonces 
el polinomio se dice mónico. 
 
2.2.- Polinomios iguales 
Polinomios iguales son aquellos polinomios que tienen los coeficientes de los términos semejan-
tes iguales: 
Dados: P(x) = 


n
0i
in
i xa y Q(x) = 


n
0i
in
i xb ; 
 P(x) = Q(x)   i  ai = bi 
Ejemplo: 
Dados P(x)= 5x
2
 – 3 x + 6 y Q(x)= (a  2)x
2
 + (5 + b)x  c 
Hallar a, b, y c , números enteros para que P(x) = Q(x) 
Si P(x) = Q(x)  {
5 = a − 2
−3 = 5 + b
6 = −c 
  {
a = 7
b = −8
c = −6 
 
 
2.3.- Polinomio ordenado, polinomio completo 
Polinomio ordenado: es el polinomio cuyos términos están escritos de modo tal, que las potencias 
de la variable x quedan ordenadas en forma creciente o decreciente. 
Polinomio completo: es el polinomio en el que aparecen todas las potencias de x con coeficientes 
distintos de 0. 
Ejemplos: 
P(x) = 3x
4
 + 2x
3
 – x 
2
 – 5x + 1, es un polinomio de cuarto grado, completo y ordenado en 
forma decreciente 
Q(x) = 
2
1
x
3
 + 2i x
2
 – 3 , es de tercer grado, incompleto y ordenado en forma decreciente. 
 
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27 
 
3.- Operaciones con polinomios 
3.1.- Suma 
Dados dos polinomios P(x) y Q(x) , los coeficientes del polinomio suma se obtendrán sumando 
los de los términos del mismo orden de P y Q. 
 
Calcular P(x) + Q(x) ; siendo P(x) = 3 x
3
 – 2 x + 
2
1
 
 y Q(x) = 1x
5
1
xx
3
1 24  
 P(x) + Q(x) = 4x
3
1
 + 3 x
3 
 – x
2
 x
5
9
 – 
2
1
 
 
La adición de polinomios goza de las propiedades: 
- Ley de cierre. La sumade dos polinomios es otro polinomio. 
- Asociativa: ( P(x) + Q(x) ) + R(x) = P(x) + ( Q(x) + R(x) ) 
- El polinomio nulo, que se designa con 0, es el elemento neutro de la adición de polino-
mios. Para cualquier polinomio  P(x) + 0 = 0 + P(x) = P(x) 
- Todo polinomio P(x) tiene su opuesto – P(x) , siendo los coeficiente de – P(x) los opues-
tos de los coeficientes de P(x), tal que: P(x) + ( P(x)) = ( P(x)) + P(x) = 0 
- Conmutativa: P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x) 
 
3.2.- Multiplicación 
Con respecto al producto de polinomios, una vez ordenados se multiplican los términos de uno de 
ellos por cada uno de los términos del otro, y luego se suman los términos semejantes. 
Calcular P(x) . Q(x) , siendo: 
 
 P(x) = 2 x
4
 – 3 x
2
 + x – 5 
 y Q(x) = 4 x
2
 – x + 1 
 
 Para realizar el producto se dispone en forma práctica, como sigue: 
 
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 P(x) = 2 x
4
 – 3 x
2
 + x – 5 
 Q(x) = 4 x
2
 – x + 1 
 8 x
6
 – 1 2 x
4
 + 4 x
3
 – 20 x
2
 
 – 2 x
5
 + 3 x
3
 – x
2
 + 5x 
 2 x
4
 – 3 x
2
 + x – 5 
 P(x) . Q(x) = 8 x
6
 – 2 x
5 
 – 1 0 x
4
 + 7 x
3
 – 24 x
2
 + 6 x – 5 
 
La multiplicación de polinomios goza de las siguientes propiedades: 
- Ley de cierre. El producto de dos polinomios es otro polinomio. 
- Asociativa: ( P(x) . Q(x) ) . R(x) = P(x) . ( Q(x) . R(x) ) 
- l es el elemento neutro de la multiplicación de polinomios. 
 Para cualquier polinomio  1. P(x) = P(x).1 = P(x) 
- Conmutativa: P(x) . Q(x) = Q(x) . P(x) 
- Distributiva con respecto a la adición: P(x).(Q(x) + R(x)) = P(x) . Q(x) + P(x) . R(x) 
 
