Ecuaciones de primer y segundo grado

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FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ Unidad 2: Ecuaciones 
 
UNIDAD 2 – Ecuaciones...................................................................................................... 25 
Introducción ......................................................................................................................... 25 
2.1.- Ecuaciones algebraicas ........................................................................................... 25 
2.2.- Ecuación de primer grado con una incógnita ........................................................... 25 
2.2.1.- Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita .......................... 26 
2.3.- Ecuación de segundo grado con una incógnita ........................................................ 30 
2.3.1.- Resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita ...................... 31 
2.3.2.- Tipos de soluciones de una ecuación cuadrática .............................................. 31 
2.3.3.- Ecuaciones de segundo grado incompletas ...................................................... 32 
2.3.4.- Ecuaciones de segundo grado factorizadas ...................................................... 33 
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 2.............................................................................. 35 
1.- Ecuaciones de primer grado ........................................................................................... 35 
2.- Problemas que se resuelven con ecuaciones de primer grado ....................................... 35 
3.- Ecuaciones de segundo grado........................................................................................ 37 
4.- Problemas que se resuelven con ecuaciones de segundo grado.................................... 38 
5.- Encontrar el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones...................... 39 
6.- Problemas ...................................................................................................................... 39 
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ Unidad 2: Ecuaciones 
 
Curso de Ingreso 25 
UNIDAD 2 – Ecuaciones 
Introducción 
Es muy importante para un estudiante de Ingeniería adquirir la capacidad de resolver 
situaciones problemáticas. En la mayor parte de los casos las condiciones que se plantean 
en un problema pueden expresarse a través de ecuaciones. 
En esta Unidad se abordará la formulación y solución de ecuaciones lineales y de 
ecuaciones cuadráticas con una incógnita, convencidos de que su estudio es necesario para 
facilitar el aprendizaje de los temas que se tratan en las unidades que siguen. 
Las actividades propuestas han sido diseñadas para que el alumno pueda ejercitar y 
desarrollar habilidades para interpretar enunciados y modelar matemáticamente situaciones 
problemáticas sencillas, empleando las ecuaciones apropiadas. 
2.1.- Ecuaciones algebraicas 
Las siguientes expresiones matemáticas reciben el nombre de ecuaciones. 
E1: 23 =−x E2: 32 =x E3: 9=+ yx
Una ecuación algebraica es una igualdad en la que aparecen números y letras ligados 
mediante operaciones algebraicas. Las letras cuyos valores son desconocidos se llaman 
incógnitas.
Resolver una ecuación significa encontrar los valores de las incógnitas que verifican la 
igualdad. Estos valores constituyen lo que se llama conjunto solución de la ecuación. 
Por ejemplo, en el caso de E1:
5=x es solución, porque verifica la igualdad, es decir 235 =− .
2.2.- Ecuación de primer grado con una incógnita 
La propuesta consiste en plantear una ecuación para cada uno de los problemas siguientes 
y luego encontrar el conjunto solución. 
 1. En una competencia internacional, 
los nadadores deben nadar tres estilos. 
De la longitud total (medida en metros) 
que deben nadar para completar la 
prueba: 
8
3
lo deben hacer en estilo 
mariposa, 
3
1
en croll y 700 m en 
espalda. ¿Cuántos metros recorren los 
nadadores que completan la prueba? 
2. Un cable de 20 m de longitud 
debe cortarse en dos partes, de 
modo tal que una sea igual a 
3
2
de 
la otra. ¿Cuál es la longitud del trozo 
más corto? 
Unidad 2: Ecuaciones FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ 
 
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Problema 1 
¿Cómo escribir en lenguaje algebraico el enunciado del problema? 
 
