Clase 20 Gravitacion 2019

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Física 1 Ing. Ricardo Moyano
 
 
 INTERACCIONES GRAVITACIONALES
 MOVIMIENTO PLANETARIO
 LEYES DE KEPLER
 LEY DE LA GRAVITACION UNIVERSAL
 DETERMINACION DE LA CONSTANTE GRAVITACIONAL
 CAMPO GRAVITATORIO
 ENERGIA POTENCIAL 
 POTENCIAL GRAVITATORIO
 EFECTOS GRAVITATORIOS. ESFERAS HUECAS Y MACIZAS
 GRAFICOS ENERGIA TOTAL Y ORBITAS GRAVITATORIAS
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Uno de los procesos mas interesantes en la historia de la ciencia ha sido la
evolución de nuestra comprensión del movimiento planetario.
La primer hipótesis fue suponer que los planetas describían círculos
concéntricos , teniendo a la tierra en su centro
PTOLOMEO DE ALEJANDRIA desarrollo la teoría de las epicicloides para explicar
este movimiento. Los planetas describían con movimiento uniforme un circulo o
epiciclo, cuyo centro a su vez se desplazaba en un circulo mayor concéntrico con
la tierra. La trayectoria resultante del planeta es así un epicicloide
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
En el siglo XXVI NICOLAS COPERNICO, propuso describir el movimiento de todos 
los planetas con respecto al sol, el cual estaría en el centro. Dando un orden de 
las orbitas de los planetas alrededor del sol que era: Mercurio, Venus, Tierra, 
Marte, Júpiter y Saturno.
El sol el cuerpo mas grande de nuestro sistema planetario coincide 
prácticamente con el centro de masa del sistema y se mueve mas lentamente 
que los otros planetas, lo que justifica haber sido escogido como centro de 
referencia, ya que es prácticamente un sistema inercial.
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
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Lo propuesto por Copérnico ayudo al astrónomo JOHANNES KEPLER en el 
descubrimiento de las leyes del movimiento planetario que se denominan LEYES 
DE KEPLER.
1.- Los planetas se mueven alrededor del Sol en elipses, estando el Sol en un
foco
2.- La línea que conecta al Sol con un planeta recorre áreas iguales en tiempos 
iguales
3.- El cuadrado del período orbital de un planeta es proporcional al cubo 
(tercera potencia) de la distancia media desde el Sol
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La tercera ley se refiere a los períodos:
El cuadrado del período orbital de un planeta alrededor del Sol es proporcional 
al cubo de su distancia media de él.
𝑇2 = K 𝑟3
Donde:
• T : Periodo del planeta. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es 
el segundo ( s )
• k : Constante de proporcionalidad. Su unidad de medida en el Sistema 
Internacional es el segundo al cuadrado dividido por metro cúbico ( s2/m3 )
• r : Distancia media al Sol. Por las propiedades de la elipse se cumple que su 
valor coincide con el del semieje mayor de la elipse, a. Su unidad de medida 
en el Sistema Internacional es el metro (m )
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Posteriormente Sir Isaac Newton propone la Ley de Gravitación Universal en 
1666 y publicada en 1687 en un capitulo de PHILOSOPHIAE NATURALIS 
PRINCIPIA MATHEMATICA.
LA LEY DE GRAVITACION
Se plantea que la interacción entre dos cuerpos, ya sean planetas o partículas 
pequeñas, produce un movimiento que puede ser descripto por las Leyes de 
Kepler. La ley de las áreas indica que la fuerza asociada con la interacción 
gravitacional es central, es decir la fuerza actúa a lo largo de la línea que une los 
dos cuerpos interactuantes.
La fuerza debe ser proporcional a la cantidad de materia de cada cuerpo, esto 
es a sus respectivas masas.
La dependencia entre la fuerza y la distancia “r” se realizo experimentalmente 
midiendo la fuerza entre las masas m y m’ para varias separaciones y 
deduciendo de las observaciones la relación entre F y r.
El resultado de estos experimentos permitió llegar a la siguiente conclusión:
La interacción gravitacional es atractiva y varia inversamente con el cuadrado de 
la distancia entre los cuerpos, es decir f(r)  1/𝑟2
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Por consiguiente podemos establecer la ley universal de gravitación de
NEWTON de la siguiente manera:
La interacción gravitacional entre dos cuerpos puede expresarse por una
fuerza de atracción central proporcional a las masas de los cuerpos e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa
F F’
m m’
r
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Expresión
F α
𝑚 .𝑚′
𝑟2
F = G 
𝒎 𝒎′
𝒓𝟐
donde G = 6,67 . 10−11 (N. 