3.3.-Productos especiales (Expresiones analíticas y geométricas) 
1. Cuadrado de un binomio: ( x + a ) 2 
 
 
 ( x + a ) 
2 
 = x
2
 + 2ax + a
2
 
 
 
 
 
2. Cubo de un binomio: ( x + a ) 3 
 ( x + a ) 
3 
 = x
3
 + 3 x
2 
a + 3 x a
2
 + a
3
 
 
3. Producto de la suma por la diferencia de dos términos: ( x + a ) . ( x  a ) 
 
 
( x + a ) . ( x  a ) = x
2 
  a
2
 
 
 
 
x a 
x
2 
a.x 
a.x 
 a
2 
x 
x + a 
x
 –
 a
 
x 
a
2 
a 
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3.4.- División 
Dados dos polinomios P(x) y D(x) , llamados dividendo y divisor respectivamente, éste últi-
mo no nulo; se trata de hallar dos polinomios Q(x) y R(x) , llamados cociente y resto, tales que 
se cumpla la identidad: 
 P (x) = D(x) . Q(x) + R(x) 
 y que además, grado de R(x)  grado de D(x). 
 
Dados los polinomios 
 P(x) = – 10 x + 2 x
4
 + 1 – 5 x
3
 
 y D(x) = – 5 x + 5 + 2 x
2
 
Prácticamente, la división se dispone del siguiente modo: 
 2 x
4
 – 5 x
3
 + 0 x
2
 – 10 x + 1 2 x
2
 – 5 x + 5 
 – 2 x
4
 + 5 x
3
 – 5 x
2
 
2
5
x2  
 – 5 x
2
 – 10 x + 1 
 5 x
2
 – 
2
25
 x + 
2
25
 
 
2
45
 x + 
2
27
 
 Luego: El cociente Q(x) es 
2
5
x2  
 El resto R(x) es 
2
45
 x + 
2
27
 
 
3.5.- Casos especiales 
Regla de Ruffini 
La Regla de Ruffini es una regla práctica que permite hallar los coeficientes del cociente y el res-
to de una división de un polinomio P(x), por otro de la forma x  a. 
 
Por ejemplo: hallar el cociente y el resto de ( x
2 
  2 x
4
 + 2 ) : ( x + 2 ) 
Se ordena y se completa el polinomio dividendo. 
 ( 2 x
4
 + 0 x
3
 + x
2 
 + 0 x + 2 ) : ( x + 2 ) 
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  2 0 1 0 2 
 
  2 4  8 14  28 
  2 4  7 14  26 R 
 
 
 
Teorema del resto: “ El resto de la división de un polinomio entero en x , por el binomio 
 ( x – a ) es el valor que toma dicho polinomio para x = a” . 
Para el ejemplo anterior, el resto se encuentra directamente: 
R = ( 2 )( 2 ) 
4
 + ( 2 ) 
2 
 + 2 =  3 2 + 4 + 2 =  2 6 
4.- Divisibilidad 
Dados los polinomios F(x) y f(x), no nulos, se dice que f(x) divide a F(x), si existe un polinomio 
 (x) tal que satisface la identidad: F(x) = f(x) .  (x). 
 
 4.1.- Propiedades 
1) Si f(x), divide a F(x)  f(x) divide a F(x). (x), cualquiera sea  (x) 
2) Si f(x) divide a F(x) y f(x) divide a (x) ,  f(x) divide a F(x) + (x) 
3) Si el dividendo y divisor se multiplican por un mismo polinomio no nulo, entonces el co-
ciente no varía, pero el resto queda multiplicado por dicho polinomio 
 
Nota: En la divisibilidad algebraica las constantes desempeñan el mismo papel que la unidad en 
la divisibilidad numérica ya que cualquier polinomio entero es divisible por toda constante no 
nula. 
 
