Modelado-matematico-de-biolixiviacion-de-calcopirita

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA 
DE MEXICO 
FACUL TAO OE QUIMICA 
MODELADO MATEMATICO DE BIOLIXIVIACION 
DE CALCOPIRITA 
TESIS PROFESIONAL 
QUE PARA OBTENER EL TITULO DE 
INGENIERO QUIMICO METALURGICO 
PRESENTA: 
DAVID MISAEL MERCADO PEÑA 
MEXICO, D. F. 
~Ne:S f'ROfESfONAlES 
FACULTAD DE OUWtCA 
2005 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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1 er suplente ALFONSO LÓPEZ mÁREz 
2° suplente JOSÉ ANTONIO BARRERA GODÍNEZ 
Lab. 212 Edificio "D" Facultad de Química UNAM. 
Asesor del tema 
ROSA ELV A RIVERA SANTILLÁN. 
Supervisor técnico , 
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Sustentante 
DAVID MI 
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Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Química 
Índice 
Nomenclatura 
Resumen 
Capitulo I Introducción 
Capitulo n Fundamentos teóricos 
II.1 Mecanismos de reacción involucrados en la biolixiviación. 
II.2 Controversia sobre los mecanismos "directo" e "indirecto". 
II.3 O2 , CO2 y efectos de agitación. 
IIA Mecanismos de control. 
II.5 Modelos existentes. 
Capitulo nI Desarrollo del modelo matemático 
III.l Objetivo. 
III.2 Hipótesis. 
III.3 DefInición del sistema a modelar. 
lIlA Desarrollo del modelo y análisis de los modelos existentes. 
III.5 Modelo final. 
III.6 Análisis adimensional. 
Capitulo IV Desarrollo experimental 
IV.l Biolixiviación en incubador. 
IV.2 Biolixiviación en reactor batch. 
IV.3 Equipos de experimentación. 
IV A Reactivos. 
IV.5 Técnicas y equipos de monitoreo y control. 
nI 
VI 
1 
5 
7 
10 
11 
11 
16 
16 
16 
16 
18 
38 
39 
49 
49 
50 
50 
52 
53 
I 
Universidad Nacional Autónoma de México .... __ . 
Capitulo V Resultados experimentales y discusión. 
V.l Biolixiviación en incubador orbital. 
V.2 Biolixiviación en reactor batch. 
V.3 Análisis vía MEB. 
V.4 Análisis vía DRX. 
Facultad de Química 
.. 
Capitulo VI Resultados verificación y validación del modelo matemático. 
Vl.l Método de solución. 
VI.2 Constantes del modelo. 
VI.3 Interfase del programa. 
VI.4 Verificación numérica del modelo. 
VI.5 Datos simulados y validación del modelo. 
Capitulo VII Conclusiones 
Capitulo VIII Bibliografia 
Apéndice Al 
ApéndiceA2 
56 
56 
64 
78 
93 
95 
95 
96 
99 
99 
101 
107 
109 
113 
116 
JI 
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Nomenclatura. 
[C02]: Concentración de dióxido de carbono. 
[C02]*: Concentración de dióxido de carbono termodinámicamente estable. 
[Fe2+]: Concentración del ion ferroso en el sistema. 
[Fe31: Concentración del ion férrico en el sistema. 
[Fe2+]*: Concentración de saturación del ion ferroso. 
[Fe3+f: Concentración de saturación del ion férrico. 
[02]: Concentración de oxígeno disuelto. 
[021*: Concentración de oxígeno disuelto termodinámicamente estable. 
a02: Concentración de oxígeno a la cual el crecimiento bacteriano es cero. 
élc02: Concentración de dióxido de carbono a la cual el crecimiento bacteriano es cero. 
a/: Concentración del componente "j",j= 02, C02. 
b: Coeficiente estequiométrico que relaciona los moles de calcopirita con los moles del ion férrico. 
e: Coeficiente estequiométrico que relaciona los moles del ion ferroso con los moles del ion férrico. 
kg: Rapidez de reacción de la calcopirita en presencia del ion férrico. 
kZ; : Coeficiente de transporte de masa volumétrico del componente "j" por unidad de área, 
j= O2, C02. 
kf Coeficiente de transporte de masa volumétrico del componente ''j'', j= 02, CO2. 
km : Constante de Michaelis para el oxígeno como substrato limitante. 
ks: Resistencia a la difusión del ion férrico a través de la capa límite fluida. 
mF/+: Consumo de ion ferroso por mantenimiento de las bacterias. 
n: Número de partículas por unidad de volumen. 
pj: Presión parcial del componente "j", j= 02, C02. 
qL : Densidad de flujo estacionaria de la fase líquida. 
rx,s: Rapidez de crecimiento poblacional de bacterias en solución. 
re: Radio del núcleo sin reaccionar de las partículas de mineral. 
A·: Área del mineral donde las bacterias pueden adherirse. 
Atr : Área de transferencia de gases desde la atmósfera hasta el sistema. 
Cx: Concentración de las bacterias. 
III 
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'~~., " ;'}-~.'~' .-F~-
Deff: Coeficiente efectivo de difusión del ión férrico a través de calcopirita. 
DL : Coeficiente de dispersión axial para el oxígeno en una cama de mineral húmedo. 
G o : Ley de la calcopirita. 
G : densidad de flujo de masa seca de aire dentro del mineral. 
Hj : constante de Henry para el componente "j", j= 02, CO2. 
KA: Afinidad de las bacterias por la superficie del mineral. 
Kads: Coeficiente de adsorción de las bacterias del mineral. 
K max : Máximo del coeficiente de adsorción de las bacterias al mineral, con respecto a la superficie 
ads 
del mineral. 
Kc: Coeficiente de transferencia de masa en la capa límite fluida. 
Kc02: Afinidad de las bacterias por el dióxido de carbono disuelto. 
~es: Coeficiente de desorción de las bacterias al mineral. 
KFe2+: Afinidad de las bacterias por el ion ferroso. 
K02: Afinidad de las bacterias por el oxígeno disuelto. 
Ms: Peso molecular. 
02L : Concentración másica de oxígeno disuelto en fase líquida. 
P: Coeficiente estequiométrico que relaciona los moles del ion ferroso con la calcopirita. 
Pa: Número de partículas por cada elemento de volumen. 
R: Radio de partícula. 
Vd: Volumen de control. 
V m : Consumo específico máximo de oxígeno por la bacteria. 
Volopa: Volumen que ocupa cada partícula al inicio del experimento.Vr : Volumen del reactor. 
X : Población de las bacterias. 
Xa: Número de bacterias adheridas por mI asociadas al sistema. 
Xa *: Concentración máxima de bacterias adheridas por unidad de área activa del mineral. 
Xs: Concentración de bacterias en solución asociadas al sistema. 
Xsat: Concentración de bacterias adheridas, cuando éstas saturan la superficie del mineral. 
Xmax: Concentración máxima de bacteria en solución. 
y Fe2+,X: Relación de consumo de ion ferroso por bacterias. 
Ya: Consumo de moles de Fe2+ por las bacterias adheridas al mineral. 
IV 
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• Ya: Incremento en la rapidez de la cinética química a causa de las bacterias adheridas. 
Ys: Consumo de moles de Fé+ por las bacterias en solución. 
* Ys: Incremento en la rapidez de la cinética química a causa de las bacterias en solución. 
Dys: Incremento en la rapidez de la difusión del ion férrico a causa de las bacterias en solución. 
DYa: Incremento en la rapidez de la difusión del ion férrico a causa de las bacterias adheridas. 
y 02: Consumo de oxígeno disuelto por las bacterias tanto adheridas al mineral como en solución. 
y cm: Consumo de oxígeno disuelto por las bacterias tanto adheridas al mineral como en solución. 
a: Fracción de calcopirita lixiviada o fracción de cobre recuperada. 
~: Factor cinético global. 
p: Densidad de la partícula de mineral. 
PB: Densidad del mineral. 
Pmin : Densidad del mineral. 
Pmin : Densidad molar del mineral. 
Ppulp: Gramos de mineral por unidad de volumen de la solución. 
E¡ : Fracción volumétrica estacionaria o fase líquida dentro del mineral. 
<J: Factor estequiométrico. 
<JI : Factor estequiométrico que relaciona el mineral disuelto con el oxígeno consumido por las 
bacterias, reacciones (l), (2) Y (3) 
<J2 : Factor estequiométrico que relaciona la producción del ion de interés comercial con el consumo 
de mineral, reacciones (1), (2) Y (3) 
!lX¡: Rapidez de crecimiento poblacional de las bacterias i = a, s, donde "a" se refiere a las bacterias 
adheridas y "s" a las bacterias en solución. 
!lmax: Constante de rapidez máxima de crecimiento bacteriano. 
t: Tiempo total del experimento. 
<1>: Factor de forma de partícula. 
v 
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.~1·' 
Resumen 
En el presente trabajo se desarrolla un modelo matemático mecanístico, para predecir las 
múltiples variables de un proceso de biolixiviación de calcopirita en un reactor batch, con 
bacterias Thiobacillus Ferrooxidan y Thiobacillus Thiooxidans. En el modelo se involucran 
variables tales como: población bacteriana, concentración de iones de hierro y oxígeno y 
dióxido de carbono disueltos. El pH, el medio nutriente 9K, la temperatura y la agitación se 
consideran constantes del sistema. Los experimentos fueron realizados para la validación del 
modelo, corroboración de hipótesis y obtención de constantes. El modelo resultante es una base 
sólida para modelos posteriores, predice satisfactoriamente la relación entre las bacterias 
(adheridas y en solución) y los distintos nutrientes del sistema, y realiza buenas aproximaciones 
a la rapidez de reacción total del sistema. 
