1 Maturana - Matemáticas Financieras

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Apuntes de Contabilidad II Prof. Gustavo Maturana R. 
Capítulo I. 
Matemáticas Financieras 
 
1.1 Valor Tiempo del Dinero 
 
Supongamos que estamos en un mundo donde no existe inflación y se nos plantea la 
posibilidad de elegir $100 hoy versus $100 en un año más, ¿Qué preferiríamos? La 
respuesta es $100 hoy, ya que existe un interés que puede ser ganado sobre esos $100 
durante un año, es decir, podríamos depositar esos $100 en el banco durante un año, al 
cabo del cual tendríamos $100 más el interés ganado. 
 
La tasa de interés ofrecida por el banco determina el costo alternativo o de oportunidad de 
los fondos. Supongamos que esta tasa es de 10% anual y los $100 son guardados en una 
caja fuerte. Al cabo de un año tendremos los mismos $100, pero si los hubiéramos 
depositado en el banco tendríamos $110. El valor futuro de esos $100 hoy, será menor 
si no son invertidos, o en otras palabras, hemos perdido $10, el uso alternativo de los 
fondos. $100 hoy no son lo mismo que $ 100 en un año más. 
 
Valor Futuro: es el valor alcanzado por un capital o principal invertido al final del período 
analizado. Es el valor en el futuro financieramente equivalente a una cantidad de dinero 
hoy. Financieramente equivalente se refiere al hecho que permite la misma cantidad de 
consumo intertemporal. 
 
Si definimos: 
r: Tasa de interés. 
P: Monto Invertido Hoy. 
 
Entonces, 
 
)1( rPrPPVFFuturoValor +=+==
 
En este caso, si la tasa de interés r fuera anual, una persona estaría financieramente 
indiferente entre recibir P hoy o VF en un año más. 
 
Supongamos que tenemos una tasa de interés de 10% anual, entonces podemos definir la 
siguiente matriz de doble entrada: 
 
En un 
Año 
más 
Hoy 
En un Año más Hoy 
Quiere Consumir 
$100 
$110 $100 
$110 
Figura 1.1: 
 
 
 
 
 
 
Cuenta 
con el 
Dinero 
 
 
 
 
 
 
 
Si tenemos la situación descrita en la Figura 1, debemos preguntarnos si una persona 
estaría indiferente entre estas situaciones, es decir, recibir $100 hoy o $110 en un año 
más. Para respondernos debemos determinar las posibilidades de consumo en una u otra 
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situación. Si existe una mayor posibilidad de consumo en una situación en particular 
concluiremos que estas cantidades no son de equilibrio. En nuestro análisis 
consideraremos que no existe inflación. 
 
En primer lugar, si comparamos el tener $100 hoy con $110 en un año más, claramente 
debemos concluir que en un año más podemos comprar más cosas que las que 
compraríamos hoy, pues tenemos más riqueza. El punto, sin embargo, es si en ambas 
situaciones tenemos las mismas posibilidades de gasto, tanto hoy como en un año más. 
 
Supongamos que tenemos $100 hoy y queremos gastarlo todo hoy, podemos gastar un 
máximo de $100. Si por el contrario, queremos gastar todo en un año más, pondríamos 
los $100 en el banco, donde ganarían 10% de interés, retirando en un año más $110, lo 
que representa el máximo gasto en un año más. 
 
Por otro lado, si en realidad no tenemos dinero hoy, pero sí tendremos $110 en un año 
más y queremos gastar todo hoy y nada en un año más, debemos pedir un préstamo por 
un máximo de $100, gastarlos hoy, y en un año más pagar el préstamo más los intereses 
de 10% con el flujo de $110 que recibiremos. Finalmente, si queremos gastar todo en un 
año más, debemos esperar un año y gastar $110 apenas recibamos el flujo. 
 
Como vemos, tenemos las mismas posibilidades de gasto tanto hoy como en un año más, 
independientemente si tenemos $100 hoy o $110 en un año más. Por esta razón, $100 
hoy son financieramente equivalentes a $110 en un año más, a pesar que exista un 
crecimiento intertemporal de la riqueza. Por esta razón, $110 es el valor futuro (en un 
año más) de $100 hoy. 
 