La longitud (en m) de la prueba es la incógnita y se designará con x .
La longitud recorrida en estilo mariposa es 
8
3
de x , es decir x⋅
8
3
.
La longitud recorrida en estilo croll es 
3
1
de x , es decir x⋅
3
1
.
Por lo tanto, la ecuación que modela el problema 1 resulta: 
xxx =+⋅+⋅ m700
3
1
8
3
Dado que el mayor exponente al que está elevada la incógnita x es 1, la ecuación 
planteada recibe el nombre de ecuación de primer grado o ecuación lineal con una 
incógnita. 
Se llama ecuación de primer grado con una incógnita a una expresión de la forma: 
0=+ bxa con 0;, ≠∈ aRba
2.2.1.- Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita 
Para resolver una ecuación de este tipo, es decir, para encontrar el único valor de x que la 
satisface (llamado también raíz de la ecuación lineal), es necesario tener en cuenta las 
siguientes propiedades de la relación de igualdad: 
• Si se suma a ambos miembros de una igualdad una misma expresión algebraica, se 
obtiene una ecuación equivalente. 
• Si se multiplican ambos miembros de una igualdad por una misma expresión 
algebraica, se obtiene una ecuación equivalente. 
Se recuerda que se llaman ecuaciones equivalentes a aquellas que tienen el mismo 
conjunto solución. 
Ejemplo: Resolución de la ecuación que modela el Problema 1: xmxx =++ 700
3
1
8
3
Con la finalidad de reunir en el primer miembro todos los términos en los que figura la 
incógnita x , y dejar en el segundo miembro sólo el término independiente, se suma a 
ambos miembros de la igualdad la expresión mx 700−−
Longitud 
recorrida en 
estilo mariposa. 
+
Longitud 
recorrida en 
estilo croll. 
+
700 m en 
estilo 
espalda. 
=
Longitud de la 
prueba 
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Curso de Ingreso 27 
mxxmxmxx 700700700
3
1
8
3
−−−−+⋅+⋅ =
Cancelando los términos que corresponda, se obtiene: 
mxxx 700
3
1
8
3
−=−⋅+⋅
Operando, resulta: 
 mx 700
24
7
−=⋅−
Se multiplican ambos miembros por el inverso de 
24
7
−





−−=




−−
7
24700
7
24
24
7 mx
y simplificando se obtiene: 
 mx 2400=
La ecuación presenta una única solución 2400=x m y por lo tanto el conjunto solución es 
{ }mS 2400= .
La respuesta a la pregunta planteada en el problema es: “Los nadadores deben recorrer 
2400 m para completar la prueba”
Comprobación:
Para verificar si el valor de x obtenido es efectivamente la solución del problema, se 
reemplaza dicho valor en la ecuación original comprobando si satisface la igualdad. 
mmmm 24007002400
3
12400
8
3
=+⋅+⋅
Problema 2 
Se deja como ejercicio el planteo y la resolución de este problema. 
Otros ejemplos: 
Ejemplo 1: Resolver 73 =+x
Si se suma a ambos miembros el opuesto aditivo de 3 , se obtiene: 
3733 −=−+x .
Reduciendo términos queda: 
37 −=x
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Se observa que el 3 que aparecía sumando en el primer miembro de la ecuación 73 =+x ,
pasó al segundo miembro restando. 
Entonces, 4=x es la solución de la ecuacióndada. 
Ejemplo 2 : Resolver 125 =⋅ x
Si se multiplican ambos miembros por el recíproco de 5 , se obtiene 
12
5
15
5
1
⋅=⋅⋅ x
Simplificando, queda: 
5
12=x
El 5 que aparecía multiplicando en el primer miembro de la ecuación 125 =⋅ x , pasa al 
segundo miembro dividiendo. 
Ejemplo 3 : Determinar el valor de x que verifica la siguiente ecuación: 
2
314
4
)4(3
3
32 xxx +
−=−⋅−−
Se mostrará, a modo de guía, la resolución de esta ecuación que presenta varias de las 
dificultades que usted deberá superar. Se indican los posibles pasos a seguir, aclarando que 
no es ésta la única forma correcta de resolver el ejercicio. 
• En primer lugar se separan términos y se efectúan las operaciones indicadas, 
teniendo en cuenta la jerarquía, en lo que a orden de ejecución se refiere. 
Considerando que la ecuación dada, también puede expresarse del siguiente modo: 
( ) ( )xxx 31
2
14)4(
4
332
3
1 +⋅−=−⋅−−⋅ ,
si se aplica propiedad distributiva resulta: 
xxx ⋅−−=+⋅−−
2
3
2
143
4
3
3
2
.
• Se agrupan en un miembro todos los términos que contienen la incógnita x y en el 
otro, todos los términos independientes. 
3
3
2
2
14
2
3
4
3
−−−=⋅+⋅−− xxx
• Se efectúan las sumas indicadas en ambos miembros. 
6
1
4
1
−=⋅− x
• Se despeja la incógnita obteniéndose la solución de la ecuación. 
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Curso de Ingreso 29 
( )
3
2
6
44
6
1
4
1:
6
1 ==−⋅−=