VI 
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Capitulo I Introducción 
En las últimas décadas la lixiviación bacteriana ha sido tema de estudio como una alternativa 
eficiente para tratar minerales refractarios de sulfuros de oro, minerales sulfurados de cobre, 
cobalto, níquel, zinc y minerales de baja ley de cobre y uranio, ya sea como pre-tratamiento o 
como proceso principal. Otra aplicación es la generación biológicamente asistida de medio 
lixiviante, sulfato férrico en medio ácido, aplicable a la mayoría de los procesos hidro-
metalúrgicos. Las ventajas que tiene este proceso es que alcanza eficiencias competitivas con 
los otros procesos para extracción de metales ya sea por procesos hidro o piro metalúrgicos, sin 
producir contaminantes en la proporción que éstos lo hacen. (Dutrizac et al, 1974; Brierley, 
1978; Torma, 1982; Brewis, 1996). 
En la actualidad los procesos más comunes que están operando a gran escala con bacterias son, 
la biolixiviación en terreros húmedos, la biolixiviación en pila (Brewis, 1996) y la 
biolixiviación en tanque con agitación (o reactor agitado). Existen diferentes instalaciones 
algunas son: 
o El proceso BIOX: está diseñado para la extracción de oro, toma concentrados con 90% en 
volumen de oro y los lleva a una serie de tanques de pulpa con agitación por burbujeo de 
aire, estos rectores contienen bacterias y están en las condiciones óptimas para el 
crecimiento de éstas. 
o El proceso Bac Tech: este proceso es muy parecido al anterior con la diferencia que utiliza 
una mezcla de cepas bacterianas conocidas como "M4" encontradas por primera vez en 
Australia occidental. Tiene como ventaja que estas bacterias soportan temperaturas mayores, 
alrededor de 45°C, permitiendo el óptimo funcionamiento a la temperatura del desierto de 
Australia. (inaugurado en 1994). 
Otros ejemplos son el de Newmont, y el de Mt. Lesión, procesos de biolixiviación en pila. La 
optimización de estos procesos con respecto a la rapidez de oxidación está basada en procurar 
las condiciones óptimas en variables tales como pH, densidad de pulpa, temperatura, tamaño de 
partícula, concentración de iones férricos y ferrosos, concentración de biomasa, concentración 
Capitulo 1 Introducción 1 
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_ __ ..... r 
de oxígeno y concentración de dióxido de carbono disuelto. El diseño de los bio-reactores se ha 
basado en la ecuación logística (pinches et al, 1987) que ha mostrado ajustarse de forma 
satisfactoria a los datos de procesos en reactor batch y en continuo así como para las plantas 
pilotos con los reactores de pasos múltiples (Hansford y Bailey, 1992; Hansford and Miller, 
1993). Esta ecuación logística tiene la gran desventaja de que al no estar basada en los 
mecanismos de control del proceso no dice nada respecto al funcionamiento interno del mismo, 
limitando las posibilidades de optimización, por lo que es necesario generar un modelo 
matemático basado en estos mecanismos. 
El proceso de biolixiviación consta de un proceso de lixiviación simple en presenCia de 
bacterias ferrooxidantes y tiooxidantes; las cuales actúan como catalizador, modificando las 
condiciones sobre la superficie del mineral, lo que se analizará más adelante como mecanismo 
"directo", o bien regenerando la concentración de ion férrico, medio lixiviante, así como 
estabilizando el pH en valores alrededor de 2.0. 
La problemática que presenta la optimización de este proceso es la discusión que aun existe 
acerca del papel que realizan las bacterias; aunado a esto, al modelar seres vivos se enfrenta a 
sistemas adaptables, por lo que se pueden encontrar distintos comportamientos para sistemas 
iguales (Holland J.H., 2004). Dentro de este esquema se han realizado diferentes modelos para 
poder predecir las variables involucradas, pero aún nada se ha establecido. Con el trabajo 
realizado en ésta tesis se aporta un modelo más, el cual predice el comportamiento de las 
bacterias adheridas así como la dependencia del crecimiento de las mismas con las distintas 
variables ya estudiadas en la literatura. 
Definición del proceso. 
Como se sabe, las menas están formadas de mezclas de minerales, algunos de gran importancia 
(cuyo porcentaje determinan la ley de la misma) y otros llamados ganga (los minerales de 
desecho). Al aumentar la ley de las menas, se obtiene un concentrado de mineral. Inicialmente, 
las menas son tratadas con procesos llamados "de enriquecimiento". Éstos constan de dos 
principales etapas (Rosenqvist T., 1987): 
Capitulo 1 Introducción 2 
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Reducción de tamaño: Con el fin de liberar las partículas de los minerales de interésde la 
matriz de ganga en donde se encuentran inmersos, es necesario reducir el tamaño de partícula. 
El resultado es una mezcla de partículas de ganga y partículas de los minerales de interés. Para 
lograr esto, primero se tritura el mineral recién extraído de la mina y después se muele llevando 
el tamaño de partículas a escalas micrométricas (Rosenqvist T., 1987). 
Separación: Como el objetivo de el proceso de enriquecimiento es obtener sólo las partículas 
de los minerales de interés, es necesario separarlas de las partículas de ganga. Para lograrlo se 
pueden utilizar métodos gravimétricos o bien métodos químicos como la flotación (Rosenqvist 
T., 1987). 
Los minerales contienen uno o más elementos de interés, como es el caso de la calcopirita 
CuFeS2 que contiene Cu y Fe, aunque sea utilizada principalmente como fuente de cobre. Para 
extraer estos elementos del mineral, se utilizan procesos pirometalúrgicos, hidrometalúrgicos y 
electro metalúrgicos, o combinaciones de estos. Un ejemplo es la obtención de metales a partir 
de los concentrados de sulfuros, primero se utilizan procesos "pirometalúrgicos" que elevan la 
temperatura para promover la transformación de sulfuro en óxido. Después, estos óxidos son 
disueltos, (lixiviados), en soluciones ácidas, liberando así los iones del metal de interés, 
"procesos hidrometalúrgicos". Finalmente, a esta solución se le introducen dos electrodos y se 
le aplica un potencial específico, con esto los iones se reducen sobre el cátodo (placas del 
mismo metal de interés), "procesos electroquímicos". Obteniendo así, placas del elemento de 
interés con una alta pureza, alrededor del 99.99% (Rosenqvist T., 1987). 
Los sulfuros sólo pueden lixiviarse en medios oxidantes (en presencia de ión férrico por 
ejemplo), y dado que las cinética de estas reacciones son muy lentas, tradicionalmente se 
utilizan los métodos pirometalúrgicos. Los procesos de biolixiviación se caracterizan por de 
utilizar un medio lixiviante, (soluciones ácidas u oxidantes), en presencia de bacterias, para 
extraer del sulfuro los elementos de interés. Estas bacterias pueden ser Thiobacillus 
Ferrooxidans, Leptospirillium Ferrooxidans, Thiobacillus Thiooxidans, Acidianus/Sulfolobus, 
u otras. Las bacterias catalizan la disolución del mineral, permitiendo que este proceso sea 
competitivo con los procesos pirometalúrgicos. Como los sulfuros sólo pueden disolverse en 
medios oxidantes, la importancia de las bacterias se podrá analizar en función de cómo 
Capitulo 1 Introducción 3 
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modifiquen las condiciones oxidantes del sistema (Bustos et al, 1991; Sand et al, 1993; H. 
Tributsch, 1981, Torma, 1977). 
El proceso de biolixiviación se basa en la interacción entre las bacterias y el mineral 
(mecanismo directo) y/o ente las mismas y la solución lixiviante (mecanismo indirecto). Con el 
término mineral, se puede referir tanto a minerales recién extraídos de la mina, concentrados o 
incluso a ganga; con las particularidades de que en los concentrados se pueden analizar las 
interacciones específicas entre el mineral predominante y las bacterias, y de que los únicos 
compuestos involucrados en las reacciones químicas son el medio lixiviante, las bacterias, el 
mineral y los residuos del mismo. Mientras que al tener un mineral sin concentrar o ganga los 
compuestos involucrados en las reacciones químicas son muchos, tantos como compuestos 
tengan los diferentes minerales involucrados. Algunos de éstos catalizan las reacciones de otros 
minerales, como es el caso de la pirita que cataliza la lixiviación de la calcopirita (interacciones 
galvánicas) modificando así la cinética total del proceso; además, la interacción entre bacteria y 
mineral varía dependiendo del tipo de mineral. 
El estudio en laboratorio del proceso de biolixiviación se realiza principalmente cultivando 
distintas cepas de bacterias en distintas condiciones y en presencia de distintos medios 
nutrientes. Éstos pueden contener distintas fuentes energéticas como puede ser el mineral que 
se desea lixiviar, algún gas esencial, o bien pueden contener otras especies que solo actúen 
como catalizadores. Una vez que se ha agotado algún nutriente, es necesario hacer otro "pase". 
Es decir, que es necesario tomar un inoculo de las bacterias en el sistema y transferirlo 
("pasarlo") a un nuevo sistema que inicialmente está en condiciones estériles. Con esto se 
mantiene la cepa original y se pueden seguir los estudios de la misma. 
Capitulo 1 Introducción 4 
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,;~ 
Capitulo TI Fundamentos teóricos 
Il.1 Mecanismos de reacción involucrados en la biolixiviación. 
Ahora es conveniente entender más a fondo qué es el proceso de lixiviación; qué etapas 
intervienen, y cuáles son los mecanismos de control. El siguiente análisis está hecho de la 
forma más general posible (Boon M. and Reijnen J., 1993; W. Sand, 2001). 
l. Biolixiviación Directa: Oxidación biológica del mineral debido a la adherencia de las 
bacterias al mismo. Cabe señalar que este mecanismo ha sido un punto de desacuerdo, 
por lo cual se detallará más adelante, pero se llevan a cabo las siguientes reacciones 
dependiendo del mineral que se esté procesando. 
Esfalerita: 
Calcopirita: 
Pirita: 
ZnS + 202 ~ Zn
2
+ sot 
2CuFeS2 + 8.502 + 2H+ ~ 2Cu
2+ + 4S0/- + 2Fe3+ + H20 
FeS2 + 3.502 + H20 ~ Fe
3+ + 2S0/- + 2W 
(1) 
(2) 
(3) 
2. Biolixiviación indirecta: Oxidación química del mineral con ion férrico, el cual se 
regenera al oxidarse el ion ferroso a férrico en la membrana de la célula, las reacciones 
son las mismas que en una lixiviación convencional. 