 
4.2.- Máximo común divisor 
Se llama m.c.d. de los polinomios A(x) y B(x), diferentes del polinomio nulo, al polinomio D(x) 
que es divisor de ambos y que a la vez es divisible por cualquier otro divisor común de estos po-
linomios. 
C(x) =  2 x
3
 + 4 x
2
  7 x 14 R =  2 6 
Corolario: Todo polinomio entero que no tenga otros divisores que constantes cualesquiera, es 
primo. 
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31 
 
Si los polinomios están factoreados en sus factores primos, el m.c.d. es el producto de los factores 
comunes a ambos con el menor exponente. 
En general el problema de descomponer polinomios en sus factores primos es complicado, por lo 
tanto debemos encontrar otro procedimiento: el Algoritmo de Euclides 
 
4.3.- Algoritmo de Euclides 
El m.c.d. de dos polinomios, puede ser calculado por un algoritmo de divisiones sucesivas. 
Teorema: Dados dos polinomios normales A(x) y B(x) , su m.c.d. puede obtenerse así: se efectúa 
la división de A por B, y se obtiene un cociente Q0(x) y un resto R1(x); se efectúa la división de 
B(x) y R1(x) ( si éste no es nulo ), obteniéndose un cociente Q1(x) y un resto R2(x); divídase 
R1(x) en R2(x) (si éste no es nulo ), obteniéndose Q2(x) y un resto R3(x) ; y así sucesivamente, se 
llegará a un resto nulo. Entonces, el resto anterior o sea el último divisor usado, es el m.c.d. ; 
D(x) = ( A(x),B(x)) 
En símbolos: 
 A(x) = Q0 (x) . B(x) + R1(x) 
 B(x) = Q1 (x) . R1(x) + R2(x) 
 R1(x) = Q 2 (x) . R 2 (x) + R 3 (x) 
 ........................................... 
 R n - 3 (x) = Q n - 2 (x) . R n – 2 (x) + R n - 1(x) 
 R n – 2 (x) = Q n – 1 (x) . R n - 1(x) + R n (x) 
 R n – 1 (x) = Q n (x) . R n(x) 
 Donde: grado de R1 < grado B(x) 
 grado de R2 < grado R1 
 grado de R3 < grado R2 
 ------------------------------ 
 grado de R n < grado R n - 1 
 0 = R n +1 (x) 
  R n = D(x) 
 
 
Aplicando el algoritmo de Euclides, las divisiones se disponen así: 
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32 
 
 
En consecuencia: m.c.d. (A, B) = m.c.d.(B, R1) = m.c.d.(R1, R2) = … = m.c.d.(Rn-2, Rn-1) = 
m.c.d.(Rn-1, Rn) = m.c.d.(Rn, 0) = Rn . Siendo Rn el último resto no nulo de las divisiones suce-
sivas. 
Observación: Si R n es una constante, los polinomio A(x) y B(x) son primos entre sí. 
 
Ejemplo: Dados A(x) = x
5
 – 16 x
4
 + 97 x
3
 – 278 x
2
 + 380 x – 200 y 
 B(x) = 5 x
4
 – 64 x
3
 + 291 x
2
 – 556 x + 380, hallar el m.c.d. (A, B) 
 
 x – 16 –5x + 19 
x
5
 – 16 x
4
 + 97 x
3
 – 278 x
2
 + 380 x – 200 5x
4
 – 64 x
3
 + 291 x
2
 – 556 x + 380 – x
3
 + 9 x
2 
 – 24 x + 20 
5x
5
 – 80 x
4
 + 485 x
3
 – 1390 x
2
 + 1900 x – 1000 
 + 64 x
4 
 – 291 x
3
 + 556 x
2 
 – 380 x 
 + 45 x
3
 – 120 x
2 
 + 100 x 
 –19x
3
 + 171 x
2 
 – 456 x + 380 
 
 – 16 x
4
 + 194 x
3
 – 834 x
2 
 + 1520 x – 1000 
 – 80 x
4
 + 970 x
3
 – 4170 x
2 
 + 7600 x – 5000 
 – 1024 x
3
 + 4656 x
2
 – 8896 x + 6080 
– 171 x
2 
 + 456 x – 380 
 0 
 
