Prueba 1 I 2009 Pauta

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Pontificia Universidad Católica de Chile 
Escuela de Administración 
 
EAA-251 Métodos de Optimización 
Prueba 1 (80 puntos, 80 minutos) 
Profesores: Marcos Singer 
Bárbara Prieto 
Christian Villalobos 
Fecha: 17-Abril-2009 
Normas: 
• Las consultas se responden en público. 
• Toda respuesta debe ser adecuadamente justificada si corresponde. 
• Cualquier ambigüedad resuélvala a su criterio. 
• Conteste las preguntas en las hojas de respuesta que correspondan. Esto es: 
o Pregunta 1: páginas 4 a 8 
o Pregunta 2: páginas 9 a 12 
o Pregunta 3: páginas 13 y 14 
 
Pregunta 1 (35 puntos) 
Una productora musical está organizando la venida a Chile de la famosa banda CABEZA DE 
RADIO. La banda ofrecerá sólo un recital en el país, para el cual ya está reservado el Estadio 
Municipal. 
Se pretende poner a la venta dos tipos de entradas: 
- Entrada general: de pie, no numerado. 
- Entrada preferencial: asientos numerados con ubicación más cercana al escenario 
El Estadio Municipal es un recinto flexible, que puede fácilmente dividirse para ofrecer los dos 
tipos de ubicaciones. Si sólo se ofrecieran entradas generales (es decir, si todo el estadio se 
destinara a personas de pie y no se colocaran asientos numerados), el estadio sería capaz de 
recibir a 20 mil personas. Por otro lado, si sólo se ofrecieran entradas preferenciales (es decir, 
si el estadio se llenara de asientos numerados), la capacidad máxima sería de 15 mil personas. 
Las demandas máximas por tipo de entrada son las siguientes: 30 mil entradas generales y 12 
mil preferenciales. Debido a compromisos con los fanáticos de la banda (quienes quieren 
obtener las mejores ubicaciones para el evento), la productora se ha comprometido a que por 
cada 5 entradas generales a la venta se ofrecerá al menos 1 entrada preferencial. 
Para resguardar la seguridad del evento, es necesario contar con 1 carabinero por cada 50 
personas asistentes al concierto. La dotación máxima de carabineros disponible para este recital 
es de 360 funcionarios. 
Cada entrada general será vendida a un precio de P, en tanto que cada entrada preferencial 
tendrá un valor un S% superior al de una entrada general. (Por ejemplo, si la entrada 
preferencial tiene un precio que es un 50% mayor al de una entrada general, considere S=0,5) 
a) Modele el problema como programa lineal que maximiza los ingresos por venta (7 
puntos) 
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b) Grafique las restricciones y muestre claramente el área factible del problema (7 puntos) 
c) Determine las posibles soluciones óptimas para distintos valores de S. Específicamente, 
establezca tramos de valores de S y los óptimos asociados a cada uno de ellos (7 
puntos) 
d) Si S = 50% y el valor del arriendo del estadio es de 176 millones de pesos, determine el 
precio mínimo que debe costar una entrada general (es decir, encuentre el valor de P) (6 
puntos) 
e) Si P = $15.000 y S=100%. 
a. ¿Cuántas entradas de cada tipo pondría a la venta y cuál sería el valor de la 
función objetivo que podría alcanzar? (2 puntos) 
b. Suponga que existe la posibilidad de realizar el recital en otro estadio, con una 
capacidad un 20% mayor a la del estadio municipal (es decir, sólo 24 mil 
personas de pie, sólo 18 mil asientos numerados, o una combinación de ambos). 
El valor del arriendo de este estadio es de 210 millones de pesos. Evalúe la 
posibilidad de cambiar el recinto donde se llevaría a cabo el concierto (es decir, 
compare la alternativa de arrendar el Estadio Municipal versus el otro estadio). 
¿Con cuál de los dos se queda? Fundamente su respuesta (6 puntos) 
 
Pregunta 2 (35 puntos) 
Un holding controla un número de empresas, de las cuales posee el 100% de sus acciones. 
Cada empresa fabrica un conjunto de productos (empresa multiproducto) y los productos se 
pueden repetir entre empresas. Para producir cada unidad de un producto, cada empresa 
necesita ciertas cantidades de un conjunto de insumos, dados por una lista de materiales (Bill of 
Materials o BOM), e incurre en cierto costo variable de producción (es decir, proporcional a la 
cantidad producida). El holding posee cierto grado de integración vertical, de modo que los 
productos de una determinada empresa pueden ser vendidos en el mercado, o bien ser usados 
como insumo para otra empresa del holding. Además, los productos que cada empresa compra 
(insumos) pueden ser adquiridos en el mercado o a otra empresa del holding. La venta de un 
producto no puede superar la demanda por el producto en el mercado y, a la vez, el holding 
debe cumplir los compromisos de venta hechos con anterioridad. La compra de insumos en el 
mercado está limitada por su oferta. 
 
