Marcas-de-agua-en-imagenes-digitales-utilizando-la-transformada-de-Hermite

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA 
DE MÉXICO 
 
 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
 
 
MARCAS DE AGUA EN IMÁGENES 
DIGITALES UTILIZANDO LA TRANSFORMADA 
DE HERMITE 
 
 
T E S I S 
 
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE 
INGENIERO EN COMPUTACIÓN 
 
 
P R E S E N T A N 
JUAN MANUEL CRUZ ALVARADO 
ISAAC VARGAS MEJÍA 
 
 
 
 
DIRECTOR DE TESIS: 
DR. BORIS ESCALANTE RAMÍREZ 
 
 
México, D. F. 2007 
 
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UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, 
reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el 
respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
 ii 
Agradecimientos 
 
 
A mis padres, gracias por su cariño, comprensión y el sacrificio hecho durante estos años. 
Son mi inspiración. 
 
A mis hermanos, mi motivación. Sigan por el camino de la educación. 
 
A mis familiares y amigos, son parte importante en mi vida, sé que cuento con ustedes. 
 
Agradezco especialmente al Dr. Boris Escalante, sin su ayuda la elaboración de esta tesis 
no hubiera sido posible. 
 
A la Universidad Nacional Autónoma de México y a la Facultad de Ingeniería, es un 
orgullo haber pertenecido a estas instituciones. 
 
A mis compañeros durante la carrera, por todos los momentos de alegría y arduo trabajo 
que compartimos. 
 
 
 
 
 
Juan Manuel Cruz Alvarado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 iii 
Agradecimientos 
 
 
A mis padres, por su incondicional apoyo, cariño, dedicación, perseverancia y paciencia 
que me han brindado a lo largo de mi vida. Siempre les estaré agradecido por todo lo que 
me han dado, este logro mío también es de ustedes y la oportunidad de obtenerlo sin duda 
es el mejor legado que pudiera recibir. 
 
A mis hermanos, porque sin ellos habría sido imposible llegar a donde estoy ahora. Espero 
que logren lo mismo que yo y más. 
 
A mis abuelos, por el cariño que me han brindado y por ser parte fundamental en mi vida. 
Lo que soy lo debo en gran medida a ustedes, muchas gracias por todo. 
 
A mis tíos, tías y primos, porque siempre han estado conmigo en los momentos gratos y en 
los difíciles. Gracias por confiar en mí. 
 
En especial a la Universidad Nacional Autónoma de México y a la Facultad de Ingeniería, 
porque es ahí donde tuve mi formación como profesionista y como persona. A lo largo de 
estos años han sido y seguirán siendo mi segunda casa. 
 
Al Dr. Boris Escalante, por el apoyo que nos brindó en la realización de esta tesis, por 
permitirnos trabajar en el laboratorio de Procesamiento Digital de Imágenes, así como por 
la beca proporcionada. Su ayuda fue esencial en todo momento. 
 
A mis amigos que siempre han estado conmigo, gracias por su apoyo. 
 
A mis compañeros del laboratorio de Procesamiento Digital de Imágenes, por su 
agradable compañía en todo este tiempo. 
 
 
 
 
 
Isaac Vargas Mejía 
 
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 iv 
CONTENIDO 
Agradecimientos ...................................................................................................................ii 
CONTENIDO ...................................................................................................................... iv 
 
1. INTRODUCCIÓN........................................................................................................ 1 
1.1. Propiedad intelectual y la era digital. ..................................................................... 1 
1.1.1. Protección de derechos de autor. ........................................................................ 2 
1.1.2 Autentificación de imágenes e integridad de datos. ........................................... 4 
1.1.3 Ocultamiento de datos. ....................................................................................... 5 
1.1.4 Watermarking (Marcas de Agua). ...................................................................... 6 
1.2 Objetivo de la tesis. ................................................................................................ 7 
1.3 Justificación del proyecto de tesis. ......................................................................... 7 
 
 
2. LA TECNOLOGÍA DE WATERMARKING. ..................... ..................................... 9 
2.1 El proceso de watermarking. .................................................................................. 9 
2.1.1 Incrustación de la marca. .................................................................................. 10 
2.1.2 Distribución. ..................................................................................................... 12 
2.1.3 Extracción o detección...................................................................................... 13 
2.1.4 Decisión. ........................................................................................................... 14 
2.2 Aspectos y requerimientos para la aplicación. .....................................................16 
2.3 El problema robustez – invisibilidad.................................................................... 17 
2.4 Relación con la criptografía.................................................................................. 18 
2.5 Operando en el dominio de la transformada.........................................................19 
2.5.1 Espectro disperso.............................................................................................. 20 
2.5.2 La Transformada Wavelet. ............................................................................... 21 
 
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 v 
 
2.5.3 La Transformada de Hermite............................................................................ 33 
2.6 El sistema de visión humano. ............................................................................... 46 
2.6.1 Sensibilidad al contraste. .................................................................................. 49 
2.6.2 Sensibilidad a la frecuencia espacial. ............................................................... 50 
2.6.3 Enmascaramiento.............................................................................................. 52 
 
 
3. IMPLEMENTACIÓN DEL ALGORITMO DE WATERMARKING....... .......... 53 
3.1 Explotando las características del sistema de visión humano. ............................. 53 
3.2 Utilizando la transformada Wavelet. .................................................................... 55 
3.2.1 Enmascaramiento.............................................................................................. 56 
3.2.2 Selección del valor de umbral. ......................................................................... 59 
3.3 Utilizando la transformada de Hermite. ............................................................... 62 
3.3.1 Enmascaramiento.............................................................................................. 64 
3.3.2 Selección del valor de umbral. ......................................................................... 66 
 
 
4. ATAQUES................................................................................................................... 68 
4.1 Clasificación de los ataques.................................................................................. 68 
4.2 Contrarrestar ataques. ........................................................................................... 71 
 
 
5. RESULTADOS. ..........................................................................................................74 
5.1 Fuerza de la marca incrustada. ............................................................................. 74 
5.2 Umbral de detección............................................................................................. 87 
5.3 Compresión de la imagen. ................................................................................... 92 
5.4 Procesamiento de la imagen. ................................................................................ 97 
5.5 Transformaciones geométricas. .......................................................................... 107 
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 vi 
6. CONCLUSIONES. ................................................................................................... 115 
6.1 Conclusiones generales....................................................................................... 115 
6.2 Futuras investigaciones. ..................................................................................... 119 
 
 
ANEXO A. IMÁGENES UTILIZADAS. ....................................................................... 120 
 
ANEXO B. CÓDIGO FUENTE ...................................................................................... 125 
 
REFERENCIAS ............................................................................................................... 130 
 
 
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 1 
1. INTRODUCCIÓN. 
 
1.1. Propiedad intelectual y la era digital. 
 
En la actualidad, el contenido multimedia, que consta de imágenes, archivos de 
audio y vídeo, puede ser reproducido y distribuido vía World Wide Web sin pérdida de 
calidad y, en muchos casos, sin costo alguno. Estos documentos digitales adquieren cada 
vez mayor importancia, al mismo tiempo de que surgen nuevos retos dado que es muy 
sencillo duplicar y manipular el contenido multimedia. Los autores y los proveedores de 
este tipo de contenido deben ser capaces de demostrar la propiedad intelectual, delimitar el 
uso del contenido, así como evitar la distribución de copias ilegales a terceros. 
 
La tecnología de marcado de agua digital (digital watermarking, en inglés) juega un 
papel muy importante en este contexto, ya que permite colocar una marca en el contenido 
multimedia (imágenes, audio o vídeo). Los objetivos que se pretenden alcanzar con esta 
tecnología son: 
 
a) Protección de la propiedad intelectual. En este caso, se pretende identificar al autor 
legítimo del documento digital y, en su caso, a los usuarios autorizados del mismo, 
con el fin de evitar la distribución de copias ilegales a terceros. 
b) Autentificación del contenido e integridad de los datos. En este caso, el marcado de 
agua digital se utiliza para detectar modificaciones significativas al contenido 
multimedia. En otras palabras, se pretende verificar la autenticidad del contenido. 
 
Es decir, con el marcado de agua digital se pretende proteger los derechos de autor 
para contenido multimedia, o bien garantizar la autenticidad del mismo. Se trata de un 
campo en el que se ha hecho bastante investigación a lo largo de la última década, por lo 
cual, se busca aplicar con éxito en problemas reales. También se ha hecho investigación en 
lo que se conoce como fingerprinting (ocultamiento de secuencias o un conjunto de 
características con el fin de distinguir un objeto de otros objetos similares) y en 
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 2 
esteganografía (ocultamiento de un mensaje secreto dentro de otra fuente de información 
para así cubrir su existencia), aunque estos dos campos no forman parte del objetivo de la 
presente tesis. 
 
La tecnología denominada digital watermarking es, relativamente, una disciplina 
joven. Durante los primeros años de la década de los noventa, se publicaban alrededor de 5 
a 10 documentos por año, hasta que en 1995 se incrementó en gran medida el interés por 
esta área. 
 
 
1.1.1. Protección de derechos de autor. 
 
El objetivo del watermarking para protección de derechos de autor es introducir una 
marca dentro del contenido multimedia, la cual es útil para identificar al autor del 
documento digital (por ejemplo, una imagen o bien un archivo de audio o vídeo). Además 
de identificar al autor del contenido, tal vez sea de interés introducir una marca (o huella 
digital) para identificar al comprador del contenido en cuestión. La marca de agua puede 
ser un número registrado, un mensaje o un logotipo. La expresión “marca de agua” 
proviene del arte antiguo de colocar logotipos en el papel. 
 
Consideremos el caracter especial ‘©’ que se refiere a derechos de autor. Su 
aplicación al material protegido no impide que se cometan infracciones a la propiedad 
intelectual, sino que sólo es una herramienta que es utilizada en un marco legal muy 
amplio. Lo mismo ocurre con una marca de agua digital, la cual por sí misma no impide 
violaciones a los derechos de autor, sino que es un medio que puede utilizarse en una 
arquitectura de manejo de derechos por propiedad intelectual [4]. 
 
