Prueba 2 2013 - 01 (Pauta)

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PAUTA PRUEBA 2 MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN 1-2013 
Pregunta 1 (50 puntos) 
En la Región Metropolitana existe una gran cantidad de colegios municipales y particulares 
subvencionados. Muchos de ellos cuentan con escaso presupuesto ya que los aportes estatales 
dependen de los alumnos matriculados que asisten, y los colegios no logran llenar su 
capacidad. Como consecuencia de esto y de otros factores, el desempeño de los colegios 
también es deficiente en muchos casos; lo que se refleja en los resultados de la prueba SIMCE. 
En resumen, hay más colegios de los necesarios y hay colegios de baja calidad. 
El Ministerio de Educación ha decidido que la solución para esto es copar la capacidad de los 
buenos colegios, de manera de focalizar mejor los recursos asignados, y cerrar los colegios más 
deficientes. Para esto, se deberá reagrupar a los alumnos en los colegios, llenando los de mejor 
calidad y dejando sin matrícula a los de peor resultado ya que serán cerrados. Este movimiento 
de alumnos debe hacerse de manera gradual; cada colegio puede recibir de un año a otro a un 
máximo de alumnos nuevos equivalente a un 10% de la matrícula del año anterior. 
El proceso de transferencia de alumnos tiene un plazo de 10 años. Asumiremos que el 
parámetro de calidad actual es el mejor predictor del futuro ya que no se conocen 
actualmente los resultados futuros, es decir, se puede usar un parámetro del periodo actual 
(t=0) para evaluar todo el proceso de transferencia. Se busca obtener según este parámetro el 
mejor resultado ponderado en la distribución de los alumnos en los colegios en el año 10. 
El proceso de transferencia de alumnos debe cumplir con otros requisitos. La razón entre 
alumnos hombres y mujeres de los colegios debe mantenerse durante todo el proceso, más 
menos un rango del 10%. 
Cuando un alumno es cambiado de un colegio a otro, se entiende que aumenta la distancia 
desde su casa al colegio en la mitad de la distancia entre los dos colegios. El aumento 
promedio de distancia de todos los alumnos transferidos los alumnos no puede superar un 
cierto umbral cada año. 
Se debe mantener un estándar en los colegios de al menos 30 m2 por alumno más 10m2 por 
profesor. Esto debe cumplirse al final del periodo de 10 años. Durante el proceso, cada 
comuna tiene un presupuesto limitado con el que puede crecer para aumentar la superficie de 
los colegios que estime conveniente, a un costo por m2 adicional que depende de la comuna 
en que se encuentre el colegio. 
Al final del proceso, por cada 30 alumnos que transfiera un cierto colegio a cierto otro, debe 
transferir a un profesor de su planta. Si el resultado es una fracción debe transferir jornadas de 
trabajo de horas equivalentes. El promedio SIMCE ponderado de la nueva combinación de 
alumnos en cada colegio no puede disminuir más de un 20% del resultado del colegio previo a 
la transferencia. 
Cada colegio tiene un indicador de retención porque un número de alumnos deserta al sistema 
particular. En cambio, no hay un flujo de entrada desde el sistema particular. 
Preguntas 
a) (10 puntos) Defina conjuntos, parámetros y variables. 
b) (10 puntos) Señale cuántos parámetros y variables hay en términos de la cardinalidad 
de los conjuntos. 
c) (30 puntos) Escriba el programa lineal de optimización. 
 
SOLUCIÓN 
a) 
Conjuntos: 
Colegios = {establecimientos} 
Años = {1, 2, 3… 10} 
Comunas = {A, B,… } 
Variables: 
 : alumnas mujeres transferidas del colegio e al colegio f en el periodo t 
 : alumnos hombres transferidas del colegio e al colegio f en el periodo t 
 : alumnas mujeres en el colegio e al final del periodo t 
 : alumnos hombres en el colegio e al final del periodo t 
 : profesores transferidos del colegio e al colegio f en el periodo 10 
 : superficie adicional construida en el colegio e en el periodo t 
Parámetros: 
 : puntaje SIMCE del colegio e en el periodo t=0 [puntos] 
 matrícula inicial de mujeres en el colegio e en t=0 [n] 
 matrícula inicial de hombres en el colegio e en t=0 [n] 
 distancia entre el colegio e y el colegio f [km] 
 : parámetro de aumento promedio máximo de la distancia de los alumnos al colegio 
 superficie del colegio e [ 
 ] 
 : inventario inicial de profesores en el colegio e 
 : costo de construir un m2 adicional de superficie en un colegio de la comuna c [$] 
 : presupuesto total para construir superficie adicional de la comuna c [$] 
 : tasa de retención de alumnos del colegio e 
 
b) 
 
 
 
 
 
Parámetros: 
 
 
 
 
 : (también pueden ser si es que indexan el parámetro a los colegios 
 
 : 
 
 
 : 
 
c) 
Función Objetivo: 
 
 
 
Restricciones: 
 
 
 Traspaso anual menor al 10% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Razón hombres/mujeres 
 
 
 
 
 
 
 
Aumento máximo de distancia
 
 
Estándar de m2 por alumno 
 
 
 
 
 Presupuesto para construcción de superficie 
 
 
 
 
Transferencia de profesores 
 
 
 
 
Inventario de profesores 
 
 
 
 
Inventario final de profesores 
 
 
 