Esfalerita: ZoS + 2Fe3+ ~ Z02+ +so + 2Fe2+ (5) 
ZoS + 8Fe3+ + 4H20 ~ Z02+ SO/- + 8Fe
2+ + 8W (6) 
Calcopirita: CuFeS2 + 4Fe3+ ~CU2+ + 2So + 5Fe2+ (7) 
CuFeS2 + 16Fe3+ + 8H20 ~ Cu
2+ + 2S0/- + 17Fe2+ + 16W (8) 
Pirita: FeSz + 2Fe3+ ~ 3Fez+ + 2So (9) 
FeS2 + 14Fe3+ + 8H20 ~ 15Fe
z
+ + 2S0t +16W (10) 
3. Oxidación Biológica del ion ferroso al ion férrico, es la etapa en donde la bacteria 
interviene para dar lugar al mecanismo indirecto, aunque también se considera como 
parte del mecanismo directo. 
2Fez+ + 0.50z + 2W ~ 2Fe
3+ + HzO 
5Fez+ + 5/40z + 5W ~ 5Fe
3+ + 5/2HzO 
17Fez+ + 17/402 + 17H+ ~ 17 Fe
3+ + 17/2HzO 
3Fez+ + 3/40z ~ 3Fe
3+ + 3/2HzO 
15Fez+ + 15/40z + 15W ~ 15Fe
3+ + 15/2HzO 
(11) 
Capitulo n Fundamentos teóricos 5 
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4. Oxidación biológica de azufre elemental a sulfato en presencia de oxígeno, esta 
oxidación también es causada por las reacciones metabólicas de las bacterias, el azufre 
elemental es producto de la oxidación del mineral (reacciones 5,7,9). 
2S0 + 302 + 2H20 -4 2H2S04 (12) 
5. Fenómenos de transporte de masa considerando el ion férrico: 
O Difusión del ion férrico a través de la capa límite fluida del mineral, es decir 
desde el seno del fluido hasta la superficie del mineral. 
O Difusión del ion férrico desde la superficie del mineral hasta la superficie o plano 
de reacción a través de la capa de productos. 
O Las reacciones químicas, enumeradas en el mecanismo indirecto dependiendo del 
mineral. 
6. Disolución y difusión de oxígeno y dióxido de carbono de la atmósfera hacia la solución 
lixiviante. Este mecanismo toma importancia debido a que las bacterias consumen estos 
compuestos en su metabolismo. 
co-
"" 
2-
M SO~-
co¿ 0-
"" 
Figura 2.1: Mecanismos involucrados en la Biolixiviación. 
Capitulo II Fundamentos teóricos 6 
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II.2 Controversia sobre los mecanismos "directo" e "indirecto ". 
Esta controversia surge al querer explicar la función que desempeñan las bacterias en el 
proceso en estudio, y recae fundamentalmente en los términos "directo" e "indirecto"; y en 
determinar si alguno de los dos tiene más importancia que el otro. Primeroconsideremos el 
siguiente análisis. 
La disolución de los sulfuros metálicos es controlada por el producto de solubilidad y por ende 
por la concentración de protones en la solución, y promovida por distintos mecanismos que 
llevan a la ruptura de los enlaces químicos en los sulfuros. Estos incluyen la extracción de 
electrones y la ruptura de los enlaces mediante el ion férrico [F e3+¡, extracción de azufre 
mediante la formación de reactivos como polisulfuros y iones complejos de hierro [Vi, y la 
disolución elctroquímica por la polarización del sulfuro a altas concentraciones de Fe3+ (H. 
Tributsch, 1999). 
Algunos autores consideran que el mecanismo indirecto es más importante que el directo, pero 
esto implicaría que el aumento en la cinética del proceso sólo se debe a la regeneración del 
medio lixiviante. Pero, este tipo de experimentos ya fueron hechos y dieron como resultado que 
la biolixiviación dio cinéticas de lOa 20 veces más rápidas que los reactores a las mismas 
condiciones, pero sin bacterias (Boon M., 2001.). El argumento en contra es que las bacterias 
adheridas realmente no tocan el mineral, sino que hay evidencia de que en la capa exterior de la 
membrana celular, hay una acumulación de ion férrico la cual genera un recubrimiento del 
mineral altamente oxidante, pero a este mecanismo no se le puede llamar "directo" pues no hay 
un contacto de tal naturaleza entre el mineral y la bacteria; además siempre se habla de las 
reacciones debidas al metabolismo de las bacterias y hay que aclarar que estas reacciones 
metabólicas son hipotéticas. 
H. Tributsch, 1999, hace un muy buen análisis diciendo que básicamente la acción de las 
bacterias es catalizar mientras las especies [W], [Fe3+], [Vi rompen los enlaces del mineral, al 
mismo tiempo que reciclan estos mismos compuestos dentro de su metabolismo, mediante el 
ciclo oxidante de las bacterias vía [Fe3+¡, [W] (llamado "indirecto"); así las bacterias tienen 
dificultades tomando la abundante energía química del mineral, pues lo hacen extrayendo 
Capitulo II Fundamentos teóricos 7 
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electrones del mismo, pero este intercambio de electrones, que está gobernado por los 
mecanismos de la química de coordinación, no rompe los enlaces del mineral, sino que 
incrementa el estado de oxidación del hierro interfacial. En este punto es cuando las bacterias 
utilizan técnicas como el uso de una capa polimérica extracelular para generar un contacto 
apropiado con el sulfuro. Thiobacillus Ferrooxidans intercambia [y+] para romper el sulfuro 
mientras que Leptospirillium Ferrooxidans acumula [Fe3+:] en esta capa extracelular para 
despolarizar el sulfuro a un potencial donde la oxidación electroquímica ocurre. Sin embargo 
no se puede utilizar el término "directo" pues para ello se necesitaría una interacción 
enzimática entre la membrana y la célula, por lo cual este autor propone cambiar "directo" por 
mecanismo de "contacto". 
W. Sand, (2001), hace un análisis en función de la estructura cristalina de los minerales y 
basándose en las teorías de los orbitales moleculares y de valencia de enlace. Con lo cual 
afirma que los minerales con la estructura cristalina de la pirita, molibdenita o la tungstenito, no 
pueden ser atacados más que por agentes altamente oxidantes como lo son: el ion férrico o el 
oxígeno disuelto, pero explica que éste último no puede ser un agente oxidante, pues a valores 
de pH bajos, el ion férrico hidratado, en contraste con el oxígeno disuelto, está conectado con la 
superficie del mineral vía a-enlaces, además a valores de pH neutros el ion férrico aun es 
adsorbido por la partícula mientras que el oxígeno sólo regenera el ion férrico. Además la 
producción de ácido sulfúrico es tan rápida que el pH disminuye, llegando al caso del pH ácido. 
Por esto último es posible afirmar que la ecuación (3) es incorrecta. 
Este mismo autor propone dos formas de mecanismos "indirectos" 
1) Mecanismo vía tiosulfato: aplicable a minerales como la pirita, molibdenita y la tungstenita, 
éstos minerales sólo pueden ser atacados por el ion férrico. 
FeS2 + 6Fe3+ + 3H20 ~ s2ol- + 7Fe2+ + 6H+ (13) 
(14) 
2) Mecanismo vía Polisulfuro: Aplicables a minerales como la calcopirita, esfalerita y la 
galena. Estos minerales son susceptibles al ataque de protones, y al bio-lixiviarlos producen 
Capitulo II Fundamentos teóricos 8 
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un 90% de azufre elemental con respecto a otros compuestos que contengan azufre, por lo 
cual propone una serie de pasos que llevan a las siguientes ecuaciones globales, donde n ~2. 
MS +Fe3+ +W -- M2+ + 0.5H2Sn + Fe2+ (15) 
0.5H2Sn + Fe3+ -- 0.125 S8 + Fe2+ + H+ 
0.125 S8 + 1.502 + H20 -- sol- + 2H+ 
(16) 
(17) 
Barret J. et al, 1993,( en Boon M., 2001) se pronuncian en contra de los términos "directo" e 
"indirecto" proponiendo ver al proceso de biolixiviación como dos etapas: 
Etapa primaria de oxidación: Esta etapa consta de todos los procesos que ocurren en la 
superficie del mineral y lleva a la oxidación y/o solubilización del mismo. Estos incluyen la 
oxidación bacteriana mediante la transferencia de electrones del mineral a una cadena de 
transporte de electrones situada en el exterior de la célula, la oxidación debido al oxígeno y a 
los protones, con la solubilización del ion ferroso. 
Etapa secundaria de solubilización: Esta etapa consta de procesos que ocurren principalmente 
en el seno del fluido. Estos se pueden representar como: 
[Fe3+] -oxígeno/bacterias __ [Fe3+] 
Este análisis está enfocado principalmente al mal uso de los términos "directo" e "indirecto", 
pero conduce a otro punto de vista, H. Tributsch, 1999 y W. Sans, 2001, han mostrado que es 
posible la biolixiviación cooperativa. Como las bacterias adheridas al sulfuro tienen una fuente 
de energía muy grande, ya sea el mineral o el azufre, liberan especies como el ion ferroso a la 
solución, promoviendo la supervivencia de las bacterias en suspensión, permitiéndoles cooperar 
regenerando el agente lixiviante [Fe3+]. 
El trabajo de H. Tributsch, y el de W. Sand. son muy interesantes pues sus argumentos son 
electroquímicos, toman en cuenta los descubrimientos recientes de la electroquímica de 
semiconductores. Por esto en este trabajo se adoptan las ideas de la cooperación entre bacterias 
adheridas con las susperididas sin entrar en detalles de llamarlo "directo" o "Indirecto", y los 
mecanismos vía tiosulfato y vía polisulfato. 
Capitulo 11 Fundamentos teóricos 9 
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lI.3 {h. COz y efectos de agitación. 