Las marcas de agua digitales pueden ser perceptibles o imperceptibles. Las marcas 
de agua perceptibles, para el caso de imágenes digitales, usualmente consisten de un 
logotipo, el cual es fácilmente incrustado en la imagen de interés, pero es difícil de remover 
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 3 
(figura 1.1). No obstante, muchas aplicaciones requieren que la marca de agua sea 
imperceptible (invisible). Véanse las figuras 1.2 y 1.3. 
 
 
 
Figura 1.1. Imagen con marca de agua visible. 
 
 
 
 
 
Figura 1.2. Imagen original (izquierda) y marca de agua a insertar (derecha). 
 
 
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 4 
 
 
Figura 1.3. Imagen marcada (izquierda) y diferencia entre la imagen original y la marcada (derecha). En este 
caso, se trata de una marca de agua invisible. 
 
Además, en el caso de imágenes digitales, la marca de agua debe ser robusta contra 
procesamientos comunes, tales como compresión JPEG o filtrado. Asimismo, los esquemas 
de watermarking deben ser seguros contra ataques malintencionados; es aquí donde las 
técnicas criptográficas y las propiedades estadísticas de secuencias de números 
pseudoaleatorios juegan un papel importante. La robustez es una propiedad indispensable 
para garantizar la protección de derechos de autor. 
 
En esta tesis nos enfocamos en marcas de agua invisibles para imágenes digitales. 
 
 
1.1.2 Autentificación de imágenes e integridad de d atos. 
 
Otra aplicación del watermarking es la autentificación de imágenes. En este caso, 
las técnicas de watermarking permiten detectar modificaciones significativas a la imagen de 
interés (figura 1.4). Dado que las imágenes digitales son susceptibles a alteraciones debidas 
a diversos procesamientos, las marcas de agua son útiles para verificar la autenticidad de 
una imagen. Las marcas de agua utilizadas para este fin, deben ser frágiles, esto quiere 
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 5 
decir que cualquier modificación a la imagen destruirá (o al menos alterará) la marca de 
agua. 
 
Los algoritmos de watermarking para autentificación de imágenes deben tolerar 
distorsiones tales como conversión de formato de archivo, compresión o transmisión 
progresiva. 
 
 
 
Figura 1.4. Integridad de imágenes. La imagen del lado derecho fue manipulada. 
 
 
1.1.3 Ocultamiento de datos. 
 
El ocultamiento de datos (steganography en inglés) consiste en incrustar la mayor 
cantidad de datos dentro de una señal (por ejemplo, una imagen). Esto permite establecer 
comunicación utilizando mensajes cifrados sin atraer la atención de terceros. Para 
propósitos de esteganografía, son pocos los requerimientos de robustez; en cambio, la 
invisibilidad y la capacidad (máxima cantidad de datos que se pueden introducir) son de 
suma importancia. 
 
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 6 
Es conveniente hacer notar la diferencia entre la técnica de marcado de agua digital 
(digital watermarking) y la esteganografía. Ambos camposde estudio pertenecen al área 
del ocultamiento de la información, pero sus objetivos son distintos: 
 
• La esteganografía es la técnica donde cierto medio es usado para cubrir la 
transmisión de un mensaje imperceptible, donde la presencia del mensaje se debe 
mantener en secreto. Por lo general, el mensaje no tiene relación alguna con el 
medio que lo cubre, y cualquier alteración que se haga al medio que cubre al 
mensaje, traerá como consecuencia que el mensaje no podrá ser leído [4]. 
• La técnica de digital watermarking no requiere que la presencia del mensaje se 
mantenga en secreto, no obstante, dicho mensaje debe ser robusto a alteraciones que 
se hagan al medio que lo contiene. 
 
1.1.4 Watermarking (Marcas de Agua). 
 
El concepto de marcas de agua está relacionado con la invención del papel. Veamos 
las siguientes definiciones de marca de agua: 
 
• Logotipo translúcido creado en la fabricación de papel, cuando éste se encuentra 
formado por agua en un 90%. 
• Una marca de agua es un diseño realzado en un papel, utilizado para identificar a 
dicho papel y a su fabricante. La marca de agua puede ser vista cuando el papel es 
colocado a contraluz. 
 
Así, podemos decir que la existencia de las marcas de agua, en conjunto con la era 
digital, ha llevado a establecer el término marcas de agua digitales, o bien digital 
watermarks. 
 
La tecnología de watermarking es derivada de la criptografía y de la esteganografía. 
La criptografía consiste en codificar un mensaje con el fin de proteger su contenido, 
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 7 
mientras que la esteganografía, como ya se dijo, consiste en el ocultamiento de un mensaje 
secreto dentro de otra fuente de información para así cubrir su existencia. 
 
En la actualidad, existen técnicas de watermarking para prácticamente cualquier tipo 
de medio digital, tales como documentos de texto, imágenes (la mayor parte de la 
investigación de watermarking se centra en este tipo de contenido), vídeo, audio, modelos 
de polígonos en 3D y software. Algunas aplicaciones que requieren de watermarking en 
imágenes son: distribución de imágenes por Internet, cámaras digitales, imágenes médicas, 
bases de datos de imágenes y vídeo, etc. 
 
1.2 Objetivo de la tesis. 
 
A partir de la definición de watermarking, podemos establecer el objetivo del 
proyecto de la presente tesis: 
 
Implementar un algoritmo de watermarking para imágenes digitales, 
utilizando la transformada de Hermite, con el objetivo de proteger los derechos de 
autor. 
 
Dado que en esta tesis nos enfocamos en la protección de los derechos de autor, se 
utilizarán marcas de agua invisibles. Además, se pretende investigar si la transformada de 
Hermite provee ventajas significativas sobre la transformada Wavelet en lo que se refiere a 
watermarking en imágenes digitales, en términos de robustez e invisibilidad. 
 
1.3 Justificación del proyecto de tesis. 
 
Para la implementación del algoritmo de watermarking, nos basamos en un 
algoritmo propuesto por Mauro Barni, Franco Bartolini y Alessandro Piva [1] descrito en el 
capítulo 3. Decidimos tomar como referencia dicho algoritmo, ya que en la literatura 
referente a watermarking, varios autores hacen referencia al documento citado. Además, 
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 8 
dicho algoritmo propone una solución óptima para el problema robustez-invisibilidad, el 
cual es explicado en el capítulo siguiente. Por otra parte, elegimos al watermarking como 
tema central de esta tesis, ya que es un campo sobre el cual se ha hecho bastante 
investigación, y pretendemos aportar a dicha investigación con nuestros resultados, para de 
esta forma saber si la transformada de Hermite es de utilidad en el campo de marcado de 
agua en imágenes digitales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 9 
2. LA TECNOLOGÍA DE WATERMARKING. 
2.1 El proceso de watermarking. 
 
El marcado de agua en imágenes digitales introduce datos en la imagen a marcar. El 
proceso general de marcado de imágenes se presenta en la figura 2.1. La imagen original es 
modificada usando la marca de agua para así crear la imagen marcada. En este proceso, 
algunos errores por distorsión son introducidos. Para asegurar la transparencia de los datos 
embebidos, la cantidad de distorsión en la imagen debida al proceso de incrustación de la 
marca tiene que ser pequeña. La imagen marcada es posteriormente distribuida y puede 
circular de usuarios legítimos a ilegítimos. De este modo, la imagen está sujeta a varios 
tipos de distorsión. La distorsión puede ser el resultado de la compresión de la imagen con 
pérdidas, re-muestreo o de un ataque específico sobre los datos incrustados. 
 
El proceso de extracción puede o no, dependiendo de la naturaleza de la aplicación, 
requerir de la imagen original para estimar los datos incrustados en la imagen distorsionada. 
La marca de agua (o simplemente marca) es recuperada con la ayuda de la imagen original 
cuando ésta se encuentra disponible para la aplicación. Es deseable que la diferencia entre 
los datos extraídos y los incrustados sea lo más pequeña posible. 
 
Para poder observar los diferentes aspectos del problema del marcado de agua, 
dependiendo de la aplicación particular y los requerimientos de la aplicación, tenemos que 
precisar el modelo general de watermarking (figura 2.1) y observar a profundidad las etapas 
sucesivas de este proceso. Estas etapas comprenden: 
 
• La etapa de incrustación 
• La etapa de extracción o detección 
• La etapa de distribución 
• La etapa de decisión 
 
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 10 
 
 
Figura 2.1. Visión general del modelo de marcado de imágenes. 
 
 
2.1.1 Incrustación de la marca. 
 
Con excepción de algunos esquemas muy prematuros, todos los algoritmos robustos 
de watermarking operan en el dominio de alguna transformada que ofrezca acceso a los 
componentes frecuenciales de la imagen original. Omitiendo el paso de transformación y 
efectuando el paso de incrustación en el dominio espacial, se puede diseñar un algoritmo de 
watermarking simple y computacionalmente eficiente. Sin embargo, estos enfoques fallan 
en alcanzar una buena robustez en contra de ataques por compresión. 
 
En esta primera etapa del modelo de watermarking, la imagen original es, por lo 
tanto, inicialmente transformada a un dominio que facilite la incrustación de la marca de 
agua. 
 
La marca (también llamada mensaje) puede ser un conjunto de datos binarios, una 
pequeña imagen o un valor inicial para producir una secuencia de números pseudo 
aleatorios con cierta distribución (por ejemplo, gaussiana o uniforme). La marca puede ser 
Imagen 
original 
Marca 
Incrustación 
Llave 
Distorsión 
(ruido, 
ataques) 
Imagen 
distorsionada 
(Atacada) 
Imagen 
original 
Extracción 
Imagen 
marcada 
Marca 
Extraída 
Decisión 
(Comparación, 
correlación) 
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 11 
encriptada para de-correlacionar la información y sujetarla a un esquema de corrección de 
errores. 
 
