Guia 11

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EAS200A – Probabilidad Estadística 
Pontificia Universidad Católica de Chile 
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas 
Primer Semestre 2015 
 
 
EAS200a - Probabilidad y Estadística 
Guía 11 
DISTRIBUCION BIVARIADA 
 
 
1. Se seleccionan al azar dos repuestos para un lápiz de una caja que contiene 3 repuestos 
azules , 2 rojos y 3 verdes. Si X es el # de repuestos azules seleccionados e Y es el # de 
repuestos rojos. 
a. Encuentre la función de probabilidad conjunta del vector aleatorio (𝑋,𝑌). 
b. Calcule la probabilidad ( )P X Y+ < 2 
c. Encuentre las funciones de probabilidad marginales de X e Y. 
d. ¿Son las v.a’s X e Y independientes? 
e. Calcule E (X), E(Y), Var (X), Var(Y), E(XY), Cov( X, Y ) y Corr(X,Y). 
f. Encuentre la función de probabildad condicional de X dado Y = 1. 
 
2. La siguiente tabla contiene los valores de la función de probabilidad conjunta del vector 
aleatorio (X,Y) en que: 
X: Nº de vehículos que pasa por el punto A de una carretera en 30 seg. 
Y: Nº de vehículos que registra un contador mecánico (no perfecto) en los mismos 30 seg. 
 
Y
X
0 1 2 3 4
1 0,04 0, 06 0 0 0
2 0, 01 0,03 0,26 0 0
3 0 0, 06 0,02 0,07 0
4 0 0 0,0025 0,015 0,4325 
 
Determine: 
a. Las densidades marginales de X e Y. 
b. Calcule los valores esperados marginales. 
c. ¿Cuál es el número esperado de vehículos que realmente pasa por ese punto si el 
contador indica 1? 
 
3. Un vendedor obtiene sus ingresos mediante la venta de dos productos distintos. Por 
experiencia sabe que el volúmen de ventas de A no tiene ninguna influencia sobre el de B. 
Su ingreso mensual es el 10% del volumen de la venta del producto A más el 15% de la 
venta del producto B. Si en promedio las ventas de A ascienden a $ 10.000.000 con una 
desviación estándar de $ 2.000.000 y las de B a $ 8.000.000 con una desviación estándar de 
$ 1.000.000, obténgase el valor esperado y la desviación estándar del ingreso mensual del 
vendedor. 
 
 
EAS200A – Probabilidad Estadística 
4. Sean X e Y los niveles de concentración en ppm de dos contaminantes en una 
determinada porción de un estanque de agua cuya f.d.p.c. está dada por : 
 
 ( )f x y x y,
.
=
+
8 000
 ; 0 < x , y < 20 
 
Si el nivel de concentración observado de Y es de 10 ppm, obtener la probabilidad de que 
el nivel de concentración de X sea a lo más 14 ppm. Obtener la media condicional de X 
para Y = 10 ppm. 
 
5. Se seleccionaron, aleatoriamente, 60 personas y se les preguntó su preferencia con respecto 
a tres marcas A, B, C. Estas fueron de 27, 18, 15 respectivamente . ¿ Qué tan probable es 
este resultado si no existen otras marcas en el mercado y la preferencias se comparten 
independientemente y por igual entre las tres. ? 
 
6. Sean X e Y dos v.a.d. en donde los posibles valores que éstas pueden tomar son : -1, 0 , +1. 
En la siguiente tabla se dan las probabilidades conjuntas para todos los posibles valores de 
X e Y. 
 
Y
X
−1 0 1
−1 116
3
16
1
16
0 316 0
3
16
1 116
3
16 1 16 
 
a. Obtener las distribuciones marginales de X e Y respectivamente. 
b. ¿Son las v.a’s X e Y independientes? 
c. Calcule la Cov(X,Y). 
d. Calucle la Corr(X,Y). 
7. Si X e Y son v.a. con Varianzas σ X
2
 = 2 ; σY
2
 = 4 y covarianza σ XY = -2. Encuentre la 
Varianza de la v.a. Z = 3X - 4Y + 8. 
 