Durante el año 2008 existía un escenario de precios, ofertas y demandas de todos los productos 
en el mercado, en tanto cada empresa del holding poseía cierta capacidad para producir cada 
uno de sus productos, dada por la cantidad disponible de máquinas diseñadas para producir tal 
producto. Sin embargo, la crisis financiera cambió radicalmente los precios, ofertas y 
demandas de todos los productos en el año 2009. Frente a este nuevo escenario, donde aún se 
debe cumplir con los compromisos de venta para el 2009, el holding ha decidido reestructurar 
cada empresa, aumentando o disminuyendo su capacidad para producir cada uno de sus 
productos. Para ello, cada empresa puede adquirir o vender maquinaria en el mercado, a cierto 
costo o precio por máquina, respectivamente. Estos precios y costos sólo dependen del 
producto para el cual esté diseñada la máquina. Cada máquina tiene cierto rendimiento 
máximo, medido en [productos/máquina], para producir su respectivo producto. Debido a que 
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las maquinarias a vender están usadas, el costo de compra de cada máquina es mayor que el 
precio de venta de la misma. No existe venta de maquinarias entre las empresas del holding. 
Cada máquina ocupa cierto espacio dentro de la empresa, siendo limitado el espacio total de 
cada empresa. 
a) (13 puntos) Formule un modelo de programación lineal que le permita al holding 
maximizar sus utilidades durante el año 2009, dadas por los ingresos por venta de 
productos y maquinarias, menos los costos por compra de insumos, producción y 
compra de maquinarias. 
b) (4 puntos) ¿Cómo cambia la formulación del problema si el holding posee un 
porcentaje de participación en cada empresa que puede ser menor al 100%? (basta 
con explicar; no es necesario reformular el problema). 
c) (6 puntos) ¿Qué problema podría tener la solución óptima del problema formulado 
según (b) con respecto a la distribución de las utilidades de cada empresa a sus 
accionistas? 
d) (6 puntos) Volviendo a la situación original, ¿cómo cambia la formulación del 
modelo si es que la capacidad de producción de la empresa está dada por una cantidad 
de máquinas común para todos sus productos y la producción de cada uno de ellos 
consume cierta cantidad de esta maquinaria? (basta con explicar los cambios, no es 
necesario reformular el problema) 
e) (6 puntos) Volviendo a la situación original, ¿cambiaría usted la formulación del 
problema si es que algunas de las empresas pueden revender productos, es decir, 
recibir un insumo y venderlo directamente al mercado sin procesarlo? De ser así, 
explique los cambios que haría, sin reformular el modelo. 
 
Pregunta 3 (10 puntos) 
Santiago debe decidir cómo debe deshacerse de la basura generada por sus 30 municipios de 
manera de minimizar el costo de transporte a los cinco rellenos sanitarios disponibles Existe 
una estimación de generación de basura por cada municipio así como los costos de transporte 
hacia los distintos rellenos. Cada relleno puede admitir un flujo máximo de basura en cada 
período, y tiene una capacidad máxima de acumulación de basura. Una cierta proporción de la 
basura actualmente acumulada en cada relleno es reciclada, y por lo tanto retirada del relleno. 
Plantee el modelo que minimiza el costo de operación del sistema de rellenos para un horizonte 
de 20 semestres, asumiendo queno hay tasa de descuento y que el problema es factible. Para 
ello: 
a) Defina conjuntos, parámetros y variables del problema 
b) Determine el programa lineal correspondiente 
 
 
 
 
 
 
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Pontificia Universidad Católica de Chile 
Escuela de Administración 
 
EAA-251 Métodos de Optimización 
Pauta Prueba Nº1 (80 puntos) 
 
Pregunta 1 (35 puntos) 
a) Variables de decisión: 
x : cantidad de entradas generales a la venta (en miles de entradas) 
y : cantidad de entradas preferenciales a la venta (en miles de entradas) 
 
