1 Ejercicio Resueltos Matemáticas Financieras

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE 
ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
DEL CURSO CONTABILIDAD II 
EAA - 111A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IGNACIO RODRÍGUEZ LLONA 
GUSTAVO MATURANA RAMÍREZ 
JULIO 2004 
Problemas Resueltos Contabilidad II Matemáticas Financieras 
Escuela de Administración - PUC Ignacio Rodríguez Ll. - Gustavo Maturana R. 
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Introducción 
 
 
Los cursos de contabilidad normalmente requieren el desarrollo de un número 
importante de ejercicios, de manera de entender y practicar la materia abordada. 
 
 El apunte que se presenta a continuación, es una colección de ejercicios que se han 
preguntado en pruebas, controles y exámenes del curso CONTABILIDAD II (EAA -111A) 
desde el año 1993 en adelante, en la carrera de Ingeniería Comercial de la Pontificia 
Universidad Católica de Chile. Mediante la presentación y resolución de ejercicios, que 
incluyen los principales tópicos que se abordan en este curso, se pretende entregar una guía 
para facilitar el estudio por parte de los alumnos. 
 
 Numerosos profesores han contribuido con su creatividad y esfuerzo a hacer 
realidad este trabajo. Sin pretender ser exhaustivos, destacamos en orden alfabético a 
Daniela Alarcón M., Hernán Arellano S., Pedro Cortés N., Pablo González F., Gustavo 
Maturana R., Julio Riutort K., Ignacio Rodríguez Ll. y Carlos Sepúlveda I. 
 
 La recopilación, selección, edición y revisión de los problemas que se incluyen en 
este apunte fue hecha por las alumnas Romina Filippi N. y Constanza Vergara D., bajo la 
supervisión de los profesores de la Escuela de Administración de la Pontificia Universidad 
Católica de Chile, Ignacio Rodríguez Ll. y Gustavo Maturana R. 
 
Los comentarios y sugerencias son bienvenidos y pueden ser realizados a los 
siguientes correos electrónicos: irodrigu@faceapuc.cl o gmaturan@faceapuc.cl 
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Matemáticas Financieras 
 
El hecho de que las instituciones financieras paguen intereses por los depósitos, 
refleja la existencia de un costo alternativo del dinero. En términos sencillos, si hoy se 
deposita una cierta suma de dinero en el banco, por un determinado período de tiempo, 
finalmente se recibe una cifra mayor que la depositada inicialmente. Por lo tanto, no es lo 
mismo recibir $ X hoy que recibirlos el día de mañana. 
 
Para poder comparar flujos recibidos o pagados en distintos períodos, es necesario 
llevarlos a un mismo instante en el tiempo, es decir, calcular a cuánto equivale cada uno de 
los montos en un momento específico. Para ello es necesario introducir los conceptos de 
Valor Presente y Valor Futuro, que permitirán calcular el valor de un flujo de caja en algún 
momento del tiempo. 
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Ejercicio 1 
Usted está sumamente preocupado por su futuro y por ello decide desde ahora reunir 
el dinero necesario para mantenerse durante la vejez (entre los 65 y 85 años, es decir 21 
años). Debe reunir durante los próximos 45 años (entre los actuales 20 años que posee, y 
los 64) un monto tal, que le permitirá mantenerse con $30 millones anuales en su tercera 
edad. ¿Qué monto debiera juntar anualmente a partir de ahora, si sabe que la tasa de interés 
relevante es de 10% anual? 
 
Solución Ejercicio 1 
 
 El valor futuro de la inversión (en el año 45, cuando tenga 65) es igual al valor 
presente (en el año 45) de lo que se gastará en la jubilación. 
 
 Primero se calcula el valor presente, en el año 45, del gasto en jubilación. Como a 
los 65 años usted también recibirá 30 MM, este pago debe sumarse aparte ya que, de lo 
contrario, lo dejaríamos en otro período. 
 
912.406.28530
1,1
11
1,0
30
20 =+





−× MMMM 
 
Ahora hay que encontrar una cuota anual, que al depositarla durante 45 años alcance 
el monto recién calculado. 
 