¿Qué sucede si deseamos calcular un valor futuro a más de un período? En ese caso 
debemos definir el tipo de interés que estamos hablando. 
 
1.2 Interés Simple. 
 
El concepto de interés simple es aquél que no considera la reinversión de los intereses 
ganados en períodos intermedios. Por ejemplo, si deseamos calcular el valor futuro de 
$100 en dos años más, definiendo una tasa de interés anual de 10% (igual para cada 
período), obtenemos: 
 
Figura 1.2: 
 
 120$%)1021(100$100$%10100%10100 =×+=+×+×=VF }
Interés Ganado 
Segundo Año 
}
I terés Ganado 
P imer Año 
 
 
Inversión Inicial 
 
 
 
En el caso de la F
no son reinvertido
calculado para n p
 
Ecuación 1.1: 
 
 
$
n
r
igura 2, obse
s, es decir, es
eríodos utiliz
$
rvamos que los intereses recibidos durante el primer año 
 como si fueran recibidos y gastados. Si el valor futuro es 
ando interés simple, entonces: 
)1( nrPVF +=
6
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Donde, 
 
VF: Valor Futuro 
P: Principal (valor invertido hoy) 
n: Número de períodos. 
r: Tasa de interés. 
 
1.3 Interés Compuesto. 
 
En el caso de interés compuesto, se está suponiendo reinversión de los intereses 
obtenidos en períodos intermedios, por lo que para el ejemplo anterior obtendríamos: 
 
Figura 1.3: 
 
$10010%10%$10010%$10010%$100VF +××+×+×= 
Prin
}
 
}
I terés Ganado 
D rante el Primer 
A
}
terés Ganado 
Durante el 
 cipal Inicial 
 
 
 
 
 
 $100(1+= 
 
La diferencia con
derecho de la ec
los intereses gan
$121 - $120). Po
 
Ecuación 1.2: 
 
Como vemos, la
simple es notable
tasa de interés y
diferencias entre
períodos largos d
 
 
 
$100, @ 10%, 40 a
$100, @ 5%, 40 añ
$100, @ 15%, 40 a
 
Pese a que es po
es necesario reca
adecuada para tr
práctica es qu
reinvirtiéndolos. 
 
1 Muchas veces se le
contable. Otra form
 
n
u
ño por Principal 
10%10%2 +×
 el caso de in
uación, esto es
ados por el pr
r su parte, si e
 diferencia con
, ya que en el 
 en el segundo
gadas por am
e tiempo o bien
Inte
Ecua
ños $100(1+
os $100(1+0
ños $100(1+0
sible encontrar
lcar que finan
abajar, pues s
e al no reti
 Cuando un b
 
 llama al monto in
a en la cual se le ll
In
Segundo Año 
Por Principal 
$100(110%) +=×
terés simple vien
, el interés ganad
incipal durante e
l valor futuro es c
nrPVF )1( +=
 el cálculo de v
primer caso estam
, de una función 
bos métodos pu
 tasas de interés 
rés Simple 
ción VF 
0,1x40) $500 
,05x40) $300 
,15x40) $700 
 ejemplos de aplic
cieramente es la 
upone la reinvers
rar los interese
anco presta diner
vertido “capital”, lo q
ama es “Principal”. 
In
terés Ganado 
Durante el 
Segundo Año 
por Interés del 
Primer Año
$121210%) =
e dado por el tercer elemento del lado 
o durante el segundo año por reinvertir 
l primer año (10%x$100x10% = $ 1 = 
alculado para n períodos: 
alor futuro bajo el supuesto de interés 
os hablando de una función lineal de la 
exponencial. Por esta última razón, las 
eden ser enormes cuando compramos 
grandes. Por ejemplo 
Interés Compuesto 
Ecuación VF Diferencia 
$100(1+0,1)40 $4.525,93 9,05 Veces 
$100(1+0,05)40 $704,0 2.35 Veces 
$100(1+0,15)40 $26.786,35 38,27 Veces 
aciones para cálculos de interés simple, 
definición de interés compuesto la más 
ión de los intereses. Lo que ocurre en la 
s de un monto invertido1, estamos 
o y durante un período no son pagados 
ue obviamente es diferente al Capital pagado 
7
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los intereses, se crea una nueva deuda equivalente en monto a lo prestado originalmente 
más los intereses no pagados, la cual generará a su vez intereses por cada período futuro 
mientras no sea pagada. 
 