Posteriormente los coeficientes (en el dominio de la transformada) son modificados 
con los datos de la firma (la marca). Opcionalmente, podemos emplear un modelo de 
percepción humana para ponderar la fuerza con que se realizan las modificaciones al 
incrustar. Escogiendo una transformada conveniente y seleccionando sólo ciertos 
coeficientes, muchos de los modelos del sistema de visión humano pueden hacerse 
implícitos. Mientras la transformación de la imagen se aproxime más a las propiedades del 
sistema de visión humano, será más fácil poner más energía en la señal a incrustar sin 
causar distorsión perceptible. 
 
Finalmente, la transformación inversa es aplicada en los coeficientes modificados 
para producir la imagen marcada. 
 
 
 
 
Figura 2.2. Modelo de la etapa de incrustación de la marca. 
 
 
 
Imagen 
original 
Marca 
Transformación 
(DWT, etc.) 
Llave 
Imagen 
marcada 
Incrustaciónde datos 
Coeficientes 
transformados 
Modelo 
adaptable 
(HVS) 
Transformación 
inversa 
Preparación de 
datos 
(encriptación) 
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 12 
2.1.2 Distribución. 
 
La imagen marcada es posteriormente distribuida (por ejemplo, publicada en un 
sitio Web). Hoy en día, la distribución de contenido digital a menudo incluye compresión 
previa a la transmisión. 
 
Durante la transmisión y distribución de la imagen marcada, no sólo la compresión 
añade distorsión, también lo hacen los errores de transmisión y las tareas comunes de 
procesamiento tales como mejoramiento del contraste, re-muestreo y corrección de brillo. 
Especialmente manipulaciones geométricas de la imagen como escalamiento, rotación o 
recortes resultan muy dañinas a la marca incrustada. Todas las manipulaciones de la imagen 
marcada deben ser vistas como ataques sobre la información incrustada. Las 
modificaciones que ocurren durante el procesamiento normal de la imagen se conocen 
como ataques casuales o no intencionales, mientras que los ataques cuyo objetivo es 
debilitar, remover o alterar la marca son llamados hostiles o intencionales. 
 
 
Figura 2.3. Modelo de distribución de la imagen marcada. 
 
 
Compresión 
con pérdidas 
Llave pública 
Imagen 
marcada 
Ruido por 
transmisión, 
procesamiento 
de la imagen 
Dispositivo 
de detección 
público 
Ataques 
hostiles 
JPEG JPEG2000 
Transmisión 
progresiva 
Mejoras a la 
imagen, recorte, 
rotación 
Conocimiento 
del algoritmo 
Imagen 
marcada 
similar 
Imagen 
distorsionada 
(Atacada) 
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 13 
2.1.3 Extracción o detección. 
 
Eventualmente, después de que la imagen marcada ha sufrido severas distorsiones, 
se deseará extraer la marca de agua o bien detectar su presencia. Esto puede ser realizado 
por quien haya marcado la imagen, el usuario que recibió la imagen o por un tercero. En el 
primer caso, la llave secreta usada para incrustar la marca así como la imagen original 
pueden estar disponibles. Esto facilita enormemente el sistema de watermarking y hace que 
la extracción o detección de la marca sea en forma directa. Estos sistemas que tienen acceso 
tanto a la llave secreta como a la imagen original son llamados no ciegos o sistemas de 
watermarking privados. 
 
El otro extremo es el caso en que ni la llave privada ni la imagen original estén 
disponibles durante el proceso de extracción. En este caso, se dice que el sistema es de llave 
pública. De cualquier manera, no se conoce algún sistema de watermarking de llave pública 
que sea seguro. Recientemente, esquemas de watermarking asimétricos han sido 
propuestos, estos utilizan diferentes llaves para incrustar y para detectar la marca. La 
relación entre watermarking y criptografía de llave pública se explica más adelante. 
 
Un esquema de watermarking que permite extraer la marca sin utilizar la imagen 
original es llamado ciego. También existen métodos de detección o extracción que 
dependen de algunos datos o características derivadas de la imagen original. Estos 
esquemas son llamados semi-ciegos. 
 
Para resumir estas importantes diferencias basadas en la disponibilidad de la imagen 
original, existen algoritmos de watermarking: 
 
• Ciegos 
• Semi-ciegos 
• No ciegos 
 
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 14 
Respecto a la necesidad de tener disponible la llave para la extracción podemos 
distinguir algoritmos de watermarking: 
 
• De llave privada 
• De llave pública 
• Asimétricos 
 
 
 
Figura 2.4. Modelo de la etapa de extracción de la marca. 
 
 
2.1.4 Decisión. 
 
En la etapa de decisión, el sistema de watermarking analiza los datos extraídos o 
detectados. Dependiendo del tipo de la aplicación y la naturaleza de la marca, la etapa de 
decisión puede producir diferente número de salidas. 
 
En aplicaciones para la protección de copias de la imagen, la salida del sistema de 
watermarking puede ir de una respuesta simple hasta varias respuestas complicadas. En el 
Imagen 
original 
Marca 
extraída 
Transformación 
(DWT, etc.) 
Llave 
Imagen 
distorsionada 
(Atacada) 
Coeficientes 
transformados 
(Originales) 
Modelo 
adaptable 
(HVS) 
Extracción 
de datos 
Recuperación de 
datos 
(desencriptación) 
Coeficientes 
transformados 
(Distorsionados) 
Transformación 
(DWT, etc.) 
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 15 
caso más sencillo, el resultado es un simple sí o no, indicando si la marca del propietario ha 
sido encontrada en la imagen recibida. Sistemas más complejos regresan el logotipo o la 
información textual sobre los derechos de autor que fueron incrustados en la imagen 
original. Una medida de similitud ampliamente usada entre la marca incrustada W, y la 
marca extraída, W*, es la correlación normalizada para secuencias pseudo aleatorias 
 
 
*
*
W W
W W
δ ⋅=
⋅
 (2.1) 
 
o la distancia de Hamming para mensajes binarios, { }1,1−∈iw , 
 *
N
i iN w wδ = − ⋅∑ (2.2) 
La respuesta sí/no puede ser derivada de la medida de similitud δ con un umbral 
apropiado τ ; por ejemplo, si τδ ≥ entonces la marca es detectada, en otro caso se 
concluye que la marca no puede ser encontrada en la imagen. 
 
 
 
Figura 2.5. Modelo de la etapa de decisión. 
 
Las aplicaciones de ocultamiento de datos y etiquetado de la imagen típicamente 
tratarán de regresar el mensaje incrustado originalmente. Debido a que la degradación del 
mensaje no puede ser tolerada, el uso de códigos de corrección de errores es obligatorio 
para este tipo de aplicaciones. 
 
Imagen 
Marca 
Original 
Decisión 
(correlación, 
comparación) 
Umbral 
Marca 
extraída 
Neevia docConverter 5.1
 16 
Los esquemas de watermarking para autentificación de imágenes y verificación de 
integridad de datos regresarán ya sea una respuesta sí/no para indicar si la imagen ha sido 
falsificada, la identidad de la fuente legítima o bien tratarán de identificar las regiones de la 
imagen que han sido manipuladas. 
 
 
2.2 Aspectos y requerimientos para la aplicación. 
 
Para la autentificación de imágenes, la marca incrustada tiene que ser invisible para 
un observador humano y debe ser alterada por cualquier modificación intencional sobre la 
imagen. Además, debe ser difícil insertar una marca falsa y el esquema de watermarking 
debe poder indicar las regiones donde las alteraciones han sido realizadas. 
 
Varios escenarios para la protección de derechos de autor son posibles. Primero, el 
propietario de una imagen puede incrustar una marca invisible, robusta e inmediatamente 
extraíble para identificar copias no autorizadas. Segundo, demostrar la propiedad de una 
imagen requiere, además de robustez, que el esquema de watermarking sea ciego, privado y 
no invertible (esto es, no debería ser posible extraer una marca de agua de una imagen que 
no haya sido marcada). Por otra parte, la velocidad y la facilidad de extracción o detección 
no son de gran relevancia. Finalmente, el propietario de la imagen (el vendedor) puede 
adicionalmente querer conocer cuáles usuarios permitieron hacer una copia no autorizada 
de la imagen. Aquí, las técnicas de fingerprinting (huellas digitales) y de seguimiento de 
circulación entran en juego para identificar no sólo al vendedor sino también al comprador 
de una imagen. Para cubrir este objetivo, algunos requerimientos adicionales son 
necesarios. Por ejemplo, debe ser posible generar un gran número de marcas diferentes y la 
inserción de múltiples marcas debe ser manejada adecuadamente. 
 
Para el ocultamiento de datos o propósitos del etiquetado de la imagen, la capacidad 
máxima de incrustación del mensaje es primordial. Las técnicas de etiquetado de imágenes 
requieren en gran medida de información sobre la localización de la marca incrustada. 
 
Neevia docConverter 5.1
 17 
Como la criptografía, los métodos de watermarking obedecen al principio de 
Kerckhoff [23] el cual se refiere a que la seguridad y robustez requieren ser tomadasen 
consideración debido a que los algoritmos de incrustación y extracción son conocidos a 
detalle. A pesar de esto, los esquemas más avanzados de watermarking hoy en día no 
revelan los detalles de implementación para reproducir los resultados. Además, muy poca 
investigación se ha dedicado a analizar la seguridad de los esquemas de watermarking [2]. 
 
 
2.3 El problema robustez – invisibilidad. 
 
Muchos algoritmos de watermarking han sido propuestos recientemente. La mayoría 
señala que la marca debe ser incrustada en las partes perceptivamente significativas de la 
imagen para obtener una marca robusta. Para la mayoría de las imágenes estas partes 
corresponden a las componentes de baja frecuencia. Sin embargo, si la marca es incrustada 
arbitrariamente en las bajas frecuencias sin adaptarse a las características locales de la 
imagen, la calidad de ésta podría degradarse visualmente. 
 
Incrustar la marca en las componentes de alta frecuencia permite que la calidad 
visual de la imagen no se altere, sin embargo esto hace que la marca sea vulnerable a 
ataques como compresión y filtrado. 
 
