Ayudantía 5 I 2012

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Pontificia Universidad Católica de Chile, 
Escuela de Administración
EAA-251 Métodos de Optimización
1er semestre 2012, 10 de abril.
AYUDANTÍA 5.
Profesores: Bárbara Prieto
Marcos Singer
Christian Villalobos
							Ayudante: 	José Manuel Vega
									jmvega1@uc.cl
Pregunta 1 (Prueba 1, primer semestre 2011) (40 puntos)
La fundación SONRISA PARA CHILE tiene como misión apoyar la salud bucal de los sectores más vulnerables de una comunidad. Específicamente, otorga tratamientos dentales gratuitos a sus beneficiarios a través de 2 tipos de programas:
· Tipo A: tratamiento de alta complejidad. Incluye rehabilitación oral (implantes y/o prótesis dentales), además de exámenes clínicos, radiografías, higiene bucal y endodoncia.
· Tipo B: tratamiento de baja complejidad. Considera la realización de exámenes clínicos, radiografías, higiene bucal y endodoncia.
El costo de un tratamiento de baja complejidad alcanza los 300 mil pesos, en tanto que un tratamiento de alta complejidad duplica este costo. La fundación tiene un presupuesto de 42 millones de pesos este año destinados directamente a solventar los gastos de los tratamientos. 
La fundación cuenta con 12 odontólogos especialistas que trabajan part-time en sus centros dentales de manera voluntaria y gratuita. Específicamente, cada odontólogo trabaja 100 horas al año para esta fundación, realizando los tratamientos de alta y baja complejidad. De esta manera, la fundación cuenta con 1.200 horas de especialista al año. Cada tratamiento tipo A requiere de 15 horas de odontólogo para su realización. Los tratamientos de tipo B, por su parte, requieren de 10 horas de especialista.
Encuestas de salud bucal en la comunidad han arrojado que existen 100 personas que requieren tratamiento tipo A y 150 que necesitan del tipo B. A la fundación le gustaría atender a todos quienes lo necesitan, sin embargo sabe que cuenta con recursos escasos y que es probable que no pueda llegar a todos los necesitados este año. De todas maneras, como meta, se han propuesto entregar, al menos, 60 tratamientos en total (de cualquier tipo).
Finalmente, se debe considerar que los centros dentales de la fundación tienen una capacidad máxima de atención de 110 pacientes al año (realizándose cualquier tipo de tratamiento bucal). Por tanto, no es posible ofrecer más que esa cantidad de tratamientos en total.
Si la fundación debe planificar cuántos tratamientos de cada tipo ofrecer durante este año, responda
(a) Modele las restricciones del problema (6 puntos)
(b) Grafique las restricciones y muestre claramente el área factible (6 puntos)
(c) Si la fundación quiere maximizar una cierta función objetivo con pendiente negativa, determine cuáles son los posibles óptimos y para qué valores de pendiente de la función objetivo se obtienen dichas soluciones óptimas. En términos específicos, construya una tabla con 2 columnas, estableciendo valores de pendiente de la función objetivo y las soluciones óptimas asociadas a cada uno (6 puntos)
(d) ¿Cuál es el conjunto de soluciones óptimas si es que la fundación quiere …
i. Maximizar el número de tratamientos entregados? (1 punto)
ii. Minimizar los costos? (1 punto)
(e) Suponga que la fundación quiere maximizar el beneficio social asociado a la realización de tratamientos dentales gratuitos. Para esto, se sabe que 3 tratamientos de alta complejidad tienen el mismo beneficio social que 4 de baja complejidad. Con esta información, modele la función objetivo, determine la solución óptima y establezca cuál es el máximo beneficio social que se puede alcanzar (valor de la función objetivo en el óptimo) (4 puntos)
(f) Para las siguientes preguntas asuma que se encuentra en la solución óptima determinada en e):
(g) La fundación ha realizado grandes esfuerzos para conseguir mayor financiamiento para su misión. Concretamente, ha logrado donaciones de empresas privadas que han permitido aumentar en un 20% su presupuesto anual destinado a los gastos de los tratamientos. Cuantifique el beneficio social adicional asociado a este incremento presupuestario (4 puntos)