Evidentemente, es muy importante tener una buena agitación en este tipo de sistemas para 
permitir un comportamiento óptimo sobre variables tales como la concentración de oxígeno y 
de dióxido de carbono, así como para lograr una buena transferencia de calor en el sistema y 
una suspensión adecuada de partículas, es decir, para permitir condiciones adecuadas de 
crecimiento de las bacterias manteniendo una homogeneidad aceptable (Hayward et al, 1997; 
Fraser et al, 1993; Rossi, 2001). Pero se ha observado que la intensidad de agitación y 
turbulencia necesaria para lograr estas condiciones afecta al desempeño de los 
microorganismos, por lo cual existen limitaciones en la densidad de pulpa alrededor del 20% en 
peso como máximo, haciendo más caro el proceso por la necesidad de instalaciones más 
grandes (Thomas, 1990; Device, 2003). Esta limitación se ha asociado principalmente al efecto 
cortante inducido por la agitación (Rossi, 2001; Rawlings et al, 2003). 
Thomas, 1990 y Doran, 1995, han sugerido que la exposición de bacterias a estos efectos 
cortantes producen la lisis de la célula, la inhibición del crecimiento o de la síntesis de 
productos, la disminución de proteínas extracelulares y el cambio de la morfología o el 
adelgazamiento de la pared celular.De acuerdo con lo estudiado por Deveci, 2002, 2003, el cambio en la población de bacterias 
provocado por los efectos cortantes es mínimo, pero si se analiza la actividad bacteriana en vez 
de la población, se observan ligeras variaciones, disminuyendo esta actividad al aumentar la 
velocidad de agitación; también encontró que dependía del tipo de propela a utilizar en 
concordancia con lo encontrado por Weetman y Oldshue, 1988. En flujos turbulentos, la 
intensidad de las fuerzas cortantes que actúan sobre microorganismos se podría relacionar con 
el tamaño relativo del remolino (o) más pequeño comparado con el tamaño del microorganismo 
(o es conocido como la micro escala de turbulencia Kolmogorov) (Doran, 1995; Cherry and 
Papoutsakis, 1986). 
Variaciones más fuertes de actividad bacteriana se han relacionado con el tamaño y forma de 
las partículas, esto a causa de las colisiones entre partícula-partícula, estas colisiones están 
generadas por el movimiento relativo entre ellas asociado a los cortes por turbulencias ( o > d == 
Capitulo II Fundamentos teóricos 10 
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diámetro de la partícula) o a la inercia de las partículas en condiciones de turbulencia ( () < d) 
(Cherry and Papoutsakis, 1986; Kusters et al, 1997; Lu et al, 1998; Sornmerfield, 2001). Si las 
partículas son esféricas producen un efecto desactivador mayor que si son angulares, además 
existe un tamaño de partícula crítico para cada sistema en el cual el efecto desactivador 
presenta un máximo(Deveci, 2003). 
11.4 Mecanismos de control. 
Los mecanismos que controlan el proceso no han sido definidos por completo, pero para tratar 
de hacer lo más general posible el modelo se involucran la mayor cantidad de ellos. 
O Crecimiento poblacional de las bacterias adheridas: al ser tan importante la función de 
las bacterias se ha observado que entre más bacterias haya más rápida es la cinética del 
proceso 
O Fenómenos de transporte de masa del ion férrico (ver sección I1.l). 
O Disolución y difusión de O2 y CO2 de la atmósfera hacia la solución lixiviante 
11.5 Modelos existentes. 
Los modelos realizados hasta el momento, sólo toman en cuenta algunos de los mecanismos 
mencionados en la sección anterior. En el presente trabajo se toman en cuenta todos porque es 
posible que estos mecanismos tomen importancia en ciertas etapas del proceso y no son 
mecanismos controlantes globales. A continuación se describe como se ha atacado el problema 
de modelar los distintos mecanismos. Es importantes sefialar la importancia el tratamiento 
matemático del crecimiento poblacional de bacterias, variable fundamental para éste trabajo. 
I1.5.l Fenómenos de transporte de masa considerando el ionférrico. 
Ataque a la partícula de mineral. 
A) Existen tres principales enfoques para matematizar este mecanismo, el primero y el que se 
utilizará en el modelo matemático es el del núcleo decreciente sin reaccionar. Está dado por la 
siguiente ecuación. 
Capitulo II Fundamentos teóricos 11 
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''Cl __ n ... r,'l' 
-dr. M F¿+ (18) c_ s .,--__ --c--_----,-________ -" 
--¡¡¡- - pG~ [(11 Gp)+ ( (TI Deff )hl RXR-rc)+(lI KcXrc l Rf] 
Donde Ms: el peso molecular, p: la densidad de la partícula de mineral, <l>:es el factor de forma 
de partícula, (3 es el factor cinético global, 0': es el factor estequiométrico, Deff: coeficiente 
efectivo de difusión, R: es el radio de partícula, Kc es el coeficiente de transferencia de masa en 
la capa límite fluida. Los sumandos del denominador son las resistencias a la disolución del 
mineral, resistencia a la difusión de iones férricos a través de la ganga, y la resistencia a la 
transferencia de masa a través de la capa límite (en Herrera M. N. et al, 1989). 
B) Otros autores atacan un problema específico, es decir para un reactor en particular y 
condiciones específicas, como por ejemplo para casos donde el único mecanismo controlante es 
la difusión de oxígeno, utilizando la ecuación de tipo Michaelis-Menten donde el oxígeno 
disuelto es el substrato limitante (Vargas T. et al, 1993). Para diferentes substratos limitantes, 
se tienen diferentes ecuaciones de la forma. 
da./dt= (0'1/PBGo)VmX(02Jkm+ 02d 
donde los parámetros son: 
a : fracción de calcopirita lixiviada o fracción de cobre recuperada. 
(19) 
0'1 : factor estequiométrico de la reacción 2, ( Kg de calcopirita disuelta / Kg de oxígeno 
consumido por las bacterias) 
PB: densidad del mineral (1800.00 kg/m3) 
GO : ley de la calcopirita (0.63 % peso) 
V m : consumo específico máximo de oxígeno por la bacteria, (kg oxígeno disueltolbacteria/día) 
X: población de las bacterias (estimado), (1.5xlO-13 bacteria/m3 de mineral) 
02L : concentración másica de oxígeno disuelto en fase líquida, (kg/m3) 
km: constante de Michaelis para el oxígeno como substrato limitante, (10-3 kg/m3) 
Consumo de iones: 
La mayoría de los modelos sólo hacen un análisis sobre los iones férrico y ferroso, pero para 
ciertos casos es necesario observar como es la difusión, dispersión etc., de los iones producto 
Capitulo II Fundamentos teóricos 12 
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de la reacción. En caso de terreros, un ejemplo de este análisis es el desarrollado por Vargas T. 
et al, 1993, donde el ion de interés es Cu2+. 
ELCBcu2+/at) = DLC(&cu2+/az2) - qLCBcu2+/az) + <J2PBG(daJdt) (20) 
E¡ : fracción volumétrica estacionaria o fase líquida dentro del mineral 
DL : coeficiente de dispersión axial para el oxígeno en una cama de mineral húmedo (0.01 
m2/día) 
qL : densidad de flujo estacionaria de la fase líquida (0.24 m3 líquido/m2/día) 
<J2 : factor estequiométrico de reacción 5, (0.7988 kg de ion cúprico generado/kg de calcopirita 
consumida) 
G : densidad de flujo de masa seca de aire dentro del mineral (kglm2/día) 
lI.5 .2 Análisis de los iones férrico y ferroso. 
La producción del ion ferroso está determinada por el ataque a la partícula como se ve en la 
figura 2.1, sea cual sea la ecuación que se tome para describir éste ataque. A su vez el consumo 
de este ion está a cargo de las bacterias, despreciando el efecto del oxígeno sobre este ion. 
(Boon M. and Heijnen J., 1993, 2001 ; Crundwell F., 2001; Herrera M.N.,1989; H. Tributsch, 
1999). La rapidez con la que se consume el ion ferroso se expresa como una cinética de primer 
orden en función del crecimiento poblacional de las bacterias, ya sean adheridas o en solución 
(Herrera M.N., 1989). 
(21) 
Donde: 
IlX¡: rapidez de crecimiento poblacional de las bacterias i = a, s, donde "a" quiere decir 
adheridas y "s" en solución. Y Fe2+,X: relación de consumo de ion ferroso por bacterias (cel / 
mol Fe2l . 
Debe notarse que esta ecuación predice que sólo hay consumo de ion ferroso si hay crecimiento 
de bacterias, por lo que se han desarrollado modelos que además consideran el consumo de ion 
ferroso causado por las bacterias existentes (Boon M. and Heijnen J., 1993, 2001). 
rx s 
r =--'- +m xC 
Fe 2+ ,bio- ox y Fe 2+ x 
Fe 2+ ,x 
(22) 
Capitulo II Fundamentos teóricos 13 
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... 
Donde: 
rx,s: rapidez de crecimiento poblacional de las bacterias en solución. 
mF/+: consumo por mantenimiento de las bacterias 
Cx : concentración de las bacterias 
.,""---
Cabe hacer notar que se consideran dos tipos de consumo del ion ferroso por parte de las 
bacterias, uno es consumo asociado al sustento y otro está asociado al crecimiento poblacional. 
II.5.3 Crecimiento poblacional de bacterias. 
Monod encontró que el crecimiento de cierta población de células se puede expresar como una 
reacción química con cinética de primer orden, es decir: 
dX 
df=¡'¡x (23) 
Donde Il es una constante cinética o constante de rapidez de crecimiento poblacional y X es la 
concentración de bacterias en función del tiempo. Encontró que Il no es constante sinoque 
depende de los nutrientes, en especial del ion ferroso. Para expresar matemáticamente esta 
dependencia utiliza la siguiente expresión: 
(24) 
Ji = ,umax x (K Fe
2
+ + Fe2+ ) 
AquÍ Ilmax es la constante de rapidez máxima y KFe2+ es la afinidad de las bacterias por el ion 
ferroso. 
