cap14

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Capítulo 14
GRAVITACIÓN
2
Contenidos:
Ley de Gravitación Universal de Newton.
Aceleración en caída libre y fuerza de gravedad.
Leyes de Kepler.
La ley de Gravedad y el movimiento de los planetas.
El campo gravitacional.
Energía Potencial Gravitacional.
r
m2
m1
p a
Dos cuerpos aislados
12r̂
12F
Desde la antigüedad se ha intentado explicar el 
comportamiento dinámico de los planetas y satélites: 
sus trayectorias, las causas de su movimiento.. 
En un comienzo la carencia de datos experimentales, la falencia 
de métodos de trabajo científico, así como la ignorancia en 
torno a los mecanismos que explican los mas sencillos 
fenómenos, condujo a teorías sustentadas en la creencia, más 
que en los hechos reales. 
Surgió así, cosa natural si pensamos como lógico, un sistema 
de referencia asociado a la tierra, la teoría geocéntrica, en 
donde la tierra es el centro en torno al cual se mueven tanto 
los planetas como las estrellas, sol incluido. 
En los siglos XVI y XVII se recopilaron más datos y 
surgieron metodologías de trabajo que se aproximaron a la 
científica. 
Newton recogió toda esa experiencia y la sintetizó
en la llamada ley de gravitación universal, 
expresión que explica el origen la fuerza de 
atracción entre cuerpos. 
Uno de los precursores en el uso de instrumentos para, 
en función de esos resultados, postular una teoría que 
explicase un fenómeno fue Galileo. Posteriormente 
Brahe, Copérnico y Kepler dieron la base para 
instaurar, definitivamente, la teoría heliocéntrica para el 
movimiento de los planetas en nuestro sistema solar.
En el universo, toda partícula atrae a otra partícula 
con una fuerza que es directamente proporcional al 
producto de sus masas e inversamente proporcional 
al cuadrado de la distancia que las separa. 
1 2
1 2 1 22
1 2
m m ˆF G r
r
= −
G = 6,672x10 - 11 Nm2/kg2
Formulación de la ley de gravitación:
r
m2
m1
p a
Dos cuerpos aislados
12r̂
12F
1.- La fuerza gravitacional es un vector, es una fuerza 
atractiva y cumple con la tercera ley de Newton.
El signo menos señala la dirección de la fuerza: 
opuesta a la del vector unitario de posición.
También, indica que es atractiva: la fuerza se 
dirige hacia el cuerpo 2, hacia el cuerpo con el cual 
está interactuando. 
1 2
12 122
12
m m ˆF G r
r
= −
2 1
21 21 122
21
m m ˆF G r F
r
= − = −
Observaciones:
2.- La fuerza gravitacional ejercida entre cuerpos 
con distribución de masa esférica es como si la 
masa de los cuerpos estuviese concentrada en el 
CM de ellos. O sea, r12 es la distancia entre los CM.
r12
r12
3.-Peso de un cuerpo:
El peso de un cuerpo (de masa m), respecto de 
un planeta (masa M), ubicado a una distancia r 
del planeta, es la fuerza con que ese planeta atrae 
a dicho objeto: 
G 2
M mp e so F G
r
= =
G 2
MF m G 
r
⎛ ⎞= →⎜ ⎟
⎝ ⎠
GF m g=
4.- Campo Gravitacional.
G 2
MF G m 
r
⎛ ⎞= →⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
Mg G r
r
= − ˆ
5.- Si existen varios cuerpos, la fuerza resultante 
sobre uno de ellos es la suma vectorial de toda las 
fuerzas que actúan sobre el cuerpo de interés.
GFg 
m
=
EjemploEjemplo::
Pregunta: Calcule la atracción gravitacional entre dos 
estudiantes, de 70 kg y 90 kg, alejados 1.0 m el uno del 
otro.
Extremadamente 
débil !!!
Compare: con la fuerza con que la tierra atrae al estudiante 
de 70 kg.
 11 71 2
2 2
70 90 6 67 10 4 2 10
1 0
− −×= → = → = ×im mF G F . F . N
r ( . )
 70 9 8 686 NF mg F . F= → = × → =
Aplicaciones de la Gravitación Universal
1: Aceleración de gravedad
g varía con la altura
2 
TMg G
r
= → 2
T
T
M
g G
( R h )
=
+
2 2
T TM m GMF G m mg
r r
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Primera ley de Kepler:
Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas, 
con el sol en uno de sus focos. 
F1
F2c
b
aa
2 = b2 + c2
e = c / a
Leyes de Kepler.
La órbita de todos los planetas, excepto Mercurio y Plutón, 
son casi circunferenciales.
Segunda ley de Kepler:
El radio vector trazado desde el sol hasta un 
planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. 
dA
Demostración de que un planeta se mueve en una 
trayectoria plana:
 L c te∴ =
El vector posición y el vector velocidad deben estar 
siempre en un mismo plano, luego la trayectoria es 
plana. 
ext
dLPor se tiene: ley 
dt
Στ =
 rad 0 Nm∴ θ = π → τ =
Por : r F definición τ = × →
ˆ r F sen y como: F Fr τ = θ = − →
dAr
dr
dA
m
Por definición de L, se tiene:
P PL r p L r M v L M r v cte.= × → = × → = × =
De la figura anterior, se tiene:
1 1 1dA r dr r vdt r v dt
2 2 2
= × = × = ×
Y de la definición de L, se tiene:
P
dA L= = cte.
dt 2 M
Area descrita por m.