1.4 Valor Presente. 
 
En este caso nos haremos la pregunta exactamente inversa: ¿Qué valor en dinero a 
recibir hoy es financieramente equivalente a un flujo que se recibirá en el próximo 
período? En esta ocasión el flujo se encuentra en el futuro y lo que buscamos es la 
cantidad de dinero financieramente equivalente hoy. Si definimos como F el flujo a recibir 
el próximo período y r como la tasa de interés para el período, entonces el Valor Presente 
de F es: 
 
Ecuación 1.3: 
)1(r
FVP
+
=
 
En este caso, una persona que espera recibir un flujo futuro de $110 en un año más, 
estaría financieramente indiferente si le ofrecen recibir $100 hoy, si la tasa de interés 
para este año es de 10%. Nuevamente, si buscamos el valor presente de una cantidad a 
recibirse en n períodos más, en circunstancias que la tasa de interés es de r por y para 
cada período, debemos definir de qué tipo de interés estamos hablando. 
 
Si es interés simple, el valor presente en cuestión debería ser calculado de la siguiente 
manera: 
 
Ecuación 1.4: 
)1( rn
FVP
+
=
 
Mientras que para el caso de interés compuesto, el valor presente sería calculado así: 
 
Ecuación 1.5: 
nr
FVP
)1( +
=
 
Los argumentos acerca de la conveniencia financiera de usar el supuesto de interés 
compuesto presentados en la discusión del valor futuro son igualmente aplicables al valor 
presente, por lo que en adelante trabajaremos con el supuesto de interés compuesto y se 
dejará en claro cuando se esté hablando de interés simple. 
 
Generalmente, en el cálculo de un valor presente no hablamos de ‘tasa de interés’ sino 
más bien de ‘tasa de descuento’ o ‘tasa exigida’, debido a que al flujo futuro se le ‘exige’ 
una tasa de interés por período o bien, se descuenta a una tasa de interés para ‘traerlo’ al 
presente. De la misma manera, un valor presente de un flujo F a recibirse en n períodos 
más puede ser descompuesto en la siguiente multiplicación: 
 
n
n rFr
FVP −+×=
+
×= )1(
)1(
1
 
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Donde 1/(1+r)n o bien (1+r)-n es llamado ‘factor de descuento’ y corresponde al valor 
presente de un peso ($1) a recibir en n períodos más. En este sentido, F puede ser 
interpretado como la cantidad de dichos pesos que serán recibidos, por lo que el valor 
presente de F es la simple multiplicación de ambos. 
 
1.5 Valor Presente de Varios Flujos. 
 
Si deseamos calcular el valor presente de un patrón de flujos (no sólo uno) simplemente 
debemos calcular el valor presente de cada flujo individual y luego sumarlos. De esta 
manera obtendremos un valor que es financieramente equivalente al patrón de flujos 
planteado, es decir, una persona debería estar indiferente entre recibir dicho valor 
presente o el patrón flujos. 
 
Por ejemplo, una persona desea calcular el valor presente del siguiente patrón de pagos 
utilizando una tasa de descuento de 5%: 
 
 Período 1 Período 2 Período en 3 Período en 4 
 
Flujo $100 $50 $200 $150 
Valor Presente: = $100/(1+0,05) + $50/(1+0,05)2 + $200/(1+0,05)3 + $150/(1+0,05)4
Valor Presente: $436,76 
 
Es decir este patrón de flujos es financieramente equivalente a un solo pago de $ 436,76, 
ya que si invierto ese monto en t = 0 al 5% y retiro $100, $50, $200 y $150, en el período 
1, 2, 3, y 4 respectivamente, al final del cuarto período tendré $0. 
 