𝑚2
𝑘𝑔2
)
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Determinación de la constante gravitacional
Se puede determinar utilizando el aparato de CAVENDISH que utilizo balanza 
de torsion
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Diagrama de la balanza de torsión utilizada en el "experimento de Cavendish", 
realizado por el propio Henry Cavendish en 1798:
Se midió la fuerza de gravedad entre las masas M y m, calculándose la densidad de la 
Tierra.
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Experimentalmente:
Cuando las masas m’ se colocan cerca de las masas m, su atracción gravitatoria 
produce un torque en la barra horizontal que da lugar a la torsión de fibra o 
alambre. El equilibrio se establece cuando los torques gravitatorio y torsional se 
igualan. El torque torsional es proporcional al ángulo que se mide por la 
deflexión de un rayo reflejado en un espejo situado en la fibra o alambre. 
Repitiendo el experimento a varias distancias r y usando diferentes masas m y 
m’ se verifica la ley de gravitación. F = G 𝑚1 𝑚2 / 𝑟
2 (1)
Notar que se produce un torque o momento, debido al par de fuerzas 
gravitacionales (ejercidas entre cada una de las masas grandes y la masa 
pequeña próxima), cuyo valor es τg = 2Fd. 
En la situación de equilibrio, este torque será igual al torque τa ejercido por el 
alambre, cuando el mismo es deformado un cierto ángulo θ, esto es: 
τg = 2Fd = τa = k.θ 2Fd = k.θ (2) 
entonces, combinando las ecuaciones (1) y (2) podemos determinar G mediante 
la expresión : G = 
𝑘 𝜃 𝑏2
2 𝑑 𝑚2 𝑚1
(3) 
Donde: d = distancia de al eje de momento b = distancia de separación de las 
masas , m1 y m2; k = constante de torsión; θ = ángulo de rotación
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El valor de la constante G calculada por Cavendish, arrojo un valor de :
G = 6,75 x 10−11 𝑁. 𝑚2/𝑘𝑔2
el valor actual aceptado con nuevas determinaciones arroja un valor de 
G = 6,673 x 10−11 𝑁. 𝑚2/𝑘𝑔2
Masa inercial y masa gravitacional
Cuando se establecen las leyes del movimiento se introduce el concepto de 
masa, denominado masa inercial. Se había supuesto una validez universal para 
las leyes del movimiento para toda clase de materia
Para la interacción gravitatoria, se debe dar a cada porción de materia una 
carga gravitacional o masa gravitacional, de acuerdo a la ecuación se escribiría:
F = G 
𝑚𝑔 m′𝑔
𝑟2
Si suponemos que la gravitación es una propiedad universal de toda clase de 
materia podemos considerar que la masa gravitatoria es proporcional a la 
masa inercial siendo la relación K = 
masa gravitacional 𝑚𝑔
𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙,𝑚
esta relación debe 
ser la misma para todos los cuerpos, siendo su valor igual a 1
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El hecho experimental de que de que todos los cuerpos cerca de la superficie 
terrestre caen con la misma aceleración es una indicación del hecho de que la 
masa inercial y la masa gravitatoria son lo mismo, por consiguiente, usaremos el 
término “masa” para referirnos ya sea para la masa inercial o la gravitatoria.
Campo Gravitacional 
Supongamos que tenemos una masa “m” y que colocamos en diferentes 
posiciones alrededor de m, otra masa m’. En cada posición la masa m’ 
experimenta una fuerza debida a su interacción gravitacional con la masa m 
dadapor la ecuación: ഥ𝑭 = - G 
𝒎 𝒎′
𝒓𝟐
𝒖𝒓
En la expresión el signo menos se debe porque el vector fuerza y el vector 
unitario 𝒖𝒓 posición tienen sentidos opuestos.
En cada posición de m’, la masa m 
experimenta una fuerza igual y opuesta 
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La intensidad del campo gravitacional producida por la masa m en el punto P se 
define como la fuerza ejercida sobre la unidad de masa colocada en P, luego la 
expresión es: 
ഥ𝓖 = 
ത𝐹
𝑚′
= - G 
𝒎
𝒓𝟐
𝒖𝒓
EL campo gravitacional tiene dirección opuesta a la del vector unitario 𝒖𝒓 el cual 
se dirige de la masa que produce el campo al punto donde se calcula el campo.
