Tarea4_407_Luis_Arango

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Tarea 4 – Espacios vectoriales 
	Luis Felipe Arango Vásquez (1144094782)	
	Cali, Mayo 2021.
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
Escuela de ciencias básicas, tecnología e ingeniería (ECBTI) Algebra Lineal E-Learning (Grupo 407)
14
Docente Rafael Dionisio Ortega Almeid
Tabla 1. Ejercicios 
	Datos de estudiante 
	Ejercicios seleccionados a desarrollar
	1144094782- Luis Felipe-UDR
	El estudiante desarrolla los ejercicios C.
Desarrollo de ejercicios 
1. Conceptualización de sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos.
C) Mapa mental
Figura 1. Mapa mental respecto a la independencia lineal de vectores
Link: https://www.goconqr.com/es-ES/mindmap/30597655/Independencia-lineal-de-vectores
2. Axiomas y propiedades de espacios vectoriales.
C) Dados los vectores 𝑢 = (−15, 42, 25) y 𝒗 = (12, −2, 7), y los escalares 𝜆 = −5 y
𝛽 = 2 verifique si se cumple los axiomas:
i) 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢	
ii) 𝜆 (𝑢 − 𝑣) = 𝜆𝑢 – 𝜆𝑣
iii) (𝜆 + 𝛽) 𝑣 = 𝜆𝑣 + 𝛽𝑣
Desarrollo 
i)
𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢
(-15, 42, 25) + (12, -2, 7) = (12, -2, 7) + (-15, 42, 25)
 (-15+12, 42-2, 25+7) = (12-15, -2+42 7+25)
-3, 40, 32 = 7, 40, 32
No se cumple el axioma.
ii)
𝜆 (𝑢 − 𝑣) = 𝜆𝑢 – 𝜆𝑣
-5 ((-15, 42, 25) - (12, -2, 7))= (-5) (-15, 42, 25) - (-5) (12, -2, 7)
-5 (-27, 44, 18) = 75, -210, 125 - (-60, 10, -35)
135, -220, -90 =135, -220, -90
Si se cumple el axioma 
iii) 
(𝜆 + 𝛽) 𝑣 = 𝜆𝑣 + 𝛽𝑣
(-5+2) (12, −2, 7) = (-5) (12, −2, 7) + 2 (12, −2, 7)
(-3) (12, −2, 7) = (-60, 10, -35) + (24, -4, 14)
-36, 6, -21 = -36, -6, -24
Si se cumple el axioma 
3. Conjuntos generadores y Dependencia lineal
3.1 Determine si el conjunto 𝑆 es linealmente independiente 𝑆 = {(10, −2,1), (−2, −5, 8), (12, 6,6}
3.2 Determine si el conjunto 𝑆 genera a ℝ3: 𝑆 = {(−1, 0, 4), (6, 4,10) (−5, 6,1)}
Respuesta 3.1 
C1 + C2 + C3 = = 
Ecuaciones 
10 C1 – 2 C2 + 12 C3 = 0 
-2 C1 – 5 C2 + 6 C3 = 0
C1 + 8 C2 + 6 C3 = 0
Despejamos C1 de la ecuación 1
C1 = 
Remplazamos C1 en la ecuación 3 para hallar C2
+ 8 C2 + 6 C3 = 0
 = 0
 = 0
 = 0
 = 0
= (0) (5)
C2 = 
Reemplazamos C2 en la ecuación 1 despejada 
C1 = 
C1 = 
C1 = 
C1 = 
Remplazamos C2 y C1 en ecuación 2.
2 C3 – 5 + 6 C3 = 0
 -3C3 + 6 c3 = 0
 +3c3 = 0
 = 0
 = 0. 5
57 c3 = 0
C3 = 0
Calculamos C1:
C1 = 
C1 = 
C1 = 
Calculamos C2:
C2 = 
C2 = 
C2 = 0 El sistema es linealmente independiente. 
Respuesta 3.2
A (-1, 0, 4) + B (6, 4,10) + C (−5, 6,1) = (x, y, z) 
(-A, 0, 4A) + (6B, 4B, 10B) + (-5C, 6C, C) = (x, y, z)
(-A +6B -5C) + (0, +4B +6C) + (4A +10B + C) = (x, y, z)
-A + 6B -5C = x
0 + 4B +6C = y
4A +10B + C = z
Comprobación por método de Gauss Jordán 
Por lo tanto las ecuaciones son: 
A= 
B = 
C =
Análisis 
Se concluye que el conjunto de vectores S, si genera a R3. 
4. Determinantes, Rango de una matriz, e Independencia lineal.
C) Dada la siguiente matriz 
C = 
Método por Gauss Jordán
R1 / 9 → R1 (dividamos la fila 1 por 9)
C = 
R2 - 2 R1 → R2 (multiplicamos la fila 1 por 2 y restamos a la fila 2); R4 - 1 R1 → R4 (multiplicamos la fila 1 por 1 y restamos a la fila 4)
C = 
R2 / (26 /3) → R2 (dividamos la fila 2 por 26/3)
C = 
R3 + 9 R2 → R3 (multiplicamos la fila 2 por 9 y sumar a la fila 3); R4 - 16 3 R2 → R4 (multiplicamos la fila 2 por 16 /3 y restamos a la fila 4)
C = 
R3 / 60 /13 → R3 (dividamos la fila 3 por 60 /13)
C = 
R4 + 46/39 R3 → R4 (multiplicamos la fila 3 por 46/ 39 y sumar a la fila 4)
C = 
R4 / -529 90 → R4 (dividamos la fila 4 por -529/ 90)
C = 
Por lo tanto hay 4 filas no nulas entonces el rango es 4.