(1/54) . – 54 x
3
 + 486 x
2 
 – 1296 x + 1080 
 – x
3
 + 9 x
2 
 – 24 x + 20 
 
 
 el m.c.d. (A, B) = – x
3
 + 9 x
2 
 –24 x + 20 
Nota: Como, multiplicar el dividendo por una constante, no produce otra alteración que multipli-
car el resto por dicha constante, se puede multiplicar cualquier dividendo por la constante precisa 
para evitar coeficientes fraccionarios en el cociente. También puede suprimirse cualquier factor 
numérico común a todos los términos de un dividendo. 
 
 Q 0(x) Q 1(x) Q 2(x) ------ Q n-2(x) Q n-1(x) Q n(x) 
A(x) B(x) R 1(x) R 2(x) ------ R n-2(x) R n-1(x) R n(x) 
R 1(x) R 2(x) R 3(x) R 4(x) ------- R n(x) 0 
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33 
 
5.- Ecuaciones 
5.1.- Ecuaciones algebraicas: Se llama ecuación algebraica a una ecuación que se obtiene igua-
lando a cero un polinomio en una variable x. P(x) = 0 
 a 0 x 
n
 + a1 x 
n  1
 + a2 x 
n  2
 + ... + a n = 0 , donde los a i son los coeficientes 
conocidos, que supondremos por lo general reales y en casos especiales complejos. 
Ecuación mónica o normal: una ecuación se llama mónica o normal, si el coeficiente a 0 (del tér-
mino de mayor grado) es =1. 
 
5.2.- Teorema fundamental del Álgebra 
 
 
 
Consideraciones: 
1.- Cualquier valor de x, que anula al polinomio P(x), se llama raíz de la ecuación P(x) = 0. 
2.- Un número a, es raíz de la ecuación P ( x ) = 0 si P ( x ) es divisible por ( x – a ). 
 
Por el Teorema Fundamental del Álgebra y las consideraciones anteriores, es posible demostrar 
la siguiente proposición: 
 
 
 
 
 
5.3.- Raíces múltiples 
Puede ocurrir que varias de estas raíces sean iguales entre sí, en cuyo caso la raíz se llama múlti-
ple. Por ejemplo, si  h raíces = x1, k raíces = x2 y p raíces = x i, 
podemos agrupar los factores iguales y resulta: 
 P(x) = a0 ( x – x1 )
h
 ( x – x2 )
k
 … ( x – x i )
p
 ; con h + k + ... + p = n 
Donde h, k , .. , p son llamados el orden de multiplicidad de las raíces. 
Decimos entonces que: x 1 es raíz múltiple de orden h, 
 x 2 es raíz múltiple de orden k, 
 ---------------------------------- 
 x i es raíz múltiple de orden p 
 
Teorema Fundamental del Álgebra: Toda ecuación algebraica P( x ) = 0 de grado no nulo, 
de coeficientes reales o complejos, tiene al menos una raíz (real o compleja). 
Toda ecuación de grado n (de coeficientes reales o complejos) tiene exactamente n raíces 
(reales o complejas) y su descomposición (en función de sus raíces) es: 
 P ( x ) = a0 ( x – x 1 ) ( x – x 2 ) … ( x – x n ) = 0 
 
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34 
 
5.3.1.- El concepto de raíz múltiple está estrechamente ligado con el concepto de derivada del 
polinomio como lo veremos en el siguiente teorema; que también lo admitiremos sin demostra-
ción. 
 