−−=x
La solución de la ecuación es 
3
2=x .
• Se verifica si el valor hallado satisface la ecuación original. 
 
2
3
231
4
4
4
3
23
3
3
232 




+
−=





 −⋅
−





⋅−
2
34
2
50 −=+
2
5
2
5 =
Al resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, de la forma 0=+ bax
ó su equivalente bax −= , la solución es única, dada por 
a
bx −= .
Ejemplos:
• 3)2(7123 +−⋅=− xx
3147123 +−=− xx
1231473 ++−=− xx
14 =− x
4
1
−=x
• 41425 ++=+ xx
54142 −+=− xx
02 =− x
0=x
En ciertas ocasiones se pueden presentar expresiones algebraicas con apariencia de 
ecuaciones lineales, que no son tales. 
1º Caso: Si 0=a y 0≠b , entonces la ecuación 0=+ bax no tiene solución.
Ejemplo:
• xxx 37)1(25 +=−−
xxx 37225 +=+−
27325 −=−− xxx
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30 Curso de Ingreso 
50 =x
La ecuación no tiene solución, ya que no existe ningún número real x que satisfaga la 
igualdad 50 =x .
2º Caso: Si 0=a y 0=b , entonces la ecuación 0=+ bax tiene infinitas soluciones.
Ejemplo:
• 83253 +−=−+ xxx
58323 −+−=−− xxx
00 =x
Cualquier número real x satisface la igualdad, ya que es una identidad. 
2.3.- Ecuación de segundo grado con una incógnita 
Se pide ahora plantear y resolver cada uno de los siguientes problemas: 
 
Problema 1 
¿Cómo escribir en lenguaje algebraico la situación planteada? 
 
