Guia 11 (Matrices)

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Primer semestre del 2014 
 GUÍA 11 MAT E‡ ""!
 Sistemas lineales y matrices 
 Luis Zegarra A.
 
1. Exprese la matriz ampliada(o aumentada) de cada uno de los sistemas y luego
resuélvalos:
 a) b) # B  $B œ ' B  B  #B œ %
B  #B œ % B  #B  %B œ &
 $B  B  B œ '
" # " # $
" # " # %
# $ %
 c) B  # C  D œ &
# B  $ C  #D œ %
$ B  C  %D œ #
 %B  #C  &D œ "
 Respuesta.
 a c)Ñ B œ ß B œ
!
#
 #%
'
"(
” • Ô ×Õ Ø b
 
Ñ B œ 
" >
$ $
%"  "'
 "$ #
 #" *
! $
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù
Õ Ø Õ Ø
2. Determine y de modo que los sistemas dados, tengan: única solución, infinitas5 :
 soluciones o bien no tenga solución
 a) b) 5 B  B œ : 5 B  B  B œ 5
B  #B œ " B  5 B  B œ :
B  B  5 B œ 5
" # " # $
" # " # $
" # $
#
 c) a b5  " B  # C œ '
B  C  D œ !
B  5 C œ :
 Respuesta.
 a) Única solución, si y cualquier real.5 Á :
"
#
 No tiene solución si y ß 5 œ : Á
" "
# #
 Infinitas soluciones, si que es 5 œ : œ ß B œ  >
"
#
"  #
! "” • ” •
b Única solución, si cualquier real.Ñ 5 Á  # • 5 Á "ß :
 No tiene solución si 1ß Ð5 œ  # • : Á  #Ñ ” 5 œ " • : Á Þa b
 Infinitas soluciones, si Ð 5 œ  # • : œ  #Ñ ” 5 œ " • : œ "a b
 c) Única solución, si cualquier real.5 Á # • 5 Á  "ß :
 No tiene solución si ß Ð5 œ # • : Á 'Ñ ” 5 œ  " • : Á  $ Þa b
 Infinitas soluciones, si Ð 5 œ # • : œ 'Ñ ” 5 œ  " • : œ  $a b
3. La solución de un sistema esta dado por
 parámetros reales.B œ  >  > ß > ß >
# #  &
! " !
 $  $ $
! ! "
Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø" " ##
 a) ¿Cuántas variables y ecuaciones tiene el sistema?.
 b) Cuál es la solución considerando las variables y como parámetros.B B" #
 c) ¿Es una solución particular del sistema el vector
 ?
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø
 ""
"
$
$
 d) ¿ es una solución del sistema homogeneo asociado?
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø
 "
#
 $
"
4. Sea demuestre que existe un único que pasa por los: B œ + B  ,B  - : Ba b a b#
puntos y si E B ß C ß FÐB ß C Ñ G B ß C ß +  ,  -Þa b a b" # # # $ $
5. una solución particular está dadda porResuelva el sistema dado, si 
 B œ ß
"#
"!
 $
&
!
:
Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø
 
 
 
B  B  #B  'B œ +
B  $B  %B  #B œ ,
B  #B  'B  $B œ -
B  B  B  B  B œ .
" # $ &
" # % &
# $ % &
" # $ % &
 Respuesta.
 Para: y la solución del sistema resulta+ œ #)ß , œ  $)ß - œ %' . œ $!
 B œ  >
"# #"Î"$
"!  "&Î"$
 $ %#Î"$
& #$Î"$
! "
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø
6. Si
 ,
 
B œ
"
"
$
&
:
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø
 es una solución particular de un sistema lineal cuyo sistema homogéneoß
 asociado es
 