912.406.2851,1
1,1
11
1,0
45
44 =×











−×+
CC 
 
Primero se lleva a todo t = 0. Como la primera cuota se paga hoy se debe sumar 
aparte (sino quedaría en otro período). Luego se multiplica por la tasa elevada al período en 
que se empieza a retirar la plata, es decir, en el 45. 
 
Despejando obtenemos que la cuota es $360.911 
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Ejercicio 2 
 
La Fundación "Mi Casucha" acaba de recibir una herencia de parte del millonario 
Pepito Billete (Q.E.P.D.). La herencia en cuestión consiste en que la Fundación recibirá un 
cheque de US$ 440 dentro de un año, cifra que será incrementada en un 25% al año 
siguiente y en un 10% (con respecto al año anterior) en el tercer año. De allí en lo sucesivo 
(año 4 en adelante), la cifra será incrementada todos los años en un 5% para siempre. 
 
Don Bonifacio Paleta, administrador de la Fundación, está feliz con la herencia pero 
no le acomoda la forma en que se recibirán los flujos de caja. El Sr. Paleta preferiría que a 
la Fundación le entregaran un monto fijo parejo, comenzando hoy (en t = 0), y que dicha 
entrega continuara para siempre con un intervalo de dos años entre cada entrega (es decir 
entregas en t = 0, t = 2, t = 4, t = 6, etc.). 
 
Usted es un alumno del curso Contabilidad II, del prestigioso Programa de 
Ingeniería Comercial de la PUC, y es considerado entre sus pares como "un balazo" para 
las matemáticas financieras. En su calidad de "balazo", usted se da cuenta de que la 
herencia que recibirá la Fundación puede ser acomodada en los términos que quiere el Sr. 
Paleta sin regalar nada a cambio. Suponiendo que la tasa de interés fuera de 10% anual y 
que la Fundación pudiera negociar el reparto de la herencia en la forma que quiere el Sr. 
Paleta ¿cuál sería el monto fijo que recibiría la Fundación cada dos años partiendo hoy? 
 
Solución Ejercicio 2 
 
 Los flujos estipulados son los siguientes: 
MM
25,63505,16054
6051,15503
55025,14402
4401
=×=
=×=
=×=
=
año
año
año
año
 
 Para poder redistribuir la herencia en un patrón de pagos más cómodo pero sin 
perder nada, se debe calcular el valor presente de los flujos. 
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6
55,854.10
1,1
1
05,01,0
605
1,1
550
1,1
440
22 =×−
++ 
 
El nuevo patrón de pagos debe tener exactamente el mismo valor presente. 
 
Don Bonifacio Paleta quiere que la entrega sea cada dos años, por lo tanto se debe 
calcular una tasa que esté acorde a los pagos. Para ello se debe componer la tasa anual y 
convertirla en bianual. Sólo después de eso se puede usar la fórmula adecuada para 
redistribuir la herencia. 
85,883.1
21,0
55,854.10
%2111,1 2
=
+=
=−
C
CC 
 
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Ejercicio 3 
 
Usted acaba de ganar un concurso en el cual puede elegir uno de los siguientes 
premios: 
a) $ 72.000 ahora. 
b) $ 190.000 en siete años más. 
c) $ 12.000 anuales a perpetuidad. El primer pago se recibiría en dos años más. 
d) Diez pagos anuales de $ 13.000 cada uno. El primer pago se recibiría inmediatamente 
(hoy). 
e) $ 5.000 en un año más, valor que se verá incrementado en un 20% al año siguiente. Enel 
año 3, usted recibiría la suma de $ 7.200, y esta cifra iría creciendo, en forma perpetua, un 
6% todos los años. 
f) Veinte pagos anuales. El primer pago sería de $ 7.000 y se recibiría en un año más. 
Posteriormente, los pagos crecerían todos los años a una tasa del 8% anual hasta completar 
el total de 20 pagos comprometidos. 
g) Un total de 6 pagos de $ 41.000 cada uno. Los pagos se recibirían cada tres años, el 
primero de ellos en tres años más. 
h) Un total de 6 pagos de $ 36.000 cada uno. Los pagos se recibirían cada tres años, el 
primero de ellos en dos años más. 
 