Para mejorar el rendimiento de un esquema de watermarking se pueden explotar las 
características del sistema de visión humano. Para esto se compensa la falta de robustez en 
los componentes de alta frecuencia incrementando la fuerza de la marca al máximo 
mientras se mantiene la invisibilidad usando una máscara visual. Estos esquemas están 
diseñados para aprovechar la información perceptiva en el proceso de marcado. Estas 
marcas son conocidas como marcas de agua perceptivas [10]. 
 
 
Neevia docConverter 5.1
 18 
2.4 Relación con la criptografía. 
 
La criptografía en imágenes es considerada como una técnica de codificación para la 
transmisión de datos a través de canales de comunicación bajo la condición de que los datos 
no puedan ser leídos o interpretados por un tercero. Sin embargo, los datos transmitidos, 
especialmente los codificados, pueden atraer la atención e impulsar la imposición de la ley 
por parte de las autoridades para echar un vistazo más profundo. La criptografía se ha 
convertido en una de las principales herramientas para la privacidad, control de acceso, 
autentificación, firmas digitales y envío de mensajes seguros. 
 
La esteganografía introduce un mensaje secreto en forma de datos encubiertos, 
típicamente en imágenes digitales o en videos el mensaje es oculto como “ruido”. Sin la 
llave correcta, es virtualmente imposible extraer el mensaje oculto o inclusive detectar su 
presencia. Esto implica una carga adicional para el criptoanalista quien debe examinar 
inclusive datos no sospechosos en busca de mensajes esteganográficos incrustados. 
 
La relación entre criptografía y watermarking proviene de la semántica compartida 
de llave pública y privada en los sistemas de criptografía y en los sistemas de 
watermarking. En los sistemas de criptografía de llave privada, la misma llave es usada 
para encriptar y desencriptar un mensaje (llave simétrica), mientras que en los sistemas 
criptográficos de llave pública, las llaves para encriptar y desencriptar son diferentes (llave 
asimétrica) [2]. 
 
En un sistema de watermarking de llave pública, un objeto digital es marcado con la 
llave privada pero la presencia de una marca de agua puede ser verificada usando una llave 
pública. Desde luego, el cálculo de la llave privada es irrealizable, a pesar de la 
disponibilidad de la llave pública y el algoritmo del sistema de watermarking. La llave 
pública sólo permite leer la marca, no puede ser usada para remover o falsificar una marca. 
El watermarking de llave pública asume que la imagen original sin marca no es requerida 
en el proceso de extracción o detección (recuperación ciega). 
 
Neevia docConverter 5.1
 19 
Los sistemas tradicionales de watermarking que usan llaves privadas casi siempre 
permiten remover o insertar marcas falsas. Los esquemas de llave pública tienen que 
permitir la verificación segura de la marca por terceras personas. Sin embargo, no es 
conocido ningún esquema de watermarking de llave pública. 
 
Las técnicas de watermarking asimétrico no utilizan la imagen original y emplean 
diferentes parámetros que los utilizados en el proceso de incrustación. Los términos 
watermarking de llave pública y watermarking asimétrico son a menudo usados en el 
mismo contexto. Si los términos son tomados literalmente se puede diferenciar entre 
watermarking asimétrico (las llaves utilizadas para la detección de la marca son diferentes 
de las llaves necesarias para incrustar la marca) y watermarking de llave pública (las llaves 
necesarias para la detección de la marca son públicamente conocidas), lo cual permite a 
cualquiera -incluyendo atacantes potenciales- detectar e incrustar una marca. 
 
 
2.5 Operando en el dominio de la transformada. 
 
Las técnicas de watermarking que trabajan en el dominio de la transformada, 
aplican alguna transformada invertible a la imagen antes de introducir la marca de agua. 
Posteriormente, a fin de incrustar la marca, los coeficientes del dominio de la transformada 
son modificados y, finalmente, se aplica la transformación inversa para así obtener la 
imagen marcada. Algunos ejemplos de transformadas utilizadas para propósitos de 
watermarking, son la Transformada Coseno Discreta (DCT) o la Transformada Wavelet 
Discreta (DWT). [22] 
 
Los algoritmos de watermarking que trabajan en el dominio de alguna transformada, 
poseen la propiedad de que es más difícil leer o modificar la marca de agua, dado que 
dichos algoritmos tienen acceso a los componentes frecuenciales de la imagen de interés. 
La representación en frecuencia de una imagen permite elegir sólo ciertas bandas de la 
señal original (la imagen) para propósitos de watermarking. Además, se ha observado que 
el sistema de visión humano (HVS, Human Visual System) procesa ciertas bandas de 
Neevia docConverter 5.1
 20 
frecuencia de manera individual, lo que ha conducido al desarrollo de modelos visuales que 
intentan capturar estas características. 
 
 
2.5.1 Espectro disperso. 
 
En las técnicas de espectro disperso, una señal de banda estrecha, que representa el 
mensaje a ser transmitido, es modulada por una señal portadora de banda ancha, que 
dispersa el espectro de la señal de banda estrecha. De ahí surge el término espectro 
disperso. [22] 
 
El espectro disperso cuenta con las siguientes propiedades: 
 
• Antibloqueo (anti-jamming). Esta propiedad resulta del hecho de que un atacante no 
conoce la información que poseen tanto el emisor como el receptor autorizado. 
Como resultado de ello, lo que debe hacer el atacante es interferir en todo el 
espectro de la señal de banda ancha. En términos de watermarking, esto significa 
que, para interferir con la marca de agua, el atacante debe distorsionar severamente 
la imagen marcada, de tal forma que la imagen atacada ya no cuente con una calidad 
aceptable o bien, que ya no tenga valor comercial. 
• Pseudo-ruido. La portadora es una señal de pseudo-ruido. Esto quiere decir que 
tiene propiedades estadísticas similares a las que tiene una señal aleatoria. Por 
ejemplo, la portadora puede ser la salida de un generador de números aleatorios que 
se ha inicializado con un valor de semilla particular, el cual es conocido solamente 
por el propietario. En términos de watermarking, esta propiedad es importante, ya 
que para un atacante es difícil estimar la marca de agua a partir del medio marcado. 
 
Por otra parte, la principal desventaja de las técnicas de watermarking, que trabajan 
en el dominio de la frecuencia, es adaptar la fuerza de la marca de agua a la actividad local 
en la imagen, haciendo más difícil la posibilidad de aprovechar ciertas características del 
sistema de visión humano. Sin embargo, este problema puede ser resuelto si se utiliza una 
Neevia docConverter 5.1
 21 
transformadaque proporcione información en frecuencia y espacial acerca de la imagen de 
interés. Tal es el caso de la transformada wavelet y de la transformada de Hermite. 
 
 
2.5.2 La Transformada Wavelet. 
 
La transformada wavelet es eficiente para el análisis local de señales; mapea la señal 
de interés en una representación de tiempo-escala [13], o bien, en una representación de 
espacio-escala para el caso de imágenes. 
 
Las wavelets son funciones matemáticas que separan los datos en diferentes 
componentes frecuenciales, y luego estudian cada componente con una resolución 
adecuada a su escala [12]. Las wavelets son generadas a partir de una función wavelet 
básica, mediante traslaciones y dilataciones. Además, estas funciones permiten reconstruir 
la señal original a través de la transformada wavelet inversa. Veremos que la transformada 
wavelet no es solamente local en el tiempo, sino también en frecuencia. 
 
Cuando se utiliza la transformada de Fourier, no hay información frecuencial 
disponible en el dominio temporal, y tampoco hay información temporal disponible en el 
dominio de la frecuencia. Cuando se necesita conocer la localización en el tiempo de las 
componentes espectrales, se necesita una transformada que proporcione una representación 
tiempo-frecuencia de la señal. 
 
En términos generales, la transformada wavelet funciona de la siguiente manera: la 
señal se hace pasar a través de una serie de filtros paso-bajas y paso-altas, con lo que se 
obtienen porciones de baja frecuencia y de alta frecuencia de la señal. A su vez, la porción 
de baja frecuencia puede ser dividida en partes de baja y alta frecuencia. A este proceso se 
le denomina descomposición. 
 
Es posible analizar la señal mediante un método denominado análisis 
multiresolución. El análisis multiresolución, como su nombre lo indica, analiza la señal a 
Neevia docConverter 5.1
 22 
diferentes frecuencias con diferentes resoluciones [12]. Este tipo de análisis es muy útil 
dado que a altas frecuencias proporciona buena resolución en el tiempo y baja resolución en 
frecuencia, mientras que a bajas frecuencias brinda buena resolución en frecuencia y baja 
resolución en el tiempo. La transformada wavelet permite realizar análisis multiresolución 
de señales. 
 
En el análisis wavelet, la señal se multiplica por una función (que en este caso es 
una wavelet), con lo cual la transformada se calcula de manera separada para diferentes 
segmentos de la señal en el dominio temporal. 
 
La Transformada Wavelet Continua (CWT) de una función x(t) es la 
descomposición de x(t) en un conjunto de funciones )(, ts τψ , que forman una base y son 
llamadas “wavelets”. Esta transformada se define como: 
 
 
*1( , ) ( , ) ( )x x
t
CWT s s x t dt
ss
ψ ψ ττ τ ψ
∞
−∞
− = Ψ =  
 
∫ (2.3) 
 
La señal transformada es función de las variables τ y s, que son los parámetros de 
traslación y escala, respectivamente. La función )(tψ se conoce como wavelet madre. Esta 
wavelet madre es un prototipo a partir del cual se obtienen las demás funciones ventana. En 
otras palabras, las funciones que se usan en el proceso de transformación se derivan de la 
función wavelet madre. 
 
La traslación se relaciona con la localización temporal de la ventana de análisis, 
conforme la ventana se desplaza por la señal. Por su parte, la escala se define como la 
inversa de la frecuencia. Las bajas frecuencias (o escalas grandes) se corresponden con la 
información global de la señal, que normalmente se extiende durante toda su duración, 
mientras que las altas frecuencias (o escalas pequeñas) se corresponden a información 
detallada de la señal, que por lo regular dura un tiempo relativamente pequeño. 
 