Maximizar z = P·x + P·(1+S)·y 
Sujeto a: 
(1) 15 x + 20 y ≤ 300 Restricción de espacio del estadio 
(2) x ≤ 30 Demanda entradas generales 
(3) y ≤ 12 Demanda entradas preferenciales 
(4) x - 5 y ≤ 0 Compromiso con fanáticos 
(5) 20 x + 20 y ≤ 360 Restricción de carabineros 
(6) x ≥ 0 No negatividad 
(7) y ≥ 0 No negatividad 
 
b) Gráfico: 
 
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c) Posibles soluciones óptimas: (ver gráfico anterior) 
F.O. = P·x + P·(1+S)·y 
m FO = - P / P·(1+S) = -1/(1+S) pendiente de la función objetivo 
 
Posible óptimo Pendiente de la FO 
(m) 
Valor de S 
Segmento que va desde 
D a A 
m = 0 S = ∞ 
Punto A (4, 12) 0 ≤│m│≤ 0,75 ∞ ≥ S ≥ 0,33 
Segmento que va desde 
A a B 
│m│= 0,75 S = 0,33 
Punto B (12, 6) 0,75 ≤│m│≤ 1 0,33 ≥ S ≥ 0 
Segmento que va desde 
B a C 
│m│= 1 S = 0 
Punto C (15, 3) │m│≥ 1 S tendría que ser negativo (es 
decir, el precio de una entrada 
preferencial tendría que ser 
menor al de una entrada 
general), lo que contradice lo 
que dice el enunciado 
 
d) S=0,5 (50%)  Óptimo es punto A: (4, 12) 
Ingresos por venta: P·x + P·(1+S)·y = P·4.000 + P·1,5·12.000 = 22.000 P 
Si el arriendo es de 176 millones de pesos, entonces 22.000 P ≥ 176.000.000, es decir, 
P ≥ 8.000 (mínimo precio que debe tener una entrada general para que convenga 
realizar el evento) 
 
e) Si P = $15.000 y S=100%. 
a. ¿Cuántas entradas de cada tipo pondría a la venta y cuál sería el valor de la 
función objetivo que podría alcanzar? (2 puntos) 
F.O= 15.000 x + 30.000 y  óptimo es punto A (x= 4; y = 12)  Ingresos por 
venta = 420 millones de pesos 
c. Suponga que existe la posibilidad de realizar el recital en otro estadio, con una 
capacidad un 20% mayor a la del estadio municipal (es decir, sólo 24 mil 
personas de pie, sólo 18 mil asientos numerados, o una combinación de ambos). 
El valor del arriendo de este estadio es de 210 millones de pesos. Evalúe la 
posibilidad de cambiar el recinto donde se llevaría a cabo el concierto (es decir, 
compare la alternativa de arrendar el Estadio Municipal versus el otro estadio). 
¿Con cuál de los dos se queda? Fundamente su respuesta (6 puntos) 
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Se desplaza restricción de capacidad de estadio a 15 x + 20 y ≤ 360 
 
Nuevo punto óptimo es E = (6, 12). 
Ingresos por venta = 15.000 x + 30.000 y = 450 millones de pesos 
Alternativas: 
 Estadio Municipal Otro Estadio 
Ingresos por venta 420 millones 450 millones 
Arriendo 176 millones 210 millones 
Ingresos menos arriendo 244 millones 240 millones 
 
 
Conclusión: conviene arrendar el Estadio Municipal (el recinto que ya está reservado) 
 
 
Pregunta 2 (35 puntos) 
Respuesta a) 
 
Conjuntos 
E: Empresas 
P: Productos 
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Pe P: conjunto de productos que genera la empresa e 
Ie P: conjunto de insumos que necesita la empresa e, para poder generar los productos Pe 
 
Parámetros 
Sp: precio del producto p 
Je,p: costo de producción del producto p en la empresa e 
Ip: costo de compra de cada máquina diseñada para producir el producto p 
Dp: precio de venta de cada máquina diseñada para producir el producto p 
Me,p: cantidad inicial de máquinas en la empresa e para producir el producto p 
Kp: rendimiento máximo de las máquinas diseñadas para producir el producto p 
Fp: cantidad de espacio utilizada por cada máquina diseñada para producir el producto 
p 
Ae: espacio disponible en la empresa e 
Tp,q: cantidad de insumo q necesario para producir una unidad de producto p 
Op: oferta del producto p 
Dp: demanda del producto p 
Hp: compromisos de venta producto p 
 