Si la tasa de interés anual fuera igual a 15% ¿cuál de los premios anteriores elegiría 
Ud? Justifique su respuesta y suponga que no hay inflación y que Ud. es inmortal (. . . este 
último supuesto es “heroico”, pero afortunadamente el papel aguanta cualquier cosa). 
 
Solución Ejercicio 3 
 
 Para saber que alternativa es más conveniente, es necesario dejar todos los flujos 
expresados en t = 0, es decir calcular el valor presente. 
 
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Alternativa a 
 Como son 72.000 hoy, ya están expresados en t = 0. No es necesario hacer ningún 
cálculo. 
 
Alternativa b 
 Hay que calcular un monto que al depositarlo hoy en el banco, me entregue 190.000 
en siete años más. Para descontarlo siete períodos se divide por ( )nr+1 
 04,428.71
15,1
000.190
7 = 
 
Alternativa c 
 Como los flujos son infinitos se usa la fórmula de la perpetuidad. Sin embargo, hay 
que fijarse que los flujos comienzan en dos años más. 
 Al usar la fórmula de la perpetuidad, los flujos quedan expresados en el período 
justo antes del primer pago; por lo tanto, al sacar el valor presente de la perpetuidad, 
quedará en t = 1. Para dejarlo en t = 0 se debe descontar un período más. 
 
22,565.69
15,1
1
15,0
000.12
=× 
Alternativa d 
 Como los flujos son iguales y por 10 años, se usa la fórmula de la anualidad. Sin 
embargo, como el primer pago es hoy se suma aparte, de lo contrario quedaría expresado en 
t = -1. 
59,030.75
15,1
11
15,0
000.13000.13 9 =





−×+ 
 
Alternativa e 
18,376.69
15,1
1
06,015,0
200.7
15,1
2,1000.5
15,1
000.5
22 =×−
+
×
+ 
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 Es importante recordar que la fórmula de la perpetuidad ( y la anualidad también) 
deja los flujos expresados en el período anterior al primer pago, por lo tanto en este caso se 
debe descontar dos períodos más para que quede en t = 0. 
 
Alternativa f 
 Ahora los flujos crecen a una tasa constante, por lo que se usa la fórmula de 
anualidad con crecimiento. 
42,521.71
15,1
08,11
08,015,0
000.7
20
=














−×
−
 
 
Alternativa g 
 Es fundamental que la tasa coincida con la periodicidad de los flujos. En este caso 
los pagos son cada tres años por lo que hay que componer la tasa anual para que sea 
trianual. 
23,353.72
5209,1
11
5209,0
000.41
%09,52115,1
6
3
=





−×
=−
 
Alternativa h 
 Nuevamente se debe usar la tasa trianual calculada en la alternativa anterior. Sin 
embargo, la fórmula deja el valor presente expresado en un período antes del primer pago, 
ya que el primer pago es en dos años más y los períodos son de tres años. Para dejarlo en 
t = 0 se debe multiplicar por (1 + r) 
12,059.7315,1
5209,1
11
5209,0
000.36
6 =×





−× 
 
Conclusión 
 Conviene la alternativa “d” ya que tiene mayor valor presente. 
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Ejercicio 4 
Un individuo necesita urgente el mayor préstamo posible, para lo cual posee tres 
alternativas de crédito: 
a. Préstamo a tres años pagando una cuota mensual de $250 mil los primeros nueve 
meses, $400 mil los 9 siguientes, $700 mil los que siguen y $800 mil los últimos 9 
meses. 
b. Préstamo a tres años, con cuotas trimestrales de $1.250.000 cada una. 
c. Préstamos a seis años, con cuotas cada 18 meses (año y medio) y que crecen a una tasa 
de 3% anual. La primera es en un año y medio más y es igual a $5.000.000. 
 
Se pide: Identificar la alternativa más conveniente, suponiendo que la tasa de interés 
relevante es de 20% anual. 
 