Se dice que el campo gravitacional siempre señala hacia la masa que lo 
produce. 
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La expresión da el campo gravitacional a una distancia r de una partícula de 
masa m colocada en centro O.
Podemos asociar con cada punto con cada punto en el espacio alrededor de m 
un vector ഥ𝓖 dado por la ecuación de intensidad del campo.
Se observa que la intensidad del campo gravitacional se mide en “N/kg” o 
“m/𝑠2” y es dimensionalmente equivalente a una aceleración.
Comparando la ecuación de la intensidad del campo gravitacional con la 
ecuación del peso Peso = m.g entonces vemos que la aceleración de la 
gravedad puede considerarse como la intensidad del campo gravitacional en la 
superficie terrestre 
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Supongamos que tenemos varias masas, cada una producirá su propio campo 
gravitacional. Las fuerza total de una partícula de masa en el punto P es:
F = m ഥ𝓖 1 + m ഥ𝓖 2+ m ഥ𝓖 3 + …
F = m ( ഥ𝓖 1+ ഥ𝓖 2+ ഥ𝓖 3+ … ) = m ഥ𝓖
Donde ഥ𝓖 1, ഥ𝓖 2, ഥ𝓖 3 son los campos gravitacionales producidos por cada masa 
en el punto P y se calcula de acuerdo a la ecuación de la intensidad del campo
El campo gravitacional resultante en el punto P es por lo tanto el vector suma 
que se obtiene mediante la suma vectorial :
ഥ𝓖 = ഥ𝓖 1+ ഥ𝓖 2+ ഥ𝓖 3+ … = G . σ
𝑚𝑖
𝑟2
𝒖𝒓
Un Campo gravitacional puede representarse por líneas de fuerzas. 
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De la definición se observa que la intensidad del campo gravitacional se mide 
en ( N.𝑘𝑔−1) o (m. 𝑠−2) y es equivalente a una aceleración, por lo tanto 
notamos que la aceleración de la gravedad puede considerarse como la 
intensidad del campo gravitacional en la superficie terrestre ത𝐠
Ejemplo de aplicación: Calcular el campo gravitacional generado por dos masas 
iguales en el punto de coordenadas ( 0, -3).
Datos: 𝑚1= 𝑚2= 5 kg
Aplicamos: g = G 
𝒎
𝒓𝟐
y se calcula
g1= G 
𝒎𝟏
𝑟1
𝟐 g2= G 
𝒎𝟐
𝑟2
𝟐
Del grafico 𝑟1 = 22+ 3
2 = 𝑟2 = 3,6 m
 g1 = g2 = 2,57x10
−11 m. 𝑠−2
Se descompone g en componentes x e y
aplicadas en el punto ( 0, -3)
gx1 = g1 cos𝛼 por simetría gx1 = gx2 donde 𝛼= tan
−1(
3
2
) = 56,31º
gy1 = g1 sen𝛼 por simetría g𝑦1 = gy2
El campo resultante es തg = g1 + g2
തg = - gx1 + gx2 + g𝑦1 + gy2 = 2 g𝑦1 = 2. g1 sen𝛼 = 4,28x 𝟏𝟎
−𝟏𝟏 m. 𝒔−𝟐
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LA ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL 
Dado que la interacción gravitacional es central y depende solamente de la 
distancia, corresponde a una fuerza conservativa. Por consiguiente se puede 
asociar a esta fuerza con una energía potencial gravitacional. 
