Guia2_2014_1

Vista previa del material en texto

Microeconomı́a II
Nicolás Figueroa G., M. Teresa Miquel
1 de abril de 2014
1
1 INTERCAMBIO 2
1. Intercambio
Problema 1 En cada uno de los ejercicios siguientes nos referimos a economı́as de intercambio con 2
consumidores. Encuentre e ilustre, usando cajas de Edgeworth, las preferencias, asignaciones Pareto eficientes
y los equilibrios Walrasianos (si existen). Indique si se cumplen el primer y segundo teorema del bienestar.
1. w1 =
(
4
0
)
, w2 =
(
2
4
)
, u1(x, y) =
1
2x+ y, u2(x, y) = x+ y.
2. w1 =
(
4
2
)
, w2 =
(
2
1
)
, u1(x, y) = xy, u2(x, y) = xy.
3. w1 =
(
2
2
)
, w2 =
(
3
1
)
, u1(x, y) = mı́n{2x+ y, x+ 2y}, u2(x, y) = xy.
4. w1 =
(
4
0
)
, w2 =
(
0
3
)
, u1(x, y) =
1
2 ln(x) +
1
2 ln(y), u2(x, y) = mı́n{x, y}.
5. w1 =
(
0
9
)
, w2 =
(
9
0
)
, u1(x, y) = y − x2, u2(x, y) = y + 2
√
x.
6. w1 =
(
3
0
)
, w2 =
(
0
3
)
, u1(x, y) = x+ 2y, u2(x, y) = 2x+ y.
Problema 2 Considere una economı́a con dos agentes con funciones de utilidad uA(x, y) = mı́n{x, y},
uB(x, y) = xy2 y dotaciones iniciales (80, 20) y (20, 80).
1. Dibuje en la caja de Edgeworth la curva de oferta demanda del consumidor A. ¿Cómo será la asignación
en un equilibrio Walrasiano? Puede ser que xA 6= yA?
2. Encuentre la asignación y precio de un equilibrio Walrasiano.
Problema 3 Considere una economı́a de intercambio definida por sus dotaciones iniciales w1 =
(
2
2
)
, w2 =(
3
1
)
, u1(x, y) = mı́n{x, 2y}, u2(x, y) = x+ y. En una caja de Edgeworth:
1. Dibuje las curvas de indiferencia de cada agente.
2. Si existe(n), encuentre el (los) equilibrio(s).
3. Encuentre la curva de contrato. ¿Se cumple el primer teorema del bienestar?
4. ¿Se cumple el segundo teorema del bienestar?
Problema 4 Considere una economı́a de intercambio definida por sus dotaciones iniciales w1 =
(
2
2
)
, w2 =(
3
1
)
, u1(x, y) = mı́n{x, 2y}, u2(x, y) = x+ y. En una caja de Edgeworth:
1. Dibuje las curvas de indiferencia de cada agente.
2. Si existe(n), encuentre el (los) equilibrio(s).
3. Encuentre la curva de contrato. ¿Se cumple el primer teorema del bienestar?
4. ¿Se cumple el segundo teorema del bienestar?
Problema 5 Encuentre un equilibrio walrasiano de la siguiente economı́a: u1(x1, x2, x3) = mı́n{x1, x2},
u2(x1, x2, x3) = mı́n{x2, x3}, u3(x1, x2, x3) = mı́n{x1, x3}, dotaciones iniciales (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).
2 PRODUCCIÓN 3
Problema 6 Considere una economı́a de intercambio con un continuo de consumidores. La unidad de
medida de estos consumidores está distribúıda uniformemente en el intervalo [1, 2]. El consumidor j tiene
utilidad dada por Uj = x+ jy y dotación inicial Ej =
(
1
(1+j)2 ,
1
(1+j)2
)
. Encuentre el equilibrio Walrasiano.
(Ayuda: Encuentre la demanda de cada consumidor j para precios dados. Para encontrar el precio, ocupe
integral en vez de sumatoria)
Problema 7 Considere una economı́a de intercambio con 3 agentes, definida por sus dotaciones iniciales
w1 = (1, 0, 0), w2 = (0, 1, 0), w3 = (0, 0, 1) y las funciones de utilidad u1(x, y, z) = xy, u2(x, y, z) = yz y
u3(x, y, z) = xz.
1. Si existe(n), encuentre el (los) equilibrio(s).
2. Encuentre las asignaciones Pareto-eficientes. ¿Se cumple el primer teorema del bienestar?
3. ¿Se cumple el segundo teorema del bienestar?