 
Variables 
z: utilidad del holding 
be,p: cantidad comprada de insumo p, en la empresa e. p Ie 
se,p: cantidad vendida de producto p, en la empresa e. p Pe 
re,p: cantidad recibida de insumo p, en la empresa e. p Ie 
xe,p: cantidad producida de producto p, en la empresa e. p Pe 
ya,b,p: cantidad traspasada producto p, desde la empresa a hacia la empresa b. p Pa y p 
 Ib 
me,p: cantidad de máquinas destinadas a producir el producto p, en la empresa e. p Pe 
ie,p: cantidad de máquinas compradas, destinadas a la producción del producto p, en la 
empresa e. p Pe 
de,p: cantidad de máquinas vendidas, destinadas a la producción del producto p, en la 
empresa e. p Pe 
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Modelo 
 
Maximizar z = resultado de la transacción de productos + resultado de la transacción de maquinarias + 
resultado de la producción 
 = + + 
Sujeto a: 
me,p = Me,p + ie,p – de,p e, p Pe cambio de capacidad 
≤ Ae e capacidad de expansión de la empresa 
xe,p ≤ me,p · Kp e, p Pe límite en la cantidad a producir 
xe,p = se,p + e, p Pe destino de la producción en cada empresa 
re,p = be,p + e, p Ie origen de la recepción de productos en cada empresa 
re,q = Tp,q · xe,p q Ie ,e necesidad de insumos en cada empresa 
 ≤ Op p límite en la compra de productos 
≤ Dp p límite en la venta de productos 
≥ Hp p compromisos de venta 
be,p, se,p, re,p, xe,p, ya,b,p, me,p, ie,p, de,p ≥ 0 e, p, a, b 
 
 
Respuesta b) 
Basta con definir un parámetro que indique la participación porcentual en cada empresa y, en 
la función objetivo, multiplicar los beneficios y costos de cada empresa por este parámetro. 
 
Respuesta c) 
En este caso, existe el problema de que, al multiplicar el margen de la venta de cada producto 
por la participación, el holding puede cambiar la distribución de las ventas desde empresas con 
mayor margen total pero menor participación, a empresas con menor margen total pero mayor 
participación. Esto hará que las primeras que vendan menos y obtengan menos beneficios, lo 
que afectará negativamente al resto de los accionistas que no controlan la empresa. 
 
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Respuesta d) 
En este caso habría que: 
• Cambiar las restricciones de inventario de capacidad y capacidad de expansión de la 
empresa (ahora F no depende del producto): 
me = Me + ie – de e cambio de capacidad 
F · me ≤ Ae e capacidad de expansión de la empresa 
• Definir un parámetro que represente la cantidad de maquinaria que consume la 
producción de cada producto, digamos Gp [máq/unidad de producto], y cambiar la 
restricción “límite en la cantidad a producir” a: 
 ≤ me e límite en la cantidad a producir 
 
Respuesta e) 
No es necesario cambiar la formulación, ya que todos los productos se venden a precio de 
mercado independientemente de la empresa que provengan. Trasladar un producto de una 
empresa a otra sólo podría hacer que el holding incurra en costos innecesarios, eventualmente 
transporte y/o inventario, disminuyendo su utilidad total. 
 
 
Pregunta 3 
a) Elementos del programa lineal 
Conjuntos: 
M = {Las Condes, Providencia,...} : municipios 
R = {Lepanto, Colina,...} : rellenos sanitarios 
S = {1’2004, 2’2004, 1’2005,...} : semestre 
Parámetros: 
 Gm,s : generación de basura en el municipio m en el semestre s 
 Cm,r : costo de transporte desde el municipio m al relleno r 
 Ar : flujo máximo admitido en el relleno r 
 Dr : dimensión máxima o capacidad del relleno r 
 Pr : porcentaje de reciclado semestral en el relleno r 
 Yr : basura en el relleno r en el instante inicial 
Variables: 
 z : costo total de operación en el período 
 xm,r,s : basura llevada desde el municipio m al relleno r en el semestre s 
 yr,s : basura en el relleno r al final del semestre s 
b) Programa lineal 
Minimizar: z = 
Sujeto a: 
Gm,s = ∀ m, s Evacuación de basura 
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≤ Ar ∀ r, s Admisión en rellenos 
yr,s-1 + = yr,s + Pr ⋅ yr,s ∀ r, s Ecuación de inventarioyr,s ≤ Dr ∀ r, s Capacidad de rellenos 
yr,0 = Yr ∀ r Acumulación inicial 
xm,r,s , yr,s ≥ 0 ∀ m, r, s