Si F es una fuerza de atracción , tiene sentido opuesto al vector posición 
r =OA = r . 𝒖𝒓 se escribe la ecuación vectorial Ԧ𝐹 = - G 
Mm
𝒓𝟐
𝒖𝒓
Esta fuerza es igual al gradiente de la energía potencial pero con signo negativo
𝐹𝑟 = -
𝜕𝑬𝒑
𝜕𝑟
por lo tanto 
𝜕𝑬𝒑
𝜕𝑟
= G 
Mm
𝒓𝟐
Integrando y asignando el valor cero a la energía potencial a distancias muy 
grandes ( r = ∞ ) se obtiene:
׬
0
𝑬𝒑 𝑑𝑬𝒑 = GMm ∞׬
𝑟 𝒅𝒓
𝒓𝟐
resuelta la integral nos da 𝑬𝒑 = -
𝑮𝑴𝒎
𝒓
La energía total del sistema de dos partículas sometidas a su interacción 
gravitacional es:
E = 
1
2
m 𝒗𝟐 + 
1
2
M 𝒗´𝟐 -
𝑮𝑴𝒎
𝒓
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Potencial Gravitacional
Se define como la energía potencial por unidad de masa colocada en el campo 
gravitacional. Si en cierto punto en un campo gravitacional una masa m’ tiene 
una energía potencial 𝐸𝑝 entonces el potencial gravitacional en dicho punto es 
V = 𝐸𝑝/m’ unidades JOULE . 𝑘𝑔
−1
De la ecuación se observa que el potencial a una distancia r es 
V = 
−G 𝒎 𝒎′
𝒓
𝑚′
= - G 
𝑚
𝑟
 V = - G 
𝑚
𝑟
El potencial gravitacional es un escalar
Por lo tanto si se tiene varias masas el potencial en un punto P es la suma 
escalar de V = 𝑉1+ 𝑉2 + 𝑉3+ …
V= σ 𝑉𝑖 = -G σ
𝑚𝑖
𝑟𝑖
Comparando las ecuaciones del Potencial y del campo gravitacional, se nota que 
la magnitud del campo gravitacional es: ҧ𝑔 = ഥ𝓖 = 
𝜕𝑉
𝜕𝑟
es la derivada direccional 
Denotamos ҧ𝑔 = ഥ𝓖 =  grad V donde “grad” significa “gradiente” que se 
obtiene de la derivada direccional, el vector es el gradiente de la función V.
Es decir el campo gravitacional es el gradiente con signo negativo del 
potencial gravitacional 
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ENERGIA GRAVITACIONAL
Debido a que la interacción gravitacional dada por la expresión de la fuerza 
gravitacional es central y depende solamente de la distancia, podemos decir 
que corresponde a una fuerza conservativa, podemos asociar con ella una 
energía potencial gravitacional.
Consideramos un cuerpo de masa m fuera de la Tierra y calculamos el trabajo 
efectuado por la fuerza gravitacional cuando el cuerpo se aleja o acerca del 
centro de la tierra:
W = ׬
𝑟1
𝑟2 𝐹𝑟 dr
Donde 𝐹𝑟 es la componente radial de la fuerza gravitatoria, es negativa dado 
que apunta al centro de la tierra y M masa de la tierra
𝐹𝑟 = - G 
𝑴 𝒎
𝒓𝟐
Reemplazando tiene:
W = ׬
𝑟1
𝑟2 − G
𝑴 𝒎
𝒓𝟐
dr = - (G 
𝑴 𝒎
𝒓𝟐
- G 
𝑴 𝒎
𝒓𝟏
)
y de acuerdo a la expresión W = -( 𝑈2 - 𝑈1) = - ∆ U
Por lo que se puede definir la energía potencial gravitacional como 
U = - G 
𝑴 𝒎
𝒓
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La siguiente grafica ejemplifica lo planteado
El trabajo solo depende de los valores 
inicial y final de r y no del camino seguido,
Esto demuestra que la fuerza es conservadora
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En la grafica se observa la grafica de 
La Energía Gravitacional
Cuando el cuerpo se aleja de la tierra, la 
distancia r aumenta y el trabajo es negativo 
Y la energía aumenta se vuelve menos 
negativa
Si el cuerpo cae (se acerca a la Tierra) el 
Trabajo es positivo y la energía disminuye
Se hace mas negativo
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Campo y Potencial Gravitatorio de una esfera hueca
Consideramos la esfera hueca de radio “a”, distancia de un punto P exterior al 
centro de la esfera r 
Se divide a la esfera la superficie de l esfera en zonas circulares, siendo el radio 