 B  #B  $B  %B œ !
%B  $B  #B  B œ !
#B  B  %B  (B œ !
" # $ %
" # $ %
" # $ %
 a) Resuelva el sistema y use esta solución para resolver EB œ ! EB œ ,
b) Determine el sistema lineal EB œ ,
7. Sea
 B œ  > ß > − à
" +
 # ,
! "
$ -
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø
 una solución del sistema lineal‘
 B  $B  #B œ" $ % !
 $B  #B  B œ" # % "
 B  B  B  #B œ" # $ % #
 $B  B  #B  $B œ" # $ % $
 Determine: y ! " # $ß ß ß ß +ß , -Þ
 Respuesta.
 y ! " # $œ (ß œ %ß œ  $ß œ "%ß + œ  "$ß , œ  ## - œ &
8. Resuelva el sistema dado, considerando como parámetros(o variables libres)
a las variables y indicando el valor adecuado de B B ß$ & 5Þ
 B  B  B  B œ "" # $ &
 #B  $B  B  #B œ #" # % &
  B  #B  #B  B œ !" $ % &
 $B  &B  %B  B  $B œ 5" # $ % &
9. Sea un sistema lineal, que tiene al menos dos soluciones diferentes E\ œ ,ß ?
 y @Þ
 a) Demuestre que es una solución para todo natural.\ œ ?  5Ð?  @Ñ 55
 b) Demostrar que implica que \ œ \ 5 œ 7Þ5 7
 c) Deduzca que tiene infinitas soluciones.E\ œ ,
10. Una empresa fabrica 3 productos, obteniendo una utilidad de $7000, $6000 y
$5000 por unidad de cada producto, respectívamente. En la tabla adjunta están
resumidas las necesidades de procesamiento en los departamentos de: elaboración,
armado y mano de obra, por unidad de bien producido.
 Productos Hrs.de elaboración Hrs. de armado Hrs.de mano de obra
 1 10 8 6
 2 5 7 5
 3 4 2 4
 Para la producción de estos bienes se disponen de: 148 hrs. en el depto. de elabora
 ción, 142 en armado y de 114 hrs. en el de mano de obra.
 a) Calcular el número de unidades de cada producto que se puede elaborar, con
todos los recursos disponibles.
 b) Calcular la utilidad obtenida por la empresa por fabricar y producir estos 3
productos.
 c) Si los recursos en cada uno de los departamentos se reducen en un 50% calcular
 sin resolver un nuevo sistema lineal, las unidades de los productos a fabricar.
 d) Si con la misma distribución de hrs. por departamento y producto, el vector
solución es el mismo, excepto para el producto 3 que es 0, ¿Cual es el nuevo
nivel de recursos y cual es el cambio en dichos recursos por departamento?
 e) Suponga se introduce en procesamiento un nuevo departamento, el de control de
 calidad con:
 4 hrs. por unidad de producto 1
 2 hrs. por unidad de producto 2
 3 hrs. por unidad de producto 3
 De cuantas hrs. debe disponer éste departamento de modo que se mantenga el
 nivel de utilidades.
11. Una firma de transporte posee tres tipos distintos de camiones, A, B y C. Los
camiones están equipados para el transporte de maquinaria pesada: Horquillas y
rodillos rompe hielo. Cada camión tipo A puede transportar 2 horquillas, cada
camión tipo B puede transportar una horquilla y un rodillo rompe hielo, cada
camión tipo C una horquilla y dos rodillos rompe hielo. La firma consigue una
orden para transportar 32 horquillas y 10 rodillos rompe hielo.
 a) Determine el número de camiones de cada tipo que se requieren para cumplir la
 orden, asumiendo que, cada camión debe estar completamente cargado
 y el número exacto de máquinas pedidas es el que se debe despachar.
 b) Si la operación de cada tipo de camión tiene el mismo costo para la firma, ¿cuál
 es la solución más económica?
 Respuesta.
 a) Si , y el número de camiones tipo A, B y C respectivamente, entoncesB B B" # $
 se pueden dar las siguientes combinaciones
 N° de camiones
11 
B B B
"! ! #"
"# ' # #!
"$ # % "*
" # $
b)
 La solución más económica debido a que el costo por camión es el mismo, es
 aquella que ocupa el menor número de camiones, es decir: camiones tipo A,"$
 2 tipo B y 4 camiones tipo C.
12 Una compañía de inversiones vende tres tipos de fondos de inversión, estándarÞ
(E), de lujo (D) y Gold Star (G). Cada unidad de E tiene 1 acción tipo A, 2 tipo B y
3 tipo C. Cada unidad de D tiene 4 acciones tipo A, 1 tipo B y 2 tipo C. Cada
unidad de G tiene 5 acciones tipo A, 3 tipo B y 5 de C. Suponga que un
inversionista desea comprar exactamente 10 acciones tipo A, 13 acciones tipo B y
20 tipo C, comprando unidades de los tres fondos.
a) Determine las combinaciones de unidades E, D y G que satisfagan los
 requerimientos del inversionista.
b) Suponga que cada unidad de E, D y G cuesta al inversionista $300, $400 y $600
 respectivamente. ¿Cuales de las combinaciones encontradas en a) minimizará el
 costo total del inversionista?
Solución.
 Sean: número de acciones estándarB
 número de acciones de lujoC
 número de acciones Gold StarD
 para el fondo de inversión E se debe cumplir B  %C  &D œ "!
 para el fondo D, #B  C  $D œ "$
 y para E, $B  #C  &D œ #!
 nótese que y enteros.Bß Cß D   !
Resolviendo el sistema resulta œB œ '  DC œ "  D
Como entonces por tanto solo puedetomar dosBß Cß D   ! ! Ÿ D Ÿ "ß D
 valores: y con lo que:D œ ! D œ "ß
 I) , B œ 'ß C œ " D œ !
 II) B œ &ß C œ !ß D œ "
b)
 El costo para la alternativa I es: 6 300 †  " † %!!  ! † '!! œ ##!!
 para II es: 5 300†  " † '!! œ #"!!
Por tanto la alternativa II es la más económica posible.
13. Dada la matriz inversa de por:Eß
 