Método por determinantes 
Seleccionamos submatriz 4 x 4 
C = 	
R2 - 2/9 R1 → R2 (multiplicamos la fila 1 por 2/9 y restamos a la fila 2); R4 - 1/9 R1 → R4 (multiplicamos la fila 1 por 1/9 y restamos a la fila 4)
C = 
R3 + 27/26 R2 → R3 (multiplicamos la fila 2 por 27/26 y sumar a la fila 3); R4 - 8/13 R2 → R4 (multiplicamos la fila 2 por 8/13 y restamos a la fila 4)
C = 
R4 + 23/90 R3 → R4 (multiplicamos la fila 3 por 23/90 y sumar a la fila 4)
C = = 9..- ( = - 2116
Análisis 
El resultado del determinante de la submatriz (4x4) es diferente de 0, se concluye:
1. El rango de la matriz es 4
2. Vectores filas que componen la matriz son linealmente independientes. 
5. Demostración
C) Sean 𝒖, 𝒗 y 𝒘 vectores en ℝ3. Demuestre que: 
𝒖 × (𝒗 × 𝒘) = (𝒖 ∙ 𝒘) ∙ 𝒗 − (𝒖 ∙ 𝒗) ∙ 𝒘
Datos
u = (x1, y1, z1)
v =(x2, y2, z2)
w= (x3, y3, z3)
𝒖 × (𝒗 × 𝒘) = (u∙ w) ∙ v- (u∙ v) ∙ w
Realizamos producto punto:
= ((x1,y1,z1 ) ( x3,y3,z3)) (x2,y2,z2) - ((x1,y1,z1 ) ( x2,y2,z2)) ( x3,y3,z3)
Nuevamente producto punto:
(x1.x2.x3) + (x1.y2.y3) + (x1.z2.z3) + (y1.x2.x3) + (y1.y2.y3) + (y1.z2.z3) + (z1.x2.x3)+ (z1.y2.y3) + (z1.z2.z3) – (x1.x2.x3) – (y1.y2.x3) – (z1.z2.x3) – (x1.x2.y3) – (y1.y2.y3) – (z1.z2.y3) – (x1.x2.z3) – (y1.y2.z3 – (z1.z2.z3)
Eliminamos términos 
(x1.y2.y3) + (x1.z2.z3) + (y1.x2.x3) + (y1.z2.z3) + (z1.x2.x3) + (z1.y2.y3) – (y1.y2.x3) –(z1.z2.x3) – (x1.x2.y3) – (z1.z2.y3) – (x1.x2.z3) - (y1.y2.z3) ∈ R
Para el otro lado de la ecuación si tenemos los vectores: 	
(u1, u2, u3) y (v1, v2, v3) entonces: 
(u1, u2, u3) x (v1, v2, v3) = (u2v3- v2u3, v1u3 - u1v3, u1v2 - v1u2)
u× (v × w) = (x1, y1, z1) x ((x2, y2, z2) x (x3, y3, z3)
 = (x1, y1, z1) x (y2.z3 - y3.z2, x3.z2 - x2.z3, x2.y3 - x3.y2)
Renombramos 
(y2*z3 - y3*z2, x3*z2 - x2*z3, x2*y3 - x3*y2) = (a, b, c)
Entonces: 
(x1, y1, z1) x (y2.z3 - y3.z2, x3.z2 - x2.z3, x2.y3 - x3.y2) (x1, y1, z1) x (a, b, c)
= (y1.c – b.z1, a.z1 - x1.c, x1.b – a.y1) ∈ R³
En conclusión si tomamos en cuenta que "x" representa al producto vectorial y "." al producto punto la ecuación es falsa puesto que en un lado está en R³ y el otro en R. 
Si "x" representa el producto punto y escalar por vector igual que el caso anterior:
u. (v. w) = (x1, y1, z1). (( x2, y2, z2).(x3,y3,z3))
 = (x1, y1, z1). (x2.x3 + y2.y3 + z2.z3)
Si llamamos a = x2.x3 + y2.y3 + z2.z3
= (x1, y1, z1). (x2.x3 + y2.y3 + z2.z3) = (x1, y1, z1).a
= (x1.a, y1.a, z1.a) ∈ R³
La demostración pedida es FALSA porque el lado derecho de la igualdad pertenece a R³ y el izquierdo a R. 
6. Retroalimentación a compañero del ejercicio d)
Figura 1. Retroalimentación del ejercicio 4. 
Figura 2. Retroalimentación del ejercicio 3.
Figura 3. Retroalimentación del ejercicio 2.
Referencias 
Stanley, G. S., & Flores Godoy, J. J. (2012). Algebra lineal (8a. ed.). McGrawHill. Espacios Vectoriales. Pp (285-305). Recuperado de http://www.ebooks7-24.com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/?il=9168&pg=310 
Stanley, G. S., & Flores Godoy, J. J. (2012). Algebra lineal (8a. ed.). McGrawHill.
Independencia lineal. Pp (321-374). Recuperado de http://www.ebooks7-24.com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/?il=9168&pg=346
Stanley, G. S., & Flores Godoy, J. J. (2012). Algebra lineal (8a. ed.). McGrawHill.
Espacios Vectoriales. Pp (298-305). Recuperado de: http://www.ebooks7-24.com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/?il=9168&pg=399
Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Dependencia e Independencia lineal. Pp (256-259) Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7081 
Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Subespacios. Pp (269-273) Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7081