1 Matemáticas Financieras - Ejercicios en clase

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Pontificia Universidad Católica de Chile 
 Escuela de Administración 
 
Ejercicios en Clase 
Matemáticas Financieras 
 
 
1. Hoy, 31/12/10, usted está pensando comprar un televisor LED en una conocida tienda por 
departamentos, de modo que su familia pueda disfrutar de los fuegos artificiales en alta 
definición. El precio de venta del televisor es de $450.000. La casa comercial le ofrece pagarlo 
en cuotas (con la tarjeta de la tienda) o al contado (en este último caso le ofrecen un 5% de 
descuento sobre el precio de venta anterior). Lamentablemente, usted no cuenta con todo el 
dinero como para pagar al contado, aunque tiene algunos ahorros que podría retirar. Dada su 
situación, prefiere volver a su casa a analizar sus opciones de pago. 
 
Actualmente usted posee los siguientes activos: 
 
 Depósito a plazo (del Banco Central de Chile) a una tasa de 2% semestral. Hoy usted 
tiene $200.000 invertidos en este depósito
1
. 
 Fondo mutuo accionario que, al menos este año (2010), rentó un 15%, pero que no sabe 
cuánto rentará durante el 2011. Sus proyecciones personales son que el fondo rentará 
un 12%. El valor actual de su inversión en este fondo alcanza los $180.000. 
 
Las opciones con las que cuenta para pagar el LED son las siguientes: 
 
1. Utilizar la tarjeta de la tienda, lo que implica pagar 12 cuotas mensuales iguales. La tienda 
cobra una tasa de interés del 1,5% mensual a las compras a crédito. Las cuotas se pagarán el 
último día de cada mes, debiendo cancelarse la primera el último día de enero de 2011. 
 
2. Pedir un crédito de consumo al Banco BBB a una tasa de 0,8% mensual, pagadero en 12 
cuotas mensuales iguales (la primera se debe pagar el último día de enero de 2011). El 
monto que usted puede pedir al banco es variable, siendo su decisión endeudarse por el 
monto completo que requiere para pagar el televisor LED, o sólo por la parte que necesite si 
decide liquidar sus inversiones (en este último caso las opciones con que usted cuenta son: 
(i) liquidar sólo el depósito a plazo; o (ii) liquidar el depósito y el fondo mutuo accionario). 
 
Suponga tasa de interés compuesta, que no existe inflación y que todos los meses son de 30 
días. Usted quiere pagar lo menos posible y ganar lo más posible. 
 
 
Se pide: 
 
a) ¿Qué es lo que debiera analizar usted para decidir la opción que más le conviene? ¿Qué 
decisión tomaría usted basándose en el criterio anterior? A usted se le pide que realice su 
análisis con cálculos menores, basándose más que nada en su intuición. Sea claro y 
completo en su respuesta. Recuerde que hoy el comercio cierra más temprano, por lo que si 
se demora mucho en pensar tendrá que comprar la televisión el 2 de enero y no podrá ver 
los fuegos artificiales (y su familia estará muy triste). 
 
 
1
 $200.000 es el monto total que tiene invertido en ese depósito. El monto anterior incorpora todos los intereses ganados y 
reinvertidos por usted en ese activo hasta la fecha. 
b) Suponga que usted no tuviese ahorros de ningún tipo y que las únicas opciones con que 
cuenta para comprar el televisor son utilizar la tarjeta de la tienda o el crédito de consumo 
del banco BBB. ¿Qué alternativa de financiamiento le conviene más? Calcule la utilidad 
generada en valor presente. 
 
 
2. Al Sr. Buffé le están ofreciendo hoy 1 de enero una mina de cobre en el norte de Chile dado que 
su actual dueño no tiene los recursos necesarios para poder explotarla. La mina posee estudios 
de sus recursos que permiten suponer una cantidad ilimitada de cobre pero que cada vez va a ser 
más costosa de extraer de las profundidades. El precio del cobre hoy es de US$3.50 por libra y 
se estima se mantenga así hasta el fin del tercer año para luego ir decreciendo a una tasa anual 
del 5.0%. El costo total de producción es actualmente de US$1.50 por libra y se estima se 
mantenga constante también hasta el fin del tercer año para luego ir creciendo en un 2.0% por 
año. El Sr. Buffé está evaluando producir 100.000 libras por año para lo cuál debe asumir 
inversiones de US$200.000 hoy como adelanto para construir la planta y luego US$250.000 al 
fin del tercer año en equipamiento. Asuma que la producción anual siempre se vende a fin de 
cada año comenzando en este caso a fin del cuarto año en caso de que el Sr. Buffé se decida a 
comprar la mina hoy y a hacer las inversiones en el tiempo indicado. 
 
a) Usando las estimaciones del Sr. Buffé y asumiendo que su tasa de descuento en US$ es del 
10% anual. ¿Cuánto debiera estar dispuesto a pagar como máximo el Sr. Buffé por la mina 
de cobre? Suponga que el Sr. Buffé es un gran inversionista por lo que siempre busca el 
caso óptimo de producción en cada una de sus empresas. 
Nota: Para el caso de los años siempre utilice números enteros y aproxime hacia abajo. 
 