Tercera ley de Kepler:
El cuadrado del periodo orbital de cualquier planeta 
alrededor del sol es proporcional al cubo del semieje 
mayor de la órbita elíptica.
a
T
r
a
Como la fuerza gravitacional del Sol sobre la Tierra es una fuerza 
radial o centrípeta, aplicando la Segunda Ley de Newton, se tiene:
G P cF m a y por Ley de Gravitación Universal de Newton:=
2
S P
P2
M m v 2 rG m y como: v se tiene:
r r T
π
= =
2 2
S
2
M 4 rG o sea:
r T
π
=
2 2
 19
S3 3
T s 2,97 10 K 
r m
−∴ = ⋅ =
2 2
3
S
T 4 cte.
r GM
π
= =
Observaciones:
1.- La ley de los periodos es válida para planetas y satélites.
2.- Planetas:
Planeta a T T2/a3
10 10 m años 10 -19 s2/m3
Mercurio 5,79 0,241 2,97
Venus 10,8 0,615 2,99
Tierra 15,0 1 2,97
Marte 22,8 1,88 2,98
Júpiter 77,8 11,9 2,97
Diferencia de Energía Potencial Gravitacional
r
m
M
Bm
m
A
M
rA
rB
Diferencia de Energía Potencial Gravitacional
El trabajo realizado por la fuerza FG, que es una fuerza 
conservativa, para llevar a m desde el punto A al punto B es:
AB G B AW (F ) (U U )= − −
Y se puede demostrar que este trabajo es:
B A
B A
1 1U U G M m 
r r
⎡ ⎤
− = − −⎢ ⎥
⎣ ⎦
B A AB Go sea: U U W (F )− = −
Diferencia de Energía Potencial Gravitacional
Para hablar de la U en un punto, se debe escoger un punto de 
referencia arbitrario y a ese punto darle, en forma arbitraria, 
un valor de U cualquiera.
El valor más usual es: U = 0 J
Para cuerpos esféricos es usual ubicar el punto inicial A en el 
infinito y sacando el subíndice B se tiene:
M mU G 
r
= −
Que se puede generalizar como:
1 2m mU G 
r
= −
Energía Potencial Gravitacional
Observaciones:
1.- Rapidez de escape
2.- Sistema de N partículas.
1.- Rapidez de escape: es la rapidez mínima que debe tener un 
cuerpo, ubicado en la superficie de un planeta, para escapar 
de la influencia del campo gravitacional del planeta.
Como la energía mecánica de un cuerpo es: E = K + U 
Entonces, para el campo gravitacional se tiene:
21 MmE mv G cte. o sea:
2 r
= − =
2 2
e f
m áx
1 M m 1 M m m v G m v G 
2 R 2 r
− = −
Y como: Uf = 0 J si rmáx tiende a infinito y además, 
para la altura máxima se tiene vf = 0 m/s, entonces:
2
e
1 Mm mv G es decir:
2 R
=
Y para la Tierra, se tiene:
3
e
mv 11,2 10 
s
= ⋅
e
G Mv 2 
R
=
29
Consideraciones de Energía en el movimiento 
de planetas y satélites.
De la definición de energía mecánica tenemos:
21 MmE mv G ... (1)
2 r
= −
Y aplicando la S.L.N. y la L.G.U. al cuerpo de masa m, 
se tiene:
G cF m a = →
2
2
M m vG m 
r r
=
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por 
r / 2 se tiene:
30
21 1 M m m v G 
2 2 r
=
Y reemplazando esta expresión de la E.C. en la ec. (1) se tiene:
MmE G 
2 r
= −
a) Para órbitas circunferenciales:
MmE G 
2 a
= −
b) Para órbitas elípticas:
m1
m2
m3
r12
r31
r23
2.- Sistema de N partículas.
Cuando dos partículas están en reposo y separadas 
una distancia r, un agente externo debe suministrar 
una energía , al menos igual, a: U = + Gm1m2/r, 
para separar las partículasuna distancia infinita.
El valor absoluto de la energía potencial se considerará
como la energía de enlace del sistema de partículas.
O sea, la energía necesaria para formar el sistema, 
trayendo las partículas desde el infinito hasta su 
posición final.
2.- Sistema de N partículas.
Este concepto se puede extender a tres o más partículas. 
En este caso la energía potencial total del sistema es la 
suma de las energías potenciales de todos los pares de 
partículas presentes.
O sea, para tres partículas se tiene:
2 3 3 11 2
T
12 23 31
m m m mm m
U G + + 
r r r
⎡ ⎤
= − ⎢ ⎥
⎣ ⎦
2.- Sistema de N partículas.
Se puede demostrar que para N partículas, la energía total es:
N N
j
T i
i=1 j=1 ij
m1U G m 
2 r
= − ∑ ∑
j i≠
Esta es la energía potencial total del sistema de N partículas.
El valor absoluto de esta expresión es la energía de enlace
del sistema.
2.- Sistema de N partículas.