de cada zona a.sen𝜃 y el ancho ds = a.d𝜃
El área de la zona es 
Área = longitud x ancho
A = (2𝜋 a.sen𝜃) . (a.d𝜃)
A = 2𝜋 𝑎2.sen𝜃.d𝜃
R
r
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La masa de la zona circular es igual al producto de la masa por unidad de área 
de la esfera 
𝑚
4 𝜋𝑎2
(donde m es la masa de la esfera) por el área de la zona
𝑚
4 𝜋𝑎2
. 2𝜋 𝑎2.sen𝜃.d𝜃 = ½ m sen𝜃.d𝜃
Todos los puntos de la zona se encuentran a la misma distancia R de P
Aplicando la expresión del potencial gravitatorio
d V = - G 
(½ m sen𝜃.d𝜃 )
𝑅
= -
𝐺𝑚
2𝑅
sen𝜃.d𝜃
Teniendo en cuenta la ley de los cosenos 
𝑅2 = 𝑎2 + 𝑟2 - 2 a.r cos𝜃
Diferenciando se obtiene: 2R dR = 2 a.r sen𝜃.d𝜃
Entonces sen𝜃.d𝜃 = 
𝑅𝑑𝑅
𝑎𝑟
Sustituyendo se obtiene
d V = -
𝐺𝑚
2𝑎𝑟
.d𝑅
Para obtener el potencial gravitacional total se debe integrar toda la superficie 
de la esfera
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Expresión del potencial para un punto exterior a la esfera hueca:
V = -
𝐺𝑚
2𝑎𝑟
׬
𝑟−𝑎
𝑟+𝑎
𝑑𝑅 = -
𝐺𝑚
2𝑎𝑟
. (2.a)= -
𝐺𝑚
𝑟
para r > a
Ahora consideramos el punto interior a la esfera hueca, se tiene: 
V = -
𝐺𝑚
2𝑎𝑟
׬
𝑎−𝑟
𝑎+𝑟
𝑑𝑅 = -
𝐺𝑚
2𝑎𝑟
. (2.r) = -
𝐺𝑚
𝑎
para a > r
Que nos da un potencial constante, independiente de la posición de P 
Aplicando la ecuación del gradiente: ҧ𝑔 = ഥ𝓖 =  grad V se encuentra que el 
campo gravitacional es:
En un punto exterior: ҧ𝑔 = ഥ𝓖 = 
𝐺𝑚
𝑟2
𝑢𝑟 para r > a
En un punto interior: ҧ𝑔 = ഥ𝓖 = 0 para r<a 
Es decir en todos los puntos interiores a la capa esférica el campo es cero y 
el potencial gravitatorio constante
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Los gráficos correspondientes para la esfera hueca son:
Campo y Potencial Gravitatorio de una esfera maciza
Suponemos que la masa se encuentra uniformemente distribuida en todo el 
volumen de la esfera, es decir la esfera es sólida. Se puede considerar que la 
esfera esta conformada por una superposición de varias capas esféricas 
delgadas, donde cada capa produce un campo dado por la ecuación:
ҧ𝑔 = ഥ𝓖 = 
𝐺𝑚
𝑟2
𝑢𝑟
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La grafica a) muestra un punto exterior a la esfera, donde la distancia “r” del 
centro al punto P es la misma para todas las capas
Las masas se suman dando nuevamente el mismo resultado de la ecuación 
ҧ𝑔 = ഥ𝓖 = 
𝐺𝑚
𝑟2
𝑢𝑟 para r > a
Por consiguiente una esfera sólida homogénea produce en puntos externos a 
ella, un campo gravitacional y un potencial gravitacional idénticos a los que 
produce la misma masa situada en el centro de la esfera.
Para obtener el campo en el interior de la esfera homogénea consideramos 
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Un punto P situado a una distancia r del centro siendo r < a
Se dibuja una esfera de radio r ( como se muestra el gráfico b)) y consideramos 
que aquellas capas con radios mayores que r, no contribuyen al campo en P, 
actuarían como esfera hueca y el campo seria: ҧ𝑔 = ഥ𝓖 = 0 . 
El campo resultante de todas las capas con radios menores que r produce un 
campo similar al de la ecuación ҧ𝑔 = ഥ𝓖 = 
𝐺𝑚
𝑟2
𝑢𝑟 donde llamaremos m’ a la 
masa dentro de la esfera de radio r, entonces escribimos la ecuación como
ҧ𝑔 = ഥ𝓖 = 
𝐺𝑚′
𝑟2
𝑢𝑟
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Para determinar m’ consideramos:
Volumen total de la esfera: 
4
3
𝜋 𝑎3
La masa por unidad de volumen es: 
𝑚
4
3
𝜋 𝑎3
La masa m’ contenida en la esfera de radio r es: m’ = 
𝑚
4
3
𝜋 𝑎3
. 