b) Supongamos que estamos a fin del año 10 y que las inversiones ya se hicieron. El Sr. Buffé 
está muy satisfecho con la rentabilidad del proyecto hasta el momento pero se siente viejo, 
por lo que solo continuará produciendo en la mina si es que puede evitar estar sujeto a las 
variaciones del precio del cobre. Hoy se encuentra negociando con una compañía de 
seguros un producto hecho a la medida donde el Sr. Buffé puede fijar al precio por libra de 
hoy toda su producción futura, siempre y cuando con 1 año de anticipación pague la prima 
del seguro que le permitirá a fin de año vender al precio del cobre que se fijó hoy. El 
precio del cobre hoy es de US$4.50 por libra y el costo total de producción es de US$3.00 
la libra creciendo al 3.0% desde hoy. Después de varios años en la mina, el Sr. Buffé se ha 
dado cuenta que el cobre en ella no es ilimitado y que sus estimaciones son que la 
producción comience a caer hoy en un 1.0% anual desde las 90.000 libras que acaba de 
producir. Asuma que la tasa de descuento en US$ sigue siendo del 10% anual y que al 
igual que en el caso anterior, el Sr. Buffé siempre busca el caso óptimo de producción. 
¿Cuál es la máxima prima anual fija que el Sr. Buffé puede negociar con la compañía 
de seguros? 
 
Nota: Para el caso de los años siempre utilice números enteros y aproxime hacia abajo. 
 
 
3. El Sr. Pérez no se maneja muy bien con los números y lo contrata a Usted para que lo ayude a 
analizar una idea que tiene en mente hace tiempo. El proyecto consiste en comprar una casa en 
un nuevo sector residencial que se está recién construyendo, para luego arrendarla y así poder 
recibir un ingreso adicional todos los meses por la renta del inmueble. 
 
Para que el proyecto sea rentable, el Sr. Pérez decide que conviene comprar una casa “en verde” 
dentro de un condominio, es decir, comprarla antes de que se empiece a construir, ya que de 
esta forma obtiene un mejor precio. Si comprase la casa hoy (suponga que “hoy” es 
01/01/2013), se la entregarían en dos años más (31/12/2014), y estima que el primer pago por 
arriendo lo recibiría recién tres meses después de recibida la casa (31/03/2015). El costo total de 
la casa son 15.000 UF, que se paga en tres momentos: 10% al momento de la compra (hoy), 
30% en un año más y el saldo al momento de recibir la casa (dos años más). 
 
El plan que tiene el Sr. Pérez es tener la casa durante 40 años a contar del momento de entrega. 
Para mantenerla en buen estado debe hacer reparaciones menores periódicas (pintura, arreglos 
varios y otros gastos de mantención). Los primeros 10 años estima que debería invertir 10 UF 
cada 2 años (el primer gasto es dos años después de recibir la casa), entre el año 11 y 30 estima 
que debería invertir 15 UF anuales, y a contar del año 31 estima que la inversión debería ser 20 
UF anuales (el último pago es el año 40, antes de vender la casa). Todos estos gastos se realizan 
el 31/12 de cada año. 
 
Por el arriendo de la casa el Sr. Pérez cobrará un monto mensual que si bien aún noha definido, 
sabe que éste crecerá a una tasa de 0,002% mensual (este crecimiento se considera igual aunque 
algunos meses la casa esté sin arrendatario). Para ser conservador en su proyección, desea 
incluir en el análisis que cada vez que haya cambio de arrendatario dejará de recibir el arriendo 
durante un mes, además de tener que desembolsar 30 UF para hacer las reparaciones necesarias 
y preparar la casa para los nuevos arrendatarios (estas reparaciones son adicionales a la 
mantención definida anteriormente). Por simplicidad el Sr. Pérez estima que los arrendatarios 
cambiarán cada 8 años, y siempre será en diciembre, siendo el primer cambio en diciembre de 
2022 (por lo tanto ese mes no se recibiría el arriendo). El último cambio de arrendatario 
coincide con la fecha de venta de la casa, por lo que ese mes si bien no recibe el arriendo, 
tampoco deberá gastar las 30 UF. 
 
Suponga que la tasa de descuento es 5% compuesto anual y que todos los arrendatarios pagan el 
arriendo el último día de cada mes, sin atrasos. El 31/12/2054 el Sr. Pérez espera vender la casa 
en 25.000 UF, pues el sector tiene un buen potencial de desarrollo y por lo tanto espera que el 
precio de las viviendas del barrio suba. 
 
a) ¿Cuál es el mínimo arriendo mensual que el Sr. Pérez debería cobrar el 31/03/2015 (primer 
pago de arriendo) para que el proyecto sea rentable? 
 
b) Un banco le ofrece al Sr. Pérez un crédito para pagar los 15.000 UF de costo inicial que 
tiene la casa. Este crédito consiste en 42 cuotas anuales, que coincide con la duración del 
proyecto. Las cuotas tienen un crecimiento de 2% anual y la primera es de 600 UF, que se 
paga el 31/12/2013. ¿Le recomendaría al Sr. Pérez aceptar el crédito? Justifique su 
respuesta. 
Nota: Considere que el año tiene 360 días (meses de 30 días) y en sus cálculos utilice solo 2 
decimales (Ej: la tasa es 1,23% ó 0,0123).