Solución Ejercicio 4 
 
Alternativa a 
 Es fundamental que la tasa corresponda con la periodicidad de las cuotas. En este 
caso las cuotas son mensuales, por lo tanto hay encontrar una tasa mensual que al 
componerla anualmente sea igual a 20%. 
( )
( )
( )
%53,1
2,11
2,11
2,011
12
12
12
=
=+
=+
=−+
X
X
X
X
 
 
Una vez calculada la tasa mensual se debe traer a valor presente todos los pagos 
futuros para poder comparar con las otras alternativas. 
009.876.13
0153,1
1
0153,1
11
0153,0
000.800
0153,1
1
0153,1
11
0153,0
000.700
0153,1
1
0153,1
11
153,0
000.400
0153,1
11
153,0
000.250
279189
999
=
×





−×+×





−×
+×





−×+





−×
 
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Alternativa b 
Como los pagos son trimestrales hay que transformar, nuevamente, la tasa anual a 
una que se adapte al calendario de pagos. 
351.292.11
0467,1
11
0467,0
000.250.1
%67,412,1
12
4
=





−×
=−
 
 
Alternativa c 
Los pagos son cada año y medio por lo tanto se debe calcular la tasa apropiada 
%45,3112,1 5,1 =− 
Ahora los pagos van creciendo a una tasa constante por lo que se debe usar la 
formula de anualidad con crecimiento. Pero la tasa de crecimiento también debemos 
adecuarla a los flujos. 
 
846.950.10
3145,1
0315,11
03015,03145,0
000.000.5
%015,3102,1
4
5,1
=













−×
−
=−
 
Como lo que se desea es tener el mayor préstamo posible, la alternativa más 
conveniente es la a. 
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Ejercicio 5 
Epy un joven profesional que no desea trabajar mucho durante su vida, ha 
comenzado a hacer los cálculos para ver cuanto debería ahorrar durante los próximos 20 
años, para dejar de trabajar y vivir de sus rentas a partir de los 50 años. Para esto ha 
planeado ahorrar $100.000 anuales, durante los próximos 20 años, invirtiéndolos a una tasa 
de interés del 10%. Al final de los 20 años no podrá seguir ahorrando, ya que piensa viajar 
por el mundo gastándose todo lo que gane durante los próximos 4 años, por lo que todo lo 
que ahorró durante los 20 años anteriores lo invertirá en el banco, a la misma tasa de 
interés, a cuatro años, fecha en la que piensa dejar de trabajar. 
 
Con el monto ahorrado, Epy pretende tomar una renta vitalicia en la compañía 
“Monix y Claudìn S.A.”, que le ofrece pagar una cantidad fija “F” por 10 años (primer flujo 
a recibir es a fines del año 25) y luego un pago de $850.000 a la eternidad que decrece a 
una tasa del 2% (el primer flujo a recibir es a fines del año 35 y es de $850.000). 
 
Se pide: Suponiendo que la tasa de descuento es del 10%, ¿Cuánto debería ser el monto 
del pago anual “F”? 
 
Solución Ejercicio 5 
 
 Primero se debe calcular el valor presente de todo lo que ahorrará durante los 
próximos 20 años. Como se va a dedicar a viajar cuatro años, no va a ahorrar y tampoco va 
a usar la plata que tiene, por lo tanto se deja expresado en 24 períodos más para saber de 
cuantodispone el día que decida empezar a cobrar su jubilación. 
 
633.385.81,11,1
1,1
11
1,0
000.100 420
20 =×





×





−× 
 
 
 
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13
Ahora, el total de su ahorro, se debe distribuir: 
 
633.385.8
1,1
1
02,01,0
000.850
1,1
11
1,0 1010
=×
+
+





−×
F 
 
Como el flujo perpetuo decrece se debe usar la fórmula de la anualidad con 
crecimiento, pensando que crece a una tasa negativa. 
 