 
Resultado SIMCE final del colegio 
 
 Inventario inicial mujeres 
 
 Inventario inicial hombres 
 
 
 
 
 
 
Ecuación de inventario mujeres 
 
 
 
 
 
 
 
 Ecuación de inventario hombres
 
 
 ; ; ; ; ; No negatividad de las variables 
 
 
Pregunta 2 (40 puntos) 
Suponga que se desea evaluar el desempeño de los siete colegios a continuación, cuyos datos 
se muestran en la tabla: 
 
 a b c d e f g 
Retención = 1 - Deserción 60 80 60 50 40 30 20 
Satisfacción de los alumnos 60 80 50 70 50 15 25 
SIMCE 190 180 200 210 200 210 220 
 
a) (5 ptos.) Muestre que a está dominado colectivamente por b, c y d. ¿Cuánto 
debería mejorar a para estar a la “altura” de b, c y d? ¿A qué colegio se parece a 
más? 
b) (2 ptos.) Solamente para esta pregunta, suponga que se dispone del nivel 
socioeconómico de los colegios. ¿Es válido el cálculo anterior si el nivel de los 
colegios a, b, c y d es A (quintil más pobre), B, A y A respectivamente? 
c) (5 ptos.) Si a sólo pudiera mejorar en la dimensión SIMCE solamente, ¿cuánto 
tendría que hacerlo para estar a la “altura” de b, c y d? 
d) (6 ptos.) Suponga que una cierta función objetivo maximizara: 
z =   Retención +   Satisfacción +   SIMCE. 
¿Qué valores de ,  y  harían que b, c y d fueran igualmente buenos? ¿Cuál 
sería el valor de z? 
e) (6 ptos.) Muestre el programa lineal que maximiza z sujeto a la factibilidad 
técnica de los colegios considerados, es decir, que el o los colegios óptimos son 
una combinación convexa de los colegios de la tabla. 
f) (4 ptos.) Para los colegios que están a la “altura” de b, c y d; ¿cuál es la relación 
de transacción entre Retención y Satisfacción manteniendo SIMCE constante? 
En otras palabras, ¿para ganar un punto porcentual de Retención cuánto se gana 
o pierde de Satisfacción? ¿Es válida esta relación de transacción para todos los 
colegios que están en la frontera de factibilidad (eficiente de Pareto)? 
g) (4 ptos.) Cuál colegio está más alineado en su desempeño con e; ¿f o g? En otras 
palabras, ¿cuál es más parecido? 
h) (4 ptos.) Suponga que g es eficiente, es decir, no está dominado. ¿Cuál colegio 
es mejor; b o g desde el punto de vista de DEA? Caracterice verbalmente el 
“nichode mercado” en el que se sitúa b y en el que está g. 
i) (4 ptos.)¿Qué figura geométrica es b + c + d con + + = 1 y , ,  ≥ 
0? ¿Qué figura geométrica es si no se exige , ,  ≥ 0? 
 
Respuestas 
 
a) Intersectar a con la combinación convexa de b, c y d: 
60*
60*
190*
1=
≥
phi=1.0400, =0.2457, =0.5029, =0.2514 
b) Ya no es válido, porque la COMBINACIÓN CONVEXA DE LOS QUINTILES 
DE LOS COLEGIOS B, C Y D ES MAYOR QUE LA DEL COLEGIO A. Esto 
es, se está comparando a con un conjunto de colegios en mejores condiciones 
socioeconómicas. 
c) Intersectar a + π (0, 0, 1) con la combinación convexa de b, c y d. 
CERCIORARSE QUE HAY INTERSECCIÓN 
60*
60*
190*π*
1=
≥
Aquí, para que sea eficiente, tiene que el phi=1: 
60
60
190*π
π
π=1.0526, =0.1429, =0.5714, =0.2857
(Existe más de una forma de plantearlo)* 
d) Encontrar el plano que pasa por b, c y d. (quizás un HINT como haga z igual a 
un número fijo, por ejemplo 100 –piénselo como un índice-) 
z=80*α+80*β+180*γ 
z=60*α+50*β+200*γ 
z=50*α+70*β+210*γ 
Aquí hay dos opciones para seguir, una es fijar el z y la otra es fijar algún parámetro de 
la derecha. Alternativamente se puede fijar cuanto de la suma de este, lo cual da la 
facilidad que, si se fija la suma igual a 1 se podrá ver porcentualmente los pesos: 
z=130, α=0.5, β=0, γ=0.5 
 
e) Es simplemente un DEA pero cambiando la función objetivo. 
Max z 
s.a: 
Σiyi≥yi
* 
Σi=1 
i≥1 i
 
 
f) βAl ser β=0, una cierta retención no tiene efectos en la satisfacción, dicho en 
otras palabras mover un épsilon la retención necesitaría mover “infinito” la 
satisfacción con el fin de mantener el z constante. La relación sólo es válida para 
esta porción de frontera. 
g) Calcular producto punto (ee=44100, ef=43959, eg=46050). Luego cada uno se 
normaliza y el más alineado es el que se acerca más a 1. 
h) Son igualmente buenos, según el DEA no se puede ver cual es mejor; ambos 
están en la frontera. QUE b SEA ORIENTADO A LA Retención y Satisfacción 
Y g MÁS AL SIMCE. 
i) Es un triángulo con extremos b, c y d. Si no se exige , ,  ≥ 0 es un plano 
infinito que pasa por b, c y d.