8. Si X e Y son variables aleatorias independientes con varianzas σ X
2
 = 1 y σY
2
 = 2. 
Encuentre la varianza de la v.a. Z = 3X - 2Y + 5. 
 
9. Suponga que X e Y son variables aleatorias independientes con función de probabilidad 
conjunta: 
 
Y
X
2 4
1 0,10 0,15
3 0,20 0,30
5 0,10 0,15 
 
a. Encuentre E(2X - 3Y). 
b. Calucle E(XY). 
 
 
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10. Sea la variable aleatoria bidimensional (X,Y) con función de probabilidad conjunta: 
 
2
1),(
n
yYxXP === , x y n, , , ,...,= >1 2 3 10 
a. Calcule P X( )3 10≤ ≤ . 
b. Encuentre la función de probabilidad condicional de X dado Y = y. 
c. Analice si las variablea aleatirias X e Y son independientes. 
 
 
11. Dada la siguiente distribución conjunta para dos variables X e Y. 
 
Y\X 0 1 2 3 
1 1/8 0 0 1/8 
2 0 2/8 2/8 0 
3 0 1/8 1/8 0 
 
Encuentre: 
a. Las funciones de cuantía marginales. 
b. Las funciones de cuantía condicionales. 
 
Calcule: 
c. E(X) y E (Y). 
d. Cov(X,Y). 
e. Var (X-Y). 
f. E (X | Y) y E(Y | X = 3). 
 
 
12. Una Compañía vende dos tipos de seguros, A y B. Una encuesta a 1000 personas reveló 
que el Nº de personas que adquirieron: 
• ambos seguros: 200 
• el seguro A : 500 
• ningún seguro : 100 
 
Sea X la variable aleatoria que denota el Nº de tipos de seguros vendidos e Y la variable 
aleatoria que toma los valores “0” si no se venden seguros o “1” si se vende al menos 1 tipo 
respectivamente. Encuentre: 
a. Las distribuciones marginales de X e Y. 
b. La distribución conjunta de (X,Y). 
c. E(X), E(Y), E (XY) y Cov(X,Y). 
d. Las distribuciones condicionales 
 
13. Considere familias con dos hijos y sea X la variable aleatoria que representa el Nº de niños 
e Y la variable aleatoria que representa el Nº de niñas. Encuentre: 
a. La distribución de probabilidad conjunta de (X,Y) 
b. Las distribuciones marginales de x e y 
c. E (X,Y); Cov(X,Y); P (X ≤ 1); P ( 0 < Y < 2 ); P (X< 1 ∩ Y > 1). 
 
14. Se selecciona al azar 2 cartas (sin remplazo) de una caja que contiene 4 cartas numeradas 0, 
1, 2 y 2. Sea X la variable aleatoria que denota la suma e Y la variable aleatoria que denota 
el producto. 
a. Hallar: 
i. La distribución conjunta. 
ii. Las distribuciones marginales 
iii. E (X), E (Y); E (XY) y Cov (X,Y). 
b. ¿Son X e Y independientes? Justifique. 
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15. Se sacan al azar 2 cartas de un naipe de 52. Sea X el Nº de ases obtenidos y sea Y el Nº de 
reyes obtenidos. Hallar: 
a. La función de cuantía conjunta. 
b. Las funciones de cuantía marginales. 
c. E (X | Y = 0). 
 
16. Considere lugares con 2 fábricas iguales sometidas a los mismos riesgos. Sea x la v.a. que 
representa el Nº de fábricas destruidas por incendio; sea y la v.a. que representa el Nº de 
fábricas aseguradas contra incendio. Suponga que X e Y son independientes, P (ocurra un 
incendio) = 0.1 y P (asegurarse contra incendio) = 2/3. Encuentre la distribución conjunta. 
 