(h) El Ministerio de Salud, preocupado también de la salud bucal de la comunidad, ha anunciado la entrega de 20 tratamientos gratuitos de cada tipo (20 tipo A y 20 tipo B) a las personas que lo necesitan. Por tanto, la cantidad de gente que requiere los tratamientos ofrecidos por SONRISA PARA CHILE se reduce desde 100 a 80 en el caso de los tratamientos tipo A y de 150 a 130 para los tipo B. Analice cómo se ve afectada la solución óptima de la fundación y el beneficio social asociado a ella. (4 puntos)
(i) Con el fin de aumentar la cantidad de personas atendidas, la fundación está pensando en ampliar su capacidad máxima de atención en 10 pacientes adicionales. Es decir, sus centros dentales serían capaces de atender a 120 pacientes al año. Analice cómo se ve afectada la solución óptima de la fundación y el beneficio social asociado a ella (4 puntos)
(j) Asociado a la pregunta anterior, suponga que el aumento en la capacidad de atención de pacientes de los centros dentales requiere una inversión de $10 millones de pesos, ¿le conviene realizar la inversión?, ¿qué tendría que pasar para que le conviniera hacerla? Fundamente su respuesta (4 puntos)
Pregunta 2 (prueba 1 primer semestre 2010) (40 puntos)
Recientemente, un profesor del ramo recibió el siguiente mail, que se transcribe de manera textual a continuación:
________________________________________________________________
Estimado Profesor.
Envío este mail, pidiendo orientación, dado que fui un alumno de clase de optimización, quedando con gratos recuerdos.
Actualmente trabajo como Jefe de Store Planning, y se me encargo la creación de un modelo de optimización para optimizar el layout (qué productos instalar al interior de la tienda, cambiando los % de los distintos departamentos, dado que el principal factor limitante es el metraje total de la tienda) de cada uno de los locales.
Mi solicitud de ayuda es la siguiente: Si conoce algún paper, curso, libro (en inglés o español) que me pueda orientar en la modelación adecuada para la optimización del layout, de modo que se maximice la rentabilidad y si es posible agendar una entrevista con Usted.
Agradeciendo de antemano.
Ricardo Guerra Leighton
Jefe de Store Planning Comercial Empresas La Polar S.A .
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El profesor le envió el siguiente enunciado y modelación que está en el texto.
Una tienda de departamentos en un centro comercial debe decidir cuántos metros cuadrados [m2] destinará a cada categoría de productos (computación, electrónica, ropa de hombres, entre otros) y cuántas personas contratar [p], de manera de maximizar las ventas menos el gasto en personal. Cada millón de pesos [MM$] de venta mensual de una categoría requiere determinada superficie. El personal puede ser de diferentes tipos: vendedores, promotores, ayudantes, etc. La venta que realiza cada empleado depende de su tipo y de la categoría del producto. A cada tipo de empleado se le paga una cantidad fija por hora trabajada más una comisión por ventas, que también depende de la categoría. Debido a los contratos con los proveedores, existen compromisos de venta mínimos por categoría. La tienda necesita alhajar el espacio destinado a la venta de cada categoría de producto. Alhajar cada m2 tiene un costo mensual que depende de la categoría, para lo cual existe un presupuesto total para la tienda. Si se sobrepasa el presupuesto, el costo extra es descontado de las ventas. De estimarse conveniente, la tienda se puede ampliar arrendando locales contiguos en el centro comercial, aunque no más de un cierto porcentaje de la superficie de la tienda. El costo asociado también es descontado de las ventas. 
1) (5 puntos) Defina conjuntos, parámetros y variables que describen el problema del texto.
2) (10 puntos) Plantee el programa lineal que optimiza la operación de la tienda según el texto.
3) (10 puntos) Muestre cómo se complementa la modelación si por motivos comerciales, debeexistir un balance entre las categorías. Por ejemplo, por cada m2 de ropa no debe haber menos de 2 m2 de zapatos ni más de 4 m2 de zapatos.