Despejando obtenemos que el monto fijo máximo que puede recibir durante los 
primeros 10 años es de $90.276,5 
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14
Ejercicio 6 
 
Un pozo petrolero produce actualmente 200.000 barriles por año. Prospecciones 
realizadas últimamente indican que si bien las reservas identificadas pueden ser 
consideradas para efectos prácticos como infinitas. Sin embargo, dificultades crecientes en 
la extracción llevarán a una caída en la producción de un 10% cada año. Por su parte, el 
precio internacional del petróleo aumentará un 5% anual desde los US$20 por barril 
actuales. Por último, los costos de producción se mantendrán en el nivel actual de US$10 
por barril. 
 
 
a. Si la tasa de interés en US$ es de un 12% anual, ¿En cuánto estaría dispuesto a vender 
el pozo? (suponga que el primer flujo se recibe inmediatamente). Muestre sus cálculos. 
 
b. Han pasado 5 años y las condiciones del mercado (caída de tasas de interés a un 10% 
anual) han llevado a la gerencia a evaluar la posibilidad de una expansión de la 
capacidad de extracción. Concretamente, se está evaluando la posibilidad de construir 
un nuevo pozo con una capacidad de 150.000 barriles anuales, cantidad que se 
mantendrá constante durante toda su vida útil de 40 años. Los costos de extracción por 
barril son de US$8 (tampoco variarán), la inversión inicial necesaria es de $X, y el 
pozo estará operativo en tres años más. ¿Cuál sería la máxima inversión inicial que 
estaría dispuesto a realizar ($X)? Explique. 
 
 
21
+5% +5% 
P=US$20 
Q=200.000 
-10% -10% 
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15
c. Usted acaba de realizar la inversión inicial y nuevos estudios indican que los costos 
subirán un 10% por año (cuando comience a producir en tres años más serán US$8 por 
barril y al año siguiente un 10% más). En ese momento recibe una oferta de compra 
por US$31.650.000, ¿Acepta la oferta? Justifique su respuesta. 
 
 
Solución Ejercicio 6 
 
a. El mínimo precio que estaría dispuesto a recibir por el pozo es el valor presente de 
los ingresos por venta netos de petróleo. Como el precio del barril de petróleo es mayor que 
su costo de producción (y será así hasta el infinito), entonces es conveniente que el pozo 
opere para siempre. Dado lo anterior el valor del pozo sería la diferencia entre el valor 
presente de los ingresos a perpetuidad y el valor presente de los costos de producción a 
perpetuidad. 
Otro elemento importante es notar que ambos patrones de flujos perpetuos tienen 
una tendencia en el tiempo, es así como los ingresos (P×Q) disminuyen año a año en 
(1+5%)(1-10%)-1, debido al efecto conjunto del alza del precio y de la caída de la cantidad. 
Por su parte los costos totales disminuyen año a año en un 10%, ya que el costo por barril 
se mantiene constante y la cantidad producida cae en un 10% por año. 
Ahora vamos a la solución: 
 
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
82,181.418.17$18,818.181.8$000.600.25$
18,818.181.8$
%10%12
%10110$000.20010$000.200
%10
000.600.25$
%5,5%12
%101%5120$000.20020$000.200
%5,51%101%51
cos
cos
cos
=−=
=
−−
−××
+×=
−=
=
−−
−+××
+×=
−=−−+=
pozo
tos
tos
tos
ingresos
ingresos
ingresos
VP
VP
VP
g
VP
VP
g
 
 
 
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16
b. El problema es análogo al de la pregunta a), salvo que en este caso los flujos ya no 
son perpetuos. El máximo monto de inversión inicial, $X, será por lo tanto el valor presente 
de los flujos netos del pozo. 
Otros elementos que hay que tener en cuenta son que el primer flujo se recibirá en 
tres años más, por lo que al calcular el valor presente de las anualidades deberemos 
descontar un par de períodos más, y que el precio de mercado del petróleo el año 8 (cuándo 
se reciba el primer flujo) será $20×1,058. 
 