El ancho de la página es la incógnita y la llamaremos x .
El largo de la página es 9 cm mayor que el ancho, es decir cmx 9+ .
La ecuación que modela el problema 1 es: 
( ) 23609 cmcmxx =+⋅
Si se aplica propiedad distributiva resulta: 
22 3609 cmxcmx =+ ,
que también puede expresarse como 
03609 22 =−+ cmxcmx .
1. Un diagramador debe definir las 
dimensiones de un folleto turístico. El 
área de cada página debe ser de 
360 cm2 y se requiere que el largo sea 
9 cm mayor que el ancho. ¿Cuáles 
deberán ser las dimensiones del folleto 
para que se cumplan ambas 
condiciones? 
2. El producto de dos números 
enteros consecutivos es 2070 .
¿Cuáles son dichos números? 
Ancho de 
la página ×
Largo de 
la página. =
Área de la 
página. 
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Curso de Ingreso 31 
La ecuación planteada se llama ecuación de segundo grado con una incógnita o ecuación 
cuadrática ya que el mayor exponente al que está elevada la incógnita es igual a 2 .
Una ecuación de segundo grado con una incógnita, una vez simplificada y ordenada, adopta 
la forma general: 
Rcbaaconcxbxa ∈≠=++ ,,;002
2.3.1.- Resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita 
Las soluciones de la ecuación general se obtienen aplicando la fórmula: 
a
acbbx
2
42
2,1
−±−=
El doble signo que aparece en la fórmula proporciona las dos soluciones 1x y 2x que tiene 
la ecuación. 
Las soluciones 1x y 2x se llaman también raíces de la ecuación cuadrática. 
Volviendo al problema 1, la ecuación que debe resolverse es: 
03609 22 =−+ cmxcmx , donde 1=a , cmb 9= y 2360cmc −= .
Sus soluciones se calculan aplicando la fórmula correspondiente. 
2
15219
12
)360(1499 2222
2,1
cmcmcmcmcmx ±−=
⋅
−⋅⋅−±−
=
cmcmcmx 15
2
399
1 =
+−=
cmcmcmx 24
2
399
2 −=
−−=
La solución cmx 242 −= se descarta porque no tiene sentido en este problema, ya que el 
ancho de la página no puede tener un valor negativo. 
Por lo tanto: Ancho: cm15 Largo: cm)915( +
Se concluye que el folleto deberá tener 15 cm de ancho y 24 cm de largo.
Problema 2 
Se deja como ejercicio el planteo y la resolución de este problema. 
2.3.2.- Tipos de soluciones de una ecuación cuadrática 
Analizando el radicando de la fórmula utilizada para el cálculo de las raíces, es decir: 
acb 42 − es posible determinar el tipo de soluciones que tiene la ecuación cuadrática 
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32 Curso de Ingreso 
02 =++ cbxax . Por este motivo, dicha expresión recibe el nombre de discriminante de la 
ecuación. 
• Si 042 >− acb , entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces (soluciones) reales 
y distintas 
Ejemplo: Resolver 0352 2 =−+ xx
049)3(242542 >=−⋅⋅−=− acb
4
495
2,1
±−=x
Soluciones: 
2
1
1 =x y 32 −=x
• Si 042 =− acb , entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces (soluciones) reales 
y coincidentes. 
Ejemplo: Resolver 0122 =+− xx
0114442 =⋅⋅−=− acb
2
442
2,1
−±=x
Soluciones: 121 == xx
• Si 042 <− acb , entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces (soluciones) 
complejas conjugadas. 
Ejemplo: Resolver 01342 =+− xx
036521613141642 <−=−=⋅⋅−=− acb
2
64
2
1364
2
)1(364
2
364
2,1
ix ±=−⋅±=
−⋅±
=−±=
Soluciones: ix 321 += y ix 322 −=
2.3.3.- Ecuaciones de segundo grado incompletas 
Para que 02 =++ cbxax sea una ecuación de segundo grado, debe ser 0≠a , pero puede 
faltar el término lineal, o el término independiente. Esto da lugar a ecuaciones incompletas 
de fácil solución. 
• Si 0=b , se tiene 02 =+ cax
Ejemplo: 032 2 =−x
2
32 =x
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Curso de Ingreso 33 
Soluciones: 
2
3
1 =x y 2
3
2 −=x
• Si 0=c , se tiene 02 =+ bxax
Ejemplo: 052 2 =+ xx







−=→=+
=
=+⋅
2
5052
0
0)52(
xx
o
x
sixx
Soluciones: 01 =x y 2
5
2 −=x
• Si 0=b y 0=c , se tiene 02 =ax
Ejemplo: 03 2 =x
Soluciones: 021 == xx
2.3.4.- Ecuaciones de segundo grado factorizadas 
En este caso la ecuación aparece descompuesta en factores e igualada a cero. 
Ejemplo: 0)3()2(4 =+⋅−⋅ xx
El primer miembro de la ecuación aparece como producto de tres factores y la igualdad se 
verifica cuando alguno de ellos es cero. 
Es evidente que, de los tres factores, sólo pueden anularse el segundo y el tercero. 
Por lo tanto, 





−=→=+
=→=−
=+⋅−⋅
303
202
0)3()2(4
xx
o
xx
sixx
De esta forma se han obtenido las dos raíces de la ecuación dada:21 =x y 32 −=x .
Si se aplica propiedad distributiva a la expresión factorizada, se obtiene la forma general de 
la ecuación de segundo grado. 
0)3()2(4 =+⋅−⋅ xx
0)3()84( =+⋅− xx
0248124 2 =−−+ xxx
02444 2 =−+ xx
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34 Curso de Ingreso 
Se puede comprobar que las raíces de esta ecuación, halladas a partir de la fórmula ya 
conocida, son efectivamente 21 =x y 32 −=x .
Si 02 =++ cbxax tiene raíces 1x y 2x , entonces )()( 21
2 xxxxacbxax −⋅−⋅=++ .
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Curso de Ingreso 35 
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 2 
1.- Ecuaciones de primer grado 
1.1. Comprobar que 12−=x es solución de la ecuación xxx −+=− 25103
1.2- Calcular el valor de x que verifica cada una de las siguientes ecuaciones. 
a. ( ) ( )xxx +−=−+ 2315
b. ( ) ( ) ( )14210 −⋅=−−+ xxx
c. 
3
423
6
12 +=−+− xxx
d. 1
23
1
2
1
−=