Pregunta 3 (prueba 2 primer semestre 2011) (40 puntos)
Recientemente, se ha rechazado uno de los proyectos energéticos más grandes planeados para el país. A usted, como un renombrado consultor, se le ha encargado diseñar un proyecto energético de mucha potencia, que esté localizado en una zona donde no se produzca grandes daños medioambientales, que pueda adaptarse bien a la demanda estacional del país y que no esté sujeto a la estacionalidad de los recursos naturales del mismo. Usted plantea colocar una central nuclear, ya que ésta puede generar mucha potencia, puede colocarse en un lugar apartado de los parques naturales, en una zona con baja actividad sísmica (como el norte chico del país) y no está sujeta a ningún tipo de estacionalidad de los recursos. Sin embargo, la potencia de las centrales nucleares es fija. Es decir, no se puede bajar la potencia cuando la demanda es baja y, en caso de no ocuparse la potencia, se corre el peligro de un sobrecalentamiento y eventual colapso de la central. Para solucionar estos problemas, usted sugiere colocar la central nuclear cerca del mar, desde donde usted pueda bombear agua con la energía sobrante hacia una cuenca ubicada a una gran altura. De este modo, cuando el sistema necesite mucha energía, usted puede utilizar una central hidroeléctrica ubicada al lado de la cuenca que genere electricidad con el agua almacenada. Además, esto le permitiría contar con una gran cantidad de agua que puede ser descargada sobre la central en caso de un accidente.
Dado que usted está a cargo del proyecto, se le ha encargado un modelo dinámico de optimización que permita: i) Determinar el tamaño óptimo de la central ii) Determinar la cantidad a bombear de agua para cada uno de los meses de los K años de vida útil de la central. Para ello, suponga que la cuenca posee una capacidad limitada de almacenaje y que, debido a la sequedad de la zona, hay una pérdida de agua en la cuenca, proporcional a la cantidad guardada en ella. Para la seguridad de la central nuclear, siempre se debe disponer de una mínima cantidad de agua en la cuenca, que es proporcional al tamaño de la misma central. Considere que los precios y la demanda máxima y mínima por energía varían mensualmente. Considere también un costo de instalación de la central proporcional a la cantidad de energía generada por la misma. Además, considere las eficiencias energéticas adecuadas para las turbinas de la central hidroeléctrica y para las bombas de agua. Dado el largo horizonte de plazo del proyecto, utilice una tasa de descuento apropiada para los flujos de dinero del mismo.
1) (15 puntos) Determine los parámetros y variables necesarios para formular el modelo dinámico de optimización que le permite encontrar el tamaño óptimo de la central nuclear.
2) (25 puntos) Formule el modelo dinámico de optimización asociado a los parámetros y variables encontrados en (1). 
Pauta
Pregunta 1.
a)	a: cantidad de tratamientos tipo A a ofrecer
b: cantidad de tratamientos tipo A a ofrecer
Restricciones:
600 a + 300 b ≤ 42.000		Restricción presupuestaria (en miles de pesos)
15 a + 10 b ≤ 1.200		Disponibilidad de horas de odontólogo
a ≤ 100				Demanda tratamiento tipo A
b ≤ 150				Demanda tratamiento tipo B
a + b ≥ 60			Mínimo de tratamientos
a + b ≤ 110			Capacidad máxima
a, b ≥ 0				No negatividad
b) Gráfico:
c) Posibles óptimos
	Pendiente de la F. O. (m)
	Solución Óptima
	│m│< 1
	Punto (0, 110)
	│m│= 1
	Segmento que va desde punto (0, 110) a (20, 90)
	 1<│m│< 1,5
	Punto (20, 90)
	│m│= 1,5
	Segmento que va desde punto (20, 90) a (40, 60)
	1,5 <│m│< 2
	Punto (40, 60)
	│m│= 2
	Segmento que va desde punto (40, 60) a (70, 0)
	2 <│m│
	Punto (70, 0)
d) 
a. Maximizar el número de tratamientos entregados = Segmento que va desde punto (0, 110) a (20, 90)
b. Minimizar los costos = punto (0, 60)
e) 	Maximizar 4 a + 3 b
Óptimo: (20, 90)
Z = 4x20 + 3x90 = 350
f) No hay beneficio adicional. La restricción presupuestaria no es activa.
g) No cambia la solución óptima. Esas restricciones siguen siendo redundantes
h) Nuevo óptimo será (0, 120) con beneficio social = 360 (incremento de 10 en el valor de z)
i) Para que convenga hacerlo, el beneficio social adicional (que es igual a 10), expresado en pesos debe ser mayor que el costo de 10 millones de pesos
Solución Pregunta 2:
1) Conjuntos, parámetros y variables.