17. Un vector aleatorio ( X,Y) tiene la siguiente f.d.p.c. 
 
 A x y para 0 < x < 1, 0 < y < x 
 F ( x, y ) = 
0 p.t.o.c. 
 
 Determine: 
a) Densidades marginales. 
b) Densidades condicionales. 
c) Dependencia o Independencia de X e Y. 
d) P ( 0.7 < X < 0.8 | Y = 0.5 ) 
 
18. Del punto (0, a) se traza una recta que forma el ángulo a con el eje de ordenadas. Si a se 
distribuye uniformemente en el intervalo (0, P/2), ¿Cuál es la función de densidad 
correspondiente a la v.a. que representa la abcisa del punto de corte de la recta con el eje de 
las abcisas? 
 
19. Sea ( X , Y ) variable aleatoria bidimensional con 
f ( x,y ) = 4 x (1-y) 0 < x < 1, 0 < y < 1. 
 
Se hizo una medición de (x, y) y el valor de y resultó igual a 0.5 ¿Cuál esperaría Ud. Que 
fuera el valor de x? 
 
20. Sea ( X , Y ) v.a. bidimensional con función densidad conjunta 
f(x,y) = 3x, 0 < y < x, 0 < x < 1. 
Al hacer una medición de (X, Y) se midió primero el valor de Y, el cual resultó igual a 1/3. 
¿Cuál es el valor esperado del correspondiente valor de X? 
 
21. Sea (X, Y) un vector aleatorio bidimensional continuo, distribuido uniformemente en el 
triángulo de vértices (0,0), (-2,1), (2,1) 
 Calcule: 
a) P (X > 1 | Y > 0.5). 
b) P (X < 1 | Y = 0.75). 
c) Encuentre la función densidad marginal de X. 
d) Var (X). 
e) Var (Y). 
 
22. Una máquina fabrica ejes de diámetro X y otra máquina fabrica cojinetes de diámetro 
interior Y. Supongamos que la densidad de X e Y es f (x, y) = 2500, 0,49 < x < 0,51 < y < 
0,53 y cero en otro caso. Un cojinete se adapta satisfactoriamente a un eje si su diámetro 
excede al del eje al menos en 0,004, pero no en más de 0,036. ¿Cuál es la probabilidadde 
que un cojinete y un eje elegidos al azar ajusten bien? 
 
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23. Supóngase que la función densidad conjunta de (X,Y) es dada por: 
 
 
parteotraen
xyxparaeyxf y
,0
.,0,),(
=
<>= − 
 
(a) Encontrar la función densidad marginal de X. 
(b) Encontrar la función densidad marginal de Y. 
(c) Evaluar P (X > 2 ⏐ Y < 4). 
(d) P (Y < 4 | X > 2). 
 
24. Se considera la circunferencia 222 rYX =+ . Se define X con distribución uniforme 
),( rr− . Tomando X = x, se define Y uniformemente en la cuerda perpendicular al eje 0X y 
de longitud 222 Xr − . 
 Determinar )(),( 21 yfxf y ),( yxf 
 
25. Suponga que X e Y son variables aleatorias independientes distribuidas uniforme en 
(0,1) 
 
a) Encontrar )1( 22 ≤+YXP 
b) Encontrar )1/1( 22 ≥+≤+ YXYXP 
c) Encontrar )( 2XYP ≤ 
d) )5,0( ≤−YXP 
e) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
≤− 5,01
Y
XP 
f) )2/1|( ≥≥ YXYP 
 