Neevia docConverter 5.1
 23 
Tomemos en cuenta la ecuación (2.3). Sea x(t) la señal a analizar. Se elige una 
wavelet madre que servirá como prototipo para las ventanas utilizadas durante el proceso. 
Todas las funciones ventana usadas son versiones escaladas (comprimidas o expandidas) y 
desplazadas de la wavelet madre. Se calcula la transformada para todos los valores de s. 
Dado que en la mayoría de las aplicaciones prácticas, las señales están limitadas en banda, 
bastará calcular la transformada para un número limitado de intervalos de escalas. 
 
La wavelet se sitúa al principio de la señal, en el punto correspondiente al instante 
de tiempo t = 0. La señal se multiplica por la función wavelet a escala s = 1 y después se 
integra desde menos infinito hasta infinito (figura 2.6). El resultado final es el valor de la 
transformada en el punto τ = 0, s = 1 del plano tiempo-escala [12]. 
 
Figura 2.6. Proceso de la transformada wavelet. La wavelet a escala s se sitúa al inicio de la señal y se calcula 
el valor de la transformada para el punto τ,s correspondiente. 
 
Después, la wavelet a escala s = 1 se desplaza una cantidad τ hasta el punto t = τ, y 
se calcula el valor de la transformada en el punto τ = 1, s = 1 del plano tiempo-escala 
(véase la figura 2.7). Este proceso se repite hasta que se alcanza el final de la señal. De esta 
manera se completa una fila de puntos en el plano tiempo-escala para la escala s = 1. 
 
Figura 2.7. La wavelet a escala s se desplaza una cantidad τ y se calcula el valor de la transformada para el 
punto τ,s correspondiente. 
Neevia docConverter 5.1
 24 
Posteriormente, se incrementa s por un valor pequeño. El procedimiento se repite 
para cada valor de s (figura 2.8). Cada cálculo para un valor dado de s completa la fila 
correspondiente del plano tiempo-escala. Una vez finalizado el proceso para todos los 
desplazamientos y valores de s deseados, se habrá calculado la transformada wavelet 
continua (CWT) de la señal. 
 
Figura 2.8. Se sitúa la wavelet al principio de la señal, ahora a una escala distinta, para calcular el valor de la 
transformada para el punto τ,s correspondiente. 
 
Escribiendo de otra forma la ecuación (2.3), la CWT se interpreta como el producto 
interno de la señal bajo análisis con las funciones base )(, tsτψ : 
 
 
*
,( , ) ( , ) ( ) ( )x x sCWT s s x t t dt
ψ ψ
ττ τ ψ= Ψ = ⋅∫ (2.4) 
 ,
1
s
t
ss
τ
τψ ψ − =  
 
 (2.5) 
 
 
El análisis wavelet es una medida de la similitud entre las funciones wavelet y la 
señal de interés. La similitud se refiere a un contenido frecuencial similar. El valor del 
coeficiente CWT calculado hace referencia al parecido de la señal y la wavelet a la escala 
actual. 
 
Por otra parte, la señal reconstruida se obtiene mediante la siguiente expresión: 
 
 2 2
1 1
( ) ( , )x
s t
t
x t s d ds
c s s
ψ
ψ
ττ ψ τ− = Ψ  
 
∫ ∫ (2.6) 
Neevia docConverter 5.1
 25 
donde ψc es una constante que depende de la wavelet usada, y se le llama constante de 
admisibilidad. 
 
En el caso discreto, la Transformada Wavelet Discreta (DWT) brinda suficiente 
información para el análisis y síntesis de la señal original, con una reducción significativa 
de tiempo de computación [12]. En este caso, se utilizan filtros con diferentes frecuencias 
de corte para analizar la señal a distintas escalas. Se hace pasar la señal por una serie de 
filtros paso-altas y paso-bajas. La resolución de la señal, la cual es una medida de la 
cantidad de información de detalle en la señal, se cambia mediante el filtrado, y la escala se 
modifica mediante el cambio de la frecuencia de muestreo. 
 
El proceso comienza cuando la señal se hace pasar a través de un filtro digital paso- 
bajas, cuya respuesta al impulso la denotaremos con h[n] . El filtrado de la señal 
corresponde a la operación de convolución. 
 
 [ ] [ ] [ ] [ ]x n h n x k h n k
∞
−∞
∗ = ⋅ −∑ (2.7) 
 
La transformada wavelet discreta analiza la señal a diferentes bandas de frecuencia 
con diferentes resoluciones mediante la descomposición de la señal en una aproximación y 
en información de detalle. La descomposición en distintas bandas de frecuencia se logra 
haciendo pasar laseñal a través de un filtro paso-bajas h[n] y de un filtro paso-altas g[n] . 
Después del filtrado, la mitad de las muestras se pueden eliminar (de acuerdo con el 
teorema de Nyquist). El primer nivel de descomposición de la señal se puede expresar 
como: 
 [ ] [ ] [ ]2highy n x k g n k
∞
−∞
= ⋅ −∑ (2.8) 
 [ ] [ ] [ ]2lowy n x k h n k
∞
−∞
= ⋅ −∑ (2.9) 
donde [ ]nyhigh es la salida del filtro paso-altas, mientras que [ ]nylow es la salida del filtro 
paso-bajas, ambas después de ser submuestreadas. Esta descomposición reduce a la mitad 
Neevia docConverter 5.1
 26 
la resolución en el tiempo, ya que la señal queda caracterizada por la mitad de muestras. 
Asimismo, se duplica la resolución en frecuencia, puesto que el ancho de banda de la señal 
es la mitad del ancho de banda original. 
 
El esquema de descomposición wavelet en una dimensión, de orden k, queda 
representado en la figura 2.9. 
 
Figura 2.9. Descomposición wavelet en una dimensión, de orden k, para la señal x[n]. 
 
Las operaciones de filtrado y submuestreo se pueden expresar como sigue: 
 
 [ ] [ ] [ ]2high
n
y k x n g n k= ⋅ − +∑ (2.10) 
 [ ] [ ] [ ]2low
n
y k x n h n k= ⋅ − +∑ (2.11) 
 
Por su parte, la reconstrucción se lleva a cabo de la siguiente manera: se aumenta al 
doble la frecuencia de muestreo de las señales en cada nivel de descomposición, se hacen 
pasar a través de filtros de síntesis g´[n] y h´[n] y al final se suman las salidas (figura 2.10). 
 
h 
g 
↓2 
↓2 
h h 
g g ↓2 
↓2 
↓2 
↓2 
[ ]nx [ ]nd10 
[ ]nd11 
[ ]nd20 
[ ]nd21 
[ ]ndk0 
[ ]ndk1 
Neevia docConverter 5.1
 27 
 
 
Figura 2.10. Reconstrucción de la señal x[n] a partir de los coeficientes wavelet. 
 
Así, la reconstrucción de la señal viene dada por: 
 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2 2high low
k
x n y k g n k y k h n k
∞
=−∞
 = ⋅ − + + ⋅ − + ∑ (2.12) 
 
La transformada wavelet continua puede ser extendida al caso de dos dimensiones 
[13]. Así, la transformada wavelet de una imagen bidimensional f(x,y) se define como: 
 
 
1
( , ; , ) ( , ) ;f x y
x yx y
x u y v
CWT u v s s f x y dxdy
s ss s
ψ ψ
 − −=   
 
∫∫ (2.13) 
 
Gracias a los diferentes tipos de funciones wavelets existentes, se tiene una gran 
cantidad de opciones para analizar una señal de interés. Es posible elegir la base de 
funciones cuya forma se aproxime mejor a las características de la señal que se desea 
analizar. Entre los tipos de funciones wavelets que existen, podemos mencionar a las 
wavelets de Haar, Daubechies, Coiflets, Symlets, etc. 
 
Por ejemplo, las bases wavelet de Daubechies tienen la propiedad de formar una 
base ortonormal, con lo que se asegura la independencia de la representación de la señal en 
los diferentes niveles de descomposición, es decir, no se genera información redundante de 
la señal. Dentro de esta clase de wavelets, se tienen DAUB4, DAUB6, DAUB8, etc., donde 
el número de Daubechies indica el orden. La wavelet DAUB2 es la misma que la wavelet 
de Haar, la cual se puede apreciar en la figura 2.11. 
+ ↑2 h’ ↑2 ↑2 h’ h’ + + 
↑2 ↑2 ↑2 g’ g‘ g‘ 
… 
[ ]ndk0 
[ ]ndk1 
[ ]nd20 
[ ]nd21 
[ ]nd10 
[ ]nd11 
[ ]nx 
Neevia docConverter 5.1
 28 
 
Figura 2.11. La wavelet de Haar es la misma que la wavelet de Daubechies de orden 2. 
 
La figura 2.12 muestra las funciones psi de la familia de wavelets de Daubechies de 
los órdenes 4 a 10. 
 
Figura 2.12. Funciones psi de la familia de wavelets de Daubechies, órdenes 4 a 10. 
 
Para el caso del procesamiento de imágenes, se utiliza la transformada wavelet 
bidimensional. Sea ),(0 yxc la matriz de datos que representa la imagen de interés, p(n) un 
filtro unidimensional paso-bajas y q(n) un filtro unidimensional paso-altas. La 
descomposición de la imagen, en términos de esta transformada, se explica a continuación 
[13]: 
 
1. En cada nivel i de resolución, se calcula la correlación entre las filas de ),(1 yxci− y 
los filtros unidimensionales p(n) y q(n) en la dirección vertical, con lo que resultan 
dos imágenes compuestas, cada una por la mitad de las filas de la matriz. 
2. Se calcula la correlación entre las imágenes resultantes y los filtros p(n) y q(n) en la 
dirección horizontal, resultando, de cada una, dos imágenes compuestas por la mitad 
de las columnas. 
Neevia docConverter 5.1
 29 
3. Las cuatro imágenes resultantes constituyen las tres imágenes detalle y la imagen 
aproximación. 
 
En la figura 2.13 se presenta la descomposición de la imagen “Lena”, ilustrando los 
pasos anteriores. 
 