4
3
𝜋 𝑟3
Simplificando se obtiene: m’ = 
𝑚𝑟3
𝑎3
Sustituyendo este resultado en la ecuación del campo gravitacional obtenemos:
ҧ𝑔 = ഥ𝓖 = 
𝐺
𝑟2
𝑚𝑟3
𝑎3
𝑢𝑟
ҧ𝑔 = ഥ𝓖 = 
𝐺𝑚.𝑟
𝑎3
𝑢𝑟 para r < a
La expresión nos da el campo gravitacional en un punto interior a la esfera 
homogénea, el cual es proporcional a la distancia r del centro (función lineal)
g a=rg
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El potencial gravitatorio para la esfera homogénea 
Para un punto exterior a un esfera homogénea, el potencial gravitatorio seta 
dado por la ecuación:
V = -
𝐺𝑚
2𝑎𝑟
׬
𝑟−𝑎
𝑟+𝑎
𝑑𝑅 = -
𝐺𝑚
2𝑎𝑟
. (2.a) = -
𝐺𝑚
𝑟
para r > a
Para un punto dentro de la esfera el potencial es:
V = -
𝐺𝑚
2𝑎3
(𝑟2 - 3.𝑎2) para r < a
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Energía Total del sistema de partículas sometidas a su interacción gravitacional 
La energía Mecánica total del sistema
E = K + U o también E = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑃𝑔
E = energía cinética + energía potencial gravitatoria
E = 
1
2
m 𝑣2  G 
𝑀 𝑚
𝑟
Si la partícula se mueve en una orbita circular, la fuerza que actúa sobre la masa 
está dada por la ecuación de la fuerza centrípeta,
Es decir la fuerza centrípeta es la fuerza de 
atracción gravitatoria: 𝐹𝑐 = 𝐹𝑔
𝐹𝑐 = 
𝑚𝑣2
𝑟
= G 
𝑀 𝑚
𝑟2
= 𝐹𝑔
obteniendo 𝑚𝑣2 = G 
𝑀 𝑚
𝑟
Reemplazamos en la energía cinética tenemos
K = 
1
2
G 
𝑀 𝑚
𝑟
Entonces la energía total es E = 
1
2
G 
𝑀 𝑚
𝑟
 G 
𝑀 𝑚
𝑟
E = 
1
2
G 
𝑀 𝑚
𝑟
 E = 
1
2
U
La expresión obtenida nos indica que la energía total es negativa y si se cumple 
la condición la orbita será circular
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Es decir todas la orbitas cerradas tienen energía total negativa, definiendo la 
energía potencial cero para una separación infinita (r = ∞)
Relación entre Energía total y la trayectoria del movimiento
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Ejemplos de Aplicación
Un meteorito esta en reposo a una distancia del centro de la tierra igual a 6 
veces el radio de la tierra ( R). Calcular la velocidad con la que llegará a la Tierra
Aplicamos conservación de la energía mecánica total E1 = E2
E1 = 
1
2
m 𝑣2 G 
𝑀 𝑚
𝑟1
E2 = 
1
2
m 𝑣2  G 
𝑀 𝑚
𝑟2
Igualamos las expresiones
- G 
𝑀 𝑚
𝑟1
= 
1
2
m 𝑣2  G 
𝑀 𝑚
𝑟2
donde 𝑟1 = 6 R y 𝑟2 = R 
Reemplazamos
- G 
𝑀 𝑚
6𝑅
= 
1
2
m 𝑣2  G 
𝑀 𝑚
𝑅
Operamos algebraicamente y despejamos la velocidad
𝑣 = 
5 𝐺 𝑀
3 𝑅
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Ejemplos de Aplicación
Calcular la velocidad de escape de un cuerpo lanzado desde la tierra
También podemos decir que la velocidad de escape es la velocidad mínima con 
la cual debe lanzarse un cuerpo para que llegue al infinito
Planteamos la conservación de la energía
𝐸1 = 𝐸∞
1
2
m 𝑣2 - G 
𝑀 𝑚
𝑅
= 
1
2
m 𝑣2  G 
𝑀 𝑚
∞
Nos queda 
1
2
m 𝑣2 - G 
𝑀 𝑚
𝑅
= 0
Despejamos la velocidad que será la velocidad de escape de la tierra
𝑣 = 
2 𝐺 𝑀
𝑅
Reemplazamos los valores nos da: 𝑣𝑒𝑠𝑐𝑎𝑝𝑒 = 11,3 m/s
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