Una vez conocida la rapidez de crecimiento poblacional, el cambio con respecto al tiempo de la 
concentración de bacterias adheridas o en solución, considerando la adsorción y desorción de 
las mismas, se puede expresr por un sistema de ecuaciones linealmente dependientes: 
(25) 
dXs _ ( ) (jf -,uXs -KadsXS X sat -Xa +KdesXa 
(26) 
Donde los Índices "a", "s" se refieren al estado de la bacteria, es decir sí está adherida o en 
solución. KIes y Kads son los coeficientes de desorción y adsorción de las bacterias al mineral. 
Xsat es la concentración de bacterias cuando éstas saturan la superficie del mineral. 
Capitulo II Fundamentos teóricos 14 
Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Química 
k~,,··_ 
11.5.4 Difusión de oxígeno y dióxido de carbono. 
Este mecanismo depende sensiblemente del tipo de reactor a utilizar, ya que existen muchos 
tipos de modelos para definir la disolución de gases en medios acuosos, dependiendo de las 
condiciones del sistema. El problema específico es cómo expresar el consumo de estos gases 
por las bacterias; hasta el momento no se ha respondido a ésta pregunta. En cambio la mayoría 
de los modelos que involucran el oxígeno, es porque la difusión de éste e incluso la disolución 
del mismo es el mecanismo que controla la rapidez del proceso, para el caso del dióxido de 
carbono es lo mismo. 
Boon M. and Heijnen J. (2001), hicieron el trabajo de análisis adecuado, sin embargo aun no 
han hecho una propuesta seria del modelo a utilizar para describir estas variables. 
Capitulo II Fundamentos teóricos 15 
Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Química 
Capitulo III Desarrollo del modelo matemático. 
III.1 Objetivo: 
~~ El objetivo de esta tesis es el desarrollo de un modelo matemático mecanístico que 
permita generar más información acerca del proceso de biolixiviación, realizar 
predicciones precisas de las variables del sistema, y aportar una base para el desarrollo 
de modelos cada vez mejores. 
111.2 Hipótesis. 
* El oxígeno y el dióxido de carbono juegan un papel más importante que el que se ha 
considerado hasta la fecha. Tomando importancia al ser compuestos fundamentales de 
la composición química de la bacteria y por lo tanto posibles sustratos limitantes. 
* Las bacterias adheridas tienen una actividad directa en el ataque a la partícula de 
mineral, (mecanismo de "contacto"). Esto ya se ha estudiado, pero como se mostró en 
las bases teóricas, no hay una expresión matemática que describa este comportamiento. 
* El crecimiento de las bacterias adheridas es independiente del crecimiento de las 
bacterias en solución. 
* Las bacterias adheridas alcanzan una población máxima al saturarse la superficie del 
mineral. 
* La rapidez de consumo de mineral es directamente proporcional al crecimiento en la 
población de las bacterias tanto adheridas como en solución, pero esta proporcionalidad 
depende del mecanismo controlante. 
* El consumo del ion ferroso es causado por la bacterias tanto adheridas como en 
solución, además es sólo debido al crecimiento poblacional como 10 indica el modelo 
propuesto por Herrera M.N., et al 1989. 
.. Los nutrientes esenciales para el crecimiento bacteriano son el ion ferroso, oxígeno 
disuelto y el dióxido de carbono disuelto. 
111.3 Definición del sistema a modelar. 
Se modela un sistema de Biolixiviación de concentrados de Calcopirita (CuFeS2) con la 
bacteria Thiobacillus Ferrooxidans en un reactor idealmente agitado y con una atmósfera 
Capitulo III Desarrollo del modelo matemático 16 
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controlada, que contenga concentraciones conocidas de dióxido de carbono y oxígeno. Esto 
permite separar adecuadamente las ecuaciones asociadas al tipo de reactor de las ecuaciones 
fundamentales del proceso. 
Este es el primer modelo mecanístico que desarrolla el grupo de Biolixiviación de minerales del 
Departamento de Metalurgia de la Facultad de Química de la U.N.A.M., por lo que se decide 
crear un modelo que describa lo mejor posible un sistema en las condiciones óptimas que ya ha 
encontrado el grupo, y que para fines del modelo se mantendrán constantes. 
Suposiciones: 
1. Agitación Ideal: Con una agitación eficiente se produce una distribución de partículas 
homogénea dentro del reactor. Partiendo de lo anterior y como la cinética global de 
reacción es muy lenta, no se pueden presentar gradientes de concentración causados por 
reacción química. La disolución de oxígeno y dióxido de carbono es muy rápida pero 
como la convección es más eficiente que la disolución se acepta la idea de que tampoco 
se producen gradientes de concentración de estas especies. 
11. Un solo tamaño de partícula inicial: Esto simplifica los cálculos y como los 
concentrados de mineral tienen tamaños de partículas relativamente parecidos la 
aproximación es satisfactoria. 
111. Simetría geométrica del ataque químico a la partícula: Esto qUIere decir que se 
consideran partículas esféricas con ataque homogéneo. Esta condición es simplemente 
para facilitar los cálculos. Las partículas no son esféricas, como se vio en la sección 
11.3, tampoco tienen una geometría definida, y como no se puede determinar qué zonas 
del mineral son atacadas con mayor facilidad, se considera un ataque homogéneo. 
IV. Concentración de la atmósfera constante: Esta suposición es para determinar la 
evolución de los componentes gaseosos (dióxido de carbono y oxígeno disueltos) dentro 
del sistema, sin perturbaciones producidas por variaciones en la concentración de la 
atmósfera. 
Mecanismos participantes. 
1. Oxidación química del mineral debido al ion férrico: Considerada como una reacción 
heterogénea que ocurre en la intercara CuFeS2-S2 o plano de reacción. 
Capitulo III Desarrollo del modelo matemático 17 
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11. Oxidación biológica del mineral por contacto de la capa extracelular polisulfurada, 
aumento en la oxidación química debida al aumento local en el potencial de oxidación, 
causado por la acumulación del ion férrico en esta capa. 
111. Oxidación biológica del ion ferroso a ion férrico, considerada como una reacción 
homogénea en presencia de bacterias. 
IV. Fenómenos de transporte de masa considerando el ion férrico: 
a. Difusión del ion férrico a través de la capa límite del mineral, es decir desde el seno 
del fluido hasta la superficie del mineral. 
b. Difusión del ion férrico desde la superficie del mineral hasta la superficie o plano de 
reacción a través de la capa de productos. 
c. Reacción química, biolixiviación indirecta, ecuación (7), sección 11.1. 
V. Disolución de oxígeno de la atmósfera hacia la solución lixiviante. 
VI. Disolución de dióxido de carbono de la atmósfera hacia la solución lixiviante. 
111.4 Desarrollo del modelo y análisis de los modelos existentes. 
1II.4.1 Consumo de iones. 
Nótese que tanto el consumo como la producción de iones férrico y ferroso en el sistema, están 
muy relacionados. Por esto es necesario ligar las ecuaciones de liberación de iones (ecuaciones 
del consumo del mineral), con las ecuaciones de los posibles equilibrios del resto del sistema, 
es decir, las interacciones químicas con el resto de los iones presentes en el sistema como 
pueden ser Cu2+ o iones de Zn, todo depende del tipo de mineral y las impurezas que contenga. 
Dado que se considera que el mineral contiene esencialmente calcopirita (CuFeS2), los únicos 
iones involucrados son los de hierro y los de cobre, además de los gases disueltos en la solución 
(oxígeno y dióxido de carbono). 
Para generar las expresiones matemáticas querepresenten el comportamiento de estas variables 
es necesario hacer un balance de materia microscópico, como se explica a continuación. 
La ecuación general de balance de materia es: Ac=(E-S)+G 
Ahora tomemos un volumen de control Vd, como el que se ilustra en la figura 3.1. 
Capitulo III Desarrollo del modelo matemático 18 
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1 ___________ _ 
~~I 
~,,". . .:. . 
Figura 3,1: Volumen de control V d-
A este volumen Vd se le asocian propiedades tales como densidad de pulpa, la concentración de 
cada uno de los iones presentes, concentración de los gases disueltos, así como la concentración 
de bacterias adheridas y en solución_ El análisis sobre la concentración de los gases disueltos se 
muestra más adelante_ 
Considerando las entradas del sistema para cada componente como el flujo del componente "i" 
a través de cada una de las caras de este cubo que se intersectan con los planos XZ, YX, YZ, y 
las salidas como el flujo que sale por las caras del cubo que intersectan los planos XZ+dy, 
YX+dz, YZ+dx (note que las entradas negativas son salidas y las salidas negativas son 
entradas)_ Suponiendo que los flujos obedecen esencialmente a la primera ley de Fick, 
entonces en la dirección x queda: 
N = -D a[Ci] 
Ci Ci ax (27) 
de aquí se deduce que si el flujo es distinto de cero, entonces eso implicaría que la 
concentración en el plano XZ es diferente a la concentración en el plano XZ + dy, lo cual 
contradice la suposición de agitación ideal, de igual forma para las otras dos direcciones por lo 
tanto se puede afirmar que_ 
[entrada neta del componente i] = O 
Quedando la ecuación de balance: 
Ac(Ci) = G(Ci) (28) 
Entonces la acumulación del componente i, [Ac (Ci)], es igual a la generación del componente 
i, [G (Ci)], donde ésta es positiva cuando aumenta la concentración del componente mientras 
Capitulo III Desarrollo del modelo matemático 19 
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que es negativa si el componente es consumido. Para cada componente el comportamiento es 
distinto por lo cual se harán por separado y se presentan a continuación. 
1II.4.1.1 Balance del ion férrico. 
[G (Fe3+)] = [oxidación bacteriana de Fe2+] + [consumo de Fe3+ por ataque químico al mineral] 
Note que el primer sumando es positivo y el segundo es negativo. A continuación se muestra el 
desarrollo de cada uno de estos. 