 
(a) (b) 
 
(c) 
 
Figura 2.13. Descomposición de una imagen. (a) Imagen original. (b) Descomposición en dirección vertical. 
(c) Descomposición en dirección horizontal de las imágenes de (b). Este es el resultado final. 
Neevia docConverter 5.1
 30 
Si la imagen original tiene 2L píxeles, cada imagen ),( yxci , ),(
1 yxdi , ),(
2 yxdi y 
),(3 yxdi tiene 
2)2/( iL píxeles (i > 0). En una representación wavelet ortonormal, el 
número total de píxeles sigue siendo 2L , es decir, no se incrementa el volumen de datos. 
 
En la figura 2.14 se muestra un ejemplo de la representación de la descomposición 
wavelet en un nivel de descomposición, para una imagen cualquiera. 
 
 
 
Figura 2.14. Representación de la descomposición wavelet de una imagen, en un nivel de descomposición. 
 
En la figura 2.15 se muestra la representación de la descomposición wavelet, en tres 
niveles de descomposición. Se muestran las imágenes de detalle en los niveles de 
resolución 1, 2 y 3, además de la imagen aproximación en el nivel 3. 
 
 
 
1c 
 
 
1
1d 
 
 
2
1d 
 
 
3
1d 
Neevia docConverter 5.1
 31 
 
Figura 2.15. Representación de la descomposición wavelet de una imagen, en tres niveles de descomposición. 
 
Cada imagen ),( yxdi contiene una banda limitada del espectro de frecuencias 
originales [13]: ),(1 yxd y ),(1 yxc contienen la mitad más alta y más baja del espectro de 
frecuencias de la imagen original, respectivamente. Por su parte, ),(2 yxd contiene la mitad 
más alta del espectro de frecuencias de ),(1 yxc . A partir de ello, se tiene que: 
 
 0 1 2( , ) ( , ) ( , ) ... ( , ) ( , )p pc x y d x y d x y d x y c x y= + + + + (2.14) 
 
donde los términos ),(),...,,(),,( 21 yxdyxdyxd p son los detalles de la imagen en los 
diferentes niveles de resolución, y ),( yxcp es la imagen aproximación de la imagen original 
),(0 yxc . 
 
En otras palabras, la transformada wavelet discreta de una imagen F(m,n) se obtiene 
mediante el cálculo de la DWT unidimensional, para las dimensiones m y n por separado. 
Gracias a este razonamiento, además de la acción de los filtros paso-bajas y paso-altas, los 
detalles que resultan de la descomposición wavelet se clasifican en detalles horizontales, 
verticales y diagonales, como se muestra en la figura 2.16. 
 
1
2d 
3c
 
1
3d
 
2
3d
 
3
3d
 
 
2
2d 
 
3
2d 
 
 
 
1
1d 
 
 
 
2
1d 
 
 
 
3
1d 
Neevia docConverter 5.1
 32 
 
 
Figura 2.16. Representación piramidal de la transformada wavelet discreta, para el caso de imágenes digitales, 
mostrando la imagen aproximación y las imágenes de detalle. 
 
En la figura 2.17 se muestra la representación de la DWT para el caso de la imagen 
“Lena”. Dicha figura muestra los componentes de baja frecuencia de la imagen en la banda 
de aproximación, la cual se localiza en la esquina superior izquierda. Por su parte, los 
componentes de alta frecuencia quedan representados en las bandas de detalle en diferentes 
resoluciones. 
 
 
2HL 
 
 
 
2HH 
 
 
 
2LH 
 
 
 
 
1HL 
Detalles 
horizontales 
 
 
1LH 
Detalles 
verticales 
 
 
1HH 
Detalles 
diagonales 
 
LL 
(Aprox.) 
Neevia docConverter 5.1
 33 
 
 
Figura 2.17. Representación de la DWT para la imagen “Lena”. 
 
 
2.5.3 La Transformada de Hermite. 
 
Una imagen digital está definida por un arreglo de intensidades puntuales y para 
poder interpretareficientemente sus datos necesitamos hacer explícita la información 
importante que ésta contenga. Esto implica generalmente establecer relaciones espacio-
temporales entre estas intensidades, por lo tanto se requiere algún tipo de procesamiento 
local sobre la información visual. La transformada de Hermite es una herramienta 
matemática que permite realizar este procesamiento local y está basada en las derivadas de 
funciones gaussianas. 
 
El hecho de realizar el procesamiento local requiere tomar dos decisiones 
importantes. Primero, para hacer que el procesamiento sea local, es necesario multiplicar la 
imagen por una función ventana. El tamaño de la ventana define el número de puntos que 
contribuyen para una etapa básica del procesamiento. La forma de la ventana determina el 
peso relativo que tiene cada punto. Para describir la imagen completamente, este 
Neevia docConverter 5.1
 34 
procesamiento local se tiene que repetir para un número suficiente de posiciones de la 
ventana. Segundo, para cada posición de la ventana, se deben llevar a cabo etapas 
específicas de procesamiento; entonces se debe definir qué patrones visuales son los más 
relevantes para cada caso en particular y poder elegir el tipo de procesamiento adecuado. 
 
Un parámetro importante de la función ventana es su tamaño o escala, y su elección 
no es un asunto trivial. Por un lado, para permitir la reducción de altos niveles de 
información el tamaño de la ventana tiene que ser suficientemente grande; sin embargo, la 
complejidad del análisis dentro de cada ventana aumenta significativamente con el tamaño 
de ésta. 
 
Para resolver dicho problema existen dos posibles enfoques, uno consiste en 
seleccionar una ventana de tamaño fijo y realizar dentro de ésta el análisis, suficientemente 
complejo para que incluya todos los patrones visuales de interés. La segunda opción 
consiste en limitar la complejidad del análisis a realizar dentro de cada ventana y después 
determinar el tamaño de ventana necesario para describir la imagen localmente con 
suficiente precisión. 
 
Considerando lo anterior, en lugar de limitar el análisis a una sola escala lo que 
hacemos es repetir el procesamiento con diferentes escalas y posteriormente, basándonos en 
las salidas obtenidas, determinar qué escala es la apropiada para cada posición. Existe 
evidencia de que el sistema de visión humano utiliza este principio y por lo mismo es 
empleado en la teoría de la transformada de Hermite. [20] 
 
El procesamiento generalmente involucra derivadas de primer y segundo orden y 
algún tipo de filtro paso bajas, muy similar al realizado por el ojo humano. La transformada 
de Hermite utiliza estos operadores, incluso se ha demostrado recientemente que las 
derivadas de gaussianas pueden modelar el filtrado del sistema de visión humano con la 
misma precisión que otro tipo de filtros, como los de Gabor [21], con la ventaja de que las 
funciones gaussianas involucran un menor número de parámetros. 
 
Neevia docConverter 5.1
 35 
La transformada polinomial es una técnica de descomposición de señales en la cual 
las señales son aproximadas localmente por medio de polinomios. El análisis mediante 
transformada polinomial requiere dos etapas. En la primera etapa la señal original L(x) es 
localizada multiplicándola por la función ventana V(x); para describir la señal en su 
totalidad es necesario repetir el proceso de localización para un número suficiente de 
posiciones de la ventana. Para este análisis consideraremos equidistante el espacio entre las 
ventanas. 
 
A partir de la función ventana V(x) podemos construir la función de ponderación 
mediante repetición periódica 
 
 ( ) ( )
k
W x V x kT= −∑ (2.15) 
 
donde T es el período. 
 
Dado que W(x) es diferente de cero para toda x, tenemos que 
 
 
1
( ) ( ) ( )
( ) k
L x L x V x kT
W x
= ⋅ −∑ (2.16) 
 
lo cual nos garantiza que todas las funciones localizadas )()( kTxVxL −⋅ , para todas las 
posiciones kT, contienen suficiente información sobre la señal original. 
 
La segunda etapa consiste en aproximar la porción de señal que se encuentra dentro 
de la ventana mediante un polinomio. Como funciones base para la expansión polinomial 
tomaremos los polinomios Gn(x) de grado n que son ortonormales con respecto a V
2(x), por 
ejemplo, 
 
 
2( ) ( ) ( )m n mnV x G x G x dx δ
+∞
−∞
=∫ (2.17) 
 
Neevia docConverter 5.1
 36 
Los polinomios ortonormales, para una función ventana V2(x) cualquiera, están 
dados por 
 
0 1
1 2 1
1
1 2 1
1
( )
1
n
n
n
n n
n n n
n
c c c
c c c
G x
M M
c c c
x x
+
−
− −
=
L
L
M M M
L
L
 (2.18) 
 
donde el determinante Mn está definido por 
 
 1, 0, , , 1n i j i j nM c M+ −== =K (2.19) 
y 
 
2( )nnc x V x dx
+∞
−∞
= ∫ (2.20) 
 
es el momento de orden n. 
 
Sí V2(x) es par, podemos deducir las siguientes expresiones explícitas para los 
polinomios de orden 3: 
 
 
( )
0 0
1 2
2 2
2 0 2 0 0 4 2
3 2
3 2 4 2 2 6 4
( ) 1
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
G x c
G x x c
G x c x c c c c c
G x c x c x c c c c
=
=
= − −
= − −
 (2.21) 
 
Bajo condiciones generales para la señal original L(x), tenemos que 
 
 
0
( ) ( ) ( ) ( ) 0n n
n
V x kT L x L kT G x kT
∞
=
 − − ⋅ − = 
 
∑ (2.22) 
 
Neevia docConverter 5.1
 37 
con 
 2( ) ( ) ( ) ( )n nL kT L x G x kT V x kT dx
+∞
−∞
= ⋅ − −∫ (2.23) 
 
Para garantizar la convergencia de la expansión de las series de (2.22), para la 
mayoría de las funciones ventana, es suficiente con que L(x) sea analítica y finita para toda 
x. Entonces, al igual que con la expansiones de Taylor, el error existente entre una señal y 
un polinomio se puede hacer arbitrariamente pequeño haciendo el grado del polinomio 
suficientemente grande. Esto implica que la descripción de la señal localizada 
)()( kTxVxL −⋅ se puede reducir a especificar un número finito de coeficientes 
polinomiales Ln(kT). La energía de la señal dentro de la ventana puede ser expresada en 
términos de los coeficientes de la expansión, por ejemplo 
 
 2 2 2
0
( ) ( ) ( )n
n
L x V x kT dx L kT
∞+∞
−∞
=
− =∑∫ (2.24) 
 
que es la generalización del teorema de Parseval para polinomios ortonormales. 
 