Ô ×
Õ Ø
" !  "
! " "
 "  " #
 Resuelva el sistema para e matrices de dado por:ß \ ] $ ‚ $
 \  ] œ E
 E] œ E" >
14. Resolver la ecuación, para matriz de \ $ ‚ $
 E\F œ G
 donde:
 E œ ß F œ ß G œ
" ! " " # "
! " #  "  " #
 " " # ! " $
" " (
 " # #*
! $
Ô × Ô × Ô ×
Õ Ø Õ Ø Õ Ø""
#
15. Demuestre las siguientes afirmaciones si son verdaderas y de un contra ejemplo en
en caso de ser falsas.
a) Si y son dos matrices invertibles entonces E F ÐE  FÑ œ E F" " "
 b) Si y son dos matrices simétricas y que conmutan entonces esE F Ð#E  EFÑ
 una matriz simétrica
c) Si es invertible y no es invertible entonces no es invertible.E F EF
d) Si y son soluciones del sistema entonces es unaB B EB œ ,ß ÐB  B Ñ" # " #
 solución del sistema homogéneo EB œ !Þ
16. Sean definida porE − Q8‚8
 
si 
si
+ œ
"  B 3 œ 4
B 3 Á 434
3
4
œ
 donde: B  B  † † † † †  B œ "" # 8
 a) Calcule la traza de >< E Ð EÑß >< E œ +!
3œ"
8
33
 b) Averigue si es invertible. E
17. Sean la matriz de definida por y si E œ Ò+ Ó 8 ‚ 8 + œ < + œ ! 3 Á 434 33 34
 a) Demuestre que si es cualquier matriz de , entonces F 8 ‚ 8 EF œ <FÞ
 b) Indique que condiciones deben cumplir y de modo que sea< Fß EF
 invertible.
18. a) Sea una matriz antisimétrica de y Demuestre queE 8 ‚ 8 ÞB − ‘8
 0,B B B> 8E œ a − Þ‘
 b) Demuestre que si es antisimétrica. es antisimétrica para cualquierE E8
 entero positivo impar.
19. Sea una matriz de orden con Determine un número talE 8 + œ "ß a 3ß 4Þ -34
 que sea la inversa de M  -E M  EÞ8 8
20. a) Sea es singular si y solo si alguna de las matricesQ œ E E † † † E ß Q" # 8
 es singular.E ß 3 œ "ß #ß ÞÞÞ ß 83
 b) Si es una matriz de orden simétrica e invertible, demuestre que laE 8
 matriz es simétrica, donde F 5EF œ M  EÞ
 c) Si es de y satisface demostrar que es\ 8‚7 \ \ œ M ß M  #\\> >7 8
 autoinvertible (tiene como inversa a ella misma) y simétrica.
 d) Sea de y suponga invertible T œ T ß 8 ‚ 8 ÐM  +TÑ a+ Á "ß# 8
 demostrar que À
 ÐM  +TÑ œ M  T
+
"  +
8 8
" ˆ ‰
21. Dado el sistema lineal EB œ ,ß
 B  #C  D œ #
  B  C  D œ ! " !
 #B  %C  # D œ %" "
 #B  Ð  'ÑC  Ð  "ÑD œ! " #
 
 a) Encuentre los valores de y para que el sistema tenga única solución.! " #ß
 b) Encuentre los valores de y para que el sistema sea inconsistente.! " #ß
 c) Encuentre los valores de y para que el sistema tenga infinitas! " #ß
 soluciones, resuelva para el caso en que tenga un párametro
 d) Considere y determine de modo que sea unaÀ œ % ß œ " ,! " #
 combinación lineal de los vectores columna de la matriz siempre que seaEß
 posibleÞ