Figura 1.4: 
 
 Hoy 
$436,76 
Período 1 
$458,6 
-$100 
 
$358,6 
Período 2 
$376,53 
-$ 50 
 
$326,53 
Período 3 
$342,86 
-$ 200 
 
$142,86 
Período 4 
$ 150 
-$ 150 
 
$0 
x(1,05) 
x(1,05) 
x(1,05) 
 
x(1,05) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¿Qué sucede cuando debemos comparar patrones de flujos en distintos momentos del 
tiempo? Por ejemplo, supongamos que tenemos el siguiente problema: 
 
 Flujo en 1 Flujo en 2 Flujo en 3 Flujo en 4 Flujo en 5 VP @ 10% VP @ 15% 
 
A $100 $100 $100 $0 $0 $248,69 $228,32 
B $0 $100 $200 $0 $0 $232,91 $207,12 
C $100 $200 $0 $0 $0 $256,20 $238,19 
D $70 $70 $70 $70 $70 $265,36 $234,65 
 
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Para el caso de los patrones de pagos A, B y C, basta con que exista una tasa de 
descuento positiva (distinta de cero) para que, sin calcular ningún valor presente, 
sepamos que el patrón C es más valioso (posee mayor valor presente). Sin embargo, si 
introducimos el patrón de flujos D, nos vemos en la necesidad de calcular el valor 
presente para determinar si C o D es más atractivo, ya que la suma lineal de los flujos 
(suponiendo tasa de descuento cero) no es igual. De esta manera, vemos que para una 
tasa de descuento de 10%, el patrón D posee mayor valor, mientras que para una tasa de 
descuento de 15%, el C pasa a ser más valioso. Como los flujos de C son recibidos más 
tempranamente, si son invertidos a la tasa de 15%, es posible, reinvirtiendo a dicha tasa 
replicar el patrón de pagos D, sobrando cierta cantidad de dinero.2
 
Resumiendo, podemos definir una fórmula bastante general para calcular el valor 
presente de un patrón de flujos: 
 
Ecuación 1.6: 
∑
=
= +
=
ni
i
i
i
r
F
1 )1(
Flujos los de PresenteValor 
 
Esta fórmula contiene sólo el supuesto que las tasas de descuento para todos los períodos 
serán iguales. Este supuesto, si bien razonable, no es siempre válido, pues en la práctica 
uno puede poseer la información necesaria como para descontar los flujos en distintos 
momentos del tiempo a diferentes tasas. 
Supongamos que tenemos el siguiente patrón de flujos y queremos calcular su valor 
presente: 
 
 Período 1 Período 2 Período 3 
Flujo $100 $50 $70 
Tasa por Período 10% 11% 9% 
 
46,184$
%)91%)(111%)(101(
70$
%)111%)(101(
50$
%)101(
100$PresenteValor =
+++
+
++
+
+
=
La equivalencia financiera del valor presente y el patrón de flujos sólo se logra 
considerando las tasas que se esperan serán las relevantes en cada período, ya que serán 
ésas las tasas de interés que se espera ganar por la inversión que se mantenga durante 
dichos períodos. 
 
Figura 1.5: 
Hoy 
$184,46 
Período 1 
$202,90 
-$100 
 
$102,90 
Período 2 
$114,22 
-$ 50 
 
$64,22 
Período 3 
$70 
-$70 
 
$0 
x(1,11) 
x(1,09) 
 
 
x(1,1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 La cantidad que sobra es exactamente $7,12, el valor futuro en el período 5 de $3,54 (la diferencia de 
valores presente). 
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Si consideramos el caso en que las tasas de descuento no son las mismas para distintos 
períodos, definiríamos la siguiente fórmula de valor presente, que correspondería a la 
versión más general: 
 
Ecuación 1.7: 
∑
∏
=
=
=
=
− ⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
ni
í
ij
j
jj
i
r
F
1
1
1 )1(
PresenteValor 
 
Por simplicidad, en el resto del apunte supondremos que las tasas de descuento por 
período son iguales, a menos que explícitamente se diga lo contrario. 
 