2. Producción
Problema 8 Considere una economı́a con tres bienes: Tierra, Peras y Manzanas (T, P,M); dos consumidores
y dos firmas. La firma x es del consumidor 1 y produce a lo más tres unidades de M por cada unidad de T.
La firma y produce cuatro unidades de P por unidad de T. Inicialmente cada consumidor tiene 5 unidades
de T. Por último, u1(P,M) = 6 + 0,4ln(P ) + 0,6ln(M) y u2(P,M) = 8 + ln(P ) + ln(M).
1. Asumiendo que las firmas y los individuos son tomadores de precio y las firmas maximizan utilidad,
encuentre el equilibrio general. ¿Cuál seŕıa el equilibrio si se invierte la propiedad de las empresas? ¿y
si cada consumidor tuviese la mitad de cada una?
2. ¿Cuál es el conjunto Pareto-eficiente?
Problema 9 Considere una economı́a de intercambio con dos bienes y tres agentes, en la cual cada agente
tiene la misma dotación inicial (1, 1). La función de utilidad es idéntica y está dada por:
u(x, y) =

x si x ≤ 12y
1
2y y > x >
1
2y
1
2x x = y
1
2x 2y ≥ x > y
y x > 2y
(1)
¿Es óptima en el sentido de Pareto la dotación inicial? Si no, encuentre una dotación superior.
Problema 10 Suponga que tres bienes son producidos utilizando 4 factores de producción, xj , j = 0, 1, 2, 3,
con x0 denotando el trabajo. Las funciones de costo para los tres bienes están dadas por:
c1(p, x1) =
x1
2
(p0 + p1 + p2 + p3),
c2(p, x2) = x2 3
√
p0p1p2,
c3(p, x3) = x3( 3
√
p0p1p2 +
p3
2
).
2 PRODUCCIÓN 4
Calcule el equilibrio general si existe sólo un consumidor con función de utilidad
u(x) = x1 +
√
x2 + 3
√
x3 +
4
√
1− x0
y dotación inicial (1, 0, 0, 0).
Problema 11 Considere una economı́a con dos bienes, dos consumidores y una firma. La firma produce el
bien y a partir del bien x, a través de una función de producción:
y =
1
2
x
Es decir, es una firma con retornos constantes a escala. Los consumidores tienen funciones de utilidad
u1(x, y) = ln(x) + ln(y)
u2(x, y) = ln(x) + ln(y)
y dotaciones iniciales dadas por x̄1 = (10, 0), x̄2 = (0, 10).
1. ¿Importa cómo es la estructura de propiedad de la firma? ¿Por qué?
2. Calcule el equilibrio competitivo de esta economı́a.
3. Calcule el equilibrio competitivo de esta economı́a si x̄2 = (10, 0). Explique la diferencia con la parte
anterior.
4. Más en general, suponga que x̄2 = (z, 10 − z). ¿Cómo será el equilibrio? Explique los cambios que se
producen cuando cambia z.
Problema 12 Considere una economı́a con dos bienes, dos consumidores y una firma. La firma produce el
bien y a partir del bien x, a través de una función de producción:
y = máx{x− 2, 0}
Es decir, es una firma con costos fijos de producción iguales a 2. Los consumidores tienen funciones de
utilidad
u1(x, y) = x+ 2y
u2(x, y) = min{x, y}
y dotaciones iniciales w1 = (10, 0) y w2 = (0, 5).
1. Escriba las condiciones que un vector de precios y unas asignaciones deben satisfacer para ser un equi-
librio de esta economı́a.
2. Demuestre que no existe un equilibrio Walrasiano. (Ayuda: para ciertos vectores de precios, el problema
de la firma no tiene solución, para los otros, el agente 1 demanda “demasiado” bien 2)
2 PRODUCCIÓN 5
3. Encuentre una asignación que es Pareto eficiente (Ayuda: puede encontrarse intuitivamente, sin resol-
ver un problema de optimización).
Problema 13 Considere una economı́a con dos bienes, dos consumidores y una firma. La firma produce el
bien y a partir del bien x, a través de una función de producción:
y =
√
x
Es decir, es una firma con retornos decrecientes a escala. Los consumidores tienen funciones de utilidad
u1(x, y) = ln(x) + ln(y)
u2(x, y) = ln(x) + ln(y)
y dotaciones iniciales dadas por x̄1 = (10, 0), x̄2 = (10, 0). Asuma que la firma es propiedad del agente 1.
1. ¿Importa cómo es la estructura de propiedad de la firma? ¿Por qué?