Combinando (2.16) y (2.22), obtenemos la siguiente expansión para la señal 
completa 
 
 
0
( ) ( ) ( )n n
n k
L x L kT P x kT
∞
=
= ⋅ −∑∑ (2.25) 
 
donde 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )n nP x G x V x W x= (2.26) 
 
La ecuación (2.23) quiere decir que los coeficientes Ln(kT) se obtienen de la señal 
L(x) convolucionando ésta con las funciones filtro 
 
Neevia docConverter 5.1
 38 
 2( ) ( ) ( )n nD x G x V x= − − (2.27) 
 
seguida de un muestreo en múltiplos de T. Este mapeo de la señal original L(x) a los 
coeficientes polinomiales Ln(kT) se le conoce como transformada polinomial. 
 
La reconstrucción de la señal a partir de los coeficientes polinomiales Ln(kT) se 
puede realizar de acuerdo a la ecuación (2.25) y se le llama transformada polinomial 
inversa. Esta consiste en interpolar dichos coeficientes Ln(kT), donde Zk ∈ , con la función 
patrón Pn(x) y hacer la sumatoria sobre todos los órdenes n. 
 
La figura siguiente muestra en forma gráfica la transformada polinomial y la 
transformada inversa. 
 
 
Figura 2.18. Representación de la transformada polinomial y la transformada inversa. 
 
La teoría de la transformada polinomial se puede generalizar para el caso de dos 
dimensiones. 
 
Dada una función ventana local V(x,y), los polinomios ortonormales Gm,n-m( x,y ), 
donde m y n-m son los grados con respecto a x y y respectivamente, están determinados 
únicamente por 
 
 2 , ,( , ) ( , ) ( , )m n m j i j ni mjV x y G x y G x y dxdy δ δ
∞ ∞
− −−∞ −∞
=∫ ∫ (2.28) 
D0(x) ↓T 
L(x) L0(kT) 
↑T 
 
P0(x) 
 
 
Σ D1(x) ↓T 
L1(kT) 
↑T 
 
P1(x) 
D2(x) ↓T 
L2(kT) 
↑T 
 
P2(x) 
L(x) 
Neevia docConverter 5.1
 39 
 
para n,i = 0,1,…,∞; m = 0,…,n y j = 0, …, i. 
 
La descomposiciónde señales en dos dimensiones en polinomios localizados queda 
como sigue: 
 , ,
0 0 ( , )
( , ) ( , ) ( , )
n
m n m m n m
n m p q S
L x y L p q P x p y q
∞
− −
= = ∈
= ⋅ − −∑∑ ∑ (2.29) 
 
donde (p,q), abarca todas las coordenadas de una rejilla bidimensional de muestreo S. La 
única condición para esta rejilla es que la función de ponderación 
 
 
( , )
( , ) ( , )
p q S
W x y V x p y q
∈
= − −∑ (2.30) 
 
sea diferente de cero para todas las coordenadas (x,y). 
 
Los coeficientes polinomiales Lm,n-m(p,q) se obtienen convolucionando la señal con 
las funciones filtro 
 
 2, ,( , ) ( , ) ( , )m n m m n mD x y G x y V x y− −= − − − − (2.31) 
 
seguido de un muestreo de la salida a cada Sqp ∈),( . Las funciones patrón utilizadas para 
interpolar los coeficientes polinomiales están definidas por 
 
 , ,( , ) ( , ) ( , ) ( , )m n m m n mP x y G x y V x y W x y− −= (2.32) 
para n = 0,1,…, ∞ y m = 0, …, n. 
 
Ahora bien, la transformada de Hermite es un caso especial de la transformada 
polinomial, en la cual la función ventana local es gaussiana: 
 
2 2
2 2
1
( , ) exp
2 2
x y
V x y
πσ σ
 += − 
 
 (2.33) 
Neevia docConverter 5.1
 40 
donde el factor de normalización es tal que V2(x) tiene energía unitaria. Los polinomios 
ortogonales asociados con V2(x) se conocen como polinomios de Hermite: 
 
 ,
1
( , )
2 ( )! !
n m m n m mn
x y
G x y H H
n m m σ σ
− −
   =    
   −
 (2.34) 
 
donde Hn(x) denota el polinomio de Hermite de orden n. 
 
Las razones para la elección de ventanas gaussianas son varias, una de ellas es que 
la teoría matemática es más sencilla y las propiedades de dicha transformada pueden ser 
fácilmente deducidas y evaluadas. Otra razón es que las ventanas gaussianas, que están 
separadas por el doble de la desviación σ, son un buen modelo para los campos receptivos 
superpuestos encontrados en experimentos fisiológicos. La tercera razón es que la 
transformada de Hermite utiliza filtros que son derivadas de gaussianas que, como se dijo 
anteriormente, son utilizadas para modelar el sistema de visión humano y tienen gran 
aplicación en visión computacional, por lo tanto la transformada de Hermite proporciona un 
marco teórico más amplio para estos enfoques. Por último, las ventanas gaussianas 
minimizan el resultado de las incertidumbres en el dominio espacial y el de la frecuencia. 
 
La señal original L(x,y), donde (x,y) son las coordenadas de los píxeles, es 
multiplicada por la función ventana V(x-p, y-q), para las posiciones p,q que conforman la 
rejilla de muestreo S. A través de la repetición de la ventana sobre la rejilla de muestreo, la 
función de ponderación periódica se define como: 
 
 
( , )
( , ) ( , )
p q S
W x y V x p y q
∈
= − −∑ (2.35) 
 
Esta función de ponderación debe ser diferente de cero para todas las coordenadas 
(x,y), por lo tanto: 
 
Neevia docConverter 5.1
 41 
 
,
1
( , ) ( , ) ( , )
( , ) p q S
L x y L x y V x p y q
W x y ∈
= − −∑ (2.36) 
 
La señal contenida dentro de cada ventana es descrita como la suma ponderada de 
los polinomios Gm,n-m(x, y) de grado m en x y n-m en y. En una implementación discreta, la 
ventana gaussiana debe ser aproximada por una ventana binomial, y en este caso, ser 
ortogonal a los polinomios Gm,n-m(x,y) que son conocidos como los polinomios de 
Krawtchouck. 
 
En cualquier caso, los coeficientes polinomiales Lm,n-m(p,q) son calculados mediante 
la convolución de la imagen original L(x,y) con la función filtro de la ecuación (2.31) 
seguido de un submuestreo en las posiciones (p,q) de la rejilla de muestreo S. 
 
 , ,( , ) ( , ) ( , )m n m m n mL p q L x y D x p y q dxdy
+∞ +∞
− −−∞ −∞
= − −∫ ∫ (2.37) 
 
Para el caso de la transformada de Hermite, puede ser demostrado que las funciones 
filtro Dm,n-m(x,y) corresponden a derivadas de gaussianas de orden m en x y n-m en y, en 
concordancia con el modelo de derivadas gaussianas de las primeras etapas del sistema de 
visión humano. En la figura 2.19 se muestran las cuatro primeras derivadas de la función 
Gaussiana en el dominio espacial y de la frecuencia para σ = 1. 
 
Neevia docConverter 5.1
 42 
 
Figura 2.19. Funciones filtro en el dominio espacial y de la frecuencia para σ=1. 
 
Las ventanas gaussianas en dos dimensiones tienen la ventaja de que son 
espacialmente separables y rotacionalmente simétricas; las propiedades correspondientes de 
los filtros es que son polar y espacialmente separables. 
 
La transformada de Fourier de Dm(x)Dn-m(y), expresada en coordenadas polares ωx = 
ωcosθ y ωy = ωsinθ, es 
 
 ,( ) ( ) ( ) ( )m x n m y m n m nd d g dω ω θ ω− −= ⋅ (2.38) 
 
Neevia docConverter 5.1
 43 
donde ω es la frecuencia y dn(ω) es la transformada de Fourier de la función filtro de 
Hermite 1D Dn(r), donde r es la coordenada radial, y 
 
 ,
!
( ) cos sin
!( )!
m n m
m n m
n
g
m n m
θ θ θ−− = ⋅−
 (2.39) 
 
expresa la selectividad direccional del filtro. Así, los filtros de orden creciente analizan 
frecuencias radiales sucesivamente superiores. 
 
El proceso de restauración de la imagen original consiste en interpolar los 
coeficientes transformados utilizando las funciones patrón de síntesis adecuadas. Este 
proceso está definido por: 
 
 , ,
0 0 ( , )
( , ) ( , ) ( , )
n
m n m m n m
n m p q S
L x y L p q P x p y q
∞
− −
= = ∈
= − −∑∑ ∑ (2.40) 
 
Las funciones patrón Pm,n-m(x,y) de orden m x (n-m), son definidos por: 
 
 ,,
( , ) ( , )
( , )
( , )
m n m
m n m
G x y V x y
P x y
W x y
−
− = (2.41) 
 
para m = 0, …, n y n = 0, …, ∞. 
 
La figura 2.20 muestra a la izquierda la transformada de Hermite calculada sobre 
una imagen satelital. A la derecha el diagrama muestra el orden de los coeficientes. Las 
diagonales representan los coeficientes de orden cero (n=0), primer orden (n=1), etcétera. 
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 44 
 
Figura 2.20. A la izquierda se muestra la representación de la Transformada de Hermite Discreta (DHT) para 
una imagen satelital. A la derecha se muestra el orden de los coeficientes (n=0,1,2…). 
 