1.6 Caso Especiales: Perpetuidades y Anualidades. 
 
Supongamos que queremos calcular un valor presente de un patrón de flujos en que un 
mismo pago periódico “F” se extiende hasta infinito. En este caso, estaríamos hablando 
de un flujo perpetuo o una “perpetuidad”. La ecuación 1.6 no es útil pues dentro de la 
sumatoria deberíamos incluir infinitos términos. Debemos llegar a una fórmula especial: 
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
+
=
∞→
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
+
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
−
+
=
+
−
+
+
+
++
+
+
+
+
+
=
+
+
∞=
+
+
+
++
+
+
+
+
+
=
+
=
+
+
+
−
=
=
∑
r
rx
r
FVP
n cuando límite Aplicando
rr
F
r
rVP
Donde
r
F
r
F
r
VPVP
(2), - (1) Restando
r
F
r
F
r
F
r
F
r
F
r
VP
obtenemos, 
r)(1
1 por (1) ndoMultiplica
n Con 
r
F
r
F
r
F
r
F
r
F
r
F
VP
n
n
nn
nn
ni
i
i
i
)1(
)1(
1
)1(
1
)1(
1
)1(
,
)1()1()1(
(2) 
)1()1(
...
)1()1()1()1(
 (1) 
)1()1(
...
)1()1()1()1(
1
1
1432
132
1
 
Por lo que el cálculo del valor presente queda reducido a: 
 
Ecuación 1.8: 
r
FVP =
 
 11
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Por ejemplo, ¿Cuál es el valor presente de recibir $50 anuales para siempre si la tasa de 
descuento anual es de 10%? 
500$
1,0
50$
==VP
 
La intuición para interpretar la ecuación 1.8 y el resultado anterior es preguntarse ¿de 
qué manera puedo yo obtener $50 cada año y “para siempre” si la tasa de interés es de 
10% anual? Deposito $500 y cada año retiro sólo los intereses. De esa manera la 
inversión siempre comenzará cada año con un valor de $500 y ganará $50 por año. Este 
flujo perpetuovale hoy necesariamente $500. 
 
Por otro lado, ¿qué sucedería si deseamos calcular el valor presente de un flujo idéntico 
cada año, pero que no se extiende a infinito sino durante muchos años, digamos, por 
ejemplo 35? En este caso estamos hablando de una “anualidad” y el cálculo del valor 
presente podría hacerse utilizando la ecuación 1.6, pero claramente sería un cálculo largo 
y tedioso (aunque con las planillas de cálculo que hoy existen, corto y simple). El 
problema puede ser resuelto de la siguiente manera: 
 
Figura 1.6 
 
0 1 2 3 4 34 35 36 infinito … … 
 
 
F F F F F F F F F 
 
(2) F 
r 
 
 
 
 
 
 F 
r 
(1) 
 
 
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−=
+
−=−=− 3535351 )1(
11
)1(
1)2()1(
rr
F
r
x
r
F
r
FVPVPVP 
 
 
Como se observa en la figura 1.6, el valor presente de la anualidad ‘F’ desde el año 1 al 35 
puede ser obtenido mediante la resta de dos perpetuidades: la primera desde 1 a infinito y 
la segunda desde el año 36 a infinito. Ambas son idénticas a F/r, pero la diferencia es 
que la primera entrega su valor presente en el año cero y la segunda entrega el valor 
presente en el año 35, por lo que para restar ambos valores presentes es necesario 
descontar la segunda perpetuidad por 1/(1+r)35. 
 
En general, es posible definir el valor presente de una anualidad de valor F por n años, 
don de n es menor que infinito, como: 
 
Ecuación 1.9: 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−= nrr
FVP
)1(
11
 
 12
Apuntes de Contabilidad II Prof. Gustavo Maturana R. 
¿Qué sucedería si el pago perpetuo no fuera constante, pero creciera a una tasa 
constante? Si definimos como ‘g’ dicha tasa de crecimiento, es posible demostrar que el 
valor presente de dicha perpetuidad es igual a: 
 
Ecuación 1.10: 
rg Donde 
gr
FVP <
−
= 
 
Demuéstrelo! (Ayuda: utilice la demostración de la ecuación 1.8). 
 
Finalmente, si el flujo creciente es en realidad una anualidad desde el período 1 hasta n, 
donde n es menor que infinito, entonces utilizando la metodología presentada para 
obtener la ecuación 1.9, es posible demostrar que el valor presente de dicha anualidad es 
igual a: 
 
Ecuación 1.11: 
∞<⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
−
−
= n Donde 
r
g
gr
FVP
n
 
1
11
 
 
1.7 Tasas de Descuento y Flujos Intermedios. 
 
Si por alguna razón nos encontramos en la situación en que un flujo se encuentra al 
interior de un período para el cual se ha definido la tasa de descuento, debemos calcular 
la tasa para el subperíodo antes de proceder a calcular un valor presente. Para esto, 
nuevamente debemos definir si estamos bajo los supuestos de interés simple o interés 
compuesto. 
 