 
 
 
 
Por ejemplo, P(x) = x
4
 – 7x
3
 +18x
2
 – 20x + 8 , tiene a 2 como raíz múltiple de orden 3. 
Veamos: 
 
 
 
 
 
5.3.2.- Determinación de si un polinomio admite raíces múltiples 
 
 
 
 
 “las raíces de D(x) son las mismas que las de P(x) con su orden de multiplicidad disminuido 
en una unidad, por lo tanto, las raíces simples de P(x) no figurarán en las de D(x).” 
Si el m.c.d. entre P(x) y P ’(x) es independiente de x, o sea, si P (x) y P’ (x) son primos entre 
sí, la ecuación P(x) = 0 carece de raíces múltiples. 
Por ejemplo: 
Sea P(x) = x
4
 – 2 x
3
 + 2x – 1, investigue la existencia de raíces múltiples 
 P’(x) = 4x
3
 – 6 x
2
 + 2 
 D(x) = m.c.d. (P(x), P’(x)) = x2
 – 2x + 1 
Las raíces de D(x) = x
2
 – 2x + 1 = 0 , son las raíces múltiples de P(x). 
 x
2
 – 2x + 1 = 0, tiene x = 1 raíz doble; por lo tanto 1 es raíz múltiple de orden 3 de P(x) 
 
P(x) = x
4
 – 7x
3
 +18x
2
 – 20x + 8 P(2) = 2
4
 – 7.2
3
 +18.2
2
 – 20.2 + 8 = 0 
P’(x) = 4 x
3
 – 21x
2
 +36x – 20 P’(2) = 4. 2
3
 – 21.2
2
 +36.2 – 20 = 0 
P’’(x) = 12 x
2
 – 42x +36 P’’(2) = 12.2
2
 – 42.2 +36 = 0 
P’’’(x) = 24x – 42 P’’’(2) = 24.2 – 42 = 6 ≠ 0 
Teorema: La condición necesaria y suficiente para que un número “a” sea raíz múltiple 
de orden h del polinomio P(x), es que anule al polinomio y a sus h – 1 primeras deriva-
das, siendo distinta de cero la de orden h. 
 
Teorema: Las raíces múltiples de P(x) = 0 son todas las raíces de la ecuación D(x) = 0 
(donde D(x) = m.c.d.( P(x), P’(x) ). Esta notación significa que D(x) es el m.c.d. de 
los polinomios P(x) y P’(x) . 
 
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35 
 
5.4.- Obtención de una ecuación con raíces simples 
Probaremos que: “Dividiendo P(x) por el m.c.d.. entre P(x) y P’(x), la ecuación obtenida, ten-
drá las mismas raíces que P(x), pero simples.” 
Recordemos que D(x) = m.c.d. (P(x) , P’(x) ) 
 
Si dividimos P(x) = ( x – x1 ) 
h
 ( x – x2 ) 
k
 ... ( x – x i ) 
m
 en 
 D (x) = ( x – x1 ) 
h  1
 ( x – x2 ) 
k  1
 ... ( x – x i ) 
m  1 
 obtenemos: 
 
D(x)
P(x)
 = ( x – x1 ) ( x – x2 ) ( x – x3 ) ... ( x – x i )
 
 
En el ejemplo anterior, para P(x) = x
4
 – 2 x
3
 + 2x – 1, D(x) = m.c.d. (P, P’) = x
2
 – 2x + 1 
D(x)
P(x)
 = 
12xx
12x2xx
2
34


 = x
2
 – 1 
 Las raíces de x
2
 – 1 = 0 , son x =1 y x = –1 ; estas raíces son raíces de P(x), pero simples 
 
5.5.- Raíces complejas de polinomios reales 
Si los coeficientes de P(x) son números reales, entonces se prueba que: 
 
 
 
 
 
5.6.- Relación entre coeficientes y raíces de una ecuación algebraica 
Dada la ecuación (1) P(x) = a0 x 
n
 + a1 x 
n  1
 + ... + a n = 0, cuyas raíces son x1, x2, ... , x n, 
los coeficientes del polinomio P(x) se relacionan como sigue: 
1
0
1 )1(
a
a
 ( x1 + x2 + ... + x n ) 
2
0
2 )1(
a
a
 ( x1 x2 + x1 x3 + … + x1 x n + ... + x n 
 
1 x n ) 
3
0
3 )1(
a
a
 ( x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + … + x1 x2 x n+ ... + x n 
 