Conjuntos:
C = computación, electrónica,…	categorías;
T = vendedor, promotor,… 		tipo de personal. 
Parámetros:
A [m2]		área total disponible;
Bc [m2/MM$]	área requerida para vender 1 [MM$] en la categoría c;
Kc,t [MM$/p]	venta de categoría c por el empleado tipo t;
Cc,t [%]		comisión por ventas de la categoría c por el empleado tipo t;
St [$/p]		sueldo fijo del empleado tipo t;
Vc [MM$]		requerimiento mínimo de ventas tipo c;
Hc [$/m2]		costo de alhajar 1 m2 de tienda destinada a categoría c;
D [MM$/m2]	costo de arrendar 1 m2 adicional;
W[MM$]		presupuesto mensual para alhajar la tienda;
M[%]		porcentaje de la tienda que se puede ampliar.
Variables:
z [MM$]	ventas menos gastos en personal;
xc [m2]	área destinada a cada categoría de producto;
yt,c [p]	empleados de cada tipo contratados para cada categoría de producto;
w [m2]	superficie arrendada fuera del local para categoría c;
q [MM$]	costo extra de alhajar la tienda.
2) Programa lineal
Maximizar z = Ventas – Costo de ampliar la tienda – Costo extra de alhajar la tienda – Sueldos variables – Sueldos Fijos = 
– D w – q – – 
sujeto a:
 Vc			 c		Venta mínima por categoría;
xc Bc 		 c		Superficie por categoría;
≤ A + w 					Superficie total;
w ≤ A M						Superficie máx. a arrendar;
≤ W + q 				Presupuesto decoración;
xc , yt,c , wc , q 0.	
3) Basta con crear los siguientes parámetros:
Pc,d	mínima cantidad de m2 destinados a la categoría c, por cada m2 destinado a la categoría d.
Qc,d	máxima cantidad de m2 destinados a la categoría c, por cada m2 destinado a la categoría d.
Ambos parámetros toman valor unitario cuando c = d.
Además, se debe agregar la restricción:
Pc,d ∙ xd ≤ xc ≤ Qc,d ∙ xd					
Solución Pregunta 3.
1) 	Conjuntos:
T: periodos indexados por t
Parámetros:
: 	Precio del agua, en el mes t
: 	Costo de la central nuclear por unidad de potencia
: 	Tasa mensual de descuento
: 	Porcentaje de agua perdida sobre la cantidad de agua en la cuenca
: 	Eficiencia de la bomba, medida en energía requerida para bombear una unidad de agua
: 	Eficiencia de la turbinas, medida en energía entregada por una unidad de agua desaguada
dt:	Demanda en el mes t
 Demandas mensuales mínimas y máximas de energía en el sistema
: Demandas mensuales mínimas y máximas de energía en el sistema
: 	Capacidad de la cuenca
: 	Cantidad mínima de agua que se debe mantener en el embalse, por unidad de potencia instalada
Variables:
z: 	potencia mensual de la central nuclear
: 	potencia mensual dedicada a bombear agua, en el mes t
: 	potencia mensual obtenida de la central hidroeléctrica, en el mes t
: 	cantidad de agua bombeada mensualmente al embalse, en el mes t
: 	cantidad de agua desaguada mensualmente a la central hidroeléctrica, en el mes t
2)
Modelo:
Max 
	balance de agua en la cuenca
 	nivel de agua inicial en la cuenca (0 porque es nueva)
	relación energía/agua bombeada
	relación energía generada/agua 
	balance de energía
	demandas máximas y mínimas
	nivel máximo y mínimo en la cuenca
	no-negatividad 
1
å
t
c
t
c
t
c
t
c
y
,
,
,
,
K
C
å
t
c
t
c
t
y
,
,
S
å
t
t
c
t
c
y
,
,
K
å
t
t
c
t
c
y
,
,
K
å
c
c
x
å
c
c
c
x
H
å
t
c
t
c
t
c
y
,
,
,
K