En el caso de interés simple, si tenemos una tasa anual de 12%, pero un flujo en seis 
meses más, la tasa de descuento para esos seis meses resulta de la simple división por 
dos de la tasa anual y en general (6%), cuando tenemos una tasa simple y queremos 
calcular la tasa para un subperíodo, definimos: 
 
 
subperíodo
anual
subperíodoanual
r
n
r
nrr
=
=
 
Donde n es el número de subperíodos contenidos en un año (pues un año en este caso es 
el período definido por la tasa de interés). 
 
En el caso de interés compuesto, la solución al mismo problema es levemente más 
compleja, pues debemos encontrar una tasa semestral que al componerla anualmente sea 
exactamente igual a 12%, es decir: 
 13
Apuntes de Contabilidad II Prof. Gustavo Maturana R. 
%83,51%)121(
1)1(
1)1(
2
1
2
1
2
=−+
=−+
−+=
semestralanual
semestralanual
rr
rr
 
 
En general, si n es la cantidad de subperíodos contenidos en un año, se define: 
 
subperíodo
n
anual rr =−+ 1)1(
1
 
Por último es necesario recalcar que en otros países las tasas de interés suelen 
presentarse con distintas convenciones de cálculo. En el caso de Estados Unidos lo 
relevante para una tasa de interés o de descuento es cuántas veces al año se compone o 
capitaliza. Por ejemplo, una tasa de ‘12% anual compuesta trimestralmente’ significa que 
se está trabajando con una tasa de interés de 3% trimestral compuesto, o bien una tasa 
‘efectiva anual’ de 12,55% ( = (1+3%)4 – 1). En general, cuando en el extranjero nos 
enfrentamos a una tasa de interés anual, pero que es compuesta m veces en el año, la 
tasa que efectivamente se está pagando se calcula como: 
 
11Anual Efectiva Tasa −⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +==
m
anual
efectiva m
r
r
 
Note que si estamos frente a este tipo de tasas y el flujo intermedio coincide con el 
subperíodo sobre el cual se compone la tasa, la tasa para el subperíodo es la simple 
división de la tasa anual. Por ejemplo, si la tasa es de 10% anual compuesta 
semestralmente y el flujo es a seis meses, entonces la tasa que se debe utilizar para 
descontarlo es de 5%. 
 14
Apuntes de Contabilidad II Prof. Gustavo Maturana R. 
EJERCICIOS 
 