 −+ xxxx
e. ( ) ( ) xxx −=−−−
2
142
3
21
5
3
f. 
9
412
3
1
9
32 +=−++− xxxx
g. 
( )
4
22
6
53
5
14 xxx −=+−+
h. 
8
4
3
92
4
83
12
64 −
−
−=−−− xxxx
2.- Problemas que se resuelven con ecuaciones de primer grado 
2.1. La suma de dos números consecutivos da como resultado el cuadrado de 5. ¿Cuáles 
son dichos números? 
2.2 La suma de dos números pares consecutivos es 74. ¿Cuáles son dichos números? 
2.3. Hallar tres números consecutivos tales que el primero, más la mitad del segundo, más 
la tercera parte del tercero, sea igual a 58. 
2.4. Averiguar un número tal que el duplo del mismo disminuido en 1 es a 8, como la mitad 
del número es a 3. 
2.5. María tiene que subir rollos de tela en un ascensor en el que se pueden cargar hasta 
350Kg. ¿Cuál es el mayor número de rollos que puede subir en cada viaje, si ella pesa 55kg 
y cada rollo pesa 18kg? 
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36 Curso de Ingreso 
2.6. Un padre tiene 36 años y su hija 6. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el 
doble que la edad de la hija? 
2.7. Eduardo salió el sábado con sus amigos. La mitad del dinero que llevaba lo gastó en 
comer, la mitad de lo que le quedó lo gastó en ir a bailar y aún le sobraron $13. ¿Con cuánto 
dinero salió de su casa? 
2.8. Después de recorrer 
15
7
de un camino aún quedan 
3
1
km para completar la mitad del 
recorrido. ¿Qué longitud tiene el camino? 
2.9. El abuelo de Victoria se dedica a la cría de canarios. La semana pasada, distribuyó sus 
250 pájaros en tres jaulas grandes: en la primera hay 30 menos que en la segunda, y en 
ésta, 10 menos que en la tercera. ¿Cuántos canarios hay en cada jaula? 
2.10. Si gasté 
8
5
del dinero que tenía y $20 más; me quedé con la cuarta parte de lo que 
tenía y $16 más. ¿Cuánto dinero tenía? 
2.11. ¿Cuál es el ancho de un rectángulo que mide 16 cm de largo si su área es equivalente 
al área de un cuadrado de 12 cm de lado? 
2.12. En un rectángulo, el largo excede en 8 cm al ancho. Si el perímetro mide 72 cm. ¿Cuál 
es su área? 
2.13. El perímetro de un cuadrado de lado 2m es igual al perímetro de un rectángulo cuyo 
largo es el triple del ancho. ¿Cuál es la superficie del rectángulo? 
2.14. Todas las figuras tienen área 1m2. Hallar el valor de x. Expresar todos los resultados 
sin radicales en el denominador. 
 
2.15. El señor López retiró el 25% de sus ahorros para comprarse una campera cuyo costo 
es de $250. ¿Cuántos pesos tenía ahorrados? 
( )m25 −
x
a. b. 
x
m2
m6
c. 
x
mh 7=
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Curso de Ingreso 37 
2.16. Se vende mercadería en $77,60 perdiendo el 3% de lo que costó. ¿Cuál es el costo? 
3.- Ecuaciones de segundo grado 
3.1. Calcular los valores de x, v, t o z que satisfacen cada una de las siguientes ecuaciones. 
a. 082 2 =+x
b. 0
4
12 =++ xx
c. 042 =+ tt
d. 0122 2 =− xx
e. ( )( ) 037 =−+ vv
f. 0144 2 =++ xx
g. 0135 2 =+− xx
h. 0
2
92 2 =− xx
i. 0
4
1
2
1 2 =−