Oxidación bacteriana de Fe2+: Está relacionada con el ion Fe3+ mediante el factor 
estequiométrico de la reacción Ecuación (11), el cual es uno, por lo que la rapidez con la que 
aumenta la concentración del ion férrico está dada por: 
(29) 
Consumo del ion Fe3+ por ataque químico al mineral: La rapidez con la que se consume el ion 
férrico está directamente relacionada con la rapidez con la que se ataca la partícula de mineral 
(ver sección III.4.3). Siendo el mineral el único consumidor de este ion, la rapidez de consumo 
del ion es proporcional a la rapidez de cambio de masa (moles) de la partícula; como se desea 
conocer la rapidez de cambio en la concentración de ion férrico y no solo la rapidez de cambio 
del ion férrico, se toma el elemento de volumen de control (Vd) para hacer el análisis. Luego se 
igualan los moles del ion férrico con el cambio de moles de mineral dentro del volumen de 
control. Estos últimos están en nmción del cambio de volumen del núcleo de la partícula de 
mineral, de tal modo que: 
(30) 
-dV~n r oc p . -- -
Fe3+ ,qU/m IJUn dI (31) 
Para que se dé la igualdad es necesario multiplicar por una constante lib. 
(32) 
Donde la constante "b" es la razón molar estequiométrica. 
Capitulo III Desarrollo del modelo matemático 20 
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b = [CuFeS2 ] 
[Fe 3+] 
Facultad de Química 
(33) 
Este factor se puede calcular para cada una de las ecuaciones (7), (8), (15) a (17). Dado que 
estas ecuaciones son posiblemente pasos intermedios de la suma de todas ellas, se propone 
utilizar la suma de las más probables, las (15)-( 17), la cual queda. 
CuFeS2 + 4Fe3+ + 302 + 2H20 ~ Cu2+ + 5Fe2+ + 4W + 2S0/- (34) 
Esta ecuación será la ecuación primordial para el resto de los cálculos, por lo que "b" queda 
definido como: 
b = 1mol[CuFeS2 ] 
4mol[Fe3+] 
(35) 
La cual coincide con la ecuación (7). Además, al sumar las ecuaciones (15) a (17) se obtiene la 
reacción de azufre elemental con el oxígeno (17). Pero en esta reacción no está involucrado el 
ion férrico, se puede omitir ésta suma quedando de hecho la ecuación (7) como resultado. 
Al volumen de control se le ha asociado una densidad de pulpa (gramos de mineral por unidad 
de volumen de la solución, Ppulp), la cual es constante de acuerdo a la suposición de agitación 
ideal. Se puede afmnar que por cada elemento de volumen, el número de gramos de mineral es 
constante y por ende hay un número constante de partículas (Pa) dado por: 
Ppulp X Vd 
Pa=--.!!r!l~ 
Vol;a 
Ppulp X Vd 
= - --- (36) 
Aquí Volopa es el volumen que ocupa cada partícula al inicio del experimento. También, es 
posible afirmar que el número de partículas por unidad de volumen de la solución está dado 
por: 
Pa 
n=-
Vd 
(37) 
Como el cambio de volumen del mineral dentro del volumen de control es igual a la suma de 
los cambios de volumen de cada partícula dentro de este mismo volumen, queda que: 
dv T Pa dV i dV . 
~=L~=Pa~ 
dI i=l dI dI 
(38) 
Esto por la suposición de homogeneidad en el tamaño de partícula. Ahora sería conveniente 
expresar esta relación en función de la rapidez de decremento en el radio de la partícula pues 
Capitulo III Desarrollo del modelo matemático 21 
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como ya se VIO esta expresión contempla los distintos mecanismos de transporte de masa 
involucrados en esta reacción heterogénea. 
~v mill = 41l"~ F drc 
di e dI 
(39) 
Sustituyendo esta relación en las ecuaciones anteriores queda: 
r . = d[Fe3+ ]vd =! -. Pa471(r)2 drc 
Fe
3
+ ,qU/m dI b P mm e dI (40) 
Dado que esta ecuación sólo expresa lo que sucede en un elemento de control, para poder 
considerar de todo el reactor, es necesario sumar todos los volúmenes de control que haya en el 
sistema cuando éstos tiendan a cero, recordando que: 
Vd =dxdydz 
Por lo que tomando el límite queda: 
(41) 
Donde V r es el volumen del reactor. Como Pa depende de Vd, Y observando que en el límite Vd 
se convierte en la diferencial de volumen, la ecuación anterior queda: 
(42) 
Sacando de la integral a los parámetros constantes con respecto a la posición se afmna que: 
d[~3+] Hf(dV) = i PuliD n471kY ; Hf(dV) 
Vr Vr 
(43) 
Por lo que queda: 
d[Fe}+ ] V =! -. n471(r)2 drc V 
dI ' b P mm e dI ' 
(44) 
Definiendo Par como el número de partículas en todo el sistema como: 
Par= Ppulp X V, = nV 
PminVo1;a ' 
(45) 
Sustituyendo en la ecuación anterior: 
d[Fe
3
+ ]V =! -. Pa'471(r)2 drc 
dI ' b Prnm e dI 
(46) 
De donde la variación de la concentración del ion férrico asociado al ataque químico en todo el 
reactor queda definida como: 
Capitulo m Desarrollo del modelo matemático 22 
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r = d[Fe
3
+ ] = ! p:.:. Pa' 47l"(r )2 drc 
[Fe)+ l ,quim dI b V e dI 
r 
(47) 
Sumando las ecuaciones (29) y (47) para obtener la acumulación del ion férrico en el sistema. 
d[Fe
3
+ ] _ 1 Pmin Pa' 4 ( )2 drc -----"----: - -r + - 7l" r -
dI [Fe 2+],bio b V e dt 
r 
(48) 
Como la rapidez de reacción del ion ferroso es negativa el primer término es positivo, de igual 
forma el segundo término es negativo puesto que la derivada del radio del núcleo de la partícula 
con respecto al tiempo es negativa. 
111.4.1.2 Balance del ion ferroso. 
[oxidación bacteriana de Fe2+] + [producción de Fé+ por ataque químico al 
mineral] 
Note que el primer sumando es positivo y el segundo es negativo. A continuación se muestra el 
desarrollo de cada uno de estos. 
Oxidación bacteriana de Fe2+:Es causada por las bacterias en solución (mecanismo indirecto). 
De acuerdo a los modelos publicados en la literatura, la rapidez de esta reacción está descrita 
por la ecuación de Monod, ecuación (23), la cual relaciona la rapidez de consumo de los 
nutrientes de la solución con la rapidez de crecimiento poblacional, (esta última se discutirá 
más adelante). Además se puede tomar la idea de agregar un sumando relacionado con el 
consumo de medio nutriente asociado al sustento de las bacterias ya existentes, ecuación (22). 
Aún más, es posible considerar que las bacterias adheridas también participan en este 
mecanismo, ecuación (21 ). Tomando en cuenta todas estas consideraciones el modelo queda: 
(49) 
Donde los subíndices "a", "s" se refieren a la propiedad de las bacterias de estar adheridas al 
mineral o estar en el seno de la solución. Note que todos los parámetros dependen del estado de 
las bacterias, pues la fuente energética a la que están expuestas difiere según sea el mismo. 
Capitulo ID Desarrollo del modelo matemático 23 
Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Química 
De acuerdo a las hipótesis, el consumo del ión ferroso solo es causado por el crecimiento en la 
población de bacterias y no por la manutención de las mismas, implicando así que las 
constantes ma y ms, son ambas cero. Entonces, el modelo que predice la rapidez de consumo 
del ion ferroso queda de la siguiente manera: 
r 2+ . = _(!!aXa J _(flsXs J 
Fe ,blO y Y 
a s 
(50) 
Producción de Fe2+ por ataque químico al mineral: La rapidez con la que se produce el ion 
ferroso está directamente relacionada con la rapidez a la cual se consume el ion férrico, 
considerado esto en la sección anterior, y están relacionadas por el coeficiente estequiométrico 
de la ecuación (34), el cual es: 
5mol[Fe2+] 
e= 
4mol[Fe3+] 
(5I) 
Por lo que la rapidez de producción del ion ferroso queda como: 
(52) 
Por tanto, la acumulación de este ion queda expresada matemáticamente como sigue: 
(53) 
Donde el coeficiente elb es igual al factor estequiométrico "p" que relaciona la producción de 
moles del ion ferroso con respecto a la cantidad de moles consumidos de CuFeS2: 
5mol[Fe 2+] 
4mol[Fe3+] 5mol[Fe2+] 
p= = 
lmol[CuFeS2 ] mol[CuFeS2 ] 
(54) 
4mol[Fe3+] 
De modo que el modelo que representa la acumulación del ion ferroso en el sistema se expresa 
como: 
d[Fe
2
+ ] = _( flaX a_J _ (flsXs ) _ P ¡;::;, Pa' 4n-(r )2 ~'5_ 
dI Ya Ys Vr e dI 
(55) 
Sustituyendo la ecuación (49) en la (48) se obtiene el modelo completo que representa la 
acumulación del ion férrico en el sistema: 
Capitulo III Desarrollo del modelo matemático 24 
Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Química -
(56) 
1I1.4.l.3 Balance del ion Cúprico. 
El análisis de este ion, es mucho más sencillo que el anterior, pues una vez que se ha liberado 
de la partícula no interacciona con ninguna otra especie. Por lo cual la rapidez de producción es 
proporcional a la rapidez de producción del ion ferroso, y se alcanza la igualdad introduciendo 
el factor estequiométrico '\]" de acuerdo a la ecuación (34): 
r = ur 
Cu 2+ ,quim Fe2+ ,quim (57) 
Con ''u'' definido como: 
lmol[Cu 2+] 
U= - --'--
5mol[Fe2+] 
(58) 
IlI.4.2 Crecimiento poblacional de las bacterias. 
Las bacterias se pueden catalogar en dos tipos de acuerdo a su estado de adsorción: las 
bacterias adheridas al mineral "Xa", y las bacterias que se encuentran en el seno de la solución 
"Xs". De acuerdo a lo propuesto por Monod la rapidez de crecimiento de las bacterias se 
relaciona con la concentración del medio nutriente de una forma hiperbólica como se muestra a 
continuación con la función 'A, donde la máxima rapidez de crecimiento poblacional de 
bacterias se da cuando el valor de la función es l: 
1 
;
./------------------
0.8 
/ 0.6 
0.2 
o 02 
Figura 3.2: Función 'A(nutrientes). 