1. 
Recientemente, el grupo controlador de la empresa REVERSIS S.A. acordó la venta de sus 
acciones a la empresa española NILE S.A. en $1.000.000.00…. (mucha plata). Además de 
estas acciones adquiridas, NILE S.A. está interesada en comprar el resto de las acciones 
en circulación. 
NILE S.A. ha ofrecido comprar cada acción en $ 1.000 al contado o mediante cualquiera 
de las siguientes modalidades de pago: 
a) $500 al contado, el resto pagadero en 4 cuotas trimestrales de $60 (a partir de tres 
meses más) y tres cuotas anuales $100 (la primera de ellas en dos años a partir de 
hoy). 
b) A partir de fines del segundo año, se pagarán $200 cada dos años por 30 años. 
c) Primer año de gracia (donde no se recibe pago alguno). A partir de fines del 
segundo año, se recibirá un pago anual que crecerá a una tasa constante de 5% 
anual durante 15 años. El primer pago a recibir será de $100. 
d) Cuatro pagos semestrales de $200 (el primer pago se recibirá en exactamente dos 
años más) y cuatro pagos semestrales de $200 (donde el primer pago se recibirá en 
exactamente 6 años y medio más). 
e) Una perpetuidad que se recibirá con una periodicidad de 1,5 años y que crecerá a 
una tasa anual de 3%. El primer pago se recibirá en exactamente 18 meses más y 
alcanzará a $108. 
SE PIDE: 
Suponga que Ud. posee 1.000 acciones de REVERSIS S.A. y ha decidido vendérselas 
a NILE S.A. Si la tasa de interés es y permanecerá siempre a un nivel de 10% 
anual, ¿Vendería las acciones al contado o mediante alguna modalidad de pago en 
particular? Fundamente numéricamente su respuesta. 
2. 
 El Dr. Orozco ha permitido que Leo Rodríguez, última contratación del cuadro azul, 
lleve una publicidad distinta a la de Chilectra. Entre de las distintas empresas que 
han presentado propuestas, el futbolista ha seleccionado las siguientes: 
a) Diadora: Un Bono de UF 1.000 hoy, más UF 500 trimestrales hasta la eternidad (el 
primer flujo lo recibiría en 9 meses más). Además, le pagaría un Bono de UF 3.000 
al final del quinto año de contrato. 
b) Sofría: interesada en consolidarse como ¨la hamburguesa de los futbolistas¨ le 
ofrece UF 2.500 al final de cada año, por los próximos ocho años, más UF 1.000 
anual por diez años a partir del término del año 9, y UF 500 anual a partir del 
término del año 20 hasta la eternidad. En este caso Leo debería filmar un spot en 
que aparecería diciendo: ¨Cuando voy a Argentina, siempre llevo Hamburguesas 
Sofría...¨ 
c) Reebok: le ofrece un pago cada tres años de UF 4.150 por quince años (el primer 
pago es al final del tercer año). A partir de entonces, recibiría un flujo anual de UF 
800, cada dos años durante 6 años y posteriormente, UF 200 cada semestre hasta 
la eternidad. 
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Apuntes de Contabilidad II Prof. Gustavo Maturana R. 
SE PIDE: Ayude a Leo a elegir la alternativa más conveniente. Suponga que no existe 
riesgo y que la tasa de interés real es de 10% anual. 
3. 
Marcelo "Chino" Ríos tras los excelentes resultados que ha obtenido a nivel mundial, ha 
recibido ofertas de varios auspiciadores interesados en que él acepte sus contratos. 
Hoy 31/12/94, se le han presentado las siguientes alternativas: 
a) Javier Flores le ofrece a Marcelopagarle $ 15.000.000 por usar las poleras marca 
"Flores & Gildemesiter" que se pagarán en cinco cuotas anuales de $3.000.000 
siendo la primera el 1/1/95. Las cuatro siguientes se pagarán el 31/12/95, 
31/12/96, 31/12/97, 31/12/98. 
b) Nike, que sufrió una baja del 36% en sus ventas el año pasado, vio en Marcelo la 
posibilidad de aumentarlas, por lo que ofreció pagarle la inscripción a los abiertos 
del ATP tour de 1996, la cual cuesta $ 4.000.000. Este pago se hará el 31/12/95. 
Además, le ofrece un sueldo de por vida de $824.000 anuales, (que se pagará a 
fines de cada año, recibiendo el primero de ellos 31/12/95). 
c) Dunlop muy interesado en firmar un contrato con Marcelo ofreció pagarle los 
próximos diez años un sueldo fijo anual de $ 1.240.000 y $ 824.000 durante los 
doce siguientes (es decir del año 11 al 22). Todos los sueldos se pagarán el 31/12 
de cada año, siendo el primero de ellos el 31/12/95. 
d) Yonex, también muy interesado en firmar un contrato, le ofrece al Chino la 
siguiente oferta: Un sueldo por tres años de $1.400.000 (que se paga a fines de 
cada año, siendo el primero el 31/12/95), un bono al final del tercer año por 
$4.000.000, y un sueldo de por vida de $188.211,12 por año a partir del cuarto 
año. 
e) Wella, pensando que la cabellera del Chino puede ser un "gancho" comercial 
interesante, ofrece pagarle $2.000.000 cada dos años por durante los próximos 20 
años. El primer pago lo recibiría el 31/12/96. 
SE PIDE: 
Usted como alumno de Contabilidad II deberá ayudarlo a tomar la decisión correcta. 
Específicamente, Ud. debe analizar cada una de las alternativas, dejando claramente 
especificados los cálculos realizados que lo lleven a determinar la mejor opción. 
Tasa de interés apropiada: 8% anual. 
4. 
Suponga que Ud. tiene los siguientes patrones de flujos de $x: 
13 12 11 7 8 9 10 3 4 5 6 0 1 2 
 
 … a) 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 
 … b) 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 
 Finc) 0 1 2 0 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 
 … d) 0 1 2 0 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 
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Apuntes de Contabilidad II Prof. Gustavo Maturana R. 
 