2 x n 
 
1 x n ) 
................................................................................................ 
Si un número complejo a + bi es raíz del polinomio P(x) de coeficientes reales, dicho 
polinomio tiene también por raíz el complejo conjugado a – bi . Si el complejo a + bi es 
raíz múltiple de orden h, también el complejo a – bi es raíz múltiple de orden h. 
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36 
 n
0
n )1(
a
a
 x1 x2 x3 ... x n 
 
5.7.- Ejemplos 
5.7.1.- Dada la ecuación x
3
 – x
2
 – 8x + 12 = 0, comprobar que 2 es raíz doble y determinar el or-
den de multiplicidad de –3 . 
 Una forma de comprobar es la siguiente: 
Por el teorema visto, las raíces múltiples de x
3
 – x
2
 – 8x + 12 = 0 , son todas las raíces de la 
ecuación D(x) = 0, donde D(x) = ( P(x), P ’ (x) )). 
P(x) = x
3
 – x
2
 – 8x + 12 ; P ’(x) = 3 x
2
 – 2x – 8 
 D(x) = x – 2 (hallar el m.c.d., por el algoritmo de Euclides ) . 
 x – 2 = 0  x = 2 es raiz simple de D(x) 
Como “las raíces de D(x) son las mismas que las de P(x) con su orden de multiplicidad disminui-
do en una unidad”, 2 es simple de D(x), por lo tanto 2 es doble de P(x) 
También, “ las raíces simples de P(x) no son raíces de D(x), entonces –3 que no es raíz de D(x) , 
es raiz simple de P(x). 
 
 Otra forma para comprobar que 2 es raíz doble de la ecuación dada, es a través de la aplicación 
de la regla de Ruffini: 
 1 –1 –8 12 
 2 2 2 –12 
 1 1 –6 0 
 2 2 6 
 1 3 0 
 x + 3 = 0  x = –3  2 es raíz doble y –3 es raíz simple de P(x) 
 
 Otro modo de comprobar que 2 es raíz doble y –3 simple, es a través de la condición necesa-
ria y suficiente: para que “2” sea raíz doble del polinomio P(x), es que anule al polinomio y a su 
primera derivada, siendo distinta de cero la derivada de orden 2. 
 
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37 
 
 
5.7.2.- Encontrar la ecuación que tiene por raíces, las mismas de 5.7.1.- , pero todas simples. 
Para encontrar la ecuación que tiene por raíces, las mismas de 1), pero todas simples se 
divide P(x) por D(x). 
(x
3
 – x
2
 – 8x + 12 ) : (x – 2 ) = x
2
 + x – 6 
Las raíces de x
2
 + x – 6 = 0, son x1 = 2 y x2 = – 3. 
5.7.3.- Reconstruir la ecuación de 3º grado, si sus raíces son: x1 =  2 , x2 = 
2
1
 y x3 = 3 
 Una forma de reconstruir la ecuación es la siguiente: 
 ( x + 2 ). ( x  
2
1
) . ( x + 3 ) = 0 
 Resolviendo el producto: ( x 
2
 +
2
3
 x  1 ) . ( x + 3 ) = 0 
 2 x 
3
 + 9 x 
2
 + 7 x  6 = 0 , que es la ecuación reconstruida. 
  Otra forma de reconstruir la ecuación de 3º grado, sabiendo que sus raíces son: 
 x1 =  2 , x2 = 
2
1
 y x3 =  3 , es trabajando con la relación entre coeficientes y 
raíces. 
 Si a la ecuación a0 x 
3
 + a1 x 
2
 + a2 x 
1
 + a3 = 0 dividimos por a0 , tenemos: 
 x 
3
 + 
0
1
a
a
 x 
2
 + 
0
2
a
a
 x 
1
 + 
0
3
a
a
 = 0 I 
 Tenemos: 1
0
1 )1(
a
a
 ( x1 + x2 + x 3 ) =  (  2 + 
2
1
  3 ) = 
2
9
 