 −x
j. 313
2
3 2 =




 +−t
k. xx 3621 =−
l. 12 5
4
325
5
1 −=+x
m. 135
3
1 2 =




 +− t
3.2. Utilizar el discriminante para determinar qué tipo de soluciones tienen las siguientes 
ecuaciones: 
a. 094 2 =−x
b. 0422 =−− xx
c. 03
4
2
=−− xx
d. ( ) 422 2 −=−x
e. 0142 2 =+− tt
f. ( ) ( )1492 2 +⋅+=++ xxxx
g. ( ) 012
2
1 =−⋅




 − xx
3.3 ¿Para qué valor de k la ecuación 0122 =+− kxkx tiene raíces reales iguales? 
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38 Curso de Ingreso 
4.- Problemas que se resuelven con ecuaciones de segundo grado 
4.1. ¿Cuál es el número natural cuyo cuadrado menos su duplo es igual a 15? 
4.2. Calcular los números que cumplen: la suma entre el número y la mitad de su cuadrado 
es igual a 60. 
4.3. Calcular un número tal que el producto entre la mitad de dicho número y su cuarta 
parte, más la tercera parte de su antecesor es igual a 37. 
4.4. Calcular la edad de Lorena si sabemos que el cuadrado de su edad menos las tres 
cuartas partes del cuadrado de lo que va a tener el año que viene es igual a la edad que 
tenía el año pasado más 43 años. 
4.5. Una sección de un piso de madera mide 450 cm2 de área. Esta sección está formada 
por 6 piezas rectangulares idénticas ubicadas como indica la figura. Calcular las dimen- 
siones de cada pieza 
.
4.6. Calcular el perímetro de cada una de las siguientes figuras. 
 
5cm
x+1cm
x
x+7cm
2x-3cm A= 84cm2
x+1cm
x-7cm
x
x+5cm
x+4cm
x-3cm
x+9cm
x+11cm
4cm-8x
A=160cm2
2x-5cm
x+2cm
A=90cm2
a. b. 
c. d. 
f. 
x x
e. 
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Curso de Ingreso 39 
4.7. En una empresa, la cantidad ”c” de conexiones telefónicas que se pueden hacer con un 
conmutador, al cual están conectados “n” aparatos, está dado por la ecuación ( )1
2
1
−= nnc .
El operador puede realizar con el conmutador 496 conexiones, ¿cuántos aparatos “n” están 
conectados? 
5.- Encontrar el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones.
a. ( ) ( ) ( ) ( )xxxx 61322354 +⋅−=−⋅+
b. ( ) 331 22 =−++ xxx
c. ( ) ( ) ( )58224 +⋅−=−⋅+− xxxx
d. ( ) ( ) 011 =+⋅− xx
e. 2)3()5( =+⋅+ xx
f. )1()52(2 +⋅+= xx
g. 
6
1115
2
1 +=+ xx
6.- Problemas 
6.1. En la primera etapa de un viaje se ha gastado la mitad del contenido de combustible de 
un auto y en la segunda etapa se gastó la mitad de lo que quedaba. Aún quedan 15 litros. 
¿Cuántos litros tenía el tanque de combustible al iniciar el viaje? 
6.2. Sabiendo que la altura de un rectángulo es la mitad de su base y que su superficie mide 
32cm2. ¿Cuánto miden la base y la altura? 
6.3. Un filatelista dice poseer un número de estampillas tal que, triplicado y sumado a la 
mitad de su consecutivo es igual a 6122. ¿Cuántas estampillas posee? 
6.4. En una cancha de tenis el largo, de 26m, excede en 2m al doble de su ancho. ¿Cuál es 
su ancho? 
6.5. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado cuyo perímetro es 10cm mayor que el perímetro 
de un rectángulo de largo igual al lado del cuadrado y de ancho igual a 4cm? 
6.6. El cuadrado de un número menos su quíntuplo es igual a 6. ¿Cuál es el número natural 
queverifica esta condición? 
6.7. Un hombre cercó un terreno rectangular cuyo perímetro es 400m y pagó $3720. El 
frente del terreno mide 60m. El precio por cada metro de cerca frontal es $2 más caro que el 
precio por cada metro del resto de la cerca. ¿Cuál es el precio por cada metro para la cerca 
frontal y para el resto? 
Unidad 2: Ecuaciones FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ 
 
