Ayudantia 5 II 2006 Enunciado

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Pontificia Universidad Católica de Chile 
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas 
 
 
Ayudantía Nº5 - Inferencia Estadística EAS-201A 
II Semestre 2006 
 
 Profesores: Victor Correa S. 
 
 Osvaldo Ferreiro 
 Francisco Kuncar 
 
 
Tema I 
 
Según el último Censo (1992) el número promedio de personas por hogar en el Gran 
Santiago es 4,40. Suponga que la varianza es 5,00. 
 
a) Se seleccionan al azar 144 hogares del Gran Santiago. ¿Cuál es la distribución de 
probabilidad del promedio de personas en la muestra? 
b) Calcule la probabilidad de que el número promedio de personas en la muestra se 
encuentre entre 4,40 – 0,31 y 4,40 + 0,31. 
c) Suponga que la selección planteada en a) se repite 500 veces. ¿En cuántos de los 
500 ensayos, el número de personas en los 144 hogares de la muestra se ubicará 
entre 589 y 678 personas? 
 
 
 
 
Tema II 
 
Considere una m.a.s. Y1, . . . Yn de una población Bernoulli con parámetro .. 
 
a) Considera el estimador de , 
4
2
ˆ 1
1





n
Y
ni
i
i
 . Demuestra que el estimador 
anterior es sesgado y encuentra su error cuadrático medio como función de . 
b) Demuestra que en  = 0,5 , el estimador 
1
̂ tiene el error cuadrático medio menor 
que el estimador insesgado p
n
Y
ni
i
i




1
2
̂ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema III 
 
Considere una muestra de tamaño n y las distribuciones de tres estimadores de un 
parámetro  : 
 
 ))1( ,N( ~ˆ
2
1 c
nn
c


 , 0 < c < 1 
) ,N( ~ˆ
2
2
n

 
)01,0 ;N( ~ˆ 23  
 
 
 
a) Comente las propiedades de Insesgamiento y Consistencia de los estimadores 
anteriores. 
b) ¿Para que valores de “c” el primer estimador es mejor que el segundo? 
c) ¿Para que tamaño de muestra el segundo estimador es mejor que el tercero? 
d) Si usted tuviera que estimar el parámetro  ¿cuál de los estimadores anteriores 
usaría?. Explique su elección. 
 
 
 
Tema IV 
 
Considere dos muestras aleatorias independientes de tamaños: n = 31 y m=61, 
311,..., XX ; 611,...,YY de la variables independientes ),N(~
2
1 X ; ),N(~
2
2 Y 
respectivamente. 
A partir de cada muestra se proponen los siguientes estimadores de la varianza 
2 : 
30
)( 2
31
12    i iX
XX
S ; 
60
)( 2
61
12    i iY
YY
S 
a) Demuestre que el estimador 
mn
mSnS
S YX



22
2 es mejor que los anteriores. 
b) Considere el siguiente estimador de la varianza: 222 YXp SSS   . Encuentre 
las ponderaciones  y  de modo que el estimador anterior sea insesgado y aún 
mejor que 
2S .