Se Pide: Exprese el valor presente de cada uno de los patrones de flujos presentados 
suponiendo que la tasa de descuento es 10% por período. 
 
5. 
Suponga que la tasa de descuento es de 1% mensual compuesta y que se tienen los 
siguientes patrones de flujos mensuales (un flujo 0 significa que no hay flujo; un flujo 1 
significa un flujo de 1 peso). Calcule el Valor Presente al mes 0 de los siguientes patrones 
de flujos (letras (a) hasta la (e)). Asuma que los flujos se reciben a fines de cada período. 
 
Meses 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ... infinito
a) 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 ... infinito
b) 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 (fin)
c) 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 ... infinito
d) Calcule el valor futuro de los flujos a) y b) al mes 10
e) Cómo cambia su respuesta en b) si Ud. supone que el patrón de flujos
continúa hasta infinito? 
 No existe inflación. 
 
6. 
Suponga que Ud. tiene los siguientes activos: 
 
Activo 
Valor Presente de los Flujos Flujo Período 1 Flujo Período 2 
A $ 1.946,33 $ 1.000 $ 1.200 
B $ 1.162,65 $ 800 $ 500 
Se Pide: 
Si Ud. sabe que las tasas de descuento para cada período son diferentes, y que el valor 
presente de cada activo está bien calculado, presente la tasa que se usó para descontar 
los flujos del período 1 y la que se usó para descontar los flujos del período 2. 
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Apuntes de Contabilidad II Prof. Gustavo Maturana R. 
7. 
Suponga que Ud. está eligiendo qué AFP administrará su fondo de pensiones. Ud. sabe 
que mientras más alta la rentabilidad que le ofrezca la AFP más alta será la cantidad de 
dinero que tendrá disponible al momento de jubilar. Por otro lado, la AFP cobra 
comisiones por los servicios de administrar su dinero hasta que jubile. Estas comisiones 
están compuestas por una porción fija y otra variable. La porción variable depende del 
monto que Ud. cotice (es decir depende de la cantidad de dinero que Ud. le entregue 
mensualmente a la AFP). 
Ud. acaba de empezar a trabajar y su primer sueldo lo recibirá en exactamente un mes 
más y será de $100.000 brutos. El monto que Ud. entregará a la AFP es el 10% de su 
sueldo (es decir, a fines de mes recibirá líquido sólo $90.000, ya que el 10% de su sueldo 
bruto será entregado a la AFP que Ud. elija). 
Ud. está decidiendo qué AFP administrará su fondo de pensiones y debido a que 
independientemente de cuál AFP elija deberá entregarle el 10% de su sueldo, lo relevante 
es cuál va a ser el monto que va a disponer en el futuro para jubilar. 
Ud. sabe que va a jubilar en exactamente 30 años más y que su sueldo crecerá a una tasa 
de 0,2% mensual. Además dispone de la siguiente información respecto a las dos AFP 
que está analizando: 
 
AFP Dinero entregado a 
AFP (Cotización) 
Comisión Variable 
Cobrada por AFP 
Comisión Fija 
Cobrada por AFP 
Rentabilidad Ofrecida 
por la AFP 
RESSTA 10% del sueldo 2,0% de lo cotizado $300 mensuales 0,5% mensual 
CONTRAVIDA 10% del sueldo 1,0% de lo cotizado No cobra 0,48% mensual 
 
¿Cuál AFP elegiría Ud? Fundamente numéricamente su respuesta. Suponga que no 
existe inflación. 
 
 
 
 
Referencias. 
 
1. Brealey, R. y Myers S., Fundamentos de Financiación Empresarial, Capítulo 3, 
Quinta Edición, 1999, McGraw Hill. 
 
2. Bilbao, J. Y Pérez, F., Valoración de Proyectos y Empresas, Capítulo 1, Documento 
Docente Escuela de Administración PUC. 
 
3. Davidson, Stickney y Weil, Intermediate Accounting, Cuarta Edición, Capítulo 5. 
 
 
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