40 Curso de Ingreso 
6.8. Encuentre dos números consecutivos enteros, cuyo producto es mayor en 41 a su 
suma. 
6.9. De un depósito lleno de líquido se saca la mitad del contenido, después la tercera parte 
del resto y quedan aún 1600l. Calcular la capacidad del depósito en cm3.
6.10. El triplo de un número supera en 2 a su cuadrado. ¿Cuáles son los números que 
verifican esta condición? 
6.11. La suma de tres corrientes es de 12 A (Amperes). Si la más pequeña es de 2A menos 
que la siguiente, la que a su vez es 2A menos que la mayor. ¿Cuáles son los valores de 
cada una de las tres corrientes? 
6.12. Durante la mañana, se llenó la cuarta parte de la piscina de un club, durante la tarde 
se llenaron las dos quintas partes y aún faltan 4116 litros para llenarla completamente. 
¿Cuál es la capacidad de la piscina? 
6.13. Aldo y Bruno tenían cada uno la misma cantidad de dinero para gastar durante dos 
semanas de vacaciones. 
Durante la primera semana Aldo gastó la mitad de su dinero, durante la segunda semana 
gastó la tercera parte de su dinero y el resto lo ahorró. 
En cambio Bruno gastó la primera semana la cuarta parte de su dinero y logra ahorrar el 
doble de lo que ahorró Aldo. 
Si se tiene como información que Bruno ahorró $156. ¿Cuánto dinero gastó Bruno la 
segunda semana? 
 
6.14. De una pileta con agua se extrae la tercera parte de su contenido, después la mitad 
del resto y quedan aún en la pileta 14875 litros de agua. 
a. Calcule el volumen de agua que había en la pileta antes de comenzar el vaciado. 
Exprese el resultado en m3
b. Determine el valor de la altura que alcanzaba el agua en la pileta, sabiendo que ésta 
tiene forma de paralelepípedo con 75dm de largo y 35dm de ancho. Exprese el 
resultado en m. 
 
6.15. Con 29 baldosas más, el piso de mi habitación, que es cuadrada, tendría exactamente 
una baldosa más por lado (ver figura). 
 Piso de mi habitación 
n baldosas 
n baldosas 
(n+1) baldosas
(n+1) baldosas 
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ Unidad 2: Ecuaciones 
 
Curso de Ingreso 41 
a. ¿Cuántas baldosas tiene el piso de mi habitación? 
b. La longitud del lado de cada baldosa es 25cm ¿cuál es el área del piso de mi 
habitación? 
6.15. Una gota de aceite de 9x10-7kg de masa y de 0,918g/cm3 de densidad se esparce en 
un círculo de 41,8cm de radio sobre la superficie del agua. ¿Cuál es el espesor de esta 
“película” de aceite? 
6.16. Como consecuencia del calentamiento global del planeta, el hielo de algunos glaciares 
se está derritiendo. Doce años después de que el hielo haya desaparecido, empiezan a 
crecer en las rocas unas plantas diminutas, llamadas líquenes. Los líquenes crecen 
aproximadamente en forma de círculo. 
La relación entre el diámetro de este círculo y la edad del liquen se puede expresar 
aproximadamente mediante la fórmula ( )120,7 −= td siendo d el diámetro del liquen en 
mm y t el número de años transcurridos desde que el hielo ha desaparecido. 
a. Calcular el diámetro que tendrá un liquen 16 años después de que el hielo haya 
desaparecido. 
b. ¿Qué puede decir de los líquenes cuando hayan transcurrido 8 años desde la 
desaparición del hielo en el lugar? 
c. Si el diámetro de un liquen mide 0,035m. ¿Cuánto tiempo ha transcurrido desde que 
el hielo desapareció del lugar? 
d. Si se mide otro liquen y se obtiene el doble del diámetro que en el caso anterior. 
¿Cuánto tiempo ha transcurrido desde que el hielo desapareció de ese lugar?