0.1 1 
Capitulo rn Desarrollo del modelo matemático 25 
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Por lo cual define esta rapidez de la siguiente manera: 
dX 
-' =JLX 
di " 
(59) 
Donde J,l¡ es la constante de crecimiento y es donde se expresa el crecimiento hiperbólico, como 
se muestra a continuación para el caso de las bacterias en solución: 
(60) 
En este ejemplo, obtenido de la literatura, sólo se expresa la dependencia del crecimiento 
bacteriano al nutriente Fe2+, pero para fines del modelo a desarrollar la concentración de 
oxígeno disuelto y la concentración de dióxido de carbono disuelto también son nutrientes que 
de acuerdo a su concentración limitan el crecimiento bacteriano por lo que: 
Fe2+ 02 CO2 (61) ¡.L = ¡.L x x --- - x ~-------"'--___ 
s max (KFe2+ + Fe
2
+) (K02 +02J (KC0
2 
+C02] 
Conservando el comportamiento hiperbólico encontrado por Monod, ver apéndice A2. 
Para las bacterias adheridas es necesario recordar que una de las hipótesis es que el consumo 
del ion ferroso es debido tanto a bacterias adheridas como en solución. También es necesario 
hacer dos consideraciones más: La primera es que aunque el mineral es una fuente energética 
para estas bacterias, la dependencia de Jla con respecto a la cantidad de mineral no es necesario 
expresarla, pues si se acaba el mismo ya ha terminado el proceso. La segunda es que, si bien no 
importa que el mineral se agote, si puede ocurrir que la superficie del mineral se sature de 
bacterias, por lo que existe otra variable que limita el crecimiento poblacional, pero esta vez es 
una limitante física. Por simplicidad, esta dependencia se expresará como si fuera un nutriente 
"A", quedando la constante de crecimiento "Jla" definida como: 
A 02 CO Fe 2 + (62) 
¡.L = ¡.L x (K r x 2 x --:-------------, 
a max A +A (K02 +02 J (KC0
2 
+C02 J [K Fe2 + +Fe2 + J 
Aunado a esto, la concentración de oxígeno a la cual el crecimiento de bacterias es nulo no 
necesariamente es cero, pero si mayor. Por lo que hay que realizar un desplazamiento positivo, 
ver apéndice A2. Suponiendo que ocurre el mismo efecto para el dióxido de carbono, y que el 
comportamiento de las bacterias adheridas es el mismo. El modelo queda de la siguiente 
manera: 
Capitulo III Desarrollo del modelo matemático 26 
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Para analizar el factor que relaciona el área activa del mineral, es decir el área del mismo donde 
pueden adherirse las bacterias, hay que recordar la hipótesis de que las bacterias adheridas 
alcanzan un máximo en función del área activa del mineral. 
Para determinar la forma de la función que describe el comportamiento anterior, es necesario 
analizar el comportamiento de la siguiente función: 
f(X)=(-X ) 
x+k 
el cual se puede ver más fácilmente analizando su gráfica: 
12 
-----~-'I ~~-----
( 
1.1 
1.6 
1.2 
".4 12 
x 
Figura 3.3: Función f(x), con un valor de "k" igual a 0.001. 
Ahora, al considerar que la variable "x" sea la concentración de bacterias adheridas, entonces 
debe llegar al máximo asociado a la saturación de la superficie a, y conforme se acerca a éste 
valor es necesario que el valor de la función disminuya, suponiendo que "a" es cero, entonces 
es necesario tomar f(-x) para modelar este comportamiento como se observa en la siguiente 
gráfica: 
Capitulo III Desarrollo del modelo matemático 27 
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u 
12 
1--
I.i 
u 
12 
-8.4 -8.2 12 
Figura 3.4: Función fe-x), con "k" igual a 0.001. 
La gráfica muestra que si la variable se acerca a cero por la izquierda, es decir que la variable 
está creciendo, el comportamiento es el que se desea Si "a" es distinto de cero, como 
fisicamente ocurre ya que no puede haber concentración de bacterias negativas, ahora la 
función es f( -(x-a», es decir fea-x), cuya gráfica es la siguiente: 
1.2 
8.2 
Figura 3.5: Función fea-x). En este ejemplo "a" toma el valor de 0.8 y "k" el de 0.01. 
Entonces, si se toma el factor que relaciona la constante de rapidez delcrecimiento poblacional 
con la superficie del mineral: 
se afirma que: 
(65) 
donde Xa· es la concentración máxima de bacterias adheridas por unidad de área activa del 
mineral, yA· es el área activa del mineral, quedando la constante de rapidez de crecimiento 
poblacional de bacterias adheridas de la siguiente forma: 
Capítulo ID Desarrollo del modelo matemático 28 
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Para definir cómo es el crecimiento total de las bacterias es necesario hacer un balance de 
materia macroscópico, debido a la suposición de agitación ideal. 
Es posible ver al sistema como dos sistemas distintos pero en contacto, el primero sería una 
gran superficie de mineral, (la suma de la superficie de todas las partículas de mineral), donde 
se encuentran las bacterias adheridas, y el segundo un volumen de solución acuosa donde se 
encuentran las bacterias en solución. De lo anterior es posible dividir el análisis en dos: 
1) Bacterias en solución: 
Acs =Gs +Es -Ss (67) 
Aquí el subíndice "s" se refiere a las bacterias en solución. Se sabe que la generación de 
bacterias en solución está dada por: 
Gs = JLsXs (68) 
La entrada de bacterias al sistema se entiende como las bacterias adheridas que se desprenden 
del mineral y entran a la solución. El número de bacterias que hacen esto es un porcentaje 
constante de las bacterias adheridas: 
(69) 
Donde ~es es la constante que expresa el porcentaje de bacterias que entran a la solución 
acuosa. De igual forma se define la salida de bacterias: 
(70) 
Donde Kads es la constante que expresa el porcentaje de bacterias libres que se adsorben al 
mineral. Si la superficie del mineral está saturada ya no se pueden adherir más bacterias a la 
misma, por lo cual Kads no es constante. Como esta variación depende de la saturación de la 
superficie, se expresa de la siguiente forma: 
K = K max x ~----;-\ 
ads ads \f\- A + AJ 
(71) 
Capitulo nI Desarrollo del modelo matemático 29 
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Note que la dependencia de esta constante a la saturación de la superficie es igual a la de la 
constante de crecimiento poblacional de las bacterias adheridas, esto es por la fonna de la 
función (ver apéndice A2). Entonces: 
Kad, = K:;,x x A".A =K~~X[ K A ~(~:;:x:xJ (72) 
Observese que la concentración de bacterias adheridas cumple: 
X sat = A* X; (73) 
Quedando la acumulación de las bacterias en solución expresada de la siguiente fonna: 
~s =J1.s X s + KdesXa-KadsXS (74) 
2) Bacterias adheridas: La concentración de bacterias adheridas está defmida como el número 
de bacterias por unidad de área. Pero para un volumen dado existe una cierta cantidad de 
partículas de mineral a las cuales se les asocia una magnitud detenninada de superficie, por lo 
que se puede pensar en la concentración de bacterias adheridas como el número de bacterias 
por unidad de volumen. Esta observación es necesaria pues con este enfoque se facilitan los 
cálculos y facilita la comparación con los datos experimentales, pues el conteo de las bacterias 
se realiza con la Celda Newbauer, por lo que el valor obtenido de bacterias está dado por 
unidad de volumen. 
Aclarado lo anterior el balance para las bacterias adheridas es: 
ACa =Ga +Ea -Sa (75) 
Donde el subíndice "a" se refiere a las bacterias adheridas. La generación de bacterias 
adheridas está entonces definida como: 
(76) 
y es claro que: 
Lo anterior debido a la fonna en la que se analizó el sistema de las bacterias en solución, por lo 
que la acumulación de bacterias adheridas queda expresada como: 
(77) 
Capitulo III Desarrollo del modelo matemático 30 
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Por tanto el modelo que predice la acumulación de éstas bacterias es: 
dXa -d =/1 Xa +K d X s -Kd Xa t a as es 
111.4.3 Ataque al mineral. 
(78) 
Al expresar matemáticamente los fenómenos de transporte de masa involucrados con la 
partícula a partir de la teoría de núcleo decreciente, se aprovecha la ventaja de involucrar todas 
las resistencias posibles en una misma ecuación. Esto pennite involucrar la geometría de la 
partícula, la cual se puede considerar esférica y que al ser multiplicada por el factor de fonna, 
genera mejores aproximaciones para el caso de partículas angulares. Esto es muy conveniente 
ya que de acuerdo a las microfotografías de las partículas de mineral es lo que sucede 
realmente. Además, como ya se ha visto, las partículas esféricas provocan un efecto 
desactivador sobre la bacterias mayor que si fueran angulares, aun así se puede considerar que 
es una buena aproximación, facilitando los cálculos en gran medida. 
Aun así este modelo es insuficiente para predecir el comportamiento del radio de la partícula en 
el sistema, pues el mecanismo indirecto no es suficiente para describir los resultados obtenidos 
experimentalmente, por lo que se tiene que adicionar un consumo asociado a la bacteria. Éste 
no es sustitutivo, es decir, que la bacteria no interfiere con la difusión de ion férrico al plano de 
reacción. Incluso si se utilizan bacterias Leptospirillium Ferrooxidans estas utilizan el ion 
férrico, saturando su capa extracelular de este ion para aumentar localmente el potencial de 
oxidación, (Tributsch H., Bennett J.C. 1981) 
En cambio, con la representación matemática de Michaelis-Menten se postula que el consumo 
de mineral o la liberación de iones del mismo es función de la concentración de bacterias. Esta 
concentración está limitada por la concentración de oxígeno (ver crecimiento poblacional de 
bacterias en las siguientes secciones), todo visto como una reacción química donde el agente 
lixiviante son las bacterias. Esta fonna de atacar el problema es muy útil, aunque expresada así 
es poco general para los propósitos de éste trabajo, pues solo se refiere al caso en donde el 
transporte de oxígeno es el mecanismo que controla. Aunado a esto, al modelar el sistema 
como una cinética de primer orden con respecto a las bacterias, se propone que entre más 
bacterias haya, la rapidez del proceso será mayor, sin decir nada relacionado a como es atacada 
Capitulo III Desarrollo del modelo matemático 31 
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la partícula. Si se considera que existen tantas bacterias como se quiera, el modelo predeciría 
cinéticas muy altas, lo cual es opuesto a la realidad. Esto es consecuencia de lo limitado del 
modelo global. 