( ) ( )
XmaxVP
VP
$02,221.168.52$
%101
1
%101
11
%10
8$000.150
%101
%511
%5%10
05,120$000.150
240
408
→=
+
×














+
−
×
−













+
+
−
−
××
=
 
 
c. En este caso la gran novedad es que, como los costos por barril están aumentando a 
una mayor tasa que el precio del barril, puede llegar a pasar que no convenga seguir 
produciendo ya que en caso de producir se generarían pérdidas. Entonces una política 
óptima de utilización del pozo implica producir únicamente si el precio del barril es mayor 
que su costo. 
Para saber en que período el precio se iguala con el costo tenemos que resolver la 
siguiente ecuación: 
95,34
09,18$05,105,120$ 8
=
×=××
N
NN
 
 
Por lo que una política óptima de operación implicará producir por únicamente 34 
años y no los 40 años de vida útil del pozo (el año 35 de operación del pozo el precio del 
barril petróleo será de $162,99, mientras que el costo será de $163,31 por barril). De esta 
forma el mínimo precio por el cual convendría vende el pozo esta dado por: 
 
( )
000.650.31$16,696.725.31$
%101
1
%101
%911
%9%10
8$000.150
%101
%511
%5%10
05,120$000.150
2
34348
>=
+
×






















+
+
−
−
×
−













+
+
−
−
××
=
VP
VP
 
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Por lo que convendría rechazar la oferta. 
Si no siguiera una política óptima de cierre hubiese decidido vender. 
 
( )
000.650.31$83,242.518.31$
%101
1
%101
%911
%9%10
8$000.150
%101
%511
%5%10
05,120$000.150
2
40408
<=
+
×






















+
+
−
−
×
−













+
+
−
−
××
=
VP
VP
 
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Ejercicio 7 
Don Longevo Matusalem trabajó durante 25 años seguidos, y fue depositando bajo 
la modalidad de interés simple, a fines de cada año trabajado, una determinada suma de 
dinero (la misma cantidad todos los años), en una AFP (Administradora de Fondos de 
Pensiones), con el propósito de ahorrar para su vejez. Al cabo de los 25 años, la AFP 
comenzó a pagarle al Sr. Matusalem una pensión (jubilación) a perpetuidad, que era igual a 
un 28% de la suma que él depositaba anualmente mientras trabajaba. La jubilación se 
pagaba una vez al año, y el primer pago lo percibió justo un año después de dejar de 
trabajar. 
Suponiendo que la AFP utilizó una única tasa de interés positiva (mayor que cero) 
tanto para capitalizar los ahorros del Sr. Matusalem como para determinar el monto de la 
pensión a perpetuidad que debía pagarle, a Ud. se le pide determinar dicha tasa de interés. 
Recuerde que los ahorros del Sr. Matusalem, al momento de jubilarse, deben ser suficientes 
parapagar la pensión (jubilación) comprometida, todos los años, en forma indefinida. 
Explique claramente su respuesta. (Ayuda: ∑
=
n
1t
t = n(n + 1)/2 ) 
 
Solución Ejercicio 7 
 
 Los flujos pueden representarse en el siguiente diagrama 
 x x x x ……………………………...x 0,28x 0,28x …………… 
 
 
0 1 2 3 4 ………………………………….. 25 26 27 28 ………….. 
 
 La manera más fácil de hacerlo es plantear una igualdad en el año 25, donde el valor 
futuro de los depósitos tiene que ser igual al valor presente de las pensiones. Sin embargo, 
debe recordarse que Don Longevo depositó sus ahorros bajo la modalidad de interés simple 
por lo que no podemos usar las fórmulas típicas de perpetuidad. 
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Depósito nº 
1 
2 
3 
M 
24 
25 
Total 
Valor futuro (en año 25) 
rxx ××+ 24 
rxx ××+ 23 
rxx ××+ 22 
M 
rxx ××+ 1 
rxx ××+ 0 
∑
=
××+
24
1
25
t
rxtx
El valor futuro total de los depósitos sería: 
rxxrxx ×+=×××+ 30025
2
252425 
El valor presente (en el año 25) de las pensiones será: 
r
x28,0 
Para determinar x, solo basta con igualar ambas ecuaciones: 
0933,0
01,0
3002
28,030042525
28,030025
2
−
=
×
××+±−
=
=×+
r
r
xrxx
 
Sólo tiene sentido r = 1%