 2
0
2 )1(
a
a
 ( x1 x2 + x1 x3 + x2 x 3 ) =  1 + 6  
2
3
 = 
2
7
 
 3
0
3 )1(
a
a
 x1 x2 x3 =  3 
P(x) = x
3
 – x
2
 – 8x + 12 P(2) = 8 – 4 – 16 + 12 = 0 P(–3) = –27 – 9 + 24 + 12 = 0 
P’(x) = 3x
2
 – 2x – 8 P’(2) = 12 – 4 – 8 = 0 P’(–3) = 27 + 6 – 8  0 
P’’(x) = 6x – 2 P’’(2) = 12 – 2  0 x = –3 es raíz simple 
 x = 2 es raíz doble 
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Reemplazando en I, tenemos: x 
3+ 
2
9
 x 
2
 + 
2
7
 x  3 = 0 multiplicando por 2 tenemos: 
2 x 
3
 + 9 x 
2
 + 7 x  6 = 0 , que es la ecuación solicitada 
 
5.8.- Es interesante observar que: 
1) Una ecuación que tiene todos sus coeficientes positivos, no admite raíces positivas. 
 Esto es evidente puesto que la suma de sumandos positivos no puede ser cero. 
2) Una ecuación que tiene, los coeficientes de las potencias pares de x, todas del mismo 
signo, y, los coeficientes de las potencias impares todos del signo contrario, no admite 
raíces negativas. En efecto, sustituyendo x por (x) en la ecuación P(x) = 0, los térmi-
nos de grado par, no cambian de signo y si los de grado impar, luego quedará una ecua-
ción de términos todos del mismo signo, y las raíces, si es que las hay reales, serán nega-
tivas y por lo tanto, positivas las de la ecuación propuesta. Por ejemplo: la ecuación 2x
3
 – 
9x
2
 + 12x – 5 = 0 , no admite raíces negativas. 
3) Dada la ecuación a0 x 
n
 + a1 x 
n - 1
 + a2 x 
n - 2
 + ... + a n - 1x + an = 0, de coefi-
cientes enteros ( si son fraccionarios eliminamos denominadores ), se prueba que: 
i) “La condición necesaria pero no suficiente, para que un número entero  sea raíz de 
la ecuación es que sea divisor del término independiente” 
ii) Si 
q
p
 es raíz de la ecuación P(x) = 0, entonces p es divisor del término independien-
te “a n”, y q es divisor del coeficiente del término principal “a0”. 
iii) En particular, si P(x) es mónica, la ecuación no admite raíces fraccionarias. 
 
Por ejemplo, para resolver la ecuación 2x
3
 – 9x
2
 + 12x – 5 = 0 , dada en el punto 2) 
- Se investiga si admite raíces racionales 
q
p
 
p debe ser divisor de 5 : 1 ;  5 
 
y q debe ser divisor de 2: 1 ;  2 
 
 - No admite raíces negativas porque los coeficientes de potencias impares son positivos y los 
de los coeficientes pares, negativos. ( punto 2). 
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  las posibilidades se reducen solo a los valores positivos. 
  las posibles raíces son: 1 , 5 , 
2
5
 , 
2
1
 
- Se utiliza la regla de Ruffini para verificar si efectivamente son raíces de la ecuación plan-
teada, de este modo bajamos el grado de la ecuación: 
 
 
 
 
 Se resuelve la ecuación: 2x
2
 – 7x + 5 = 0  x1 = 
2
5
 , x
2
 = 1 
 La solución es: x1 = 1 doble y x2 = 
2
5
 simple 
 
6.- Ejercicios resueltos 
6.1.- Hallar la raíces de: x
4 
+ 4x
3
 + 14x
2
 + 36x + 45 = 0, 
 Sabiendo que admite como raíz a 3i 
 Solución: 
 Como es una ecuación de coeficientes reales, admite también como raíz a 3i . 
 Se reduce el grado de la ecuación a 2, mediante la división por los binomios: x+3i , 
 x – 3i, aplicando sucesivamente la regla de Ruffini: 
 
 1 4 14 36 45 
 3i 3i 9+12i 36+15i 45 
 1 4+3i 5+12i 15i 0 
 3i 3i 12i 15i 
 1 4 5 0 
 Formamos la ecuación: x
2
 + 4x +5 = 0 
 x = i2
2
i24
2
20164