Por lo tanto se incorporará el modelo de núcleo decreciente, pero de la forma más simple 
posible. Es decir, sin considerar la ley del mineral ni el factor de forma, quedando la velocidad 
de decrecimiento del núcleo de la siguiente manera. 
(79) 
En esta ecuación kg es la rapidez de reacción de la calcopirita en presencia del ion férrico, R es 
el radio inicial de la partícula, Deff es el coeficiente de difusión del ion férrico a través de la 
capa de productos de reacción sólidos, ks es la resistencia a la difusión del ion férrico a través 
de la capa límite fluida, Pmin es la densidad molar del mineral. Esta ecuación permite calcular 
el cambio del radio del núcleo con respecto al tiempo causado por el ataque puramente 
químico, sin la presencia de bacterias adheridas. Se podría pensar que sería conveniente agregar 
otro sumando relacionado con el número de bacterias adheridas y así utilizar la idea de ver el 
ataque de las bacterias sobre el mineral como una cinética de primer orden. 
(80) 
El problema de este enfoque es que si bien se logra que el radio del núcleo decrezca más rápido 
a causa de la concentración de las bacterias, también sería dificil analizar el cambio de la 
concentración del ion férrico en función del radio de la partícula (ver Apéndice Al). Por esto, 
es más conveniente analizar la resistencia a la reacción química en la ecuación (79) y hacer 
algunas modificaciones para incluir el efecto de las bacterias sobre estacinética de primer 
orden. 
1 1 
-~---
kg aXakg 
(81) 
Capitulo III Desarrollo del modelo matemático 32 
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Con este nuevo enfoque, es claro que la influencia de las bacterias queda ligada fuertemente 
con la concentración del ion férrico, en concordancia con la idea de la acumulación de este ion 
en la capa extracelular. Es necesario señalar que al hacer la afirmación anterior se está 
suponiendo que la acumulación del ion férrico en la capa extracelular de la bacteria es 
despreciable comparada con la concentración del mismo ion en el seno del fluido. Es decir que 
sin importar la concentración de bacterias, la acumulación local que puedan producir de este 
ion no cambia en nada la concentración del mismo en la solución; por lo que la ecuación a 
utilizar queda expresada de la siguiente manera. 
(82) 
Esta ecuación es proporcional a la concentración del ion férrico, la cual a su vez es 
proporcional al crecimiento de las bacterias en solución y al crecimiento de las bacterias 
adheridas, pero esta última es una consecuencia de que se ha mantenido el término de consumo 
del ion ferroso por bacterias adheridas por no tener evidencia en contra y por no quitar 
generalidad al modelo, por lo que es necesario encontrar la proporcionalidad con estas bacterias 
en etapas tempranas donde el ataque es simplemente debido al ataque "directo". En etapas 
tempranas el coeficiente de difusión no es relevante y como la resistencia a la difusión de iones 
a través de la capa límite es despreciable, la ecuación queda: 
-[bC ]/(P---:-) 
dlC = Fe3+ mm =k C 
dI [1 1 r Fe3+ 
aX kg a 
(83) 
es decir, que la rapidez de reacción es proporcional a la concentración del ion férrico, y la 
constante de proporcionalidad "kr" son proporcionales a la rapidez de reacción kg y a aXa, pero 
se desea que sea proporcional a kg y a la rapidez de reacción de la siguiente manera: 
k oc (dX a + 1 )kg 
r dI 
(84) 
La ecuación anterior muestra que la constante de rapidez de reacción es proporcional a la 
constante de rapidez puramente química "kg", más un incremento de la misma, proporcional al 
crecimiento en la población de bacterias adheridas. Es necesario destacar que la ecuación de la 
Capitulo III Desarrollo del modelo matemático 33 
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rapidez de crecimiento de bacterias incluye el crecimiento biológico, la adherencia y la 
liberación de bacterias al mineral. Mantener la expresión de esta manera, sería como aceptar 
que la adherencia o liberación de bacterias al mineral, modifica la rapidez de reacción, punto 
que no se ha demostrado experimentalmente. Para evitar esta complicación, hay que sustituir la 
rapidez de crecimiento poblacional total con el crecimiento puramente biológico, quedando la 
ecuación: 
k, oc (.u:~" + l}g (85) 
Donde "*Ya" es el inverso de la constante de proporcionalidad entre la rapidez de crecimiento 
biológico de las bacterias adheridas y el incremento en la rapidez de la constante de reacción 
puramente química. De esta suposición se desprende un comentario: como la derivada de la 
concentración de bacterias adheridas "X a" con respecto al tiempo depende de esta 
concentración y de la adherencia y liberación de bacterias al mineral, entonces la concentración 
de bacterias como función del tiempo también depende de éstas variables, implicando que si se 
utiliza un método numérico para resolver el modelo, es necesario que el tamaño de paso sea 
suficientemente pequeño y/o que el orden del error relativo sea lo suficientemente grande para 
garantizar no solamente que se trabaja en una vecindad de cada punto de la derivada de la 
concentración de bacterias adheridas, sino que también se garantice que se está trabajando en 
una vecindad de cada punto de la concentración de las bacterias adheridas. Aclarado lo anterior, 
la ecuación queda de la siguiente manera: 
(86) 
1 +[(R-rc~cl+~(rcJ2 
[
JiX 1 RD 11 les R *y: +1 kg e 
Como la rapidez de reacción heterogénea también es proporcional a la rapidez de crecimiento 
poblacional, cuando la difusión participa como mecanismo de control, es necesario introducir 
otro término similar, pero ahora sobre el coeficiente de difusión. Además como estos 
mecanismos pueden controlar en etapas donde hay bacterias adheridas o en solución, entonces 
ambos mecanismos son proporcionales a la rapidez de crecimiento poblacional de las distintas 
bacterias, quedando así la ecuación: 
Capitulo III Desarrollo del modelo matemático 34 
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(87) 
[
J..l X J..l X 1 ~Yaa + . :Y
s
S 
+1 kg 
En esta ecuación los términos *Ys , *Ya, °Ys, °Ya son las constantes de proporcionalidad entre 
la rapidez de crecimiento poblacional de las bacterias en solución y de las bacterias adheridas 
con el mecanismo de control correspondiente. 
111.4.4 Disolución y difusión de gases en el sistema. 
Como el sistema que a modelar es un reactor batch con agitación ideal, y se supuso 
homogeneidad en la concentración de los gases en todo el sistema, la fuerza motriz de la 
difusión es nula. Impidiendo así que este fenómeno ocurra en el sistema, pero para modelos 
posteriores que involucren otro tipo de reactores sería conveniente hacer el análisis de 
transporte de masa correspondiente. 
Por la homogeneidad del sistema se realizará simplemente un análisis macroscópico para 
generar el modelo que prediga el comportamiento de estos gases. La ecuación general de 
balance de materia es: 
Ac=E+G-S 
Como el sistema en estudio es un reactor batch cilíndrico, donde la parte superior del mismo 
está en contacto con una atmósfera controlada. 
Entonces la superficie superior del sistema (visto como un cilindro), es la única superficie 
donde se puede dar intercambio de componentes. Suponiendo que la atmósfera contiene 
suficiente cantidad de humedad para evitar la evaporación del agua, solo puede suceder que el 
oxígeno y dióxido de carbono entren al sistema y no lo contrario. Por lo tanto: 
Ac= E+G 
Capitulo III Desarrollo del modelo matemático 35 
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El modelo que representa matemáticamente la entrada a un sistema con estas condiciones es: 
E = 1d~2A,{[02]max -[02]J (88) 
E = k(oz~r([C02 ]rnax - [C02]) (89) 
Donde Id; representa el coeficiente de transporte de masa volumétrico del componente "j" por 
unidad de área, Atr es el área de transferencia de gases desde la atmósfera hasta el sistema, [02 ] 
y [C02] son las concentraciones de oxígeno y dióxido de carbono disueltos, [02 ]max y 
[C02 ]rnax se refiere a la concentración máxima de las condiciones del sistema, para simplificar 
la notación se utilizará el coeficiente de transporte de masa volumétrico del componente "j" 
"klj ", quedando las ecuaciones de la siguiente fonna: 
E = Idoz ([ O2 ]max - [02]), donde kloz = k/~z A,r (90) 
E = Ideol ([ CO2 ]max - [C02]). donde Idcoz = k/~oz A,r (91) 
Las concentraciones máximas de estos gases en las condiciones del sistema, son las 
concentraciones de equilibrio de los mismos, obtenidas de acuerdo a la ley de Henry y la 
presión parcial de los gases: 
(92) 
Es decir que la presión parcial del componente j (pj), está relacionada con la concentración del 
componente "j" (a/), por la constante de Henry para este componente (Hj). 
Como el oxígeno y dióxido de carbono siempre son reactivos en las reacciones que ocurren en 
el sistema, la generación de éstos es negativa, en otras palabras se dice que es un consumo. 
En pnmera instancia sería deseable relacionar éste consumo con las reaCCIOnes 
correspondientes al ataque al mineral, pues como se observa en la ecuación (34), se consumen 
tres moles de O2 por cada mol de mineral, pero hay que recordar que este consumo es debido a 
la oxidación del azufre, reacción que es posterior al ataque del mineral y del que no hay mucha 
infonnación acera