26. Sean X e Y dos variables aleatorias independientes distribuidas exponencial con parámetros 
λ y ω , respectivamente. 
 
 Calcular )( YXP < 
 
27. Si ,10,5)( 4 <<= yyyh y ,0,/3)( 32 yxyxyxf <<= encuentre: 
a) )5.0( >XP 
b) )3.05.0( => XYP 
 
28. Sea el vector aleatorio (X,Y) tal que 
 E(X) = Xµ ; E(Y) = Yµ ; V(X) = 
2
Xσ ; V(Y) = 
2
Yσ ; Corr(X;Y) = ρ
 
Suponga además que la siguiente esperanza condicional es una combinación lineal, esto es 
E ( Y / X ) = aX + b a, b ctes. 
Demuestre que : 
E ( Y / X ) = )( Y
Y
X
X Y µσ
σ
ρµ −+ 
 
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29. La rentabilidad anual de la acción A, digamos AR , la cual se distribuye Normal con media 
Aµ = 8.0%, además se sabe que P ( 6.04% < AR < 9.96% ) = 0.95. 
La rentabilidad anual de la acción B, digamos BR , la cual se distribuye N(10% , 4
2% ) . 
La distribución conjunta de las rentabilidades es normal bivariada con coeficiente de 
correlación 0.25. 
a. Si la rentabilidad de la acción B es igual a 6.5% ¿ Cuál es la probabilidad de observar 
una rentabilidad superior a 8% en la acción A?. 
b. Suponga que para minimizar el riesgo, una persona invierte una proporción π del 
capital en la acción A y una proporción ( 1 - π ) en la acción B. Determine el valor de 
π , de manera que la probabilidad de que la rentabilidad total : R = BA RR )1( ππ −+ , 
tome un valor menor al 7% sea igual a 0.10. 
 
30. Suponga el vector aleatorio ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
≈⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
436.0
36.09
,
40
20
2NY
X
, Encontrar el intervalo más 
corto para el cual se cumple lo siguiente: 
 
“la probabilidad condicional que la v.a. Y este comprendida en dicho intervalo dado que 
X=22 sea igual a 0.90”. 
 
31. En cierta ciudad se han aplicado dos Test A y B a un grupo de alumnos, tal que Aµ = 85 ; 
Aσ =10 ; Bµ = 90 ; Bσ =16 , Se sabe además que los puntajes conjuntos se distribuyen 
Normal bivariado con coef. de correl. 0.8. Si se elige un estudiante en forma aleatoria ¿ 
Cuál es la probabilidad que la suma sea mayor que 200? 
 
32. Dos empresas en competencia A y B, operan flotas de Buses entre Santiago y Viña del Mar. 
Se sabe que, en general, el 60% de los pasajeros viajan con A y el 40% con B. Suponga 
que en un día, 200 pasajeros seleccionan independientemente una empresa entre A y B: 
 
Sean 
XA = N° de pasajeros que elige viajar en la empresa A. 
XB = N° de pasajeros que elige viajar en la empresa B. 
 
a. Escriba las funciones de probabilidad, esperanzas y varianzas de las variables 
anteriores. 
b. Escriba la función de probabilidad, esperanza y varianza de la variable D = XA - XB. 
c. Para la empresa A es muy caro mantener buses tal que atiendan a 200 pasajeros, dado 
que no todos eligen viajar por A. Encontrar el número de asientos “K” (por día) de que 
debe disponer la empresa A, para que sólo uno de cada cien días no pueda satisfacer 
toda la demanda. Considere días con 200 pasajeros, donde cada uno elige una de las 
empresas. (Sólo se pide llegar a plantear la ecuación para encontrar el valor de “K”, no 
calcularlo.) 
 
33. Sean 𝑋 e 𝑌 variables aleatorias independientes con distribución Poisson de parámetros 𝜆! y 
𝜆!. Considere la variable aleatoria 𝑍   =  𝑋 + 𝑌. 
 
a. Determine la distribución condicional de 𝑋   =  𝑥 dado 𝑍   =  𝑧. 
b. ¿Reconoce la distribución de probabilidades anterior? ¿Cuál es su valor esperado y su 
varianza?