 
Las raíces son: x1 = 3i, x2 = 3i , x3 = 2+i , x4 = 2i 
 2 9 12 5 
1 2 7 5 
 2 7 5 0 
1 es raíz de la ecuación 
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40 
 
6.2.- Construir una ecuación mónica, de menor grado, con coeficientes reales que admita como 
raíces a 2, doble y i simple. 
Solución: 
La ecuación buscada es: ( x  2 )
2
 .( x + i ) . ( x  i) = 0 
 ( x
2
  4x + 4 ) ( x
2
 + 1 ) = 0  x
4
  4x
3
 + 5x
2
  4x + 4 = 0 
 
6.3.- La suma de dos de las raíces del polinomio 2x
3
  x
2
  7x + a = 0 es 1 , hallar a. 
Solución: 
 2x
3
  x
2
  7x + a = 0 , tiene tres raíces: x1, x2 , x3 ,  x1 + x2 = 1 
 a0 a1 a2 a3 
Multiplicando la ecuación por 
1
2
 , se tiene: x
3
  
1
2
 x2  
7
2
 x + 
𝑎
2
 = 0 
 
Considerando la relación entre coeficientes y raíces, tenemos: 

0
1
a
a
 ( x1 + x2 + x 3 )  
2
1
 =  ( 1 + x3 )  x3 = 
2
1
 

0
2
a
a
( x1 x2 + x1 x3 + x2 x 3 )  
2
7
 = (x1 x2 + x3 (x1 + x2 ))  
2
7
 = x1 x2 
2
1
 
  x1 x2 = 3 

0
3
a
a
  x1 x2 x3  
2
a
 =  (3) 






2
1
  a = 3 
 
6.4.- Resolver la ecuación x
3
 – 3x
2 
+ 4 = 0 
Solución: 
La ecuación dada es mónica, por lo tanto no admite raíces racionales. Si admite raíces enteras, 
éstas deben ser divisores de 4. 
Los divisores de 4 son: ± 4, ± 2, ± 1 
Con la regla de Ruffini probaremos para cada uno de ellos 
 Para –1 
 1 –3 0 4 
 –1 –1 4 –4 
 1 –4 4 0 x1 = –1 es raíz 
Para encontrar las otras dos raíces resolvemos la ecuación: x
2
 –4x + 4 = 0  x2= 2 es raíz doble. 
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41 
 
7.- Ejercicios propuestos a modo de autoevaluación 
7.1.- Escribir: 
i. una expresión algebraica entera y una expresión algebraica fraccionaria. 
ii. un polinomio en lenguaje simbólico. 
iii. un polinomio mónico de 5º grado, incompleto y ordenado en forma decreciente. 
 
7.2.- I) Sabiendo que 
( a + b ) x
3
 + a x
2
 + ( c + a ) x + ( d – c ) = 5 x 
3
 + 7 x
2
 + 3 x – 2 
Calcular a , b , c , y d 
 II) Dados: P ( x ) = 3 a x
2
 – 
2
5
 b x + c ; Q ( x ) = 
2
1
 x
2
 – 
2
1
 b x – 5 
 y sabiendo que P ( x ) + Q ( x ) = 4 a x
2
 – 
2
3
 x – 8 c 
 Calcular a , b y c 
 
7.3.- Hallar A(x): dividendo, B(x): divisor, C(x): cociente o R(x): resto, según corresponda sa-
biendo que: 
a) A(x): 
2
7
 x
3
 – 
2
1
 x
2
 + 3 x + 8 B(x): 
2
1
 x 
2
 + 
2
1
 x – 1 
 b) B(x): 
2
1
 x 
2
 – 4 x – 
3
1
 , C(x): 
2
3
 x – 2 ; R(x): – 
4
25
 x – 1 
c) A(x): 5xx4x
2
5
x
4
3 234  , C(x): 
2
3
 x
2
 - 2 x + 4 , R(x) = 3x + 5 
7.4.- Completar las siguientes igualdades 
a) x2  6 x + 9 = ( x ................. ) 2 
b) 9 t4 + 6 t2 + 1 = ( …...…..... ) 2 
c) x2  10 x + .... =