2. Calcule el equilibrio competitivo de esta economı́a.
3. Calcule las asignaciones Pareto eficientes.
Problema 14 Considere una economı́a con dos bienes, dos consumidores y una firma. La firma produce el
bien y a partir del bien x, a través de una función de producción:
y = σx
Los consumidores tienen funciones de utilidad
u1(x, y) = x+ αln(y)
u2(x, y) = x+ βln(y)
y dotaciones iniciales w1 = (10, 0) y w2 = (10, 0).
1. Calcule el equilibrio Walrasiano.
2. Calcule las asignaciones Pareto eficientes.
Problema 15 Considere una economı́a con dos bienes y dos consumidores con funciones de utilidad u1(x, y) =
xαy1−α y u2(x, y) = x
βy1−β . Las dotaciones iniciales de los consumidores vienen dadas por (10, 0) y (15, 0),
respectivamente. Existe una firma (propiedad del agente 1) que produce el bien y a partir del bien x a través
de la función de producción y = σx.
1. Calcule el equilibrio de esta economı́a. Calcule el equilibrio si la firmaes propiedad del agente 2.
2. Encuentre el conjunto de asignaciones Pareto eficientes de esta economı́a. Analice que sucede si σ
aumenta y explique este efecto intuitivamente.
3. Suponga ahora que existe una segunda firma que produce de acuerdo a y = σ2x, con σ2 < σ. Encuentre
el equilibrio. (Ayuda: parta por encontrar el único precio que permite que exista un equilibrio. Vea que
sucede con cada una de las firmas.)
2 PRODUCCIÓN 6
4. Vuelva a considerar que sólo hay una firma (propiedad del agente 1), pero suponga ahora que la función
de producción está dada por y =
√
x. Escriba la condiciones que deben satisfacerse en equilibrio y
encuentre la ecuación que define el precio de equilibrio (no es necesario resolver). ¿Cambiará este
equilibrio si el agente 2 posee la firma?
Problema 16 Considere una economı́a con tres bienes. El bien 3 es producido por la firma 1 a partir del
bien 1, a través de la función de producción y = x1. Este bien también es producido por la firma 2, pero a
partir del bien 2, a través de la función de producción y = 2x2. Suponga además que existe un consumidor
con función de utilidad u(x1, x2, x3) = x1x2x3. Suponga que la dotación inicial viene dada por (10, z, 0).
1. Calcule el equilibrio.
2. Calcule las asignaciones Pareto eficientes.
3. ¿Cuál es el efecto de un cambio en la función de producción de la firma 2 a y =
√
x2?
Problema 17 Considere una economı́a de intercambio con 2 agentes, cuyas utilidades vienen dadas por
u1(x1, x2) = ln(x1) + ln(x2) y u2(x1, x2) = ln(x1) + αln(x2). Suponga que las dotaciones iniciales vienen
dadas por w1 = (a1, a2) y w2 = (b1, b2).
1. Calcule (el) los equilibrios (si existen).
2. Calcule las asignaciones Pareto eficientes (si existen).
3. Suponga ahora que existe una firma con tecnoloǵıa de producción y2 = σy1.
a) Calcule el nuevo equilibrio (Ayuda: hay dos casos, los que dependen del valor de σ).
b) Escriba el problema que caracteriza las asignaciones Pareto eficiente.
c) ¿Es posible que algún consumidor esté peor por la existencia de esta firma? Justifique.
Problema 18 Considere una economı́a de intercambio con 2 agentes, cuyas utilidades vienen dadas por
u1(x1, x2) = ln(x1) + ln(x2) + ln(x3) y u2(x1, x2) = x1 +α
√
x2 +β
√
x3. Suponga que las dotaciones iniciales
vienen dadas por w1 = (a1, a2, 0) y w2 = (b1, b2, 0).
1. Calcule (el) los equilibrios (si existen).
2. Calcule las asignaciones Pareto eficientes (si existen).
3. Suponga ahora que existe una firma con tecnoloǵıa de producción y3 = y1 +
√
x2.
a) Calcule el nuevo equilibrio
b) Escriba el problema que caracteriza las asignaciones Pareto eficiente.
c) ¿Es posible que algún consumidor esté peor por la existencia de esta firma? Justifique.
Problema 19 Considere una economı́a con dos bienes, dos consumidores y dos firmas. Ambas firmas pro-
ducen el bien y a partir del bien x, a través de una función de producción:
2 PRODUCCIÓN 7
y1 = x1
y2 = 2x2
Los consumidores tienen funciones de utilidad
u1(x, y) = ln(x) + ln(y)
u2(x, y) = ln(x) + ln(y)
y dotaciones iniciales dadas por x̄1 = (10, 0), x̄2 = (10, 0).
1. Calcule el equilibrio competitivo.
2. Calcule el conjunto de asignaciones Pareto eficientes.