Una interpretación usual en muchos algoritmos de procesamiento de imágenes es 
que convierten una imagen en una descripción de la imagen. En la práctica, esto se realiza a 
menudo para determinar la aproximación óptima de la señal de entrada por medio de una 
suma ponderada de patrones seleccionado a priori. El peso con el cual contribuyen los 
patrones, constituye la descripción de la imagen de entrada. Con estos coeficientes puede 
ser sintetizada una aproximación de la imagen original. [15] 
 
Para que la descripción de la imagen sea eficiente, es necesario que los patrones 
seleccionados a priori se adapten bien a la imagen de entrada. Sin embargo, debido a la 
gran variedad de características que pueden aparecer en las imágenes naturales, es poco 
probable que un conjunto de patrones puedan ofrecer una descripción eficiente para todas 
estas características. La situación se complica por el hecho de que estas estructuras pueden 
tener diferentes tamaños (o escalas espaciales) y se pueden mover en un rango de 
velocidades (o escalas temporales). 
 
El siguiente esquema puede ser aplicado para el caso de un análisis multiescala, 
donde los diferentes conjuntos de patrones difieren únicamente en escala y distancia de 
muestreo. 
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 45 
 
Figura 2.21. Esquema piramidal de la Transformada de Hermite Discreta. 
 
A continuación se muestra un ejemplo de la descomposición y reconstrucción 
multiescala de una imagen satelital utilizando la transformada de Hermite. 
 
 
Figura 2.22. Descomposición multiescala de una imagen utilizando la Transformada de Hermite Discreta. 
Dn ↓T 
Dn ↓T 
Dn ↓T 
↑T Pn Ln (1) L0
(0) 
L0
(1) 
L0
(K-1) 
Ln 
(2) 
Ln 
(K) 
n=0 n>0 
Σn 
↑T Pn Σn 
n=0 
↑T Pn Σn 
L0
(0) 
L0
(1) 
L0
(K-1) 
DHT 
 
DHT 
DHT 
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 46 
 
 
Figura 2.23. Reconstrucción de la imagena partir de la descomposición multiescala, utilizando la 
Transformada de Hermite Discreta. 
 
 
2.6 El sistema de visión humano. 
 
En esta sección, describiremos a grandes rasgos la estructura del ojo humano, para 
así entender la etapa de percepción del sistema de visión humano y aprovechar las 
propiedades de las transformadas wavelet y de Hermite, con el fin de implementar el 
algoritmo de watermarking. 
 
Las membranas que cubren al ojo humano son la córnea, la esclerótica, la coroides y 
la retina. La córnea es un tejido transparente que cubre la superficie anterior del ojo. La 
esclerótica es la membrana adyacente a la córnea, y cubre el resto del ojo [19]. 
DHT 
DHT 
DHT 
 GI 
+ 
GI 
+ 
 GI 
Neevia docConverter 5.1
 47 
 
Figura 2.24. Esquema del ojo humano. 
 
La coroides se encuentra directamente debajo de la esclerótica. Esta membrana 
ayuda a reducir la cantidad de luz extraña que entra al ojo. En su extremo anterior, la 
coroides se divide en el cuerpo ciliar y en el diafragma del iris. Éste último se contrae o se 
expande para controlar la cantidad de luz que entra al ojo. 
 
La retina es la membrana más interna del ojo. Cuando la luz llega al ojo, la imagen 
que transporta se forma en la retina. La visión de los patrones de un objeto es producida por 
Neevia docConverter 5.1
 48 
receptores de luz que se encuentran distribuidos sobre la superficie de la retina. Estos 
receptores son los conos y los bastones. El número de conos que hay en un ojo se encuentra 
entre los 6 y 7 millones. Se localizan en la parte central de la retina, llamada fóvea, y son 
muy sensibles al color. Gracias a ellos, podemos distinguir detalles finos, ya que cada cono 
está conectado a una terminación nerviosa. Los músculos que controlan el ojo hacen rotar 
el globo óptico hasta que la imagen de un objeto de interés coincide con la localización de 
la fóvea. 
 
Por su parte, alrededor de 75 a 150 millones de bastones se encuentran distribuidos 
sobre la superficie de la retina. Esta mayor área de distribución, además de que varios 
bastones están conectados a una única terminación nerviosa, reducen la cantidad de detalles 
que pueden distinguir estos receptores. Los bastones proporcionan una vista general de lo 
que se está observando. Estos receptores no se ocupan de la visión de los colores, en 
cambio, son sensibles a bajos niveles de iluminación. 
 
El cristalino absorbe aproximadamente 8% del espectro de luz visible. La forma del 
cristalino es controlada por la tensión en las fibras del cuerpo ciliar. Para enfocar la vista en 
objetos distantes, el cristalino es aplanado. En contraparte, el cristalino se vuelve más 
grueso cuando se enfoca la vista en objetos cercanos. 
 
Los campos receptivos son mapas de las localizaciones en espacio y tiempo donde 
el brillo alto o bajo puede afectar la salida eléctrica de una célula. Todas las células que 
presentan una respuesta visual en el sistema de visión humano (desde las células receptoras 
en el ojo hasta las células de visión de alto nivel en la corteza) tienen campos receptivos 
[20]. 
 
La manera de percibir las formas de los objetos que observamos, puede ser 
explicada a través de un modelo espacial basado en derivadas de gaussianas (DG). La etapa 
inicial del procesamiento de los campos receptivos en la corteza visual se aproxima a un 
‘analizador derivativo’ que es capaz de estimar las derivadas locales espaciales y 
temporales del perfil de intensidad en el entorno visual. De esta forma, las etapas 
Neevia docConverter 5.1
 49 
posteriores del procesamiento pueden utilizar dichas operaciones para determinar las 
formas de los objetos en el entorno [20]. 
 
 
2.6.1 Sensibilidad al contraste. 
 
Un experimento utilizado para determinar la capacidad de discriminación de brillo 
del sistema de visión humano, consiste en hacer observar a un sujeto un área plana 
uniformemente iluminada, lo suficientemente grande como para abarcar todo el campo de 
visión. Esta área es iluminada por detrás por una fuente de luz, cuya intensidad I puede ser 
variada. Además, se agrega un incremento de iluminación, ∆I, en la forma de un círculo en 
el centro del área iluminada (figura 2.25). 
 
 
Figura 2.25. Representación del experimento utilizado para caracterizar la discriminación de brillo. 
 
 
Si ∆I no tiene el suficiente brillo, el sujeto indica que no hay un cambio perceptible 
de iluminación. Conforme aumenta la intensidad de ∆I, el sujeto puede notar la diferencia. 
La cantidad II c /∆ , se denomina relación de Weber, donde cI∆ es el incremento de 
iluminación que es distinguible el 50% de las veces con una iluminación de fondo I. Un 
valor pequeño de esta relación indica que un pequeño cambio de intensidad es distinguible, 
lo cual representa una buena discriminación de brillo. Por el contrario, un valor grande 
indica que se necesita un mayor cambio de intensidad para ser distinguible, lo cual 
representa una pobre discriminación de brillo. A la diferencia mínima que se necesita para 
Neevia docConverter 5.1
 50 
percibir los dos estímulos visuales, se le conoce como diferencia apenas notable, o JND, 
por sus siglas en inglés (Just Noticeable Difference). 
 
 
Figura 2.26. Relación de Weber en función de la intensidad. 
 
La gráfica de la figura 2.26 muestra a )/log( II c∆ como función de log I. A bajos 
niveles de iluminación, la discriminación de brillo es pobre (valores grandes de la relación 
de Weber), pero ésta mejora cuando se incrementa la iluminación de fondo. Las dos 
pequeñas ramas que se aprecian en la gráfica indican que, a bajos niveles de iluminación, la 
visión es lograda gracias a la actividad de los bastones, mientras que a altos niveles, la 
visión está en función de los conos. 
 
 
2.6.2 Sensibilidad a la frecuencia espacial. 
 
Existen dos fenómenos que claramente demuestran que el brillo percibido no sólo es 
función de la intensidad. El primero de ellos se basa en el hecho de que el sistema de visión 
humano tiende a percibir intensidades mayores o menores alrededor de los bordes de 
regiones de diferentes intensidades. La figura 2.27 muestra un ejemplo de este fenómeno. 
 
Neevia docConverter 5.1
 51 
 
 
Figura 2.27. Bandas de Mach. El brillo percibido no sólo está en función de la intensidad. 
 
Aunque la intensidad de cada barra es constante, adquirimos la impresión de que 
dicha intensidad no es uniforme, sobre todo cerca de los bordes. Estas bandas se conocen 
como bandas de Mach. [19] 
 
El segundo fenómeno se conoce como contraste simultáneo, donde, similarmente, el 
brillo percibido en una región no depende solamente de su intensidad. En la figura 2.28, 
todos los cuadros centrales tienen la misma intensidad, pero, aparentemente, son más 
oscuros conforme el fondo se vuelve más claro. 
 
 
 
 
Figura 2.28. Contraste simultáneo. Todos los cuadros centrales tienen la misma intensidad, pero 
aparentemente son más oscuros conforme el fondo se hace más claro. 
 
 
Neevia docConverter 5.1
 52 
El ojo humano es más sensible al ruido en baja frecuencia. En contraparte, el ruido 
en alta frecuencia es menos visible. Este hecho debe ser tomado en cuenta por aquellos 
algoritmos de watermarking que garanticen robustez e invisibilidad. 
 
 
2.6.3 Enmascaramiento. 
 
El enmascaramiento visual es un fenómeno donde la imagen puede ocultar ciertos 
artefactos. Es decir, la imagen actúa como una señal que reduce la visibilidad de artefactos. 
Por ejemplo, si tenemos una imagen a la que se le ha agregado ruido aditivo, es fácil 
observar que el ruido es más visible en áreas homogéneas que en regiones que presentan 
mucha actividad (regiones texturizadas). 
 
La sensibilidad a la frecuencia y la sensibilidad al contraste son puntos de referencia 
para aprovechar las propiedades de la percepción en el sistema de visión humano. La 
sensibilidad al contraste es una especie de enmascaramiento